Будь-який дробовий вираз (п. 48) можна записати у вигляді , де Р і Q - раціональні вирази, причому Q обов'язково містить змінні. Такий дріб - називають раціональним дробом.

Приклади раціональних дробів:

Основна властивість дробу виражається тотожністю справедливою за умов тут - цілий раціональний вираз. Це означає, що чисельник і знаменник раціонального дробу можна помножити чи розділити одне й те відмінне від нуля число, одночлен чи многочлен.

Наприклад, властивість дробу може бути використана для зміни знаків членів дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу - помножити на -1, отримаємо Таким чином, значення дробу не зміниться, якщо одночасно змінити знаки чисельника і знаменника. Якщо ж змінити знак лише у чисельника чи тільки у знаменника, то й дріб змінить свої знак:

Наприклад,

60. Скорочення раціональних дробів.

Скоротити дріб - це означає розділити чисельник та знаменник дробу на загальний множник. Можливість такого скорочення обумовлена ​​основною властивістю дробу.

Щоб скоротити раціональну дріб, потрібно чисельник і знаменник розкласти на множники. Якщо виявиться, що чисельник та знаменник мають спільні множники, то дріб можна скоротити. Якщо загальних множників немає, перетворення дробу у вигляді скорочення неможливо.

приклад. Скоротити дріб

Рішення. Маємо

Скорочення дробу виконано за умови.

61. Приведення раціональних дробів до спільного знаменника.

Спільним знаменником кількох раціональних дробів називається цілий раціональний вираз, який поділяється на знаменник кожного дробу (див. п. 54).

Наприклад, загальним знаменником дробів і служить многочлен оскільки він ділиться і на і багаточлен і многочлен і многочлен тощо. буд. Зазвичай беруть такий спільний знаменник, що будь-який інший спільний знаменник ділиться на Еібранний. Такий найпростіший знаменник називають іноді найменшим спільним знаменником.

У розглянутому вище прикладі загальний знаменник дорівнює Маємо

Приведення даних дробів до спільного знаменника досягнуто шляхом множення чисельника та знаменника першого дробу на 2. а чисельника та знаменника другого дробу на Багаточлени називаються додатковими множниками відповідно для першого та другого дробу. Додатковий множник для даного дробу дорівнює частці від поділу спільного знаменника на знаменник даного дробу.

Щоб кілька раціональних дробів привести до спільного знаменника, потрібно:

1) розкласти знаменник кожного дробу на множники;

2) скласти спільний знаменник, включивши в нього як співмножники всі множники отриманих у п. 1) розкладів; якщо деякий множник є у кількох розкладаннях, він береться з показником ступеня, рівним найбільшому з наявних;

3) знайде додаткові множники для кожного з дробів (для цього спільний знаменник ділять на знаменник дробу);

4) домноживши чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий множник, привести дроб до загального знаменника.

приклад. Привести до спільного знаменника дробу

Рішення. Розкладемо знаменники на множники:

До загального знаменника треба включити такі множники: і найменше загальне кратне чисел 12, 18, 24, тобто . Отже, спільний знаменник має вигляд

Додаткові множники: для першого дробу для другого для третього Значить отримуємо:

62. Додавання та віднімання раціональних дробів.

Сума двох (і взагалі будь-якого кінцевого числа) раціональних дробів з однаковими знаменниками тотожно дорівнює дробу з тим же знаменником і з чисельником, рівним сумі чисельників дробів, що складаються:

Аналогічно справа у разі віднімання дробів з однаковими знаменниками:

Приклад 1. Спростити вираз

Рішення.

Для складання чи віднімання раціональних дробів з різними знаменниками потрібно передусім привести дроби до спільного знаменника, та був виконати операції над отриманими дробами з однаковими знаменниками.

Приклад 2. Спростити вираз

Рішення. Маємо

63. Множення та розподіл раціональних дробів.

