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Un peu de théorie.

La limite de la fonction comme x -\u003e x 0

Laissez la fonction f (x) définie sur un ensemble X et laissez le point \\ (x_0 \\ dans X \\) ou \\ (x_0 \\ notin X \\)

Prenons X une suite de points autre que x 0:
  x 1, x 2, x 3, ..., x n, ... (1)
  convergeant vers x *. Les valeurs de la fonction aux points de cette séquence forment également une séquence numérique
  f (x 1), f (x 2), f (x 3), ..., f (x n), ... (2)
  et la question de l'existence de sa limite peut être soulevée.

La définition. Le nombre A est appelé limite de la fonction f (x) au point x \u003d x 0 (ou comme x -\u003e x 0), si pour toute séquence (1) convergeant vers x 0 les valeurs de l'argument x autre que x 0 la séquence correspondante (2) la fonction converge vers le nombre A.

  $$ \\ lim_ (x \\ à x_0) (f (x)) \u003d A $$

La fonction f (x) ne peut avoir qu'une seule limite à x 0. Cela découle du fait que la séquence
  (f (x n)) n'a qu'une limite.

Il existe une autre définition de limite de fonction.

La définition   Le nombre A est appelé limite de la fonction f (x) au point x \u003d x 0 si pour tout nombre \\ (\\ varepsilon\u003e 0 \\) il existe un nombre \\ (\\ delta\u003e 0 \\) tel que pour tout \\ (x \\ in X, \\; x \\ neq x_0 \\) satisfaisant l'inégalité \\ (| x-x_0 | À l'aide de symboles logiques, cette définition peut être écrite ainsi:
  \\ ((\\ forall \\ varepsilon\u003e 0) (\\ existe \\ delta\u003e 0) (\\ forall x \\ dans X, \\; x \\ neq x_0, \\; | x-x_0 | Notez que les inégalités \\ (x \\ neq x x0 , \\; | x-x_0 | La première définition est basée sur le concept de la limite d'une séquence numérique, elle est donc souvent appelée la définition "dans le langage des séquences". La deuxième définition est appelée la définition "dans le langage \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)".
  Ces deux définitions de la limite de la fonction sont équivalentes et chacune d’elles peut être utilisée selon ce qui est le plus pratique lors de la résolution d’un problème particulier.

Notez que la définition de la limite d'une fonction "dans le langage de séquences" est également appelée la définition de la limite d'une fonction selon Heine, et la définition de la limite d'une fonction "dans le langage \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)" est appelée la définition de la limite d'une fonction par Cauchy.

La limite de la fonction comme x-\u003e x 0 - et comme x-\u003e x 0 +

À l'avenir, les concepts de limites unilatérales d'une fonction, définis comme suit, seront utilisés.

La définition Le nombre A est appelé limite droite (gauche) de la fonction f (x) au point x 0 si, pour toute séquence (1) convergeant vers x 0, dont les éléments x n sont plus grands (plus petits) x 0, la séquence correspondante (2) converge vers A.

Symboliquement, il est écrit comme ceci:
  $$ \\ lim_ (x \\ à x_0 +) f (x) \u003d A \\; \\ left (\\ lim_ (x \\ to x_0-) f (x) \u003d A \\ right) $$

Vous pouvez donner une définition équivalente des limites unidirectionnelles de la fonction "dans le langage \\ (\\ varepsilon - \\ delta \\)":

La définition   le nombre A est appelé la limite droite (gauche) de la fonction f (x) au point x 0 si pour tout \\ (\\ varepsilon\u003e 0 \\) il existe \\ (\\ delta\u003e 0 \\) tel que pour tout x satisfaisant les inégalités \\ (x_0 Entrées symboliques:

Regardons des exemples illustratifs.

Soit x une variable numérique, X la région de sa variation. Si chaque nombre x appartenant à X se voit attribuer un certain nombre y, ils disent alors qu'une fonction est définie sur l'ensemble X et écrivent y \u003d f (x).
  L'ensemble X dans ce cas est un plan constitué de deux axes de coordonnées - 0X et 0Y. Par exemple, nous décrivons la fonction y \u003d x 2. Les axes 0X et 0Y forment X - la région de son changement. La figure montre clairement le comportement de la fonction. Dans ce cas, ils disent que sur l'ensemble X, la fonction y \u003d x 2 est définie.

