Calculateur en ligne. La solution de progression arithmétique. Étant donné: a n, d, n Trouver: un 1
Ce programme mathématique trouve la progression arithmétique \\ (a_1 \\) en fonction des nombres spécifiés par l'utilisateur \\ (a_n, d \\) et \\ (n \\). Les nombres \\ (a_n \\) et \\ (d \\) peuvent être spécifiés non seulement comme des entiers, mais aussi comme des fractions. De plus, un nombre fractionnaire peut être entré sous la forme d'une fraction décimale (\\ (2,5 \\)) et sous la forme d'une fraction ordinaire (\\ (- 5 \\ frac (2) (7) \\)).
Le programme non seulement donne la réponse au problème, mais affiche également le processus de recherche d'une solution.
Cette calculatrice en ligne peut être utile aux lycéens pour la préparation des tests et des examens, lors du test des connaissances avant l’examen, afin que les parents puissent contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d’algèbre. Ou peut-être est-ce trop cher pour vous de faire appel à un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels? Ou voulez-vous simplement faire vos devoirs en maths ou en algèbre le plus rapidement possible? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec une solution détaillée.
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Si vous ne connaissez pas bien les règles de saisie des chiffres, nous vous recommandons de vous familiariser avec ces règles.
Règles pour entrer des nombres
Les nombres \\ (a_n \\) et \\ (d \\) peuvent être spécifiés non seulement des entiers, mais également des fractions. Le nombre \\ (n \\) ne peut être qu'un entier positif.
Règles pour entrer des fractions décimales. Les parties entières et fractionnaires des fractions décimales peuvent être séparées par un point ou une virgule. Par exemple, vous pouvez entrer des fractions décimales telles que 2,5 ou 2,5.
Règles pour entrer des fractions ordinaires. En tant que numérateur, le dénominateur et la partie entière de la fraction ne peuvent être qu'un entier.
Le dénominateur ne peut pas être négatif.
Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par une marque de division: /
Entrée: Résultat: \\ (- \\ frac (2) (3) \\)
La partie entière est séparée de la fraction par le signe «et commercial»: &
Entrée: Résultat: \\ (- 1 \\ frac (2) (3) \\)
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Séquence numérique
Dans la pratique quotidienne, la numérotation d'objets divers est souvent utilisée pour indiquer l'ordre de leur disposition. Par exemple, les maisons de chaque rue sont numérotées. La bibliothèque numérote l'abonnement, puis les range dans l'ordre des numéros attribués dans des classeurs spéciaux.
Dans une caisse d'épargne, par le numéro de compte personnel du déposant, vous pouvez facilement trouver ce compte et voir quelle contribution il a. Supposons que le numéro de compte 1 correspond à la contribution de 1 roubles, le numéro de compte 2 à la contribution de 2 roubles, etc. séquence numérique un 1, un 2, un 3, ..., un N où N est le nombre de tous les comptes. Ici, chaque nombre naturel n de 1 à N est associé au nombre a n.
Les mathématiques sont également à l'étude séquences numériques infinies: un 1, un 2, un 3, ..., un n, .... Le nombre un 1 s'appelle premier membre de la séquence, le nombre a 2 - deuxième membre de la séquence, le nombre a 3 - troisième membre de la séquence etc. Le nombre a n s'appelle nième terme de la séquence, et le nombre naturel n est son nombre.
Par exemple, dans une suite de carrés de nombres naturels 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... et 1 \u003d 1 est le premier membre de la séquence; et n \u003d n 2 est le nième membre de la séquence; a n + 1 \u003d (n + 1) 2 est le membre (n + 1) -th (en plus premier) de la séquence. Souvent, une séquence peut être définie par la formule de son nième terme. Par exemple, la formule \\ (a_n \u003d \\ frac (1) (n), \\; n \\ in \\ mathbb (N) \\) donne la séquence \\ (1, \\; \\ frac (1) (2), \\; \\ frac ( 1) (3), \\; \\ frac (1) (4), \\ dots, \\ frac (1) (n), \\ dots \\)
Progression arithmétique
La durée de l'année est d'environ 365 jours. Une valeur plus précise est \\ (365 \\ frac (1) (4) \\) jours. Ainsi, tous les quatre ans, une erreur d’un jour est accumulée.
Pour tenir compte de cette erreur, un jour est ajouté à tous les quatre ans et une année prolongée est appelée année bissextile.