Добуток двох (і взагалі будь-якого кінцевого числа) раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку чисельників, а знаменник - добутку знаменників дробів, що перемножуються:

Приватне від поділу двох раціональних дробів тотожно дорівнює дробу, чисельник якого дорівнює добутку чисельника першого дробу на знаменник другого дробу, а знаменник - добутку внаменника першого дробу на чисельник другого дробу:

Сформульовані правила множення та поділу поширюються і на випадок множення або поділу на багаточлен: достатньо записати цей багаточлен у вигляді дробу зі знаменником 1.

Враховуючи можливість скорочення раціонального дробу, отриманого в результаті множення або поділу раціональних дробів, зазвичай прагнуть до виконання цих операцій розкласти на множники чисельники та знаменники вихідних дробів.

Приклад 1. Виконати множення

Рішення. Маємо

Використовуючи правило множення дробів, отримуємо:

Приклад 2. Виконати поділ

Рішення. Маємо

Використовуючи правило розподілу, отримуємо:

64. Зведення раціонального дробу на цілий ступінь.

Щоб звести раціональний дріб - в натуральний ступінь, потрібно звести в цей ступінь окремий чисельник і знаменник дробу; перший вираз – чисельник, а другий вираз – знаменник результату:

Приклад 1. Перетворити на дріб ступінь 3.

Рішення Рішення.

При зведенні дробу в цілий негативний ступінь використовується тотожність справедлива при всіх змінних значеннях, при яких .

Приклад 2. Перетворити на дріб вираз

65. Перетворення раціональних виразів.

Перетворення будь-якого раціонального виразу зводиться до додавання, віднімання, множення та поділу раціональних дробів, а також до зведення дробу в натуральний ступінь. Будь-який раціональний вираз можна перетворити на дріб, чисельник і знаменник якої - цілі раціональні вирази; у цьому, зазвичай, полягає мета тотожних перетворень раціональних виразів.

приклад. Спростити вираз

66. Найпростіші перетворення арифметичних коренів (радикалів).

При перетворенні арифметичних корій використовуються їх властивості (див. п. 35).

Розглянемо кілька прикладів застосування властивостей арифметичних коренів для найпростіших перетворень радикалів. При цьому всі змінні вважатимемо такими, що приймають тільки невід'ємні значення.

Приклад 1. Вийняти корінь із твору

Рішення. Застосувавши властивість 1°, отримаємо:

Приклад 2. Винести множник із-під знака кореня

Рішення.

Таке перетворення називається винесенням множника з-під знаку кореня. Мета перетворення - спростити підкорене вираз.

Приклад 3. Спростити.

Рішення. За якістю 3° маємо Зазвичай намагаються підкорене вираз спростити, навіщо виносять множники за знак корію. Маємо

Приклад 4. Спростити

Рішення. Перетворимо вираз, внісши множник під знак кореня: За властивістю 4° маємо

Приклад 5. Спростити

Рішення. За властивістю 5° ми маємо право показник кореня та показник ступеня підкореного виразу розділити на те саме натуральне число. Якщо в аналізованому прикладі розділити зазначені показники на 3, то отримаємо .

Приклад 6. Спростити вирази:

Рішення, а) За властивістю 1° отримуємо, що для перемноження коренів однієї й тієї ж ступеня достатньо перемножити підкорені вирази та з отриманого результату витягти корінь того ж ступеня. Значить,

б) Насамперед ми маємо привести радикали до одного показника. Відповідно до властивості 5° ми можемо показник кореня показник ступеня підкореного виразу помножити на те саме натуральне число. Тому Далі маємо тепер в отриманому результаті розділивши показники кореня і ступеня підкореного виразу На 3 отримаємо .

На даному уроці будуть розглянуті основні відомості про раціональні вирази та їх перетворення, а також приклади перетворення раціональних виразів. Ця тема хіба що узагальнює вивчені до цього теми. Перетворення раціональних виразів мають на увазі додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь алгебраїчних дробів, скорочення, розкладання на множники тощо. У рамках уроку ми розглянемо, що таке раціональне вираження, а також розберемо приклади на їх перетворення.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Основні відомості про раціональні висловлювання та їх перетворення

Визначення

Раціональний вираз- це вираз, що складається з чисел, змінних, арифметичних операцій та операції зведення у ступінь.

Розглянемо приклад раціонального виразу:

Приватні випадки раціональних виразів:

1. ступінь: ;

2. одночлен: ;

3. дріб: .

Перетворення раціонального вираження- це спрощення раціонального вираження. Порядок дій при перетворенні раціональних виразів: спочатку йдуть дії в дужках, потім операції множення (поділу), а потім уже операції додавання (віднімання).

Розглянемо кілька прикладів перетворення раціональних выражений.

Приклад 1

Рішення:

Розв'яжемо цей приклад за діями. Першим виконується дія у дужках.

Відповідь:

Приклад 2

Рішення:

Відповідь:

Приклад 3

Рішення:

Відповідь: .

Примітка:можливо, у вас побачивши даний приклад виникла ідея: скоротити дріб перед тим, як призводити до спільного знаменника. Справді, вона є абсолютно правильною: спочатку бажано максимально спростити вираз, а потім його перетворювати. Спробуємо вирішити цей приклад другим способом.

Як бачимо, відповідь вийшла абсолютно аналогічною, а ось рішення виявилося дещо простішим.

На цьому уроці ми розглянули раціональні висловлювання та їх перетворення, і навіть кілька конкретних прикладів даних перетворень.

Список литературы

1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.

2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.

Перетворення раціональних виразів

У цьому уроці попрацюємо з раціональними виразами. На конкретних прикладах розглянемо методи вирішення завдань на перетворення раціональних виразів та доказ пов'язаних із ними тотожностей.

Раціональне вираження - алгебраїчне вираз, складене з чисел, буквених змінних, арифметичних операцій, зведення в натуральний ступінь, і знаків послідовності цих дій (дужок). Разом зі словосполученням «раціональний вираз» в алгебрі використовують іноді терміни «ціле» або «дрібне».

Наприклад, вирази

є і раціональними, і цілими.

Вирази

є раціональними, і дробовими, т.к. у знаменнику знаходиться вираз зі змінною.

Не треба забувати, що дріб втрачає сенс, якщо знаменник перетворюється на нуль.

Основною метою уроку буде набуття досвіду під час вирішення завдань на спрощення раціональних виразів.

Спрощення раціональних виразів - це застосування тотожних перетворень, з метою спростити запис виразу (зробити коротшим і зручнішим для подальшої роботи).

Для перетворення раціональних виразів нам знадобляться правила складання (віднімання), множення, поділу і зведення в ступінь алгебраїчних дробів, всі ці дії відбуваються за тими самими правилами, що і дії зі звичайними дробами:

А також формули скороченого множення:

При вирішенні прикладів перетворення раціональних виразів слід дотримуватися наступний порядок дій: спочатку виконуються дії в дужках, потім твір/розподіл (або зведення в ступінь), а потім дії складання/віднімання.

Отже, розглянемо приклад 1:

необхідно спростити вираз

По-перше, виконуємо дії у дужках.

Наводимо дроби алгебри до спільного знаменника і здійснюємо складання (віднімання) дробів з однаковими знаменниками за правилами, записаними вище.

Використовуючи формулу скороченого виразу (а саме квадрат різниці), отриманий вираз набуває вигляду:

По-друге, за правилами множення алгебраїчних дробів перемножуємо чисельники та окремо знаменники:

А потім скорочуємо отриманий вираз:

В результаті проведених перетворень отримуємо простий вираз

Розглянемо складніший приклад 2 перетворення раціональних виразів: необхідно довести тотожність:

Довести тотожність - це встановити, що з усіх допустимих значеннях змінних його ліва і права частини рівні.

Доказ:

Щоб довести це тотожність, необхідно перетворити вираз у лівій частині. Для цього слід дотримуватися порядку дій, викладеного вище: в першу чергу виконуються дії в дужках, потім множення, а потім додавання.

Отже, дія 1:

виконати складання/віднімання виразу в дужці.

Для цього розкладаємо на множники вирази у знаменниках дробів та наводимо ці дроби до спільного знаменника.

Так у знаменнику першого дробу виносимо за дужку 3, у знаменнику другого - виносимо знак мінус і за формулою скороченого множення розкладаємо на два множники, а у знаменнику третього дробу виносимо за дужку x.

Спільним знаменником цих трьох дробів буде вираз

Дія 2:

виконати множення дробу

Для цього спочатку слід розкласти на множники чисельник першого дробу та звести цей дріб у ступінь 2.

А при множенні дробів здійснити відповідне скорочення.

Дія 3:

Підсумовуємо перший дріб вихідного виразу і вийшов дріб

Для цього спочатку розкладемо на множники чисельник і знаменник першого дробу і скоротимо:

Тепер залишається лише скласти отримані алгебраїчні дроби з різними знаменниками:

Таким чином, в результаті 3-х дій та спрощення лівої частини тотожності ми отримали вираз із правої його частини, а отже, довели це тотожність. Однак нагадаємо, що тотожність справедлива лише для допустимих значень змінної x. Такими в цьому прикладі є будь-які значення x, крім тих, які перетворюють знаменники дробів на нуль. Отже, допустимими є будь-які значення x, крім тих, за яких виконується хоча б одна з рівностей:

Неприпустимим будуть значення:

Отже, на конкретних прикладах ми розглянули розв'язання завдань на перетворення раціональних виразів та доказ пов'язаних із ними тотожностей.

Список використаної литературы:

1. Мордковіч А.Г. "Алгебра" 8 клас. О 2 год. Ч.1. Підручник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович. - 9-е вид., Перероб. - М.: Мнемозіна, 2007. - 215с.: Іл.
2. Мордковіч А.Г. "Алгебра" 8 клас. О 2 год. Ч.2. Задачник для загальноосвітніх установ/А.Г. Мордкович, Т.М. Мішустіна, Є.Є. Тульчинська .. - 8-е вид., - М.: Мнемозіна, 2006 - 239с.
3. Алгебра. 8 клас. Контрольні роботи для учнів навчальних закладів Л.А. Александрова за ред. А.Г. Мордковича 2-ге вид., стер. - М.: Мнемозіна 2009. - 40с.
4. Алгебра. 8 клас. Самостійні роботи для учнів закладів освіти: до підручника А.Г. Мордковіча, Л.А. Александрова за ред. А.Г. Мордковіча. 9-е вид., Стер. – К.: Мнемозина 2013. – 112с.

>>Математика:Перетворення раціональних виразів

Перетворення раціональних виразів

Цей параграф підбиває підсумки всього того, що ми, починаючи з 7-го класу, говорили про математичну мову, про математичну символіку, про числа, змінні, ступені, багаточлени і алгебраїчних дробах. Але спочатку зробимо невеликий екскурс у минуле.

Згадайте, як у молодших класах було з вивченням чисел і числових виразів.

А, скажімо, до дробу можна приклеїти лише один ярлик – раціональне число.

Аналогічно справи з алгебраїчними висловлюваннями: перший етап їх вивчення - числа, змінні, ступеня («цифри»); другий етап їх вивчення – одночлени («натуральні числа»); третій етап їх вивчення – багаточлени («цілі числа»); четвертий етап їх вивчення - алгебраїчні дроби
(«Раціональні числа»). У цьому кожен наступний етап хіба що вбирає у собі попередній: так, числа, змінні, ступеня - окремі випадки одночленів; одночлени - окремі випадки багаточленів; багаточлени - окремі випадки алгебраїчних дробів. Між іншим, в алгебрі використовують іноді такі терміни: многочлен - ціле вираз, алгебраїчна дріб - дробовий вираз (це лише посилює аналогію)

Продовжимо згадану аналогію. Ви знаєте, що будь-яке числове вираз після виконання всіх арифметичних дій, що входять до його складу, приймає конкретне числове значення - раціональне число (зрозуміло, воно може виявитися і натуральним числом, і цілим числом, і дробом - це неважливо). Так само будь-яке вираз алгебри, складений з чисел і змінних за допомогою арифметичних операцій і зведення в натуральну ступінь, після виконання перетворень набуває вигляду алгебраїчного дробу і знову-таки, зокрема, може вийти не дріб, а багаточлен або навіть одночлен). Для таких виразів у алгебрі використовують термін раціональний вираз.

