Площта на страничната повърхност на произволна пирамида е равна на сумата от площите на нейните странични страни. Има смисъл да се даде специална формула за изразяване на тази област в случай на правилна пирамида. И така, нека е дадена правилна пирамида, в основата на която има правилен n-ъгълник със страна равна на a. Нека h е височината на страничната повърхност, наричана още апотемапирамиди. Площта на едната странична повърхност е равна на 1 / 2ah, а цялата странична повърхност на пирамидата има площ, равна на n / 2ha. Тъй като na е периметърът на основата на пирамидата, можем да запишем намерената формула във формата:

Площ на страничната повърхностна правилна пирамида е равно на произведението на нейната апотема и половината от периметъра на основата.

Относно обща повърхностна площ, след което просто добавете основната площ отстрани.

Вписана и описана сфера и топка... Трябва да се отбележи, че центърът на сферата, вписана в пирамидата, лежи в пресечната точка на равнините на ъглополовящите на вътрешните двустранни ъгли на пирамидата. Центърът на сферата, описана близо до пирамидата, се намира в пресечната точка на равнините, минаващи през средните точки на ръбовете на пирамидата и перпендикулярни на тях.

Пресечена пирамида.Ако пирамидата е срязана от равнина, успоредна на основата й, тогава частта, затворена между секачната равнина и основата, се нарича пресечена пирамида.Фигурата показва пирамида, като изхвърлим частта й, която лежи над сечещата равнина, получаваме пресечена пирамида. Ясно е, че малката изхвърлена пирамида е хомотетична на голямата пирамида с център на хомотетията на върха. Коефициентът на сходство е равен на съотношението на височините: k = h 2 / h 1, или странични ръбове, или други съответни линейни размерии двете пирамиди. Знаем, че площите на такива фигури са свързани като квадрати с линейни размери; така че площите на основите на двете пирамиди (т.е. площта на основите на пресечена пирамида) са свързани като

Тук S 1 е площта на долната основа, а S 2 е площта на горната основа на пресечената пирамида. Страничните повърхности на пирамидите са в същото отношение. Подобно правило има и за обемите.

Обеми на подобни теласе отнасят като кубчета към техните линейни размери; например обемите на пирамидите са свързани като произведения на техните височини върху площта на основите, откъдето нашето правило се получава веднага. Тя има напълно общ характер и пряко следва от факта, че обемът винаги има размерността на третата степен на дължината. Използвайки това правило, ние извеждаме формула, изразяваща обема на пресечената пирамида по отношение на височината и площта на основите.

Нека е дадена пресечена пирамида с височина h и основни области S 1 и S 2. Ако си представим, че тя е продължена до пълна пирамида, тогава коефициентът на подобие на пълната пирамида и малката пирамида може лесно да се намери като корен на съотношението S 2 / S 1. Височината на пресечена пирамида се изразява като h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Сега имаме за обема на пресечена пирамида (V 1 и V 2 означават обемите на пълните и малките пирамиди)

Формула за обем на пресечена пирамида

Нека изведем формулата за площта S на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида през периметрите P 1 и P 2 на основите и дължината на апотема a. Ние спорим по абсолютно същия начин, както при извеждането на формулата за обема. Допълване на пирамидата Горна част, имаме P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, където k е коефициентът на подобие, P 1 и P 2 са периметрите на основите, а S 1 и S 2 са конете на страничните повърхности на цялата получена пирамида и нейната горна част, съответно. За страничната повърхност намираме (a 1 и a 2 са апотемите на пирамидите, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

формула за страничната повърхност на правилна пресечена пирамида

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато оставите заявка на сайта, ние може да събираме различна информация, включително вашето име, телефонен номер, адрес електронна пощаи т.н.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас и да докладваме уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Можем също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, състезание или подобно промоционално събитие, ние може да използваме предоставената от вас информация, за да администрираме тези програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме получената от вас информация на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебно разпореждане, в пробен период, и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Можем също да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за сигурност, правоприлагане или други социално важни причини.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, ние можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на подходяща трета страна - правоприемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на ниво компания

За да сме сигурни, че вашата лична информация е безопасна, ние въвеждаме правилата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно наблюдаваме прилагането на мерките за поверителност.