Par exemple, au troisième millénaire, les années bissextiles sont les années 2004, 2008, 2012, 2016, ....
Dans cette séquence, chacun de ses membres, à partir du deuxième, est égal au précédent, plié avec le même nombre 4. Ces séquences sont appelées progressions arithmétiques.
La définition La séquence numérique a 1, a 2, a 3, ..., a n, ... est appelée progression arithmétiquesi pour tous les entiers positifs n l'égalité \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\) où d est un certain nombre.
De cette formule il résulte que a n + 1 - a n \u003d d. Le nombre d s'appelle la différence progression arithmétique.
Par définition de la progression arithmétique, on a: \\ (a_ (n + 1) \u003d a_n + d, \\ quad a_ (n-1) \u003d a_n-d, \\) d'où \\ (a_n \u003d \\ frac (a_ (n-1) + a_ (n + 1)) (2) \\), où \\ (n\u003e 1 \\)
Ainsi, chaque membre de la progression arithmétique, à partir de la seconde, est égal à la moyenne arithmétique de deux membres adjacents. Ceci explique le nom de "arithmétique" progression.
Notez que si a 1 et d sont donnés, alors les termes restants de la progression arithmétique peuvent être calculés en utilisant la formule de récurrence a n + 1 \u003d a n + d. De cette façon, il n’est pas difficile de calculer les premiers termes de la progression. Cependant, par exemple, un 100 nécessite déjà beaucoup de calculs. Habituellement, la formule du nième terme est utilisée pour cela. Par définition de progression arithmétique \\ (a_2 \u003d a_1 + d, \\) \\ (a_3 \u003d a_2 + d \u003d a_1 + 2d, \\) \\ (a_4 \u003d a_3 + d \u003d a_1 + 3d \\) etc. Généralement \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d, \\) puisque le nième terme de la progression arithmétique est obtenu à partir du premier terme en ajoutant (n-1) fois le nombre d. Cette formule s'appelle la formule du nième terme de progression arithmétique.
La somme des n premiers membres de la progression arithmétique
Trouve la somme de tous les nombres naturels de 1 à 100. Nous écrivons ce montant de deux manières: S \u003d l + 2 + 3 + ... + 99 + 100, S \u003d 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1. Résumons ces égalités: 2S \u003d 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101. Il y a 100 termes dans cette somme Donc, 2S \u003d 101 * 100, d'où S \u003d 101 * 50 \u003d 5050.
Considérons maintenant une progression arithmétique arbitraire un 1, un 2, un 3, ..., un n, ... Soit S n la somme des n premiers membres de cette progression: S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n Alors la somme de n premiers membres de la progression arithmétique est égale à \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (a_1 + a_n) (2) \\)
Puisque \\ (a_n \u003d a_1 + (n-1) d \\), en remplaçant un n dans cette formule, nous obtenons une autre formule pour trouver sommes de n premiers membres de la progression arithmétique: \\ (S_n \u003d n \\ cdot \\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \\)
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Quelqu'un se méfie du mot "progression", terme très complexe tiré des sections de mathématiques supérieures. Pendant ce temps, la progression arithmétique la plus simple est le travail d’un taximètre (où ils sont restés). Et pour comprendre l'essence (et en mathématiques, rien n'est plus important que de "comprendre l'essence") d'une séquence arithmétique n'est pas si difficile, après avoir sélectionné quelques concepts élémentaires.
Séquence mathématique numérique
Par une séquence numérique, il est habituel de nommer toute série de nombres, chacun d'eux ayant son propre numéro.
et 1 est le premier membre de la séquence;
et 2 est le deuxième membre de la séquence;
et 7 est le septième membre de la séquence;
et n est le nième membre de la séquence;
Cependant, tous les nombres et nombres arbitraires ne nous intéressent pas. Nous nous concentrons sur une séquence numérique dans laquelle la valeur du nième terme est liée à son numéro de série par une dépendance qui peut être clairement formulée mathématiquement. En d'autres termes: la valeur numérique du nième nombre est une fonction de n.
a est la valeur d'un membre d'une séquence numérique;
n est son numéro de série;
f (n) est une fonction où le numéro de séquence dans la suite de nombres n est un argument.