L'ensemble Y de toutes les valeurs partielles d'une fonction est appelé l'ensemble des valeurs f (x). En d'autres termes, l'ensemble de valeurs est l'écart le long de l'axe 0Y où la fonction est définie. La parabole représentée montre clairement que f (x)\u003e 0, car x2\u003e 0. Par conséquent, la plage de valeurs sera. Nous examinons beaucoup de valeurs par 0Y.

La collection de tous les x est appelée le domaine de définition de f (x). Nous examinons beaucoup de définitions concernant 0X et, dans notre cas, la plage des valeurs admissibles est [-; +].

Un point a (un appartient à ou X) est appelé un point limite de l'ensemble X si, dans tout voisinage d'un, il existe des points de l'ensemble X autres que a.

Il est temps de comprendre - quelle est la limite d'une fonction?

On appelle purement b, auquel tend la fonction lorsque x s'approche du nombre a limite de fonction. Il est écrit comme suit:

Par exemple, f (x) \u003d x 2. Nous devons trouver ce que la fonction tend à (n'est pas égal à) en x 2. Tout d'abord, nous écrivons la limite:

Regardons le graphique.

Tracez une ligne parallèle à l'axe 0Y jusqu'au point 2 sur l'axe 0X. Elle va traverser notre graphique au point (2; 4). Nous lâchons la perpendiculaire de ce point à l'axe 0Y et atteignons le point 4. C'est ce que notre fonction vise à x 2. Si nous substituons la valeur 2 à la fonction f (x), la réponse sera la même.

Maintenant, avant de passer à calcul des limites, nous introduisons les définitions de base.

Introduit par le mathématicien français Augustin Louis Cauchy au 19ème siècle.

Supposons que la fonction f (x) soit définie sur un certain intervalle dans lequel le point x \u003d A est contenu, mais il n'est pas nécessaire que la valeur f (A) soit déterminée.

Ensuite, selon la définition de Cauchy, limite de fonction   f (x) sera un certain nombre B pour x, tendant à A, si pour chaque C\u003e 0 il existe un nombre D\u003e 0 pour lequel

I.e. si la fonction f (x) en x A est délimitée par la limite B, elle s’écrit:

Séquence limite   un certain nombre A est appelé si, pour tout nombre positif arbitrairement petit B\u003e 0, il existe un nombre N tel que toutes les valeurs du cas n\u003e N satisfassent l'inégalité

Une telle limite a la forme.

Une séquence qui a une limite sera appelée convergente, sinon divergente.

Comme vous l'avez déjà remarqué, les limites sont indiquées par l'icône lim, sous laquelle certaines conditions de la variable sont écrites, puis la fonction elle-même est déjà écrite. Un tel ensemble sera lu comme "la limite de la fonction fournie ...". Par exemple:

  est la limite de la fonction lorsque x tend à 1.

L'expression "tendant à 1" signifie que x prend séquentiellement des valeurs infiniment proches de 1.

Il apparaît maintenant que pour calculer cette limite, il suffit de substituer la valeur 1 à la place de x:

En plus d'une valeur numérique spécifique, x peut tendre à l'infini. Par exemple:

L'expression x signifie que x est en augmentation constante et infiniment proche de l'infini. Par conséquent, en substituant l'infini au lieu de x, il deviendra évident que la fonction 1-x aura tendance à, mais avec le signe opposé:

De cette façon calcul limite   Il s'agit de trouver sa valeur spécifique ou une zone spécifique dans laquelle la fonction s'inscrit, limitée par la limite.

Sur la base de ce qui précède, il s'ensuit que lors du calcul des limites, il est important d'utiliser plusieurs règles:

Réalisant l'essence de la limite   et règles de base limiter les calculs, vous obtiendrez un aperçu de la façon de les résoudre. Si quelle limite vous causera des difficultés, alors écrivez les commentaires et nous vous aiderons certainement.

Remarque: la jurisprudence est une science des lois qui aide dans les conflits et autres difficultés de la vie.

