بیانیه شکل پیچیده تری نسبت به نام است. وقتی گزاره‌ها را به بخش‌های ساده‌تر تجزیه می‌کنیم، همیشه یک نام می‌گیریم. بگو، عبارت "خورشيد ستاره است" شامل نامهاي "خورشيد" و "ستاره" به عنوان اجزاي آن است.

بیانیه -جمله ای که از نظر دستوری صحیح است، همراه با معنی (محتوای) که بیان می کند و درست یا نادرست است.

مفهوم بیان یکی از مفاهیم اصلی است، مفاهیم کلیدیمنطق مدرن به این ترتیب اجازه نمی دهد تعریف دقیق، به همان اندازه در بخش های مختلف آن قابل استفاده است.

یک گزاره در صورتی که توصیفی که ارائه می دهد با وضعیت واقعی مطابقت داشته باشد صحیح و اگر با آن مطابقت نداشته باشد نادرست تلقی می شود. "درست" و "نادرست" را "ارزشهای حقیقت اظهارات" می نامند.

از بیانیه های فردی به روش های مختلفمی توانید عبارات جدیدی بسازید. به عنوان مثال، از جملات "باد می وزد" و "باران است" می توان جملات پیچیده تری را ایجاد کرد: "باد می وزد و باران می بارد"، "یا باد می وزد یا باران می آید"، "اگر ببارد" باران می بارد، سپس باد می وزد» و غیره.

بیانیه نامیده می شود ساده،مگر اینکه شامل عبارات دیگری به عنوان بخشی از آن باشد.

بیانیه نامیده می شود مجتمع،اگر با استفاده از اتصالات منطقی از دیگر عبارات ساده تر به دست آمده باشد.

بیایید بیشترین را در نظر بگیریم راه های مهمساخت و ساز اظهارات پیچیده.

بیانیه منفیشامل یک گزاره اولیه و یک نفی است که معمولاً با کلمات "نه"، "این درست نیست" بیان می شود. بنابراین یک گزاره منفی یک گزاره پیچیده است: به عنوان قسمت خود عبارتی متفاوت از آن را شامل می شود. به عنوان مثال، نفی عبارت "10 عدد زوج است" عبارت "10 عدد زوج نیست" است (یا: "این درست نیست که 10 عدد زوج است").

بیایید عبارات را با حروف مشخص کنیم الف، ب، ج،... معنی کامل مفهوم نفی یک گزاره با شرط: اگر گزاره الفدرست است، نفی آن نادرست است و اگر الفنادرست است، نفی آن صادق است. به عنوان مثال، از آنجایی که گزاره «1 یک عدد صحیح مثبت است» درست است، نفی آن «1 عدد صحیح مثبت نیست» نادرست است و از آنجایی که «1 یک عدد اول است» نادرست است، نفی آن «1 عدد اول نیست». ” درست است.

اتصال دو عبارت با استفاده از کلمه "and" یک دستور پیچیده به نام ایجاد می کند پیوند.عباراتی که از این طریق به هم متصل می شوند، «اعضای پیوند» نامیده می شوند.

به عنوان مثال، اگر جملات "امروز گرم است" و "دیروز سرد بود" به این ترتیب ترکیب شوند، ربط "امروز گرم است و دیروز سرد بود" به دست می آید.

یک حرف ربط تنها در صورتی صادق است که هر دو عبارت موجود در آن درست باشند. اگر حداقل یکی از اعضای آن نادرست باشد، کل حرف ربط نادرست است.

در زبان معمولی، دو گزاره زمانی که از نظر محتوا یا معنا به یکدیگر مرتبط باشند، با حرف ربط «و» به هم متصل می شوند. ماهیت این ارتباط کاملاً مشخص نیست، اما واضح است که ما حرف ربط «او با کت راه می‌رفت و من به سمت دانشگاه می‌رفتم» را تعبیری تلقی نمی‌کنیم که معنا دارد و می‌تواند درست یا نادرست باشد. اگرچه عبارات "2 عدد اول است" و "مسکو است شهر بزرگدرست است، ما تمایلی نداریم که پیوند آنها را "2 عدد اول است و مسکو یک شهر بزرگ است" درست بدانیم، زیرا عبارات تشکیل دهنده از نظر معنی به هم مرتبط نیستند. منطق با ساده‌سازی معنای ربط و سایر اتصالات منطقی و برای این منظور، کنار گذاشتن مفهوم نامشخص «ارتباط گزاره‌ها با معنا»، معنای این پیوندها را گسترده‌تر و مشخص‌تر می‌کند.

اتصال دو عبارت با استفاده از کلمه "یا" می دهد تفکیکاین اظهارات عباراتی که یک تفکیک را تشکیل می دهند «اعضای جدایی» نامیده می شوند.

کلمه "یا" در زبان روزمره دو معنای متفاوت دارد. گاهی به معنای "یکی یا دیگری یا هر دو" است و گاهی "یکی یا دیگری، اما نه هر دو". به عنوان مثال، عبارت "این فصل می خواهم بروم" ملکه بیل"یا در "آیدا" امکان بازدید دوبار از اونرا را فراهم می کند. عبارت «او در دانشگاه مسکو یا یاروسلاول تحصیل می کند» به این معناست که فرد مذکور تنها در یکی از این دانشگاه ها تحصیل می کند.

اولین معنای "یا" نامیده می شود غیر انحصاریدر این معنا، تفکیک دو گزاره به این معنی است که حداقل یکی از این گزاره ها صادق است، صرف نظر از اینکه هر دو صادق هستند یا خیر. در دومی گرفته شده است انحصارییا به معنای دقیق، تفکیک دو گزاره بیان می کند که یکی از گزاره ها درست و دومی نادرست است.

تفکیک غیر انحصاری زمانی درست است که حداقل یکی از گزاره‌های تشکیل‌دهنده آن درست باشد، و زمانی نادرست است که هر دو عضو آن نادرست باشند.

تفکیک انحصاری زمانی درست است که فقط یکی از جمله‌های آن درست باشد، و زمانی نادرست است که هر دو عبارت آن صادق یا هر دو نادرست باشند.

در منطق و ریاضیات، کلمه "یا" تقریباً همیشه به معنای غیر انحصاری استفاده می شود.

بیانیه مشروط -یک عبارت پیچیده که معمولاً با استفاده از رابط "اگر...، آنگاه..." فرموله می شود و آن یک رویداد، حالت و غیره را ایجاد می کند. به یک معنا مبنای یا شرط دیگری است.

به عنوان مثال: "اگر آتش وجود دارد، پس دود وجود دارد"، "اگر عددی بر 9 بخش پذیر باشد، بر 3 بخش پذیر است" و غیره.

یک دستور شرطی از دو عبارت ساده تر تشکیل شده است. به آن چیزی که قبل از کلمه «اگر» آمده است گفته می شود اساس،یا پیشین(قبلی)، عبارتی که بعد از کلمه «آن» آمده است نامیده می شود نتیجه،یا نتیجه ای(بعدی).

مقصود ما از تصدیق قول شرط اولاً این نیست که آنچه در اساس آن گفته می شود واقع شود و آنچه در نتیجه گفته می شود غایب باشد. به عبارت دیگر، نمی‌توان اتفاق افتاد که مقدم صادق و نتیجة آن باطل باشد.

در یک گزاره شرطی، معمولاً مفاهیم شرط کافی و لازم تعریف می شود: مقدم (زمینه) شرط کافی برای نتیجه (نتیجه) است و نتیجه آن است. شرط لازمبرای پیشین برای مثال، صدق عبارت شرطی «اگر انتخاب عقلانی است، بهترین گزینه موجود انتخاب می‌شود» به این معناست که عقلانیت دلیل کافی برای انتخاب بهترین گزینه‌های موجود است و انتخاب چنین گزینه‌ای شرط لازم برای عقلانیت آن است.

یک عملکرد معمولی یک دستور شرطی، توجیه یک عبارت با ارجاع به گزاره دیگر است. برای مثال، این حقیقت که نقره رسانای الکتریکی است را می‌توان با اشاره به فلز بودن آن توجیه کرد: «اگر نقره یک فلز است، رسانای الکتریکی است».

