Ang iba't ibang mga formula ay maaaring magamit upang matukoy ang lugar ng isang tatsulok. Sa lahat ng mga pamamaraan, ang pinakamadali at madalas na ginagamit ay upang i-multiply ang taas sa haba ng base at pagkatapos ay hatiin ang resulta sa dalawa. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ay malayo sa nag-iisa. Sa ibaba maaari mong basahin kung paano hanapin ang lugar ng isang tatsulok gamit ang iba't ibang mga formula.

Hiwalay, isasaalang-alang namin ang mga pamamaraan para sa pagkalkula ng lugar ng mga tukoy na uri ng isang tatsulok - parihaba, isosceles at equilateral. Sinasamahan namin ang bawat pormula sa isang maikling paliwanag na makakatulong sa iyo na maunawaan ang kakanyahan nito.

Pangkalahatang paraan upang hanapin ang lugar ng isang tatsulok

Ginagamit ang mga espesyal na simbolo sa mga formula sa ibaba. Tatalakayin namin ang bawat isa sa kanila:

• a, b, c - ang haba ng tatlong panig ng pigura na isinasaalang-alang namin;
• ang r ay ang radius ng isang bilog na maaaring nakasulat sa aming tatsulok;
• Ang R ay ang radius ng bilog na maaaring mailarawan sa paligid nito;
• α - ang halaga ng anggulo na nabuo ng mga panig b at c;
• Ang β ay ang anggulo sa pagitan ng a at c;
• γ - ang halaga ng anggulo na nabuo ng mga gilid a at b;
• h - ang taas ng aming tatsulok, ibinaba mula sa anggulo α sa gilid a;
• p - kalahati ng kabuuan ng mga panig a, b at c.

Lohikal kung bakit posible na hanapin ang lugar ng isang tatsulok sa ganitong paraan. Ang tatsulok ay maaaring madaling makumpleto sa isang parallelogram, kung saan ang isang gilid ng tatsulok ay kikilos bilang isang dayagonal. Ang lugar ng isang parallelogram ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpaparami ng haba ng isa sa mga gilid nito sa pamamagitan ng halaga ng taas na iginuhit dito. Hinahati ng dayagonal ang maginoo na parallelogram na ito sa 2 magkaparehong mga triangles. Samakatuwid, ito ay lubos na halata na ang lugar ng aming orihinal na tatsulok ay dapat na katumbas ng kalahati ng lugar ng pantulong na parallelogram na ito.

S \u003d ½ a b kasalanan γ

Ayon sa pormulang ito, ang lugar ng isang tatsulok ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpaparami ng haba ng dalawang panig nito, iyon ay, a at b, sa pamamagitan ng sine ng anggulo na nabuo ng mga ito. Ang pormula na ito ay lohikal na nagmula sa nakaraang isa. Kung nahuhulog namin ang taas mula sa anggulo β hanggang sa gilid b, kung gayon, ayon sa mga pag-aari ng isang tatsulok na may anggulo, kapag pinarami ang haba ng gilid ng sine ng anggulo γ, nakukuha natin ang taas ng tatsulok, iyon ay, h

Ang lugar ng pinag-uusapan na pigura ay natagpuan sa pamamagitan ng pag-multiply ng kalahati ng radius ng bilog, na maaaring nakasulat dito, sa pamamagitan ng perimeter nito. Sa madaling salita, nakita namin ang produkto ng semiperimeter at ang radius ng nabanggit na bilog.

S \u003d a b s / 4R

Ayon sa pormulang ito, ang halaga na kailangan namin ay maaaring matagpuan sa pamamagitan ng paghahati ng produkto ng mga panig ng pigura sa pamamagitan ng 4 radii ng bilog na inilarawan sa paligid nito.

Ang mga pormula na ito ay unibersal, dahil ginagawang posible upang matukoy ang lugar ng anumang tatsulok (maraming nalalaman, isosceles, equilateral, hugis-parihaba). Maaari itong magawa sa tulong ng mas kumplikadong mga kalkulasyon, kung saan hindi kami mananatili sa detalye.

Mga lugar ng triangles na may tukoy na mga katangian

Paano ko mahahanap ang lugar ng isang tamang tatsulok? Ang kakaibang uri ng figure na ito ay ang dalawang panig nito ay sabay-sabay ang taas nito. Kung ang a at b ay mga binti, at c ay naging isang hypotenuse, kung gayon ang lugar ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

Paano makahanap ng isang lugar tatsulok na isosceles? Mayroon itong dalawang panig na may haba a at isang gilid na may haba b. Samakatuwid, ang lugar nito ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng paghahati ng 2 ng produkto ng parisukat ng gilid a ng sine ng anggulo γ.

Paano makahanap ng lugar ng isang equilateral triangle? Dito, ang haba ng lahat ng panig ay katumbas ng a, at ang laki ng lahat ng mga anggulo ay α. Ang taas nito ay katumbas ng kalahati ng produkto ng haba ng gilid a ng square square na 3. Upang mahanap ang lugar ng isang regular na tatsulok, kailangan mong paramihin ang parisukat ng gilid ng square square na 3 at hatiin ng 4.