Théorie limite   - une des sections de l'analyse mathématique que l'on peut maîtriser, d'autres ne peuvent guère en calculer les limites. La question des limites est assez générale, car il existe des dizaines de trucs limiter les solutions divers types. Les mêmes limites peuvent être trouvées à la fois par la règle de L'Hotel et sans elle. Il se trouve qu’une planification dans une série de fonctions infinitésimales vous permet d’obtenir rapidement le résultat souhaité. Il existe un ensemble d’astuces pour déterminer la limite d’une fonction de toute complexité. Dans cet article, nous tenterons de comprendre les principaux types de limites que l’on rencontre le plus souvent dans la pratique. Nous ne donnerons pas une théorie et une définition de la limite ici, il y a beaucoup de ressources sur Internet où cela est mâché. Donc, nous allons faire des calculs pratiques, c’est ici que vous commencez par "Je ne sais pas! Je ne sais pas comment! Ils ne nous ont pas appris!"

Calcul de la limite de substitution

Exemple 1 Trouver la limite de la fonction
  Lim ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x \u003d 3).
Solution: Des exemples théoriques de ce type sont calculés par la substitution habituelle

La limite est 18/11.
  Il n'y a rien de compliqué et de sage dans de telles limites - ils ont substitué la valeur, calculée, écrite la limite en réponse. Cependant, sur la base de telles limites, il est enseigné à tous qu’il est tout d’abord nécessaire de substituer une valeur à une fonction. En outre, les limites compliquent, introduisent le concept d’infini, d’incertitude, etc.

La limite d'indétermination du type infini est divisée par l'infini. Méthodes de divulgation d'incertitude

Exemple 2 Trouver la limite de la fonction
Lim ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x \u003d infini).
Solution: Soit une limite de la forme d'un polynôme divisé par un polynôme, et la variable tend vers l'infini

  Une simple substitution de la valeur à laquelle la variable doit être trouvée ne permet pas de trouver des limites, on obtient l'incertitude de la forme infini divisée par l'infini.
  Théorie du pot de limites l'algorithme de calcul de limite consiste à trouver le plus grand degré de "X" dans le numérateur ou le dénominateur. Ensuite, il est simplifié par le numérateur et le dénominateur et trouve la limite de la fonction

  Puisque la valeur tend vers zéro avec une variable à l'infini, elles sont négligées ou écrites dans l'expression finale sous forme de zéros

  Immédiatement après la pratique, vous pouvez tirer deux conclusions qui sont un indice dans les calculs. Si la variable tend vers l'infini et que le degré du numérateur est supérieur au degré du dénominateur, la limite est égale à l'infini. Sinon, si le polynôme du dénominateur d'un ordre plus élevé que celui du numérateur, la limite est zéro.
  Les formules limites peuvent être écrites comme

  Si nous avons une fonction de la forme d'un log régulier sans fractions, alors sa limite est l'infini

  Le type de limites suivant concerne le comportement des fonctions proches de zéro.

Exemple 3 Trouver la limite de la fonction
Lim ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x \u003d 0).
Solution: Il n'est pas nécessaire d'extraire ici le multiplicateur de tête du polynôme. Au contraire, il est nécessaire de trouver le plus petit degré du numérateur et du dénominateur et de calculer la limite

  Valeur x ^ 2; x tend à zéro quand la variable tend à zéro, ils sont donc négligés, donc on obtient

que la limite est de 2,5.

Maintenant tu sais   comment trouver la limite de fonction   un polynôme de type divisé en polynôme si la variable tend vers l'infini ou sur 0. Mais ce n'est qu'une partie petite et facile des exemples. De la matière suivante, vous apprendrez comment divulguer les incertitudes des limites de fonction.

Limite d'incertitude de type 0/0 et méthodes pour la calculer

Tout le monde se souvient immédiatement de la règle selon laquelle il est impossible de diviser par zéro. Cependant, la théorie des limites dans ce contexte signifie des fonctions infiniment petites.
  Considérez quelques exemples pour plus de clarté.

