İki noktadan geçen doğrunun denklemi. Makalede" " Bir fonksiyonun grafiği ve bu grafiğe teğet verildiğinde, türevi bulma konusunda sunulan problemleri çözmenin ikinci yöntemine bakacağıma söz verdim. Bu yöntemi daha sonra tartışacağız , kaçırmayın! Neden bir sonrakinde?

Gerçek şu ki, orada düz bir çizginin denklemi formülü kullanılacaktır. Elbette bu formülü basitçe gösterip öğrenmenizi tavsiye edebiliriz. Ancak nereden geldiğini (nasıl türetildiğini) açıklamak daha iyidir. Bu gerekli! Unutursanız hızlı bir şekilde geri yükleyebilirsinizzor olmayacak. Her şey aşağıda ayrıntılı olarak açıklanmaktadır. Yani elimizde koordinat düzlemi iki A noktası var(x 1;y 1) ve B(x 2;y 2), belirtilen noktalardan geçen düz bir çizgi çizilir:

İşte doğrudan formülün kendisi:

*Yani, noktaların belirli koordinatlarını yerine koyarken y=kx+b şeklinde bir denklem elde ederiz.

**Eğer bu formülü basitçe “ezberlerseniz”, indekslerle karıştırılma ihtimaliniz yüksektir. X. Ayrıca endeksler farklı şekillerde de belirlenebilir; örneğin:

Bu yüzden anlamını anlamak önemlidir.

Şimdi bu formülün türetilmesi. Çok basit!

ABE ve ACF üçgenleri dar açı bakımından benzerdir (benzerliğin ilk işareti) dik üçgenler). Bundan karşılık gelen elemanların oranlarının eşit olduğu sonucu çıkar, yani:

Şimdi bu parçaları basitçe noktaların koordinatlarındaki farkla ifade ediyoruz:

Tabii ki, elemanların ilişkilerini farklı bir sırayla yazarsanız hiçbir hata olmayacaktır (asıl önemli olan tutarlılığı korumaktır):

Sonuç doğrunun aynı denklemi olacaktır. Hepsi bu!

Yani, noktaların kendileri (ve koordinatları) nasıl belirlenmiş olursa olsun, bu formülü anladığınızda her zaman bir düz çizginin denklemini bulacaksınız.

Formül, vektörlerin özellikleri kullanılarak türetilebilir, ancak koordinatlarının orantılılığından bahsedeceğimiz için türetme ilkesi aynı olacaktır. Bu durumda dik üçgenlerin aynı benzerliği işe yarar. Bana göre yukarıda açıklanan sonuç daha açıktır)).

Çıktıyı vektör koordinatlarını kullanarak görüntüleyin >>>

Koordinat düzlemi üzerinde verilen iki A(x 1;y 1) ve B(x 2;y 2) noktasından geçen düz bir çizgi çizilsin. Koordinatları olan doğru üzerinde rastgele bir C noktası işaretleyelim ( X; sen). Ayrıca iki vektörü de belirtiyoruz:

Paralel çizgiler üzerinde (veya aynı çizgide) bulunan vektörler için karşılık gelen koordinatlarının orantılı olduğu bilinmektedir, yani:

— karşılık gelen koordinatların oranlarının eşitliğini yazıyoruz:

Bir örneğe bakalım:

Koordinatları (2;5) ve (7:3) olan iki noktadan geçen düz çizginin denklemini bulun.

Düz çizgiyi kendiniz oluşturmanıza bile gerek yok. Formülü uyguluyoruz:

Oranı hesaplarken yazışmaları kavramanız önemlidir. Aşağıdakileri yazarsanız yanlış gidemezsiniz:

Cevap: y=-2/5x+29/5 git y=-0,4x+5,8

Ortaya çıkan denklemin doğru bulunduğundan emin olmak için, verilerin koordinatlarını noktaların durumuna göre kontrol ettiğinizden emin olun. Denklemler doğru olmalıdır.

Hepsi bu. Umarım materyal sizin için yararlı olmuştur.

Saygılarımla, İskender.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

İki puan verilsin M 1 (x 1, y 1) Ve M 2 (x 2, y 2). Doğrunun denklemini (5) formunda yazalım; k hala bilinmeyen katsayı:

noktadan beri M2 belirli bir doğruya aitse koordinatları denklemi (5) karşılar: . Buradan ifade edip denklem (5)'te yerine koyarsak gerekli denklemi elde ederiz:

Eğer bu denklem ezberlemeye daha uygun bir biçimde yeniden yazılabilir:

(6)

Örnek. M 1 (1,2) ve M 2 (-2,3) noktalarından geçen düz bir çizginin denklemini yazın

Çözüm. . Oran özelliğini kullanarak ve gerekli dönüşümleri yaparak şunu elde ederiz: genel denklem doğrudan:

İki düz çizgi arasındaki açı

İki düz çizgi düşünün ben 1 Ve ben 2:

ben 1: , , Ve

ben 2: , ,

φ aralarındaki açıdır (). Şekil 4'ten şu açıktır: .

Buradan , veya

Formül (7)'yi kullanarak düz çizgiler arasındaki açılardan birini belirleyebilirsiniz. İkinci açı eşittir.

Örnek. y=2x+3 ve y=-3x+2 denklemleriyle iki düz çizgi verilmektedir. Bu çizgiler arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. Denklemlerden k 1 =2 ve k 2 =-3 olduğu açıktır. Bu değerleri formül (7)'de yerine koyarsak, şunu buluruz:

. Böylece bu çizgiler arasındaki açı eşittir.

İki düz çizginin paralelliği ve dikliği koşulları

Düz ise ben 1 Ve ben 2 paraleldir o zaman φ=0 Ve tgφ=0. formül (7)'den şu sonuç çıkar: k2 =k1. Dolayısıyla iki doğrunun paralelliğinin koşulu açısal katsayılarının eşitliğidir.

Düz ise ben 1 Ve ben 2 o zaman diktirler φ=π/2, a2 = π/2+ a1 . . Bu nedenle, iki düz çizginin dik olma koşulu, açısal katsayılarının büyüklük olarak ters ve işaret olarak zıt olmasıdır.

Noktadan çizgiye mesafe

Teorem. Bir M(x 0, y 0) noktası verilirse, Ax + Bу + C = 0 çizgisine olan uzaklık şu şekilde belirlenir:

Kanıt. M 1 (x 1, y 1) noktası, M noktasından belirli bir düz çizgiye bırakılan dikmenin tabanı olsun. Daha sonra M ve M 1 noktaları arasındaki mesafe:

X 1 ve y 1 koordinatları denklem sistemini çözerek bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi ise içinden geçen doğrunun denklemidir. bu nokta M 0 verilen bir düz çizgiye diktir.

Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

Teorem kanıtlandı.

Örnek.Çizgiler arasındaki açıyı belirleyin: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Örnek. 3x – 5y + 7 = 0 ve 10x + 6y – 3 = 0 doğrularının birbirine dik olduğunu gösterin.

Şunu buluruz: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dolayısıyla çizgiler diktir.

Örnek. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) üçgeninin köşeleri verilmiştir. C köşesinden çizilen yüksekliğin denklemini bulun.

AB tarafının denklemini buluyoruz: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Gerekli yükseklik denklemi şu şekildedir: Ax + By + C = 0 veya y = kx + b.

k= . O halde y = . Çünkü yükseklik C noktasından geçiyorsa koordinatları şu denklemi sağlar: dolayısıyla b = 17. Toplam: .

Cevap: 3x + 2y – 34 = 0.

Bir noktadan bir çizgiye olan uzaklık, o noktadan çizgiye çizilen dikmenin uzunluğu ile belirlenir.

Çizgi projeksiyon düzlemine paralel ise (s | | P 1) daha sonra noktaya olan mesafeyi belirlemek için A düz bir çizgiye H bir noktadan dik bir çizgiyi indirmek gerekir A yatay olarak H.

Daha karmaşık bir örneği ele alalım: Düz bir çizgi genel konum. Bir noktaya olan mesafeyi belirlemek gerekli olsun M düz bir çizgiye A genel konum.

Belirleme görevi paralel çizgiler arasındaki mesafeleröncekine benzer şekilde çözülür. Bir doğru üzerinde bir nokta alınır ve bu noktadan başka bir doğruya bir dikme düşürülür. Bir dikmenin uzunluğu paralel doğrular arasındaki mesafeye eşittir.

İkinci dereceden eğri mevcut Kartezyen koordinatlara göre ikinci dereceden bir denklemle tanımlanan bir çizgidir. İÇİNDE genel durum Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey +F = 0,

burada A, B, C, D, E, F gerçek sayılardır ve A 2 + B 2 + C 2 ≠0 sayılarından en az biri.

Daire

Daire merkezi– bu, C(a,b) düzlemindeki bir noktadan eşit uzaklıktaki düzlemdeki noktaların geometrik yeridir.

Çember aşağıdaki denklemle verilir:

Burada x,y çember üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarıdır, R ise çemberin yarıçapıdır.