ارتباط بین دلیل و موجه (بنیاد و نتیجه) بیان شده توسط یک گزاره شرطی دشوار است نمای کلی، و فقط گاهی اوقات ماهیت آن نسبتاً روشن است. این ارتباط می تواند اولاً یک ارتباط نتیجه منطقی باشد که بین مقدمات و نتیجه گیری صحیح صورت می گیرد ("اگر همه موجودات زنده چند سلولی فانی باشند و چتر دریایی چنین موجودی باشد پس فانی است"). ثانیاً، طبق قانون طبیعت ("اگر جسمی در معرض اصطکاک قرار گیرد، شروع به گرم شدن می کند"). ثالثاً، یک ارتباط علی ("اگر ماه در گره مدار خود در ماه جدید باشد، خورشید گرفتگی")؛ چهارم، نظم اجتماعی، قاعده، سنت و غیره. («اگر جامعه تغییر کند، فرد نیز تغییر می کند»، «اگر توصیه منطقی است، باید اجرا شود»).

ارتباطی که با یک گزاره شرطی بیان می‌شود معمولاً با این باور همراه است که نتیجه با ضرورت خاصی از دلیل «پیش می‌آید» و قانون کلی وجود دارد که توانسته است آن را صورت‌بندی کند، ما می‌توانیم به طور منطقی نتیجه را از دلیل استنتاج کنیم. .

به عنوان مثال، گزاره شرطی "اگر بیسموت یک فلز پلاستیکی است" به نظر می رسد قانون کلی "هیچ فلزی پلاستیکی نیست" را پیش فرض می گیرد و نتیجه این عبارت را نتیجه منطقی پیشین خود می کند.

هم در زبان معمولی و هم در زبان علم، یک گزاره شرطی، علاوه بر کارکرد توجیه، می تواند تعدادی کار دیگر را نیز انجام دهد: تنظیم شرطی که با هیچ قانون یا قاعده کلی ضمنی مرتبط نباشد («اگر من می خواهم، من شنل خود را می برم)) هر دنباله ای را ضبط کنید ("اگر تابستان گذشته خشک بود ، امسال بارانی است"). ابراز ناباوری به شکلی عجیب و غریب ("اگر این مشکل را حل کنید، آخرین قضیه فرما را اثبات خواهم کرد")؛ مخالفت ("اگر سنجد در باغ رشد می کند ، پس مردی در کیف زندگی می کند") و غیره. تعدد و ناهمگونی توابع یک عبارت شرطی به طور قابل توجهی تحلیل آن را پیچیده می کند.

استفاده از جملات شرطی با عوامل روانشناختی خاصی همراه است. بنابراین، ما معمولاً چنین گزاره ای را تنها در صورتی فرمول بندی می کنیم که به طور قطع ندانیم که مقدم و پیامد آن درست است یا نادرست. در غیر این صورت، استفاده از آن غیر طبیعی به نظر می رسد ("اگر پشم پنبه فلزی است، یک رسانای الکتریکی است").

عبارت شرطی بسیار است کاربرد گستردهدر تمام زمینه های استدلال در منطق معمولاً با نشان داده می شود بیانیه ضمنی،یا مفاهیمدر عین حال، منطق استفاده از «اگر...، پس...» را روشن، نظام‌مند و ساده می‌کند و آن را از تأثیر عوامل روان‌شناختی رها می‌کند.

منطق، به ویژه از این واقعیت انتزاع می شود که ارتباط بین دلیل و نتیجه، مشخصه یک گزاره شرطی، بسته به زمینه، می تواند نه تنها با استفاده از «اگر...، پس...»، بلکه از دیگران نیز بیان شود. ابزار زبانی. به عنوان مثال، "از آنجایی که آب مایع است، فشار را به طور یکنواخت در همه جهات منتقل می کند"، "اگرچه پلاستیکین فلز نیست، پلاستیک است"، "اگر چوب فلز بود، رسانای الکتریکی بود" و غیره. این گزاره ها و گزاره های مشابه در زبان منطق به صورت ضمنی نشان داده می شوند، اگرچه استفاده از «اگر...، آنگاه...» در آنها کاملاً طبیعی نخواهد بود.

با بیان یک دلالت، ادعا می کنیم که نمی تواند مبنای آن موجود باشد و پیامد آن غایب باشد. به عبارت دیگر، دلالت تنها در صورتی نادرست است که دلیل آن صادق و نتیجه آن نادرست باشد.

این تعریف، مانند تعاریف قبلی از اتصالات، فرض می‌کند که هر گزاره یا درست یا نادرست است و ارزش صدق یک گزاره پیچیده فقط به ارزش‌های صدق عبارات تشکیل‌دهنده و نحوه اتصال آنها بستگی دارد.

دلالت زمانی صادق است که هم دلیل و هم نتیجه آن صادق یا نادرست باشد; اگر دلیلش باطل باشد و نتیجه اش درست باشد درست است. فقط در مورد چهارم که دلیل صادق و نتیجه باطل است، دلالت باطل است.

به طور ضمنی گفته نمی شود الفو دراز نظر محتوا به نوعی با یکدیگر مرتبط هستند. اگر درست باشد دربیانیه "اگر الف،که IN"بدون توجه به اینکه آیا درست است الفدرست یا نادرست است و از نظر معنی با دریا نه

به عنوان مثال، عبارات زیر درست در نظر گرفته می شود: "اگر زندگی در خورشید وجود دارد، پس دو و دو برابر با چهار"، "اگر ولگا یک دریاچه است، پس توکیو یک دهکده بزرگ است" و غیره. یک گزاره شرطی زمانی نیز صادق است الفنادرست، و باز هم بی تفاوت، درست است دریا نه و آیا از نظر محتوا به آن مربوط است الفیا نه جملات واقعی عبارتند از: "اگر خورشید یک مکعب است، پس زمین یک مثلث است"، "اگر دو و دو برابر پنج، پس توکیو یک شهر کوچک است" و غیره.

در استدلال معمولی، بعید به نظر می‌رسد که همه این گزاره‌ها به‌عنوان معنادار در نظر گرفته شوند، و حتی کمتر درست.

اگرچه استلزام برای بسیاری از اهداف مفید است، اما کاملاً با درک معمول اتصال شرطی سازگار نیست. استلزام بسیاری از ویژگی های مهم رفتار منطقی یک عبارت شرطی را پوشش می دهد، اما در عین حال توصیف کافی از آن نیست.

در نیم قرن اخیر تلاش های شدیدی برای اصلاح نظریه استلزام صورت گرفته است. در عین حال، بحث کنار گذاشتن مفهوم توصیف شده دلالت نیست، بلکه در کنار آن مفهوم دیگری را معرفی می کند که نه تنها ارزش های صدق گزاره ها، بلکه ارتباط آنها را در محتوا نیز در نظر می گیرد.

ارتباط نزدیک با استلزام برابری،گاهی اوقات "مضمون دوگانه" نامیده می شود.

هم ارزی عبارت پیچیده ای است "A اگر و فقط اگر B" که از گزاره های Li B تشکیل شده و به دو مفهوم تجزیه می شود: "اگر الف،سپس B، و "اگر B، پس الف".به عنوان مثال: "مثلث متساوی الاضلاع است اگر و فقط اگر متساوی الاضلاع باشد." اصطلاح "معادل" همچنین به پیوند "...، اگر و فقط اگر..." اشاره می کند، به کمک آن یک عبارت پیچیده معین از دو گزاره تشکیل می شود. به جای «اگر و فقط اگر»، «اگر و فقط اگر»، «اگر و فقط اگر» و غیره می توان برای این منظور استفاده کرد.

اگر پیوندهای منطقی بر حسب صدق و کذب تعریف شوند، یک هم ارزی درست است اگر و تنها در صورتی که هر دو گزاره سازنده ارزش صدق یکسانی داشته باشند، یعنی. زمانی که هر دو درست یا هر دو نادرست هستند. بر این اساس، معادل زمانی نادرست است که یکی از گزاره های موجود در آن صحیح و دیگری نادرست باشد.

منطق گزاره ای که به آن منطق گزاره ای نیز می گویند، شاخه ای از ریاضیات و منطق است که اشکال منطقی گزاره های پیچیده ساخته شده از گزاره های ساده یا ابتدایی را با استفاده از عملیات منطقی مطالعه می کند.

منطق گزاره‌ای از محتوای گزاره‌ها انتزاع می‌کند و ارزش صدق آن‌ها، یعنی درست یا نادرست بودن گزاره را بررسی می‌کند.

تصویر بالا تصویری از پدیده ای است که به پارادوکس دروغگو معروف است. در عین حال، به نظر نویسنده پروژه، چنین پارادوکس هایی تنها در محیط هایی که عاری از مشکلات سیاسی نیستند امکان پذیر است، جایی که می توان به فردی پیشینی برچسب دروغگو زد. در دنیای طبیعی چند لایه موضوع "حقیقت" یا "کاذب" فقط اظهارات فردی ارزیابی می شود . و بعداً در این درس با شما آشنا می شوید فرصتی برای ارزیابی بسیاری از اظهارات در مورد این موضوع برای خود (و سپس به پاسخ های صحیح نگاه کنید). از جمله عبارات پیچیده که در آنها موارد ساده تر با نشانه هایی از عملیات منطقی به هم مرتبط هستند. اما ابتدا، اجازه دهید این عملیات را بر روی خود بیانیه ها در نظر بگیریم.

منطق گزاره ای در علوم کامپیوتر و برنامه نویسی به صورت اعلام متغیرهای منطقی و اختصاص مقادیر منطقی "نادرست" یا "درست" به آنها استفاده می شود که روند اجرای بیشتر برنامه به آن بستگی دارد. در برنامه‌های کوچکی که فقط یک متغیر بولی درگیر می‌شود، معمولاً به متغیر بولی نامی مانند «پرچم» داده می‌شود و زمانی که مقدار متغیر «true» است و «پرچم پایین است»، معنای آن بالاست مقدار این متغیر "نادرست" است. در برنامه های بزرگ که چندین یا حتی متغیرهای منطقی زیادی در آن ها وجود دارد، متخصصان موظفند نام متغیرهای منطقی را در قالب عبارات و جملات ارائه دهند. بار معنایی، متمایز کردن آنها از سایر متغیرهای منطقی و قابل درک برای سایر متخصصان که متن این برنامه را خواهند خواند.

بنابراین، یک متغیر منطقی با نام "UserRegistered" (یا آنالوگ انگلیسی زبان آن) را می توان در قالب یک عبارت اعلام کرد که در صورت وجود شرایط ارسال داده های ثبت نام، می توان مقدار منطقی "true" را به آن اختصاص داد. توسط کاربر و این داده ها توسط برنامه معتبر شناخته می شود. در محاسبات بعدی، ممکن است مقادیر متغیرها بسته به مقدار منطقی (درست یا نادرست) متغیر UserRegistered تغییر کند. در موارد دیگر، به متغیری، به عنوان مثال، با نام "بیش از سه روز مانده به روز"، می توان قبل از بلوک خاصی از محاسبات، مقدار "True" را به آن اختصاص داد و در طول اجرای بعدی برنامه این مقدار می تواند ذخیره شده یا به "false" تغییر یافته و پیشرفت اجرای بیشتر به مقدار این متغیر بستگی دارد.

اگر یک برنامه از چندین متغیر منطقی استفاده کند که نام آنها به صورت دستورات باشد و عبارات پیچیده تری از آنها ساخته شود، توسعه برنامه بسیار ساده تر است اگر قبل از توسعه آن، همه عملیات را از روی آن یادداشت کنیم. عبارات در قالب فرمول های مورد استفاده در منطق بیانیه نسبت به ما در طول این درس چیزی است که ما انجام خواهیم داد.

عملیات منطقی روی عبارات

برای گزاره‌های ریاضی همیشه می‌توان بین دو گزینه متفاوت، «درست» و «نادرست» انتخاب کرد، اما برای گزاره‌هایی که به زبان «کلامی» بیان می‌شوند، مفاهیم «حقیقت» و «نادرست» تا حدودی مبهم‌تر هستند. با این حال، برای مثال، اشکال کلامی مانند "برو خانه" و "باران است؟" بنابراین واضح است که گزاره ها اشکال کلامی هستند که در آنها چیزی بیان می شود . جملات استفهامی یا تعجبی، استیناف و همچنین خواسته یا خواسته، بیانیه نیستند. آنها را نمی توان با مقادیر "درست" و "نادرست" ارزیابی کرد.

برعکس، گزاره‌ها را می‌توان به‌عنوان کمیت‌هایی در نظر گرفت که می‌توانند دو معنی به خود بگیرند: «درست» و «نادرست».

به عنوان مثال، قضاوت های زیر داده می شود: "سگ حیوان است"، "پاریس پایتخت ایتالیا است"، "3

اولین مورد از این گزاره ها را می توان با نماد "درست"، دوم با "نادرست"، سوم با "درست" و چهارم با "نادرست" ارزیابی کرد. این تفسیر از گزاره ها موضوع جبر گزاره ای است. ما عبارات را با حروف بزرگ نشان خواهیم داد با حروف لاتین الف, ب، ... و معانی آنها به ترتیب درست و نادرست وو L. در گفتار معمولی، ارتباط بین عبارات "و"، "یا" و دیگران استفاده می شود.

این اتصالات با اتصال عبارات مختلف به یکدیگر اجازه می دهند تا عبارات جدیدی را تشکیل دهند - اظهارات پیچیده . به عنوان مثال، رابط "و". بگذارید اظهارات داده شود: " π بیش از 3" و بیانیه " π کمتر از 4". شما می توانید یک عبارت جدید - پیچیده را سازماندهی کنید " π بیش از 3 و π کمتر از 4". بیانیه "اگر π پس غیر منطقی π ² نیز غیرمنطقی است" با اتصال دو عبارت با همبند "اگر - آنگاه" به دست می آید و در نهایت، می توانیم با انکار گزاره اصلی، یک عبارت جدید - یک گزاره پیچیده - بدست آوریم.

در نظر گرفتن گزاره ها به عنوان مقادیری که معانی می گیرند وو L، در ادامه تعریف خواهیم کرد عملیات منطقی روی عبارات ، که به ما امکان می دهد از این عبارات عبارات پیچیده جدیدی به دست آوریم.

بگذارید دو عبارت دلخواه داده شود الفو ب.

1 . اولین عملیات منطقی روی این عبارات - پیوند - نشان دهنده تشکیل یک دستور جدید است که به آن اشاره خواهیم کرد. الف ∧ بو اگر و فقط اگر درست است الفو بدرست هستند. در گفتار معمولی، این عملیات مربوط به ارتباط عبارات با پیوند "و" است.

جدول حقیقت برای پیوند:

2 . دومین عملیات منطقی روی عبارات الفو ب- تفکیک به صورت الف ∨ ب، به صورت زیر تعریف می شود: اگر و تنها در صورتی درست است که حداقل یکی از عبارات اصلی درست باشد. در گفتار معمولی، این عملیات مربوط به اتصال عبارات با پیوند "یا" است. با این حال، در اینجا ما یک "یا" غیرقابل تقسیم داریم که به معنای "یا یا" درک می شود که الفو بهر دو نمی توانند درست باشند در تعریف منطق گزاره ای الف ∨ بهم درست است اگر فقط یکی از گزاره ها درست باشد و هم اگر هر دو گزاره درست باشند الفو ب.

جدول حقیقت برای تفکیک:

3 . سومین عملیات منطقی روی عبارات الفو ب، بیان شده است الف → ب; گزاره ای که به این ترتیب به دست می آید اگر و فقط اگر نادرست است الفدرست است، اما بنادرست الفتماس گرفت توسط بسته , ب - نتیجه ، و بیانیه الف → ب - دنبال کردن ، ضمنی نیز نامیده می شود. در گفتار معمولی، این عملیات با پیوند "اگر-آنگاه" مطابقت دارد: "اگر الف، آن باما در تعریف منطق گزاره ای، این گزاره صرف نظر از درست یا نادرست بودن گزاره همیشه صادق است. ب. این شرایط را می‌توان به اختصار چنین بیان کرد: «از باطل همه چیز حاصل می‌شود». به نوبه خود، اگر الفدرست است، اما بنادرست است، پس کل بیانیه الف → بنادرست اگر و فقط اگر درست خواهد بود الف، و بدرست هستند. به طور خلاصه، این را می توان به صورت زیر فرموله کرد: "کاذب نمی تواند از حقیقت حاصل شود."

جدول حقیقتی که باید دنبال شود (پیمایش):

4 . چهارمین عملیات منطقی روی گزاره ها، به طور دقیق تر روی یک گزاره، نفی یک گزاره نامیده می شود الفو با ~ نشان داده می شود الف(همچنین می توانید از نماد ~ استفاده نکنید، بلکه از نماد ¬ و همچنین یک امتیاز اضافی در بالا استفاده کنید الف). ~ الفزمانی وجود دارد که نادرست است الفدرست است و زمانی درست است الفنادرست

جدول حقیقت برای نفی:

5 . و در نهایت پنجمین عملیات منطقی روی گزاره ها را هم ارزی می نامند و نشان می دهند الف ↔ ب. بیانیه حاصل الف ↔ بیک جمله درست است اگر و فقط اگر الفو بهر دو درست هستند یا هر دو نادرست.

جدول حقیقت برای معادل سازی:

اکثر زبان های برنامه نویسی دارای نمادهای خاصی برای نشان دادن معانی منطقی عبارات هستند که تقریباً در همه زبان ها به صورت صحیح و نادرست نوشته می شوند.

بیایید موارد فوق را خلاصه کنیم. منطق گزاره ای پیوندهایی را مطالعه می کند که کاملاً با روشی که برخی از عبارات از دیگران ساخته می شوند تعیین می شوند که ابتدایی نامیده می شوند. در این حالت گزاره های ابتدایی به عنوان کل در نظر گرفته می شوند و نمی توان آنها را به اجزاء تجزیه کرد.

اجازه دهید در جدول زیر نام ها، نمادها و معنای عملیات منطقی روی دستورات را سیستماتیک کنیم (به زودی دوباره به آنها برای حل مثال ها نیاز خواهیم داشت).

برای عملیات منطقی درست است قوانین منطق جبر، که می تواند برای ساده سازی عبارات بولی استفاده شود. باید توجه داشت که در منطق گزاره ای از محتوای معنایی یک گزاره انتزاع می شود و خود را به در نظر گرفتن آن از موضع درست یا نادرست بودن آن محدود می کند.

مثال 1.

1) (2 = 2) و (7 = 7) ;

2) Not(15;

3) ("کاج" = "بلوط") یا ("گیلاس" = "افرا");

4) نه ("کاج" = "بلوط") ;

5) (نه (15 20) ;

6) ("چشم داده شده برای دیدن") و ("زیر طبقه سوم طبقه دوم است");

7) (6/2 = 3) یا (7*5 = 20) .

1) منظور از عبارت در پرانتز اول "درست" است، معنای عبارت در پرانتز دوم نیز صادق است. هر دو عبارت با عملیات منطقی "AND" به هم متصل می شوند (قوانین این عملیات را در بالا ببینید)، بنابراین ارزش منطقی کل این عبارت "درست" است.

2) منظور از عبارت داخل پرانتز «نادرست» است. قبل از این گزاره یک عملیات منطقی نفی وجود دارد، بنابراین معنای منطقی کل این گزاره «صحیح» است.

3) منظور از عبارت داخل کروشه اول «نادرست» است، معنای عبارت داخل کروشه دوم نیز «نادرست» است. عبارات با عملیات منطقی "OR" به هم متصل می شوند و هیچ یک از عبارات مقدار "true" را ندارند. بنابراین، معنای منطقی کل این بیانیه «کاذب» است.

4) منظور از عبارت داخل پرانتز «نادرست» است. پیش از این بیان، عملیات منطقی نفی است. بنابراین، معنای منطقی کل این بیانیه "درست" است.

5) عبارت داخل پرانتز در اولین کروشه نفی می شود. این گزاره در داخل پرانتز به معنای «کاذب» است، بنابراین نفی آن معنای منطقی «درست» خواهد داشت. عبارت داخل پرانتز دوم به معنای «نادرست» است. این دو عبارت با عملیات منطقی "AND" به هم متصل می شوند، یعنی "درست و نادرست" به دست می آید. بنابراین، معنای منطقی کل این بیانیه "کاذب" است.

6) منظور از عبارت داخل کروشه اول «درست» است، معنای عبارت داخل کروشه دوم نیز «صحیح» است. این دو عبارت با عملیات منطقی "AND" به هم متصل می شوند، یعنی "واقعی و حقیقت" به دست می آید. بنابراین، معنای منطقی کل این بیانیه "درست" است.

7) منظور از عبارت در پرانتز اول "درست" است. منظور از عبارت داخل پرانتز دوم «نادرست» است. این دو عبارت با عملیات منطقی "OR" به هم متصل می شوند، یعنی نتیجه "درست یا نادرست" است. بنابراین، معنای منطقی کل این بیانیه "درست" است.

مثال 2.جملات پیچیده زیر را با استفاده از عملیات منطقی بنویسید:

1) "کاربر ثبت نام نشده است"؛

2) "امروز یکشنبه است و برخی از کارمندان سر کار هستند";

3) "کاربر در صورتی ثبت می شود که داده های ارسالی توسط کاربر معتبر تلقی شود."

1) ص- عبارت واحد "کاربر ثبت شده است"، عملیات منطقی: ;

2) ص- بیانیه واحد "امروز یکشنبه است" q- «بعضی از کارمندان سر کار هستند»، عملیات منطقی: ;

3) ص- بیانیه واحد "کاربر ثبت شده است" q- "داده های ارسال شده توسط کاربر معتبر یافت شد"، عملیات منطقی: .

نمونه هایی از منطق گزاره ای را خودتان حل کنید و سپس به راه حل ها نگاه کنید

مثال 3.مقادیر منطقی عبارات زیر را محاسبه کنید:

1) ("70 ثانیه در یک دقیقه وجود دارد") یا ("یک ساعت در حال اجرا زمان را نشان می دهد");

2) (28 > 7) و (300/5 = 60) ;

3) ("تلویزیون - وسیله برقی") و ("شیشه - چوب");

4) Not((300 > 100) OR ("شما می توانید تشنگی خود را با آب رفع کنید"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

مثال 4.جملات پیچیده زیر را با استفاده از عملیات منطقی بنویسید و مقادیر منطقی آنها را محاسبه کنید:

1) "اگر ساعت زمان را اشتباه نشان می دهد، ممکن است در زمان اشتباه به کلاس برسید"؛

2) "در آینه می توانید انعکاس خود و پاریس، پایتخت ایالات متحده آمریکا را ببینید".

مثال 5.مقدار بولی یک عبارت را تعیین کنید

(ص → q) ↔ (r → س) ,

ص = "278 > 5" ,

q= "سیب = پرتقال",

ص = "0 = 9" ,

س= "کلاه سر را می پوشاند".

فرمول های منطق گزاره ای

مفهوم شکل منطقی یک عبارت پیچیده با استفاده از مفهوم روشن می شود فرمول های منطق گزاره ای .

در مثال های 1 و 2 یاد گرفتیم که عبارات پیچیده را با استفاده از عملیات منطقی بنویسیم. در واقع به آنها فرمول های منطق گزاره ای می گویند.

برای نشان دادن عبارات، مانند مثال ذکر شده، ما همچنان از حروف استفاده می کنیم

ص, q, r, ..., ص 1 , q 1 , r 1 , ...

این حروف نقش متغیرهایی را ایفا می کنند که مقادیر true و true و false را به عنوان مقادیر در نظر می گیرند. به این متغیرها متغیرهای گزاره ای نیز می گویند. در ادامه با آنها تماس خواهیم گرفت فرمول های ابتدایی یا اتم ها .

برای ساخت فرمول های منطق گزاره ای، علاوه بر حروف ذکر شده در بالا، از علائم عملیات منطقی استفاده می شود.

~, ∧, ∨, →, ↔,

و همچنین نمادهایی که امکان خواندن بدون ابهام فرمول ها را فراهم می کند - براکت چپ و راست.

مفهوم فرمول های منطق گزاره ای بیایید آن را به صورت زیر تعریف کنیم:

1) فرمول های ابتدایی (اتم ها) فرمول های منطق گزاره ای هستند.

2) اگر الفو ب- فرمول های منطق گزاره ای، سپس ~ الف , (الف ∧ ب) , (الف ∨ ب) , (الف → ب) , (الف ↔ ب) نیز فرمول های منطق گزاره ای هستند;

3) فقط آن عبارات فرمول های منطق گزاره ای هستند که این از 1) و 2 نتیجه می شود.

تعریف فرمول منطق گزاره ای شامل فهرستی از قوانین تشکیل این فرمول ها است. طبق تعریف، هر فرمول منطقی گزاره‌ای یا یک اتم است یا از اتم‌ها در نتیجه به کارگیری منسجم قانون 2 تشکیل شده است.

مثال 6.اجازه دهید ص- جمله واحد (اتم) "همه اعداد گویا واقعی هستند" q- "برخی از اعداد واقعی اعداد گویا هستند" r- "برخی از اعداد گویا واقعی هستند." فرمول های منطق گزاره ای زیر را به صورت گزاره های کلامی ترجمه کنید:

6) .

1) "هیچ اعداد واقعی که گویا باشند وجود ندارد"؛

2) "اگر همه اعداد گویا واقعی نیستند، پس خیر اعداد گویا، که معتبر هستند"؛

3) «اگر همه اعداد گویا حقیقی باشند، برخی از اعداد حقیقی اعداد گویا و برخی از اعداد گویا واقعی هستند».

4) «همه اعداد حقیقی اعداد گویا و برخی اعداد حقیقی اعداد گویا و برخی اعداد گویا اعداد حقیقی هستند».

5) «همه اعداد گویا حقیقی هستند اگر و فقط اگر اینطور نباشد که همه اعداد گویا واقعی نباشند».