Exemple 4 Trouver la limite de la fonction
  Lim ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x \u003d -1).
Solution: En substituant la valeur de la variable x \u003d -1 au dénominateur, nous obtenons zéro et nous obtenons la même chose au numérateur. Donc nous avons incertitude de la forme 0/0.
  Pour faire face à une telle incertitude, rien de plus simple: vous devez factoriser le polynôme ou choisir un facteur qui met la fonction à zéro.

  Après expansion, la limite de la fonction peut être écrite comme suit:

  C'est toute la méthode de calcul de la limite d'une fonction. Nous faisons la même chose s'il existe une limite à la forme d'un polynôme divisé par un polynôme.

Exemple 5 Trouver la limite de la fonction
  Lim ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10), x \u003d 2).
Solution: spectacles directs de substitution
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
  qu'est-ce qu'on a type 0/0 incertitude.
  Diviser les polynômes par un facteur introduisant une fonction


  Il y a des enseignants qui enseignent que les polynômes du 2e ordre, c'est-à-dire que la forme des "équations quadratiques" devrait être résolue par discriminant. Mais la pratique montre qu’il est plus long et plus déroutant, supprimez donc les fonctionnalités dans les limites de l’algorithme spécifié. Ainsi, nous écrivons la fonction sous la forme de facteurs simples et calculons la limite

  Comme vous pouvez le constater, le calcul de telles limites n’est pas compliqué. Vous savez diviser des polynômes au moment d’étudier les limites, du moins en fonction du programme que vous devez avoir déjà réussi.
  Parmi les tâches sur type 0/0 incertitudeil y a ceux dans lesquels vous devez appliquer la formule de la multiplication abrégée. Mais si vous ne les connaissez pas, alors en divisant le polynôme en un monôme, vous pouvez obtenir la bonne formule.

Exemple 6 Trouver la limite de la fonction
  Lim ((x ^ 2-9) / (x-3), x \u003d 3).
Solution: Nous avons une incertitude de type 0/0. Au numérateur, nous utilisons la formule de la multiplication abrégée

  et calculer la limite requise

Méthode de divulgation d'incertitude par multiplication conjuguée

La méthode est appliquée aux limites dans lesquelles l'incertitude engendre des fonctions irrationnelles. Le numérateur ou dénominateur devient zéro au moment du calcul et on ne sait pas comment trouver la limite.

Exemple 7 Trouver la limite de la fonction
Lim ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6), x \u003d 2).
Solution:Représenter une variable dans la formule limite

  Lors de la substitution, nous obtenons une incertitude de type 0/0.
  Selon la théorie des limites, un circuit pour contourner cette caractéristique consiste à multiplier l'expression irrationnelle par le conjugué. Pour que l'expression ne change pas, le dénominateur doit être divisé par la même valeur

  En utilisant la règle de la différence carrée, nous simplifions le numérateur et calculons la limite de la fonction

Simplifier les termes créant la singularité dans la limite et effectuer la substitution

Exemple 8 Trouver la limite de la fonction
Lim ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x), x \u003d 3).
Solution: La substitution directe montre que la limite a une singularité de la forme 0/0.

  Pour la divulgation, nous multiplions et divisons par le conjugué au numérateur

  Nous écrivons la différence des carrés

Simplifiez les termes introduisant la fonctionnalité et trouvez la limite de la fonction

Exemple 9 Trouver la limite de la fonction
Lim ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2), x \u003d 2).
Solution: Remplacez le deux dans la formule

  Obtenir incertitude 0/0.
  Le dénominateur doit être multiplié par l'expression conjuguée et, au numérateur, résoudre l'équation du second degré ou la factoriser en tenant compte de la particularité. Comme on sait que 2 est une racine, on trouve la seconde racine par le théorème Vieta

  Ainsi, nous écrivons le numérateur sous la forme

  et substituer la limite

  Ayant réduit la différence de carrés, nous nous débarrassons des fonctions du numérateur et du dénominateur

  De cette manière, vous pouvez vous débarrasser des fonctionnalités dans de nombreux exemples, et l'application doit être remarquée partout où la différence de racine donnée devient nulle lors de la substitution. D'autres types de limites concernent les fonctions exponentielles, les fonctions infinitésimales, les logarithmes, les limites spéciales et d'autres techniques. Mais vous pouvez en savoir plus à ce sujet dans les articles sur les limites énumérés ci-dessous.

