İlk nokta, her zamanki gibi arcsin(-a)=-arcsina'dır. İkinci noktaya ulaşmak için ise yukarıya yani açıyı artırma yönünde gidiyoruz.

Bu sefer n'yi geçiyoruz. Ne kadar gidiyoruz? Arcsinx'te. Yani ikinci nokta n+arksin x'tir. Neden eksi yok? Çünkü -arcsin notasyonundaki eksi saat yönünde hareket etmek anlamına gelir ve biz buna karşı çıktık. Ve sonuç olarak, aralığın her iki ucuna 2pn ekleriz.

5) sinx>a ise a>1.

Birim çember tamamen y=a doğrusu altında yer alır. Çizginin üzerinde bir nokta yok. Yani çözümler yok.

6) sinx>-a, burada a>1.

Bu durumda, tüm birim çember tamamen y=a doğrusu üzerindedir. Bu nedenle, herhangi bir nokta sinx>a koşulunu sağlar. Yani x herhangi bir sayıdır.

Ve burada x herhangi bir sayıdır, çünkü -n/2+2n noktaları katı sinx>-1 eşitsizliğinin aksine çözüme dahil edilmiştir. Hiçbir şeyin dışlanması gerekmez.

Çember üzerinde bu koşulu sağlayan tek nokta n/2'dir. Sinüs periyodu dikkate alındığında, bu eşitsizliğin çözümü x=p/2+2pn noktaları kümesidir.

Örneğin, sinx>-1/2 eşitsizliğini çözün:

Eşitsizlikler a › b biçimindeki ilişkilerdir, burada a ve b en az bir değişken içeren ifadelerdir. Eşitsizlikler katı - ‹, › ve katı olmayan - ≥, ≤ olabilir.

Trigonometrik eşitsizlikler şu formun ifadeleridir: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, burada F(x) bir veya daha fazla trigonometrik fonksiyonla temsil edilir .

En basit trigonometrik eşitsizliğe bir örnek: sin x ‹ 1/2. Bu tür problemlerin grafiksel olarak çözülmesi adettendir, bunun için iki yöntem geliştirilmiştir.

Yöntem 1 - Bir Fonksiyonu Çizerek Eşitsizlikleri Çözme

sin x ‹ 1/2 eşitsizliğinin koşullarını sağlayan bir aralık bulmak için aşağıdakileri yapmanız gerekir:

1. Üzerinde koordinat ekseni bir sinüzoid y = sin x oluşturun.
2. Aynı eksende, eşitsizliğin sayısal argümanının bir grafiğini çizin, yani OY koordinatının ½ noktasından geçen düz bir çizgi.
3. İki grafiğin kesişme noktalarını işaretleyin.
4. Örneğin çözümü olan parçayı gölgelendirin.

Bir ifadede güçlü işaretler olduğunda, kesişme noktaları çözüm değildir. Sinüzoidin en küçük pozitif periyodu 2π olduğu için cevabı şu şekilde yazıyoruz:

İfadenin işaretleri katı değilse, çözüm aralığı - köşeli parantez içine alınmalıdır. Sorunun cevabı başka bir eşitsizlik olarak da yazılabilir:

Yöntem 2 - Birim çemberi kullanarak trigonometrik eşitsizlikleri çözme

Benzer problemler trigonometrik bir daire yardımıyla kolayca çözülür. Arama algoritması çok basittir:

1. İlk önce bir birim çember çizin.
2. Ardından, dairenin yayındaki eşitsizliğin sağ tarafının argümanının yay fonksiyonunun değerini not etmeniz gerekir.
3. x eksenine (OX) paralel ark fonksiyonunun değerinden geçen düz bir çizgi çizmek gerekir.
4. Bundan sonra, sadece trigonometrik eşitsizliğin çözüm kümesi olan bir dairenin yayını seçmek kalır.
5. Cevabı gerekli forma yazın.

Örnek olarak sin x › 1/2 eşitsizliğini kullanarak çözüm adımlarını inceleyelim. α ve β noktaları daire üzerinde işaretlenmiştir – değerler

α ve β üzerinde bulunan yayın noktaları, verilen eşitsizliği çözme aralığıdır.

Cos için bir örnek çözmeniz gerekiyorsa, cevapların yayı OY değil OX eksenine simetrik olarak yerleştirilecektir. sin ve cos için çözüm aralıkları arasındaki farkı metinde aşağıdaki diyagramlardan inceleyebilirsiniz.

Tanjant ve kotanjant eşitsizliklerinin grafiksel çözümleri hem sinüs hem de kosinüsten farklı olacaktır. Bu, fonksiyonların özelliklerinden kaynaklanmaktadır.

Arktanjant ve arkkotanjant, trigonometrik daireye teğettir ve her iki fonksiyon için minimum pozitif periyot π'dir. İkinci yöntemi hızlı ve doğru bir şekilde kullanmak için, sin, cos, tg ve ctg değerlerinin hangi eksende çizildiğini hatırlamanız gerekir.

Teğet tanjant, OY eksenine paralel uzanır. Birim daire üzerinde arctg a değerini çizersek, gerekli ikinci nokta köşegen çeyrekte yer alacaktır. köşeler

Grafik onlara yöneldiği, ancak asla onlara ulaşmadığı için, işlev için kesme noktalarıdır.

Kotanjant durumunda, tanjant OX eksenine paralel çalışır ve fonksiyon π ve 2π noktalarında kesintiye uğrar.

Karmaşık trigonometrik eşitsizlikler

Eşitsizlik fonksiyonunun argümanı sadece bir değişkenle değil, bilinmeyeni içeren tüm bir ifadeyle temsil ediliyorsa, o zaman karmaşık bir eşitsizlikten bahsediyoruz. Çözümünün seyri ve sırası, yukarıda açıklanan yöntemlerden biraz farklıdır. Aşağıdaki eşitsizliğe bir çözüm bulmamız gerektiğini varsayalım:

Grafiksel çözüm, keyfi olarak seçilen x değerleri için sıradan bir sinüzoid y = sin x oluşturulmasını sağlar. Grafiğin referans noktaları için koordinatları olan bir tablo hesaplayalım:

Sonuç güzel bir eğri olmalıdır.

Bir çözüm bulma kolaylığı için karmaşık fonksiyon argümanını değiştiriyoruz

Çoğu öğrenci trigonometrik eşitsizliklerden hoşlanmaz. Ama boşuna. Bir karakterin dediği gibi,

“Onları nasıl pişireceğini bilmiyorsun”

Öyleyse nasıl “pişirilir” ve sinüs ile eşitsizliğin ne ile sunulacağını bu makalede anlayacağız. Karar vereceğiz basit bir şekilde birim çemberi kullanarak

Yani, ilk önce, aşağıdaki algoritmaya ihtiyacımız var.

Sinüs ile eşitsizlikleri çözme algoritması:

1. $a$ sayısını sinüs eksenine koyun ve daire ile kesişene kadar kosinüs eksenine paralel düz bir çizgi çizin;
2. bu doğrunun daire ile kesiştiği noktalar, eşitsizlik katı değilse doldurulur, eşitsizlik katıysa doldurulmaz;
3. eşitsizliğin çözüm alanı, eşitsizlik “$>$” işaretini içeriyorsa çizginin üstünde ve daireye kadar, eşitsizlik “$” işaretini içeriyorsa çizginin altında ve daireye kadar olacaktır.<$”;
4. kesişim noktalarını bulmak için $\sin(x)=a$ trigonometrik denklemini çözeriz, $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. $n=0$'ı ayarlayarak ilk kesişim noktasını buluruz (bu ya birinci ya da dördüncü çeyrektedir);
6. ikinci noktayı bulmak için, ikinci kesişme noktasına giden alan boyunca hangi yöne gittiğimize bakarız: pozitif yönde ise $n=1$ alınmalıdır ve negatif yönde ise $n= -1$;
7. yanıt olarak, daha küçük $+ 2\pi n$ kesişim noktasından daha büyük olan $+ 2\pi n$'a kadar olan aralık yazılır.

Algoritma sınırlaması

Önemli: d bu algoritma çalışmıyor$\sin(x) > 1 biçimindeki eşitsizlikler için; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Sinüs ile eşitsizliği çözerken özel durumlar

Yukarıdaki algoritmayı kullanmadan mantıksal olarak çözmek için çok daha uygun olan aşağıdaki durumları not etmek de önemlidir.

özel durum 1. Eşitsizliği çözün:

$\sin(x) \leq 1.$

aralığının olması nedeniyle trigonometrik fonksiyon$y=\sin(x)$ en fazla modülo $1$'dır, o zaman Sol Taraf eşitsizlikler herhangi Etki alanından $x$ (ve sinüsün etki alanının tümü gerçek sayılardır) 1$'dan büyük değil. Ve bu nedenle, yanıt olarak şunu yazarız: $x \in R$.

Sonuç:

$\sin(x) \geq -1.$

Özel durum 2. Eşitsizliği çözün:

$\sin(x)< 1.$

Özel durum 1'e benzer argümanlar uygulayarak, eşitsizliğin sol tarafının, $\sin(x) = 1 denkleminin çözümleri olan noktalar hariç, tüm $x \in R$ için $1$'dan az olduğunu elde ederiz. $. Bu denklemi çözerek şunları elde ederiz:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

Ve bu nedenle, yanıt olarak şunu yazarız: $x \in R \ters eğik çizgi \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Sonuç: eşitsizlik benzer şekilde çözülür

$\sin(x) > -1.$

Bir algoritma kullanarak eşitsizlikleri çözme örnekleri.

Örnek 1: Eşitsizliği çözün:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Sinüs ekseninde $\frac(1)(2)$ koordinatına dikkat edin.
2. Kosinüs eksenine paralel ve bu noktadan geçen bir çizgi çizin.
3. Kavşak noktalarına dikkat edin. Eşitsizlik katı olmadığı için gölgelenecekler.
4. Eşitsizlik işareti $\geq$'dır, bu, çizginin üzerindeki alanı boyadığımız anlamına gelir, yani. daha küçük yarım daire.
5. İlk kesişme noktasını bulun. Bunu yapmak için eşitsizliği bir eşitliğe çevirin ve çözün: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1) )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Ayrıca $n=0$'ı belirledik ve ilk kesişme noktasını bulduk: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. İkinci noktayı buluyoruz. Alanımız ilk noktadan itibaren pozitif yönde gidiyor, bu yüzden $n$'ı $1$'a eşitledik: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \ cdot 1 = \ pi - \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Böylece, çözüm şu şekilde olacaktır:

$x \in \sol[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\sağ], \ n \in Z.$

Örnek 2: Eşitsizliği çözün:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Sinüs ekseninde $- \frac(1)(2)$ koordinatını işaretliyoruz ve kosinüs eksenine paralel ve bu noktadan geçen düz bir çizgi çiziyoruz. Kavşak noktalarına dikkat edin. Eşitsizlik katı olduğu için gölgelenmeyecekler. eşitsizlik işareti $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\sağ))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Daha fazla $n=0$ ayarlayarak, ilk kesişim noktasını buluruz: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Alanımız ilk noktadan itibaren negatif yönde gidiyor, bu yüzden $n$'ı $-1$'a eşitliyoruz: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)(6 ) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

O halde bu eşitsizliğin çözümü şu aralık olacaktır:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\sağ), \ n \in Z.$

Örnek 3: Eşitsizliği çözün:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\sağ)) \leq 0.$

Bu örnek bir algoritma kullanılarak hemen çözülemez. İlk önce onu dönüştürmeniz gerekir. Tam olarak denklemde yapacağımız gibi yapıyoruz, ancak işareti unutma. Negatif bir sayıya bölmek veya çarpmak onu tersine çevirir!

O halde trigonometrik fonksiyon içermeyen her şeyi sağ tarafa taşıyalım. Alırız:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\sağ)) \leq -1.$

Sol ve sağ tarafları $-2$'a bölün (işareti unutmayın!). sahip olacak:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\sağ)) \geq \frac(1)(2).$

Yine algoritmayı kullanarak çözemeyeceğimiz bir eşitsizlik elde ettik. Ancak burada değişken değişikliği yapmak yeterlidir:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Algoritma kullanılarak çözülebilecek bir trigonometrik eşitsizlik elde ederiz:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Bu eşitsizlik örnek 1'de çözüldü, bu yüzden cevabı oradan ödünç alacağız:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\sağ].$

Ancak karar henüz bitmiş değil. Orijinal değişkene geri dönmemiz gerekiyor.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\sağ].$

Boşluğu bir sistem olarak temsil edelim:

$\left\(\begin(dizi)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n.\end(dizi) \sağ.$

Sistemin sol kısımlarında aralığa ait ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$) ifadesi vardır. Aralığın sol sınırı birinci eşitsizlikten, sağ sınır ise ikincisinden sorumludur. Ayrıca, parantezler önemli bir rol oynar: parantez kare ise, eşitsizlik katı olmayacak ve yuvarlaksa katı olacaktır. görevimiz solda $x$ elde etmek her iki eşitsizlikte.

$\frac(\pi)(6)$'ı soldan sağa kaydıralım, şunu elde ederiz:

$\left\(\begin(dizi)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(dizi) \sağ.$

Basitleştirirsek, şunları elde ederiz:

$\left\(\begin(dizi)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n.\end(dizi) \sağ.$

Sol ve sağ tarafları 4$ ile çarparsak şunu elde ederiz:

$\left\(\begin(dizi)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(dizi) \sağ. $

Sistemi bir aralığa monte ederek cevabı alıyoruz:

$x \in \sol[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\sağ], \ n \in Z.$

1. Argüman karmaşıksa (farklı x), sonra onu ile değiştiririz T.

2. Bir koordinat düzleminde inşa ediyoruz toOy fonksiyon grafikleri y=maliyet ve y=a.

3. Böyle buluyoruz grafiklerin iki bitişik kesişme noktası, arasında yer alan y=a çizgisinin üstünde. Bu noktaların apsislerini bulunuz.

4. Argüman için bir çift eşitsizlik yazın T kosinüs periyodu göz önüne alındığında ( T bulunan apsisler arasında olacaktır).

5. Bir ters ikame yapın (orijinal argümana dönün) ve değeri ifade edin x bir çift eşitsizlikten, cevabı sayısal bir aralık olarak yazıyoruz.

örnek 1

Ayrıca, algoritmaya göre, argümanın bu değerlerini belirliyoruz. T, sinüzoidin bulunduğu üstünde Düz. Bu değerleri kosinüs fonksiyonunun periyodikliğini dikkate alarak çift eşitsizlik olarak yazıyoruz ve ardından orijinal argümana dönüyoruz. x.

Örnek 2

Bir değer aralığı seçme T sinüzoidin düz çizginin üzerinde olduğu.

Değerleri çift eşitsizlik şeklinde yazıyoruz T, koşulu tatmin ediyor. Unutmayın ki fonksiyonun en küçük periyodu y=maliyet eşittir 2π. Değişkene Geri Dön x, çifte eşitsizliğin tüm parçalarını kademeli olarak basitleştirir.

Eşitsizlik katı olmadığı için cevabı kapalı bir sayısal aralık olarak yazıyoruz.

Örnek 3

Değer aralığıyla ilgileneceğiz T, sinüzoidin noktalarının düz çizginin üzerinde olacağı.

değerler Tçift ​​eşitsizlik şeklinde yazıyoruz, aynı değerleri yeniden yazıyoruz 2 kere ve ifade etmek x. Cevabı sayısal bir aralık olarak yazıyoruz.

Ve yeniden formül maliyet>a.

Eğer maliyet>a, (-1≤a≤1), sonra - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.

Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için formüller uygulayın ve sınav testlerinde zaman kazanın.

Ve şimdi formül formun trigonometrik eşitsizliğini çözerken UNT veya USE sınavında kullanmanız gereken , maliyet

Eğer maliyet , (-1≤a≤1), sonra arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Bu makalede tartışılan eşitsizlikleri çözmek için bu formülü uygulayın, cevabı çok daha hızlı ve grafiksiz olarak alacaksınız!

Sinüs fonksiyonunun periyodikliğini dikkate alarak, argümanın değerleri için çift eşitsizlik yazıyoruz. T, son eşitsizliği sağlayan. Orijinal değişkene geri dönelim. Elde edilen çift eşitsizliği dönüştürelim ve değişkeni ifade edelim. X. Cevabı aralık olarak yazıyoruz.

İkinci eşitsizliği çözüyoruz:

İkinci eşitsizliği çözerken, formun bir eşitsizliğini elde etmek için çift argümanın sinüs formülünü kullanarak bu eşitsizliğin sol tarafını dönüştürmek zorunda kaldık: sint≥a. Ardından, algoritmayı takip ettik.

Üçüncü eşitsizliği çözüyoruz:

Sevgili mezunlar ve adaylar! Yukarıdaki grafik yöntemi gibi trigonometrik eşitsizlikleri çözme yöntemlerinin ve elbette, bildiğiniz gibi, bir birim trigonometrik daire (trigonometrik daire) kullanarak çözme yönteminin yalnızca trigonometri bölümünü incelemenin ilk aşamalarında uygulanabilir olduğunu unutmayın. Trigonometrik denklemlerin ve eşitsizliklerin çözümü". İlk önce en basit trigonometrik denklemleri grafikler veya bir daire kullanarak çözdüğünüzü hatırlayacaksınız. Ancak, trigonometrik denklemleri bu şekilde çözmek artık aklınıza gelmez. Onları nasıl çözersiniz? Bu doğru, formüller. Bu nedenle trigonometrik eşitsizlikler, özellikle test sırasında formüllerle çözülmelidir. her dakika yol. Bu dersteki üç eşitsizliği uygun formülü kullanarak çözün.

Eğer sint>a, burada -1≤ a≤1, o zaman arksin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nºZ.

Formülleri öğrenin!

Ve son olarak: matematiğin tanımlar, kurallar ve FORMÜL olduğunu biliyor musunuz?!

Tabii ki! Ve en meraklısı, bu makaleyi inceledikten ve videoyu izledikten sonra, “Ne kadar uzun ve zor! Bu tür eşitsizlikleri herhangi bir grafik ve daire olmadan çözmenizi sağlayan bir formül var mı? Evet, elbette var!

GÖRÜNÜM EŞİTSİZLİKLERİNİ ÇÖZMEK İÇİN: günah (-1≤a≤1) formül geçerlidir:

- π - arksin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.

Dikkate alınan örneklere uygulayın ve çok daha hızlı bir cevap alacaksınız!

Çözüm: FORMÜLÜ ÖĞRENİN ARKADAŞLAR!

Sayfa 1 / 1 1

Pratik bir derste, "Trigonometri" konusundaki ana görev türlerini tekrarlayacağız, ayrıca artan karmaşıklık problemlerini analiz edeceğiz ve çeşitli trigonometrik eşitsizlikleri ve sistemlerini çözme örneklerini ele alacağız.

Bu ders, B5, B7, C1 ve C3 görev türlerinden birine hazırlanmanıza yardımcı olacaktır.

Trigonometri konusunda ele aldığımız ana görev türlerini tekrarlayarak başlayalım ve standart olmayan birkaç görevi çözelim.

Görev 1. Açıları radyana ve dereceye dönüştürün: a) ; B) .

a) Dereceleri radyana dönüştürmek için formülü kullanın

Verilen değeri onun yerine yazınız.

b) Radyanları dereceye dönüştürmek için formülü uygulayın

değiştirme işlemini yapalım .

Yanıt vermek. a) ; B) .

2. Görev. Hesaplayın: a) ; B) .

a) Açı tablonun çok ötesinde olduğu için sinüsün periyodunu çıkararak onu azaltırız. Çünkü açı radyan olarak verilirse, periyot olarak kabul edilecektir.

b) Bu durumda durum benzerdir. Açı derece olarak belirtildiğinden, teğetin periyodunu olarak kabul edeceğiz.

Ortaya çıkan açı, noktadan daha küçük olmasına rağmen daha büyüktür, bu da artık tablonun ana değil, genişletilmiş kısmına atıfta bulunduğu anlamına gelir. Genişletilmiş bir trigofonksiyon değerleri tablosunu ezberleyerek hafızamızı bir kez daha eğitmemek için tanjant periyodunu tekrar çıkarırız:

Tanjant fonksiyonunun tuhaflığından yararlandık.

Yanıt vermek. a) 1; B) .

Görev #3. Hesaplamak , Eğer .

Kesrin payını ve paydasını bölerek ifadenin tamamını teğetlere getiriyoruz. Aynı zamanda korkamayız, çünkü bu durumda teğetin değeri olmaz.

Görev #4. Ifadeyi basitleştir.

Belirtilen ifadeler, döküm formülleri kullanılarak dönüştürülür. Sadece dereceler kullanılarak alışılmadık şekilde yazılıyorlar. İlk ifade genellikle bir sayıdır. Tüm trigofonksiyonları sırayla basitleştirin:

Çünkü , sonra işlev bir eş işleve dönüşür, yani. kotanjanta ve açı, orijinal tanjantın işaretinin negatif olduğu ikinci çeyreğe düşer.

Önceki ifadedekiyle aynı nedenlerle, işlev bir eş işleve dönüşür, yani. kotanjanta eşittir ve açı, ilk tanjantın pozitif bir işarete sahip olduğu ilk çeyreğe düşer.

Her şeyi basitleştirilmiş bir ifadeyle değiştirmek:

Görev #5. Ifadeyi basitleştir.

Çift açının tanjantını karşılık gelen formüle göre yazalım ve ifadeyi sadeleştirelim:

Son özdeşlik, kosinüs için evrensel ikame formüllerinden biridir.

Görev #6. Hesaplamak .

Ana şey, standart bir hata yapmamak ve ifadenin eşit olduğuna dair bir cevap vermemektir. Yanında iki şeklinde bir faktör varken ark tanjantının ana özelliğini kullanmak mümkün değildir. Ondan kurtulmak için, sıradan bir argüman olarak ele alırken, ifadeyi çift açının tanjantı formülüne göre yazarız.

Artık ark tanjantının ana özelliğini uygulamak zaten mümkün, sayısal sonucu üzerinde herhangi bir kısıtlama olmadığını unutmayın.

Görev #7. Denklemi çözün.

Sıfıra eşit olan bir kesirli denklemi çözerken, her zaman payın sıfır olduğu ve paydanın olmadığı belirtilir, çünkü sıfıra bölemezsiniz.

İlk denklem, trigonometrik bir daire kullanılarak çözülen en basit denklemin özel bir halidir. Bu çözümü kendiniz düşünün. İkinci eşitsizlik, teğetin kökleri için genel formül kullanılarak en basit denklem olarak çözülür, ancak yalnızca işareti eşit değildir.

Gördüğümüz gibi, bir kök ailesi, denklemi karşılamayan tam olarak aynı kök ailesini hariç tutar. Şunlar. kökleri yoktur.

Yanıt vermek. Kök yok.

Görev #8. Denklemi çözün.

Hemen ortak faktörü çıkarabileceğinizi ve yapabileceğinizi unutmayın:

Birkaç faktörün çarpımı sıfıra eşit olduğunda, denklem standart formlardan birine indirgenmiştir. Bu durumda bunlardan birinin sıfıra, diğerinin veya üçüncünün eşit olduğunu zaten biliyoruz. Bunu bir denklem seti olarak yazıyoruz:

İlk iki denklem en basitlerinin özel durumlarıdır, benzer denklemlerle birçok kez karşılaştık, bu yüzden hemen çözümlerini belirteceğiz. Çift açılı sinüs formülünü kullanarak üçüncü denklemi bir fonksiyona indirgeriz.

Son denklemi ayrı ayrı çözelim:

Bu denklemin kökü yoktur, çünkü sinüsün değeri ötesine geçemez .

Bu nedenle, yalnızca ilk iki kök ailesi çözümdür, bir trigonometrik daire üzerinde gösterilmesi kolay bir şekilde birleştirilebilirler:

Bu, tüm yarılardan oluşan bir ailedir, yani.

Şimdi trigonometrik eşitsizlikleri çözmeye geçelim. İlk olarak, genel çözüm formüllerini kullanmadan, ancak bir trigonometrik daire yardımıyla bir örnek çözme yaklaşımını inceleyelim.

Görev #9. Eşitsizliği çözün.

sinüsün değerine karşılık gelen trigonometrik dairenin üzerine yardımcı bir çizgi çizin ve eşitsizliği sağlayan açıların aralığını gösterin.

Ortaya çıkan açı aralığının tam olarak nasıl belirleneceğini anlamak çok önemlidir, yani. başlangıcı ve sonu nedir. Boşluğun başlangıcı, saat yönünün tersine hareket edersek boşluğun en başında gireceğimiz noktaya karşılık gelen açı olacaktır. Bizim durumumuzda, soldaki nokta budur, çünkü saat yönünün tersine hareket edip doğru noktayı geçerek tam tersine gerekli açı aralığından çıkıyoruz. Bu nedenle doğru nokta, boşluğun sonuna karşılık gelecektir.

Şimdi eşitsizliğe çözüm aralığımızın başlangıç ​​ve bitiş açılarının değerlerini anlamamız gerekiyor. Tipik bir hata, sağ noktanın açıya karşılık geldiğini hemen belirtmek , sol ve cevabı vermek. Bu doğru değil! Lütfen, dairenin üst kısmına karşılık gelen aralığı belirttiğimizi, ancak alt kısımla ilgilendiğimizi, yani ihtiyacımız olan çözüm aralığının başlangıcını ve sonunu karıştırdığımızı unutmayın.

Aralığın sağ noktanın köşesinde başlayıp sol noktanın köşesinde bitmesi için, belirlenen ilk açı ikinciden küçük olmalıdır. Bunu yapmak için, negatif referans yönünde doğru noktanın açısını ölçmemiz gerekecek, yani. saat yönünde ve eşit olacaktır. Daha sonra, saat yönünde pozitif yönde başlayarak, sol noktadan sonra sağ noktaya ulaşacağız ve bunun için açı değerini alacağız. Şimdi açılar aralığının başlangıcı sonundan küçüktür ve periyodu hesaba katmadan çözümler aralığını yazabiliriz:

Bu tür boşlukların herhangi bir tamsayı dönüşten sonra sonsuz sayıda tekrar edeceğini göz önünde bulundurarak, sinüs periyodunu hesaba katarak genel çözümü elde ederiz:

Eşitsizlik katı olduğu için yuvarlak parantez koyduk ve dairenin üzerindeki aralığın uçlarına karşılık gelen noktaları deliyoruz.

Cevabınızı derste verdiğimiz genel çözüm formülüyle karşılaştırın.

Yanıt vermek. .

Bu yöntem, en basit trigonal eşitsizliklerin genel çözümlerinin formüllerinin nereden geldiğini anlamak için iyidir. Ayrıca tüm bu zahmetli formülleri öğrenemeyecek kadar tembel olanlar için de faydalıdır. Bununla birlikte, yöntemin kendisi de kolay değildir, çözüme hangi yaklaşımın sizin için en uygun olduğunu seçin.

Trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için, birim çember kullanılarak gösterilen yönteme benzer şekilde, yardımcı çizginin üzerine kurulduğu fonksiyon grafiklerini de kullanabilirsiniz. Eğer ilgileniyorsanız, bu yaklaşımı çözüme kendiniz anlamaya çalışın. Gelecekte, en basit trigonometrik eşitsizlikleri çözmek için genel formüller kullanacağız.

Görev #10. Eşitsizliği çözün.

Eşitsizliğin katı olmadığını dikkate alarak genel çözüm formülünü kullanıyoruz:

Bizim durumumuzda alıyoruz:

Yanıt vermek.

Görev #11. Eşitsizliği çözün.

İlgili katı eşitsizlik için genel çözüm formülünü kullanıyoruz:

Yanıt vermek. .

Görev #12. Eşitsizlikleri çözün: a) ; B) .

Bu eşitsizliklerde, genel çözümler veya trigonometrik bir daire için formüller kullanmak için acele etmemelisiniz, sadece sinüs ve kosinüs değer aralığını hatırlamak yeterlidir.

a) Çünkü , o zaman eşitsizlik anlamsızdır. Bu nedenle, çözümler yoktur.

b) Çünkü benzer şekilde, herhangi bir argümanın sinüsü her zaman koşulda belirtilen eşitsizliği sağlar. Bu nedenle, eşitsizlik, argümanın tüm gerçek değerleri tarafından karşılanır.

Yanıt vermek. a) çözüm yok; B) .

Görev 13. eşitsizliği çöz .