155*. تعريف كردن اندازه زندگیقطعه مستقیم AB موقعیت عمومی(شکل 153، الف).

راه حل. همانطور که مشخص است، طرح یک پاره خط مستقیم در هر صفحه برابر است با خود قطعه (با در نظر گرفتن مقیاس نقاشی)، اگر موازی با این صفحه باشد.

(شکل 153، ب). از این نتیجه می شود که با تبدیل نقشه لازم است به موازی سازی این مربع قطعه رسید. V یا مربع H یا سیستم V، H را با صفحه دیگری عمود بر مربع تکمیل کنید. V یا به pl. H و در عین حال موازی با این بخش.

در شکل 153، c معرفی یک صفحه اضافی S، عمود بر مربع را نشان می دهد. H و موازی با یک قطعه معین AB.

طرح ریزی a s b s برابر با مقدار طبیعی قطعه AB است.

در شکل 153، d تکنیک دیگری را نشان می دهد: قطعه AB حول یک خط مستقیم که از نقطه B می گذرد و عمود بر مربع می چرخد. H، به یک موقعیت موازی

pl V. در این حالت، نقطه B در جای خود باقی می ماند و نقطه A یک موقعیت جدید A 1 می گیرد. افق در موقعیت جدیدی قرار دارد. طرح ریزی a 1 b || محور x برآمدگی a" 1 b" برابر با اندازه طبیعی قطعه AB است.

156. با توجه به هرم SABCD (شکل 154). اندازه واقعی لبه های هرم AS و CS را با استفاده از روش تغییر صفحات برآمدگی و یال های BS و DS را با استفاده از روش چرخش تعیین کنید و محور چرخش را عمود بر مربع بگیرید. اچ.

157*. فاصله نقطه A تا خط مستقیم BC را تعیین کنید (شکل 155، a).

راه حل. فاصله یک نقطه تا یک خط با یک پاره عمودی که از نقطه به خط کشیده شده است اندازه گیری می شود.

اگر خط مستقیم بر هر صفحه ای عمود باشد (شکل 155.6)، سپس فاصله نقطه تا خط مستقیم با فاصله بین طرح نقطه و نقطه پرتاب خط مستقیم در این صفحه اندازه گیری می شود. اگر یک خط مستقیم در سیستم V، H موقعیت کلی را اشغال کند، برای تعیین فاصله از یک نقطه تا یک خط مستقیم با تغییر صفحات پیش بینی، لازم است دو صفحه اضافی به سیستم V، H وارد شود.

ابتدا (شکل 155، ج) وارد مربع می شویم. S، موازی با قطعه BC (محور جدید S/H موازی با برآمدگی bc است)، و برآمدگی های b s c s و a s را بسازید. سپس (شکل 155، د) مربع دیگری را معرفی می کنیم. T، عمود بر خط مستقیم BC (محور جدید T/S عمود بر b s با s است). ما پیش بینی های یک خط مستقیم و یک نقطه را می سازیم - با t (b t) و a t. فاصله بین نقاط a t و c t (b t) برابر با فاصله l از نقطه A تا خط مستقیم BC است.

در شکل 155، d، همین کار با استفاده از روش چرخشی در شکل آن انجام می شود که به آن روش حرکت موازی می گویند. اول، خط مستقیم BC و نقطه A، با حفظ موقعیت نسبی خود بدون تغییر، به دور برخی (که در نقاشی نشان داده نشده است) خط مستقیم عمود بر مربع می چرخند. H، به طوری که خط مستقیم BC موازی مربع باشد. V. این معادل حرکت نقاط A، B، C در صفحات موازی با مربع است. ح- در عین حال افق. طرح ریزی یک سیستم داده شده (BC + A) در اندازه یا پیکربندی تغییر نمی کند، فقط موقعیت آن نسبت به محور x تغییر می کند. افق را قرار می دهیم. خط مستقیم BC را به موازات محور x (موقعیت b 1 c 1) ترسیم کنید و برآمدگی a 1 را تعیین کنید و c 1 1 1 = c-1 و a 1 1 1 = a-1 و a 1 1 را کنار بگذارید. 1 ⊥ c 1 1 1. با رسم خطوط مستقیم b"b" 1، a"a" 1، c"c" 1 به موازات محور x، جلو را روی آنها می یابیم. پیش بینی های b" 1، a" 1، c" 1. سپس، نقاط B 1، C 1 و A 1 را در صفحات موازی با ناحیه V (همچنین بدون تغییر موقعیت نسبی آنها) حرکت می دهیم تا B 2 C 2 ⊥ مربع H. در این حالت برجستگی جلوی خط مستقیم عمود بر آن خواهد بود محورهای x,b 2 c" 2 = b" 1 c" 1، و برای ساختن پروجکشن a" 2 باید b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1 بگیرید، 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" را بکشید. 2 و a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 را کنار بگذارید. اکنون با 1 با 2 و 1 a 2 || گذرانده اید x 1 برآمدگی های b 2 را از 2 و a 2 و فاصله مورد نظر l از نقطه A تا خط مستقیم BC بدست می آوریم. فاصله A تا BC را می توان با چرخاندن صفحه تعریف شده توسط نقطه A و خط مستقیم BC در اطراف افقی این صفحه به موقعیت T تعیین کرد || pl H (شکل 155، f).

در صفحه ای که با نقطه A و خط مستقیم BC تعریف شده است، یک خط افقی A-1 رسم کنید (شکل 155، g) و نقطه B را به دور آن بچرخانید تا مربع شود. R (مشخص شده در نقاشی کنار Rh)، عمود بر A-1؛ در نقطه O مرکز چرخش نقطه B وجود دارد. اکنون مقدار طبیعی شعاع چرخش VO را تعیین می کنیم (شکل 155، ج). در موقعیت مورد نیاز، یعنی زمانی که pl. T که با نقطه A و خط مستقیم BC تعیین می شود، تبدیل به || می شود pl H، نقطه B روی Rh در فاصله Ob 1 از نقطه O خواهد بود (ممکن است موقعیت دیگری در همان اثر Rh وجود داشته باشد، اما در طرف دیگر O). نقطه b 1 افق است. طرح نقطه B پس از انتقال آن به موقعیت B 1 در فضا، زمانی که صفحه تعریف شده توسط نقطه A و خط مستقیم BC موقعیت T را گرفته است.

با رسم (شکل 155، i) خط مستقیم b 1 1، افق را به دست می آوریم. طرح ریزی خط مستقیم قبل از میلاد، در حال حاضر واقع شده است || pl H در همان صفحه A است. در این موقعیت، فاصله a تا b 1 1 برابر با فاصله مورد نظر l است. صفحه P که عناصر داده شده در آن قرار دارند را می توان با مربع ترکیب کرد. H (شکل 155، j)، مربع چرخشی. R اطراف او افق است. پی گیری. با حرکت از تعیین صفحه توسط نقطه A و خط مستقیم BC به تعیین خطوط مستقیم BC و A-1 (شکل 155، l)، ردپایی از این خطوط مستقیم را پیدا می کنیم و ردپای P ϑ و Ph را از طریق آنها ترسیم می کنیم. ما در حال ساخت (شکل 155، m) با مربع هستیم. موقعیت H جلو. ردیابی - P ϑ0 .