приклад.Довести тотожність

Рішення.
Довести тотожність - це означає встановити, що з усіх допустимих значеннях змінних його ліва і права частини є тотожно рівні висловлювання. В алгебрі тотожності доводять у різний спосіб:

1) виконують перетворення лівої частини та отримують у результаті праву частину;

2) виконують перетворення правої частини та отримують у результаті ліву частину;

3) окремо перетворять праву і ліву частини і одержують і в першому і в другому випадку один і той же вираз;

4) складають різницю лівої та правої частин і в результаті її перетворень отримують нуль.

Який спосіб вибрати – залежить від конкретного виду тотожності, що вам пропонується довести. У цьому прикладі доцільно вибрати перший спосіб.

Для перетворення раціональних виразів прийнято той самий порядок дій, що й перетворення числових выражений. Це означає, що спочатку виконують дії в дужках, потім дії другого ступеня (множення, розподіл, зведення в ступінь), потім дії першого ступеня (додавання, віднімання).

Виконаємо перетворення за діями, спираючись на ті правила, алгоритми, що були вироблені у попередніх параграфах.

Як бачите, нам вдалося перетворити ліву частину тотожності, що перевіряється, до виду правої частини. Це означає, що тотожність доведена. Однак нагадаємо, що тотожність справедлива лише для допустимих значень змінних. Такими в даному прикладі є будь-які значення а та b, крім тих, які перетворюють знаменники дробів у нуль. Отже, допустимими є будь-які пари чисел (а; b), крім тих, за яких виконується хоча б одна з рівностей:

2а – b = 0, 2а + b = 0, b = 0.

Мордкович А. Г., Алгебра. 8 кл.: Навч. для загальноосвіт. установ.- 3-тє вид., доопрацювання. – М.: Мнемозіна, 2001. – 223 с: іл.

Повний перелік тем за класами, календарний план згідно з шкільною програмою з математики онлайн, відеоматеріал з математики для 8 класу

На даному уроці будуть розглянуті основні відомості про раціональні вирази та їх перетворення, а також приклади перетворення раціональних виразів. Ця тема хіба що узагальнює вивчені до цього теми. Перетворення раціональних виразів мають на увазі додавання, віднімання, множення, розподіл, зведення в ступінь алгебраїчних дробів, скорочення, розкладання на множники тощо. У рамках уроку ми розглянемо, що таке раціональне вираження, а також розберемо приклади на їх перетворення.

Тема:Алгебраїчні дроби. Арифметичні операції над алгебраїчними дробами

Урок:Основні відомості про раціональні висловлювання та їх перетворення

Визначення

Раціональний вираз- це вираз, що складається з чисел, змінних, арифметичних операцій та операції зведення у ступінь.

Розглянемо приклад раціонального виразу:

Приватні випадки раціональних виразів:

1. ступінь: ;

2. одночлен: ;

3. дріб: .

Перетворення раціонального вираження- це спрощення раціонального вираження. Порядок дій при перетворенні раціональних виразів: спочатку йдуть дії в дужках, потім операції множення (поділу), а потім уже операції додавання (віднімання).

Розглянемо кілька прикладів перетворення раціональних выражений.

Приклад 1

Рішення:

Розв'яжемо цей приклад за діями. Першим виконується дія у дужках.

Відповідь:

Приклад 2

Рішення:

Відповідь:

Приклад 3

Рішення:

Відповідь: .

Примітка:можливо, у вас побачивши даний приклад виникла ідея: скоротити дріб перед тим, як призводити до спільного знаменника. Справді, вона є абсолютно правильною: спочатку бажано максимально спростити вираз, а потім його перетворювати. Спробуємо вирішити цей приклад другим способом.

Як бачимо, відповідь вийшла абсолютно аналогічною, а ось рішення виявилося дещо простішим.

На цьому уроці ми розглянули раціональні висловлювання та їх перетворення, і навіть кілька конкретних прикладів даних перетворень.

Список литературы

1. Башмаков М.І. Алгебра 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.

2. Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра 8. - 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.