Кръгът е видима колекция от много точки, които са на същото разстояние от центъра. За да намерите неговата площ, трябва да знаете какви са радиусът, диаметърът, числото π и обиколката.

Количествата, участващи в изчисляването на площта на кръг

Разстоянието, ограничено от централната точка на окръжността и която и да е от точките на окръжността, се нарича радиус на тази геометрична фигура. Дължините на всички радиуси на една окръжност са еднакви. Отсечка между 2 точки от окръжност, която минава през нея Централна точкасе нарича диаметър. Дължината на диаметъра е равна на дължината на радиуса, умножена по 2.

За да изчислите площта на кръг, използвайте стойността на π. Тази стойност е равна на съотношението на обиколката към дължината на диаметъра на кръга и има постоянна стойност. Π = 3,1415926. Обиколката се изчислява по формулата L = 2πR.

Намерете площта на окръжност през радиуса

Следователно площта на окръжността е равна на произведението на числото π от радиуса на окръжността, повдигнато на степен 2. Като пример, нека вземем дължината на радиуса на окръжността, равна на 5 см. Тогава площта на окръжността S ще бъде равна на 3,14 * 5 ^ 2 = 78,5 кв. см.

Площ на кръг с диаметър

Площта на кръг може да се изчисли и като се знае размерът на диаметъра на кръга. В този случай S = (π / 4) * d ^ 2, където d е диаметърът на окръжността. Да вземем същия пример, където радиусът е 5 см. Тогава диаметърът му ще бъде 5 * 2 = 10 см. Площта на окръжността S = 3,14 / 4 * 10 ^ 2 = 78,5 кв. См. Резултатът, равен на общия брой изчисления в първия пример, потвърждава коректността на изчисленията и в двата случая.

Площ на кръг през обиколката

Ако радиусът на окръжността е представен по отношение на окръжността, тогава формулата ще изглежда така: R = (L / 2) π. Заместваме този израз във формулата за площта на кръг и в резултат получаваме S = (L ^ 2) / 4π. Помислете за пример, в който обиколката е 10 см. Тогава площта на окръжността е S = (10 ^ 2) / 4 * 3,14 = 7,96 кв. см.

Площ на кръг през дължината на страната на вписан квадрат

Ако квадратът е вписан в кръг, тогава дължината на диаметъра на окръжността е равна на дължината на диагонала на квадрата. Знаейки размера на страната на квадрата, можете лесно да разберете диаметъра на кръга по формулата: d ^ 2 = 2a ^ 2. С други думи, 2 степенен диаметър е равен на 2 степенна страна на квадрата, умножена на 2.

След като изчислите стойността на дължината на диаметъра на кръг, можете да разберете неговия радиус и след това да използвате една от формулите за определяне на площта на кръг.

Площ на сектор на кръг

Секторът е част от окръжност, ограничена от 2 радиуса и дъга между тях. За да разберете неговата площ, трябва да измерите ъгъла на сектора. След това трябва да направите дроб, в чийто числител ще има стойността на ъгъла на сектора, а в знаменателя - 360. За да изчислите площта на сектора, стойността, получена в резултат разделянето на дроба трябва да се умножи по площта на окръжността, изчислена по една от горните формули.

- това е плоска фигура, което е набор от точки, еднакво отдалечени от центъра. Всички те са на едно и също разстояние и образуват кръг.

Отсечката, която свързва центъра на окръжността с точките на нейната окръжност, се нарича радиус... Във всеки кръг всички радиуси са равни един на друг. Нарича се права линия, свързваща две точки на окръжност и минаваща през центъра диаметър... Формулата за площта на кръг се изчислява с помощта на математическа константа - числото π ..

Интересно е : Число π. е съотношението на обиколката на окръжност към дължината на нейния диаметър и е постоянна. Стойността π = 3,1415926 е приложена след трудовете на Л. Ойлер през 1737г.

Площта на кръг може да се изчисли с помощта на константата π. и радиуса на окръжността. Формулата за площта на окръжност по отношение на радиуса изглежда така:

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на окръжност по отношение на радиуса. Нека е дадена окръжност с радиус R = 4 см. Нека намерим площта на фигурата.

