در این مقاله، ما به چنین عملی مانند ضرب کسری اعشاری نگاه خواهیم کرد. بیایید با فرمول بندی اصول کلی شروع کنیم، سپس نحوه ضرب یک کسر اعشاری را در دیگری نشان می دهیم و روش ضرب ستون را در نظر می گیریم. تمام تعاریف با مثال توضیح داده خواهد شد. سپس نحوه ضرب صحیح کسرهای اعشاری را در معمولی و همچنین با اعداد مخلوط و طبیعی (از جمله 100، 10 و غیره) تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

در چارچوب این مطالب، ما فقط به قوانین ضرب کسرهای مثبت خواهیم پرداخت. موارد با موارد منفی در مقالاتی در مورد ضرب اعداد گویا و واقعی به طور جداگانه بررسی می شود.

Yandex.RTB R-A-339285-1

فرمول بندی کنیم اصول کلی، که هنگام حل مسائل مربوط به ضرب کسرهای اعشاری باید رعایت شود.

بیایید برای شروع به یاد داشته باشیم که کسرهای اعشاری چیزی بیش از شکل خاصی از نوشتن کسرهای معمولی نیستند، بنابراین، روند ضرب آنها را می توان برای کسرهای معمولی به یکسان کاهش داد. این قانون هم برای کسرهای متناهی و هم برای کسرهای نامتناهی کار می کند: پس از تبدیل آنها به کسرهای معمولی، انجام ضرب با آنها طبق قوانینی که قبلاً آموختیم آسان است.

بیایید ببینیم چنین وظایفی چگونه حل می شوند.

مثال 1

حاصل ضرب 1، 5 و 0.75 را محاسبه کنید.

راه حل: ابتدا کسرهای اعشاری را با کسرهای معمولی جایگزین می کنیم. می دانیم که 0.75 برابر 75/100 و 1.5 برابر با 15 10 است. می توانیم کسر را لغو کنیم و کل قسمت را انتخاب کنیم. نتیجه دریافتی 125 1000 را به صورت 1، 125 می نویسیم.

پاسخ: 1 , 125 .

می توانیم از روش شمارش ستون مانند اعداد طبیعی استفاده کنیم.

مثال 2

یک کسر تناوبی 0، (3) را در 2، (36) دیگر ضرب کنید.

برای شروع، کسرهای اصلی را به کسرهای معمولی می آوریم. دریافت خواهیم کرد:

0 , (3) = 0 , 3 + 0 , 03 + 0 , 003 + 0 , 003 + . . . = 0 , 3 1 - 0 , 1 = 0 , 3 9 = 3 9 = 1 3 2 , (36) = 2 + 0 , 36 + 0 , 0036 + . . . = 2 + 0 , 36 1 - 0 , 01 = 2 + 36 99 = 2 + 4 11 = 2 4 11 = 26 11

بنابراین، 0، (3) 2، (36) = 1 3 26 11 = 26 33.

نتیجه کسر مشترکرا می توان با تقسیم صورت بر مخرج در یک ستون به اعشار تبدیل کرد:

پاسخ: 0، (3) 2، (36) = 0، (78).

اگر کسری غیر تناوبی نامتناهی در بیان مسئله داریم، باید آنها را از قبل گرد کنیم (اگر فراموش کردید چگونه این کار را انجام دهید به مقاله گرد کردن اعداد مراجعه کنید). پس از آن، می توانید عمل ضرب را با کسرهای اعشاری از قبل گرد شده انجام دهید. بیایید یک مثال بزنیم.

مثال 3

حاصل ضرب 5، 382 ... و 0، 2 را محاسبه کنید.

راه حل

ما یک کسری نامتناهی در مسئله خود داریم که ابتدا باید آن را به نزدیکترین صدم گرد کرد. معلوم می شود که 5، 382 ... ≈ 5، 38. فاکتور دوم دور کردن به صدم منطقی نیست. اکنون می توانید محصول مورد نظر را محاسبه کرده و پاسخ را یادداشت کنید: 5، 38 · 0، 2 = 538 100 · 2 10 = 1 076 1000 = 1، 076.

پاسخ: 5, 382 ... · 0.2 ≈ 1.076.

روش شمارش ستون نه تنها برای اعداد طبیعی قابل استفاده است. اگر کسرهای اعشاری داشته باشیم، می توانیم آنها را دقیقاً به همین صورت ضرب کنیم. بیایید این قانون را استخراج کنیم:

تعریف 1

ضرب کسرهای اعشاری با یک ستون در 2 مرحله انجام می شود:

1. ما ضرب را با یک ستون انجام می دهیم، بدون توجه به کاما.

2. در عدد نهایی یک نقطه اعشار قرار می دهیم و آن را به همان تعداد رقم در سمت راست از هم جدا می کنیم که هر دو فاکتور دارای رقم اعشار با هم باشند. اگر در نتیجه اعداد کافی برای این کار وجود نداشت، صفرها را به سمت چپ اضافه کنید.

بیایید به نمونه هایی از چنین محاسباتی در عمل نگاه کنیم.

مثال 4

اعداد اعشاری 63، 37 و 0، 12 را در یک ستون ضرب کنید.

راه حل

اولین قدم این است که اعداد را با نادیده گرفتن اعشار ضرب کنید.

حالا باید کاما را در جای مناسب قرار دهیم. چهار رقم را از سمت راست جدا می کند، زیرا مجموع ارقام اعشار در هر دو عامل 4 است. شما مجبور نیستید صفر را اضافه کنید، زیرا نشانه های کافی:

پاسخ: 3.37 0.12 = 7.5044.

مثال 5

محاسبه کنید که چقدر 3.2601 در 0.0254 ضرب می شود.

راه حل

ما بدون توجه به کاما حساب می کنیم. شماره زیر را دریافت می کنیم:

ما یک کاما قرار می دهیم که 8 رقم را از سمت راست جدا می کند، زیرا کسرهای اصلی با هم 8 رقم اعشار دارند. اما در نتیجه ما فقط هفت رقم وجود دارد و ما نمی توانیم بدون صفرهای اضافی انجام دهیم:

پاسخ: 3.601 0.0254 = 0. 08280654.