Bir dairenin denkleminin işareti

1. İçinde x, y olan terim eksik

2. x 2 ve y 2'nin katsayıları eşittir

Elips

Elips bir düzlemdeki noktaların geometrik yeri denir; her birinin bu düzlemin belirli iki noktasına olan uzaklıklarının toplamına odaklar (sabit bir değer) denir.

Elipsin kanonik denklemi:

X ve y elipse aittir.

a – elipsin yarı büyük ekseni

b – elipsin yarı küçük ekseni

Elips OX ve OU simetrisine sahip 2 eksene sahiptir. Bir elipsin simetri eksenleri onun eksenleridir, kesişme noktaları elipsin merkezidir. Odakların bulunduğu eksene denir odak ekseni. Elipsin eksenlerle kesişme noktası elipsin tepe noktasıdır.

Sıkıştırma (gerginlik) oranı: ε = s/a– eksantriklik (elipsin şeklini karakterize eder), ne kadar küçükse, elipsin odak ekseni boyunca o kadar az uzatılması.

Elipsin merkezleri C(α, β) merkezinde değilse

Hiperbol

Abartı düzlemdeki noktaların geometrik yeri denir, mutlak değer Bu düzlemin odak adı verilen iki noktasından her biri sıfırdan farklı sabit bir değer olan mesafelerdeki farklar.

Kanonik hiperbol denklemi

Bir hiperbolün 2 simetri ekseni vardır:

a – gerçek yarı simetri ekseni

b – sanal simetri ekseni

Bir hiperbolün asimptotları:

Parabol

Parabol düzlemde, odak adı verilen belirli bir F noktasından ve doğrultman adı verilen belirli bir çizgiden eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeridir.

Bir parabolün kanonik denklemi:

У 2 =2рх, burada р odak noktasından doğrultmana olan mesafedir (parabol parametresi)

Parabolün tepe noktası C (α, β) ise, o zaman parabolün denklemi (y-β) 2 = 2р(x-α)

Odak ekseni ordinat ekseni olarak alınırsa parabolün denklemi şu şekilde olacaktır: x 2 =2qу

Doğrunun M 1 (x 1; y 1) ve M 2 (x 2; y 2) noktalarından geçmesine izin verin. M 1 noktasından geçen düz bir çizginin denklemi şu şekildedir: y-y 1 = k (x - x 1), (10.6)

Nerede k - hala bilinmeyen katsayı.

Düz çizgi M 2 (x 2 y 2) noktasından geçtiği için, bu noktanın koordinatları denklem (10.6)'yı karşılamalıdır: y 2 -y 1 = k (x2 - x1).

Buradan bulunan değeri değiştirmeyi buluyoruz k (10.6) denkleminde, M 1 ve M 2 noktalarından geçen düz bir çizginin denklemini elde ederiz:

Bu denklemde x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2 olduğu varsayılmaktadır.

Eğer x 1 = x 2 ise, M 1 (x 1,y I) ve M 2 (x 2,y 2) noktalarından geçen düz çizgi ordinat eksenine paraleldir. Denklemi x = x 1 .

Eğer y 2 = y I ise doğrunun denklemi y = y 1 şeklinde yazılabilir, M 1 M 2 düz çizgisi apsis eksenine paraleldir.

Segmentlerdeki bir doğrunun denklemi

Düz çizginin Ox eksenini M 1 (a;0) noktasında ve Oy eksenini M 2 (0;b) noktasında kesmesine izin verin. Denklem şu şekli alacaktır:
onlar.
. Bu denklem denir segmentlerdeki bir doğrunun denklemi, çünkü a ve b sayıları, çizginin koordinat eksenlerinde hangi bölümleri kestiğini gösterir.

Belirli bir vektöre dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi

Belirli bir sıfır olmayan vektör n = (A; B)'ye dik olarak belirli bir Mo (x O; y o) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulalım.

Doğru üzerinde rastgele bir M(x; y) noktası alalım ve M 0 M (x - x 0; y - y o) vektörünü ele alalım (bkz. Şekil 1). n ve M o M vektörleri dik olduğundan, skaler çarpımları sıfıra eşittir: yani

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Denklem (10.8) denir belirli bir vektöre dik olarak belirli bir noktadan geçen düz çizginin denklemi .

Doğruya dik olan n= (A; B) vektörüne normal denir bu doğrunun normal vektörü .

Denklem (10.8) şu şekilde yeniden yazılabilir: Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

burada A ve B normal vektörün koordinatlarıdır, C = -Ax o - Vu o serbest terimdir. Denklem (10.9) doğrunun genel denklemidir(bkz. Şekil 2).

Şekil 1 Şekil 2

Doğrunun kanonik denklemleri

,

Nerede
- çizginin geçtiği noktanın koordinatları ve
- yön vektörü.

İkinci dereceden eğriler Daire

Daire, merkez adı verilen belirli bir noktadan eşit uzaklıkta olan düzlemin tüm noktalarının kümesidir.

Yarıçaplı bir dairenin kanonik denklemi R bir noktada merkezlenmiş
:

Özellikle, kazık merkezi koordinatların orijini ile çakışıyorsa denklem şöyle görünecektir:

Elips

Elips, bir düzlem üzerindeki noktaların her birinden verilen iki noktaya olan uzaklıklarının toplamı olan bir dizi noktadır. Ve Odak adı verilen sabit bir miktardır
odaklar arasındaki mesafeden daha büyük
.

Odakları Ox ekseni üzerinde bulunan ve koordinatların orijini odaklar arasında ortada bulunan bir elipsin kanonik denklemi şu şekildedir:
G de A yarı ana eksen uzunluğu; B – yarı küçük eksenin uzunluğu (Şekil 2).

Öklid geometrisinde düz bir çizginin özellikleri.

Herhangi bir noktadan sonsuz sayıda düz çizgi çizilebilir.

Çakışmayan herhangi iki noktadan tek bir doğru çizilebilir.

Bir düzlemde birbirinden farklı iki doğru ya tek bir noktada kesişir ya da

paralel (öncekinin devamı).

Üç boyutlu uzayda iki çizginin göreceli konumu için üç seçenek vardır:

• çizgiler kesişiyor;

• çizgiler paraleldir;

• düz çizgiler kesişir.

Dümdüz astar— birinci dereceden cebirsel eğri: Kartezyen koordinat sisteminde düz bir çizgi

düzlemde birinci dereceden bir denklem (doğrusal denklem) ile verilir.

Düz bir çizginin genel denklemi.

Tanım. Düzlemdeki herhangi bir düz çizgi birinci dereceden bir denklemle belirtilebilir

Balta + Wu + C = 0,

ve sabit A, B aynı anda sıfıra eşit değildir. Bu birinci dereceden denklem denir genel

bir doğrunun denklemi. Sabitlerin değerlerine bağlı olarak A, B Ve İLE Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

. C = 0, Bir ≠0, B ≠ 0- orijinden düz bir çizgi geçer

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah

. B = 0, Bir ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- eksene paralel düz çizgi Ah

. B = C = 0, Bir ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah

. bir = C = 0, B ≠0- düz çizgi eksenle çakışıyor Ah

Düz bir çizginin denklemi şu şekilde temsil edilebilir: çeşitli şekillerde verilen herhangi bir şeye bağlı olarak

başlangıç ​​koşulları.

Bir noktadan ve normal vektörden gelen düz bir çizginin denklemi.

Tanım. Kartezyen dikdörtgen koordinat sisteminde (A, B) bileşenlerine sahip bir vektör

denklemin verdiği çizgiye dik

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Bir noktadan geçen çizginin denklemini bulun bir(1, 2) vektöre dik (3, -1).

Çözüm. A = 3 ve B = -1 ile doğrunun denklemini yazalım: 3x - y + C = 0. C katsayısını bulmak için

Verilen A noktasının koordinatlarını sonuçtaki ifadeye koyalım: 3 - 2 + C = 0, dolayısıyla.

C = -1. Toplam: gerekli denklem: 3x - y - 1 = 0.

İki noktadan geçen doğrunun denklemi.

Uzayda iki nokta verilsin M 1 (x 1, y 1, z 1) Ve M2 (x 2, y 2, z 2), Daha sonra bir çizginin denklemi,

şu noktalardan geçerek:

Paydalardan herhangi biri sıfır ise karşılık gelen pay sıfıra eşitlenmelidir. Açık

düzlemde yukarıda yazılan düz çizginin denklemi basitleştirilmiştir:

Eğer x 1 ≠ x 2 Ve x = x 1, Eğer x 1 = x 2 .

Kesir = k isminde eğim doğrudan.

Örnek. A(1, 2) ve B(3, 4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulun.

Çözüm. Yukarıda yazılan formülü uygulayarak şunu elde ederiz:

Bir nokta ve eğim kullanılarak düz bir çizginin denklemi.

Doğrunun genel denklemi ise Balta + Wu + C = 0şunlara yol açar:

ve atayın , sonra ortaya çıkan denklem denir

eğimi k olan bir doğrunun denklemi.

Bir noktadan ve yön vektöründen gelen düz bir çizginin denklemi.