Нашата обиколка ще бъде 50,24 квадратни метра. см.

Има формула площ на кръг през диаметър... Също така се използва широко за изчисляване на необходимите параметри. Тези формули могат да се използват за намиране.

Помислете за пример за изчисляване на площта на окръжност по отношение на диаметъра, като знаете неговия радиус. Нека е дадена окръжност с радиус R = 4 см. Като начало намираме диаметъра, който, както знаете, е два пъти по-голям от радиуса.


Сега използваме данните за пример за изчисляване на площта на кръг, използвайки горната формула:

Както можете да видите, резултатът е същият отговор като при първите изчисления.

Познаването на стандартните формули за изчисляване на площта на кръг ще помогне в бъдеще лесно да се определи секторна площи е лесно да се намерят липсващи количества.

Вече знаем, че формулата за площта на окръжността се изчислява чрез произведението на константата π на квадрата на радиуса на окръжността. Радиусът може да бъде изразен чрез обиколката и изразът може да бъде заместен във формулата за площта на окръжността по отношение на окръжността:
Сега заместваме това равенство във формулата за изчисляване на площта на окръжност и получаваме формулата за намиране на площта на кръг през окръжността

Помислете за пример за изчисляване на площта на кръг по отношение на обиколката. Нека е дадена окръжност с дължина l = 8 см. Заместете стойността в получената формула:

Общата площ на кръга ще бъде 5 квадратни метра. см.

Площ на окръжност, описана около квадрат

Много е лесно да се намери площта на кръг, описан около квадрат.

Това изисква само страната на квадрата и познаването на прости формули. Диагоналът на квадрата ще бъде равен на диагонала на описаната окръжност. Познавайки страната a, тя може да бъде намерена по питагоровата теорема: от тук.
След като намерим диагонала, можем да изчислим радиуса:.
И след това заместваме всичко в основната формула за площта на кръг, описан около квадрат:

Как да намеря площта на кръг? Намерете първо радиуса. Научете се да решавате прости и сложни проблеми.

Кръгът е затворена крива. Всяка точка от линията на окръжността ще бъде на същото разстояние от централната точка. Кръгът е плоска фигура, така че решаването на проблеми с намирането на област е лесно. В тази статия ще разгледаме как да намерим площта на кръг, вписан в триъгълник, трапец, квадрат и описан около тези фигури.

За да намерите площта на дадена фигура, трябва да знаете какви са радиусът, диаметърът и числото π.

Радиус RДали разстоянието е ограничено от центъра на окръжността. Дължините на всички R-радиуси на една окръжност ще бъдат равни.

Диаметър DТова е линия между всякакви две точки от окръжността, която минава през централната точка. Дължината на тази линия е равна на дължината на R-радиуса, умножена по 2.

Число πТова е постоянна стойност, която е 3,1415926. В математиката това число обикновено се закръгля до 3,14.

Формулата за намиране на площта на окръжност по отношение на радиуса:

Примери за решаване на задачи за намиране на S-областта на окръжност през R-радиуса:

задача:Намерете площта на кръг, ако радиусът му е 7 cm.

Решение: S = πR², S = 3,14 * 7², S = 3,14 * 49 = 153,86 cm².

Отговор:Площта на кръга е 153,86 см².

Формулата за намиране на S-площта на окръжност през D-диаметъра:

Примери за решаване на задачи за намиране на S, ако D е известно:

————————————————————————————————————————-

задача:Намерете S на окръжността, ако нейното D е 10 cm.

Решение: P = π * d² / 4, P = 3,14 * 10² / 4 = 3,14 * 100/4 = 314/4 = 78,5 cm².

Отговор:Площта на плоска кръгла фигура е 78,5 см².

Намиране на S на окръжност, ако е известна обиколката:

Първо намираме какъв е радиусът. Обиколката се изчислява по формулата: L = 2πR, съответно радиусът R ще бъде равен на L / 2π. Сега намираме площта на кръг, използвайки формулата по отношение на R.

Нека разгледаме решението, като използваме примера на проблема:

———————————————————————————————————————-

задача:Намерете площта на окръжността, ако знаете обиколката L - 12 cm.

Решение:Първо намираме радиуса: R = L / 2π = 12/2 * 3,14 = 12 / 6,28 = 1,91.

Сега намираме площта през радиуса: S = πR² = 3,14 * 1,91² = 3,14 * 3,65 = 11,46 cm².

Отговор:Площта на кръга е 11,46 см².

Намирането на площта на окръжност, вписана в квадрат, е лесно. Страната на квадрата е диаметърът на окръжността. За да намерите радиуса, трябва да разделите страната на 2.

Формулата за намиране на площта на кръг, вписан в квадрат:

Примери за решаване на задачи за намиране на площта на кръг, вписан в квадрат:

———————————————————————————————————————

Задача номер 1:Известна е страната на квадратната фигура, която е 6 сантиметра. Намерете S-вписаната област.

Решение: S = π (a / 2) ² = 3,14 (6/2) ² = 3,14 * 9 = 28,26 cm².

Отговор:Площта на плоска кръгла фигура е 28,26 см².

————————————————————————————————————————

Проблем номер 2: Намерете S на окръжност, вписана в квадратна форма, и нейния радиус, ако едната страна е равна на a = 4 cm.

Решете така: Първо намираме R = a / 2 = 4/2 = 2 cm.

Сега намираме площта на окръжността S = 3,14 * 2² = 3,14 * 4 = 12,56 cm².

Отговор:Площта на плоска кръгла фигура е 12,56 см².

Малко по-трудно е да се намери областта на кръгла форма, описана около квадрат. Но, знаейки формулата, можете бързо да изчислите тази стойност.

Формулата за намиране S на окръжност, описана около квадратна фигура:

Примери за решаване на задачи за намиране на площта на кръг, описан около квадратна фигура:

Задача

Кръгът, който е вписан в триъгълната форма, е кръгът, който докосва трите страни на триъгълника. Можете да впишете кръг във всякаква триъгълна форма, но само една. Центърът на окръжността ще бъде точката на пресичане на ъглите на ъглите на триъгълника.

Формулата за намиране на площта на окръжност, вписана в равнобедрен триъгълник:

Когато радиусът е известен, площта може да се изчисли по формулата: S = πR².

Формулата за намиране на площта на вписана окръжност правоъгълен триъгълник:

Примери за решаване на задачи:

Проблем номер 1

Ако в тази задача също е необходимо да се намери площта на кръг с радиус 4 см, тогава това може да се направи по формулата: S = πR²

Проблем номер 2

Решение:

Сега, когато знаете радиуса, можете да намерите площта на окръжността по отношение на радиуса. Вижте формулата по-горе в текста.

Проблем номер 3

Площ на окръжност, описана около правоъгълен и равнобедрен триъгълник: формула, примери за решаване на проблеми

Всички формули за намиране на площта на кръг се свеждат до факта, че първо трябва да намерите неговия радиус. След като радиусът е известен, е лесно да се намери областта, както е описано по-горе.

Площта на окръжност, описана около правоъгълен и равнобедрен триъгълник, се намира по следната формула:

Примери за решаване на проблеми:

Ето още един пример за решаване на проблем с помощта на формулата на Херон.

Трудно е да се решат такива проблеми, но те могат да бъдат овладени, ако знаете всички формули. Учениците решават такива задачи в 9 клас.

Площ на окръжност, вписана в правоъгълен и равнобедрен трапец: формула, примери за решаване на проблеми

Равнобедрен трапец има две равни страни. Правоъгълният трапец има един ъгъл от 90º. Помислете как да намерите площта на кръг, вписан в правоъгълен и равнобедрен трапецна примера за решаване на проблеми.

Например окръжност е вписана в равнобедрен трапец, който в точката на допиране разделя едната страна на отсечки m и n.

За да разрешите този проблем, трябва да използвате следните формули:

Намирането на площта на кръг, вписан в правоъгълен трапец, се извършва по следната формула:

Ако страничната стена е известна, тогава радиусът може да бъде намерен с помощта на тази стойност. Височината на страната на трапеца е равна на диаметъра на окръжността, а радиусът е половината от диаметъра. Съответно радиусът е R = d / 2.

Примери за решаване на проблеми:

Трапецът може да бъде вписан в окръжност, когато сборът от противоположните му ъгли е 180º. Следователно може да бъде вписан само равнобедрен трапец. Радиусът за изчисляване на площта на окръжност, описана около правоъгълен или равнобедрен трапец, се изчислява по следните формули:

Примери за решаване на проблеми:

Решение:Страхотна база в в такъв случайминава през центъра, тъй като в окръжността е вписан равнобедрен трапец. Центърът разделя тази основа точно наполовина. Ако основата AB е 12, тогава радиусът R може да се намери по следния начин: R = 12/2 = 6.

Отговор:Радиусът е 6.

В геометрията е важно да знаете формулите. Но всички те са невъзможни за запомняне, така че дори при много изпити е позволено да се използва специален формуляр. Важно е обаче да можете да намерите правилната формула за решаване на конкретен проблем. Практикувайте решаването на различни задачи, за да намерите радиуса и площта на окръжността, за да можете правилно да замените формулите и да получите точни отговори.

Видео: Математика | Изчисляване на площите на кръг и неговите части

В геометрията наоколонарича се съвкупност от всички точки в равнината, които са отдалечени от една точка, наречена неин център, на разстояние не повече от дадено, наречено радиус. При което външна границакръгът е кръги ако дължината на радиуса е нула, кръгдегенерира до точка.

Определяне на площта на кръг

Ако е необходимо площ на кръгможе да се изчисли по формулата:

r- радиус на окръжност

д- диаметър на кръга

С- площ на кръг

π - 3.14

Това геометрична фигурамного често срещано както в технологиите, така и в архитектурата. Конструкторите на машини и механизми разработват различни части, секциите на много от които са точно кръг... Например, това са валове, пръти, пръти, цилиндри, оси, бутала и т.н. При производството на тези части, заготовки от различни материали(метали, дърво, пластмаси), техните секции също представляват точно кръг... От само себе си се разбира, че разработчиците често трябва да изчисляват площ на кръгпрез диаметъра или радиуса, използвайки за тази цел прости математически формули, открити в древни времена.

Точно тогава кръгли елементизапочва да се използва активно и широко в архитектурата. Един от най-ярките примери за това е циркът, който е вид сгради, предназначени за различни развлекателни събития. Арените им са оформени като кръг, като за първи път започват да се строят още в древността. Самата дума " цирк"В превод от латински означава" кръг". Ако в древни времена в циркове са се провеждали театрални представления и гладиаторски битки, сега те служат като място, където циркови представления се провеждат почти изключително с участието на треньори, акробати, фокусници, клоуни и т.н. Стандартният диаметър на цирковата арена е 13 метра и това не е съвпадение: факт е, че именно той осигурява необходимия минимум геометрични параметриарена, където циркови коне могат да галопират в кръг. Ако изчислим площ на кръгчрез диаметъра се оказва, че за циркова арена тази стойност е 113,04 квадратни метра.

Архитектурните елементи, които могат да приемат формата на кръг, са прозорците. Разбира се, в повечето случаи те са правоъгълни или квадратни (и до голяма степен поради факта, че е по-лесно както за архитекти, така и за строители), но в някои сгради можете да намерите и кръгли прозорци. Освен това в такива превозни средствакато въздушни, морски и речни съдове най-често са точно такива.

В никакъв случай не е необичайно използването на кръгли елементи за направата на мебели, като маси и столове. Има дори концепция „ кръгла маса “, Което предполага конструктивна дискусия, по време на която има цялостно обсъждане на различни важни проблеми и разработване на начини за решаването им. Що се отнася до производството на самите плотове, които имат кръгла форма, тогава за тяхното производство се използват специализирани инструменти и оборудване, при условие че участват работници с доста висока квалификация.