Mula sa kabaligtaran vertex) at hatiin ang nagresultang produkto ng dalawa. Sa form, ganito ang hitsura nito:

S \u003d ½ * a * h,

kung saan:
Ang S ay ang lugar ng tatsulok,
a ang haba ng tagiliran nito,
h ay ang taas na ibinaba sa panig na ito.

Ang haba at taas ng gilid ay dapat ipakita sa parehong yunit. Sa kasong ito, ang lugar ng tatsulok ay makukuha sa naaangkop na "" mga yunit.

Halimbawa.
Sa isang bahagi ng isang maraming nalalaman tatsulok na 20 cm ang haba, ang isang patayo ay ibinaba mula sa kabaligtaran na taluktok na 10 cm ang haba.
Ang lugar ng tatsulok ay kinakailangan.
Desisyon.
S \u003d ½ * 20 * 10 \u003d 100 (cm²).

Kung alam mo ang haba ng anumang dalawang panig ng isang maraming nalalaman na tatsulok at ang anggulo sa pagitan ng mga ito, pagkatapos ay gamitin ang formula:

S \u003d ½ * a * b * sinγ,

kung saan: a, b ang haba ng dalawang di-makatwirang panig, at γ ang anggulo sa pagitan nila.

Sa pagsasagawa, halimbawa, kapag sumusukat ng mga lagay ng lupa, ang paggamit ng mga pormula sa itaas ay mahirap minsan, dahil nangangailangan ito ng karagdagang mga konstruksyon at pagsukat ng mga anggulo.

Kung alam mo ang haba ng lahat ng tatlong panig ng isang maraming nalalaman na tatsulok, pagkatapos ay gamitin ang pormula ni Heron:

S \u003d √ (p (p-a) (p-b) (p-c)),

a, b, c - ang haba ng mga gilid ng tatsulok,
p - semi-perimeter: p \u003d (a + b + c) / 2.

Kung, bilang karagdagan sa haba ng lahat ng panig, ang radius ng bilog na nakasulat ay kilala, pagkatapos ay gamitin ang sumusunod na compact formula:

kung saan: r - radius ng nakapaloob na bilog (p - semi-perimeter).

Upang makalkula ang lugar ng isang maraming nalalaman na tatsulok ng bilog na bilog at ang haba ng mga panig nito, gamitin ang formula:

kung saan: Ang R ay ang radius ng bilog na bilog.

Kung alam mo ang haba ng isa sa mga gilid ng tatsulok at tatlong mga anggulo (sa prinsipyo, sapat ang dalawa - ang halaga ng pangatlo ay kinakalkula mula sa pagkakapantay-pantay ng kabuuan ng tatlong mga anggulo ng tatsulok - 180º), pagkatapos ay gamitin ang formula:

S \u003d (a² * sinβ * sinγ) / 2sinα,

kung saan ang α ay ang halaga ng anggulo sa tapat ng gilid a;
Ang β, γ ay ang mga halaga ng iba pang dalawang mga anggulo ng tatsulok.

Ang pangangailangan upang hanapin iba`t ibang mga elemento, kabilang ang lugar tatsulok, lumitaw maraming siglo bago ang ating panahon sa mga siyentista na astronomo Sinaunang Greece. Kuwadro tatsulok maaaring kalkulahin iba't ibang paraangamit ang iba't ibang mga formula. Ang pamamaraan ng pagkalkula ay nakasalalay sa aling mga elemento tatsulok ay kilala.

Panuto

Kung mula sa kundisyon alam natin ang mga halaga ng dalawang panig b, c at ang anggulo na nabuo ng mga ito?, Kung gayon ang lugar tatsulok Ang ABC ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula:
S \u003d (bcsin?) / 2.

Kung mula sa kundisyon alam natin ang mga halaga ng dalawang panig a, b at ang anggulo na hindi nabuo ng mga ito?, Kung gayon ang lugar tatsulok Ang ABC ay matatagpuan tulad ng sumusunod:
Hanapin ang anggulo?, Kasalanan? \u003d bsin? / a, pagkatapos ay ayon sa talahanayan tinutukoy natin ang anggulo mismo.
Hanapin ang anggulo?,? \u003d 180 ° -? -?.
Nahanap namin ang mismong lugar na S \u003d (absin?) / 2.

Kung mula sa kundisyon alam natin ang mga halaga ng tatlong panig lamang tatsulok a, b at c, pagkatapos ang lugar tatsulok Ang ABC ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula:
S \u003d v (p (p-a) (p-b) (p-c)), kung saan ang p ay isang semiperimeter p \u003d (a + b + c) / 2

Kung mula sa kundisyon ng problema alam natin ang taas tatsulok h at ang gilid kung saan ibinababa ang taas na ito, pagkatapos ang lugar tatsulok Ang ABC sa pamamagitan ng formula:
S \u003d ah (a) / 2 \u003d bh (b) / 2 \u003d ch (c) / 2.

Kung alam natin ang mga halaga ng panig tatsulok a, b, c at ang radius na inilarawan sa paligid ng ibinigay tatsulok R, pagkatapos ang lugar na ito tatsulok Ang ABC ay natutukoy ng pormula:
S \u003d abc / 4R.
Kung ang tatlong panig a, b, c at ang radius ng nakasulat ay kilala, kung gayon ang lugar tatsulok Ang ABC ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula:
S \u003d pr, kung saan ang p ay isang semiperimeter, p \u003d (a + b + c) / 2.

Kung ang ABC ay pantay, pagkatapos ang lugar ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula:
S \u003d (a ^ 2v3) / 4.
Kung ang tatsulok na ABC ay isosceles, kung gayon ang lugar ay natutukoy ng pormula:
S \u003d (cv (4a ^ 2-c ^ 2)) / 4, kung saan c - tatsulok.
Kung ang tatsulok na ABC ay parihaba, pagkatapos ang lugar ay natutukoy ng pormula:
S \u003d ab / 2, kung saan ang a at b ay mga binti tatsulok.
Kung ang tatsulok na ABC ay isang may tamang sulok na mga isosceles, kung gayon ang lugar ay natutukoy ng pormula:
S \u003d c ^ 2/4 \u003d a ^ 2/2, kung saan ang c ay ang hypotenuse tatsulok, a \u003d b - binti.

Mga Kaugnay na Video

Pinagmulan:

• kung paano sukatin ang lugar ng isang tatsulok

Tip 3: Paano makahanap ng lugar ng isang tatsulok kung alam mo ang anggulo

Ang kaalaman sa isang parameter lamang (halaga ng anggulo) ay hindi sapat upang hanapin ang lugar tre parisukat ... Kung mayroong anumang mga karagdagang sukat, pagkatapos ang isa sa mga formula ay maaaring mapili upang matukoy ang lugar, kung saan ang halaga ng anggulo ay ginagamit din bilang isa sa mga kilalang variable. Ang ilan sa mga formula na ito, na karaniwang ginagamit, ay nakalista sa ibaba.

Panuto

Kung, bilang karagdagan sa halaga ng anggulo (γ) na nabuo ng dalawang panig tre parisukat , ang haba ng mga panig na ito (A at B) ay kilala rin, pagkatapos parisukat Ang (S) figure ay maaaring tukuyin bilang kalahati ng produkto ng haba ng gilid at sine ng kilalang anggulong ito: S \u003d ½ × A × B × sin (γ).

Lugar ng isang tatsulok - mga formula at halimbawa ng paglutas ng mga problema

Nasa ibaba ang mga formula para sa paghahanap ng lugar ng isang di-makatwirang tatsulok na angkop para sa paghahanap ng lugar ng anumang tatsulok, anuman ang mga katangian, anggulo o sukat. Ang mga pormula ay ipinakita sa anyo ng isang larawan, narito ang mga paliwanag sa paggamit o pagbibigay-katwiran ng kanilang kawastuhan. Gayundin, sa isang hiwalay na pigura, ang mga pagsusulat ay ipinahiwatig mga pagtatalaga ng sulat sa mga pormula at graphic simbolo sa pagguhit.

Tandaan ... Kung ang tatsulok ay mayroon mga espesyal na katangian (isosceles, hugis-parihaba, pantay-pantay), maaari mong gamitin ang mga formula sa ibaba, pati na rin bilang karagdagan mga espesyal na pormula na wasto lamang para sa mga triangles na may mga katangiang ito:

• "Mga formula para sa lugar ng isang equilateral triangle"

Mga pormula ng lugar para sa isang tatsulok

Mga paliwanag ng mga pormula:
a, b, c - ang haba ng mga gilid ng tatsulok, ang lugar na nais naming hanapin
r - radius ng isang bilog na nakasulat sa isang tatsulok
R - ang radius ng isang bilog na bilog sa paligid ng isang tatsulok
h - ang taas ng tatsulok na ibinaba sa gilid
p - semi-perimeter ng isang tatsulok, 1/2 ang kabuuan ng mga panig nito (perimeter)
α - ang anggulo sa tapat ng gilid a ng tatsulok
β - ang anggulo sa kabaligtaran sa gilid b ng tatsulok
γ - ang anggulo sa tapat ng gilid c ng tatsulok
h a, h b , h c - ang taas ng tatsulok, ibinaba sa gilid a, b, c

Mangyaring tandaan na ang mga pagtatalaga sa itaas ay tumutugma sa pigura sa itaas, upang kapag nalulutas ang isang tunay na problema sa geometry, magiging madali para sa iyo ang pagpapalit ng mga tamang halaga sa mga tamang lugar sa pormula.

• Ang lugar ng tatsulok ay kalahati ng produkto ng taas ng tatsulok sa pamamagitan ng haba ng gilid kung saan ibinababa ang taas na ito (Formula 1). Ang kawastuhan ng pormulang ito ay maaaring maunawaan nang lohikal. Ang taas ay bumaba sa base ay hahati sa isang di-makatwirang tatsulok sa dalawang mga parihaba. Kung ang bawat isa sa kanila ay nakumpleto sa isang rektanggulo na may sukat b at h, kung gayon, malinaw naman, ang lugar ng mga triangles na ito ay magiging katumbas ng eksaktong kalahati ng lugar ng rektanggulo (Sпр \u003d bh)
• Ang lugar ng tatsulok ay kalahati ng produkto ng dalawang panig nito sa pamamagitan ng sine ng anggulo sa pagitan nila (Formula 2) (tingnan ang isang halimbawa ng paglutas ng isang problema gamit ang formula na ito sa ibaba). Sa kabila ng katotohanang tila hindi ito katulad sa naunang, madali itong mabago dito. Kung babaan natin ang taas mula sa anggulo B hanggang sa gilid b, lumalabas na ang produkto ng gilid a ng sine ng anggulo γ ayon sa mga katangian ng sine sa isang tamang tatsulok ay katumbas ng taas ng tatsulok na iginuhit namin, na magbibigay sa amin ng dating pormula
• Ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok ay matatagpuan sa kabila komposisyonkalahati ng radius ng bilog na nakasulat sa pamamagitan ng kabuuan ng haba ng lahat ng mga panig nito (Formula 3), sa madaling salita, kailangan mong i-multiply ang semi-perimeter ng tatsulok sa pamamagitan ng radius ng naka-inscript na bilog (mas madaling tandaan ito)
• Ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok ay maaaring matagpuan sa pamamagitan ng paghahati ng produkto ng lahat ng mga panig nito sa pamamagitan ng 4 radii ng bilog na bilog sa paligid nito (Formula 4)
• Ang Formula 5 ay kumakatawan sa paghanap ng lugar ng isang tatsulok sa pamamagitan ng haba ng mga gilid nito at ang semiperimeter nito (kalahati ng kabuuan ng lahat ng panig nito)
• Pormula ni Heron Ang (6) ay isang representasyon ng parehong formula nang hindi ginagamit ang konsepto ng isang semiperimeter, sa pamamagitan lamang ng haba ng mga gilid
• Ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok ay katumbas ng produkto ng parisukat ng gilid ng isang tatsulok ng mga kasalanan ng mga anggulo na katabi ng panig na ito na hinati ng dobleng sine ng anggulo sa tapat ng panig na ito (Formula 7)
• Ang lugar ng isang di-makatwirang tatsulok ay maaaring matagpuan bilang produkto ng dalawang mga parisukat ng isang bilog na bilog sa paligid nito ng mga kasalanan ng bawat sulok nito. (Formula 8)
• Kung ang haba ng isang gilid at ang lakas ng dalawang magkakatabing mga anggulo ay kilala, kung gayon ang lugar ng isang tatsulok ay matatagpuan bilang parisukat ng panig na ito, na hinati ng doble na kabuuan ng mga cotangent ng mga anggulong ito (Formula 9)
• Kung ang haba lamang ng bawat taas ng tatsulok ay kilala (Formula 10), kung gayon ang lugar ng naturang tatsulok ay baligtad na proporsyonal sa haba ng mga taas na ito, ayon sa Formula ng Heron
• Pinapayagan ka ng Formula 11 na kalkulahin lugar ng isang tatsulok sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga vertex nito, na ibinibigay bilang mga halagang (x; y) para sa bawat isa sa mga vertex. Mangyaring tandaan na ang nagresultang halaga ay dapat na kunin modulo, dahil ang mga coordinate ng mga indibidwal (o kahit na lahat) na mga vertex ay maaaring nasa saklaw ng mga negatibong halaga

Tandaan... Ang mga sumusunod ay mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa geometry upang makita ang lugar ng isang tatsulok. Kung kailangan mong malutas ang isang problema sa geometry, na hindi katulad sa kung saan wala rito - isulat ito sa forum. Sa mga solusyon, sa halip na simbolo " pang-ugat na ugat"ang function sqrt () ay maaaring magamit, kung saan ang sqrt ay isang square root character, at ang radical expression ay tinukoy sa panaklong. Minsan para sa simpleng mga radikal na expression ang simbolo √

Isang gawain. Hanapin ang lugar kasama ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila

Ang mga gilid ng tatsulok ay 5 at 6 cm Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 60 degree. Hanapin ang lugar ng isang tatsulok.

Desisyon.

Upang malutas ang problemang ito, gagamitin namin ang formula number two mula sa teoretikal na bahagi ng aralin.
Ang lugar ng isang tatsulok ay maaaring matagpuan sa pamamagitan ng haba ng dalawang panig at ang sine ng anggulo sa pagitan ng mga ito at magiging katumbas ng
S \u003d 1/2 ab sin γ

Dahil mayroon kaming lahat ng kinakailangang data para sa solusyon (ayon sa pormula), kailangan lang nating palitan ang mga halaga mula sa kundisyon ng problema sa pormula:
S \u003d 1/2 * 5 * 6 * kasalanan 60

Sa talahanayan ng halaga pagpapaandar ng trigonometric hanapin at palitan ang halaga ng sine ng 60 degree sa ekspresyon. Ito ay magiging katumbas ng ugat ng tatlo ng dalawa.
S \u003d 15 √3 / 2

Sagot: 7.5 √3 (depende sa mga kinakailangan ng guro, maaari mong iwanan ang 15 √3 / 2)

Isang gawain. Hanapin ang lugar ng isang equilateral triangle

Hanapin ang lugar ng isang equilateral triangle na may gilid na 3 cm.

Desisyon .

Ang lugar ng isang tatsulok ay maaaring matagpuan gamit ang pormula ni Heron:

S \u003d 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Dahil sa isang \u003d b \u003d c ang pormula para sa lugar ng isang pantay na tatsulok ay kukuha ng form:

S \u003d √3 / 4 * a 2

S \u003d √3 / 4 * 3 2

Sagot: 9 √3 / 4.

Isang gawain. Ang pagbabago ng lugar kapag binabago ang haba ng mga gilid

Gaano karaming beses tataas ang lugar ng tatsulok kung ang mga gilid ay nadagdagan ng 4 na beses?

Desisyon.

Dahil hindi namin alam ang mga sukat ng mga gilid ng tatsulok, upang malutas ang problema ay ipalagay namin na ang haba ng mga panig ay, ayon sa pagkakabanggit, pantay di-makatwirang mga numero a, b, c. Pagkatapos, upang masagot ang tanong ng problema, mahahanap namin ang lugar ng tatsulok na ito, at pagkatapos ay hahanapin namin ang lugar ng isang tatsulok na ang mga gilid ay apat na beses na mas malaki. Ang ratio ng mga lugar ng mga triangles na ito ay magbibigay sa amin ng sagot sa problema.

Nasa ibaba ang isang paliwanag sa teksto tungkol sa solusyon ng problema sa mga hakbang. Gayunpaman, sa pinakadulo, ang parehong solusyon na ito ay ipinakita sa isang mas madaling basahin na graphic form. Ang mga interesado ay maaaring agad na bumaba ng solusyon.

Para sa solusyon, ginagamit namin ang pormula ni Heron (tingnan sa itaas sa panteorya na bahagi ng aralin). Parang ganito:

S \u003d 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(tingnan ang unang linya ng pigura sa ibaba)

Ang haba ng mga gilid ng isang di-makatwirang tatsulok ay ibinibigay ng mga variable na a, b, c.
Kung ang mga gilid ay nadagdagan ng 4 na beses, pagkatapos ang lugar ng bagong tatsulok na c ay:

S 2 \u003d 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(tingnan ang pangalawang linya sa larawan sa ibaba)

Tulad ng nakikita mo, ang 4 ay isang pangkaraniwang kadahilanan na maaaring makuha sa mga braket mula sa lahat ng apat na mga expression sa pamamagitan ng pangkalahatang mga patakaran matematika.
Tapos

S 2 \u003d 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - sa pangatlong linya ng pigura
S 2 \u003d 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - pang-apat na linya

Ang square root ay perpektong nakuha mula sa bilang 256, kaya inilabas namin ito mula sa ilalim ng ugat
S 2 \u003d 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 \u003d 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(tingnan ang ikalimang linya ng pigura sa ibaba)

Upang sagutin ang katanungang nailahad sa problema, kailangan lamang naming hatiin ang lugar ng nagresultang tatsulok sa lugar ng orihinal.
Tukuyin ang mga ratio ng lugar sa pamamagitan ng paghahati ng mga expression sa bawat isa at bawasan ang nagresultang maliit na bahagi.

Panuto

Mga partido at mga sulok ay itinuturing na pangunahing elemento at... Ang isang tatsulok ay ganap na tinukoy ng alinman sa mga sumusunod na pangunahing elemento: alinman sa pamamagitan ng tatlong panig, o sa pamamagitan ng isang gilid at dalawang sulok, o ng dalawang panig at isang anggulo sa pagitan nila. Para sa pagkakaroon tatsuloktinukoy ng tatlong panig a, b, c, kinakailangan at sapat upang masiyahan ang mga hindi pagkakapantay-pantay, na tinatawag na hindi pagkakapantay-pantay tatsulok:
a + b\u003e c,
a + c\u003e b,
b + c\u003e a.

Para sa pagbuo tatsulok sa tatlong panig a, b, c, kinakailangan mula sa puntong C ng segment na CB \u003d a kung paano gumuhit ng isang bilog ng radius b na may isang compass. Pagkatapos, sa parehong paraan, gumuhit ng isang bilog mula sa puntong B na may isang radius na katumbas ng gilid c. Ang kanilang intersection point A ay ang pangatlong vertex ng ninanais tatsulok Ang ABC, kung saan ang AB \u003d c, CB \u003d a, CA \u003d b - mga panig tatsulok... Ang problema ay mayroon kung ang panig ng a, b, c masiyahan ang mga hindi pagkakapantay-pantay tatsulok tinukoy sa hakbang 1.

Ang Area S na binuo sa ganitong paraan tatsulok Ang ABC na may kilalang panig a, b, c, ay kinakalkula ng pormula ni Heron:
S \u003d v (p (p-a) (p-b) (p-c)),
kung saan ang, b, c - mga panig tatsulok, ang p ay isang semiperimeter.
p \u003d (a + b + c) / 2

Kung ang isang tatsulok ay pantay, iyon ay, lahat ng panig nito ay pantay (a \u003d b \u003d c). tatsulok kinakalkula ng formula:
S \u003d (a ^ 2 v3) / 4

Kung ang tatsulok ay hugis-parihaba, iyon ay, ang isa sa mga sulok nito ay 90 °, at ang mga panig na bumubuo nito ay mga binti, ang pangatlong panig ay hypotenuse. SA sa kasong ito parisukat ay katumbas ng produkto ng mga binti na hinati ng dalawa.
S \u003d ab / 2

Hanapin parisukat tatsulok, maaari mong gamitin ang isa sa maraming mga formula. Piliin ang formula depende sa kung anong data ang alam na.

Kakailanganin mong

• kaalaman sa mga pormula para sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok

Panuto

Kung alam mo ang lakas ng isa sa mga gilid at ang lakas ng taas na ibinaba sa panig na ito mula sa kabaligtaran na sulok, maaari mong makita ang lugar sa pamamagitan ng mga sumusunod: S \u003d a * h / 2, kung saan ang S ay ang lugar ng Ang tatsulok, a ay isa sa mga gilid ng tatsulok, at h - taas, sa gilid a.

Mayroong isang kilalang paraan upang matukoy ang lugar ng isang tatsulok kung ang tatlong panig nito ay kilala. Ito ang pormula ni Heron. Upang gawing simple ang pagre-record nito, ipinakilala ang isang intermediate na halaga - isang semi-perimeter: p \u003d (a + b + c) / 2, kung saan a, b, c -. Pagkatapos ang pormula ni Heron ay ang mga sumusunod: S \u003d (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ ½, ^ exponentiation.

Ipagpalagay na alam mo ang isa sa mga gilid ng isang tatsulok at tatlong mga anggulo. Pagkatapos madali itong hanapin ang lugar ng tatsulok: S \u003d a²sinα sinγ / (2sinβ), kung saan ang β ay ang anggulo sa tapat ng gilid a, at α at γ ang mga anggulo na katabi ng gilid.

Mga Kaugnay na Video

tandaan

Ang pinaka-pangkalahatang pormula na angkop para sa lahat ng mga kaso ay ang pormula ni Heron.

Pinagmulan:

Tip 3: Paano makahanap ng lugar ng isang tatsulok sa tatlong panig

Ang paghahanap ng lugar ng isang tatsulok ay isa sa mga pinakakaraniwang gawain sa planimetry ng paaralan. Ang pag-alam sa tatlong panig ng isang tatsulok ay sapat upang matukoy ang lugar ng anumang tatsulok. Sa mga espesyal na kaso at equilateral triangles, sapat na upang malaman ang haba ng dalawa at isang panig, ayon sa pagkakabanggit.

Kakailanganin mong

• haba ng gilid ng mga tatsulok, pormula ni Heron, cosine theorem

Panuto

Ang pormula ni Heron para sa lugar ng isang tatsulok ay ang mga sumusunod: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Kung pintura namin ang semiperimeter p, makukuha namin ang: S \u003d sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2)) \u003d (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

Maaari ka ring makakuha ng isang formula para sa lugar ng isang tatsulok mula sa mga pagsasaalang-alang, halimbawa, sa pamamagitan ng paglalapat ng cosine theorem.

Sa pamamagitan ng cosine theorem AC ^ 2 \u003d (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Gamit ang ipinakilala na mga pagtatalaga, ang mga ito ay maaari ding nasa form: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Samakatuwid, cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

Ang lugar ng isang tatsulok ay matatagpuan din sa pormulang S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 sa pamamagitan ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Ang sine ng anggulo ng ABC ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin nito gamit ang pangunahing pagkakakilanlang trigonometric: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Ang pagpalit ng sine sa pormula para sa lugar at pagsulat nito pababa, maaari kang makabuo ng pormula para sa lugar ng isang tatsulok na ABC.

Mga Kaugnay na Video

Para kay gumagana ang pagkukumpuni minsan kinakailangan upang sukatin parisukat pader. Ginagawa nitong mas madali upang makalkula ang kinakailangang dami ng pintura o wallpaper. Para sa mga sukat, pinakamahusay na gumamit ng sukat ng tape o centimeter tape. Ang mga pagsukat ay dapat isagawa pagkatapos pader nakahanay.

Kakailanganin mong

• -roulette;
• -ladder.

Panuto

Bilangin parisukat pader, kailangan mong malaman ang eksaktong taas ng mga kisame, pati na rin sukatin ang haba sa kahabaan ng sahig. Ginagawa ito tulad ng sumusunod: kumuha ng isang sentimetro, itabi ito sa baseboard. Karaniwan ang isang sentimeter ay hindi sapat para sa buong haba, kaya't ikabit ito sa sulok, pagkatapos ay i-unwind ito maximum na haba... Sa puntong ito, markahan ng isang lapis, isulat ang nakuha na resulta at isagawa ang mga karagdagang pagsukat sa parehong paraan, simula sa huling punto ng pagsukat.

Mga karaniwang kisame sa tipikal - 2 metro 80 sentimetro, 3 metro at 3 metro 20 sentimetro, depende sa bahay. Kung ang bahay ay itinayo bago ang 50s, kung gayon, malamang, ang tunay na taas ay bahagyang mas mababa kaysa sa ipinahiwatig. Kung kalkulahin mo parisukat para sa gawaing pag-aayos, kung gayon ang isang maliit na stock ay hindi sasaktan - isaalang-alang batay sa pamantayan. Kung kailangan mo pang malaman taas talaga - magsukat. Ang prinsipyo ay katulad ng pagsukat ng haba, ngunit kinakailangan ng isang stepladder.

I-multiply ang nakuha na mga tagapagpahiwatig - ito ay parisukat iyong pader... Totoo, kasama gumagana ang pagpipinta o para kailangan mong bawasan parisukat pinto at pagbubukas ng bintana... Upang gawin ito, mag-ipon ng isang sentimeter kasama ang pagbubukas. Kung ang dumating na tungkol sa pintuan na sa paglaon ay magbabago ka, pagkatapos ay gumastos sa tinanggal frame ng pintuanisinasaalang-alang lamang parisukat direkta ang pagbubukas mismo. Ang lugar ng window ay kinakalkula kasama ang perimeter ng frame nito. Pagkatapos parisukat ang bintana at pintuan ay kinakalkula, ibawas ang resulta mula sa kabuuang lugar ng silid na nakuha.

Mangyaring tandaan na ang mga sukat ng haba at lapad ng silid ay isinasagawa nang sama-sama, kaya mas madaling ayusin ang isang sentimo o sukat ng tape at, nang naaayon, makakuha ng isang mas tumpak na resulta. Gawin ang parehong pagsukat nang maraming beses upang matiyak na ang mga figure na nakuha ay tumpak.

Mga Kaugnay na Video

Ang paghahanap ng dami ng isang tatsulok ay talagang isang walang gaanong gawain. Ang punto ay ang isang tatsulok ay isang dalawang-dimensional na pigura, ibig sabihin ganap itong namamalagi sa isang eroplano, na nangangahulugang wala itong dami. Siyempre, hindi ka makakahanap ng isang bagay na wala. Ngunit huwag tayong susuko! Ang sumusunod na palagay ay maaaring gawin - ang dami ng isang dalawang-dimensional na pigura ay ang lugar nito. Hahanapin namin ang lugar ng tatsulok.

Kakailanganin mong

• sheet ng papel, lapis, pinuno, calculator

Panuto

Iguhit sa isang piraso ng papel gamit ang isang pinuno at lapis. Sa pamamagitan ng maingat na pagsusuri sa tatsulok, maaari mong tiyakin na hindi talaga, dahil iginuhit ito sa isang eroplano. Lagyan ng marka ang mga gilid ng tatsulok: hayaan ang isang gilid na isang gilid, ang kabilang panig b, at ang pangatlong panig c. Lagyan ng marka ang mga vertex ng tatsulok na may A, B, at C.

Sukatin ang magkabilang panig ng tatsulok na may isang pinuno at isulat ang resulta. Pagkatapos nito, ibalik ang patayo sa sinusukat na gilid mula sa kabaligtaran na tuktok, ang gayong patayo ay magiging taas ng tatsulok. Sa kasong ipinakita sa pigura, ang patayo na "h" ay naibalik sa gilid na "c" mula sa vertex na "A". Sukatin ang nagresultang taas ng isang pinuno at itala ang pagsukat.

Maaaring mangyari na nahihirapan kang muling maitayo ang eksaktong patayo. Sa kasong ito, dapat kang gumamit ng ibang formula. Sukatin ang lahat ng panig ng tatsulok na may isang pinuno. Pagkatapos kalkulahin ang semi-perimeter ng tatsulok na "p" sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga nagresultang haba ng mga gilid at hatiin ang kanilang kabuuan sa kalahati. Ang pagkakaroon sa iyong itapon ang halaga ng isang kalahating perimeter, maaari mong gamitin ang formula ni Heron. Upang magawa ito, kailangan mong kunin ang parisukat na ugat ng mga sumusunod: p (p-a) (p-b) (p-c).

Natanggap mo ang kinakailangang halaga lugar ng tatsulok. Ang problema sa paghahanap ng dami ng isang tatsulok ay hindi nalutas, ngunit tulad ng nabanggit sa itaas, ang dami ay hindi. Maaari kang makahanap ng lakas ng tunog, na kung saan ay mahalagang isang tatsulok sa isang tatlong-dimensional na mundo. Kung naiisip natin na ang aming orihinal na tatsulok ay naging isang three-dimensional pyramid, kung gayon ang dami ng naturang pyramid ay magiging produkto ng haba ng base nito sa pamamagitan ng lugar ng tatsulok na nakuha namin.

tandaan

Ang mga kalkulasyon ay magiging mas tumpak, mas maingat kang gumawa ng mga sukat.

Pinagmulan:

• Lahat sa Lahat ng Calculator - Portal ng Mga Halaga ng Sanggunian
• ang dami ng tatsulok sa 2019

Tatlong puntos na natatanging tumutukoy sa isang tatsulok sa Cartesian coordinate system ay ang mga vertex nito. Alam ang kanilang posisyon na may kaugnayan sa bawat isa sa mga axe ng coordinate, maaari mong kalkulahin ang anumang mga parameter ng ito patag na pigura, kabilang ang isa na nalilimutan ng perimeter nito parisukat... Maaari itong magawa sa maraming paraan.

Panuto

Gumamit ng pormula ni Heron upang makalkula ang lugar tatsulok... Gumagamit ito ng mga sukat ng tatlong panig ng hugis, kaya't simulan ang pagkalkula ng. Ang haba ng bawat panig ay dapat na katumbas ng ugat ng kabuuan ng mga parisukat ng haba ng mga paglalagay nito mag-coordinate ng mga palakol... Kung ipahiwatig namin ang mga coordinate A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) at C (X₃, Y₃, Z₃), ang haba ng kanilang mga gilid ay maaaring ipahayag bilang: AB \u003d √ ((X₁-X₂ ) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC \u003d √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC \u003d √ ((X₁ -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Upang gawing simple ang mga kalkulasyon, magpasok ng isang auxiliary variable - semi-perimeter (P). Dahil kalahati ito ng kabuuan ng haba ng lahat ng panig: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ² ) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Mayroong higit sa 10 mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang tatsulok sa Internet. Marami sa mga ito ang ginagamit sa mga problema sa mga kilalang panig at anggulo ng isang tatsulok. Gayunpaman, mayroong isang bilang ng mga kumplikadong halimbawa kung saan, ayon sa detalye, isang gilid at anggulo lamang ng isang tatsulok ang alam, o ang radius ng bilog na nakasulat o nakasulat na bilog at isa pang katangian. Sa mga ganitong kaso, hindi mailalapat ang isang simpleng pormula.

Malulutas ng mga formula sa ibaba ang 95 porsyento ng mga problema kung saan kailangan mong hanapin ang lugar ng isang tatsulok.
Magpatuloy tayo sa isinasaalang-alang ang karaniwang mga formula ng lugar.
Isaalang-alang ang tatsulok na ipinakita sa pigura sa ibaba

Sa pigura at higit pa sa mga formula, ipinakilala ang mga klasikal na pagtatalaga ng lahat ng mga katangian nito
a, b, c - mga gilid ng tatsulok,
Ang R ay ang radius ng bilog na bilog,
r - radius ng bilog na nakasulat,
h [b], h [a], h [c] - taas na iginuhit alinsunod sa panig a, b, c.
alpha, beta, hamma - mga sulok na malapit sa mga vertex.

Pangunahing mga formula para sa lugar ng isang tatsulok

1. Ang lugar ay katumbas ng kalahati ng produkto ng gilid ng tatsulok ng taas na ibinaba sa panig na ito. Sa wika ng mga formula, ang kahulugan na ito ay maaaring nakasulat ng mga sumusunod

Kaya, kung ang panig at taas ay kilala, pagkatapos ay mahahanap ng bawat mag-aaral ang lugar.
Sa pamamagitan ng paraan, ang isang kapaki-pakinabang na ugnayan sa pagitan ng taas ay maaaring makuha mula sa formula na ito

2. Isinasaalang-alang na ang taas ng tatsulok sa pamamagitan ng katabing bahagi ay ipinahiwatig ng pagtitiwala

Pagkatapos mula sa unang pormula ng lugar sundin ang parehong uri ng pangalawa

Suriing mabuti ang mga formula - madali silang matandaan, dahil may dalawang panig at isang anggulo sa pagitan nila sa trabaho. Kung tama naming itinalaga ang mga gilid at sulok ng tatsulok (tulad ng larawan sa itaas), makakakuha tayo ng dalawa panig a, b at ang anggulo ay nauugnay sa pangatloC (hamma).

3. Para sa mga anggulo ng isang tatsulok, ang sumusunod na ugnayan ay wasto:

Pinapayagan ka ng pagpilit na ilapat ang mga sumusunod na formula para sa lugar ng isang tatsulok sa mga kalkulasyon

Ang mga halimbawa ng pagpapakandili na ito ay napakabihirang, ngunit dapat mong tandaan na mayroong isang pormula.

4. Kung ang panig at dalawang katabing mga anggulo ay kilala, pagkatapos ang lugar ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula

5. Ang pormula para sa lugar sa mga tuntunin ng gilid at ang cotangent ng mga katabing anggulo ay ang mga sumusunod

Sa pamamagitan ng pag-aayos ng mga indeks, maaari kang makakuha ng mga dependency para sa ibang mga partido.

6. Ang pormula ng lugar na ibinigay sa ibaba ay ginagamit sa mga problema kapag ang mga vertex ng isang tatsulok ay tinukoy sa eroplano ng mga coordinate. Sa kasong ito, ang lugar ay katumbas ng kalahati ng determinant na kinuha na modulo.

7. Pormula ni Heron ginamit sa mga halimbawa na may kilalang panig ng tatsulok.
Una hanapin ang kalahating-perimeter ng tatsulok

At pagkatapos ang lugar ay natutukoy ng formula

o

Ito ay madalas na ginagamit sa code ng mga programa ng calculator.

8. Kung ang lahat ng taas ng tatsulok ay kilala, kung gayon ang lugar ay natutukoy ng pormula

Mahirap kalkulahin sa isang calculator, ngunit sa mga package ng MathCad, Mathematica, Maple, ang lugar ay "isang dalawa".

9. Ang mga sumusunod na pormula ay gumagamit ng kilalang nakasulat at circular radii.

Sa partikular, kung ang radius at mga gilid ng tatsulok ay kilala, o ang perimeter nito, pagkatapos ang lugar ay kinakalkula ayon sa pormula

10. Sa mga halimbawa kung saan ibinigay ang mga gilid at radius o diameter ng bilog na bilog, ang lugar ay matatagpuan ng pormula

11. Ang sumusunod na pormula ay tumutukoy sa lugar ng isang tatsulok sa mga tuntunin ng gilid at mga anggulo ng tatsulok.

At sa wakas - mga espesyal na kaso:
Lugar ng isang tamang tatsulok na may mga binti a at b ay katumbas ng kalahati ng kanilang produkto

Equilateral (regular) na pormula ng tatsulok na lugar=

\u003d isang-kapat ng produkto ng parisukat ng gilid at ang ugat ng triplet.