Normal vektör boyunca düz bir çizginin denklemini dikkate alan noktaya benzetilerek göreve girebilirsiniz.

bir noktadan geçen düz bir çizgi ve bir düz çizginin yönlendirici vektörü.

Tanım. Sıfır olmayan her vektör (a 1, a 2) bileşenleri koşulu karşılayan

Aα 1 + Bα 2 = 0 isminde Bir doğrunun yönlendirici vektörü.

Balta + Wu + C = 0.

Örnek. Yön vektörü (1, -1) olan ve A(1, 2) noktasından geçen düz bir çizginin denklemini bulun.

Çözüm. İstenilen çizginin denklemini formda arayacağız: Ax + By + C = 0. Tanıma göre,

katsayılar aşağıdaki koşulları karşılamalıdır:

1 * A + (-1) * B = 0, yani. A = B.

O halde düz çizginin denklemi şu şekildedir: Ax + Ay + C = 0, veya x + y + C / A = 0.

en x = 1, y = 2 aldık C/A = -3, yani gerekli denklem:

x + y - 3 = 0

Parçalardaki düz bir çizginin denklemi.

Düz çizginin genel denkleminde Ах + Ву + С = 0 С≠0 ise, -С'ye bölerek şunu elde ederiz:

veya nerede

Katsayıların geometrik anlamı, a katsayısının kesişim noktasının koordinatı olmasıdır.

eksenli düz Ah, A B- çizginin eksenle kesişme noktasının koordinatı Ah.

Örnek. Düz bir çizginin genel denklemi verilmiştir x - y + 1 = 0. Bu doğrunun denklemini segmentler halinde bulun.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Bir doğrunun normal denklemi.

Denklemin her iki tarafı ise Balta + Wu + C = 0 sayıya böl buna denir

normalleştirme faktörü, sonra elde ederiz

xcosφ + ysinφ - p = 0 -bir doğrunun normal denklemi.

Normalleştirme faktörünün ± işareti şu şekilde seçilmelidir: µ*C< 0.

R- Başlangıç ​​noktasından düz çizgiye bırakılan dikmenin uzunluğu,

A φ - eksenin pozitif yönü ile bu dikin oluşturduğu açı Ah.

Örnek. Doğrunun genel denklemi verilmiştir 12x - 5y - 65 = 0. Yazmak için gerekli çeşitli türler denklemler

bu düz çizgi.

Bu doğrunun segmentlerdeki denklemi:

Bu doğrunun eğimle denklemi: (5'e bölün)

Bir çizginin denklemi:

çünkü φ = 12/13; günah φ= -5/13; p = 5.

Her düz çizginin, örneğin düz çizgiler gibi bölümlerdeki bir denklemle temsil edilemeyeceğine dikkat edilmelidir.

eksenlere paralel veya orijinden geçen.

Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı.

Tanım. İki satır verilirse y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, O dar açı bu satırların arasında

olarak tanımlanacak

İki doğru paralel ise k1 =k2. İki çizgi birbirine dik

Eğer k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Doğrudan Balta + Wu + C = 0 Ve bir 1 x + B 1 y + C 1 = 0 katsayılar orantılı olduğunda paralel

A 1 = λA, B 1 = λB. Ayrıca C 1 = λС, o zaman çizgiler çakışır. İki doğrunun kesiştiği noktanın koordinatları

bu doğruların denklem sisteminin çözümü olarak bulunur.

Belirli bir çizgiye dik olarak belirli bir noktadan geçen çizginin denklemi.

Tanım. Bir noktadan geçen çizgi M 1 (x 1, y 1) ve çizgiye dik y = kx + b

denklemle temsil edilir:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe.

Teorem. Bir puan verilirse M(x 0, y 0), daha sonra düz çizgiye olan mesafe Balta + Wu + C = 0şu şekilde tanımlanır:

Kanıt. Bırakın nokta M 1 (x 1, y 1)- bir noktadan bırakılan bir dikmenin tabanı M belirli bir süre için

doğrudan. Daha sonra noktalar arasındaki mesafe M Ve M1:

(1)

Koordinatlar x 1 Ve 1'de denklem sisteminin çözümü olarak bulunabilir:

Sistemin ikinci denklemi, belirli bir M 0 noktasından dik olarak geçen düz bir çizginin denklemidir.

düz çizgi verilmiştir. Sistemin ilk denklemini forma dönüştürürsek:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

sonra çözersek şunu elde ederiz:

Bu ifadeleri denklem (1)'de yerine koyarsak şunu buluruz:

Teorem kanıtlandı.