La définition
La progression arithmétique est généralement appelée séquence numérique dans laquelle chaque terme suivant est plus grand (moins) que le précédent du même nombre. La formule du nième membre d'une séquence arithmétique est la suivante:
a n est la valeur du membre actuel de la progression arithmétique;
a n + 1 est la formule du nombre suivant;
d est la différence (un certain nombre).
Il est facile de déterminer que si la différence est positive (d\u003e 0), chaque membre suivant de la série en question sera plus grand que le précédent et une telle progression arithmétique augmentera.
Dans le graphique ci-dessous, il est facile de comprendre pourquoi la séquence numérique est appelée "croissante".
Dans les cas où la différence est négative (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
La valeur du membre spécifié
Parfois, il est nécessaire de déterminer la valeur d’un terme arbitraire et d’une progression arithmétique. Vous pouvez le faire en calculant successivement les valeurs de tous les membres de la progression arithmétique, du premier au désiré. Cependant, une telle voie n'est pas toujours acceptable si, par exemple, il est nécessaire de trouver la valeur d'un cinq millième ou huit millionième membre. Le calcul traditionnel prendra beaucoup de temps. Cependant, une progression arithmétique particulière peut être étudiée à l'aide de certaines formules. Il existe également une formule pour le nième membre: la valeur de tout membre d’une progression arithmétique peut être définie comme la somme du premier membre de la progression avec la différence de la progression multipliée par le nombre du membre souhaité, réduit de un.
La formule est universelle pour la progression croissante et décroissante.
Exemple de calcul de la valeur d'un membre donné
Nous résolvons le problème suivant de trouver la valeur du nième terme d’une progression arithmétique.
Condition: il y a une progression arithmétique avec des paramètres:
Le premier membre de la séquence est 3;
La différence dans la série de chiffres est de 1,2.
Affectation: Il est nécessaire de trouver la valeur de 214 membres
Solution: pour déterminer la valeur d'un membre donné, nous utilisons la formule:
a (n) \u003d a1 + d (n-1)
En substituant les données des conditions du problème à l'expression, nous avons:
a (214) \u003d a1 + d (n-1)
a (214) \u003d 3 + 1,2 (214-1) \u003d 258,6
Réponse: Le 214ème membre de la séquence est 258.6.
Les avantages de cette méthode de calcul sont évidents: la solution complète ne prend pas plus de 2 lignes.
La somme du nombre spécifié de membres
Très souvent, dans une série arithmétique donnée, il est nécessaire de déterminer la somme des valeurs de certains de ses segments. Pour cela, il n’est pas non plus nécessaire de calculer les valeurs de chaque membre puis d’additionner. Cette méthode est applicable si le nombre de membres dont la somme doit être trouvée est faible. Dans d'autres cas, il est plus pratique d'utiliser la formule suivante.
La somme des membres de la progression arithmétique de 1 à n est égale à la somme des premier et nième membres, multipliée par le nombre du membre n et divisée en deux. Si dans la formule la valeur du nième terme est remplacée par l'expression du paragraphe précédent de l'article, on obtient:
Exemple de calcul
Par exemple, nous résolvons le problème avec les conditions suivantes:
Le premier membre de la séquence est zéro;
La différence est de 0,5.
Dans le problème, il est nécessaire de déterminer la somme des membres de la série du 56ème au 101ème.
Solution Nous utilisons la formule pour déterminer le montant de la progression:
s (n) \u003d (2 \u003ca1 + d \u003c(n-1)) \u003cn / 2
Premièrement, nous déterminons la somme des valeurs de 101 termes de la progression, en substituant dans la formule les données pour leurs conditions de notre problème:
Ainsi, la somme de la progression arithmétique pour cet exemple:
s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1,782,5
Un exemple d'application pratique de la progression arithmétique
À la fin de l'article, nous revenons à l'exemple de la séquence arithmétique donnée dans le premier paragraphe - un taximètre (guichet de voiture de taxi). Considérez cet exemple.
Atterrir dans un taxi (qui comprend 3 km de parcours) coûte 50 roubles. Chaque kilomètre suivant est payé au taux de 22 roubles / km. La distance parcourue est de 30 km. Calculez le coût du voyage.
1. Nous écarterons les 3 premiers km dont le prix est compris dans le coût d'atterrissage.
30 - 3 27 km.
2. Un calcul supplémentaire n’est rien de plus qu’une analyse de la série de nombres arithmétiques.
Numéro de membre - le nombre de kilomètres (moins les trois premiers).