از طریق نقطه a افق را ترسیم می کنیم. برآمدگی جلویی؛ فرونتال ترکیبی از نقطه 2 روی رد Ph موازی با Pϑ0 عبور می کند. نقطه A 0 - ترکیب با مربع. H موقعیت نقطه A است به همین ترتیب نقطه B را 0 می یابیم. خورشید مستقیم در ترکیب با مربع. موقعیت H از نقطه B 0 و نقطه m (ردپای افقی خط مستقیم) می گذرد.

فاصله نقطه A 0 تا خط مستقیم B 0 C 0 برابر با فاصله مورد نظر l است.

شما می توانید ساخت و ساز نشان داده شده را با یافتن تنها یک اثر Ph انجام دهید (شکل 155، n و o). کل ساختار شبیه یک چرخش حول یک افقی است (شکل 155، g، c، i را ببینید): رد Ph یکی از افقی های pl است. آر.

از روش های ارائه شده برای حل این مشکل، روش ترجیحی برای تبدیل نقشه، روش چرخش حول افقی یا جلو است.

158. هرم SABC داده شده است (شکل 156). تعیین فاصله:

الف) از بالای B پایه به سمت آن AC با استفاده از روش حرکت موازی.

ب) از بالای S هرم به اضلاع BC و AB پایه با چرخش در اطراف افقی.

ج) از S بالا به سمت AC پایه با تغییر سطوح برآمدگی.

159. یک منشور داده شده است (شکل 157). تعیین فاصله:

الف) بین دنده های AD و CF با تغییر سطوح برآمدگی؛

ب) بین دنده های BE و CF با چرخش در اطراف فرونتال.

ج) بین لبه های AD و BE با حرکت موازی.

160. اندازه واقعی چهار ضلعی ABCD (شکل 158) را با تراز کردن آن با مربع تعیین کنید. ن. فقط از ردپای افقی هواپیما استفاده کنید.

161*. فاصله بین خطوط مستقیم متقاطع AB و CD را تعیین کنید (شکل 159، a) و برجستگی های عمود مشترک بر آنها بسازید.

راه حل. فاصله بین خطوط متقاطع توسط یک قطعه (MN) عمود بر هر دو خط اندازه گیری می شود (شکل 159، b). بدیهی است که اگر یکی از خطوط مستقیم عمود بر هر مربع قرار گیرد. T، سپس

پاره MN عمود بر هر دو خط موازی مربع خواهد بود. طرح ریزی آن بر روی این هواپیما فاصله مورد نیاز را نشان می دهد. فرافکنی زاویه راست Menad MN n AB on pl. همچنین معلوم می شود که T یک زاویه قائمه بین m t n t و a t b t است، زیرا یکی از اضلاع زاویه راست AMN، یعنی MN است. به موازات مربع تی.

در شکل 159، c و d، فاصله مورد نیاز l با روش تغییر صفحات طرح ریزی تعیین می شود. ابتدا یک مربع اضافی را معرفی می کنیم. برآمدگی S، عمود بر مربع. H و موازی با خط مستقیم CD (شکل 159، ج). سپس یک مربع اضافی دیگر را معرفی می کنیم. T، عمود بر مربع. S و عمود بر همان خط مستقیم CD (شکل 159، د). اکنون می توانید با رسم m t n t از نقطه c t (d t) عمود بر برآمدگی a t b t، یک طرح از عمود کلی بسازید. نقاط m t و n t برآمدگی نقاط تلاقی این عمود با خطوط مستقیم AB و CD هستند. با استفاده از نقطه m t (شکل 159، e) m s را روی a s b s پیدا می کنیم: طرح ریزی m s n s باید موازی با محور T/S باشد. بعد از m s و n s m و n را روی ab و cd و از آنها m" و n" را روی a"b" و c"d می یابیم.

در شکل 159، c راه حل این مشکل را با استفاده از روش حرکات موازی نشان می دهد. ابتدا سی دی خط مستقیم را موازی مربع قرار می دهیم. V: طرح ریزی c 1 d 1 || ایکس. در مرحله بعد، خطوط مستقیم CD و AB را از موقعیت های C 1 D 1 و A 1 B 1 به موقعیت های C 2 B 2 و A 2 B 2 حرکت می دهیم به طوری که C 2 D 2 بر H عمود باشد: طرح ریزی c" 2 d" 2 ⊥ ایکس. پاره عمود مورد نیاز قرار دارد || pl H و بنابراین m 2 n 2 فاصله مورد نظر l بین AB و CD را بیان می کند. ما موقعیت برآمدگی های m" 2 و n" 2 را روی a" 2 b" 2 و c" 2 d" 2 می یابیم، سپس برآمدگی های m 1 و m" 1، n 1 و n" 1، در نهایت، پیش بینی های m" و n "، m و n.

162. هرم SABC داده شده است (شکل 160). فاصله بین لبه SB و ضلع AC قاعده هرم را تعیین کنید و با استفاده از روش تغییر صفحات برآمدگی یک عمود مشترک بر SB و AC بسازید.

163. هرم SABC داده شده است (شکل 161). فاصله بین لبه SH و ضلع BC قاعده هرم را تعیین کنید و با استفاده از روش جابجایی موازی برآمدگی های عمود مشترک بر SX و BC را بسازید.

164*. تعیین فاصله از نقطه A تا صفحه در مواردی که صفحه با: الف) مثلث BCD (شکل 162، a) مشخص می شود. ب) آثار (شکل 162، ب).

راه حل. همانطور که می دانید فاصله یک نقطه تا یک صفحه با مقدار عمود رسم شده از نقطه به صفحه اندازه گیری می شود. این فاصله بر روی هر منطقه ای پیش بینی می شود. برآمدگی در اندازه کامل، اگر این صفحه عمود بر مربع باشد. پیش بینی ها (شکل 162، ج). این وضعیت را می توان با تبدیل نقشه، به عنوان مثال، با تغییر منطقه به دست آورد. طرح ها. بیایید pl را معرفی کنیم. S (شکل 16c، d)، عمود بر مربع. مثلث BCD. برای این کار در میدان خرج می کنیم. مثلث افقی B-1 و محور برآمدگی S را عمود بر برجستگی b-1 افقی قرار دهید. ما پیش بینی های یک نقطه و یک صفحه - a s و یک قطعه cs d s را می سازیم. فاصله a s تا c s d s برابر با فاصله l مورد نظر نقطه تا صفحه است.

به ریو. 162، d از روش حرکت موازی استفاده شده است. کل سیستم را حرکت می دهیم تا صفحه افقی B-1 عمود بر صفحه V شود: طرح ریزی b 1 1 1 باید عمود بر محور x باشد. در این موقعیت، صفحه مثلث به صورت روبه‌رو می‌شود و فاصله l از نقطه A تا آن pl خواهد بود. V بدون اعوجاج.

در شکل 162، b صفحه با ردیابی تعریف می شود. ما (شکل 162، e) یک مربع اضافی را معرفی می کنیم. S، عمود بر مربع. P: محور S/H عمود بر Ph است. بقیه از نقاشی مشخص است. در شکل 162، g مشکل با استفاده از یک حرکت حل شد: pl. P در موقعیت P 1 قرار می گیرد، یعنی به سمت جلو می رود. مسیر. P 1h بر محور x عمود است. جلو را در این موقعیت هواپیما می سازیم. رد افقی نقطه n" 1,n 1 است. رد P 1ϑ از P 1x و n 1 عبور می کند. فاصله a" 1 تا P 1ϑ برابر با فاصله مورد نیاز l است.