6) «اینطور نیست که همه اعداد گویا حقیقی نباشند و اعداد حقیقی گویا یا اعداد گویا وجود نداشته باشند».

مثال 7.یک جدول صدق برای فرمول منطق گزاره ای ایجاد کنید ، که در جدول قابل تعیین است f .

راه حل. با ثبت مقادیر ("درست" یا "نادرست") برای گزاره های منفرد (اتم ها) شروع به جمع آوری جدول صدق می کنیم. ص , qو r. تمام مقادیر ممکن در هشت ردیف جدول نوشته شده است. علاوه بر این، هنگام تعیین مقادیر عملیات ضمنی و حرکت به سمت راست در جدول، به یاد می‌آوریم که وقتی «نادرست» از «درست» آمده است، مقدار برابر با «نادرست» است.

توجه داشته باشید که هیچ اتمی شکل ~ را ندارد الف , (الف ∧ ب) , (الف ∨ ب) , (الف → ب) , (الف ↔ ب) . فرمول های پیچیده این نوع را دارند.

اگر بپذیریم که تعداد پرانتزها در فرمول های منطق گزاره ای کاهش می یابد

1) در فرمول پیچیدهما جفت بیرونی براکت ها را حذف می کنیم.

2) بیایید علائم عملیات منطقی را "به ترتیب تقدم" ترتیب دهیم:

↔, →, ∨, ∧, ~ .

در این لیست علامت ↔ بیشترین دامنه و علامت ~ کمترین دامنه را دارد. دامنه عمل یک علامت عملیاتی به آن بخشهایی از فرمول منطق گزاره ای اطلاق می شود که وقوع این علامت مورد نظر در مورد آنها اعمال می شود (که بر اساس آن عمل می کند). بنابراین، می توان در هر فرمولی آن جفت پرانتز را که می توان با در نظر گرفتن "ترتیب تقدم" بازیابی کرد، حذف کرد. و هنگام بازگردانی پرانتز ابتدا تمام پرانتزهای مربوط به همه رخدادهای علامت ~ قرار می گیرند (از چپ به راست حرکت می کنیم) سپس به همه رخدادهای علامت ∧ و غیره.

مثال 8.پرانتزها را در فرمول منطق گزاره ای بازیابی کنید ب ↔ ~ سی ∨ D ∧ الف .

راه حل. براکت ها گام به گام به شرح زیر بازیابی می شوند:

ب ↔ (~ سی) ∨ D ∧ الف

ب ↔ (~ سی) ∨ (D ∧ الف)

ب ↔ ((~ سی) ∨ (D ∧ الف))

(ب ↔ ((~ سی) ∨ (D ∧ الف)))

هر فرمول منطقی گزاره ای را نمی توان بدون پرانتز نوشت. مثلا در فرمول ها الف → (ب → سی) و ~( الف → ب) حذف بیشتر براکت ها امکان پذیر نیست.

توتولوژی ها و تضادها

توتولوژی های منطقی (یا به سادگی توتولوژی ها) فرمول های منطق گزاره ای هستند به گونه ای که اگر حروف خودسرانه با گزاره هایی (درست یا نادرست) جایگزین شوند، نتیجه همیشه یک گزاره درست خواهد بود.

از آنجایی که صدق یا نادرستی گزاره های پیچیده فقط به معانی بستگی دارد، نه به محتوای گزاره ها، که هر کدام با حرف خاصی مطابقت دارد، پس بررسی اینکه آیا یک گزاره داده شده یک توتولوژی است یا نه، می تواند به روش زیر انجام شود. در عبارت مورد مطالعه، مقادیر 1 و 0 (به ترتیب "درست" و "نادرست") به تمام روش های ممکن جایگزین حروف می شوند و مقادیر منطقی عبارات با استفاده از عملیات منطقی محاسبه می شوند. اگر همه این مقادیر برابر با 1 باشند، عبارت مورد مطالعه یک توتولوژی است، و اگر حداقل یک جایگزینی 0 را به دست آورد، آن یک توتولوژی نیست.

بنابراین، یک فرمول منطقی گزاره ای که مقدار "true" را برای هر توزیعی از مقادیر اتم های موجود در این فرمول می گیرد، نامیده می شود. یکسان با فرمول واقعی یا توتولوژی .

معنای مخالف یک تناقض منطقی است. اگر تمام مقادیر عبارات برابر با 0 باشد، عبارت یک تناقض منطقی است.

بنابراین، یک فرمول منطقی گزاره ای که مقدار "نادرست" را برای هر توزیعی از مقادیر اتم های موجود در این فرمول می گیرد، نامیده می شود. فرمول یکسان نادرست یا تناقض .

علاوه بر توتولوژی ها و تضادهای منطقی، فرمول هایی از منطق گزاره ای وجود دارد که نه توتولوژی هستند و نه تناقض.

مثال 9.یک جدول صدق برای یک فرمول منطق گزاره ای بسازید و تعیین کنید که آیا این یک توتولوژی، یک تضاد یا هیچکدام نیست.

راه حل. بیایید یک جدول حقیقت ایجاد کنیم:

در معانی دلالت، خطی نمی یابیم که در آن «کاذب» از «درست» آمده باشد. تمام مقادیر عبارت اصلی برابر با "درست" است. در نتیجه، این فرمول منطق گزاره ای یک توتولوژی است.

جملات ساده و پیچیده، متغیرهای منطقی و ثابت های منطقی، نفی منطقی، ضرب منطقی، جمع منطقی، جداول صدق برای عملیات منطقی

برای خودکارسازی فرآیندهای اطلاعاتی، لازم است نه تنها بتوانیم اطلاعات را به صورت یکسان ارائه کنیم انواع مختلف(عددی، متنی، گرافیکی، صدا) به صورت توالی صفر و یک، بلکه برای تعیین اقداماتی که می توان روی اطلاعات انجام داد. اجرای چنین اقداماتی مطابق با قوانین حاکم بر فرآیند تفکر انجام می شود. به عبارت دیگر مطابق با قوانین منطق. واژه «منطق» از واژه یونانی باستان گرفته شده است1 O§08 , به معنای «فکر، استدلال، قانون». علممنطق هاقوانین و اشکال تفکر، روش های شواهد را مطالعه می کند.

برای توصیف استدلال و قوانین برای انجام اعمال با اطلاعات، از زبان خاصی که در منطق ریاضی اتخاذ شده است استفاده می شود. استدلال مبتنی بر جملات خاصی به نام گزاره است. گزاره ها همیشه چیزی را در مورد اشیا، خصوصیات آنها و روابط بین اشیا ادعا یا رد می کنند. گزاره به هر گزاره ای گفته می شود که درباره آن درست یا نادرست می توان گفت. عبارات فقط می توانند جملات اظهاری باشند. جملات پرسشی یا انگیزشی گزاره نیستند.

بیانیه - گزاره ای که به صورت جمله ای تصریحی تنظیم می شود و می توان درباره آن درست یا نادرست گفت.

به عنوان مثال، جملات پرسشیاولین بار در چه سالی به مسکو اشاره شد؟ و "حافظه خارجی کامپیوتر چیست؟" یا جمله تشویقی "از قوانین ایمنی در آزمایشگاه کامپیوتر پیروی کنید" جملاتی نیستند. جملات روایی "اولین ذکر تواریخ از مسکو در سال 1812 بود"، "دستگاه ذخیره سازی تصادفی حافظه خارجیکامپیوتر" و "هیچ قوانین ایمنی در آزمایشگاه کامپیوتر وجود ندارد" جملاتی هستند زیرا گزاره هایی هستند که می توان گفت هر کدام نادرست هستند. اظهارات واقعی عبارت های زیر خواهد بود: "اولین ذکر تواریخ از مسکو در سال 1147 بود"، "دیسک مغناطیسی سخت حافظه خارجی یک کامپیوتر است."

هر عبارت تنها با یکی از دو معنی مطابقت دارد: "درست" یا "نادرست" که هستندثابت های منطقیمقدار واقعی معمولا با عدد 1 و نشان داده می شود ارزش کاذب- شماره 0. اظهارات را می توان با استفاده از نشان دادمتغیرهای منطقیکه با حروف بزرگ لاتین استفاده می شود. متغیرهای بولی فقط می توانند یکی از دو مقدار ممکن را بگیرند: true یا false. به عنوان مثال، عبارت "اطلاعات در رایانه با استفاده از دو کاراکتر رمزگذاری شده است" را می توان با یک متغیر منطقی نشان داد.الف،و عبارت "چاپگر یک دستگاه ذخیره سازی است" را می توان با یک متغیر منطقی نشان داددراز آنجا که عبارت اول درست است، پسالف= 1. این علامت به این معنی است که عبارتالفدرست است. از آنجایی که گزاره دوم درست نیست، پسB =0. این ورودی به این معنی است که عبارت in نادرست است.

عبارات می توانند ساده یا پیچیده باشند. بیانیه نامیده می شودساده،اگر هیچ بخشی از آن بیانیه نباشد. تاکنون نمونه هایی از جملات ساده ارائه شده است که با تغییرات منطقی مشخص می شوند. با ایجاد زنجیره ای از استدلال، شخص با استفاده از عملیات منطقی، ترکیب می شود گفته های ساده Vسخت تر» اظهارات.برای پی بردن به معنای یک عبارت پیچیده، نیازی به تفکر در مورد محتوای آن نیست. کافی است معنی عبارات ساده ای که یک دستور پیچیده را تشکیل می دهند و قوانین انجام عملیات منطقی را بدانیم.

عملیات منطقی - عملی که به شما امکان می دهد یک دستور پیچیده از عبارات ساده بنویسید.

تمام استدلال انسان، و همچنین عملکرد دستگاه های فنی مدرن، بر اساس اقدامات استاندارد با اطلاعات است - سه عملیات منطقی: نفی منطقی (وارونگی)، ضرب منطقی (پیوند) و جمع منطقی (انفصال).

نفی منطقی یک عبارت ساده با اضافه کردن کلمات به دست می آید"این درست نیست" در ابتدای یک جمله ساده

■ مثال 1.یک ضرب المثل ساده وجود دارد: "تمساح ها می توانند پرواز کنند." نتیجه نفی منطقی عبارت خواهد بود«این درست نیست تمساح ها می توانند پرواز کنند." معنای عبارت اصلی «نادرست» و معنای عبارت جدید «درست» است.

■ مثال 2.یک عبارت ساده وجود دارد: "فایل باید یک نام داشته باشد." نتیجه نفی منطقی عبارت خواهد بود«این درست نیست فایل باید یک نام داشته باشد." معنای عبارت اصلی «درست» و معنای عبارت جدید «نادرست» است.

می توان توجه داشت که نفی منطقی یک گزاره زمانی درست است که گزاره اصلی نادرست باشد و بالعکس، نفی منطقی یک گزاره زمانی نادرست است که گزاره اصلی درست باشد.

نفی منطقی (وارونگی) - یک عملیات منطقی که یک عبارت ساده را با یک عبارت جدید مرتبط می کند که معنای آن مخالف معنای عبارت اصلی است.

اجازه دهید یک عبارت ساده از یک متغیر منطقی را نشان دهیمالفسپس نفی منطقی این عبارت را به عنوان NOT نشان خواهیم دادالف بیایید تمام مقادیر ممکن متغیر منطقی را یادداشت کنیمالفو نتایج مربوط به نفی منطقی NOTالف در قالب جدولی به نامجدول صدق برای نفی منطقی (جدول 40).

می توانید متوجه شوید که در جدول صدق برای نفی منطقی، صفر به یک و یک به صفر تغییر می کند.

ضرب منطقیدو عبارت ساده با ترکیب این گزاره ها با استفاده از حرف ربط به دست می آیدو.بیایید به مثال های 3-6 نگاه کنیم تا ببینیم حاصل ضرب منطقی چه خواهد شد.

■ مثال3. دو عبارت ساده وجود دارد. یک جمله - "کارلسون در زیرزمین زندگی می کند." ضرب المثل دیگر این است که "کارلسون با بستنی پذیرفته می شود."

حاصل ضرب منطقی این جملات ساده عبارت پیچیده ای خواهد بود که «کارلسون در زیرزمین زندگی می کند،وکارلسون با بستنی درمان می شود. می توانید بیانیه جدید را به طور خلاصه تر بیان کنید: «کارلسون در زیرزمین زندگی می کندوبا بستنی درمان شد.» هر دو گزاره اصلی نادرست هستند. معنای عبارت ترکیبی جدید نیز "نادرست" است.

■ مثال 4.دو جمله ساده وجود دارد. اولین جمله این است که "کارلسون در زیرزمین زندگی می کند." جمله دوم این است که "کارلسون با مربا درمان می شود."

حاصل ضرب منطقی این جملات ساده عبارت پیچیده خواهد بود: «کارلسون در زیرزمین زندگی می کند.وبا مربا درمان می شود. اولین عبارت اصلی نادرست است و دومی درست است. معنای عبارت ترکیبی جدید "دروغ" است.

■ مثال 5.دو جمله ساده وجود دارد. اولین جمله این است که "کارلسون روی پشت بام زندگی می کند." جمله دوم این است که "کارلسون با بستنی درمان می شود."

حاصل ضرب منطقی این جملات ساده عبارت پیچیده «کارلسون در پشت بام زندگی می کندوبا بستنی درمان شد.» اولین عبارت درست است و دومی نادرست است. معنی عبارت ترکیبی جدید «دروغ».

* مثالب. دو جمله ساده وجود دارد. یک جمله این است که "کارلسون روی پشت بام زندگی می کند." ضرب المثل دیگری: "کارلسون با مربا درمان می شود."

نتیجه ضرب منطقی این جملات ساده عبارت پیچیده "کارلسون روی پشت بام زندگی می کند و با مربا درمان می شود" خواهد بود. هر دو گزاره اصلی درست است. معنای یک عبارت پیچیده جدید نیز «حقیقت» است.

می توان توجه داشت که ضرب منطقی دو عبارت فقط در یک مورد صادق است - زمانی که هر دو گزاره اصلی درست باشند.س

ضرب منطقی (پیوند ربط) - یک عملیات منطقی که دو عبارت ساده را با یک عبارت جدید مرتبط می‌کند، که معنای آن درست است اگر و تنها در صورتی که هر دو عبارت اصلی درست باشند.

جدول حقیقت برای ضرب منطقی

جدول 41

اگرالف = 0, در =0, سپس A و B-0 (به مثال 3 مراجعه کنید). اگرA = 0،7 = 1، پسالفودر -0 (به مثال 4 مراجعه کنید). اگر/1 = 1،B =0، سپسالفو d=0 (به مثال 5 مراجعه کنید). اگر L= \، B = \، سپس A\\ B = \(نمونه 6 را ببینید).

متوجه خواهید شد که نتایج ضرب منطقی با نتایج ضرب معمولی صفر و یک برابر است.

اضافه منطقیدو عبارت ساده با ترکیب این گزاره ها با استفاده از حرف ربط به دست می آیدیابیایید به مثال های 7-10 نگاه کنیم تا ببینیم نتیجه جمع منطقی چه خواهد بود.

مثال 7 . دو جمله ساده وجود دارد. یک بیانیه - "کمدی "بازرس کل" توسط M. Yu. بیانیه دیگر - "کمدی "بازرس کل" توسط I. A. Krylov نوشته شده است."

نتیجه اضافه شدن منطقی این جملات ساده عبارت پیچیده "کمدی "بازرس کل" توسط M. YuیاI. A. Krylov." هر دو گزاره اصلی نادرست هستند. معنای عبارت ترکیبی جدید نیز "نادرست" است.

مثال 8. دو جمله ساده وجود دارد. اولین بیانیه "کمدی "بازرس کل" توسط M. Yu. بیانیه دوم این است که "کمدی "بازرس کل" توسط N.V. Gogol نوشته شده است.

نتیجه اضافه منطقی این عبارات ساده استنیایک بیانیه پیچیده وجود خواهد داشت "کمدی "بازرس کل" توسط M، K نوشته شده است). لرمانتوفیاN.V. Gogol." ابتدا حروف شماجمله نادرست است و دومی صادق است. معنای عبارت پیچیده جدید «حقیقت» است.

مثال 9 . دو جمله ساده وجود دارد. اولین بیانیه این است که "شعر "Mtsyri" توسط M. Yu. جمله دوم این است که "شعر "متسیری" توسط N.V. Gogol سروده شده است. نتیجه اضافه کردن منطقی این عبارات ساده عبارت پیچیده خواهد بود "شعر "متسیری" توسط M. Yu یا N. V. Gogol نوشته شده است. اولین عبارت اصلی درست است و دومی نادرست است. معنای عبارت پیچیده جدید "حقیقت" است.

مثال 10 . دو جمله ساده وجود دارد. یک بیانیه - "A. اس. پوشکین شعر نوشت" بیانیه دیگری - "A. اس پوشکین نثر نوشت. حاصل جمع منطقی این عبارات ساده عبارت پیچیده «A. اس.پوشکین شعر یا نثر می‌نوشت.» هر دو گزاره اصلی درست است. معنای عبارت مرکب جدید نیز «حقیقت» است.

می توان توجه داشت که جمع منطقی دو عبارت فقط در یک مورد نادرست است - زمانی که هر دو گزاره اولیه نادرست باشند.

جمع منطقی (انفصال)- یک عملیات منطقی که دو عبارت ساده را با یک دستور جدید مرتبط می کند، که معنای آن نادرست است اگر و فقط اگر هر دو گزاره اصلی نادرست باشند.

اجازه دهید یک عبارت ساده را با متغیر منطقی A و دیگری را با متغیر منطقی B نشان دهیم.

سپس به جمع منطقی این عبارات اشاره خواهیم کرد الفیا در

بیایید تمام مقادیر ممکن متغیرهای منطقی A, B و همچنین نتیجه متناظر از جمع منطقی A OR B را در قالب جدولی به نام جدول صدق بنویسیم.

عملیات با علائم باینری مطابق با جداول صدق برای جمع منطقی انجام می شود

می توانید متوجه شوید که نتایج جمع منطقی، به جز خط آخر، با نتایج جمع معمولی صفر و یک منطبق است.

بنابراین، با استفاده از زبان منطق، استدلال را می توان با اعمال با گزاره ها جایگزین کرد. به نوبه خود می توان به عبارات یک علامت باینری اختصاص داد - 0 یا 1. اقدامات با علائم باینری مطابق با جداول صدق برای عملیات منطقی اساسی نفی منطقی، ضرب منطقی و جمع منطقی انجام می شود (جدول 40-42 را ببینید).

23. اظهارات. عملیات منطقی

جمع منطقی (انفکاک) دو عبارت نادرست است

1) اگر و فقط اگر هر دو گزاره درست باشند

2) اگر و فقط اگر هر دو گزاره نادرست باشند

3) زمانی که حداقل یک جمله درست باشد

4) زمانی که حداقل یک جمله نادرست است

عبارات منطقی انجام عملیات منطقی

نوشتن عبارات منطقی، اولویت انجام عملیات منطقی، یافتن مقدار یک عبارت منطقی، انجام عملیات منطقی با اطلاعات انواع مختلف، ضرب منطقی و جمع منطقی یک سیستم کامل از عملیات منطقی را تشکیل می دهد که با کمک آنها می توانید. هر عبارت پیچیده ای را بنویسید و حقیقت آن را مشخص کنید. هنگام توصیف استدلال با استفاده از زبان منطق ریاضی، گزاره‌های ساده با متغیرهای منطقی (حروف لاتین)، معانی گزاره‌ها با ثابت‌های منطقی (صفر یا یک)، و عملیات منطقی با اتصالات خاص (NOT، AND، یا). رکوردی که با استفاده از چنین متغیرها، ثابت ها و اتصالات کامپایل شده باشد، عبارت منطقی نامیده می شود.

یک عبارت منطقی یک نماد نمادین در زبان منطق ریاضی است که از متغیرهای منطقی یا ثابت های منطقی متحد شده توسط عملیات منطقی (اتصالات) تشکیل شده است.

هنگام یافتن مقدار یک عبارت منطقی، عملیات منطقی با توجه به اولویت آنها به ترتیب خاصی انجام می شود - ابتدا نفی منطقی، سپس ضرب منطقی و تنها پس از آن جمع منطقی. عملیات منطقی که اولویت یکسانی دارند از چپ به راست اجرا می شوند. از پرانتز برای تغییر ترتیب انجام عملیات منطقی استفاده می شود.

■ مثال 1. با توجه به یک عبارت درست ساده A = "ارسطو - فیلسوف یونان باستان"و یک جمله ساده نادرست B = "ارسطو یک فیلسوف باستانی روسی است."

اقدامات مربوط به اطلاعات عملیات پایه

معانی عبارات پیچیده که با عبارات منطقی زیر مطابقت دارد:

1) نه A;

2) A OR B;

3) A I (NEV).

راه حل. 1) نتیجۀ نفی منطقی گزاره A این خواهد بود که «این درست نیست که ارسطو یک فیلسوف یونان باستان است». از آنجایی که مقدار عبارت اصلی "true" A = 1 است، پس مقدار نفی منطقی این عبارت "false" A = 0 نیست (جدول 40 را ببینید). 2) نتیجه جمع منطقی دو گزاره عبارت "ارسطو یک یونان باستان است یا ارسطو یک فیلسوف باستانی روسی است" خواهد بود. از آنجایی که مقدار اولین گزاره اولیه "درست" A = 1، و مقدار دومین گزاره اولیه "نادرست" B = 0، پس مقدار جمع منطقی این گزاره ها "درست" A یا B = 1 است (نگاه کنید به جدول 42). 3) حاصل ضرب منطقی گزاره الف و نفی منطقی گزاره ب عبارت «ارسطو فیلسوف یونان باستان است و اینکه ارسطو فیلسوف روسی باستانی است درست نیست». ابتدا، نفی منطقی عبارت B را انجام می‌دهیم. از آنجایی که مقدار عبارت "false" اصلی B = 0 است، پس مقدار نفی منطقی این عبارت "true" B = 1 نیست (جدول 40 را ببینید). از آنجایی که مقدار اولین گزاره اولیه "true" A = 1 و مقدار نفی منطقی گزاره اولیه دوم "true" B = 1 نیست، پس مقدار ضرب منطقی این گزاره ها "true" A AND ( نه B) = 1

(به جدول 41 مراجعه کنید)

پاسخ دهید. 1) "دروغ"؛ 2) "حقیقت"؛ 3) "حقیقت". برای یافتن معنای یک دستور پیچیده، کافی است معانی عبارات ساده موجود در عبارت پیچیده و قوانین انجام عملیات منطقی که این دستورات ساده را با هم ترکیب می کنند، بدانید.

■ مثال 2. مقدار عبارت منطقی NOT A OR (0 OR 1) AND (NOT B AND 1) را بیابید، اگر مقادیر متغیرهای منطقی A = 1، B = 0 باشد.

راه حل. 1) بیایید متغیرهای منطقی را در یک عبارت منطقی با ثابت های منطقی جایگزین کنیم. NEAILI(0OR 1)AND(NEVI 1)= =NOT1OR(0OR1)AND(NOTAND1).

2) توالی عملیات منطقی را مطابق با اولویت آنها تعیین کنید. HE4 1 OR6 (0 OR1 1) AND5 (HEG 0 AND3 1).

زیر بیانیهبه عنوان یک بیان زبانی درک می شود که فقط یکی از دو چیز را می توان در مورد آن گفت: درست است یا نادرست. گزاره ها برخلاف قضاوت ها شخصیت شخصی ندارند.

سؤالات، درخواست‌ها، دستورها، تعجب‌ها، کلمات فردی (به استثنای مواردی که نماینده جملاتی از قبیل «عصر شب می‌شود»، «سرد می‌شود» و غیره) بیانیه نیستند. درستی و نادرستی گزاره ها از آنهاست ارزش های منطقی

گزاره ها به اسنادی، وجودی و رابطه ای تقسیم می شوند.

اسنادیبه عباراتی گفته می شود که در آن خاصیت یا حالتی از یک شیء تأیید یا رد می شود.

وجودیگزاره هایی هستند که واقعیت وجود را تأیید یا رد می کنند.

رابطه ایعباراتی نامیده می شوند که روابط بین اشیاء را بیان می کنند.

گزاره ها، مانند اشکال منطقی آنها، می توانند ساده یا پیچیده باشند. مجتمعبیانیه را می توان به موارد ساده تقسیم کرد. ساده عبارات به موارد ساده تر تقسیم نمی شوند.

یک گزاره اسنادی ساده ساختاری دارد که شامل یک موضوع، یک محمول و یک رابط است.

موضوعگفتار (S) بخشی از گفتار است که موضوع فکر را بیان می کند.

محمولبیان (P) بخشی از گفتار است که نشانه ای از موضوع فکر، ویژگی، حالت، رابطه آن را نشان می دهد.

موضوع (S) و محمول (P) نامیده می شوند شرایط بسته نرم افزاری رابطه بین اصطلاحات (S و P) را نشان می دهد.

گزاره های اسنادی اغلب از کمیت های وجودی و کلی استفاده می کنند.

گزاره های اسنادی بر اساس کیفیت و کمیت تقسیم می شوند.

بر اساس کیفیت به مثبت و منفی تقسیم می شوند. در مثبت نشان می دهد که صفت قابل تصور در محمول متعلق (حضور) به موضوع عبارت است: «S P است». به عنوان مثال: "افلاطون یک فیلسوف ایده آلیست است." در منفی نشان می دهد که محمول به موضوع آن تعلق ندارد: «S P نیست».

بر اساس تعداد گزاره ها به مجرد، خاص و عام تقسیم می شوند. این به کلیت (تعداد، تعداد) اشیاء مجزا اشاره دارد که نام کلاس موضوعی را تشکیل می دهند.

در مجرد در گزاره ها، موضوع از یک چیز تشکیل شده است.

خصوصیعبارات این شکل را دارند: "بعضی S هستند (نیستند) P."

در عمومی در گزاره ها، فاعل همه اشیا را پوشش می دهد. چنین عباراتی این شکل را دارند: "همه S هستند (نه) P."

اظهارات بر اساس کیفیت و کمیت طبقه بندی می شوند. 4 دسته از گزاره ها وجود دارد:

1) جهانی (الف) -کلی از نظر کمیت و مثبت از نظر کیفیت ("همه S هستند P")؛

2) مثبت خصوصی (ج)- نسبی از نظر کمیت و تأییدی در کیفیت («بعضی S هستند R")

3) کلی منفی (E) - از نظر کمیت کلی و از نظر کیفیت منفی ("No S P است")؛

4) منفی جزئی (درباره)- ضریب از نظر کمیت و منفی در کیفیت ("بعضی S نیستند P").

در هر دسته از عبارات نسبت حجم S و P (شرح) متفاوت است. در منطق، مسئله رابطه بین حجم S و P نامیده می شود مشکل توزیع اصطلاحات یک اصطلاح در صورتی توزیع می شود که به طور کامل در محدوده یک اصطلاح دیگر قرار گیرد یا کاملاً از آن مستثنی شده باشد.

در کلاس A |همه S هستند P|موضوع به طور کامل در محمول توزیع می شود، اما محمول توزیع نمی شود.

دوستان عزیز، خوشحالیم که شما را در این صفحه می بینیم! بازدید کننده عزیز، این امکان وجود دارد که شما به دنبال آن باشید نقل قول های سادهبا نقاشی های مربوط به این موضوع باحال شما آنچه را که دنبالش بودید پیدا کردید. ما برای شما آرزوی خواندن و بهبودی ذهنی داریم!

کسانی که با پشتکار زندگی خود را تا سرحد آزمایش می‌کنند، دیر یا زود به هدف خود می‌رسند و آن را تماشایی به پایان می‌رسانند.

فهمیدم که برای فهمیدن معنای زندگی اول از همه باید زندگی بی معنا و شیطانی نباشد و بعد برای فهمیدن آن تعقل کرد. تولستوی L. N.

چگونه عشق قوی تر، او بی دفاع تر است. دوشس دایانا (ماری دو بوساک)

بخت و اقبال یک بار در طول زندگی در خانه هر کسی را می زند، اما در این زمان شخص اغلب در نزدیکترین میخانه می نشیند و صدای در زدن را نمی شنود. مارک تواین

من از کسی که 10000 اعتصاب مختلف را مطالعه می کند نمی ترسم. من از کسی می ترسم که یک ضربه را 10000 بار مطالعه کند.

هر روز در مورد تو خواب می بینم، شب به تو فکر می کنم!

هر کس نمی تواند 2/3 روز را برای خود داشته باشد، باید برده نامیده شود. فردریش نیچه

من یکی از کسانی بودم که حاضر شدم در مورد معنای زندگی صحبت کنم تا آماده ویرایش طرح بندی در این موضوع باشم. Eco U.

Desinit در Piscem mulier Formosa superne - زنی زیبا در بالا به دم ماهی ختم می شود.

ما برده عادات خود هستیم. عادات خود را تغییر دهید، زندگی شما تغییر خواهد کرد. رابرت کیوساکی

شما می توانید دست دراز کنید و خوشبختی را بدست آورید. خیلی نزدیک است! اما شما همیشه به عقب نگاه می کنید

شما همیشه می توانید خود را برای اشتباهات ببخشید اگر فقط شجاعت پذیرش اشتباهات را داشته باشید. بروس لی

اولین نفس عشق، آخرین نفس عقل است. آنتونی برت

دوستی عشق بدون بال است. بایرون

اگر انسان بتواند بگوید عشق چیست، پس کسی را دوست نداشته است.

هر چی عاشقش شدی ببوسش

به خاطر چند نفر می توانم از غرور و ترسم عبور کنم...

عشق ما از نگاه اول شروع شد.

حسادت، خیانت به ظن خیانت است. V. Krotov

با یک مرد منحصر به فرد - می خواهم آن را تکرار کنم!

یک زن عاشقانه از رابطه جنسی بدون عشق بیزار است. به همین دلیل او برای عاشق شدن در نگاه اول عجله دارد. لیدیا یاسینسایا

عشق در درون همه است، اما ارزش نشان دادن آن را فقط به کسانی دارد که به روی شما باز هستند.

راز عشق به یک شخص از لحظه ای شروع می شود که بدون تمایل به تصاحب او، بدون تمایل به حکومت بر او، بدون تمایل به استفاده از مواهب یا شخصیت او به هیچ وجه به او نگاه می کنیم - فقط نگاه می کنیم. و از زیبایی که بر ما آشکار شده شگفت زده می شوند . آنتونی، متروپولیتن سوروژ

من دوست دارم در یک جامعه بدوی باشم. نیازی نیست به پول فکر کنید، به ارتش، به هیچ عنوان یا مدرک تحصیلی. فقط زن، گاو و برده مهم است.

وقتی به یک طرف خوابیدن برای انسان ناراحت کننده است به طرف دیگر می چرخد ​​و زمانی که زندگی برایش ناراحت است فقط شکایت می کند. و شما تلاش می کنید و برمی گردانید. ماکسیم گورکی

عقربه کند زمان کوه ها را هموار می کند. ولتر

زنان تمام قلب دارند، حتی سر. ژان پل

بوسه تو آنقدر شیرین بود که من به سادگی از خوشحالی الهام گرفتم!

انسان مانند جوانه به سمت نور دراز می شود و بلندتر می شود. با رویای رویاهای غیرممکن، او به ارتفاعات بلندی می رسد.

دوستی واقعی بهتر از عشق دروغین است!

ما نمی توانیم از عزت نفس محروم شویم مگر اینکه خودمان آن را به گاندی بدهیم.

عشق با هم خودخواهی است.

دانش انسان را مهم تر می کند و اعمال به او درخشش می بخشد. اما بسیاری از مردم تمایل دارند که به نظر برسند اما وزن ندارند. تی. کارلایل

فقط در روسیه به عزیزان می گویند... غم من!

عشق نافرجام عشق نیست، شکنجه است!

کفایت توانایی انجام دو کار است: به موقع سکوت کردن و به موقع صحبت کردن.

خوشبختی با قضاوت درست می آید، قضاوت درست با تجربه و تجربه با قضاوت نادرست می آید.

انتظار نداشته باشید همه چیز آسان تر، ساده تر، بهتر شود. نمی شود. مشکلات همیشه وجود خواهد داشت. یاد بگیرید همین الان شاد باشید. در غیر این صورت وقت نخواهید داشت

زندگی، شاد یا ناشاد، موفق یا ناموفق، هنوز هم بسیار جالب است. ب. شاو

خودت را عاقل مپندار، وگرنه روحت با غرور بالا می رود و به دست دشمنانت می افتی. آنتونی کبیر

خواستگاری از همسرش برای او به اندازه شکار کباب بازی پوچ به نظر می رسید. امیل کروتکی

نامه ها و هدایا و تصاویر براق، ابراز لطافت مهم هستند. اما مهم‌تر است که رو در رو به حرف‌های یکدیگر گوش کنیم، این یک هنر عالی و کمیاب است. تی جانسون.

زندگی چنان شیطانی و ماهرانه چیده شده است که بدون دانستن متنفر بودن، نمی توان صادقانه دوست داشت. ام. گورکی

خیلی خوبه وقتی عزیزت یه دسته گل بزرگ بهت میده، خیلی خوبه، لعنتی!

بدون ترس، مردم به احمق های بی پروا تبدیل می شوند که اغلب جان خود را از دست می دهند. Isaac Asimov Fantastic Voyage II

دوست یک روح است که در دو بدن زندگی می کند. ارسطو

فردی که فقط به خودش فکر می کند به این معنا نیست که هر کاری می خواهد انجام دهد. این به این معنی است که می خواهید تمام دنیا آنطور که شما می خواهید زندگی کنند. - او. وایلد

هر مادری باید چند دقیقه وقت آزاد برای شستن ظروف در نظر بگیرد.