La valeur de membre est le montant.
Le premier terme de ce problème sera égal à 1 \u003d 50 p.
La différence de progression d \u003d 22 p.
le nombre qui nous intéresse est la valeur du (27 + 1)-ème terme de la progression arithmétique - le relevé du compteur à la fin du 27e kilomètre est de 27 999 ... \u003d 28 km.
a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644
Les calculs de données de calendrier pour une période arbitrairement longue sont basés sur des formules décrivant des séquences numériques particulières. En astronomie, la longueur de l'orbite dépend géométriquement de la distance du corps céleste au soleil. En outre, diverses séries numériques sont appliquées avec succès en statistique et dans d'autres branches des mathématiques appliquées.
Un autre type de séquence de nombres est géométrique
La progression géométrique est caractérisée par des taux de changement importants, comparés aux calculs arithmétiques. Ce n’est pas un hasard si en politique, en sociologie et en médecine, on dit souvent qu’un processus se développe de façon exponentielle afin de montrer le taux élevé de propagation d’un phénomène, par exemple une maladie dans une épidémie.
Le nième terme d'une série de nombres géométriques diffère du précédent en ce qu'il est multiplié par un nombre constant - le dénominateur, par exemple, le premier terme est 1, le dénominateur est 2, respectivement:
n \u003d 1: 1 2 \u003d 2
n \u003d 2: 2 2 \u003d 4
n \u003d 3: 4 2 \u003d 8
n \u003d 4: 8 2 \u003d 16
n \u003d 5: 16 2 \u003d 32,
b n est la valeur du terme courant de la progression géométrique;
b n + 1 est la formule pour le prochain terme d'une progression géométrique;
q est le dénominateur de la progression géométrique (nombre constant).
Si le graphique de progression arithmétique est une ligne droite, le graphique géométrique dessine une image légèrement différente:
Comme dans le cas de l'arithmétique, la progression géométrique a pour formule la valeur d'un terme arbitraire. Tout nième terme d'une progression géométrique est égal au produit du premier terme par le dénominateur de la progression au degré n réduit de un:
Un exemple Nous avons une progression géométrique avec le premier terme égal à 3 et le dénominateur de la progression égal à 1,5. Trouvez le 5ème membre de la progression
b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 1,5 4 \u003d 15,1875
La somme d'un nombre donné de membres est également calculée à l'aide d'une formule spéciale. La somme des n premiers termes de la progression géométrique est égale à la différence du produit du nième terme de la progression par son dénominateur et du premier terme de la progression divisé par le dénominateur réduit de un:
Si b n est remplacé à l'aide de la formule considérée ci-dessus, la valeur de la somme n des premiers membres de la série de nombres considérée prend la forme:
Un exemple La progression géométrique commence avec le premier terme égal à 1. Le dénominateur est défini sur 3. Trouvez la somme des huit premiers termes.
s8 \u003d 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) \u003d 3 280
Le concept de séquence numérique implique la correspondance avec chaque nombre naturel d’une certaine valeur réelle. Une telle série de nombres peut être arbitraire ou avoir certaines propriétés - une progression. Dans ce dernier cas, chaque élément suivant (membre) de la séquence peut être calculé à l'aide du précédent.
La progression arithmétique est une séquence de valeurs numériques dans laquelle ses membres voisins diffèrent du même nombre (tous les éléments de la série, à partir du 2e, ont une propriété similaire). Ce nombre - la différence entre le membre précédent et le membre suivant - est constamment appelé différence de progression.
Différence de progression: définition
Considérons une suite composée de j valeurs A \u003d a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j appartient à l'ensemble des nombres naturels N. La progression arithmétique, selon sa définition, est une suite , dans laquelle a (3) - a (2) \u003d a (4) - a (3) \u003d a (5) - a (4) \u003d ... \u003d a (j) - a (j-1) \u003d d. La valeur de d est la différence souhaitée de cette progression.
d \u003d a (j) - a (j-1).
Allouer:
Progression croissante, dans ce cas d\u003e 0. Exemple: 4, 8, 12, 16, 20, ...
Diminution de la progression puis d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
La différence de progression et ses éléments arbitraires
Si 2 termes arbitraires de la progression sont connus (i-ième, k-ième), vous pouvez définir la différence pour cette séquence en fonction de la relation:
a (i) \u003d a (k) + (i - k) * d, donc d \u003d (a (i) - a (k)) / (i-k).