165. هرم SABC داده شده است (شکل 160 را ببینید). فاصله نقطه A تا لبه هرم SBC را با استفاده از روش جابجایی موازی تعیین کنید.

166. هرم SABC داده شده است (شکل 161 را ببینید). ارتفاع هرم را با استفاده از روش جابجایی موازی تعیین کنید.

167*. فاصله بین خطوط متقاطع AB و CD را تعیین کنید (شکل 159، a را ببینید) به عنوان فاصله بین صفحات موازی ترسیم شده از طریق این خطوط.

راه حل. در شکل 163، و صفحات P و Q با یکدیگر موازی هستند که pl. Q از طریق CD موازی با AB کشیده می شود و pl. P - از طریق AB به موازات مربع. س. فاصله بین چنین صفحاتی به عنوان فاصله بین خطوط مستقیم AB و CD در نظر گرفته می شود. با این حال، می توانید خود را به ساختن تنها یک صفحه، به عنوان مثال Q، موازی با AB محدود کنید و سپس حداقل فاصله نقطه A تا این صفحه را تعیین کنید.

در شکل 163، c صفحه Q را نشان می دهد که از طریق CD موازی با AB کشیده شده است. در پیش بینی های انجام شده با "e" || a"b" و ce || ab. با استفاده از روش تغییر pl. پیش بینی ها (شکل 163، ج)، یک مربع اضافی را معرفی می کنیم. S، عمود بر مربع. V و در عین حال

عمود بر مربع س. برای ترسیم محور S/V، D-1 جلویی را در این صفحه بگیرید. اکنون S/V را عمود بر d"1" رسم می کنیم (شکل 163، ج). Pl. Q روی مربع به تصویر کشیده خواهد شد. S به عنوان یک خط مستقیم با s d s. بقیه از نقاشی مشخص است.

168. هرم SABC داده شده است (شکل 160 را ببینید). تعیین فاصله بین دنده SC و AB اعمال: 1) روش تغییر منطقه. پیش بینی، 2) روش حرکت موازی.

169*. فاصله بین صفحات موازی را تعیین کنید که یکی از آنها با خطوط مستقیم AB و AC و دیگری با خطوط مستقیم DE و DF تعریف می شود (شکل 164، a). همچنین ساخت و ساز را برای موردی که هواپیماها با ردیابی مشخص می شوند انجام دهید (شکل 164، ب).

راه حل. فاصله (شکل 164، ج) بین صفحات موازی را می توان با کشیدن یک عمود از هر نقطه از یک صفحه به صفحه دیگر تعیین کرد. در شکل 164، g یک مربع اضافی معرفی شد. S عمود بر مربع. H و به هر دو هواپیما داده شده. محور S.H عمود بر افقی است. طرح افقی ترسیم شده در یکی از صفحات. ما یک طرح از این صفحه و یک نقطه در صفحه دیگر بر روی مربع می سازیم. 5. فاصله نقطه d s تا خط مستقیم l s a s برابر است با فاصله لازم بین صفحات موازی.

در شکل 164، d ساخت دیگری داده شده است (طبق روش حرکت موازی). برای اینکه صفحه بیان شده توسط خطوط متقاطع AB و AC عمود بر مربع باشد. V، افق. طرح افقی این صفحه را عمود بر محور x قرار می دهیم: 1 1 2 1 ⊥ x. فاصله بین جلو برآمدگی d" 1 نقطه D و خط مستقیم a" 1 2" 1 (برآمدگی جلوی صفحه) برابر است با فاصله لازم بین صفحات.

در شکل 164، e معرفی یک مربع اضافی را نشان می دهد. S، عمود بر سطح H و به صفحات داده شده P و Q (محور S/H عمود بر آثار Ph و Qh است). ما ردپایی از P و Q را می سازیم. فاصله بین آنها (نگاه کنید به شکل 164، ج) برابر است با فاصله مورد نظر l بین صفحات P و Q.

در شکل 164، g حرکت صفحات P 1 n Q 1 را به موقعیت P 1 و Q 1 در هنگام افق نشان می دهد. ردیابی ها عمود بر محور x هستند. فاصله بین جبهه های جدید آثار P 1ϑ و Q 1ϑ برابر با فاصله مورد نظر l هستند.

170. با توجه به ABCDEFGH موازی (شکل 165). فواصل را تعیین کنید: الف) بین پایه های موازی - l 1. ب) بین وجه های ABFE و DCGH - l 2؛ ج) بین وجه های ADHE و BCGF-l 3.

این مقاله در مورد موضوع صحبت می کند « فاصله از یک نقطه تا یک خط », در مورد تعریف فاصله از نقطه تا خط با مثال های مصور با استفاده از روش مختصات بحث می کند. هر بلوک تئوری در پایان نمونه هایی از حل مسائل مشابه را نشان داده است.

Yandex.RTB R-A-339285-1

فاصله یک نقطه تا یک خط با تعیین فاصله از نقطه به نقطه به دست می آید. بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم.

بگذارید یک خط a و یک نقطه M 1 وجود داشته باشد که به خط داده شده تعلق ندارد. از طریق آن یک خط مستقیم b که عمود بر خط مستقیم a قرار دارد ترسیم می کنیم. نقطه تلاقی خطوط را H 1 در نظر بگیرید. دریافتیم که M 1 H 1 عمودی است که از نقطه M 1 به خط مستقیم a پایین آمده است.

تعریف 1

فاصله از نقطه M 1 تا خط مستقیم aفاصله بین نقاط M 1 و H 1 نامیده می شود.

تعاریفی وجود دارد که شامل طول عمود می شود.

تعریف 2

فاصله از نقطه به خططول عمود رسم شده از یک نقطه به یک خط معین است.

تعاریف معادل هستند. شکل زیر را در نظر بگیرید.

معلوم است که فاصله از یک نقطه تا یک خط کوچکترین فاصله ممکن است. بیایید با یک مثال به این موضوع نگاه کنیم.

اگر نقطه Q را که روی یک خط مستقیم a قرار دارد، که با نقطه M 1 منطبق نیست، بگیریم، در می یابیم که قطعه M 1 Q یک پاره مایل نامیده می شود که از M 1 به یک خط مستقیم a پایین آمده است. لازم به ذکر است که عمود از نقطه M 1 کمتر از هر خط مایل دیگری است که از نقطه به خط مستقیم کشیده شده است.

برای اثبات این موضوع، مثلث M 1 Q 1 H 1 را در نظر بگیرید که در آن M 1 Q 1 افت فشار است. مشخص است که طول آن همیشه از طول هر یک از پاها بیشتر است. این بدان معنی است که ما M 1 H 1 را داریم< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

داده های اولیه برای یافتن از یک نقطه به یک خط به شما امکان می دهد از چندین روش حل استفاده کنید: از طریق قضیه فیثاغورث، تعیین سینوس، کسینوس، مماس زاویه و غیره. اکثر وظایف از این نوع در مدرسه در طول درس هندسه حل می شود.