La théorie des limites est l'une des branches de l'analyse mathématique. La question de la résolution des limites est assez vaste, car il existe des dizaines de méthodes pour résoudre des limites de natures diverses. Il existe des dizaines de nuances et d’astuces pour résoudre telle ou telle limite. Néanmoins, nous essayons toujours de comprendre les types fondamentaux de limites que nous rencontrons le plus souvent dans la pratique.

Commençons par le concept même de limite. Mais d'abord, un bref historique. Il était une fois au 19ème siècle le Français Augustin Louis Cauchy, qui donna une définition stricte à de nombreux concepts du matan et en jeta les fondements. Je dois dire que ce mathématicien respecté rêvait, rêvait et rêverait dans les cauchemars de tous les étudiants en facultés de physique et de mathématiques, puisqu'il avait prouvé un grand nombre de théorèmes d'analyse mathématique, et qu'un théorème est plus lisse qu'un autre. À cet égard, nous ne considérerons pas détermination de la limite de Cauchyet essayez de faire deux choses:

1. Comprenez quelle est la limite.
2. Apprenez à résoudre les principaux types de limites.

Je m'excuse pour certaines explications non scientifiques, il est important que le contenu soit compréhensible même pour la théière, ce qui est en fait la tâche du projet.

Alors, quelle est la limite?

Et tout de suite un exemple de ce qu'une grand-mère déchire ....

Toute limite a trois parties.:

1) Tout le monde connaît l'icône de limite.
   2) Les entrées sous l'icône de limite, dans ce cas. Le disque lit "X aspire à l'unité." Le plus souvent - ce l'est, bien qu'au lieu du «X», il existe d'autres variables. Dans les tâches pratiques, à la place de l'unité, il peut y avoir absolument n'importe quel nombre, ainsi que l'infini ().
   3) Fonctions sous le signe de limite, dans ce cas.

Se enregistrer   se lit comme suit: "la limite de fonction avec x tendant à l'unité."

Examinons la question importante suivante: que signifie l’expression «X»? cherche   à l'unité? Et à quoi «aspirer»?
   Le concept de limite est un concept, pour ainsi dire, dynamique. Construisez la séquence: d'abord, ensuite ,, ..., , ….
   C'est-à-dire, l'expression "x cherche   à l'unité "doit être compris comme suit -" x "prend séquentiellement des valeurs, qui sont infiniment proches de l'unité et coïncident pratiquement avec elle.

Comment résoudre l'exemple ci-dessus? Sur la base de ce qui précède, il vous suffit de remplacer l'unité dans la fonction située sous le signe de limite:

Donc, la première règle:   Quand une limite est donnée, nous essayons d’abord de substituer un nombre dans la fonction.

Nous avons considéré la limite la plus simple, mais on la trouve dans la pratique, d'ailleurs, pas si rarement!

Exemple à l'infini:

Nous comprenons ce que c'est? C'est le cas quand il grandit de manière illimitée, c'est-à-dire: d'abord, ensuite, ensuite, ensuite et ainsi de suite jusqu'à l'infini.

Et qu'advient-il de la fonction en ce moment?
, , , …

Donc: si, alors la fonction tend à moins l'infini:

En gros, selon notre première règle, nous substituons l'infini à la fonction «x» et obtenons la réponse.

Un autre exemple à l'infini:

Encore une fois, nous commençons à augmenter à l'infini et à regarder le comportement de la fonction:

Conclusion: quand la fonction augmente sans limite:

Et une série d'exemples:

Essayez d’analyser indépendamment les éléments suivants et de vous souvenir des types de limites les plus simples:

, , , , , , , , ,
   En cas de doute quelque part, vous pouvez vous procurer une calculatrice et vous exercer un peu.
   Dans ce cas, essayez de construire une séquence ,,. Si, alors ,,.

! Note: à proprement parler, une telle approche avec la construction de séquences de plusieurs nombres est incorrecte, mais elle convient tout à fait à la compréhension des exemples les plus simples.