La différence de progression et son premier terme
Cette expression aidera à déterminer la valeur inconnue uniquement dans les cas où le numéro d'élément de séquence est connu.
La différence de progression et sa somme
La somme d'une progression est la somme de ses membres. Pour calculer la valeur totale de ses j premiers éléments, utilisez la formule appropriée:
S (j) \u003d ((a (1) + a (j)) / 2) * j, mais depuis a (j) \u003d a (1) + d (j - 1), alors S (j) \u003d ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * j \u003d (( 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.
Lors de l’étude de l’algèbre dans une école polyvalente (9e année), l’un des sujets importants est l’étude des séquences numériques, qui incluent les progressions - géométriques et arithmétiques. Dans cet article, nous examinerons la progression arithmétique et des exemples de solutions.
Quelle est la progression arithmétique?
Pour comprendre cela, il est nécessaire de définir la progression considérée ainsi que les formules de base qui seront utilisées ultérieurement pour résoudre les problèmes.
On sait que dans certaines progressions algébriques, le premier terme est 6 et le septième terme est 18. Il est nécessaire de trouver la différence et de restaurer cette séquence à 7 membres.
Nous utilisons la formule pour déterminer le terme inconnu: a n \u003d (n - 1) * d + a 1. Nous y substituons les données connues de la condition, c'est-à-dire les nombres a 1 et 7, nous avons: 18 \u003d 6 + 6 * d. A partir de cette expression, on peut facilement calculer la différence: d \u003d (18 - 6) / 6 \u003d 2. La première partie du problème a donc été résolue.
Pour rétablir la séquence à 7 termes, il convient d'utiliser la définition de progression algébrique, à savoir a 2 \u003d a 1 + d, a 3 \u003d a 2 + d, etc. En conséquence, nous restaurons la séquence entière: a 1 \u003d 6, a 2 \u003d 6 + 2 \u003d 8, a 3 \u003d 8 + 2 \u003d 10, a 4 \u003d 10 + 2 \u003d 12, a 5 \u003d 12 + 2 \u003d 14, a 6 \u003d 14 + 2 \u003d 16, a 7 \u003d 18.
Exemple n ° 3: faire une progression
Nous compliquons encore plus le problème. Maintenant, il est nécessaire de répondre à la question de savoir comment trouver la progression arithmétique. Vous pouvez donner l'exemple suivant: deux nombres sont donnés, par exemple 4 et 5. Il est nécessaire de composer une progression algébrique de manière à ce que trois termes supplémentaires soient placés entre ceux-ci.
Avant de commencer à résoudre ce problème, vous devez comprendre quelle place sera attribuée aux nombres dans une progression future. Puisqu'il y aura trois termes supplémentaires entre eux, alors un 1 \u003d -4 et un 5 \u003d 5. Ceci établi, nous passons au problème, qui est similaire au précédent. Encore une fois, pour le nième terme, on utilise la formule suivante: on obtient: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Où: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Ils n'ont pas obtenu la valeur entière de la différence, mais comme il s'agit d'un nombre rationnel, les formules de progression algébrique restent les mêmes.
Maintenant, nous ajoutons la différence trouvée à un 1 et restaurons les termes manquants de la progression. On obtient: un 1 \u003d - 4, un 2 \u003d - 4 + 2,25 \u003d - 1,75, un 3 \u003d -1,75 + 2,25 \u003d 0,5, un 4 \u003d 0,5 + 2,25 \u003d 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, ce qui coïncide avec l’état du problème.
Exemple n ° 4: le premier membre de la progression
Nous continuons à donner des exemples de progression arithmétique avec une solution. Dans tous les problèmes précédents, le premier nombre de progression algébrique était connu. Considérons maintenant une tâche de type différent: donnons deux nombres, où 15 \u003d 50 et 43 \u003d 37. Il est nécessaire de trouver le numéro par lequel cette séquence commence.
Les formules utilisées jusqu'à présent nécessitent la connaissance d'un 1 et d'un d. À la condition du problème de ces nombres, rien n'est connu. Néanmoins, nous écrivons les expressions pour chaque membre pour lesquelles des informations sont disponibles: a 15 \u003d a 1 + 14 * d et a 43 \u003d a 1 + 42 * d. Nous avons obtenu deux équations dans lesquelles 2 quantités inconnues (a 1 et d). Cela signifie que le problème est réduit à la résolution d'un système d'équations linéaires.