هنگامی که هنگام یافتن فاصله از یک نقطه تا یک خط، بتوان یک سیستم مختصات مستطیلی را معرفی کرد، از روش مختصات استفاده می شود. در این پاراگراف، دو روش اصلی برای یافتن فاصله مورد نیاز از یک نقطه معین را در نظر خواهیم گرفت.

روش اول شامل جستجوی فاصله به صورت یک عمود کشیده شده از M 1 به خط مستقیم a است. روش دوم از معادله معمولی خط مستقیم a برای یافتن فاصله مورد نیاز استفاده می کند.

اگر نقطه ای در صفحه با مختصات M 1 (x 1, y 1) وجود داشته باشد که در یک سیستم مختصات مستطیلی، خط مستقیم a قرار دارد و باید فاصله M 1 H 1 را پیدا کنید، می توانید محاسبه را در دو انجام دهید. راه ها. بیایید به آنها نگاه کنیم.

راه اول

اگر مختصات نقطه H 1 برابر با x 2، y 2 باشد، فاصله نقطه تا خط با استفاده از مختصات فرمول M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2) محاسبه می شود. - y 1) 2.

اکنون به سراغ یافتن مختصات نقطه H 1 می رویم.

مشخص است که یک خط مستقیم در O x y با معادله یک خط مستقیم در صفحه مطابقت دارد. بیایید روش تعیین خط مستقیم a را با نوشتن در نظر بگیریم معادله کلیمعادلات خط مستقیم یا شیب معادله خط مستقیمی را می سازیم که از نقطه M 1 عمود بر یک خط مستقیم معین a می گذرد. بیایید خط مستقیم را با حرف b نشان دهیم. H 1 نقطه تلاقی خطوط a و b است، به این معنی که برای تعیین مختصات لازم است از مقاله ای استفاده کنید که در آن ما در مورددر مورد مختصات نقاط تقاطع دو خط.

مشاهده می شود که الگوریتم برای یافتن فاصله از نقطه معین M 1 (x 1, y 1) تا خط مستقیم a با توجه به نقاط زیر انجام می شود:

تعریف 3

• یافتن معادله کلی یک خط مستقیم a با شکل A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 یا معادله ای با ضریب زاویه ای که به شکل y = k 1 x + b 1 است.
• به دست آوردن یک معادله کلی از خط b، به شکل A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 یا معادله ای با ضریب زاویه ای y = k 2 x + b 2، اگر خط b نقطه M 1 را قطع کند و عمود بر آن باشد. یک خط داده شده a;
• تعیین مختصات x 2, y 2 نقطه H 1 که نقطه تلاقی a و b است برای این منظور سیستم حل می شود. معادلات خطی A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 یا y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• محاسبه فاصله مورد نیاز از یک نقطه تا یک خط با استفاده از فرمول M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

راه دوم

این قضیه می تواند به پاسخ به سؤال یافتن فاصله از یک نقطه معین تا یک خط مستقیم معین در یک صفحه کمک کند.

قضیه

سیستم مختصات مستطیلی دارای O x y دارای یک نقطه M 1 (x 1, y 1) است که از آن یک خط مستقیم به صفحه رسم می شود که با معادله نرمال صفحه به شکل cos α x + cos β y به دست می آید. - p = 0، برابر با مقدار مطلق بدست آمده در سمت چپ معادله عادی خط، محاسبه شده در x = x 1، y = y 1، به این معنی است که M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

اثبات

خط a مطابق با معادله نرمال صفحه است که به شکل cos α x + cos β y - p = 0 است، سپس n → = (cos α، cos β) بردار نرمال خط a در فاصله از مبدا به خط a با واحد p . لازم است تمام داده ها را در شکل نمایش دهید، یک نقطه با مختصات M 1 (x 1، y 1) اضافه کنید، که در آن بردار شعاع نقطه M 1 - O M 1 → = (x 1، y 1) است. لازم است یک خط مستقیم از یک نقطه به یک خط مستقیم بکشیم که آن را M 1 H 1 نشان می دهیم. لازم است برآمدگی های M 2 و H 2 نقاط M 1 و H 2 را بر روی یک خط مستقیم که از نقطه O با بردار جهت به شکل n → = (cos α, cos β) می گذرد نشان داده و نشان دهیم. طرح عددی بردار به صورت O M 1 → = (x 1, y 1) به جهت n → = (cos α , cos β) به صورت n p n → O M 1 → .

تغییرات به محل خود نقطه M1 بستگی دارد. بیایید به شکل زیر نگاه کنیم.

ما نتایج را با استفاده از فرمول M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p ثابت می کنیم. سپس تساوی را به این شکل M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p می آوریم تا n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 به دست آوریم.

حاصل ضرب اسکالر بردارها منجر به فرمول تبدیل شده ای به شکل n →، O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → است که یک ضرب به شکل مختصات است. از شکل n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . این بدان معنی است که ما دریافت می کنیم که n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . نتیجه می شود که M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. قضیه ثابت شده است.

متوجه شدیم که برای یافتن فاصله از نقطه M 1 (x 1, y 1) تا خط مستقیم a در هواپیما، باید چندین عمل را انجام دهید:

تعریف 4

• به دست آوردن معادله عادی خط مستقیم a cos α · x + cos β · y - p = 0، مشروط بر اینکه در کار نباشد.
• محاسبه عبارت cos α · x 1 + cos β · y 1 - p، که در آن مقدار حاصل M 1 H 1 می گیرد.

بیایید این روش ها را برای حل مسائل مربوط به یافتن فاصله از یک نقطه تا یک صفحه اعمال کنیم.

مثال 1

فاصله نقطه با مختصات M 1 (- 1، 2) تا خط مستقیم 4 x - 3 y + 35 = 0 را پیدا کنید.

راه حل

بیایید از روش اول برای حل استفاده کنیم.

برای انجام این کار، لازم است معادله کلی خط b را که از نقطه معین M 1 (- 1، 2)، عمود بر خط 4 x - 3 y + 35 = 0 عبور می کند، پیدا کنید. از شرط مشخص می شود که خط مستقیم b بر خط مستقیم a عمود است، سپس بردار جهت آن دارای مختصاتی برابر با (4، - 3) است. بنابراین، ما این فرصت را داریم که معادله متعارف خط b را روی صفحه بنویسیم، زیرا مختصاتی از نقطه M 1 وجود دارد که متعلق به خط b است. بیایید مختصات بردار جهت دهنده خط مستقیم b را تعیین کنیم. دریافت می کنیم که x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. معادله متعارف حاصل باید به یک معادله عمومی تبدیل شود. سپس ما آن را دریافت می کنیم

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

اجازه دهید مختصات نقاط تقاطع خطوط را پیدا کنیم که به عنوان نام H 1 در نظر می گیریم. تحولات به این صورت است:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

از آنچه در بالا نوشته شد، داریم که مختصات نقطه H 1 برابر است با (- 5; 5).

لازم است فاصله نقطه M 1 تا خط مستقیم a محاسبه شود. مختصات نقاط M 1 (- 1, 2) و H 1 (- 5, 5) را داریم، سپس آنها را در فرمول جایگزین می کنیم تا فاصله را پیدا کنیم و بدست آوریم که

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

راه حل دوم

برای حل به روشی دیگر، باید معادله عادی خط را بدست آوریم. مقدار ضریب نرمال کننده را محاسبه کرده و دو طرف معادله را 4 x - 3 y + 35 = 0 ضرب می کنیم. از اینجا دریافت می کنیم که ضریب نرمال کننده برابر است با - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5، و معادله نرمال به شکل - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 خواهد بود. ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

با توجه به الگوریتم محاسبه، لازم است معادله عادی خط را به دست آوریم و آن را با مقادیر x = - 1، y = 2 محاسبه کنیم. سپس ما آن را دریافت می کنیم

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

از این نتیجه دریافت می کنیم که فاصله از نقطه M 1 (- 1، 2) تا خط مستقیم داده شده 4 x - 3 y + 35 = 0 دارای مقدار - 5 = 5 است.

پاسخ: 5 .

مشاهده می شود که در این روش استفاده از معادله عادی خط مهم است، زیرا این روش کوتاه ترین است. اما روش اول به دلیل سازگاری و منطقی بودن آن راحت است، اگرچه امتیازات محاسبه بیشتری دارد.

مثال 2

در صفحه یک سیستم مختصات مستطیلی O x y با نقطه M 1 (8، 0) و خط مستقیم y = 1 2 x + 1 وجود دارد. فاصله یک نقطه معین تا یک خط مستقیم را پیدا کنید.

راه حل

حل به روش اول شامل کاهش یک معادله داده شده با شیب به معادله است نمای کلی. برای ساده‌تر شدن، می‌توانید آن را متفاوت انجام دهید.

اگر حاصل ضرب ضرایب زاویه ای خطوط مستقیم عمود بر یک مقدار باشد، آنگاه شیبخط عمود بر یک داده شده y = 1 2 x + 1 مقدار 2 را دارد. اکنون معادله خطی را که از نقطه ای با مختصات M 1 (8, 0) می گذرد به دست می آوریم. داریم که y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

ما به یافتن مختصات نقطه H 1، یعنی نقاط تقاطع y = - 2 x + 16 و y = 1 2 x + 1 ادامه می دهیم. ما یک سیستم معادلات می سازیم و به دست می آوریم:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6، 4)

نتیجه این است که فاصله از نقطه با مختصات M 1 (8, 0) تا خط مستقیم y = 1 2 x + 1 برابر است با فاصله از نقطه شروع و نقطه پایان با مختصات M 1 (8, 0) و H 1 (6، 4). بیایید محاسبه کنیم و پیدا کنیم که M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

راه حل در راه دوم این است که از یک معادله با ضریب به شکل عادی آن حرکت کنیم. یعنی y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0 را دریافت می کنیم، سپس مقدار ضریب نرمال کننده - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5 خواهد بود. نتیجه می شود که معادله عادی خط به شکل - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 است. بیایید محاسبه را از نقطه M 1 8، 0 تا یک خط به شکل - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0 انجام دهیم. ما گرفتیم:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

پاسخ: 2 5 .

مثال 3

لازم است فاصله از نقطه با مختصات M 1 (- 2، 4) تا خطوط 2 x - 3 = 0 و y + 1 = 0 محاسبه شود.

راه حل

معادله شکل عادی خط مستقیم 2 x - 3 = 0 را به دست می آوریم:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

سپس به محاسبه فاصله از نقطه M 1 - 2، 4 تا خط مستقیم x - 3 2 = 0 ادامه می دهیم. ما گرفتیم:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

معادله خط مستقیم y + 1 = 0 دارای ضریب نرمال کننده با مقدار 1- است. این بدان معنی است که معادله به شکل - y - 1 = 0 خواهد بود. ما به محاسبه فاصله از نقطه M 1 (- 2، 4) تا خط مستقیم - y - 1 = 0 ادامه می دهیم. متوجه می شویم که برابر است با - 4 - 1 = 5.

پاسخ: 3 1 2 و 5.

بیایید نگاهی دقیق تر به یافتن فاصله از یک نقطه معین در هواپیما تا پیدا کنیم محورهای مختصات O x و O y.

در یک سیستم مختصات مستطیلی، محور O دارای معادله ای از یک خط مستقیم است که ناقص است و به شکل x = 0 و Ox - y = 0 است. معادلات برای محورهای مختصات نرمال است، سپس باید فاصله نقطه با مختصات M 1 x 1، y 1 تا خطوط را پیدا کرد. این بر اساس فرمول های M 1 H 1 = x 1 و M 1 H 1 = y 1 انجام می شود. بیایید به شکل زیر نگاه کنیم.

مثال 4

فاصله نقطه M 1 (6, - 7) تا خطوط مختصات واقع در صفحه O x y را بیابید.

راه حل

از آنجایی که معادله y = 0 به خط O x مربوط می شود، می توانیم فاصله M 1 s را پیدا کنیم. مختصات داده شده، به این خط مستقیم با استفاده از فرمول. ما 6 = 6 را دریافت می کنیم.

از آنجایی که معادله x = 0 به خط مستقیم O y اشاره دارد، می توانید فاصله M 1 تا این خط مستقیم را با استفاده از فرمول پیدا کنید. سپس دریافت می کنیم که - 7 = 7.

پاسخ:فاصله M 1 تا O x دارای مقدار 6 و از M 1 تا O y دارای مقدار 7 است.

وقتی در فضای سه بعدی نقطه ای با مختصات M 1 (x 1, y 1, z 1) داریم، لازم است فاصله نقطه A تا خط مستقیم a را پیدا کنیم.

بیایید دو روش را در نظر بگیریم که به شما امکان می دهد فاصله یک نقطه تا یک خط مستقیم a واقع در فضا را محاسبه کنید. مورد اول فاصله نقطه M 1 تا یک خط را در نظر می گیرد که در آن نقطه ای از خط H 1 نامیده می شود و پایه عمودی است که از نقطه M 1 به خط a کشیده شده است. مورد دوم نشان می دهد که نقاط این صفحه را باید به عنوان ارتفاع متوازی الاضلاع جستجو کرد.

راه اول

از این تعریف داریم که فاصله از نقطه M 1 واقع در خط مستقیم a طول عمود بر M 1 H 1 است، سپس به دست می آوریم که با مختصات یافت شده نقطه H 1، سپس فاصله بین M را پیدا می کنیم. 1 (x 1, y 1, z 1 ) و H 1 (x 1 , y 1 , z 1) بر اساس فرمول M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

متوجه شدیم که کل جواب به سمت یافتن مختصات قاعده عمود رسم شده از M 1 به خط مستقیم a می رود. این کار به صورت زیر انجام می شود: H 1 نقطه ای است که خط مستقیم a با صفحه ای که از نقطه داده شده می گذرد قطع می شود.