Faites également attention à la chose suivante. Même si une limite est donnée avec un grand nombre au sommet, et même avec un million :, de toute façon , puisque tôt ou tard "X" commencera à prendre de telles valeurs gigantesques qu’un million par rapport à eux sera un véritable microbe.

Qu'est-ce que vous devez retenir et comprendre de ce qui précède?

1) Quand une limite est donnée, essayons d'abord de substituer un nombre à la fonction.

2) Vous devez comprendre et décider immédiatement les limites les plus simples, telles que ,, etc.

De plus, la limite a une très bonne signification géométrique. Pour une meilleure compréhension du sujet, je vous recommande de vous familiariser avec le matériel méthodologique Graphes et propriétés des fonctions élémentaires. Après avoir lu cet article, vous comprendrez non seulement ce qu'est une limite, mais vous familiariserez également avec des cas intéressants lorsque la limite d'une fonction en général n'existe pas!

Dans la pratique, malheureusement, il y a peu de cadeaux. Nous passons donc à la prise en compte de limites plus complexes. Au fait, il y a cours intensif   au format pdf, ce qui est particulièrement utile si vous avez TRÈS peu de temps pour vous préparer. Mais les matériaux du site, bien sûr, ne sont pas pires:

Considérons maintenant le groupe de limites quand, et le fonction est une fraction, au numérateur et au dénominateur sont des polynômes

Un exemple:

Calculer la limite

Selon notre règle, nous allons essayer de substituer l'infini à une fonction. Qu'avons-nous ci-dessus? L'infini. Et qu'est-ce qui se passe ci-dessous? Aussi l'infini. Ainsi, nous avons la soi-disant incertitude des espèces. On pourrait penser que la réponse est prête, mais dans le cas général, ce n'est pas du tout le cas, et une solution doit être appliquée, ce que nous allons examiner maintenant.

Comment résoudre les limites de ce type?

Tout d'abord, nous regardons le numérateur et trouvons à un degré supérieur:

   Le plus haut degré du numérateur est deux.

Maintenant, regardons le dénominateur et trouvons aussi au plus haut degré:

   Le plus haut degré du dénominateur est deux.

Ensuite, nous sélectionnons le degré le plus ancien du numérateur et du dénominateur: dans cet exemple, ils coïncident et sont égaux à deux.

La solution est donc la suivante: pour révéler l’incertitude, il est nécessaire de diviser le numérateur et le dénominateur par le degré le plus élevé.

La voici, la réponse, et pas l'infini du tout.

Qu'est-ce qui est fondamentalement important dans la conception d'une solution?

Tout d'abord, indiquez s'il y a une incertitude.

Deuxièmement, il est conseillé d'interrompre la décision pour des explications intermédiaires. J'utilise habituellement un signe, il n'a pas de sens mathématique, mais signifie que la décision est interrompue pour une explication intermédiaire.

Troisièmement, à la limite, il est souhaitable de marquer quoi et où il cherche. Lorsque le travail est terminé à la main, il est plus pratique de le faire:

   Pour les notes, il est préférable d'utiliser un simple crayon.

Bien sûr, vous ne pouvez rien faire de cela, mais alors, peut-être, l'enseignant remarquera-t-il les défauts de la décision ou commencera-t-il à poser des questions supplémentaires sur le travail. En as-tu besoin?

Exemple 2

Trouver la limite
   Toujours dans le numérateur et le dénominateur, nous trouvons à un degré supérieur:

   Le degré maximum au numérateur: 3
   Le degré maximum dans le dénominateur: 4
   Choisir le plus grand   valeur, dans ce cas quatre.
   Selon notre algorithme, pour divulguer l’incertitude, nous divisons le numérateur et le dénominateur par.
   La conception complète de la tâche peut ressembler à ceci:

Diviser le numérateur et le dénominateur par

Exemple 3

Trouver la limite
   Le degré maximal de "X" dans le numérateur: 2
   Le degré maximal de «x» dans le dénominateur: 1 (peut être écrit ainsi)
   Pour découvrir l'incertitude, il est nécessaire de diviser le numérateur et le dénominateur par. Une solution propre pourrait ressembler à ceci:

Diviser le numérateur et le dénominateur par

Un enregistrement ne signifie pas division par zéro (vous ne pouvez pas diviser par zéro), mais division par un nombre infiniment petit.