Le système indiqué est le plus facile à résoudre en exprimant un 1 dans chaque équation, puis en comparant les expressions résultantes. La première équation: a 1 \u003d a 15 - 14 * d \u003d 50 - 14 * d; la deuxième équation: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. En comparant ces expressions, nous obtenons: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, d'où la différence d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (seulement 3 décimales sont données après le signe décimal).
Connaissant d, vous pouvez utiliser l’une des 2 expressions ci-dessus pour un 1. Par exemple, le premier: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.
Si vous avez des doutes sur le résultat, vous pouvez le vérifier, par exemple, déterminer le terme de la progression, qui est spécifié dans la condition. On obtient: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Une petite erreur est due au fait que les calculs ont été arrondis au millième.
Exemple n ° 5: montant
Considérons maintenant quelques exemples de solutions en termes de progression arithmétique.
Soit une progression numérique de la forme suivante: 1, 2, 3, 4, ...,. Comment calculer la somme de 100 de ces nombres?
Grâce au développement de la technologie informatique, ce problème peut être résolu, c'est-à-dire additionner séquentiellement tous les nombres que l'ordinateur fera dès qu'une personne appuiera sur la touche Entrée. Cependant, le problème peut être résolu dans l’esprit si vous veillez à ce que la série de nombres présentée soit une progression algébrique et que sa différence soit égale à 1. En utilisant la formule de la somme, nous obtenons: S n \u003d n * (a 1 + an) / 2 \u003d 100 * (1 + 100) / 2 \u003d 5050.
Il est intéressant de noter que ce problème s’appelle "gaussien", puisqu’au début du XVIIIe siècle, le célèbre Allemand, qui n’avait que 10 ans, était capable de le résoudre dans l’esprit en quelques secondes. Le garçon ne connaissait pas la formule de la somme d'une progression algébrique, mais il remarqua que si vous additionniez les nombres situés aux extrémités de la séquence par paires, vous obteniez toujours un résultat, à savoir 1 + 100 \u003d 2 + 99 \u003d 3 + 98 \u003d ..., et depuis. de ces sommes sera exactement 50 (100/2), alors pour obtenir la bonne réponse, il suffit de multiplier 50 par 101.
Exemple n ° 6: la somme des membres de n à m
Un autre exemple typique de la somme d’une progression arithmétique est le suivant: étant donné les nombres suivants: 3, 7, 11, 15, ..., vous devez trouver à quoi la somme de ses membres de 8 à 14 sera égale à.
Le problème est résolu de deux manières. Le premier consiste à rechercher des membres inconnus de 8 à 14 ans, puis leur sommation séquentielle. Comme il y a peu de termes, cette méthode ne prend pas de temps. Néanmoins, il est proposé de résoudre ce problème par la deuxième méthode, qui est plus universelle.
L'idée est d'obtenir une formule pour la somme d'une progression algébrique entre les termes m et n, où n\u003e m sont des entiers. Dans les deux cas, nous écrivons deux expressions pour la somme:
S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Comme n\u003e m, il est évident que la somme 2 inclut la première. La dernière conclusion signifie que si nous prenons la différence entre ces sommes et que nous y ajoutons le terme a m (dans le cas où nous prenons la différence, elle est soustraite de la somme S n), nous obtenons la réponse nécessaire au problème. Nous avons: S mn \u003d S n - S m + am \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am \u003d a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1 m / 2). Dans cette expression, il est nécessaire de remplacer les formules par n et a m. On obtient alors: S mn \u003d a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) \u003d a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
La formule résultante est quelque peu lourde, cependant, la somme S mn ne dépend que de n, m, a 1 et d. Dans notre cas, un 1 \u003d 3, d \u003d 4, n \u003d 14, m \u003d 8. En substituant ces nombres, nous obtenons: S mn \u003d 301.
Comme le montrent les solutions ci-dessus, toutes les tâches sont basées sur la connaissance de l'expression du nième terme et de la formule de la somme de l'ensemble des premiers termes. Avant de commencer à résoudre l'un de ces problèmes, il est recommandé de lire attentivement l'état, de bien comprendre ce que vous devez trouver, et de procéder ensuite à la solution.
Une autre astuce consiste à rechercher la simplicité, c'est-à-dire que si vous pouvez répondre à la question sans recourir à des calculs mathématiques complexes, vous devez le faire, car dans ce cas, la probabilité de commettre une erreur est moindre. Par exemple, dans l'exemple de progression arithmétique avec la solution n ° 6, on pourrait s'arrêter à la formule S mn \u003d n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am et diviser le problème général en sous-tâches séparées (dans ce cas, commencez par trouver les termes an et am).
En cas de doute sur le résultat, il est recommandé de le vérifier, comme cela a été fait dans certains des exemples donnés. Comment trouver la progression arithmétique, découverte. Si vous regardez, ce n’est pas si difficile.
Progression arithmétique appelé une suite de nombres (membres d'une progression)
Dans lequel chaque terme suivant diffère du précédent par le terme acier, également appelé différence de pas ou de progression.
Ainsi, fixant l’étape de progression et son premier terme, on peut en trouver un élément quelconque par la formule
Propriétés de la progression arithmétique
1) Chaque membre de la progression arithmétique, à partir du deuxième nombre, correspond à la moyenne arithmétique du membre précédent et du membre suivant de la progression
L'inverse est également vrai. Si la moyenne arithmétique des membres impairs (pairs) voisins de la progression est égale à celle du membre se trouvant entre eux, cette séquence de nombres est une progression arithmétique. Selon cette déclaration, il est très simple de vérifier n’importe quelle séquence.
De plus, par la propriété de progression arithmétique, la formule ci-dessus peut être généralisée à la suivante
C'est facile à voir si vous écrivez les termes à la droite du signe égal
Il est souvent utilisé dans la pratique pour simplifier les calculs dans les tâches.
2) La somme des n premiers membres de la progression arithmétique est calculée par la formule
Rappelez-vous bien la formule pour la somme de la progression arithmétique, elle est indispensable dans les calculs et est assez courante dans les situations simples de la vie.
3) Si vous devez trouver non pas le montant total, mais une partie de la séquence à partir de son kème membre, la formule de somme suivante vous sera utile.
4) Il est d’intérêt pratique de trouver la somme de n membres d’une progression arithmétique à partir du kième nombre. Pour ce faire, utilisez la formule
Ceci conclut le matériel théorique et procède à la solution des problèmes courants dans la pratique.
Exemple 1. Trouve le quarantième terme de la progression arithmétique 4; 7; ...
Solution:
Selon la condition, nous avons
Définir le pas de progression
Par la formule bien connue, nous trouvons le quarantième terme de la progression
Exemple 2 La progression arithmétique est donnée par ses troisième et septième membres. Trouvez le premier membre de la progression et la somme de dix.
Solution:
Nous écrivons les éléments de progression donnés selon les formules
Soustrayez le premier de la deuxième équation, on trouve donc l'étape de progression
Nous substituons la valeur trouvée dans l’une des équations pour trouver le premier terme de la progression arithmétique
Nous calculons la somme des dix premiers membres de la progression
Sans appliquer des calculs complexes, nous avons trouvé toutes les quantités recherchées.
Exemple 3. La progression arithmétique est donnée par le dénominateur et l'un de ses membres. Trouvez le premier membre de la progression, la somme de ses 50 membres à partir de 50 ans et la somme des 100 premiers.
Solution:
Nous écrivons la formule du centième élément de progression
et trouver le premier
Basé sur le premier nous trouvons la progression de 50 termes
Trouver la somme de la partie progression
et la somme des 100 premiers
Le montant de la progression est de 250.
Exemple 4
Trouvez le nombre de membres d'une progression arithmétique si:
a3-a1 \u003d 8, a2 + a4 \u003d 14, Sn \u003d 111.
Solution:
Nous écrivons les équations à travers le premier terme et l'étape de progression et les définissons
Remplacez les valeurs obtenues dans la formule de somme pour déterminer le nombre de membres dans le montant
Simplifier
et résoudre l'équation du second degré
Des deux valeurs trouvées, seulement 8 convient à la condition du problème. Ainsi, la somme des huit premiers membres de la progression est de 111.
Exemple 5
Résoudre l'équation
1 + 3 + 5 + ... + x \u003d 307.
Solution: Cette équation est la somme d'une progression arithmétique. Nous écrivons son premier terme et trouvons la différence de progression