چگونه یک اعشار را در 0.001، 0.01، 01 و غیره ضرب کنیم؟

کسرهای اعشاری اغلب در چنین اعدادی ضرب می شوند، بنابراین مهم است که بتوانیم آن را سریع و دقیق انجام دهیم. بیایید یک قانون خاص را بنویسیم که در این ضرب استفاده خواهیم کرد:

تعریف 2

اگر اعداد اعشاری را در 0، 1، 0، 01 و غیره ضرب کنیم، در نهایت عددی مشابه کسر اصلی به دست می‌آوریم که کاما به سمت چپ حرکت می‌کند. مقدار مناسبنشانه ها اگر اعداد کافی برای انتقال وجود ندارد، باید صفرها را به سمت چپ اضافه کنید.

بنابراین، برای ضرب 45، 34 در 0، 1، باید کاما را در کسر اعشاری اصلی یک رقم جابجا کنید. در نهایت به 4534 رسیدیم.

مثال 6

9.4 را در 0.0001 ضرب کنید.

راه حل

ما باید کاما را چهار رقم اعشار با توجه به تعداد صفرهای فاکتور دوم جابجا کنیم، اما اعداد اول برای این کار کافی نیستند. صفرهای لازم را اختصاص می دهیم و 9.4 · 0,0001 = 0,00094 بدست می آوریم.

پاسخ: 0 , 00094 .

برای کسرهای اعشاری بی نهایت از همین قانون استفاده می کنیم. بنابراین، برای مثال، 0، (18) · 0، 01 = 0، 00 (18) یا 94، 938 ... · 0، 1 = 9، 4938…. و غیره.

روند چنین ضربی با عمل ضرب دو کسر اعشاری تفاوتی ندارد. در صورت وجود کسر اعشاری محدود در بیان مسئله، استفاده از روش ضرب ستونی راحت است. در این مورد، لازم است تمام قوانینی را که در پاراگراف قبلی در مورد آنها صحبت کردیم، در نظر گرفت.

مثال 7

15 2، 27 را محاسبه کنید.

راه حل

اعداد اصلی را با یک ستون ضرب کنید و دو رقم اعشار را از هم جدا کنید.

پاسخ: 15 2، 27 = 34، 05.

اگر ضرب یک کسر اعشاری تناوبی را در یک عدد طبیعی انجام دهیم، ابتدا باید کسر اعشاری را به یک عدد معمولی تبدیل کنیم.

مثال 8

حاصل ضرب 0 و (42) و 22 را محاسبه کنید.

اجازه دهید کسر تناوبی را به شکل یک کسر معمولی بیاوریم.

0 , (42) = 0 , 42 + 0 , 0042 + 0 , 000042 + . . . = 0 , 42 1 - 0 , 01 = 0 , 42 0 , 99 = 42 99 = 14 33

0, 42 22 = 14 33 22 = 14 22 3 = 28 3 = 9 1 3

نتیجه نهایی را می توان به صورت کسر اعشاری تناوبی به صورت 9، (3) نوشت.

پاسخ: 0، (42) 22 = 9، (3).

کسرهای نامتناهی باید قبل از شمارش گرد شوند.

مثال 9

محاسبه کنید چه مقدار می شود 4 · 2، 145….

راه حل

بیایید کسر اعشاری نامتناهی اصلی را به صدم گرد کنیم. پس از آن به ضرب یک عدد طبیعی و یک کسر اعشاری نهایی می رسیم:

4 · 2، 145 ... ≈ 4 · 2، 15 = 8، 60.

پاسخ: 4 · 2, 145 ... ≈ 8, 60.

چگونه یک اعشار را در 1000، 100، 10 و غیره ضرب کنیم؟

ضرب اعشاری در 10، 100 و غیره اغلب در مسائل مواجه می شود، بنابراین این مورد را جداگانه تحلیل می کنیم. قانون اساسی ضرب به شرح زیر است:

تعریف 3

برای ضرب کسری اعشاری در 1000، 100، 10 و غیره، باید کامای آن را با ضریب 3، 2، 1 حرکت دهید و صفرهای اضافی سمت چپ را دور بریزید. اگر ارقام کافی برای حمل کاما وجود ندارد، هر تعداد صفر که نیاز داریم به سمت راست اضافه کنید.

بیایید با یک مثال نشان دهیم که دقیقا چگونه این کار را انجام دهیم.

مثال 10

100 و 0.0783 را ضرب کنید.

راه حل

برای این کار باید نقطه اعشار را 2 رقمی به سمت راست منتقل کنیم. در نهایت به 007، 83 خواهیم رسید.

پاسخ: 0.0783 100 = 7.83.

مثال 11

0.02 را در 10 هزار ضرب کنید.

راه حل: کاما را چهار رقمی به سمت راست منتقل می کنیم. در کسر اعشاری اصلی، ارقام کافی برای این کار نداریم، بنابراین باید صفرها را اضافه کنیم. در این مورد، سه 0 کافی است. در نتیجه، 0، 02000 به دست آمد، کاما را حرکت دهید و 00200، 0 را دریافت کنید. با صرف نظر از صفرهای سمت چپ، می توانیم پاسخ را 200 بنویسیم.

پاسخ: 0.02 10000 = 200.

قاعده ای که ما داده ایم در مورد کسرهای اعشاری نامتناهی به همین صورت عمل می کند، اما در اینجا باید در مورد دوره کسر نهایی بسیار مراقب باشید، زیرا اشتباه کردن در آن آسان است.

مثال 12

حاصل ضرب 5، 32 (672) ضربدر 1000 را محاسبه کنید.

راه حل: اول از همه کسر تناوبی را 5 می نویسیم 32672672672 ... پس احتمال اشتباه کمتر می شود. پس از آن می توانیم کاما را به تعداد کاراکتر مورد نیاز (سه تا) انتقال دهیم. در نتیجه عدد 5326, 726726 را بدست می آوریم... بیایید دوره را در پرانتز قرار داده و پاسخ را به صورت 5 326, (726) بنویسیم.

پاسخ: 5، 32 (672) 1000 = 5 326، (726).

اگر در شرایط مسئله، کسرهای نامتناهی غیر تناوبی وجود دارد که باید در ده، صد، هزار و غیره ضرب شوند، فراموش نکنید که قبل از ضرب آنها را گرد کنید.

برای انجام این نوع ضرب، باید کسر اعشاری را در قالب یک کسر معمولی نشان دهید و سپس طبق قوانین از قبل آشنا پیش بروید.