Ainsi, en divulguant l’incertitude de l’espèce, nous pouvons obtenir nombre fini, zéro ou l'infini.

Limites avec incertitude de type et méthode pour les résoudre

Le groupe de limites suivant est assez similaire aux limites que nous venons de considérer: les polynômes sont au numérateur et au dénominateur, mais le «X» ne tend plus à l'infini, mais à nombre final.

Exemple 4

Décidez la limite
   Premièrement, essayez de substituer -1 dans la fraction:

   Dans ce cas, l'incertitude dite est obtenue.

Règle générale: si le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes et qu'il existe des incertitudes quant à la forme, sa divulgation vous devez factoriser le numérateur et le dénominateur.

Pour ce faire, vous devez le plus souvent résoudre l'équation du second degré et (ou) utiliser les formules de multiplication abrégée. Si ces choses sont oubliées, alors visitez la page Formules mathématiques et tableaux   et lire le matériel pédagogique Formules de cours d'école de mathématiques chaudes. Soit dit en passant, il est préférable de l’imprimer, cela est très souvent nécessaire et les informations tirées du papier sont mieux absorbées.

Donc, nous décidons notre limite

Factor le numérateur et le dénominateur

Pour factoriser le numérateur, vous devez résoudre l'équation du second degré:

   On trouve d'abord le discriminant:

   Et la racine carrée de celui-ci:

Si le discriminant est grand, par exemple 361, nous utilisons une calculatrice, la fonction d’extraction de la racine carrée s’appuyant sur la calculatrice la plus simple.

! Si la racine n’est pas extraite complètement (il se trouve qu’un nombre fractionnaire est une virgule), il est fort probable que le discriminant ait été calculé de manière incorrecte ou dans la tâche de frappe.

Ensuite, nous trouvons les racines:

De cette façon:

C’est tout. Le numérateur est factorisé.

Dénominateur. Le dénominateur est déjà le facteur le plus simple et il ne peut en aucun cas être simplifié.

Évidemment, cela peut être réduit en:

Nous substituons maintenant -1 dans l'expression qui reste sous le signe de limite:

Naturellement, dans le test, dans le test, dans l'examen, la décision n'est jamais décrite de manière aussi détaillée. Dans la version finale, le design devrait ressembler à ceci:

Facteur le numérateur.

Exemple 5

Calculer la limite

Tout d'abord, la solution "finale"

Facteur le numérateur et le dénominateur.

Numérateur:
   Dénominateur:



,

Qu'est-ce qui est important dans cet exemple?
   Tout d'abord, vous devez avoir une bonne compréhension de la manière dont le numérateur est divulgué. Nous avons d'abord mis 2 hors de la fourchette, puis utilisé la formule de la différence des carrés. Cette formule doit être connue et vue.

Recommandation: Si dans la limite (de presque tout type) vous pouvez mettre le nombre hors de la fourchette, alors nous le faisons toujours.
De plus, il est conseillé d’extraire ces chiffres de l’icône des limites.. Pourquoi Oui, juste pour qu'ils n'interfèrent pas sous les pieds. La chose principale, alors ces chiffres ne perdent pas au cours de la décision.

Veuillez noter qu’au stade final de la décision, j’ai pris deux points au-delà de la limite, puis un signe moins.

! Est important
Au cours de la solution, un fragment de type est rencontré très souvent. Réduire une telle fractionnon autorisé . Vous devez d’abord changer le signe au numérateur ou au dénominateur (mettez -1 entre parenthèses).
, c’est-à-dire qu’un signe moins apparaît, qui est pris en compte dans le calcul de la limite et qu’il n’est pas nécessaire de la perdre du tout.

En général, j'ai remarqué que le plus souvent, pour trouver les limites de ce type, il faut résoudre deux équations du second degré, c'est-à-dire que le numérateur et le dénominateur contiennent des trinômes carrés.

Méthode de multiplication du numérateur et du dénominateur par l'expression conjuguée

Nous continuons à considérer l'incertitude de la forme

Le type de limite suivant est similaire au type précédent. La seule chose, en plus des polynômes, nous allons ajouter des racines.

