Sklepanje, ki temelji izključno na natančnih dejstvih in natančnih sklepih iz teh dejstev, se imenuje strogo sklepanje. V primerih, ko je treba za sprejemanje odločitev uporabiti negotova dejstva, postane strogo sklepanje neprimerno. Zato je ena največjih prednosti katerega koli ekspertnega sistema njegova sposobnost oblikovanja razmišljanja v pogojih negotovosti tako uspešno, kot to počnejo človeški strokovnjaki. Takšno sklepanje ni strogo. Mirno lahko govorimo o prisotnosti mehka logika.

Negotovost, in posledično lahko mehko logiko obravnavamo kot pomanjkanje ustreznih informacij za odločanje. Negotovost postane problem, ker lahko ovira ustvarjanje najboljše rešitve in celo povzroči, da se najde slaba rešitev. Upoštevati je treba, da se visokokakovostna rešitev, najdena v realnem času, pogosto šteje za bolj sprejemljivo kot boljša rešitev, katere izračun traja dolgo časa. Na primer, odložitev zdravljenja zaradi dodatnega testiranja lahko povzroči, da bolnik umre, preden prejme zdravljenje.

Razlog za negotovost je prisotnost različnih napak v informacijah. Poenostavljena klasifikacija Te napake lahko razdelimo v naslednje vrste:

• dvoumnost informacij, katere pojav je posledica dejstva, da je mogoče nekatere informacije interpretirati na različne načine;
• nepopolne informacije zaradi pomanjkanja določenih podatkov;
• neustreznost informacij zaradi uporabe podatkov, ki ne ustrezajo dejanskemu stanju (možni razlogi so subjektivne napake: laži, napačne informacije, okvara opreme);
• merilne napake, ki nastanejo zaradi neizpolnjevanja zahtev glede pravilnosti in točnosti meril za kvantitativno izkazovanje podatkov;
• naključne napake, katerih manifestacija so naključna nihanja podatkov glede na njihovo povprečno vrednost (razlog je lahko: nezanesljivost opreme, Brownovo gibanje, toplotni učinki itd.).

Danes je bilo razvitih veliko število teorij negotovosti, ki poskušajo odpraviti nekatere ali celo vse napake in zagotoviti zanesljivo logično sklepanje v pogojih negotovosti. V praksi se najpogosteje uporabljajo teorije, ki temeljijo na klasični definiciji verjetnosti in posteriorni verjetnosti.

Eno najstarejših in najpomembnejših orodij za reševanje problemov umetne inteligence je verjetnost. Verjetnost je kvantitativni način obračunavanja negotovosti. Klasična verjetnost izhaja iz teorije, ki sta jo leta 1654 prva predlagala Pascal in Fermat. Od takrat je bilo veliko dela opravljenega na področju verjetnosti in implementacije številnih aplikacij verjetnosti v znanosti, tehnologiji, gospodarstvu, ekonomiji in drugih področjih.

Klasična verjetnost

Klasična verjetnost imenovana tudi apriorna verjetnost, saj njena definicija velja za idealne sisteme. Izraz "a priori" se nanaša na verjetnost, ki je določena "za dogodke", ne da bi upoštevala številne dejavnike, ki se pojavljajo v resničnem svetu. Koncept apriorne verjetnosti se razširi na dogodke, ki se zgodijo v idealnih sistemih, ki so nagnjeni k obrabi ali vplivu drugih sistemov. V idealnem sistemu se pojavitev katerega koli od dogodkov zgodi na enak način, zaradi česar je njihova analiza veliko lažja.

Osnovna formula klasične verjetnosti (P) je definirana takole:

V tej formuli W- število pričakovanih dogodkov in N- skupno število dogodkov z enako verjetnostjo, ki so možni rezultati poskusa ali preizkusa. Na primer, verjetnost, da dobite katero koli stran šeststranske kocke, je 1/6, verjetnost, da izvlečete katero koli karto iz kompleta, ki vsebuje 52 različnih kart, pa je 1/52.

Aksiomi teorije verjetnosti

Formalno teorijo verjetnosti je mogoče ustvariti na podlagi treh aksiomov:

Zgornji aksiomi so omogočili postavitev teorije verjetnosti, vendar ne upoštevajo verjetnosti dogodkov, ki se zgodijo v realnih - neidealnih sistemih. V nasprotju z apriornim pristopom v realnih sistemih ugotavljamo verjetnost nekega dogodka P(E), se uporablja metoda za določitev eksperimentalne verjetnosti kot meje porazdelitve frekvence:

Posteriorna verjetnost

V tej formuli f(E) označuje pogostost pojavljanja nekega dogodka med N- število opazovanj skupnih rezultatov. Ta vrsta verjetnosti se imenuje tudi posteriorna verjetnost, tj. verjetnost, določena "po dogodkih". Osnova za določanje posteriorne verjetnosti je merjenje pogostosti, s katero se dogodek zgodi v velikem številu poskusov. Na primer ugotavljanje socialnega tipa kreditno sposobnega komitenta banke na podlagi empiričnih izkušenj.

Dogodki, ki se med seboj ne izključujejo, lahko vplivajo drug na drugega. Takšni dogodki so razvrščeni kot kompleksni. Verjetnost kompleksnih dogodkov je mogoče izračunati z analizo njihovih ustreznih vzorčnih prostorov. Te vzorčne prostore je mogoče predstaviti z uporabo Vennovih diagramov, kot je prikazano na sl. 1

Slika 1 Vzorčni prostor za dva dogodka, ki se med seboj ne izključujeta

Verjetnost nastopa dogodka A, ki je določena ob upoštevanju dejstva, da se je dogodek B zgodil, imenujemo pogojna verjetnost in jo označimo P(A|B). Pogojna verjetnost je opredeljena na naslednji način:

Predhodna verjetnost

V tej formuli je verjetnost P(B) ne sme biti enaka nič in predstavlja a priori verjetnost, ki je določena, preden so znane druge dodatne informacije. Predhodna verjetnost, ki se uporablja v povezavi z uporabo pogojne verjetnosti, se včasih imenuje absolutna verjetnost.

Obstaja problem, ki je v bistvu nasproten problemu izračuna pogojne verjetnosti. Sestoji iz določanja inverzne verjetnosti, ki kaže verjetnost prejšnjega dogodka ob upoštevanju tistih dogodkov, ki so se zgodili v prihodnosti. V praksi se ta vrsta verjetnosti pojavlja precej pogosto, na primer med medicinsko diagnostiko ali diagnostiko opreme, pri kateri se ugotovijo določeni simptomi, naloga pa je najti možni vzrok.

Če želite rešiti to težavo, uporabite Bayesov izrek, poimenovan po britanskem matematiku iz 18. stoletja Thomasu Bayesu. Bayesova teorija se zdaj pogosto uporablja za analizo odločitvenih dreves v ekonomiji in družbenih vedah. Bayesovo metodo iskanja rešitev uporabljamo tudi v ekspertnem sistemu PROSPECTOR pri identifikaciji perspektivnih lokacij za raziskovanje mineralov. Sistem PROSPECTOR je dobil široko popularnost kot prvi ekspertni sistem, s pomočjo katerega so odkrili dragoceno nahajališče molibdena, vredno 100 milijonov dolarjev.

C7 V sodobni obliki je Bayesov izrek pravzaprav oblikoval Laplace. Sama formulacija problema pripada Thomasu Bayesu. Formuliral ga je kot inverzijo slavnega Bernoullijevega problema. Če je Bernoulli iskal verjetnost različnih rezultatov metanja "ukrivljenega" kovanca, je Bayes, nasprotno, skušal določiti stopnjo te "ukrivljenosti" iz empirično opazovanih rezultatov metanja kovanca. V njegovi odločitvi ni bilo apriorne verjetnosti.  

Čeprav je pravilo videti zelo preprosto, ga je težko uporabiti v praksi, saj so lahko posteriorne verjetnosti (ali celo vrednosti poenostavljenih odločitvenih funkcij) neznane. Njihove vrednosti je mogoče oceniti. Na podlagi Bayesovega izreka je mogoče posteriorne verjetnosti izraziti s predhodnimi verjetnostmi in funkcijami gostote z uporabo formule Р С, Iх = Р С, (Р(х I С, / Р Су Р xI С,  

Pri vrednotenju rezultatov razvrščanja po metodi MDA opazimo precejšen delež napačnih odločitev pri podjetjih v stečaju (1. skupina) – enemu bi bilo odobreno posojilo. Podjetja z nejasnim položajem (skupina 2) je težko pravilno razvrstiti, ker se lahko znajdejo v skupini 1 ali 3. Zadeve ni mogoče izboljšati s uskladitvijo predhodnih verjetnosti s prepričanji banke o verjetnosti pripadnosti podjetja različnim skupinam. Skupna stopnja točnosti napovedi je bila le 56,6 % in le 30 % skupine 1 je bilo pravilno razvrščenih.  

Glede na trenutno stopnjo kompleksnosti in hkratnosti potekajočih procesov imajo modeli, ki temeljijo na vzročnih razmerjih, omejene možnosti uporabe; a priori verjetnosti in zneski plačil za različne strategije so zelo negotovi in ​​dramatično nihajo s spremembami v gospodarski rasti, obrestnih merah, menjalnih tečajih in donosnosti neposojilnih transakcij (na primer spremembe transakcijskih provizij in provizij).  

Ker je v realni situaciji nemogoče vnaprej vedeti, kateri del podjetij, zastopanih v naključnem vzorcu, bo v enem letu bankrotiral in ker so avtorji obeh obravnavanih modelov, kot lahko domnevamo, določili ločevalne ravni na podlagi nekaj specifičnih predpostavk o apriornih verjetnostih stečaja in stroških napak, smo poenostavili postopek primerjave in uvedli relativne ravni delitve. Z drugimi besedami, za vsak model smo upoštevali spodnjih 10 % signalov, ki jih izda model za naslednje leto, kot signale bankrota. V resnici ta pristop pomeni skupno 10-odstotno predhodno verjetnost bankrota in razmerje med številom signalov stečaja in dejanskimi stečaji v prejšnjem testu, ki je določeno z uporabo optimizacijskega praga. Poleg tega ima ta metoda to prednost, da zmanjša izkrivljanja, ki so posledica velikega časovnega zamika med objavo Altmanove Z-rezultate in izvedbo poskusa. Povprečni kazalniki so se lahko v tem času spremenili, zato se zdi bolj zanesljiva delitev podjetij na močna in šibka, ki temelji na določenem deležu. V tabeli V tabeli 9.2 so prikazani rezultati poskusa napovedovanja stečajev za eno leto vnaprej, pri čemer je navedena napaka za vsak model.  

Ob upoštevanju apriorne verjetnosti kot dejstva ocenite pričakovan dobiček v primeru odprtja podružnice.  

Označimo z A. dogodek, ko je q b [

Naj bodo na primer izbrani naslednji parametri: znesek kapitalskih naložb, znesek obratovalnih stroškov in cena končnih izdelkov, ki lahko zavzamejo vrednosti Kb K2, K3 Eb E2, E3 Ts C2, Ts- Vsaka od teh vrednosti ustreza določeni a priori verjetnosti, na primer Kb Eb C ima verjetnost pt = 0,1, za K2, E2, C2 bo verjetnost p2 = 0,8, za K3, E3, C3 - p3 = 0,1.  

Naj bo apriorna verjetnost, da bomo na koncu projektiranja dobili tehnično rešitev, ki bo ustrezala zahtevam  

Če ima igralec 2 v igri G več kot eno strategijo in igralcu 1 predhodne verjetnosti njihove uporabe niso znane ali pa o teh verjetnostih sploh nima smisla govoriti, potem vse povedano ne velja.  

Kot smo že videli, so spremembe v predhodnih verjetnostih p in q odvisne od nastavitev signala.  

Iz tega sledi, da če imamo do tveganja nevtralnega subjekta, ki verjame, da bo nakupna opcija stala C z verjetnostjo tg in j z verjetnostjo (1 - tg), potem bo ta subjekt izračunal trenutno ceno opcije popolnoma v skladu z enačbo smo izpeljali. Upoštevajte, da nikoli nismo domnevali prisotnosti a priori verjetnosti pojava določene cene delnice in s tem prihodnjega vrednotenja opcije. Opisani pristop se imenuje ocena nevtralne do tveganja.  

Naj tg(

Desna stran (7.53) ni gostota v pravem smislu, ker njen integral ni definiran, vendar pri izračunu gostote posteriorne porazdelitve parametrov z uporabo Bayesove formule nastanejo formalne težave pri delu z (7.53); ali se ne pojavijo ali pa jih je mogoče zlahka premagati. Kot bomo videli spodaj v razdelku 7.3.2, je izbira (7.53) v analitičnem smislu priročna in, kot kaže, dobro odraža popolno pomanjkanje apriornega znanja o porazdelitvi parametrov. Dejansko pa skriva zelo močne predpostavke: odsotnost korelacije med parametri (ne korelacije med ocenami vrednosti parametrov, ki je odvisna od porazdelitve regresorjev in vrednosti a), zanemarljivo majhnost apriorne verjetnosti, da vektor parametrov leži v katerem koli danem končnem volumnu, ne glede na njegovo velikost itd. To včasih povzroči resne težave pri razlagi rezultatov Bayesove ocene.  

Oglejmo si vsebino Bayesovega izreka z nekoliko drugačnega zornega kota. Da bi to naredili, zapišemo vse možne rezultate našega poskusa. Naj simbola H0, h pomenita izid: kovanec ni pokrit in njegova zgornja stran je grb." Če ocenite a priori verjetnost pojava  

I kot V2i bo verjetnost podanega izida Va X x1/2=1/4 - Spodaj je naveden seznam vseh izidov in njihovih predhodnih verjetnosti  

Torej je v primeru s kovancem in kocko P(Na) apriorna verjetnost, P(Na K) posteriorna verjetnost in P(Na) verjetnost.  

Če zdaj lahko predhodno verjetnost P(H0) vzamemo za enako 1 ali 0, naj bi tisti, ki sprejema odločitve,  

Predstavljajmo si zdaj, da eksperimentator odločevalcu ponudi popolnoma zanesljive (ali popolne) informacije o tem, kateri določen predmet ni zajet. Odločevalec pa mora plačati storitev sporočanja tako povsem zanesljivih informacij, preden jih prejme. Kakšna bi bila vrednost takšnih informacij? Lahko pogleda naprej in se vpraša, kaj bo storil kot odgovor na vsako od dveh možnih sporočil, ki jih lahko zagotovi določena storitev, in na podlagi prejetih odgovorov izračuna svoj dohodek. Tehtanje tega dohodka s predhodno verjetnostjo možnih sporočil bi mu omogočilo oceno zneska njegovega pričakovanega dohodka, če bi plačal določen znesek za popolnoma zanesljive informacije, preden jih dejansko prejme. Ker bi bil ta pričakovani dohodek več kot 0,5 $, torej kolikor pričakuje zgolj na podlagi apriornih informacij, bi bilo povečanje dohodka najvišji znesek, ki bi mu bilo smiselno plačati za informacijsko storitev.  

Podjetje mora danes ali jutri kupiti veliko količino blaga. Danes je cena izdelka 14,5 USD na enoto. Po navedbah podjetja bo jutri njegova cena z enako verjetnostjo 10 ali 20 dolarjev. Naj x označuje jutrišnjo ceno, potem sta predhodni verjetnosti enaki  

Na zadnji stopnji se preveri zanesljivost izbire apriornih verjetnosti pojava tržnih pogojev in izračuna pričakovana korist od izboljšanja teh verjetnosti. Za to je zgrajeno drevo odločitev. Če so potrebne dodatne tržne raziskave, je priporočljivo prekiniti proces uvajanja izbrane nove možnosti izdelka, dokler ne dobimo bolj zanesljivih rezultatov.  

Pri praktičnih marketinških aktivnostih podjetja je pogosto treba za boljšo odločitev primerjati stroške pridobivanja delnih (nepopolnih) informacij in stroške pridobivanja dodatnih novih informacij. Upravljavec (DM) mora oceniti, koliko koristi, ki jih prejme od dodatnih informacij, pokrijejo stroške njihovega pridobivanja. V tem primeru je mogoče uporabiti Bayesovo teorijo odločanja. Začetni podatki so apriorne verjetnosti P(Sk) in pogojne verjetnosti P(Z Sk) pojava tržnega stanja Z ob predpostavki pojava stanja 5A. Ko so prejete nove informacije, se izračunajo pričakovane uporabnosti vsake strategije, nato pa se izbere strategija z največjo pričakovano uporabnostjo. S pomočjo novih informacij lahko odločevalec popravi predhodne verjetnosti P(Sk), kar je pri odločanju zelo pomembno.  

Zdaj je zaželeno ugotoviti, kakšna bo verjetnost pojava objektivnega stanja Sk ob prejemu novih informacij. Tako je treba najti P(Sk Z), kjer je k,q = 1,p. To je pogojna verjetnost in je izboljšana predhodna verjetnost. Za izračun P(Sk Z) uporabimo Bayesovo formulo  

Tako smo pridobili posodobljene apriorne verjetnosti pojava objektivnih tržnih pogojev. Celoten postopek izračuna in dobljeni rezultati so prikazani v tabeli. 9.11 in 9.12.  

Uporaba Bayesovega pristopa (6.47) zahteva poznavanje predhodnih verjetnosti in gostote porazdelitve verjetnosti.  

Z uporabo numeričnih karakteristik objektov, pridobljenih iz PCA, smo izvedli standardno linearno večkratno diskriminantno analizo z enakimi (enakimi 33 %) apriornimi verjetnostmi pripadnosti elementom. skupine. 41 % skupnega števila primerov je bilo pravilno razvrščenih, kar je nekoliko bolje od 33 % natančnosti, ki bi jo dosegli z naključnim razvrščanjem predmeta v eno ali drugo skupino. Tabela 8.6 spodaj je tabela napačnih klasifikacij, imenovana tudi matrika napak.  

Naslednja težava je razvoj standarda za testiranje. Večina modelov MDA je ovrednotenih z uporabo majhnega števila vzorcev, kar poveča verjetnost, da bo model preveč ustrezal testnim podatkom. Vzorci običajno vsebujejo enako kombinacijo podjetij v stečaju in podjetij brez stečaja, sami podatki pa običajno ustrezajo obdobjem intenzivnih stečajev. Iz tega sklepamo, da so zanesljivi le rezultati vrednotenja modela na novih podatkih. Iz mize 9.1 kaže, da je tudi pri najbolj ugodnih testih z novimi podatki (ko so vsi primeri vzeti iz istega časovnega obdobja in poleg tega homogeni glede na panoge in velikost podjetja) kakovost slabša kot pri vzorcih, iz katerih so bili parametri modela so bili določeni. Ker v praksi uporabniki klasifikacijskih modelov ne bodo mogli prilagoditi modela drugim predhodnim verjetnostim bankrota, velikosti podjetja ali panogi, je lahko dejanska kakovost modela še slabša. Kakovost se lahko poslabša tudi zaradi dejstva, da vzorci, uporabljeni za testiranje modelov MDA, vsebujejo malo podjetij, ki niso propadla, vendar so ogrožena. Če je tako tveganih preživelih podjetij samo štiri ali pet, potem to izkrivlja realni delež tveganih podjetij, posledično pa je pogostost napak tipa 2 podcenjena.  

Metode MDA, vključene v primerjavo, so bile izračunane in optimizirane na podlagi stopnje lažnih signalov 10 1 z določenimi predhodnimi verjetnostmi in stroški napak. Kot ex ante kriterij bi rad uporabil število potencialnih stečajnikov v populaciji, ki je manjše od 10 odstotkov, vendar se to ne ujema dobro s parametri modelov. To je tudi v nasprotju s prakso, ko znižanje praga pod raven 10 odstotkov ni vodilo v stečaj. Tako je, ko je bil delež lažnih signalov zmanjšan na 7 %, Tafflerjev Z-score popolnoma prenehal identificirati stečaje, model Datastream pa je naletel na to oviro pri približno 8 %. Nasprotno pa je nevronska mreža prepoznala dva primera bankrota pod mejno ravnjo 4,5 %, tj. Omrežje je sposobno delovati v pogojih, ko je le pet lažnih signalov na pravilno identifikacijo stečaja. Ta številka je primerljiva z najboljšimi rezultati, ki so jih modeli MDA dosegli na precej manj zahtevnih naknadnih testih. Iz tega izhajata dva sklepa: prvič, nevronski modeli so zanesljiva metoda razvrščanja v kreditni industriji, in drugič, uporaba cene delnice kot ciljne spremenljivke pri usposabljanju je lahko donosnejša od samega kazalnika stečaja/preživetja. Cena delnice odraža  

V pogl. 3-5 opisuje metode za skaliranje preferenc (uteži) za prihodnje dogodke, kvantitativne ocene stopnje preferenc in lahko izračunamo brezpogojno verjetnost katerega koli vzorčnega rezultata  

I. Pogojne verjetnosti. Predhodna in posteriorna verjetnost. 3

II.Neodvisni dogodki. 5

III.Preizkušanje statističnih hipotez. Statistična pomembnost. 7

IV. Uporaba testa hi-kvadrat 19

1. Ugotavljanje zanesljivosti razlike med nizom frekvenc in nizom verjetnosti. 19

2. Ugotavljanje zanesljivosti razlike med več nizi frekvenc. 26

NEODVISNA NALOGA 33

Lekcija št. 2

1. Pogojne verjetnosti. Predhodna in posteriorna verjetnost.

Naključno spremenljivko določajo trije objekti: množica elementarnih dogodkov, množica dogodkov in verjetnost dogodkov. Vrednosti, ki jih lahko sprejme naključna spremenljivka, se imenujejo elementarni dogodki. Množice elementarnih dogodkov imenujemo dogodkov. Za numerične in druge ne zelo zapletene naključne spremenljivke je vsak posebej določen niz elementarnih dogodkov dogodek.

Vzemimo primer: met kocke.

Skupaj je 6 osnovnih dogodkov: "točka", "2 točki", "3 točke" ... "6 točk". Dogodek - ​​kateri koli niz osnovnih dogodkov, na primer "enako" - vsota osnovnih dogodkov "2 točki", "4 točke" in "6 točk".

Verjetnost katerega koli elementarnega dogodka P(A) je 1/6:

verjetnost dogodka je število elementarnih dogodkov, vključenih v njem, deljeno s 6.

Nemalokrat je poleg znane verjetnosti dogodka še kakšna dodatna informacija, ki to verjetnost spremeni. Na primer smrtnost bolnikov. tistih, ki so bili sprejeti v bolnišnico z akutno krvavečo želodčno razjedo, je približno 10 %. Če pa je bolnik starejši od 80 let, je ta smrtnost 30-odstotna.

Za opis takih situacij se uporablja t.i pogojne verjetnosti. Označeni so kot P(A/B) in se glasijo "verjetnost dogodka A glede na dogodek B." Za izračun pogojne verjetnosti se uporablja formula:

Vrnimo se k prejšnjemu primeru:

Recimo, da je med bolniki, sprejetimi v bolnišnico z akutno krvavitvijo želodčne razjede, 20% bolnikov, starejših od 80 let. Poleg tega je med vsemi bolniki delež umrlih bolnikov, starejših od 80 let, 6% (ne pozabite, da je delež vseh smrti 10%). V tem primeru

Pri definiranju pogojnih verjetnosti se pogosto uporabljajo izrazi a priori(dobesedno – pred izkušnjo) in a posteriori(dobesedno - po izkušnjah) verjetnost.

Z uporabo pogojnih verjetnosti lahko uporabite eno verjetnost za izračun drugih, na primer zamenjate dogodek in pogoj.

Oglejmo si to tehniko na primeru analize razmerja med tveganjem za revmatsko vročino (revmatično vročico) in enim od antigenov, ki je dejavnik tveganja zanjo.

Incidenca revmatizma je približno 1 %. Prisotnost revmatizma označimo z R +, medtem ko je P(R +) = 0,01.

Prisotnost antigena bo označena z A +. Najdemo ga pri 95 % bolnikov z revmo in pri 6 % ljudi, ki ne trpijo za revmo. V našem zapisu sta to: pogojni verjetnosti P(A + /R +) = 0,95 in P(A + /R -) = 0,06.

Na podlagi teh treh verjetnosti bomo zaporedoma določili še druge verjetnosti.

Prvič, če je incidenca revmatizma P(R +) = 0,01, potem je verjetnost, da ne zbolimo, P(R -) = 1-P(R +) = 0,99.

Iz formule za pogojno verjetnost ugotovimo, da

P(A + inR +) = P(A + /R +) * P(R +) = 0,95*0,01 = 0,0095 ali 0,95 % populacije oboji trpi za revmatizmom in ima antigen.

Prav tako

P(A + inR -) = P(A + /R -) * P(R -) = 0,06*0,99 = 0,0594 ali 5,94 % populacije nosi antigen, vendar ne trpi za revmo.

Ker vsakdo, ki ima antigen bodisi zboli za revmatizmom bodisi ne zboli za revmo (vendar ne oboje hkrati), poda vsota zadnjih dveh verjetnosti pogostost prenašalstva antigena v populaciji kot celoti:

P(A +)= P(A + inR +) + P(A + inR -) = 0,0095 + 0,0594 = 0,0689

V skladu s tem je delež ljudi, ki nimajo antigena, enak

P(A -)=1- P(A +) = 0,9311

Ker je incidenca revmatizma 1 %, delež ljudi, ki imajo antigen in trpijo za revmo, pa 0,95 %, je delež ljudi, ki imajo revmo in nimajo antigena, enak:

P(A - inR +) = P(R +) - P(A + inR +) = 0,01 – 0,0095 = 0,0005

Zdaj se bomo premaknili v nasprotno smer, od verjetnosti dogodkov in njihovih kombinacij k pogojnim verjetnostim. Po prvotni pogojni verjetnostni formuli P(A + /R +) = P(R + in A +)/ P(A +) = 0,0095/0,06890,1379 ali približno 13,8 % posameznikov, ki so nosilci antigena, bo zbolelo za revmo. . Ker je pojavnost celotne populacije le 1%, dejstvo identifikacije antigena poveča verjetnost razvoja revmatizma za 14-krat.

Podobno je P(R + /A -) = P(R + in A -)/ P(A -) = 0,0005/0,93110,000054, kar pomeni, da dejstvo, da med testiranjem ni bil odkrit antigen, zmanjša verjetnost razvoja revmatizma. 19-krat.

Oblikujmo to nalogo v Excelovi preglednici:

Postopek izdelave tabele si lahko ogledate slika2\p2-1.gif

Naključni dogodek je ocenjen s številom, ki določa intenzivnost manifestacije tega dogodka. Ta številka se imenuje verjetnost dogodkov P() . Verjetnost elementarnega dogodka – . Verjetnost dogodka je številčno merilo stopnje objektivnosti, možnosti tega dogodka. Večja kot je verjetnost, bolj možen je dogodek.

Vsak dogodek, ki sovpada s celotnim prostorom izida S, poklical zanesljiv dogodek, tj. tak dogodek, ki se mora nujno zgoditi kot rezultat poskusa (na primer izguba poljubnega števila točk od 1 do 6 na kocki). Če dogodek ne sodi v sklop S, potem se šteje nemogoče(na primer metanje števila, večjega od 6 na kocki). Verjetnost nemogočega dogodka je 0, verjetnost določenega dogodka je 1. Vsi ostali dogodki imajo verjetnost od 0 do 1.

Dogodki E in se imenujejo nasprotje, Če E pride, ko ne pride . Na primer dogodek E– »kotaljenje sodega števila točk«, nato dogodek – "premetavanje lihega števila točk." Dva dogodka E 1 in E 2 se imenujejo nezdružljivo, če obema dogodkoma ni skupnega rezultata.

Za določanje verjetnosti naključnih dogodkov se uporabljajo neposredne ali posredne metode. Pri neposrednem izračunu verjetnosti ločimo apriorne in aposteriorne računske sheme, ko izvajajo opazovanja (eksperimente) ali a priori preštejejo število poskusov m, v katerem se je dogodek manifestiral, in skupno število izvedenih eksperimentov n. Posredne metode temeljijo na aksiomatski teoriji. Ker so dogodki definirani kot množice, lahko na njih izvajamo vse teoretične operacije. Teorijo množic in funkcionalno analizo je predlagal akademik A.N. Kolmogorov in tvoril osnovo aksiomatske teorije verjetnosti. Predstavimo aksiome verjetnosti.

Aksiomjaz. Polje dogodkovF(S) je algebra množic.

Ta aksiom kaže na analogijo med teorijo množic in teorijo verjetnosti.

AksiomII. Vsakemu kompletuodF(S) je povezano z realnim številom P(), imenovana verjetnost dogodka:

glede na to S 1 S 2 = (za nezdružljive dogodke S 1 in S 2 ) ali za niz nezdružljivih dogodkov

Kje N– število elementarnih dogodkov (možnih izidov).

Verjetnost naključnega dogodka

Kje – verjetnosti elementarnih dogodkov vključeno v podmnožico .

Primer 1.1. Določite verjetnost, da dobite posamezno število, ko vržete kocko, dobite sodo število, število 4 .

rešitev. Verjetnost, da vsako število izpade iz niza

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

Verjetnost, da se vrže sodo število, tj.
={2, 4, 6}, na podlagi (1.6) bo P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

Verjetnost, da dobite številko  4 , tj.
= {4, 5, 6 } ,

P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Naloge za samostojno delo

1. V košarici je 20 belih, 30 črnih in 50 rdečih žog. Določite verjetnost, da bo prva žoga, izvlečena iz koša, bela; Črna; rdeča.

2. V skupini dijakov je 12 fantov in 10 deklet. Kolikšna je verjetnost, da bo na seminarju teorije verjetnosti manjkal: 1) mladenič; 2) dekle; 3) dva mladeniča?

3. Med letom se je 51 dni razlikovalo po tem, da je te dni deževalo (ali snežilo). Kakšna je verjetnost, da tvegate, da vas ujame dež (ali sneg): 1) greste v službo; 2) greste na pohod za 5 dni?

4. Sestavi nalogo na temo te naloge in jo reši.

1.1.3. Opredelitev posteriorne verjetnosti (statistična verjetnost ali frekvenca

naključni dogodek)

Pri določanju verjetnosti a priori je bilo predpostavljeno, da enako verjetno. To ni vedno res; pogosteje se zgodi, da
pri
. Vnebovzetje
vodi do napake pri a priori določitvi P( ) po ustaljeni shemi. Za določitev , in v splošnem primeru P( ) izvajati ciljne teste. Med takimi preizkusi (npr. rezultati testa v primerih 1.2, 1.3) pod različnimi pogoji različnih pogojev, vplivov, vzročnih dejavnikov, t.j. enak primeri, različno rezultati(različne manifestacije informacij preučevanega predmeta). Vsak rezultat testa ustreza enemu elementu ali ena podmnožica kompleti S.Če opredelimo m kot število ugodnih dogodkov A rezultati, ki izhajajo iz n testi, nato posteriorna verjetnost (statistična verjetnost ali pogostost naključnega dogodka A)

Na podlagi zakona velikih števil za  A

tiste. ko se število poskusov poveča, se pogostost naključnega dogodka (posteriorna ali statistična verjetnost) nagiba k verjetnosti tega dogodka.

Primer 1.2. Glede na shemo primerov je verjetnost padca glav pri metu kovanca 0,5. Kovanec morate vreči 10, 20, 30 ... krat in določiti pogostost naključnega dogodka glav po vsaki seriji testov.

rešitev. C. Poisson je 24.000-krat vrgel kovanec in 11.998-krat pristal na glavi. Potem, po formuli (1.7), verjetnost pristanka glav

.

Naloge za samostojno delo

Na podlagi obsežnega statističnega gradiva ( n  ) so bile pridobljene vrednosti verjetnosti pojavljanja posameznih črk ruske abecede in presledka () v besedilih, ki so podane v tabeli 1.1.

Tabela 1.1. Verjetnost, da se v besedilu pojavijo črke abecede

Vzemite stran poljubnega besedila in določite pogostost pojavljanja različnih črk na tej strani. Povečajte dolžino testov na dve strani. Dobljene rezultate primerjaj s podatki v tabeli. Potegnite zaključek.

Pri streljanju na tarče je bil dosežen naslednji rezultat (glej tabelo 1.2).

Tabela 1.2. Rezultati streljanja v tarčo

Kakšna je verjetnost, da bi bila tarča zadeta s prvim strelom, če bi bila manjša od »desetke«, »devetke« itd.?

3. Načrtujte in izvedite podobne teste za druge dogodke. Predstavite njihove rezultate.