این بدان معناست که الگوریتم تعیین فاصله از نقطه M 1 (x 1, y 1, z 1) تا خط a در فضا مستلزم چندین نقطه است:

تعریف 5

• ترسیم معادله صفحه χ به عنوان معادله صفحه ای که از نقطه معینی عمود بر خط می گذرد.
• تعیین مختصات (x 2, y 2, z 2) متعلق به نقطه H 1 که نقطه تلاقی خط مستقیم a و صفحه χ است.
• محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط با استفاده از فرمول M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

راه دوم

از شرطی که یک خط مستقیم داریم، سپس می توانیم بردار جهت a → = a x، a y، a z را با مختصات x 3، y 3، z 3 و یک نقطه M 3 متعلق به راست a تعیین کنیم. اگر مختصات نقاط M 1 (x 1، y 1) و M 3 x 3، y 3، z 3 را دارید، می توانید M 3 M 1 → محاسبه کنید:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3، y 1 - y 3، z 1 - z 3)

باید بردارهای a → = a x، a y، a z و M 3 M 1 → = x 1 - x 3، y 1 - y 3، z 1 - z 3 را از نقطه M 3 کنار بگذاریم، آنها را به هم وصل کرده و متوازی الاضلاع به دست آوریم. شکل. M 1 H 1 ارتفاع متوازی الاضلاع است.

بیایید به شکل زیر نگاه کنیم.

داریم که ارتفاع M 1 H 1 فاصله مورد نیاز است، سپس باید با استفاده از فرمول آن را پیدا کرد. یعنی ما به دنبال M 1 H 1 هستیم.

اجازه دهید مساحت متوازی الاضلاع را با حرف S نشان دهیم که با فرمول با استفاده از بردار a → = (a x, a y, a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3 یافت می شود. y 1 - y 3، z 1 - z 3. فرمول مساحت S = a → × M 3 M 1 → است. همچنین مساحت شکل برابر با حاصل ضرب طول اضلاع و ارتفاع آن است که با a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 به دست می آید که S = a → · M 1 H 1 طول بردار a → = (a x , a y , a z) است که برابر با ضلع متوازی الاضلاع است. این بدان معنی است که M 1 H 1 فاصله نقطه تا خط است. با استفاده از فرمول M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → یافت می شود.

برای یافتن فاصله از نقطه ای با مختصات M 1 (x 1، y 1، z 1) تا یک خط مستقیم a در فضا، باید چندین مرحله از الگوریتم را انجام دهید:

تعریف 6

• تعیین بردار جهت خط مستقیم a - a → = (a x, a y, a z);
• محاسبه طول بردار جهت a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• به دست آوردن مختصات x 3 , y 3 , z 3 متعلق به نقطه M 3 واقع در خط مستقیم a.
• محاسبه مختصات بردار M 3 M 1 → ;
• یافتن حاصل ضرب برداری بردارهای a → (a x, a y , a z) و M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 به صورت a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 برای بدست آوردن طول با استفاده از فرمول a → × M 3 M 1 → .
• محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

حل مسائل یافتن فاصله از یک نقطه معین تا یک خط معین در فضا

فاصله نقطه با مختصات M 1 2, - 4, - 1 تا خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 را بیابید.

راه حل

روش اول با نوشتن معادله صفحه χ که از M 1 می گذرد و بر یک نقطه معین عمود می شود شروع می شود. ما عبارتی مانند:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

لازم است مختصات نقطه H 1 را که نقطه تقاطع با صفحه χ به خط مشخص شده توسط شرط است، پیدا کنید. شما باید از نمای متعارف به نمای متقاطع حرکت کنید. سپس یک سیستم معادلات به شکل زیر بدست می آوریم:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

محاسبه سیستم x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 ضروری است. 2 x - y + 5 z = 3 با روش کرامر، سپس به این نتیجه می رسیم:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 60 = 0

از اینجا ما آن H 1 (1, - 1, 0) را داریم.

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

روش دوم باید با جستجوی مختصات در معادله متعارف آغاز شود. برای این کار باید به مخرج کسر توجه کنید. سپس a → = 2، - 1، 5 بردار جهت خط x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 است. لازم است طول را با استفاده از فرمول a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30 محاسبه کنید.

واضح است که خط مستقیم x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 نقطه M 3 (- 1 , 0 , - 5) را قطع می کند، از این رو داریم که بردار با مبدا M 3 (- 1 , 0 , - 5) و انتهای آن در نقطه M 1 2, - 4, - 1 M 3 M 1 → = 3, - 4, 4 است. حاصلضرب برداری a → = (2، - 1، 5) و M 3 M 1 → = (3، - 4، 4) را بیابید.

عبارتی به شکل a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

در می یابیم که طول حاصلضرب بردار برابر با → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330 است.

ما تمام داده ها را برای استفاده از فرمول برای محاسبه فاصله از یک نقطه برای یک خط مستقیم داریم، بنابراین بیایید آن را اعمال کنیم و دریافت کنیم:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

پاسخ: 11 .

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

دانشگاه فنی دریایی سن پترزبورگ

بخش گرافیک کامپیوتری و پشتیبانی اطلاعات

درس 3

کار عملی شماره 3

تعیین فاصله از یک نقطه تا یک خط مستقیم.

با انجام ساختارهای زیر می توانید فاصله بین یک نقطه و یک خط مستقیم را تعیین کنید (شکل 1 را ببینید):

· از نقطه باعمود بر یک خط مستقیم را پایین بیاورید آ;

· یک نقطه را علامت گذاری کنید بهتقاطع یک عمود با یک خط مستقیم؛

طول قطعه را اندازه گیری کنید KSکه ابتدای آن نقطه داده شده و انتهای آن نقطه تقاطع مشخص شده است.

عکس. 1. فاصله از یک نقطه تا یک خط.

اساس حل مسائل از این نوع، قانون طرح زاویه راست است: اگر حداقل یکی از ضلع های آن موازی با صفحه نمایش باشد، یک زاویه قائمه بدون اعوجاج پرتاب می شود.(یعنی یک موقعیت خصوصی را اشغال می کند). بیایید با چنین موردی شروع کنیم و ساختارهایی را برای تعیین فاصله از یک نقطه در نظر بگیریم بابه یک قطعه خط مستقیم AB.

هیچ نمونه آزمایشی در این کار وجود ندارد و گزینه هایی برای تکمیل تکالیف در آن آورده شده است جدول 1 و جدول 2. راه حل مشکل در زیر توضیح داده شده است و ساختارهای مربوطه در شکل 2 نشان داده شده است.

1. تعیین فاصله از یک نقطه تا یک خط خاص.

ابتدا پیش بینی های یک نقطه و یک قطعه ساخته می شوند. فرافکنی A1B1موازی با محور ایکس. این به این معنی است که بخش ABموازی با هواپیما P2. اگر از نقطه باعمود بر AB، سپس زاویه سمت راست بدون اعوجاج بر روی صفحه نمایش داده می شود P2. این به شما امکان می دهد یک عمود از یک نقطه بکشید C2به فرافکنی A2B2.

فهرست کشویی Drawing-Segment (قرعه کشی- خط) . مکان نما را در نقطه قرار دهید C2و آن را به عنوان اولین نقطه از بخش ثابت کنید. مکان نما را در جهت عادی به بخش حرکت دهید A2B2و نقطه دوم را در لحظه ظاهر شدن اشاره روی آن ثابت کنید طبیعی (عمود بر) . نقطه ساخته شده را علامت بزنید K2. حالت را فعال کنید اورتو(اورتو) ، و از نقطه K2یک خط اتصال عمودی بکشید تا زمانی که با برآمدگی قطع شود A1 B1. نقطه تقاطع را مشخص کنید K1. نقطه به، روی قطعه دراز کشیده است AB، نقطه تقاطع عمود رسم شده از نقطه است با، با بخش AB. بنابراین، بخش KSفاصله مورد نیاز از نقطه تا خط است.