Exemple 6

Trouver la limite

Nous commençons à décider.

D'abord, nous essayons de substituer 3 dans l'expression sous le signe de limite
Je répète encore une fois - c'est la première chose à faire pour N'IMPORTE QUELLE limite. Cette action est généralement effectuée mentalement ou en projet.

L'incertitude de l'espèce à éliminer est obtenue.

Comme vous l'avez probablement remarqué, nous avons la différence fondamentale du numérateur. Et il est de coutume de se débarrasser des racines mathématiques, si possible. Pourquoi Et sans eux, la vie est plus facile.

Les concepts de limites de séquences et de fonctions. Lorsqu'il est nécessaire de trouver la limite de la séquence, celle-ci est écrite comme suit: lim xn \u003d a. Dans une telle séquence, xn tend vers a et n tend vers l'infini. Une séquence est généralement représentée sous forme de série, par exemple:
x1, x2, x3 ..., xm, ..., xn ....
Les séquences sont divisées en ascendant et descendant. Par exemple:
xn \u003d n ^ 2 - séquence croissante
yn \u003d 1 / n - séquence
Ainsi, par exemple, la limite de séquence xn \u003d 1 / n ^:
lim 1 / n ^ 2 \u003d 0

x →
Cette limite est égale à zéro puisque n → ∞ et que la suite 1 / n ^ 2 tend à zéro.

En règle générale, la variable x tend vers une limite finie a, x se rapprochant constamment de a et de la valeur d'une constante. Ceci s’écrit comme suit: limx \u003d a, tandis que n peut aussi tendre vers zéro et l’infini. Il y a des fonctions infinies, pour elles la limite tend vers l'infini. Dans d'autres cas, par exemple, lorsque la fonction ralentit le train, il est possible que la limite tende à zéro.
Les limites ont plusieurs propriétés. En règle générale, toute fonction n'a qu'une seule limite. C'est la propriété principale de la limite. D'autres sont énumérés ci-dessous:
* La limite de somme est égale à la somme des limites:
lim (x + y) \u003d lim x + lim y
* La limite du produit est égale au produit des limites:
lim (xy) \u003d lim x * lim y
* La limite du quotient est égale au quotient des limites:
lim (x / y) \u003d lim x / lim y
* Le facteur constant est sorti du signe de limite:
lim (Cx) \u003d C lim x
Soit une fonction 1 / x dans laquelle x →, sa limite est zéro. Si x → 0, la limite d'une telle fonction est.
Pour les fonctions trigonométriques, il y a de ces règles. Puisque la fonction sin x tend toujours à l'unité quand elle approche de zéro, l'identité est la même:
lim sin x / x \u003d 1

Dans un nombre, il existe des fonctions dans le calcul des limites pour lesquelles il existe une incertitude - une situation dans laquelle la limite ne peut être calculée. Le seul moyen de sortir de cette situation est Lopitala. Il y a deux types d'incertitudes:
* incertitude de la forme 0/0
* incertitude de la forme / ∞
Par exemple, une limite de la forme suivante est donnée: lim f (x) / l (x), de plus, f (x0) \u003d l (x0) \u003d 0. Dans ce cas, une incertitude de la forme 0/0 apparaît. Pour résoudre ce problème, les deux fonctions sont soumises à une différenciation, après quoi elles trouvent la limite du résultat. Pour les incertitudes de la forme 0/0, la limite est:
  lim f (x) / l (x) \u003d lim f "(x) / l" (x) (comme x → 0)
La même règle est valable pour les incertitudes de type ∞ / ∞. Mais dans ce cas, l'égalité suivante est vérifiée: f (x) \u003d l (x) \u003d ∞
En utilisant la règle de L'Hospital, on peut trouver les valeurs de toutes limites dans lesquelles les incertitudes apparaissent. Condition obligatoire pour

volume - l'absence d'erreurs dans la recherche de dérivés. Ainsi, par exemple, la dérivée de la fonction (x ^ 2) "est 2x. On peut en déduire que:
f "(x) \u003d nx ^ (n-1)