مثال 13

0.4 را در 3 5 6 ضرب کنید

راه حل

ابتدا کسری اعشاری را به یک کسر معمولی تبدیل می کنیم. ما داریم: 0، 4 = 4 10 = 2 5.

ما یک پاسخ اعداد مختلط دریافت کردیم. می توانید آن را به صورت کسری تناوبی 1، 5 (3) بنویسید.

پاسخ: 1 , 5 (3) .

اگر یک کسر غیر تناوبی نامتناهی در محاسبه دخالت داشته باشد، باید آن را به یک رقم مشخص گرد کنید و تنها پس از آن ضرب کنید.

مثال 14

محصول 3، 5678 را محاسبه کنید. ... ... · 2 3

راه حل

ما می توانیم عامل دوم را به صورت 2 3 = 0، 6666 نشان دهیم. بعد، بیایید هر دو عامل را به رتبه هزارم گرد آوریم. پس از آن، باید حاصل ضرب دو کسر اعشاری نهایی 3، 568 و 0، 667 را محاسبه کنیم. بیایید در یک ستون بشماریم و جواب بگیریم:

نتیجه نهایی باید به هزارم گرد شود، زیرا تا این رقم بود که اعداد اصلی را گرد کردیم. ما 2.379856 ≈ 2.380 را دریافت می کنیم.

پاسخ: 3, 5678. ... ... 2 3 ≈ 2، 380

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

برای درک چگونگی ضرب کسرهای اعشاری، بیایید به مثال های خاص نگاه کنیم.

قانون ضرب اعشاری

1) با نادیده گرفتن کاما ضرب می کنیم.

2) در نتیجه به تعداد رقم بعد از کاما در هر دو فاکتور با هم جدا می کنیم.

مثال ها.

حاصل ضرب کسرهای اعشاری را پیدا کنید:

برای ضرب کسری اعشاری، بدون توجه به کاما، ضرب می کنیم. یعنی ما 6.8 و 3.4 را ضرب نمی کنیم، بلکه 68 و 34 را ضرب می کنیم. در نتیجه به همان تعداد رقم بعد از کاما، هر دو فاکتور را با هم جدا می کنیم. ضریب اول بعد از نقطه اعشار یک رقم دارد، دومی - همچنین یک رقم. در مجموع دو رقم را بعد از نقطه اعشار از هم جدا می کنیم و به این ترتیب به جواب نهایی رسیدیم: 6.8 ∙ 3.4 = 23.12.

اعداد اعشاری را بدون در نظر گرفتن کاما ضرب کنید. یعنی در واقع به جای ضرب 36.85 در 1.14، 3685 را در 14 ضرب می کنیم. به 51590 می رسیم. حالا در این نتیجه باید هر تعداد رقم را با کاما از هم جدا کنیم که در هر دو فاکتور با هم وجود دارد. اولین عدد بعد از نقطه اعشار دارای دو رقم است، عدد دوم - یک. در کل سه رقم را با کاما از هم جدا می کنیم. از آنجایی که در انتهای ورودی بعد از نقطه اعشار یک صفر وجود دارد، آن را در پاسخ نمی نویسیم: 36.85 ∙ 1.4 = 51.59.

برای ضرب این کسرهای اعشاری، اعداد را ضرب می کنیم، بدون توجه به کاما. یعنی اعداد طبیعی 2315 و 7 را ضرب می کنیم. به عدد 16205 می رسیم. در این عدد باید چهار رقم را بعد از نقطه اعشار جدا کنید - به تعداد هر دو عامل با هم (در هر کدام دو رقم). پاسخ نهایی: 23.15 ∙ 0.07 = 1.6205.

ضرب کسری اعشاری در یک عدد طبیعی به همین ترتیب انجام می شود. ما اعداد را ضرب می کنیم، بدون توجه به کاما، یعنی 75 را در 16 ضرب می کنیم. در نتیجه، پس از کاما، باید به تعداد هر دو عامل با هم - یک رقم باشد. بنابراین، 75 ∙ 1.6 = 120.0 = 120.

ضرب کسرهای اعشاری را با ضرب اعداد طبیعی شروع می کنیم، زیرا به کاما توجه نمی کنیم. پس از آن، به تعداد هر دو فاکتور با هم، بعد از نقطه اعشار، رقم را جدا می کنیم. در عدد اول بعد از نقطه اعشار، دو رقم وجود دارد، در عدد دوم - همچنین دو رقم. در مجموع، در نتیجه، باید چهار رقم بعد از نقطه اعشار وجود داشته باشد: 4.72 ∙ 5.04 = 23.7888.

با رفتن به مطالعه عمل بعدی با کسرهای اعشاری، اکنون به طور جامع در نظر خواهیم گرفت ضرب اعشاری... ابتدا، اجازه دهید اصول کلی ضرب کسرهای اعشاری را مورد بحث قرار دهیم. پس از آن، ما به ضرب کسری اعشاری در کسری اعشاری می رویم، نشان می دهیم که ضرب کسری اعشاری در یک ستون چگونه انجام می شود، راه حل های مثال ها را در نظر می گیریم. در مرحله بعد، ضرب کسرهای اعشاری را در اعداد طبیعی، به ویژه در 10، 100 و غیره تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. در پایان، اجازه دهید در مورد ضرب کسرهای اعشاری در کسری و اعداد مختلط صحبت کنیم.

بیایید بلافاصله بگوییم که در این مقاله فقط در مورد ضرب کسرهای اعشاری مثبت صحبت خواهیم کرد (اعداد مثبت و منفی را ببینید). بقیه موارد در مقالات ضرب اعداد گویا و ضرب اعداد حقیقی.

پیمایش صفحه.

اصول کلی ضرب کسرهای اعشاری

بیایید اصول کلی را که باید هنگام انجام ضرب با کسرهای اعشاری رعایت شود، مورد بحث قرار دهیم.

از آنجایی که کسرهای اعشاری متناهی و کسرهای تناوبی نامتناهی شکل اعشاری نوشتن کسرهای مشترک هستند، ضرب این کسرهای اعشاری اساساً ضرب کسرهای مشترک است. به عبارت دیگر، ضرب اعشاری انتهایی, ضرب کسرهای اعشاری نهایی و تناوبی، و ضرب کسرهای اعشاری تناوبیپس از تبدیل کسرهای اعشاری به کسرهای معمولی به ضرب کسرهای معمولی تقلیل می یابد.

بیایید مثال هایی از استفاده از اصل صدا شده ضرب کسری اعشاری را در نظر بگیریم.

مثال.

کسرهای اعشاری 1.5 و 0.75 را ضرب کنید.

راه حل.

کسرهای اعشاری را که باید ضرب شوند با کسرهای رایج مربوطه جایگزین کنید. از آنجایی که 1.5 = 15/10 و 0.75 = 75/100، پس. می توانید کسر را کاهش دهید، سپس کل قسمت را از کسر نامناسب انتخاب کنید، و راحت تر است که کسر معمولی حاصل 1 125/1000 را به شکل کسری اعشاری 1.125 بنویسید.

پاسخ:

1.5 0.75 = 1.125.

لازم به ذکر است که ضرب کسرهای اعشاری نهایی در یک ستون راحت است، ما در مورد این روش ضرب کسری اعشاری در آن صحبت خواهیم کرد.

بیایید به مثالی از ضرب کسرهای اعشاری دوره ای نگاه کنیم.

مثال.

حاصل ضرب کسرهای اعشاری تناوبی 0، (3) و 2، (36) را محاسبه کنید.

راه حل.

بیایید کسرهای اعشاری تناوبی را به کسرهای معمولی ترجمه کنیم:

سپس . می توانید کسر معمولی حاصل را به کسری اعشاری تبدیل کنید:

پاسخ:

0، (3) 2، (36) = 0، (78).

اگر در بین کسرهای اعشاری ضرب شده، کسرهای غیر تناوبی نامتناهی وجود داشته باشد، تمام کسرهای ضرب شده، از جمله کسرهای متناهی و تناوبی، باید به یک رقم معین گرد شوند (نگاه کنید به گرد کردن اعداد) و سپس کسرهای اعشاری نهایی بدست آمده پس از گرد کردن را ضرب کنید.

مثال.

ضرب اعشاری 5.382 ... و 0.2 را انجام دهید.

راه حل.

ابتدا یک کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی را گرد می کنیم، گرد کردن را می توان تا صدم انجام داد، ما 5.382 ... ≈5.38 داریم. نیازی به گرد کردن اعشار نهایی 0.2 تا صدم نیست. بدین ترتیب 5.382 ... · 0.2≈5.38 · 0.2. باقی مانده است که حاصل ضرب کسرهای اعشاری نهایی را محاسبه کنیم: 5.38 · 0.2 = 538/100 · 2/10 = 1076/1000 = 1.076.

پاسخ:

5.382 ... · 0.2≈1.076.

ضرب اعشاری ستونی

ضرب کسرهای اعشاری نهایی را می توان در یک ستون انجام داد، مشابه ضرب در ستونی از اعداد طبیعی.

فرمول بندی کنیم قانون ضرب اعشاری ستونی... برای ضرب کسرهای اعشاری با یک ستون، شما نیاز دارید:

• با نادیده گرفتن کاما، ضرب را طبق تمام قوانین ضرب با ستونی از اعداد طبیعی انجام دهید.
• در عدد به دست آمده، به تعداد رقم های اعشاری در هر دو فاکتور با هم، رقم سمت راست را با نقطه اعشار جدا کنید، و اگر ارقام کافی در محصول وجود نداشته باشد، در سمت چپ باید تعداد صفرهای لازم را اضافه کنید. .

بیایید مثال هایی از ضرب کسرهای اعشاری با یک ستون را در نظر بگیریم.

مثال.

کسرهای اعشاری 63.37 و 0.12 را ضرب کنید.

راه حل.

بیایید ضرب کسرهای اعشاری را در یک ستون انجام دهیم. ابتدا اعداد را ضرب می کنیم و کاما را نادیده می گیریم:

باقی مانده است که در محصول حاصل کاما قرار دهید. او باید 4 رقم را از سمت راست جدا کند، زیرا مجموع فاکتورها به چهار رقم اعشار می رسد (دو رقم در کسری 3.37 و دو رقم در کسری 0.12). اعداد به اندازه کافی وجود دارد، بنابراین نیازی به اضافه کردن صفر به سمت چپ نیست. بیایید ضبط را تمام کنیم:

در نتیجه ما 3.37 0.12 = 7.6044 داریم.

پاسخ:

3.37 * 0.12 = 7.6044.

مثال.

حاصل ضرب کسرهای اعشاری 3.2601 و 0.0254 را محاسبه کنید.

راه حل.

پس از ضرب با یک ستون بدون در نظر گرفتن کاما، تصویر زیر را دریافت می کنیم:

اکنون در محصول، باید 8 رقم سمت راست را با کاما جدا کنید، زیرا مجموع رقم های اعشار کسرهای ضرب شده هشت است. اما فقط 7 رقم در محصول وجود دارد، بنابراین، باید آنقدر صفر به سمت چپ اختصاص دهید تا بتوانید 8 رقم را با کاما از هم جدا کنید. در مورد ما، شما باید دو صفر را اختصاص دهید:

این کار ضرب کسرهای اعشاری را در یک ستون کامل می کند.

پاسخ:

3.2601 0.0254 = 0.08280654.

ضرب کسرهای اعشاری در 0.1، 0.01 و غیره

اغلب اوقات، شما باید کسرهای اعشاری را در 0.1، 0.01 و غیره ضرب کنید. بنابراین، توصیه می شود یک قانون برای ضرب کسر اعشاری در این اعداد، که از اصول ضرب کسری اعشاری در بالا مورد بحث قرار گرفت، تنظیم شود.

بنابراین، ضرب کسر اعشاری داده شده در 0.1، 0.01، 0.001 و غیرهکسری را می دهد که از اصل به دست می آید، اگر در ورودی آن کاما به ترتیب با 1، 2، 3 و غیره از ارقام به سمت چپ منتقل شود، در حالی که اگر ارقام کافی برای حمل کاما وجود نداشته باشد، پس شما باید تعداد مورد نیاز صفر را به سمت چپ اضافه کنید.