از ساخت و سازها مشخص است که بخش KSموقعیت کلی را اشغال می کند و بنابراین، پیش بینی های آن مخدوش می شود. وقتی در مورد فاصله صحبت می کنیم، همیشه منظورمان است ارزش واقعی بخش، فاصله را بیان می کند. بنابراین، ما باید مقدار واقعی بخش را پیدا کنیم KS،با چرخاندن آن به یک موقعیت خاص، برای مثال، KS|| P1. نتیجه ساخت و سازها در شکل 2 نشان داده شده است.

از ساختارهای نشان داده شده در شکل 2، می توان نتیجه گرفت: موقعیت خاص خط (قطعه موازی است P1یا P2) به شما امکان می دهد به سرعت پیش بینی های فاصله از یک نقطه تا یک خط را ایجاد کنید، اما آنها تحریف شده اند.

شکل 2. تعیین فاصله از یک نقطه تا یک خط خاص.

2. تعیین فاصله از یک نقطه تا یک خط کلی.

بخش همیشه موقعیت خاصی را در شرایط اولیه اشغال نمی کند. با یک موقعیت اولیه کلی، ساختارهای زیر برای تعیین فاصله از یک نقطه تا یک خط انجام می شود:

الف) با استفاده از روش تبدیل ترسیم، یک بخش را از یک موقعیت عمومی به یک موقعیت خاص تبدیل کنید - این امکان ساخت پیش بینی های فاصله (تحریف) را فراهم می کند.

ب) با استفاده از روش دوباره، بخش مربوط به فاصله مورد نیاز را به یک موقعیت خاص ترجمه کنید - ما یک طرح از فاصله در بزرگی برابر با واقعی بدست می آوریم.

برای تعیین فاصله از یک نقطه، ترتیب ساختارها را در نظر بگیرید آبه یک بخش در موقعیت عمومی آفتاب(شکل 3).

در اولین چرخش به دست آوردن موقعیت خاص بخش ضروری است که درسی. برای انجام این کار در لایه TMRنیاز به اتصال نقاط در 2, C2و A2. با استفاده از دستور تغییر - چرخش (تغییر – چرخش) مثلث В2С2А2دور یک نقطه بچرخد C2به موقعیتی که در آن طرح جدید B2*C2کاملاً افقی قرار خواهد گرفت (نقطه بابی حرکت است و بنابراین، طرح جدید آن با تصویر اصلی و نامگذاری منطبق است C2*و C1*ممکن است در نقاشی نشان داده نشود). در نتیجه، پیش بینی های جدیدی از بخش به دست خواهد آمد B2*C2و نکات: A2*.بعد از نقاط A2*و در 2*عمودی ها و از نقاط انجام می شود در 1و A1خطوط ارتباطی افقی تقاطع خطوط مربوطه موقعیت نقاط طرح افقی جدید را تعیین می کند: بخش B1*C1و نقطه ها A1*.

در موقعیت خاص حاصل، می‌توانیم پیش‌بینی‌های فاصله‌ای را برای این بسازیم: از نقطه A1*عادی به B1*C1.نقطه تلاقی متقابل آنهاست K1*.یک خط اتصال عمودی از این نقطه تا زمانی که با برجستگی تقاطع پیدا کند کشیده می شود B2*C2.یک نقطه مشخص شده است K2*.در نتیجه، پیش بینی های بخش به دست آمد AK، که فاصله مورد نیاز از نقطه است آبه یک قطعه خط مستقیم آفتاب.

در مرحله بعد، لازم است پیش بینی های فاصله ای در شرایط اولیه ایجاد شود. برای انجام این کار از نقطه K1*کشیدن یک خط افقی تا زمانی که با طرح ریزی قطع شود راحت است B1С1و نقطه تقاطع را علامت بزنید K1.سپس یک نقطه ساخته می شود K2در قسمت جلویی بخش و برآمدگی ها انجام می شود A1K1و A2K2.در نتیجه ساخت و سازها، پیش بینی های فاصله به دست آمد، اما هم در موقعیت اولیه و هم در موقعیت جزئی جدید قطعه آفتاب،بخش خط AKموقعیت کلی را اشغال می کند و این منجر به این واقعیت می شود که تمام پیش بینی های آن تحریف شده است.

در چرخش دوم لازم است بخش را بچرخانید AKبه یک موقعیت خاص، که به ما امکان می دهد مقدار واقعی فاصله - طرح ریزی را تعیین کنیم A2*K2**.نتیجه تمام ساخت و سازها در شکل 3 نشان داده شده است.

وظیفه شماره 3-1. بابه یک خط مستقیم از موقعیت خاص که توسط یک قطعه مشخص شده است AB. جواب را به میلی متر بدهید (میز 1).لنزهای پروجکشن را بردارید

میز 1

وظیفه شماره 3-2.فاصله واقعی از یک نقطه را پیدا کنید مبه یک خط مستقیم در موقعیت کلی که توسط قطعه داده شده است ED. جواب را به میلی متر بدهید (جدول 2).

جدول 2

بررسی و پاس کردن کار تکمیل شده شماره 3.

برای محاسبه فاصله یک نقطه معین M تا یک خط مستقیم L می توانید استفاده کنید راه های مختلف. به عنوان مثال، اگر نقطه دلخواه M 0 را روی خط L بگیریم، آنگاه می توانیم تعیین کنیم طرح ریزی متعامد بردار M 0 M بر روی جهت بردار معمولی خط.این برجستگی، تا یک علامت، فاصله مورد نیاز است.

روش دیگر برای محاسبه فاصله از یک نقطه تا یک خط بر اساس استفاده است معادله عادی یک خط. بگذارید خط مستقیم L با معادله نرمال (4.23) به دست آید. اگر نقطه M(x; y) روی خط L قرار نگیرد، آنگاه برآمدگی متعامد pr n OM بردار شعاعنقطه M در جهت واحد بردار نرمال n خط مستقیم L برابر است با حاصل ضرب اسکالر بردارهای OM و n، یعنی. x cosφ + y sinφ. همان طرح برابر است با مجموع فاصله p از مبدا تا خط و مقدار معین δ (شکل 4.10). مقدار δ توسط قدر مطلقبرابر فاصله نقطه M تا خط مستقیم. علاوه بر این، اگر نقاط M و O در طرف مقابل خط مستقیم قرار گیرند، δ > 0 است، و δ انحراف نقطه M از خط مستقیم است.

انحراف δ برای نقطه M(x; y) از خط مستقیم L به عنوان تفاوت بین طرح ریزی pr n OM و فاصله p از مبدا تا خط مستقیم محاسبه می شود (شکل 4.10 را ببینید). δ = x cosφ + y sinφ - p.

