Mayroong tatlong mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay para sa dalawang tatsulok. Sa artikulong ito isasaalang-alang natin ang mga ito sa anyo ng mga theorems, at ibigay din ang kanilang mga patunay. Upang gawin ito, tandaan na ang mga numero ay magiging pantay sa kaso kapag sila ay ganap na magkakapatong sa isa't isa.

Unang tanda

Teorama 1

Magiging pantay ang dalawang tatsulok kung ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng isa sa mga tatsulok ay katumbas ng dalawang panig at ang anggulo na nasa pagitan ng mga ito sa isa pa.

Patunay.

Isaalang-alang ang dalawang tatsulok na $ABC$ at $A"B"C"$, kung saan ang $AB=A"B"$, $AC=A"C"$ at $∠A=∠A"$ (Fig. 1).

Pagsamahin natin ang taas na $A$ at $A"$ ng mga tatsulok na ito. Dahil ang mga anggulo sa mga vertex na ito ay pantay sa isa't isa, ang mga gilid na $AB$ at $AC$ ay magkakapatong, ayon sa pagkakabanggit, ang mga sinag na $A"B" $ at $A"C" $ Dahil magkapares ang mga panig na ito, ang mga panig na $AB$ at $AC$, ayon sa pagkakabanggit, ay nag-tutugma sa mga gilid na $A"B"$ at $A"C"$, at samakatuwid ang mga vertex Magiging pareho ang $B$ at $B"$. , $C$ at $C"$.

Samakatuwid, ang panig BC ay ganap na magkakasabay sa panig na $B"C"$. Nangangahulugan ito na ang mga tatsulok ay ganap na magkakapatong sa isa't isa, na nangangahulugan na sila ay pantay.

Ang teorama ay napatunayan.

Pangalawang tanda

Teorama 2

Magiging pantay ang dalawang tatsulok kung ang dalawang anggulo at ang kanilang karaniwang bahagi ng isa sa mga tatsulok ay katumbas ng dalawang anggulo at ang kanilang karaniwang panig sa isa pa.

Patunay.

Isaalang-alang natin ang dalawang tatsulok na $ABC$ at $A"B"C"$, kung saan ang $AC=A"C"$ at $∠A=∠A"$, $∠C=∠C"$ (Fig. 2) .

Pagsamahin natin ang mga gilid na $AC$ at $A"C"$ ng mga tatsulok na ito, upang ang mga taas na $B$ at $B"$ ay nasa magkabilang panig nito. Dahil ang mga anggulo sa mga panig na ito ay magkapares na katumbas ng sa isa't isa, pagkatapos ay ang mga gilid na $AB$ at $BC$ ay magkakapatong, ayon sa pagkakabanggit, ang mga sinag na $A"B"$ at $B"C"$ Dahil dito, pareho ang puntong $B$ at ang puntong $B"$ maging mga intersection point ng pinagsamang mga sinag (iyon ay, halimbawa, ang mga sinag na $AB$ at $BC$). Dahil ang mga ray ay maaaring magkaroon lamang ng isang intersection point, ang puntong $B$ ay magkakatugma sa puntong $B"$. Nangangahulugan ito na ang mga tatsulok ay ganap na magkakapatong sa isa't isa, na nangangahulugang sila ay pantay.

Ang teorama ay napatunayan.

Pangatlong tanda

Teorama 3

Magiging pantay ang dalawang tatsulok kung ang tatlong panig ng isa sa mga tatsulok ay katumbas ng tatlong panig ng isa.

Patunay.

Isaalang-alang ang dalawang tatsulok na $ABC$ at $A"B"C"$, kung saan ang $AC=A"C"$, $AB=A"B"$ at $BC=B"C"$ (Fig. 3).

Patunay.

Pagsamahin natin ang mga gilid na $AC$ at $A"C"$ ng mga tatsulok na ito, upang ang mga taas na $B$ at $B"$ ay nasa magkabilang panig nito. Susunod ay isasaalang-alang natin ang tatlong magkakaibang kaso ng resultang kaayusan ng mga vertex na ito ay isasaalang-alang natin sa mga larawan.

Unang kaso:

Dahil $AB=A"B"$, ang pagkakapantay-pantay na $∠ABB"=∠AB"B$ ay magiging totoo. Gayundin, $∠BB"C=∠B"BC$. Pagkatapos, bilang kabuuan, makakakuha tayo ng $∠B=∠B"$

Pangalawang kaso:

Dahil $AB=A"B"$, ang pagkakapantay-pantay na $∠ABB"=∠AB"B$ ay magiging totoo. Gayundin, $∠BB"C=∠B"BC$. Pagkatapos, bilang pagkakaiba, nakukuha namin ang $∠B=∠B"$

Samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1, ang mga tatsulok na ito ay pantay.

Pangatlong kaso:

Dahil $BC=B"C"$, ang pagkakapantay-pantay na $∠ABC=∠AB"C$ ay magiging totoo

Samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1, ang mga tatsulok na ito ay pantay.

Ang teorama ay napatunayan.

Mga halimbawang gawain

Halimbawa 1

Patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok sa figure sa ibaba

1) sa dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila

Patunay:

Hayaang ang mga tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1 ay may anggulo A na katumbas ng anggulo A 1, AB na katumbas ng A 1 B 1, AC na katumbas ng A 1 C 1. Patunayan natin na ang mga tatsulok ay magkatugma.

Maglagay tayo ng tatsulok na ABC (o simetriko dito) papunta sa tatsulok A 1 B 1 C 1 upang ang anggulo A ay nakahanay sa anggulo A 1 . Dahil ang AB=A 1 B 1, at AC=A 1 C 1, kung gayon ang B ay magkakasabay sa B 1, at ang C ay magkakasabay sa C 1. Nangangahulugan ito na ang tatsulok A 1 B 1 C 1 ay tumutugma sa tatsulok na ABC, at samakatuwid ay katumbas ng tatsulok na ABC.

Ang teorama ay napatunayan.

2) sa gilid at katabing sulok

Patunay:

Hayaang ang ABC at A 1 B 1 C 1 ay dalawang tatsulok kung saan ang AB ay katumbas ng A 1 B 1, ang anggulo A ay katumbas ng anggulo A 1, at ang anggulo B ay katumbas ng anggulo B 1. Patunayan natin na sila ay pantay.

Maglagay tayo ng tatsulok na ABC (o simetriko dito) papunta sa tatsulok A 1 B 1 C 1 upang ang AB ay tumutugma sa A 1 B 1. Dahil ang ∠BAC =∠B 1 A 1 C 1 at ∠ABC=∠A 1 B 1 C 1, pagkatapos ay ang ray AC ay magkakasabay sa A 1 C 1, at ang BC ay magkakasabay sa B 1 C 1. Kasunod nito na ang vertex C ay tumutugma sa C 1. Nangangahulugan ito na ang tatsulok A 1 B 1 C 1 ay tumutugma sa tatsulok na ABC, at samakatuwid ay katumbas ng tatsulok na ABC.

Ang teorama ay napatunayan.

3) sa tatlong panig

Patunay :

Isaalang-alang ang mga tatsulok na ABC at A l B l C 1, kung saan AB = A 1 B 1, BC = B l C 1 CA = C 1 A 1. Patunayan natin na ΔАВС =ΔA 1 B 1 C 1.

Ilapat natin ang tatsulok na ABC (o simetriko dito) sa tatsulok A 1 B 1 C 1 upang ang vertex A ay nakahanay sa vertex A 1 , ang vertex B ay nakahanay sa vertex B 1 , at ang mga vertex C at C 1 ay nasa magkabilang panig ng tuwid na linya A 1 B 1 . Isaalang-alang natin ang 3 kaso:

1) Dumadaan ang Ray C 1 C sa loob ng anggulo A 1 C 1 B 1. Dahil, ayon sa mga kondisyon ng teorama, ang mga panig AC at A 1 C 1, BC at B 1 C 1 ay pantay, kung gayon ang mga tatsulok na A 1 C 1 C at B 1 C 1 C ay isosceles. Sa pamamagitan ng theorem sa katangian ng mga anggulo ng isang isosceles triangle, ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4, samakatuwid ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1 .

2) Ray C 1 C coincides sa isa sa mga gilid ng anggulong ito. Ang isang kasinungalingan sa CC 1. AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, C 1 BC - isosceles, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1.

3) Ang Ray C 1 C ay dumadaan sa labas ng anggulo A 1 C 1 B 1. AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, na nangangahulugang ∠1 = ∠2, ∠1+∠3 = ∠2+∠4, ∠ACB=∠A 1 C 1 B 1.

Kaya, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, ∠C=∠C 1. Samakatuwid, ang mga tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1 ay pantay sa
ang unang criterion para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

Ang teorama ay napatunayan.

2. Paghahati ng segment sa n pantay na bahagi.

Gumuhit ng ray sa pamamagitan ng A, ilatag ang n pantay na mga segment dito. Gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng B at A n at parallel na mga linya dito sa pamamagitan ng mga puntos A 1 - A n -1. Markahan natin ang kanilang mga punto ng intersection sa AB. Nakukuha namin ang n mga segment na pantay ayon sa teorama ni Thales.

Ang teorama ni Thales.

Kung magkakasunod na inilatag ang ilang pantay na segment sa isa sa dalawang linya at iguguhit ang magkatulad na linya sa kanilang mga dulo na nagsalubong sa pangalawang linya, pagkatapos ay puputulin nila ang pantay na mga segment sa pangalawang linya.

Patunay. AB=CD

1. Gumuhit ng mga tuwid na linya sa pamamagitan ng mga puntong A at C parallel sa kabilang panig ng anggulo. Kumuha kami ng dalawang parallelograms AB 2 B 1 A 1 at CD 2 D 1 C 1. Ayon sa katangian ng isang paralelogram: AB 2 = A 1 B 1 at CD 2 = C 1 D 1.
2. ΔABB 2 =ΔCDD 2 ABB 2 CDD 2 BAB 2 DCD 2 at pantay-pantay batay sa pangalawang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok:
AB = CD ayon sa theorem,

bilang kaukulang mga, nabuo sa intersection ng parallel BB 1 at DD 1 tuwid na linya BD.

4. A 1 B 1 = AB 2 = CD 2 = C 1 D 1

>>Geometry: Ang ikatlong tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok. Kumpletuhin ang mga aralin

PAKSA NG ARALIN: Ang ikatlong tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

Layunin ng aralin:

• Pang-edukasyon - pag-uulit, paglalahat at pagsubok ng kaalaman sa paksa: "Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok"; pag-unlad ng mga pangunahing kasanayan.
• Pag-unlad - upang paunlarin ang atensyon, tiyaga, tiyaga, lohikal na pag-iisip, pagsasalita sa matematika ng mga mag-aaral.
• Pang-edukasyon - sa pamamagitan ng aralin, linangin ang isang matulungin na saloobin sa bawat isa, itanim ang kakayahang makinig sa mga kasama, tulong sa isa't isa, at kalayaan.

Layunin ng aralin:

• Bumuo ng mga kasanayan sa pagbuo ng mga tatsulok gamit ang scale ruler, protractor at drawing triangle.
• Subukan ang mga kasanayan sa paglutas ng problema ng mga mag-aaral.

Plano ng aralin:

1. Mula sa kasaysayan ng matematika.
2. Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.
3. Pag-update ng mga pangunahing kaalaman.
4. Mga tamang tatsulok.

Mula sa kasaysayan ng matematika.
Ang kanang tatsulok ay sumasakop sa isang lugar ng karangalan sa Babylonian geometry, at ang pagbanggit dito ay madalas na matatagpuan sa Ahmes papyrus.

Ang terminong hypotenuse ay nagmula sa Greek hypoteinsa, ibig sabihin ay lumalawak sa ilalim ng isang bagay, contracting. Ang salita ay nagmula sa imahe ng sinaunang Egyptian na mga alpa, kung saan ang mga kuwerdas ay nakaunat sa mga dulo ng dalawang magkaparehong patayo na kinatatayuan.

Ang terminong binti ay nagmula sa salitang Griyego na "kathetos", na nangangahulugang plumb line, patayo. Noong Middle Ages, ang salitang binti ay nangangahulugang taas ng isang kanang tatsulok, habang ang iba pang panig nito ay tinatawag na hypotenuse, ayon sa pagkakabanggit ang base. Noong ika-17 siglo, ang salitang cathet ay nagsimulang gamitin sa modernong kahulugan at naging laganap simula noong ika-18 siglo.

Ginagamit ni Euclid ang mga expression:

"mga gilid na nagtatapos sa isang tamang anggulo" - para sa mga binti;

"ang gilid na naglalagay ng tamang anggulo" - para sa hypotenuse.

Una, kailangan nating i-refresh ang ating memorya sa mga nakaraang palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok. At kaya magsimula tayo sa una.

1st sign ng pagkakapantay-pantay ng mga triangles.

Ang aralin sa video na "Ang ikatlong pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok" ay naglalaman ng isang patunay ng teorama, na isang pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng dalawang tatsulok sa tatlong panig. Ang theorem na ito ay isang mahalagang bahagi ng geometry. Madalas itong ginagamit upang malutas ang mga praktikal na problema. Ang patunay nito ay batay sa mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na alam na ng mga mag-aaral.

Ang patunay ng theorem na ito ay kumplikado, samakatuwid, upang mapabuti ang kalidad ng pagtuturo at bumuo ng kakayahang patunayan ang mga geometric na pahayag, ipinapayong gamitin ang visual aid na ito, na makakatulong na ituon ang atensyon ng mga mag-aaral sa materyal na pinag-aaralan. Gayundin, sa tulong ng animation, visual na pagpapakita ng mga konstruksyon at mga patunay, ginagawang posible na mapabuti ang kalidad ng pag-aaral.

Sa simula ng aralin, ang pamagat ng paksa ay ipinakita at ang isang teorama ay nabuo na ang mga tatsulok ay pantay-pantay kung ang lahat ng panig ng isang tatsulok ay magkapares na katumbas ng lahat ng panig ng pangalawang tatsulok. Ang teksto ng theorem ay ipinapakita sa screen at maaaring isulat ng mga mag-aaral sa isang notebook. Susunod, isinasaalang-alang namin ang patunay ng teorama na ito.

Upang patunayan ang teorama, ang mga tatsulok ΔАВС at ΔА 1 В 1 С 1 ay itinayo. Mula sa mga kondisyon ng teorama ay sumusunod na ang mga panig ay pantay sa mga pares, iyon ay, AB = A 1 B 1, BC = B 1 C 1 at AC = A 1 C 1. Sa simula ng patunay, ipinapakita namin ang pagpapataw ng tatsulok ΔABC sa ΔA 1 B 1 C 1 upang ang mga vertices A at A 1, pati na rin ang B at B 1 ng mga tatsulok na ito ay nakahanay. Sa kasong ito, ang mga vertices C at C 1 ay dapat na matatagpuan sa magkabilang panig ng mga superimposed na panig AB at A 1 B 1. Sa konstruksiyon na ito, maraming mga pagpipilian para sa pag-aayos ng mga elemento ng tatsulok ay posible:

1. Ang Ray C 1 C ay nasa loob ng anggulo ∠A 1 C 1 B 1.
2. Ang Ray C 1 C ay kasabay ng isa sa mga gilid ng anggulo ∠A 1 C 1 B 1.
3. Ang Ray C 1 C ay nasa labas ng anggulo ∠A 1 C 1 B 1.

Ang bawat kaso ay dapat isaalang-alang nang hiwalay, dahil ang ebidensya ay hindi maaaring pareho para sa lahat ng ibinigay na mga kaso. Sa unang kaso, ang dalawang tatsulok na nabuo bilang resulta ng pagtatayo ay isinasaalang-alang. Dahil, ayon sa kondisyon, sa mga tatsulok na ito ang mga panig AC = A 1 C 1, at BC = B 1 C 1, kung gayon ang mga nagresultang tatsulok ΔB 1 C 1 C at ΔA 1 C 1 ay isosceles. Gamit ang pinag-aralan na pag-aari ng isosceles triangles, maaari nating sabihin na ang mga anggulo ∠1 at ∠2 ay pantay sa bawat isa, at gayundin ang ∠3 at ∠4 ay pantay. Dahil ang mga anggulong ito ay pantay, kung gayon ang kabuuan ng ∠1 at ∠3, pati na rin ang ∠2 at ∠4 ay magbibigay din pantay na anggulo. Samakatuwid, ang mga anggulo ∠С at ∠С 1 ay pantay. Kapag napatunayan ang katotohanang ito, maaari nating muling suriin ang mga tatsulok ΔABC at ΔA 1 B 1 C 1, kung saan ang mga panig BC = B 1 C 1 at AC = A 1 C 1 ayon sa mga kondisyon ng teorama, at ito ay napatunayan. na ang mga anggulo sa pagitan nila ay ∠C at ∠C 1 ay pantay din. Alinsunod dito, ang mga tatsulok na ito ay magiging pantay ayon sa unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok, na alam na ng mga mag-aaral.

Sa pangalawang kaso, kapag ang mga tatsulok ay pinatong, ang mga punto C at C 1 ay nakahiga sa isang tuwid na linya na dumadaan sa punto B (B 1). Ang kabuuan ng dalawang triangles ΔАВС at ΔА 1 В 1 С 1 ay nagreresulta sa isang tatsulok ΔСАС 1, kung saan ang dalawang panig AC = А 1 С 1 ay pantay ayon sa mga kondisyon ng theorem. Alinsunod dito, ang tatsulok na ito ay isosceles. SA isosceles triangle na may pantay na panig mayroong pantay na mga anggulo, kaya masasabi natin na ang mga anggulo ∠С=∠С 1. Sumusunod din ito mula sa mga kondisyon ng theorem na ang mga panig BC at B 1 C 1 ay pantay sa isa't isa, samakatuwid ang ΔABC at ΔA 1 B 1 C 1, na isinasaalang-alang ang mga nakasaad na katotohanan, ay katumbas ng bawat isa ayon sa una. tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

Ang patunay sa ikatlong kaso, katulad ng unang dalawa, ay gumagamit ng unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok. Ang geometric figure na binuo ng superimposing triangles, kapag konektado ng isang segment ng vertices C at C 1, ay binago sa isang triangle ΔB 1 C 1 C. Ang tatsulok na ito ay isosceles, dahil ang mga gilid nito B 1 C 1 at B 1 C ay katumbas ng kundisyon. At may pantay na panig sa isang isosceles triangle, ang mga anggulo ∠С at ∠С 1 ay pantay din. Dahil, ayon sa mga kondisyon ng teorama, ang mga panig AC = A 1 C 1 ay pantay, kung gayon ang mga anggulo sa kanila sa isosceles triangle ΔАСС 1 ay pantay din. Isinasaalang-alang ang katotohanan na ang mga anggulo ∠C at ∠C 1 ay pantay, at ang mga anggulo ∠DCA at ∠DC 1 A ay pantay sa isa't isa, kung gayon ang mga anggulo ∠ACB at ∠AC 1 B ay pantay din. Isinasaalang-alang ang katotohanang ito, upang patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ΔABC at ΔA 1 B 1 C 1, maaari mong gamitin ang unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok, dahil ang dalawang panig ng mga tatsulok na ito ay pantay ayon sa mga kondisyon, at ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo sa pagitan nila ay napatunayan sa takbo ng pangangatwiran.

Sa pagtatapos ng aralin sa video, ang isang mahalagang aplikasyon ng ikatlong tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok ay ipinakita - ang katigasan ng isang naibigay na geometric na pigura. Ipinapaliwanag ng isang halimbawa kung ano ang ibig sabihin ng pahayag na ito. Bilang halimbawa nababaluktot na disenyo Mayroong dalawang slats na konektado sa pamamagitan ng isang pako. Ang mga slats na ito ay maaaring paghiwalayin at ilipat sa anumang anggulo. Kung ilakip namin ang isa pa sa mga slats, na konektado sa mga dulo sa umiiral na mga slats, pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang matibay na istraktura kung saan imposibleng baguhin ang anggulo sa pagitan ng mga slats. Ang pagkuha ng isang tatsulok na may mga panig na ito at iba pang mga anggulo ay imposible. Ito corollary ng theorem ay may isang mahalaga praktikal na kahalagahan. Inilalarawan ng screen ang mga istrukturang pang-inhinyero kung saan ginagamit ang katangiang ito ng mga tatsulok.

Ang aralin sa video na "Ang ikatlong pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok" ay nagpapadali para sa guro na magpakita ng bagong materyal sa paksang ito sa isang aralin sa geometry. Gayundin, ang video lesson ay maaaring matagumpay na magamit para sa distance learning sa matematika at makakatulong sa mga mag-aaral na maunawaan ang mga kumplikado ng patunay sa kanilang sarili.