به عنوان مثال، برای ضرب کسری اعشاری 54.34 در 0.1، باید کاما را با 1 رقم در کسری 54.34 به سمت چپ منتقل کنید، و کسری 5.434، یعنی 54.34 · 0.1 = 5.434 به دست می آید. بیایید یک مثال دیگر بزنیم. عدد اعشاری 9.3 را در 0.0001 ضرب کنید. برای این کار باید 4 رقم کاما را در کسر اعشاری 9.3 به سمت چپ حرکت دهیم تا ضرب شود، اما کسری 9.3 دارای این تعداد رقم نیست. بنابراین، باید در کسری 9.3 در سمت چپ آنقدر صفر اختصاص دهیم تا بتوانیم به راحتی انتقال کاما را با 4 رقم انجام دهیم، 9.3 · 0.0001 = 0.00093 داریم.

توجه داشته باشید که قانون بیان شده برای ضرب کسر اعشاری در 0.1، 0.01، ... برای کسرهای اعشاری بی نهایت نیز معتبر است. به عنوان مثال، 0، (18) · 0.01 = 0.00 (18) یا 93.938 ... · 0.1 = 9.3938….

ضرب اعشاری در یک عدد طبیعی

در هسته آن ضرب اعشاری در اعداد طبیعیتفاوتی با ضرب اعشار در اعشار ندارد.

راحت تر است که کسر اعشاری نهایی را در یک عدد طبیعی در یک ستون ضرب کنید، در حالی که باید قوانین ضرب با یک ستون کسری اعشاری را که در یکی از پاراگراف های قبلی مورد بحث قرار گرفت، رعایت کنید.

مثال.

محاسبه حاصلضرب 15 · 2.27.

راه حل.

بیایید یک عدد طبیعی را در یک کسری اعشاری در یک ستون ضرب کنیم:

پاسخ:

15 2.27 = 34.05.

هنگام ضرب کسر اعشاری تناوبی در یک عدد طبیعی، کسر تناوبی را با کسری معمولی جایگزین کنید.

مثال.

اعداد اعشاری 0، (42) را در عدد طبیعی 22 ضرب کنید.

راه حل.

ابتدا کسر اعشاری تناوبی را به کسری معمولی تبدیل می کنیم:

حالا بیایید ضرب را انجام دهیم: این نتیجه به صورت اعشاری 9، (3) است.

پاسخ:

0، (42) 22 = 9، (3).

و هنگام ضرب کردن یک کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی در یک عدد طبیعی، ابتدا باید گرد کنید.

مثال.

انجام ضرب 4 · 2.145….

راه حل.

پس از گرد کردن کسر اعشاری نامتناهی اولیه به صدم، به ضرب یک عدد طبیعی و یک کسری اعشاری نهایی می‌رسیم. ما 4 · 2.145 ... ≈4 · 2.15 = 8.60 داریم.

پاسخ:

4 · 2.145 ... ≈ 8.60.

ضرب اعشاری در 10، 100، ...

اغلب اوقات شما باید کسرهای اعشاری را در 10، 100، ضرب کنید ... بنابراین، توصیه می شود در مورد این موارد با جزئیات صحبت کنید.

صدا خواهیم کرد قانون ضرب کسری اعشاری در 10، 100، 1000 و غیره.هنگام ضرب کسری اعشاری در 10، 100، ... در نماد آن، باید کاما را به ترتیب با اعداد 1، 2، 3، ... به سمت راست حرکت دهید و صفرهای اضافی سمت چپ را دور بریزید. اگر ارقام کافی در رکورد کسر ضرب شده برای حمل کاما وجود نداشته باشد، باید تعداد صفرهای مورد نیاز را به سمت راست اضافه کنید.

مثال.

عدد اعشاری 0.0783 را در 100 ضرب کنید.

راه حل.

کسری 0.0783 را دو رقمی به سمت راست در رکورد حرکت دهید و 007.83 به دست می آید. با انداختن دو صفر از سمت چپ، کسر اعشاری 7.38 را بدست می آوریم. بنابراین، 0.0783 100 = 7.83.

پاسخ:

0.0783 100 = 7.83.

مثال.

عدد اعشاری 0.02 را در 10000 ضرب کنید.

راه حل.

برای ضرب 0.02 در 10000، باید کاما را 4 رقم به سمت راست منتقل کنیم. بدیهی است که کسری 0.02 رقم کافی برای انتقال کاما به 4 رقم را ندارد، بنابراین چند صفر به سمت راست اضافه می کنیم تا بتوانیم یک انتقال کاما را حمل کنیم. در مثال ما کافی است سه صفر اضافه کنیم، 0.02000 داریم. پس از انتقال کاما، ورودی 00200.0 را دریافت می کنیم. با حذف صفرهای سمت چپ، عدد 200.0 را داریم که برابر با عدد طبیعی 200 است که حاصل ضرب کسر اعشاری 0.02 در 10000 است.

دانش آموزان در دوره راهنمایی و دبیرستان مبحث "کسری" را مطالعه می کردند. با این حال، این مفهوم بسیار گسترده تر از آن است که در فرآیند یادگیری ارائه شده است. امروزه با مفهوم کسری اغلب مواجه می‌شویم و همه نمی‌توانند محاسبات هر عبارتی را انجام دهند، مثلاً ضرب کسرها.

کسری چیست؟

به طور تاریخی اتفاق افتاد که اعداد کسری به دلیل نیاز به اندازه گیری ظاهر شدند. همانطور که تمرین نشان می دهد، اغلب نمونه هایی از تعیین طول یک قطعه، حجم یک مستطیل مستطیلی وجود دارد.

در ابتدا دانش آموزان با مفهوم سهم آشنا می شوند. به عنوان مثال، اگر یک هندوانه را به 8 قسمت تقسیم کنید، هر کدام یک هشتم هندوانه را بدست می آورند. این یک قسمت از هشت قسمت را کسر می نامند.

کسری معادل ½ هر مقدار را نصف می گویند. ⅓ - سوم؛ ¼ - یک چهارم. رکوردهای شکل 5/8، 4/5، 2/4 کسر معمولی نامیده می شوند. کسر مشترک به صورت و مخرج تقسیم می شود. بین آنها یک خط کسری یا خط کسری قرار دارد. اسلش را می توان به صورت افقی یا مایل رسم کرد. در این حالت نشان دهنده علامت تقسیم است.

مخرج نشان می دهد که مقدار شیء با چند سهم مساوی تقسیم می شود. و صورت شمار این است که چند سهم مساوی گرفته می شود. صورت در بالای خط کسری و مخرج زیر آن نوشته می شود.

نشان دادن کسرهای معمولی روی پرتو مختصات راحت‌تر است. اگر یک بخش واحد به 4 قسمت مساوی تقسیم شد، هر قسمت را مشخص کنید حرف لاتین، نتیجه یک کمک بصری عالی است. بنابراین، نقطه A کسری برابر با 1/4 کل بخش واحد را نشان می دهد و نقطه B 2/8 از این قطعه را نشان می دهد.

انواع کسری

کسرها می توانند اعداد معمولی، اعشاری و مختلط باشند. علاوه بر این، کسرها را می توان به صحیح و نادرست تقسیم کرد. این طبقه بندی بیشتر برای کسرهای معمولی مناسب است.

کسری صحیح به عنوان یک عدد با صورت درک می شود مخرج کمتر... بر این اساس کسری نامناسب عددی است که صورت آن بزرگتر از مخرج باشد. نوع دوم معمولاً به صورت یک عدد مختلط نوشته می شود. چنین عبارتی از یک عدد صحیح و یک قسمت کسری تشکیل شده است. به عنوان مثال، 1½. 1 - کل بخش، ½ - کسری. با این حال، اگر شما نیاز به انجام هرگونه دستکاری با عبارت (تقسیم یا ضرب کسرها، کاهش یا تبدیل آنها) دارید، عدد مخلوط به کسری نامناسب تبدیل می شود.

یک عبارت کسری صحیح همیشه کوچکتر از یک است و یک عبارت نادرست همیشه بزرگتر یا مساوی 1 است.

در مورد آن، این عبارت به معنای رکوردی است که در آن هر عددی نشان داده شده است که مخرج یک عبارت کسری آن را می توان از طریق یک با چندین صفر بیان کرد. اگر کسری صحیح باشد، کل قسمت در نماد اعشاری صفر خواهد بود.

برای نوشتن کسر اعشاری ابتدا باید کل قسمت را بنویسید و با کاما از قسمت کسری جدا کنید و سپس عبارت کسری را یادداشت کنید. باید به خاطر داشت که پس از کاما، شمارنده باید دارای همان تعداد کاراکترهای دیجیتالی باشد که در مخرج صفر وجود دارد.

مثال... کسر 7 21/1000 را به صورت اعشاری نشان دهید.

الگوریتم تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط و بالعکس

نوشتن کسری اشتباه در پاسخ مسئله نادرست است، بنابراین باید به عدد مختلط تبدیل شود:

• صورت را بر مخرج موجود تقسیم کنید.
• v مثال خاصضریب ناقص - کل؛
• و باقیمانده صورت جزء کسری است و مخرج بدون تغییر باقی می ماند.

مثال... تبدیل کسر نامناسب به عدد مختلط: 47/5.

راه حل... 47: 5. نصاب ناقص برابر 9، باقیمانده = 2. بنابراین، 47/5 = 9 2/5.

گاهی اوقات می خواهید یک عدد مختلط را به عنوان یک کسر نامناسب نشان دهید. سپس باید از الگوریتم زیر استفاده کنید:

• قسمت صحیح در مخرج عبارت کسری ضرب می شود.
• محصول حاصل به شمارنده اضافه می شود.
• نتیجه در صورتگر نوشته می شود، مخرج بدون تغییر باقی می ماند.

مثال... عدد مختلط را به عنوان کسر نامناسب ارائه دهید: 9 8/10.

راه حل... 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - شمارنده.

پاسخ: 98 / 10.

ضرب کسرهای معمولی

عملیات جبری مختلفی را می توان بر روی کسرهای معمولی انجام داد. برای ضرب دو عدد باید صورت را در صورت و مخرج را در مخرج ضرب کنید. علاوه بر این، ضرب کسری با مخرج های مختلف با محصول تفاوتی ندارد اعداد کسریبا مخرج های یکسان

این اتفاق می افتد که پس از یافتن نتیجه، باید کسری را لغو کنید. ضروری است که عبارت حاصل را تا حد امکان ساده کنید. البته نمی توان گفت کسر نادرست در پاسخ اشتباه است، اما به سختی می توان آن را پاسخ صحیح نامید.

مثال... حاصل ضرب دو کسر معمولی ½ و 20/18 را بیابید.

همانطور که از مثال می بینید، پس از یافتن کار، یک نماد کسری مخفف دریافت می کنید. هم صورت و هم مخرج در این حالت بر 4 تقسیم می شوند و جواب 5/9 است.

ضرب کسرهای اعشاری

حاصل ضرب کسرهای اعشاری با حاصل ضرب کسرهای معمولی در اصل خود کاملاً متفاوت است. بنابراین، ضرب کسرها به صورت زیر است:

• دو کسر اعشاری باید زیر یکدیگر نوشته شود تا سمت راست ترین ارقام یکی زیر دیگری باشد.
• شما باید اعداد نوشته شده را با وجود کاما ضرب کنید، یعنی طبیعی.
• تعداد ارقام بعد از کاما را در هر یک از اعداد بشمارید.
• در نتیجه ای که پس از ضرب به دست می آید، باید به تعداد کاراکترهای دیجیتالی از سمت راست که در مجموع هر دو فاکتور بعد از نقطه اعشار وجود دارد، بشمارید و یک علامت جداکننده قرار دهید.
• اگر تعداد کمتری در محصول وجود دارد، در مقابل آنها باید به تعداد صفر بنویسید تا این مقدار را پوشش دهد، یک کاما قرار دهید و کل قسمت را برابر با صفر اختصاص دهید.

مثال... حاصل ضرب دو کسر اعشاری 2.25 و 3.6 را محاسبه کنید.

راه حل.

ضرب کسرهای مختلط

برای محاسبه حاصلضرب دو کسرهای مخلوط، برای ضرب کسری باید از قانون استفاده کنید:

• تبدیل اعداد مختلط به کسرهای نامناسب.
• حاصل ضرب اعداد را بیابید.
• حاصل ضرب مخرج ها را بیابید.
• نتیجه حاصل را بنویسید؛
• بیان را تا حد امکان ساده کنید.

مثال... حاصل ضرب 4½ و 6 2/5 را بیابید.

ضرب یک عدد در کسری (کسری در یک عدد)

علاوه بر یافتن حاصل ضرب دو کسر، اعداد مختلط، وظایفی وجود دارد که باید آنها را در کسری ضرب کنید.

بنابراین، برای پیدا کردن حاصل ضرب کسری اعشاری و یک عدد طبیعی، شما نیاز دارید:

• عدد زیر کسر را طوری بنویسید که سمت راست ترین ارقام یکی بالای دیگری باشد.
• با وجود کاما یک اثر پیدا کنید.
• در نتیجه، قسمت صحیح را با استفاده از کاما از قسمت کسری جدا کنید و تعداد ارقام را از سمت راست که بعد از نقطه اعشار در کسری است بشمارید.

برای ضرب یک کسر معمولی در یک عدد، باید حاصل ضرب عدد و عامل طبیعی را پیدا کنید. اگر پاسخ شامل کسری لغو باشد، باید تبدیل شود.

مثال... حاصل ضرب 5/8 و 12 را حساب کنید.

راه حل. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

پاسخ: 7 1 / 2.

همانطور که از مثال قبلی می بینید، لازم بود نتیجه حاصل را کوتاه کرده و عبارت کسری نادرست را به عدد مختلط تبدیل کنید.

همچنین ضرب کسرها برای یافتن حاصل ضرب یک عدد به صورت مخلوط و یک عامل طبیعی نیز صدق می کند. برای ضرب این دو عدد، باید عدد صحیح ضریب مختلط را در یک عدد ضرب کنید، عدد را در همان مقدار ضرب کنید و مخرج را بدون تغییر رها کنید. در صورت لزوم، باید نتیجه حاصل را تا حد امکان ساده کنید.

مثال... محصول 9 5/6 و 9 را پیدا کنید.

راه حل... 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

پاسخ: 88 1 / 2.

ضرب در فاکتورهای 10، 100، 1000 یا 0.1. 0.01; 0.001

قاعده زیر از پاراگراف قبل ناشی می شود. برای ضرب کسری اعشاری در 10، 100، 1000، 10000 و غیره، باید کاما را به تعداد صفرهای ضریب بعد از یک، به سمت راست ببرید.

مثال 1... حاصل ضرب 0.065 و 1000 را پیدا کنید.

راه حل... 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

پاسخ: 65.

مثال 2... حاصل ضرب 3.9 و 1000 را پیدا کنید.

راه حل... 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

پاسخ: 3900.

اگر باید یک عدد طبیعی را در 0.1 ضرب کنید؛ 0.01; 0.001; 0.0001 و غیره، باید کاما را در محصول به دست آمده با تعداد صفر تا یک به سمت چپ حرکت دهید. در صورت لزوم، صفرهای کافی در مقابل عدد طبیعی نوشته می شود.

مثال 1... حاصل ضرب 56 و 0.01 را پیدا کنید.

راه حل... 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

پاسخ: 0,56.

مثال 2... حاصل ضرب 4 و 0.001 را پیدا کنید.

راه حل... 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

پاسخ: 0,004.

بنابراین، یافتن حاصل ضرب کسرهای مختلف نباید مشکلی ایجاد کند، جز شاید محاسبه نتیجه; در این مورد، شما به سادگی نمی توانید بدون ماشین حساب انجام دهید.

در درس آخر یاد گرفتیم که چگونه کسرهای اعشاری را جمع و تفریق کنیم (به درس "جمع و تفریق کسرهای اعشاری" مراجعه کنید). در همان زمان، ما متوجه شدیم که محاسبات در مقایسه با کسرهای معمول "دو سطح" چقدر ساده تر است.

متأسفانه این تأثیر با ضرب و تقسیم کسرهای اعشاری رخ نمی دهد. در برخی موارد، نماد اعشاری یک عدد حتی این عملیات را پیچیده می کند.

ابتدا اجازه دهید یک تعریف جدید را معرفی کنیم. ما اغلب با او ملاقات خواهیم کرد و نه تنها در این درس.

بخش مهم یک عدد همه چیز بین اولین و آخرین رقم غیر صفر است، از جمله انتهای آن. این استفقط در مورد اعداد، نقطه اعشار در نظر گرفته نمی شود.

ارقام موجود در قسمت قابل توجه عدد را ارقام معنی دار می نامند. آنها می توانند تکرار شوند و حتی برابر با صفر باشند.

به عنوان مثال، چند کسر اعشاری را در نظر بگیرید و قسمت های مهم مربوطه را بنویسید:

1. 91.25 → 9125 (ارقام مهم: 9؛ 1؛ 2؛ 5)؛
2. 0.008241 → 8241 (اعداد قابل توجه: 8؛ 2؛ 4؛ 1)؛
3. 15.0075 → 150075 (ارقام مهم: 1؛ 5؛ 0؛ 0؛ 7؛ 5)؛
4. 0.0304 → 304 (اعداد قابل توجه: 3؛ 0؛ 4)؛
5. 3000 → 3 (فقط یک رقم قابل توجه وجود دارد: 3).

لطفا توجه داشته باشید: صفرهای داخل قسمت قابل توجه عدد به جایی نمی رسد. زمانی که یاد گرفتیم کسرهای اعشاری را به کسرهای معمولی تبدیل کنیم، قبلاً با چیزی مشابه روبرو شده ایم (به درس "کسری اعشاری" مراجعه کنید).

این نکته به قدری مهم است و اشتباهات زیادی در اینجا انجام می شود که در آینده نزدیک تستی در این زمینه منتشر خواهم کرد. حتما تمرین کنید! و ما مسلح به مفهوم قسمت معنی دار، در واقع به موضوع درس پیش می رویم.

ضرب اعشاری

عملیات ضرب شامل سه مرحله متوالی است:

1. برای هر کسر، قسمت مهم را بنویسید. نتیجه دو عدد صحیح معمولی خواهد بود - بدون هیچ مخرج و اعشاری.
2. این اعداد را به هر روشی که مناسب است ضرب کنید. به طور مستقیم، اگر اعداد کوچک هستند، یا در ستون. بخش قابل توجهی از کسر مورد نظر را بدست می آوریم.
3. دریابید که نقطه اعشار در کسرهای اصلی کجا و با چند رقم جابجا شده است تا قسمت مهم مربوطه را بدست آورید. برای بخش قابل توجهی که در مرحله قبل به دست آمد، جابجایی معکوس انجام دهید.

اجازه دهید یک بار دیگر به شما یادآوری کنم که صفرهای اضلاع قسمت مهم هرگز شمارش نمی شوند. نادیده گرفتن این قانون منجر به خطا می شود.

1. 0.28 12.5;
2. 6.3 * 1.08;
3. 132.5 * 0.0034;
4. 0.0108 * 1600.5;
5. 5.25 10000.

ما با عبارت اول کار می کنیم: 0.28 12.5.

1. بیایید قسمت های مهم اعداد را از این عبارت بنویسیم: 28 و 125;
2. محصول آنها: 28 · 125 = 3500;
3. در عامل اول، نقطه اعشار با 2 رقم به سمت راست (0.28 → 28)، و در دوم - با 1 رقم دیگر منتقل می شود. در کل، یک تغییر به چپ با سه رقم مورد نیاز است: 3500 → 3.500 = 3.5.

حال به عبارت 6.3 · 1.08 می پردازیم.

1. بیایید قسمت های مهم را بنویسیم: 63 و 108;
2. محصول آنها: 63 · 108 = 6804;
3. باز هم دو جابجایی به راست: به ترتیب با 2 و 1 رقم. در مجموع - دوباره 3 رقم به راست، بنابراین تغییر معکوس 3 رقم به چپ خواهد بود: 6804 → 6.804. این بار هیچ صفری در پایان وجود ندارد.

به عبارت سوم رسیدیم: 132.5 · 0.0034.

1. بخشهای مهم: 1325 و 34;
2. محصول آنها: 1325 · 34 = 45,050;
3. در کسر اول، نقطه اعشار با 1 رقم به سمت راست می رود، و در دومی - با 4 کامل. مجموع: 5 به سمت راست. شیفت 5 به چپ: 45050 →، 45050 = 0.4505. صفر در انتها حذف شد و در جلو اضافه شد تا نقطه اعشار "لخت" باقی نماند.

عبارت زیر 0.0108 1600.5 است.

1. ما بخش های مهم را می نویسیم: 108 و 16 005.
2. ما آنها را ضرب می کنیم: 108 16 005 = 1 728 540.
3. ما اعداد را بعد از نقطه اعشار می شماریم: در عدد اول 4 وجود دارد، در عدد دوم - 1. در مجموع - دوباره 5. داریم: 1 728 540 → 17.28540 = 17.2854. در پایان، صفر "اضافی" حذف شد.

در نهایت، آخرین عبارت: 5.25 · 10000.

1. قسمت های مهم: 525 و 1;
2. ما آنها را ضرب می کنیم: 525 · 1 = 525;
3. کسر اول 2 رقم به راست و کسر دوم 4 رقم به چپ منتقل می شود (10000 → 1.0000 = 1). مجموع 4 - 2 = 2 رقم در سمت چپ. ما یک جابجایی معکوس با 2 رقم به سمت راست انجام می دهیم: 525، → 52500 (باید صفرها را اضافه کنیم).

به آخرین مثال توجه کنید: از آنجایی که نقطه اعشار در جهات مختلف حرکت می کند، جابجایی کل از طریق تفاوت است. این خیلی نکته مهم! این هم یک مثال دیگر:

اعداد 1.5 و 12500 را در نظر بگیرید. 12500 → 125 (تغییر 2 به چپ). ما 1 رقم را به سمت راست و سپس 2 را به سمت چپ "گام" می کنیم. در نتیجه 2 - 1 = 1 بیت به سمت چپ گام برداشتیم.

تقسیم کسرهای اعشاری

تقسیم شاید سخت ترین عملیات باشد. البته، در اینجا می توانید با قیاس با ضرب عمل کنید: قسمت های مهم را تقسیم کنید، و سپس نقطه اعشار را "حرکت دهید". اما در این مورد، ظرافت های بسیاری وجود دارد که صرفه جویی بالقوه را نفی می کند.

پس بیایید در نظر بگیریم الگوریتم جهانیکه کمی طولانی تر اما بسیار قابل اعتمادتر است:

1. همه کسرهای اعشاری را به کسرهای معمولی تبدیل کنید. با کمی تمرین، این مرحله شما را چند ثانیه زمان خواهد برد.
2. کسرهای به دست آمده را به روش کلاسیک تقسیم کنید. به عبارت دیگر، کسر اول را در ثانیه "معکوس" ضرب کنید (به درس "ضرب و تقسیم کسرهای عددی" مراجعه کنید).
3. در صورت امکان، نتیجه را دوباره به صورت اعشاری ارائه کنید. این مرحله نیز سریع است، زیرا اغلب مخرج قبلاً توان ده است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

اولین عبارت را می شماریم. ابتدا کسری obi را به اعشار تبدیل می کنیم:

بیایید همین کار را با عبارت دوم انجام دهیم. شماره کسر اول دوباره فاکتور می شود:

در مثال سوم و چهارم نکته مهمی وجود دارد: پس از خلاص شدن از شر نماد اعشاری، کسرهای قابل لغو ظاهر می شوند. با این حال، ما این کاهش را اجرا نخواهیم کرد.

مثال آخر جالب است زیرا صورت‌گر کسر دوم شامل یک عدد اول است. به سادگی چیزی برای فاکتور در اینجا وجود ندارد، بنابراین ما از قبل فکر می کنیم:

گاهی اوقات در نتیجه تقسیم یک عدد صحیح به دست می آید (در مورد آخرین مثال این من هستم). در این صورت مرحله سوم اصلا انجام نمی شود.

علاوه بر این، تقسیم اغلب کسرهای "زشت" تولید می کند که نمی توانند به اعشار تبدیل شوند. این نحوه تقسیم با ضرب متفاوت است، جایی که نتایج همیشه به صورت اعشاری نشان داده می شود. البته در این صورت باز هم مرحله آخر انجام نمی شود.

به مثال های 3 و 4 نیز توجه کنید. در آنها، ما عمدا کسرهای معمولی مشتق شده از اعشار را مخفف نمی کنیم. در غیر این صورت، مشکل معکوس را پیچیده می کند - پاسخ نهایی را دوباره به صورت اعشاری نشان می دهد.

به یاد داشته باشید: ویژگی اساسی یک کسری (مانند هر قانون دیگری در ریاضیات) به خودی خود به این معنی نیست که باید در همه جا و همیشه و در هر فرصتی اعمال شود.