Цилиндърът е геометрично тяло, ограничено от две успоредни равнини и цилиндрична повърхност... В тази статия ще говорим за това как да намерим площта на цилиндъра и, използвайки формулата, ще решим например няколко проблема.

Един цилиндър има три повърхности: отгоре, отдолу и отстрани.

Горната и долната част на цилиндъра са кръгове и са лесни за идентифициране.

Известно е, че площта на кръг е равна на πr 2. Следователно, формулата за площта на два кръга (горната и долната част на цилиндъра) ще бъде πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Третата, странична повърхност на цилиндъра, е извитата стена на цилиндъра. За да представим по-добре тази повърхност, нека се опитаме да я трансформираме, за да получим разпознаваема форма. Представете си, че цилиндърът е обикновен калайкойто няма горен капак и дъно. Нека направим вертикален разрез на страничната стена от горната до долната част на кутията (Стъпка 1 на снимката) и се опитаме да отворим (изправим) получената фигура колкото е възможно повече (Стъпка 2).

След пълното отваряне на получения буркан ще видим вече познатата форма (Стъпка 3), това е правоъгълник. Площта на правоъгълник е лесна за изчисляване. Но преди това нека се върнем за момент към оригиналния цилиндър. Горната част на оригиналния цилиндър е кръг и знаем, че обиколката се изчислява по формулата: L = 2πr. Той е отбелязан в червено на фигурата.

Когато страничната стена на цилиндъра е напълно отворена, виждаме, че обиколката става дължината на получения правоъгълник. Страните на този правоъгълник ще бъдат обиколката (L = 2πr) и височината на цилиндъра (h). Площта на правоъгълник е равна на произведението на неговите страни - S = дължина x ширина = L x h = 2πr x h = 2πrh. В резултат на това получихме формула за изчисляване на площта на страничната повърхност на цилиндъра.

Формула на страничната повърхност на цилиндъра
S страна. = 2πrh

Пълна площ на цилиндъра

Накрая, ако съберем площите и на трите повърхности, получаваме формулата за общата повърхност на цилиндъра. Повърхността на цилиндъра е равна на площта на горната част на цилиндъра + площта на основата на цилиндъра + площта на страничната повърхност на цилиндъра или S = ​​πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Понякога този израз се записва с идентичната формула 2πr (r + h).

Формулата за общата повърхност на цилиндъра
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h)
r е радиусът на цилиндъра, h е височината на цилиндъра

Примери за изчисляване на повърхността на цилиндъра

За да разберем горните формули, нека се опитаме да изчислим повърхността на цилиндъра, като използваме примери.

1. Радиусът на основата на цилиндъра е 2, височината е 3. Определете площта на страничната повърхност на цилиндъра.

Общата повърхност се изчислява по формулата: S страна. = 2πrh

S страна. = 2 * 3,14 * 2 * 3

S страна. = 6,28 * 6

S страна. = 37,68

Страничната повърхност на цилиндъра е 37,68.

2. Как да намерим повърхността на цилиндъра, ако височината е 4, а радиусът е 6?

Общата повърхност се изчислява по формулата: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

• Задача 1. Намерете общата повърхност на пирамидата
• Задача 2. Намерете страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида

Проблем 1... Намерете общата повърхност на правилна пирамида

Решение.

Равностранен триъгълник лежи в основата на правилна триъгълна пирамида.
Следователно, за да решим проблема, ще използваме свойствата на правилния триъгълник:

Знаем височината на триъгълника, откъдето можем да намерим неговата площ.
h = √3 / 2 a
a = h / (√3 / 2)
a = 3 / (√3 / 2)
a = 6 / √3

Откъдето основната площ ще бъде равна на:
S = √3 / 4 a 2
S = √3 / 4 (6 / √3) 2
S = 3√3

За да намерим площта на страничната повърхност, изчисляваме височината KM. Ъгълът на OKM е 45 градуса според формулировката на проблема.
Поради това:
OK / MK = cos 45
Нека използваме таблицата със стойностите на тригонометричните функции и заместваме известните стойности.

ОК / MK = √2 / 2

Да вземем предвид, че OK е равен на радиуса на вписаната окръжност. Тогава
ОК = √3 / 6 а
ОК = √3 / 6 * 6 / √3 = 1

Тогава
ОК / MK = √2 / 2
1 / MK = √2 / 2
MK = 2 / √2

Тогава площта на страничната повърхност е равна на половината от произведението на височината и основата на триъгълника.
Страна = 1/2 (6 / √3) (2 / √2) = 6 / √6

Така общата повърхност на пирамидата ще бъде равна на
S = 3√3 + 3 * 6 / √6
S = 3√3 + 18 / √6

Отговор: 3√3 + 18/√6

Задача 2... Намерете страничната повърхност на правилна пирамида

Решение.

Тъй като основата на правилната триъгълна пирамида е равностранен триъгълник, AO е радиусът на окръжност, описана около основата.
(Това следва от)

Радиусът на окръжност, описана около равностранен триъгълник, се намира от неговите свойства

Откъдето дължината на ръбовете на правилна триъгълна пирамида ще бъде равна на:
AM 2 = MO 2 + AO 2
височината на пирамидата се знае от условието (10 cm), AO = 16√3 / 3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √ (556/3)

Всяка страна на пирамидата е равнобедрен триъгълник. Квадрат равнобедрен триъгълникнамерете от първата формула по-долу

S = 1/2 * 16 sqrt ((√ (556/3) + 8) (√ (556/3) - 8))
S = 8 квадратни метра ((556/3) - 64)
S = 8 квадратни метра (364/3)
S = 16 квадратни метра (91/3)

Тъй като и трите лица на правилната пирамида са равни, площта на страничната повърхност ще бъде равна на
3S = 48 √ (91/3)

Отговор: 48 √(91/3)

Задача 3. Намерете общата повърхност на правилна пирамида

Страната на правилната триъгълна пирамида е 3 см, а ъгълът между страничната повърхност и основата на пирамидата е 45 градуса. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.
Тъй като пирамидата е правилна, в основата й лежи равностранен триъгълник. Следователно площта на основата е


Така че = 9 * √3 / 4

За да намерим площта на страничната повърхност, изчисляваме височината KM. Ъгълът на OKM е 45 градуса според формулировката на проблема.
Поради това:
OK / MK = cos 45
Ще използваме

Това е многогранна фигура, в основата на която е многоъгълник, а останалите лица са представени от триъгълници с общ връх.

Ако в основата има квадрат, тогава пирамидата се нарича четириъгълен, ако триъгълник - тогава триъгълна... Височината на пирамидата се изтегля от върха й, перпендикулярно на основата. Използва се и за изчисляване на площта апотема- височината на страничната повърхност е паднала от горната му част.
Формулата за страничната повърхност на пирамидата е сумата от площите на страничните й лица, които са равни една на друга. Този метод на изчисление обаче се използва много рядко. По принцип площта на пирамидата се изчислява чрез периметъра на основата и апотема:

Нека разгледаме пример за изчисляване на площта на страничната повърхност на пирамида.

Нека е дадена пирамида с основа ABCDE и връх F. AB = BC = CD = DE = EA = 3 см. Апотем а = 5 см. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
Да намерим периметъра. Тъй като всички лица на основата са равни, периметърът на петоъгълника ще бъде равен на:
Сега може да се намери странична зонапирамиди:

Площ на правилна триъгълна пирамида

Правилната триъгълна пирамида се състои от основа, в която лежи равностранен триъгълник и три странични лица, които са равни по площ.
Може да се изчисли формулата за страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида различни начини... Можете да приложите обичайната формула за изчисляване през периметъра и апотема или можете да намерите площта на едно лице и да я умножите по три. Тъй като лицето на пирамидата е триъгълник, ще приложим формулата за площта на триъгълника. Това ще изисква апотема и дължина на основата. Нека разгледаме пример за изчисляване на страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида.

Дадена ви е пирамида с апотема а = 4 см и фасет на основата b = 2 см. Намерете площта на страничната повърхност на пирамидата.
Първо намерете площта на една от страничните лица. V този случайТя ще бъде:
Заменете стойностите във формулата:
Тъй като в правилната пирамида всички страни са еднакви, площта на страничната повърхност на пирамидата ще бъде равна на сумата от площите на трите лица. съответно:

Площ на пресечена пирамида

ОтсечениПирамидата е полиедър, който се образува от пирамида и нейното сечение, успоредно на основата.
Формулата за страничната повърхност на пресечена пирамида е много проста. Площта е равна на произведението на половината от сбора на периметрите на основите по апотема: