Bu örneği ele alalım. Sırayla saymanız gerekir: .

Eklenmesi gereken sayıları yeniden düzenleyebilir ve ardından kalanları çıkarabilirsiniz: .

Ancak bu her zaman uygun değildir. Örneğin bir depodaki eşyaların dengesini hesaplayabiliriz ve ara sonucu bilmemiz gerekir.

Eylemleri art arda gerçekleştirebilirsiniz: .

Bu nedenle sonucun sayıdan çıkarma olacağını biliyoruz. Bu, çıkarmamız gerektiği anlamına gelir, ancak henüz hiçbir şeyden çıkarmamız gerekmez. Çıkarılacak bir şeyimiz olduğunda şunu çıkarırız:

Ama “hile yapabiliriz” ve belirleyebiliriz. Böylece yeni bir nesne tanıtacağız - negatif sayılar.

Zaten böyle bir işlemi gerçekleştirdik - örneğin doğada "" sayısı da yoktu, ancak eylemleri kaydetmeyi kolaylaştırmak için böyle bir nesne ekledik.

Bir spor deposunda topları vermek ve almakla görevlendirildiğimizi hayal edin. Kayıt tutmamız gerekiyor. Kelimelerle yazabilirsiniz:

Verildi, Kabul Edildi, Verildi, Kabul Edildi,… (Bkz. Şekil 1.)

Pirinç. 1. Muhasebe

Kabul ediyorum, günde birçok kez veri verip almanız gerekiyorsa, kayıt yapmak pek uygun değildir.

Sayfayı biri Kabul Edildi, diğeri Verildi olmak üzere iki sütuna bölebilirsiniz. (Bkz. Şekil 2.)

Pirinç. 2. Basitleştirilmiş kayıt

Kayıt kısaldı. Ancak sorun şu: Herhangi bir anda kaç topun alındığını (veya verildiğini) nasıl anlayacağız?

Kayıt için şu düşünceyi kullanabilirsiniz: Topları depodan çıkardığımızda depodaki miktarı azalır, kabul ettiğimizde ise artar.

Peki “topu dışarı verdi” nasıl yazılır? Aşağıdaki nesneyi girebilirsiniz: .

Bu nesne, topların hareketinin gerçekleştiği sıraya göre matematiksel olarak kaydedilmesini sağlar:

Başka bir örneğe bakalım.

Telefon hesabınızda ruble var. İnternete girdin ve rubleye mal oldu. Sonuç ruble borcuydu. Operatör şunu yazabilirdi: "müşterinin ruble borcu var." Ruble koydun. Operatör borcunu kesti. Ruble hesabında ortaya çıktı.

Ancak “” ve “” işaretlerini kullanarak hem işlemleri hem de parayı hesaba kaydetmek uygundur. (Bkz. Şekil 3.)

Pirinç. 3. Uygun kayıt

Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkarmanın sonucunu yazmak için negatif bir sayı giriyoruz: .

Negatif bir sayı eklemek, çıkarmaya eşdeğerdir: .

Negatif sayıları daha önce ele aldığımız pozitif sayılardan ayırmak için önüne eksi işareti koymaya karar verdik: .

Onlar olmadan yapabilir misin? Evet yapabilirsin. Her birinde özel durum“geri”, “borçlu” vb. kelimeleri kullanırdık. Ama onlar, bu sözler farklı olurdu.

Ve böylece evrensel, kullanışlı bir aracımız var. Tüm bu durumlar için bir tane.

Bir arabaya benzetme yapabiliriz. Birçoğu tek tek ihtiyaç duyulmayan, ancak birlikte sürüş yapmanızı sağlayan çok sayıda parçadan oluşur. Aynı şekilde negatif sayılar da diğer matematik araçlarıyla birlikte hesaplamayı kolaylaştıran, birçok problemin çözümünü ve yazılmasını kolaylaştıran bir araçtır.

Böylece yeni bir nesneyi tanıttık: Negatif sayılar. Hayatta ne için kullanılırlar?

Öncelikle pozitif sayıların rollerini hatırlayalım:

Miktar: örneğin odun, litre süt. (Bkz. Şekil 4.)

Pirinç. 4. Miktar

Sıralama: örneğin evler numaralandırılmıştır pozitif sayılar. (Bkz. Şekil 5.)

Pirinç. 5. Organize edin

Ad: örneğin futbolcu numarası. (Bkz. Şekil 6.)

Pirinç. 6. İsim olarak sayı

Şimdi fonksiyonlara bakalım negatif sayılar:

Eksik miktarın belirtilmesi. Miktar asla negatif değildir. Ancak bir miktarın çıkarıldığını göstermek için negatif bir sayı kullanılır. Mesela bir şişeden döküp şeklinde yazabiliriz. (Bkz. Şekil 7.)

Pirinç. 7. Eksik miktarın belirtilmesi

Düzenleme. Bazen numaralandırma yaparken sıfır seçilir ve nesneleri sıfırın her iki tarafında da numaralandırmanız gerekir. Örneğin bodrum katındaki katların altında yer alan katlar. (Bkz. Şekil 8.) Veya seçilen sıfırın altında bir sıcaklık. (Bkz. Şekil 9.)

Pirinç. 8. Bodrum katının altında yer alan kat

Pirinç. 9. Termometre ölçeğindeki negatif sayılar

Ancak yine de negatif sayıların asıl amacı matematiksel hesaplamaları basitleştirmeye yönelik bir araç olmasıdır.

Ancak negatif sayıların bu hale gelmesi için kullanışlı araç, şunları yapmanız gerekir:

Negatif sıcaklık, sıfırın altında, sıfır sıcaklığın altında olan sıcaklıktır. Peki sıfır sıcaklık nedir? Sıcaklığı ölçmek ve kaydetmek için bir ölçü birimi ve bir referans noktası seçmeniz gerekir. Her ikisi de anlaşmadır. Santigrat ölçeğini, onu öneren bilim insanının anısına kullanırız. (Bkz. Şekil 10.)

Pirinç. 10. Anders Santigrat

Burada referans noktası olarak suyun donma noktası seçilmiştir. Aşağıdaki herhangi bir şey negatif bir değerle gösterilir. (Bkz. Şekil 11.)

Pirinç. 11.

Ancak başka bir referans noktası, başka bir sıfır alırsak, Celsius'taki negatif sıcaklığın bu diğer ölçekte pozitif olabileceği açıktır. Olan bu. Kelvin ölçeği fizikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Celsius ölçeğine benzer, yalnızca mümkün olan en düşük sıcaklığın değeri sıfır olarak seçilir (daha düşük olamaz). Bu değere “mutlak sıfır” denir. Santigrat cinsinden bu yaklaşık olarak . (Bkz. Şekil 12.)

Pirinç. 12. İki terazi

Yani Kelvin ölçeğinde hiçbir negatif değer yoktur.

Yani bizim yaz .

Ve buzlu olanlar .

Yani, negatif sıcaklık bir sözleşmedir, insanlar arasında buna böyle isim verilmesi konusunda yapılan bir anlaşmadır.

Sıfırdan başlayalım. Sıfır, sayılar arasında özel bir konuma sahiptir.

Daha önce tartıştığımız gibi, kolaylık olması açısından yedinin çıkarılmasını negatif bir sayı olarak gösterebiliriz. Çıkarma anlamına geldiği için işareti olarak “” işaretini bırakıyoruz. Yeni bir numara adlandıralım.

Yani “” toplamı sıfıra eşit olan bir sayıdır: . Ve herhangi bir sırayla. Bu, negatif (veya zıt) bir sayının tanımıdır.

Daha önce incelediğimiz her sayı için, işareti önündeki eksi işareti olan yeni bir negatif sayı tanıtacağız. Yani, önceki her sayının negatif ikizi ortaya çıktı. Bu tür ikizlere zıt sayılar diyoruz. (Bkz. Şekil 13.)

Pirinç. 13. Zıt sayılar

Yani tanım: Zıt sayılar, toplamı sıfıra eşit olan iki sayıdır.

Dışarıdan sadece “” işaretinde farklılık gösterirler.

Örneğin bir değişkenin önünde "" işareti varsa, bu ne anlama gelir? Bu, bu değerin negatif olduğu anlamına gelmez. Eksi işareti, bu değerin şu sayının tersi olduğu anlamına gelir: . Bu sayıların hangisinin pozitif hangisinin negatif olduğunu bilmiyoruz.

Eğer öyleyse.

Eğer (negatif sayı), o zaman (pozitif sayı).

Sıfırın karşısında hangi sayı var? Bunu zaten biliyoruz.

Sıfır dahil herhangi bir sayıya sıfır eklenirse orijinal sayı değişmeyecektir. Yani iki sıfırın toplamı sıfırdır: . Ancak toplamı sıfır olan sayılar zıt sayılardır. Yani sıfır kendinin karşıtıdır.

Böylece negatif sayıların tanımını verdik ve neden gerekli olduklarını öğrendik.

Şimdi teknolojiye biraz zaman ayıralım. Şimdilik herhangi bir sayının tersini nasıl bulacağımızı öğrenmemiz gerekiyor:

Dersin son bölümünde negatif sayıların tanıtılmasından sonra ortaya çıkan kümelerin yeni adlarından ve gösterimlerinden bahsedeceğiz.

Bu örneği ele alalım. Sırayla saymanız gerekir: .

Eklenmesi gereken sayıları yeniden düzenleyebilir ve ardından kalanları çıkarabilirsiniz: .

Ancak bu her zaman uygun değildir. Örneğin bir depodaki eşyaların dengesini hesaplayabiliriz ve ara sonucu bilmemiz gerekir.

Eylemleri art arda gerçekleştirebilirsiniz: .

Bu nedenle sonucun sayıdan çıkarma olacağını biliyoruz. Bu, çıkarmamız gerektiği anlamına gelir, ancak henüz hiçbir şeyden çıkarmamız gerekmez. Çıkarılacak bir şeyimiz olduğunda şunu çıkarırız:

Ama “hile yapabiliriz” ve belirleyebiliriz. Böylece yeni bir nesne tanıtacağız - negatif sayılar.

Zaten böyle bir işlemi gerçekleştirdik - örneğin doğada "" sayısı da yoktu, ancak eylemleri kaydetmeyi kolaylaştırmak için böyle bir nesne ekledik.

Bir spor deposunda topları vermek ve almakla görevlendirildiğimizi hayal edin. Kayıt tutmamız gerekiyor. Kelimelerle yazabilirsiniz:

Verildi, Kabul Edildi, Verildi, Kabul Edildi,… (Bkz. Şekil 1.)

Pirinç. 1. Muhasebe

Kabul ediyorum, günde birçok kez veri verip almanız gerekiyorsa, kayıt yapmak pek uygun değildir.

Sayfayı biri Kabul Edildi, diğeri Verildi olmak üzere iki sütuna bölebilirsiniz. (Bkz. Şekil 2.)

Pirinç. 2. Basitleştirilmiş kayıt

Kayıt kısaldı. Ancak sorun şu: Herhangi bir anda kaç topun alındığını (veya verildiğini) nasıl anlayacağız?

Kayıt için şu düşünceyi kullanabilirsiniz: Topları depodan çıkardığımızda depodaki miktarı azalır, kabul ettiğimizde ise artar.

Peki “topu dışarı verdi” nasıl yazılır? Aşağıdaki nesneyi girebilirsiniz: .

Bu nesne, topların hareketinin gerçekleştiği sıraya göre matematiksel olarak kaydedilmesini sağlar:

Başka bir örneğe bakalım.

Telefon hesabınızda ruble var. İnternete girdin ve rubleye mal oldu. Sonuç ruble borcuydu. Operatör şunu yazabilirdi: "müşterinin ruble borcu var." Ruble koydun. Operatör borcunu kesti. Ruble hesabında ortaya çıktı.

Ancak “” ve “” işaretlerini kullanarak hem işlemleri hem de parayı hesaba kaydetmek uygundur. (Bkz. Şekil 3.)

Pirinç. 3. Uygun kayıt

Daha küçük bir sayıdan daha büyük bir sayıyı çıkarmanın sonucunu yazmak için negatif bir sayı giriyoruz: .

Negatif bir sayı eklemek, çıkarmaya eşdeğerdir: .

Negatif sayıları daha önce ele aldığımız pozitif sayılardan ayırmak için önüne eksi işareti koymaya karar verdik: .

Onlar olmadan yapabilir misin? Evet yapabilirsin. Herhangi bir durumda “geri”, “ödünç al” vb. kelimeleri kullanırız. Ama onlar, bu sözler farklı olurdu.

Ve böylece evrensel, kullanışlı bir aracımız var. Tüm bu durumlar için bir tane.

Bir arabaya benzetme yapabiliriz. Birçoğu tek tek ihtiyaç duyulmayan, ancak birlikte sürüş yapmanızı sağlayan çok sayıda parçadan oluşur. Aynı şekilde negatif sayılar da diğer matematik araçlarıyla birlikte hesaplamayı kolaylaştıran, birçok problemin çözümünü ve yazılmasını kolaylaştıran bir araçtır.

Böylece yeni bir nesneyi tanıttık: Negatif sayılar. Hayatta ne için kullanılırlar?

Öncelikle pozitif sayıların rollerini hatırlayalım:

Miktar: örneğin odun, litre süt. (Bkz. Şekil 4.)

Pirinç. 4. Miktar

Sıralama: Örneğin evler pozitif sayılarla numaralandırılır. (Bkz. Şekil 5.)

Pirinç. 5. Organize edin

Ad: örneğin futbolcu numarası. (Bkz. Şekil 6.)

Pirinç. 6. İsim olarak sayı

Şimdi negatif sayıların fonksiyonlarına bakalım:

Eksik miktarın belirtilmesi. Miktar asla negatif değildir. Ancak bir miktarın çıkarıldığını göstermek için negatif bir sayı kullanılır. Mesela bir şişeden döküp şeklinde yazabiliriz. (Bkz. Şekil 7.)

Pirinç. 7. Eksik miktarın belirtilmesi

Düzenleme. Bazen numaralandırma yaparken sıfır seçilir ve nesneleri sıfırın her iki tarafında da numaralandırmanız gerekir. Örneğin bodrum katındaki katların altında yer alan katlar. (Bkz. Şekil 8.) Veya seçilen sıfırın altında bir sıcaklık. (Bkz. Şekil 9.)

Pirinç. 8. Bodrum katının altında yer alan kat

Pirinç. 9. Termometre ölçeğindeki negatif sayılar

Ancak yine de negatif sayıların asıl amacı matematiksel hesaplamaları basitleştirmeye yönelik bir araç olmasıdır.

Ancak negatif sayıların bu kadar kullanışlı bir araç haline gelmesi için şunları yapmanız gerekir:

Negatif sıcaklık, sıfırın altında, sıfır sıcaklığın altında olan sıcaklıktır. Peki sıfır sıcaklık nedir? Sıcaklığı ölçmek ve kaydetmek için bir ölçü birimi ve bir referans noktası seçmeniz gerekir. Her ikisi de anlaşmadır. Santigrat ölçeğini, onu öneren bilim insanının anısına kullanırız. (Bkz. Şekil 10.)

Pirinç. 10. Anders Santigrat

Burada referans noktası olarak suyun donma noktası seçilmiştir. Aşağıdaki herhangi bir şey negatif bir değerle gösterilir. (Bkz. Şekil 11.)

Pirinç. 11.

Ancak başka bir referans noktası, başka bir sıfır alırsak, Celsius'taki negatif sıcaklığın bu diğer ölçekte pozitif olabileceği açıktır. Olan bu. Kelvin ölçeği fizikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Celsius ölçeğine benzer, yalnızca mümkün olan en düşük sıcaklığın değeri sıfır olarak seçilir (daha düşük olamaz). Bu değere “mutlak sıfır” denir. Santigrat cinsinden bu yaklaşık olarak . (Bkz. Şekil 12.)

Pirinç. 12. İki terazi

Yani Kelvin ölçeğinde hiçbir negatif değer yoktur.

Yani bizim yaz .

Ve buzlu olanlar .

Yani, negatif sıcaklık bir sözleşmedir, insanlar arasında buna böyle isim verilmesi konusunda yapılan bir anlaşmadır.

Sıfırdan başlayalım. Sıfır, sayılar arasında özel bir konuma sahiptir.

Daha önce tartıştığımız gibi, kolaylık olması açısından yedinin çıkarılmasını negatif bir sayı olarak gösterebiliriz. Çıkarma anlamına geldiği için işareti olarak “” işaretini bırakıyoruz. Yeni bir numara adlandıralım.

Yani “” toplamı sıfıra eşit olan bir sayıdır: . Ve herhangi bir sırayla. Bu, negatif (veya zıt) bir sayının tanımıdır.

Daha önce incelediğimiz her sayı için, işareti önündeki eksi işareti olan yeni bir negatif sayı tanıtacağız. Yani, önceki her sayının negatif ikizi ortaya çıktı. Bu tür ikizlere zıt sayılar diyoruz. (Bkz. Şekil 13.)

Pirinç. 13. Zıt sayılar

Yani tanım: Zıt sayılar, toplamı sıfıra eşit olan iki sayıdır.

Dışarıdan sadece “” işaretinde farklılık gösterirler.

Örneğin bir değişkenin önünde "" işareti varsa, bu ne anlama gelir? Bu, bu değerin negatif olduğu anlamına gelmez. Eksi işareti, bu değerin şu sayının tersi olduğu anlamına gelir: . Bu sayıların hangisinin pozitif hangisinin negatif olduğunu bilmiyoruz.

Eğer öyleyse.

Eğer (negatif sayı), o zaman (pozitif sayı).

Sıfırın karşısında hangi sayı var? Bunu zaten biliyoruz.

Sıfır dahil herhangi bir sayıya sıfır eklenirse orijinal sayı değişmeyecektir. Yani iki sıfırın toplamı sıfırdır: . Ancak toplamı sıfır olan sayılar zıt sayılardır. Yani sıfır kendinin karşıtıdır.

Böylece negatif sayıların tanımını verdik ve neden gerekli olduklarını öğrendik.

Şimdi teknolojiye biraz zaman ayıralım. Şimdilik herhangi bir sayının tersini nasıl bulacağımızı öğrenmemiz gerekiyor:

Dersin son bölümünde negatif sayıların tanıtılmasından sonra ortaya çıkan kümelerin yeni adlarından ve gösterimlerinden bahsedeceğiz.

Kendinin tam tersi.

Gerçeğin tam tersi

Tanımdan karşı sayı yapmalı

$n"\; =\; -n$

Yani zıt sayıların büyüklükleri aynı fakat işaretleri zıttır. Buna göre sayının tersi $N$ belirtmek $-N$.

Sanal birimin karşısında

$\backslash frac(1)(i)=\backslash frac(1\; \backslash cdot\; i)(i\; \backslash cdot\; i)=\backslash frac(i)(i^2)=\backslash frac(i)(-1)=-i$

Böylece elde ederiz

$-i\; =\; \backslash frac(1)(i)$ __ veya__ $-i\; =\; i^(-1)$

Aynı şekilde $-Ben$: __ $i\; =\; -\; \backslash frac(1)(i)$ __ veya __ $ben\; =\; -i^(-1)$

"Karşıt sayı" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Notlar

Ayrıca bakınız

Karşıt sayıyı karakterize eden alıntı

Ertesi gün, sabah erkenden, yıpranmış Kutuzov kalktı, Tanrı'ya dua etti, giyindi ve onaylamadığı bir savaşa liderlik etmek zorunda olduğunun tatsız bilinciyle bir arabaya bindi ve Letashevka'dan ayrıldı. Tarutin'in beş mil gerisinde, ilerleyen sütunların toplanacağı yere. Kutuzov ata bindi, uykuya daldı ve uyandı ve sağda ateş olup olmadığını, iş başlamış mı diye dinledi mi? Ama her şey hala sessizdi. Nemli ve bulutlu bir sonbahar gününün şafağı daha yeni başlıyordu. Tarutin'e yaklaşan Kutuzov, süvarilerin atlarını arabanın ilerlediği yol boyunca suya götürdüğünü fark etti. Kutuzov onlara daha yakından baktı, arabayı durdurdu ve hangi alayı sordu? Süvariler pusuda çok ileride olması gereken gruptandı. Eski başkomutan, "Bu bir hata olabilir" diye düşündü. Ancak daha da ileri giden Kutuzov, piyade alaylarını, sehpalarında silahlar, iç çamaşırlarında yulaf lapası ve yakacak odun taşıyan askerler gördü. Bir memur çağrıldı. Memur, hareket emrinin olmadığını bildirdi.
Kutuzov, "Nasıl olmazsın..." diye başladı ama hemen sustu ve kıdemli subayın kendisine çağrılmasını emretti. Arabadan indikten sonra başı öne eğik, derin nefesler alarak, sessizce bekleyerek ileri geri yürümeye başladı. İstenilen memur ortaya çıktığında Genelkurmay Eichen'de Kutuzov mora döndü, bunun nedeni bu memurun bir hatadan dolayı suçlu olması değil, öfkesini ifade etmeye layık bir konu olmasıydı. Ve titreyerek, nefes nefese, öfkeyle yerde yuvarlanırken girebileceği öfke durumuna ulaşan yaşlı adam, elleriyle tehdit ederek, bağırarak ve kaba sözlerle küfrederek Eichen'e saldırdı. . Ortaya çıkan bir başka kişi, hiçbir şeyden masum olmayan Yüzbaşı Brozin de aynı kaderi yaşadı.
- Bu nasıl bir serseri? Alçakları vurun! - kollarını sallayarak ve sendeleyerek boğuk bir sesle bağırdı. Fiziksel acı çekiyordu. O, başkomutan, en ünlü, herkesin Rusya'da hiç kimsenin onun kadar güce sahip olmadığını garanti ettiği bu pozisyona getirildi - tüm ordunun önünde alay konusu oldu. “Boşuna bu gün için dua etmeye bu kadar zahmet ettim, boşuna geceleri uyuyamadım ve her şeyi düşündüm! - kendini düşündü. "Çocukluğumda subay olduğumda kimse benimle bu şekilde dalga geçmeye cesaret edemezdi... Ama şimdi!" Bedensel cezadan dolayı fiziksel acı çekiyordu ve bunu öfkeli ve acı dolu çığlıklarla ifade etmekten kendini alamadı; ama çok geçmeden gücü zayıfladı ve etrafına bakınarak pek çok kötü şey söylediğini hissederek arabaya bindi ve sessizce geri döndü.

Zıt sayıların tanımı

Zıt sayıların tanımı:

Yalnızca işaret bakımından farklılık gösteren iki sayıya zıt sayı denir.

Zıt sayılara örnekler

Zıt sayılara örnekler.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Buradan belirli bir sayının tersinin nasıl bulunacağı açıktır: sadece sayının işaretini değiştirin.

3'ün karşısındaki sayı eksi üç sayısıdır.

Örnek. Sayılar verilerin tersidir.

Verilenler: sayılar 1; 5; 8; 9.

Verilerin zıt sayılarını bulun.

Bu görevi çözmek için verilen sayıların işaretlerini değiştirmeniz yeterlidir:

Zıt sayıların bir tablosunu oluşturalım:

Sıfırın tersi

Sıfırın karşıtı sıfır sayısının kendisidir.

Yani 0'ın tersi sayı 0'dır.

Zıt Tamsayılar

Zıt tam sayıların yalnızca işaretleri farklıdır.

Zıt tam sayılara örnekler.

10 -10
20 -20
125 -125

Zıt sayılar çifti

Zıt sayılardan bahsettiklerinde her zaman bir çift zıt sayıyı kastediyorlar.

Bir sayı başka bir sayının tersidir. Ve her sayının yalnızca bir zıt sayısı vardır.

Doğal sayıların karşısındaki sayılar

Doğal sayıların zıttı negatif tam sayılardır.

İlk beş doğal sayı için zıt sayıların bir tablosunu oluşturalım:

Zıt sayıların toplamı

Zıt sayıların toplamı sıfırdır. Sonuçta, zıt sayılar yalnızca işaret bakımından farklılık gösterir.