با استفاده از این فرمول، همچنین می توانید فاصله p(M, L) را از نقطه M(x; y) تا خط مستقیم L بدست آورید که با معادله نرمال به دست می آید: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 مجموع دو زاویه مجاور به 180 درجه می رسد

با توجه به روش تبدیل فوق معادله کلی خطدر معادله عادی آن، فرمولی برای فاصله از نقطه M(x; y) تا خط مستقیم L بدست می آوریم که با معادله کلی آن به دست می آید:

مثال 4.8.اجازه دهید معادلات کلی ارتفاع AH، میانه AM و نیمساز AD مثلث ABC را که از راس A بیرون می آیند، پیدا کنیم. مختصات رئوس مثلث A(-1;- 3)، B(7; 3)، C (1;7) شناخته شده اند.

ابتدا شرط مثال را روشن می کنیم: منظور از معادلات نشان داده شده معادلات خطوط L AH، L AM و L AD است که ارتفاع AH، میانه AM و نیمساز AD مثلث مشخص شده روی آنها قرار دارد. به ترتیب (شکل 4.11).

برای یافتن معادله خط مستقیم L AM از این واقعیت استفاده می کنیم که میانه ضلع مقابل مثلث را به نصف تقسیم می کند. پس از یافتن مختصات (x 1 ; y 1) وسط ضلع BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4، y 1 = (3 + 7)/2 = 5، معادله L را می نویسیم. AM در فرم معادلات خطی که از دو نقطه می گذرد،(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). پس از تبدیل، معادله کلی میانه 8x - 5y - 7 = 0./p> را بدست می آوریم.

برای یافتن معادله ارتفاع L AH از عمود بودن ارتفاع بر ضلع مقابل مثلث استفاده می کنیم. بنابراین بردار BC بر ارتفاع AH عمود است و می توان آن را به عنوان بردار عادی خط مستقیم L AH انتخاب کرد. معادله این خط با جایگزینی مختصات نقطه A و بردار عادی خط L AH از (4.15) به دست می آید:

(-6) (x + 1) + 4 (y + 3) = 0.

پس از تبدیل ها، معادله کلی ارتفاع 3x - 2y - 3 = 0 را به دست می آوریم.

برای یافتن معادله نیمساز L AD، از این واقعیت استفاده می کنیم که نیمساز AD متعلق به مجموعه ای از نقاط N(x; y) است که از خطوط L AB و L AC فاصله دارند. معادله این مجموعه فرم دارد

P(N، L AB) = P(N، L AC)، (4.28)

و دو خط را تعریف می کند که از نقطه A عبور می کنند و زوایای بین خطوط L AB و L AC را به نصف تقسیم می کنند. با استفاده از معادله خطی که از دو نقطه می گذرد، معادلات کلی خطوط L AB و L AC را می یابیم:

L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3)، L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)

پس از تبدیل، L AB را به دست می آوریم: 3x - 4y - 9 = 0، L AC: 5x - y + 2 = 0. معادله (4.28) را با استفاده از فرمول (4.27) می نویسیم تا فاصله یک نقطه تا یک خط را محاسبه کنیم. فرم

بیایید آن را با گسترش ماژول ها تغییر دهیم:

در نتیجه معادلات کلی دو خط را بدست می آوریم

(3 ± 25/√26)x + (4 ± 5/√26)y + (9 ± 10/√26) = 0

برای انتخاب معادله نیمساز از بین آنها، در نظر می گیریم که رئوس B و C مثلث در اضلاع مخالف خط مورد نظر قرار دارند و بنابراین مختصات آنها را جایگزین می کنیم. سمت چپمعادله کلی خط مستقیم L AD باید مقادیری با نشانه های مختلف. ما معادله مربوط به علامت بالا را انتخاب می کنیم، یعنی.

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

جایگزین کردن مختصات نقطه B در سمت چپ این معادله یک مقدار منفی به دست می دهد، زیرا

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

و همین علامت برای مختصات نقطه C به دست می آید، زیرا

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

در نتیجه، رئوس B و C در یک سمت خط با معادله انتخاب شده قرار دارند، و بنابراین معادله نیمساز است.

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.

فاصله یک نقطه تا یک خط، طول عمود رسم شده از نقطه به خط است. در هندسه توصیفی با استفاده از الگوریتم زیر به صورت گرافیکی تعیین می شود.

الگوریتم

1. خط مستقیم به موقعیتی منتقل می شود که در آن موازی با هر صفحه نمایشی خواهد بود. برای این منظور از روش های تبدیل برجستگی های متعامد استفاده می شود.
2. از یک نقطه عمود بر یک خط رسم کنید. این ساختار بر اساس قضیه در مورد طرح زاویه قائمه است.
3. طول یک عمود با تبدیل برجستگی های آن یا با استفاده از روش مثلث قائم الزاویه تعیین می شود.

شکل زیر نشان می دهد نقاشی پیچیدهنقطه M و خط b که توسط قطعه CD داده می شود. باید فاصله بین آنها را پیدا کنید.

طبق الگوریتم ما، اولین کاری که باید انجام دهیم این است که خط را به موقعیتی موازی با صفحه طرح ریزی منتقل کنیم. درک این نکته مهم است که پس از انجام تبدیل ها، فاصله واقعی بین نقطه و خط نباید تغییر کند. به همین دلیل است که در اینجا استفاده از روش جایگزینی هواپیما راحت است، که شامل حرکت ارقام در فضا نیست.

نتایج مرحله اول ساخت در زیر نشان داده شده است. شکل نشان می دهد که چگونه یک صفحه جلوی اضافی P 4 به موازات b معرفی می شود. که در سیستم جدید(P 1, P 4) نقاط C"" 1، D"" 1، M"" 1 در همان فاصله از محور X 1 قرار دارند که C"، D"، M"" از محور X.

با اجرای بخش دوم الگوریتم، از M"" 1 عمود بر M"" 1 N"" 1 را به خط مستقیم b"" 1 پایین می آوریم، زیرا زاویه راست MND بین b و MN بر روی صفحه P پیش بینی می شود. 4 در سایز کامل با استفاده از خط ارتباطی، موقعیت نقطه N" را تعیین می کنیم و طرح M"N" قطعه MN را انجام می دهیم.

در مرحله نهایی، باید اندازه بخش MN را از پیش بینی های آن M"N" و M"" 1 N"" 1 تعیین کنید. برای این ما در حال ساختن هستیم راست گوشه M"" 1 N"" 1 N 0، که پایه آن N"" 1 N 0 برابر است با اختلاف (Y M 1 – Y N 1) فاصله نقاط M" و N" از محور X 1. طول هیپوتانوز M"" 1 N 0 مثلث M"" 1 N"" 1 N 0 با فاصله مورد نظر از M تا b مطابقت دارد.

راه حل دوم

• به موازات CD، ما یک صفحه جلویی جدید P 4 را معرفی می کنیم. P 1 را در امتداد محور X 1 و X 1 ∥C"D را قطع می کند. مطابق با روش جایگزینی صفحات، پیش بینی نقاط C"" 1، D"" 1 و M"" 1 را همانطور که در شکل نشان داده شده است تعیین می کنیم.
• عمود بر C"" 1 D"" 1 یک اضافی می سازیم صفحه افقی P 5 که روی آن خط مستقیم b به نقطه C پیش بینی می شود" 2 = b" 2.
• فاصله بین نقطه M و خط b با طول قطعه M" 2 C" 2 که با رنگ قرمز مشخص شده است تعیین می شود.

وظایف مشابه: