സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സമവാക്യമാണ്, ഈ വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷനും വിവിധ ഓർഡറുകളുടെ അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും (അല്ലെങ്കിൽ ഡിഫറൻഷ്യലുകൾ).

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ക്രമം അതിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സാധാരണക്കാർക്ക് പുറമേ, ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും പഠിക്കുന്നു. ഇവ സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സമവാക്യങ്ങളാണ്, ഈ വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷനും അതേ വേരിയബിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അതിൻ്റെ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളും. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ മാത്രം പരിഗണിക്കും സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ അതിനാൽ, സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി, ഞങ്ങൾ "സാധാരണ" എന്ന വാക്ക് ഒഴിവാക്കും.

ഉദാഹരണങ്ങൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

സമവാക്യം (1) നാലാം ക്രമം, സമവാക്യം (2) മൂന്നാം ക്രമം, സമവാക്യങ്ങൾ (3), (4) എന്നിവ രണ്ടാം ക്രമം, സമവാക്യം (5) ആദ്യ ക്രമം.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എൻ th ഓർഡറിൽ ഒരു വ്യക്തമായ ഫംഗ്ഷൻ അടങ്ങിയിരിക്കണമെന്നില്ല, ആദ്യത്തേത് മുതൽ അതിൻ്റെ എല്ലാ ഡെറിവേറ്റീവുകളും എൻ-th ക്രമവും സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളും. ചില ഓർഡറുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ എന്നിവ ഇതിൽ വ്യക്തമായി അടങ്ങിയിരിക്കണമെന്നില്ല.

ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യത്തിൽ (1) വ്യക്തമായും മൂന്നാം-രണ്ടാം-ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകളും അതുപോലെ ഒരു ഫംഗ്ഷനും ഇല്ല; സമവാക്യത്തിൽ (2) - രണ്ടാം ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവും പ്രവർത്തനവും; സമവാക്യത്തിൽ (4) - സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ; സമവാക്യത്തിൽ (5) - പ്രവർത്തനങ്ങൾ. സമവാക്യം (3) മാത്രം എല്ലാ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഫംഗ്ഷനും സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളും വ്യക്തമായി ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളെയും വിളിക്കുന്നു y = f(x), സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ അത് ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റിയായി മാറുന്നു.

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു സംയോജനം.

ഉദാഹരണം 1.ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. ഈ സമവാക്യം ഫോമിൽ എഴുതാം. അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൽ നിന്ന് ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് പരിഹാരം. ഇൻ്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസിൽ നിന്ന് അറിയപ്പെടുന്ന യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷൻ, ഇതിനായുള്ള ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, അതായത്.

ഇതാണ് ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം . അതിൽ മാറ്റം വരുത്തുന്നു സി, നമുക്ക് വ്യത്യസ്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിക്കും. ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം എൻ th ഓർഡർ അതിൻ്റെ പരിഹാരമാണ്, അജ്ഞാതമായ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കുകയും അടങ്ങിയിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എൻസ്വതന്ത്ര അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ, അതായത്.

ഉദാഹരണം 1-ലെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം പൊതുവായതാണ്.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഭാഗിക പരിഹാരം അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾക്ക് നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്ന ഒരു പരിഹാരത്തെ വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 2.ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരവും ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരവും കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം. സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ക്രമത്തിന് തുല്യമായ നിരവധി തവണ സംയോജിപ്പിക്കാം.

,

.

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പൊതു പരിഹാരം ലഭിച്ചു -

തന്നിരിക്കുന്ന മൂന്നാം ക്രമം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം.

ഇപ്പോൾ നിർദ്ദിഷ്ട വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അനിയന്ത്രിതമായ ഗുണകങ്ങൾക്ക് പകരം അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക

.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പുറമേ, പ്രാരംഭ അവസ്ഥയും രൂപത്തിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു പ്രശ്നത്തെ വിളിക്കുന്നു കോച്ചി പ്രശ്നം . മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റി സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് മാറ്റി ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക സി, തുടർന്ന് കണ്ടെത്തിയ മൂല്യത്തിനായുള്ള സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം സി. ഇതാണ് കൗച്ചി പ്രശ്നത്തിന് പരിഹാരം.

ഉദാഹരണം 3.എന്നതിന് വിധേയമായി ഉദാഹരണം 1-ൽ നിന്ന് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള Cauchy പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം. പ്രാരംഭ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് പൊതുവായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം വൈ = 3, x= 1. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

ഈ ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള കോച്ചി പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഏറ്റവും ലളിതമായവ പോലും, സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉൾപ്പെടെയുള്ള നല്ല സംയോജനവും ഡെറിവേറ്റീവ് കഴിവുകളും ആവശ്യമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ ഇത് കാണാൻ കഴിയും.

ഉദാഹരണം 4.ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വശങ്ങളും ഉടനടി സമന്വയിപ്പിക്കാൻ കഴിയുന്ന തരത്തിലാണ് സമവാക്യം എഴുതിയിരിക്കുന്നത്.

.

വേരിയബിളിൻ്റെ മാറ്റം (പകരം) വഴി ഞങ്ങൾ സംയോജന രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നു. അത് അപ്പോൾ ആവട്ടെ.

എടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് dxഇപ്പോൾ - ശ്രദ്ധ - ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്ഷൻ്റെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യുന്നു xകൂടാതെ ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട് ("ആപ്പിൾ" - എക്സ്ട്രാക്റ്റ് സ്ക്വയർ റൂട്ട്അല്ലെങ്കിൽ, എന്താണ് ഒരേ കാര്യം - ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് "ഒന്നര", "അരിഞ്ഞ ഇറച്ചി" എന്നിവയാണ് റൂട്ടിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം:

ഞങ്ങൾ ഇൻ്റഗ്രൽ കണ്ടെത്തുന്നു:

വേരിയബിളിലേക്ക് മടങ്ങുന്നു x, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

ഈ ഫസ്റ്റ് ഡിഗ്രി ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പൊതുവായ പരിഹാരമാണിത്.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മുൻ വിഭാഗങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള കഴിവുകൾ മാത്രമല്ല, പ്രാഥമിക, അതായത് സ്കൂൾ ഗണിതത്തിൽ നിന്നുള്ള കഴിവുകളും ആവശ്യമാണ്. ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഏതെങ്കിലും ഓർഡറിൻ്റെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ ഉണ്ടാകണമെന്നില്ല, അതായത് ഒരു വേരിയബിൾ x. സ്കൂളിൽ നിന്ന് മറന്നിട്ടില്ലാത്ത (എന്നിരുന്നാലും, ആരെ ആശ്രയിച്ച്) സ്കൂളിൽ നിന്നുള്ള അനുപാതങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ സഹായിക്കും. ഇതാണ് അടുത്ത ഉദാഹരണം.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ (DE). ഈ രണ്ട് വാക്കുകൾ സാധാരണ മനുഷ്യനെ ഭയപ്പെടുത്തുന്നു. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും നിരോധിക്കുന്നതും പഠിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതുമായ ഒന്നാണെന്ന് തോന്നുന്നു. Uuuuuu... ഡിഫറൻഷ്യൽ ഇക്വേഷനുകൾ, ഇതെല്ലാം ഞാൻ എങ്ങനെ അതിജീവിക്കും?!

ഈ അഭിപ്രായവും ഈ മനോഭാവവും അടിസ്ഥാനപരമായി തെറ്റാണ്, കാരണം വാസ്തവത്തിൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ - ഇത് ലളിതവും രസകരവുമാണ്. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ നിങ്ങൾ എന്താണ് അറിയേണ്ടതും ചെയ്യാൻ കഴിയേണ്ടതും? ഡിഫ്യൂസുകൾ വിജയകരമായി പഠിക്കാൻ, നിങ്ങൾ സമന്വയിപ്പിക്കാനും വേർതിരിക്കാനും മിടുക്കനായിരിക്കണം. വിഷയങ്ങൾ നന്നായി പഠിക്കുന്നു ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്ഒപ്പം അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നത് എളുപ്പമായിരിക്കും. ഞാൻ കൂടുതൽ പറയും, നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതലോ കുറവോ മാന്യമായ സംയോജന കഴിവുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, വിഷയം ഏതാണ്ട് പ്രാവീണ്യം നേടിയിട്ടുണ്ട്! കൂടുതൽ സമഗ്രതകൾ വിവിധ തരംഎങ്ങനെ തീരുമാനിക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം - അത്രയും നല്ലത്. എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം നിങ്ങൾ വളരെയധികം സംയോജിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഒപ്പം വേർതിരിക്കുക. കൂടാതെ വളരെ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നുകണ്ടെത്താൻ പഠിക്കുക പരോക്ഷമായി വ്യക്തമാക്കിയ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.

95% കേസുകളിലും പരിശോധനകൾ 3 തരം ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ട്: വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ, ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും; ഏകതാനമായ സമവാക്യങ്ങൾഒപ്പം രേഖീയ അസമമായ സമവാക്യങ്ങൾ. ഡിഫ്യൂസറുകൾ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നവർക്ക്, ഈ ക്രമത്തിൽ പാഠങ്ങൾ വായിക്കാൻ ഞാൻ നിങ്ങളെ ഉപദേശിക്കുന്നു. അപൂർവ്വമായ തരത്തിലുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്: മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിലെ സമവാക്യങ്ങൾ, ബെർണൂലി സമവാക്യങ്ങൾമറ്റു ചിലർ. ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പുറമേ ഞാൻ പരിഗണിക്കുന്നതിനാൽ, അവസാനത്തെ രണ്ട് തരങ്ങളിൽ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ടത് മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിലെ സമവാക്യങ്ങളാണ്. പുതിയ മെറ്റീരിയൽ- സ്വകാര്യ സംയോജനം.

ആദ്യം, നമുക്ക് സാധാരണ സമവാക്യങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കാം. അവയിൽ വേരിയബിളുകളും നമ്പറുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം: . ഒരു സാധാരണ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്? ഇതിനർത്ഥം കണ്ടെത്തൽ എന്നാണ് സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടം, ഈ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. കുട്ടികളുടെ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്: . വിനോദത്തിനായി, നമുക്ക് പരിശോധിച്ച് കണ്ടെത്തിയ റൂട്ട് നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

- ശരിയായ സമത്വം ലഭിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി എന്നാണ്.

ഡിഫ്യൂസറുകൾ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത് സമാനമായ രീതിയിലാണ്!

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ആദ്യ ഓർഡർ, അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു:
1) സ്വതന്ത്ര വേരിയബിൾ;
2) ആശ്രിത വേരിയബിൾ (ഫംഗ്ഷൻ);
3) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ്: .

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ സമവാക്യത്തിൽ "x" കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ "y" ഇല്ലായിരിക്കാം - പ്രധാനപ്പെട്ടകൺട്രോൾ റൂമിലേക്ക് പോകാൻ ആയിരുന്നുആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ്, ഒപ്പം ഇല്ലായിരുന്നുഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ - മുതലായവ.

എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം?ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം കണ്ടെത്തൽ എന്നാണ് നിരവധി പ്രവർത്തനങ്ങൾ, ഈ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ സെറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം.

ഉദാഹരണം 1

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

നിറയെ വെടിമരുന്ന്. ഏതെങ്കിലും ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എവിടെ നിന്ന് പരിഹരിക്കണം?

ഒന്നാമതായി, നിങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് അല്പം വ്യത്യസ്തമായ രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതേണ്ടതുണ്ട്. ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള നൊട്ടേഷൻ നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം: . ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള ഈ പദവി നിങ്ങളിൽ പലർക്കും പരിഹാസ്യവും അനാവശ്യവുമാണെന്ന് തോന്നിയേക്കാം, എന്നാൽ ഡിഫ്യൂസറുകളിലെ നിയമങ്ങൾ അതാണ്!

അതിനാൽ, ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള രൂപത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് വീണ്ടും എഴുതുന്നു:

രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ എപ്പോഴുംഅത് സാധ്യമാണോ എന്ന് നോക്കാം പ്രത്യേക വേരിയബിളുകൾ?വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നത് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, ഇടതുവശത്ത്നമുക്ക് പോകേണ്ടതുണ്ട് "ഗ്രീക്കുകാർ" മാത്രം, എ വലതുവശത്ത്സംഘടിപ്പിക്കുക "എക്സ്" മാത്രം. "സ്കൂൾ" കൃത്രിമത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് വേരിയബിളുകളുടെ വിഭജനം നടത്തുന്നത്: അവയെ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്താക്കുക, ചിഹ്നത്തിൻ്റെ മാറ്റത്തിലൂടെ പദങ്ങൾ ഭാഗത്തുനിന്ന് ഭാഗത്തേക്ക് മാറ്റുക, അനുപാത നിയമമനുസരിച്ച് ഘടകങ്ങൾ ഭാഗത്തുനിന്ന് ഭാഗത്തേക്ക് മാറ്റുക തുടങ്ങിയവ.

വ്യത്യസ്തതകളും പൂർണ്ണ ഗുണിതങ്ങളും ശത്രുതകളിൽ സജീവ പങ്കാളികളുമാണ്. പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, ആനുപാതിക നിയമമനുസരിച്ച് ഘടകങ്ങളെ ടോസ് ചെയ്തുകൊണ്ട് വേരിയബിളുകൾ എളുപ്പത്തിൽ വേർതിരിക്കപ്പെടുന്നു:

വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇടതുവശത്ത് "Y" മാത്രമേയുള്ളൂ, വലതുവശത്ത് - "എക്സ്" മാത്രം.

അടുത്ത ഘട്ടമാണ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഏകീകരണം. ഇത് ലളിതമാണ്, ഞങ്ങൾ ഇരുവശത്തും ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഇടുന്നു:

തീർച്ചയായും, നമ്മൾ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽഅവ പട്ടികയാണ്:

നമ്മൾ ഓർക്കുന്നതുപോലെ, ഏതൊരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിനും ഒരു സ്ഥിരാങ്കം നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ഇവിടെ രണ്ട് ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഉണ്ടെങ്കിലും സ്ഥിരാങ്കം ഒരിക്കൽ എഴുതിയാൽ മതി. ഇത് മിക്കവാറും എല്ലായ്‌പ്പോഴും വലത് വശത്താണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്.

കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഇൻ്റഗ്രലുകൾ എടുത്ത ശേഷം, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചതായി കണക്കാക്കുന്നു. ഒരേയൊരു കാര്യം, നമ്മുടെ "y" "x" വഴി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നില്ല, അതായത്, പരിഹാരം അവതരിപ്പിക്കുന്നു ഒരു പരോക്ഷമായിരൂപം. ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ അവ്യക്ത രൂപത്തിലുള്ള പരിഹാരത്തെ വിളിക്കുന്നു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ സംയോജനം. അതായത്, ഇതൊരു പൊതു അവിഭാജ്യമാണ്.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതായത്, പ്രവർത്തനത്തെ വ്യക്തമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

ആദ്യത്തെ സാങ്കേതികത ദയവായി ഓർക്കുക, ഇത് വളരെ സാധാരണമാണ്, ഇത് പലപ്പോഴും പ്രായോഗിക ജോലികളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. സംയോജനത്തിന് ശേഷം വലതുവശത്ത് ഒരു ലോഗരിതം ദൃശ്യമാകുമ്പോൾ, ലോഗരിതത്തിന് കീഴിൽ സ്ഥിരാങ്കം എഴുതുന്നത് മിക്കവാറും എപ്പോഴും ഉചിതമാണ്.

അതായത്, ഇതിനുപകരമായിഎൻട്രികൾ സാധാരണയായി എഴുതുന്നു .

ഇവിടെ അത് പൂർണ്ണമായ സ്ഥിരാങ്കം തന്നെയാണ്. എന്തുകൊണ്ട് ഇത് ആവശ്യമാണ്? "ഗെയിം" പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്. ലോഗരിതങ്ങളുടെ സ്കൂൾ പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

ഇപ്പോൾ ലോഗരിതങ്ങളും മൊഡ്യൂളുകളും ഉപയോഗിച്ച് ഉപയോഗിക്കാം വ്യക്തമായ മനസ്സാക്ഷിരണ്ട് ഭാഗങ്ങളിൽ നിന്നും നീക്കം ചെയ്യുക:

പ്രവർത്തനം വ്യക്തമായി അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇതാണ് പൊതുവായ പരിഹാരം.

ധാരാളം സവിശേഷതകൾ ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പൊതു പരിഹാരമാണ്.

ഒരു സ്ഥിരാങ്കം നൽകുന്നു വ്യത്യസ്ത അർത്ഥങ്ങൾ, നിങ്ങൾക്ക് അനന്തമായി പലതും ലഭിക്കും സ്വകാര്യ പരിഹാരങ്ങൾഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്‌ഷനുകൾ, മുതലായവ. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം തൃപ്തിപ്പെടുത്തും.

ചിലപ്പോൾ പൊതുവായ പരിഹാരം വിളിക്കപ്പെടുന്നു പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ കുടുംബം. IN ഈ ഉദാഹരണത്തിൽപൊതു പരിഹാരം ലീനിയർ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഒരു കുടുംബമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, നേരിട്ടുള്ള ആനുപാതികതയുള്ള ഒരു കുടുംബമാണ്.

പല ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും പരീക്ഷിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഇത് വളരെ ലളിതമായി ചെയ്യുന്നു, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ പരിഹാരം എടുത്ത് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:

ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ പരിഹാരവും കണ്ടെത്തിയ ഡെറിവേറ്റീവും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

- ശരിയായ സമത്വം ലഭിക്കുന്നു, അതിനർത്ഥം പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി എന്നാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പൊതുവായ പരിഹാരം സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ സമഗ്രമായ അവലോകനത്തിന് ശേഷം, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള നിരവധി നിഷ്കളങ്കമായ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകുന്നത് ഉചിതമാണ്.

1)ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, നമുക്ക് വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞു: . ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും ചെയ്യാൻ കഴിയുമോ?ഇല്ല, എപ്പോഴും അല്ല. അതിലും പലപ്പോഴും, വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാനാവില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇൻ ഏകതാനമായ ആദ്യ ക്രമ സമവാക്യങ്ങൾ, നിങ്ങൾ ആദ്യം അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ സമവാക്യത്തിൽ, ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട് വിവിധ സാങ്കേതിക വിദ്യകൾഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതികളും. വേരിയബിളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ, ആദ്യ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നത്, ഏറ്റവും ലളിതമായ തരം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളാണ്.

2) ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം സമന്വയിപ്പിക്കാൻ എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണോ?ഇല്ല, എപ്പോഴും അല്ല. സംയോജിപ്പിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു "ഫാൻസി" സമവാക്യം കൊണ്ടുവരുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്; എന്നാൽ അത്തരം ഡിഇകൾ പ്രത്യേക രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏകദേശം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഡി അലംബെർട്ടും കൗച്ചിയും ഗ്യാരണ്ടി. ...ugh, lurkmore.ru ഞാൻ ഇപ്പോൾ ഒരുപാട് വായിച്ചു.

3) ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു പൊതു ഇൻ്റഗ്രൽ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പരിഹാരം ലഭിച്ചു . ഒരു പൊതു അവിഭാജ്യത്തിൽ നിന്ന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണോ, അതായത്, "y" വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ?ഇല്ല, എപ്പോഴും അല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്: . ശരി, നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ഇവിടെ "ഗ്രീക്ക്" പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും?! അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഉത്തരം പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ ആയി എഴുതണം. കൂടാതെ, ചിലപ്പോൾ പൊതുവായ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, പക്ഷേ ഇത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും വിചിത്രവുമായ രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ഉത്തരം ഒരു പൊതു സമഗ്രമായ രൂപത്തിൽ ഉപേക്ഷിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

ഞങ്ങൾ തിരക്കുകൂട്ടില്ല. മറ്റൊരു ലളിതമായ വിദൂര നിയന്ത്രണവും മറ്റൊരു സാധാരണ പരിഹാരവും.

ഉദാഹരണം 2

പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക

വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് സ്വകാര്യ പരിഹാരം DE പ്രാഥമിക അവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. ചോദ്യത്തിൻ്റെ ഈ രൂപവത്കരണത്തെ എന്നും വിളിക്കുന്നു കോച്ചി പ്രശ്നം.

ആദ്യം ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു. സമവാക്യത്തിൽ "x" വേരിയബിൾ ഇല്ല, പക്ഷേ ഇത് ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്, പ്രധാന കാര്യം അതിന് ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട് എന്നതാണ്.

ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് വീണ്ടും എഴുതുന്നു ശരിയായ രൂപത്തിൽ:

വ്യക്തമായും, വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാം, ആൺകുട്ടികൾ ഇടത്തേക്ക്, പെൺകുട്ടികൾ വലത്തേക്ക്:

നമുക്ക് സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കാം:

പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ ലഭിക്കുന്നു. ഇവിടെ ഞാൻ ഒരു നക്ഷത്രചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സ്ഥിരാങ്കം വരച്ചു, വളരെ വേഗം അത് മറ്റൊരു സ്ഥിരാങ്കമായി മാറും എന്നതാണ് വസ്തുത.

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പൊതുവായ സമഗ്രതയെ ഒരു പൊതു പരിഹാരമാക്കി മാറ്റാൻ ശ്രമിക്കുന്നു ("y" വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിക്കുക). സ്കൂളിൽ നിന്നുള്ള പഴയ നല്ല കാര്യങ്ങൾ നമുക്ക് ഓർക്കാം: . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ:

സൂചകത്തിലെ സ്ഥിരാങ്കം എങ്ങനെയെങ്കിലും അൺകോഷർ ആയി കാണപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ ഇത് സാധാരണയായി ഭൂമിയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. വിശദമായി, ഇത് ഇങ്ങനെയാണ് സംഭവിക്കുന്നത്. ഡിഗ്രികളുടെ സ്വത്ത് ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതുന്നു:

ഒരു സ്ഥിരാങ്കം ആണെങ്കിൽ, ചില സ്ഥിരാങ്കങ്ങളും ആണ്, അത് നമ്മൾ അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു:

സ്ഥിരാങ്കം "താഴേയ്ക്ക് കൊണ്ടുപോകുന്നത്" ഓർക്കുക, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്ന രണ്ടാമത്തെ സാങ്കേതികതയാണിത്.

അതിനാൽ, പൊതുവായ പരിഹാരം ഇതാണ്: എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു നല്ല കുടുംബമാണിത്.

അവസാന ഘട്ടത്തിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഇതും ലളിതമാണ്.

എന്താണ് ചുമതല? എടുക്കണം അത്തരംഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ മൂല്യം, അതിനാൽ നിർദ്ദിഷ്ട പ്രാരംഭ അവസ്ഥ തൃപ്തികരമാകും.

ഇത് വ്യത്യസ്ത രീതികളിൽ ഫോർമാറ്റ് ചെയ്യാൻ കഴിയും, പക്ഷേ ഇത് ഒരുപക്ഷേ വ്യക്തമായ മാർഗമായിരിക്കും. പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ, “X” ന് പകരം ഞങ്ങൾ ഒരു പൂജ്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, കൂടാതെ “Y” ന് പകരം ഞങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:



അതായത്,

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡിസൈൻ പതിപ്പ്:

സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യത്തെ ഞങ്ങൾ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
- ഇതാണ് നമുക്ക് ആവശ്യമുള്ള പ്രത്യേക പരിഹാരം.

നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം. ഒരു സ്വകാര്യ പരിഹാരം പരിശോധിക്കുന്നത് രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

കണ്ടെത്തിയ പ്രത്യേക പരിഹാരം പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ ശരിക്കും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ എന്ന് ആദ്യം നിങ്ങൾ പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട്? "X" ന് പകരം ഞങ്ങൾ പൂജ്യം മാറ്റി, എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് കാണുക:
- അതെ, നിങ്ങൾക്ക് ശരിക്കും രണ്ടെണ്ണം ലഭിച്ചു, അതായത് പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കപ്പെട്ടു.

രണ്ടാം ഘട്ടം ഇതിനകം പരിചിതമാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പ്രത്യേക പരിഹാരം ഞങ്ങൾ എടുക്കുകയും ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഞങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

- ശരിയായ സമത്വം ലഭിക്കും.

ഉപസംഹാരം: നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി.

നമുക്ക് കൂടുതൽ അർത്ഥവത്തായ ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് പോകാം.

ഉദാഹരണം 3

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

പരിഹാരം:ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് വീണ്ടും എഴുതുന്നു:

വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നത് സാധ്യമാണോ എന്ന് ഞങ്ങൾ വിലയിരുത്തുന്നു? കഴിയും. അടയാളം മാറ്റിക്കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ പദം വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കുന്നു:

അനുപാത നിയമമനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ഗുണിതങ്ങൾ കൈമാറുന്നു:

വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു, നമുക്ക് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കാം:

ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് മുന്നറിയിപ്പ് നൽകണം, ന്യായവിധി ദിവസം അടുത്തിരിക്കുന്നു. നന്നായി പഠിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിൽ അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യങ്ങൾ, കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിച്ചു, പിന്നെ പോകാൻ ഒരിടവുമില്ല - നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ അവയിൽ പ്രാവീണ്യം നേടേണ്ടതുണ്ട്.

ലെഫ്റ്റ് സൈഡിൻ്റെ ഇൻ്റഗ്രൽ കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ്; ഞങ്ങൾ പാഠത്തിൽ നോക്കിയ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ടെക്നിക് ഉപയോഗിച്ച് കോട്ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ഇൻ്റഗ്രൽ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു സംയോജനം ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ കഴിഞ്ഞ വര്ഷം:

വലതുവശത്ത് ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ലോഗരിതം ഉണ്ട്, എൻ്റെ ആദ്യത്തെ സാങ്കേതിക ശുപാർശ അനുസരിച്ച്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സ്ഥിരാങ്കവും ലോഗരിതത്തിന് കീഴിൽ എഴുതണം.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ ലളിതമാക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം മാത്രമുള്ളതിനാൽ, അവ ഒഴിവാക്കുന്നത് തികച്ചും സാദ്ധ്യമാണ് (ആവശ്യമാണ്). ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം കഴിയുന്നത്ര "പാക്ക്" ചെയ്യുന്നു. മൂന്ന് സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് പാക്കേജിംഗ് നടത്തുന്നത്:

ഈ മൂന്ന് ഫോർമുലകളും നിങ്ങളുടെ സൂത്രവാക്യത്തിൽ തിരുത്തിയെഴുതുക വർക്ക്ബുക്ക്, ഡിഫ്യൂസറുകൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അവ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.

ഞാൻ പരിഹാരം വളരെ വിശദമായി വിവരിക്കും:

പാക്കിംഗ് പൂർത്തിയായി, ലോഗരിതം നീക്കം ചെയ്യുക:

"ഗെയിം" പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമോ? കഴിയും. രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും സമചതുരമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യേണ്ടതില്ല.

മൂന്നാമത് സാങ്കേതിക ഉപദേശം: ഒരു പൊതു പരിഹാരം ലഭിക്കണമെങ്കിൽ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുകയോ വേരുകൾ എടുക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് മിക്ക കേസുകളിലുംനിങ്ങൾ ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് വിട്ടുനിൽക്കുകയും ഉത്തരം ഒരു പൊതു ഇൻ്റഗ്രൽ രൂപത്തിൽ നൽകുകയും വേണം. വലിയ വേരുകൾ, അടയാളങ്ങൾ - പൊതുവായ പരിഹാരം ഭാവനയും ഭയങ്കരവും ആയിരിക്കും എന്നതാണ് വസ്തുത.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഉത്തരം ഒരു പൊതു ഇൻ്റഗ്രൽ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു. നല്ല രീതിയിൽഫോമിലെ പൊതുവായ അവിഭാജ്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അതായത്, വലതുവശത്ത്, സാധ്യമെങ്കിൽ, ഒരു സ്ഥിരാങ്കം മാത്രം വിടുക. ഇത് ചെയ്യേണ്ട ആവശ്യമില്ല, പക്ഷേ പ്രൊഫസറെ പ്രീതിപ്പെടുത്തുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും പ്രയോജനകരമാണ് ;-)

ഉത്തരം:പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ:

കുറിപ്പ്:ഏതൊരു സമവാക്യത്തിൻ്റെയും പൊതുവായ സമഗ്രത ഒന്നിലധികം രീതിയിൽ എഴുതാം. അതിനാൽ, നിങ്ങളുടെ ഫലം മുമ്പ് അറിയപ്പെട്ട ഉത്തരവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ സമവാക്യം തെറ്റായി പരിഹരിച്ചുവെന്ന് ഇതിനർത്ഥമില്ല.

പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ പരിശോധിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, പ്രധാന കാര്യം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും എന്നതാണ് പരോക്ഷമായി വ്യക്തമാക്കിയ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ. ഉത്തരം വേർതിരിക്കാം:

ഞങ്ങൾ രണ്ട് പദങ്ങളും ഗുണിക്കുന്നു:

കൂടാതെ ഹരിക്കുക:

യഥാർത്ഥ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം കൃത്യമായി ലഭിച്ചിട്ടുണ്ട്, അതായത് പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ ശരിയായി കണ്ടെത്തി എന്നാണ്.

ഉദാഹരണം 4

പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക. പരിശോധന നടത്തുക.

ഇത് ഒരു ഉദാഹരണമാണ് സ്വതന്ത്ര തീരുമാനം. Cauchy പ്രശ്നം രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നുവെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:
1) ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.
2) ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.

പരിശോധനയും രണ്ട് ഘട്ടങ്ങളിലായാണ് നടത്തുന്നത് (ഉദാഹരണം 2 കൂടി കാണുക), നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത്:
1) കണ്ടെത്തിയ പ്രത്യേക പരിഹാരം പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ ശരിക്കും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക.
2) പ്രത്യേക പരിഹാരം പൊതുവെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക.

പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും ഉത്തരവും.

ഉദാഹരണം 5

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക , പ്രാരംഭ അവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. പരിശോധന നടത്തുക.

പരിഹാരം:ആദ്യം, ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഇതിനകം തന്നെ റെഡിമെയ്ഡ് ഡിഫറൻഷ്യലുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ പരിഹാരം ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നു:

നമുക്ക് സമവാക്യം സംയോജിപ്പിക്കാം:

ഇടതുവശത്തുള്ള ഇൻ്റഗ്രൽ പട്ടികയാണ്, വലതുവശത്തുള്ള ഇൻ്റഗ്രൽ എടുക്കുന്നു ഡിഫറൻഷ്യൽ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ സബ്‌സ്യൂം ചെയ്യുന്ന രീതി:

പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ ലഭിച്ചു, പൊതുവായ പരിഹാരം വിജയകരമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമോ? കഴിയും. ഞങ്ങൾ ലോഗരിതം തൂക്കിയിടുന്നു:

(എല്ലാവരും പരിവർത്തനം മനസ്സിലാക്കുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു, അത്തരം കാര്യങ്ങൾ ഇതിനകം അറിഞ്ഞിരിക്കണം)

അതിനാൽ, പൊതുവായ പരിഹാരം ഇതാണ്:

നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ അവസ്ഥയ്ക്ക് അനുയോജ്യമായ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്താം. പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൽ, “X” ന് പകരം ഞങ്ങൾ പൂജ്യം മാറ്റി, “Y” ന് പകരം രണ്ടിൻ്റെ ലോഗരിതം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

കൂടുതൽ പരിചിതമായ ഡിസൈൻ:

സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യത്തെ ഞങ്ങൾ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:സ്വകാര്യ പരിഹാരം:

പരിശോധിക്കുക: ആദ്യം, പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കാം:
- എല്ലാം മുഴങ്ങുന്നു.

ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്തിയ പ്രത്യേക പരിഹാരം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം. ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:

യഥാർത്ഥ സമവാക്യം നോക്കാം: - ഇത് ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. പരിശോധിക്കാൻ രണ്ട് വഴികളുണ്ട്. കണ്ടെത്തിയ ഡെറിവേറ്റീവിൽ നിന്നുള്ള വ്യത്യാസം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയും:

നമുക്ക് കണ്ടെത്തിയ പ്രത്യേക പരിഹാരവും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വ്യത്യാസവും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം :

ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡൻ്റിറ്റി ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ശരിയായ സമത്വം ലഭിക്കുന്നു, അതായത് നിർദ്ദിഷ്ട പരിഹാരം ശരിയായി കണ്ടെത്തി എന്നാണ്.

പരിശോധിക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ടാമത്തെ രീതി പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നതും കൂടുതൽ പരിചിതവുമാണ്: സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രകടിപ്പിക്കാം, ഇത് ചെയ്യുന്നതിന് ഞങ്ങൾ എല്ലാ ഭാഗങ്ങളെയും ഇപ്രകാരം വിഭജിക്കുന്നു:

രൂപാന്തരപ്പെട്ട DE യിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ലഭിച്ച ഭാഗിക പരിഹാരവും കണ്ടെത്തിയ ഡെറിവേറ്റീവും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. ലളിതവൽക്കരണത്തിൻ്റെ ഫലമായി, ശരിയായ സമത്വവും ലഭിക്കണം.

ഉദാഹരണം 6

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. ഉത്തരം ഒരു പൊതു ഇൻ്റഗ്രൽ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുക.

ഇത് നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ്, പൂർണ്ണമായ പരിഹാരം, പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഉത്തരം.

വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ എന്ത് ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ കാത്തിരിക്കുന്നു?

1) വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാമെന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും വ്യക്തമല്ല (പ്രത്യേകിച്ച് ഒരു ടീപ്പോയിലേക്ക്). നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം സോപാധിക ഉദാഹരണം: . ഇവിടെ നിങ്ങൾ ഘടകങ്ങൾ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്: വേരുകൾ വേർതിരിക്കുക: . അടുത്തതായി എന്തുചെയ്യണമെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

2) സംയോജനത്തിൽ തന്നെയുള്ള ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ. ഇൻ്റഗ്രലുകൾ പലപ്പോഴും ഏറ്റവും ലളിതമല്ല, കണ്ടെത്താനുള്ള കഴിവുകളിൽ കുറവുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യ, പിന്നെ പല ഡിഫ്യൂസറുകളിലും ഇത് ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും. കൂടാതെ, "ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ലളിതമായതിനാൽ, ഇൻ്റഗ്രലുകൾ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായിരിക്കട്ടെ" എന്ന യുക്തി ശേഖരണങ്ങളുടെയും പരിശീലന മാനുവലുകളുടെയും കംപൈലർമാർക്കിടയിൽ ജനപ്രിയമാണ്.

3) സ്ഥിരതയുള്ള പരിവർത്തനങ്ങൾ. എല്ലാവരും ശ്രദ്ധിച്ചതുപോലെ, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളിലെ സ്ഥിരത ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് മിക്കവാറും എന്തും ചെയ്യാൻ കഴിയും. അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾ ഒരു തുടക്കക്കാരന് എല്ലായ്പ്പോഴും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയില്ല. മറ്റൊരു സോപാധിക ഉദാഹരണം നോക്കാം: . ഇതിലെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ്: . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സ്ഥിരാങ്കവും ഒരുതരം സ്ഥിരാങ്കമാണ്, ഇത് സൂചിപ്പിക്കാം: . അതെ, വലതുവശത്ത് ഒരു ലോഗരിതം ഉള്ളതിനാൽ, മറ്റൊരു സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ സ്ഥിരാങ്കം മാറ്റിയെഴുതുന്നത് നല്ലതാണ്: .

അവർ പലപ്പോഴും സൂചികകളെ ബുദ്ധിമുട്ടിക്കുന്നില്ല, ഒരേ അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കുന്നു എന്നതാണ് കുഴപ്പം. തൽഫലമായി, പരിഹാര റെക്കോർഡ് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു:

ഇതെന്താ നരകം? തെറ്റുകളും ഉണ്ട്. ഔപചാരികമായി, അതെ. എന്നാൽ അനൗപചാരികമായി - ഒരു സ്ഥിരാങ്കം പരിവർത്തനം ചെയ്യുമ്പോൾ, മറ്റ് ചില സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഇപ്പോഴും ലഭിക്കുന്നുണ്ടെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം.

അല്ലെങ്കിൽ ഈ ഉദാഹരണം, സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു പൊതു അവിഭാജ്യഘടകം ലഭിച്ചുവെന്ന് കരുതുക. ഈ ഉത്തരം വൃത്തികെട്ടതായി തോന്നുന്നു, അതിനാൽ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നത് ഉചിതമാണ്: . ഔപചാരികമായി, റെക്കോർഡിംഗ് അനുസരിച്ച്, ഇവിടെ വീണ്ടും ഒരു പിശക് ഉണ്ട്; എന്നാൽ അനൗപചാരികമായി അത് ഇപ്പോഴും മറ്റേതെങ്കിലും സ്ഥിരാങ്കമാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കുന്നു (കൂടാതെ, ഇതിന് ഏത് മൂല്യവും എടുക്കാം), അതിനാൽ ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ ചിഹ്നം മാറ്റുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല, നിങ്ങൾക്ക് അതേ അക്ഷരം ഉപയോഗിക്കാം.

ഞാൻ ഒരു അശ്രദ്ധമായ സമീപനം ഒഴിവാക്കാൻ ശ്രമിക്കും, ഇപ്പോഴും ഇട്ടു വ്യത്യസ്ത സൂചികകൾഅവരെ പരിവർത്തനം ചെയ്യുമ്പോൾ.

ഉദാഹരണം 7

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക. പരിശോധന നടത്തുക.

പരിഹാരം:ഈ സമവാക്യം വേരിയബിളുകളെ വേർതിരിക്കാൻ അനുവദിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നു:

നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം:

ഇവിടെ സ്ഥിരാങ്കം ഒരു ലോഗരിതം ആയി നിർവചിക്കേണ്ടതില്ല, കാരണം ഇതിൽ നിന്ന് ഉപയോഗപ്രദമായ ഒന്നും വരില്ല.

ഉത്തരം:പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ:

പരിശോധിക്കുക: ഉത്തരം വേർതിരിക്കുക (വ്യക്തമായ പ്രവർത്തനം):

രണ്ട് പദങ്ങളും ഗുണിച്ച് ഞങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒഴിവാക്കുന്നു:

യഥാർത്ഥ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ലഭിച്ചു, അതായത് പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ ശരിയായി കണ്ടെത്തി എന്നാണ്.

ഉദാഹരണം 8

DE യുടെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക.
,

നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. ഒരേയൊരു അഭിപ്രായം ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പൊതു ഇൻ്റഗ്രൽ ലഭിക്കുന്നു, കൂടുതൽ ശരിയായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരമല്ല കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾ ശ്രമിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഭാഗിക അവിഭാജ്യ. പൂർണ്ണമായ പരിഹാരവും പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം ഉത്തരവും.

ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഡിഫ്യൂസുകളിൽ, ഏറ്റവും ലളിതമായ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ അല്ല പലപ്പോഴും ഉയർന്നുവരുന്നത്. നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാൻ അത്തരം രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി ഇവിടെയുണ്ട്. 9-10 ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞാൻ എല്ലാവരോടും ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, അവരുടെ തയ്യാറെടുപ്പിൻ്റെ നിലവാരം കണക്കിലെടുക്കാതെ, ഇത് ഇൻ്റഗ്രലുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനോ അറിവിലെ വിടവുകൾ നികത്തുന്നതിനോ അവരുടെ കഴിവുകൾ അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യാൻ അനുവദിക്കും.

ഉദാഹരണം 9

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഉദാഹരണം 10

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഒരു പൊതു ഇൻ്റഗ്രൽ എഴുതാൻ ഒന്നിലധികം വഴികളുണ്ടെന്ന് ഓർക്കുക, നിങ്ങളുടെ ഉത്തരങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമായി കാണപ്പെടാം. രൂപംഎൻ്റെ ഉത്തരങ്ങൾ. പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിൽ ഹ്രസ്വമായ പരിഹാരവും ഉത്തരങ്ങളും.

സന്തോഷകരമായ പ്രമോഷൻ!

ഉദാഹരണം 4:പരിഹാരം: നമുക്ക് പൊതുവായ ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താം. ഞങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കുന്നു:


നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം:



പൊതുവായ ഇൻ്റഗ്രൽ ലഭിച്ചു; ഞങ്ങൾ അത് ലളിതമാക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലോഗരിതം പായ്ക്ക് ചെയ്ത് അവ ഒഴിവാക്കാം:

I. സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

1.1 അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും നിർവചനങ്ങളും

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സമവാക്യമാണ് x, ആവശ്യമായ പ്രവർത്തനം വൈഅതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അല്ലെങ്കിൽ ഡിഫറൻഷ്യലുകൾ.

പ്രതീകാത്മകമായി, ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

ആവശ്യമുള്ള ഫംഗ്ഷൻ ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെ സാധാരണ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നുഈ സമവാക്യത്തെ ഒരു ഐഡൻ്റിറ്റിയായി മാറ്റുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ക്രമംഈ സമവാക്യത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ക്രമമാണ്

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

1. ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക

ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം y = 5 ln x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ്. തീർച്ചയായും, പകരം വയ്ക്കുന്നത് y"സമവാക്യത്തിൽ, നമുക്ക് ഐഡൻ്റിറ്റി ലഭിക്കും.

ഇതിനർത്ഥം y = 5 ln x– എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ്.

2. രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക y" - 5y" +6y = 0. ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ് ഫംഗ്ഷൻ.

ശരിക്കും, .

ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: , - ഐഡൻ്റിറ്റി.

ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ് ഫംഗ്ഷൻ എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ സമന്വയിപ്പിക്കുന്നുഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയാണ്.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരംഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു , സമവാക്യത്തിൻ്റെ ക്രമം പോലെ നിരവധി സ്വതന്ത്ര അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഭാഗിക പരിഹാരംഅനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ വിവിധ സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾക്കുള്ള ഒരു പൊതു പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ഒരു പരിഹാരമാണ്. ആർബിട്രറി സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെയും പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെയും ചില പ്രാരംഭ മൂല്യങ്ങളിൽ കാണപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു അവിഭാജ്യ വക്രം.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

1. ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക

xdx + ydy = 0, എങ്കിൽ വൈ= 4 at x = 3.

പരിഹാരം. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംയോജിപ്പിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

അഭിപ്രായം. സംയോജനത്തിൻ്റെ ഫലമായി ലഭിച്ച അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരമായ സി കൂടുതൽ പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് സൗകര്യപ്രദമായ ഏത് രൂപത്തിലും പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു സർക്കിളിൻ്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, രൂപത്തിൽ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരമായ സി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ് .

- ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം.

പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക പരിഹാരം വൈ = 4 at x പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച് പൊതുവിൽ നിന്ന് = 3 കണ്ടെത്തി: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

പൊതുവായ പരിഹാരത്തിലേക്ക് C=5 പകരം വയ്ക്കുന്നത്, നമുക്ക് ലഭിക്കും x 2 +y 2 = 5 2 .

നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഒരു പൊതു പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരമാണിത്.

2. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് പൊതുവായ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക

ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഫോമിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്‌ഷനാണ്, ഇവിടെ C ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കമാണ്. തീർച്ചയായും, സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് പകരമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: , .

തൽഫലമായി, ഈ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്, കാരണം സ്ഥിരമായ C യുടെ വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾക്ക്, തുല്യത സമവാക്യത്തിന് വ്യത്യസ്ത പരിഹാരങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, നേരിട്ടുള്ള പകരം വയ്ക്കൽ വഴി നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളാണ്.

സമവാക്യത്തിന് നിങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ട ഒരു പ്രശ്നം y" = f(x,y)പ്രാഥമിക അവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു y(x 0) = y 0, Cauchy പ്രശ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു y" = f(x,y), പ്രാരംഭ അവസ്ഥ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു, y(x 0) = y 0, Cauchy പ്രശ്നം ഒരു പരിഹാരം വിളിക്കുന്നു.

കൗച്ചി പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിന് ലളിതമായ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥമുണ്ട്. തീർച്ചയായും, ഈ നിർവചനങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, കൗച്ചി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുക y" = f(x,y)അത് നൽകി y(x 0) = y 0, സമവാക്യത്തിൻ്റെ അവിഭാജ്യ വക്രം കണ്ടെത്തുക എന്നാണ് y" = f(x,y)കടന്നുപോകുന്നത് ഈ പോയിൻ്റ് M 0 (x 0,y 0).

II. ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

2.1 അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ

ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ് F(x,y,y") = 0.

ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉൾപ്പെടുന്നു, ഉയർന്ന ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നില്ല.

സമവാക്യം y" = f(x,y)ഡെറിവേറ്റീവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പരിഹരിച്ച ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്, അതിൽ ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം.ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക.

ഈ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം പ്രവർത്തനമാണ്.

തീർച്ചയായും, ഈ സമവാക്യത്തെ അതിൻ്റെ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

എന്നാണ് 3x=3x

അതിനാൽ, ഏതെങ്കിലും സ്ഥിരമായ C യുടെ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പൊതു പരിഹാരമാണ് ഫംഗ്ഷൻ.

പ്രാരംഭ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഈ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക y(1)=1പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു x = 1, y =1സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിലേക്ക്, നമുക്ക് എവിടെ നിന്ന് ലഭിക്കും C=0.

അതിനാൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം ഈ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് പൊതുവായതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം ലഭിക്കും. C=0- സ്വകാര്യ പരിഹാരം.

2.2 വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്: y"=f(x)g(y)അല്ലെങ്കിൽ ഡിഫറൻഷ്യലുകൾ വഴി, എവിടെ f(x)ഒപ്പം g(y)- നിർദ്ദിഷ്ട പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

അവർക്കായി വൈ, അതിനായി, സമവാക്യം y"=f(x)g(y)സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിൽ വേരിയബിൾ വൈഇടതുവശത്ത് മാത്രമേ ഉള്ളൂ, വേരിയബിൾ x വലതുവശത്ത് മാത്രമാണ്. അവർ പറയുന്നു, "സമവാക്യത്തിൽ. y"=f(x)g(yനമുക്ക് വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാം."

ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യം വേർതിരിച്ച വേരിയബിൾ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സമന്വയിപ്പിക്കുന്നു എഴുതിയത് x, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു G(y) = F(x) + Cസമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരമാണ്, എവിടെ G(y)ഒപ്പം F(x)- ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ചില ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളും f(x), സിഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കം.

വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

ഉദാഹരണം 1

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക y" = xy

പരിഹാരം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് y"അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക

നമുക്ക് വേരിയബിളുകൾ വേർതിരിക്കാം

സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സമന്വയിപ്പിക്കാം:

ഉദാഹരണം 2

2yy" = 1- 3x 2, എങ്കിൽ y 0 = 3ചെയ്തത് x 0 = 1

ഇതൊരു വേർതിരിക്കപ്പെട്ട വേരിയബിൾ സമവാക്യമാണ്. നമുക്ക് അത് ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ സങ്കൽപ്പിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ വീണ്ടും എഴുതുന്നു ഇവിടെ നിന്ന്

അവസാന സമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും സമന്വയിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

പ്രാരംഭ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു x 0 = 1, y 0 = 3ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും കൂടെ 9=1-1+സി, അതായത്. സി = 9.

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ ഭാഗിക ഇൻ്റഗ്രൽ ആയിരിക്കും അല്ലെങ്കിൽ

ഉദാഹരണം 3

ഒരു ബിന്ദുവിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു വക്രത്തിന് ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക എം(2;-3)ഒരു കോണീയ ഗുണകം ഉള്ള ഒരു ടാൻജെൻ്റ് ഉള്ളതും

പരിഹാരം. വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്

വേരിയബിൾ വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണിത്. വേരിയബിളുകൾ വിഭജിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംയോജിപ്പിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിച്ച്, x = 2ഒപ്പം y = - 3ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും സി:

അതിനാൽ, ആവശ്യമായ സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട്

2.3 ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

ആദ്യ ഓർഡറിൻ്റെ ഒരു ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ് y" = f(x)y + g(x)

എവിടെ f(x)ഒപ്പം g(x)- ചില നിർദ്ദിഷ്ട പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

എങ്കിൽ g(x)=0അപ്പോൾ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തെ ഹോമോജീനിയസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇതിന് രൂപമുണ്ട്: y" = f(x)y

എങ്കിൽ സമവാക്യം y" = f(x)y + g(x)വൈവിധ്യമാർന്ന എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു രേഖീയ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം y" = f(x)yഫോർമുല പ്രകാരം നൽകിയിരിക്കുന്നു: എവിടെ കൂടെ- ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കം.

പ്രത്യേകിച്ചും, എങ്കിൽ C =0,അപ്പോൾ പരിഹാരമാണ് y = 0രേഖീയമാണെങ്കിൽ ഏകതാനമായ സമവാക്യംപോലെ തോന്നുന്നു y" = kyഎവിടെ കെചില സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്, അപ്പോൾ അതിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: .

ഒരു ലീനിയർ ഇൻഹോമോജീനിയസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം y" = f(x)y + g(x)ഫോർമുല പ്രകാരം നൽകിയിരിക്കുന്നു ,

ആ അനുബന്ധ രേഖീയ ഏകതാന സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിൻ്റെയും ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിൻ്റെയും ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

ഫോമിൻ്റെ ഒരു രേഖീയ അസമമായ സമവാക്യത്തിന് y" = kx + b,

എവിടെ കെഒപ്പം ബി- ചില സംഖ്യകളും ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരവും ഒരു സ്ഥിരമായ പ്രവർത്തനമായിരിക്കും. അതിനാൽ, പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്.

ഉദാഹരണം. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക y" + 2y +3 = 0

പരിഹാരം. ഫോമിലെ സമവാക്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം y" = -2y - 3എവിടെ k = -2, b= -3പൊതുവായ പരിഹാരം ഫോർമുലയാണ് നൽകുന്നത്.

അതിനാൽ, സി ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കമാണ്.

2.4 ബെർണൂലി രീതി ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നു y" = f(x)y + g(x)സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിച്ച വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു y=uv, എവിടെ യുഒപ്പം വി- നിന്നും അജ്ഞാത പ്രവർത്തനങ്ങൾ x. ഈ പരിഹാര രീതിയെ ബെർണൂലിയുടെ രീതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

y" = f(x)y + g(x)

1. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ നൽകുക y=uv.

2. ഈ സമത്വം വേർതിരിക്കുക y" = u"v + uv"

3. പകരക്കാരൻ വൈഒപ്പം y"ഈ സമവാക്യത്തിലേക്ക്: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)അല്ലെങ്കിൽ u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിബന്ധനകൾ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുക യുബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുക:

5. ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന്, അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കി, ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുക

ഇത് വേർതിരിക്കാവുന്ന ഒരു സമവാക്യമാണ്:

നമുക്ക് വേരിയബിളുകൾ വിഭജിച്ച് നേടാം:

എവിടെ . .

6. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക വിസമവാക്യത്തിലേക്ക് (ഘട്ടം 4 മുതൽ):

ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുക ഇത് വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യമാണ്:

7. പൊതുവായ പരിഹാരം ഫോമിൽ എഴുതുക: , അതായത്. .

ഉദാഹരണം 1

സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക y" = -2y +3 = 0എങ്കിൽ y=1ചെയ്തത് x = 0

പരിഹാരം. പകരം വയ്ക്കൽ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് പരിഹരിക്കാം y=uv,.y" = u"v + uv"

പകരം വയ്ക്കുന്നത് വൈഒപ്പം y"ഈ സമവാക്യത്തിലേക്ക്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും പദങ്ങൾ ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ പൊതുവായ ഘടകം പുറത്തെടുക്കുന്നു യു ബ്രാക്കറ്റിനു പുറത്ത്

ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ പദപ്രയോഗത്തെ ഞങ്ങൾ പൂജ്യത്തിലേക്ക് തുലനം ചെയ്യുന്നു, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നു. v = v(x)

വേർതിരിച്ച വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം: ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുക വി:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം നമുക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം വിനമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക്:

ഇതൊരു വേർതിരിക്കപ്പെട്ട വേരിയബിൾ സമവാക്യമാണ്. നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കാം: നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്താം u = u (x,c) നമുക്ക് ഒരു പൊതു പരിഹാരം കണ്ടെത്താം: പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം y = 1ചെയ്തത് x = 0:

III. ഉയർന്ന ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

3.1 അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങളും നിർവചനങ്ങളും

രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്നത് രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിനേക്കാൾ ഉയർന്നതല്ലാത്ത ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അടങ്ങിയ ഒരു സമവാക്യമാണ്. പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു രണ്ടാം-ക്രമം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: F(x,y,y",y") = 0

ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്, അതിൽ രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു സി 1ഒപ്പം സി 2.

അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ ചില മൂല്യങ്ങൾക്കുള്ള ഒരു പൊതു പരിഹാരത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന ഒരു പരിഹാരമാണ് രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം. സി 1ഒപ്പം സി 2.

3.2 കൂടെയുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഹോമോജീനസ് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ.

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിൻ്റെ ലീനിയർ ഏകതാനമായ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യംഫോമിൻ്റെ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു y" + py" +qy = 0, എവിടെ പിഒപ്പം q- സ്ഥിരമായ മൂല്യങ്ങൾ.

സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏകതാനമായ രണ്ടാം ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

1. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ എഴുതുക: y" + py" +qy = 0.

2. സൂചിപ്പിക്കുന്നു അതിൻ്റെ സ്വഭാവ സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കുക y"വഴി r 2, y"വഴി ആർ, വൈ 1-ൽ: r 2 + pr +q = 0

ലേഖനത്തിൻ്റെ ഉള്ളടക്കം

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.പലതും ഭൗതിക നിയമങ്ങൾ, ഏത് ചില പ്രതിഭാസങ്ങൾക്ക് വിധേയമാണ്, ചില അളവുകൾ തമ്മിലുള്ള ഒരു നിശ്ചിത ബന്ധം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഗണിത സമവാക്യത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. പലപ്പോഴും ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത്കാലക്രമേണ മാറുന്ന അളവുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെക്കുറിച്ച്, ഉദാഹരണത്തിന്, എഞ്ചിൻ കാര്യക്ഷമത, ഒരു ലിറ്റർ ഇന്ധനത്തിൽ ഒരു കാറിന് സഞ്ചരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ദൂരം കണക്കാക്കുന്നത്, കാറിൻ്റെ വേഗതയെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അനുബന്ധ സമവാക്യത്തിൽ ഒന്നോ അതിലധികമോ ഫംഗ്ഷനുകളും അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിനെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. (കാലക്രമേണ ദൂരത്തിൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക് നിർണ്ണയിക്കുന്നത് വേഗതയാണ്; അതിനാൽ, വേഗത ദൂരത്തിൻ്റെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്; അതുപോലെ, ത്വരണം വേഗതയുടെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, കാരണം ആക്സിലറേഷൻ സമയത്തിനനുസരിച്ച് വേഗതയുടെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക് നിർണ്ണയിക്കുന്നു.) വലിയ മൂല്യം, ഗണിതത്തിനും പ്രത്യേകിച്ച് അതിൻ്റെ പ്രയോഗങ്ങൾക്കുമുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ, നിരവധി ഭൗതികവും സാങ്കേതികവുമായ പ്രശ്നങ്ങളുടെ പഠനം അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു എന്ന വസ്തുത വിശദീകരിക്കുന്നു. ജീവശാസ്ത്രം, സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം, ഇലക്ട്രിക്കൽ എഞ്ചിനീയറിംഗ് തുടങ്ങിയ മറ്റ് ശാസ്ത്രങ്ങളിലും ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു; വാസ്തവത്തിൽ, പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ അളവ് (സംഖ്യാപരമായ) വിവരണം ആവശ്യമുള്ളിടത്തെല്ലാം അവ ഉയർന്നുവരുന്നു. നമുക്ക് ചുറ്റുമുള്ള ലോകംകാലത്തിനനുസരിച്ച് മാറുകയും അവസ്ഥകൾ ഒരിടത്ത് നിന്ന് മറ്റൊരിടത്തേക്ക് മാറുകയും ചെയ്യുന്നു).

ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഭാഷയിൽ വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള മികച്ച ധാരണ ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുന്നു.

1) ചില റേഡിയോ ആക്ടീവ് പദാർത്ഥങ്ങളുടെ ക്ഷയ നിയമം, ഈ പദാർത്ഥത്തിൻ്റെ ലഭ്യമായ അളവിന് ആനുപാതികമാണ് ശോഷണ നിരക്ക്. എങ്കിൽ x- ഒരു നിശ്ചിത സമയത്ത് പദാർത്ഥത്തിൻ്റെ അളവ് ടി, അപ്പോൾ ഈ നിയമം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

എവിടെ dx/dtശോഷണ നിരക്ക്, ഒപ്പം കെ- തന്നിരിക്കുന്ന പദാർത്ഥത്തിൻ്റെ ചില പോസിറ്റീവ് സ്ഥിരമായ സ്വഭാവം. (വലതുവശത്തുള്ള മൈനസ് ചിഹ്നം അത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു xകാലക്രമേണ കുറയുന്നു; അടയാളം വ്യക്തമായി പ്രസ്താവിക്കാത്തപ്പോൾ എപ്പോഴും സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം അർത്ഥമാക്കുന്നത് xകാലക്രമേണ വർദ്ധിക്കുന്നു.)

2) കണ്ടെയ്നറിൽ തുടക്കത്തിൽ 100 ​​മീ 3 വെള്ളത്തിൽ ലയിപ്പിച്ച 10 കിലോ ഉപ്പ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. എങ്കിൽ ശുദ്ധജലംമിനിറ്റിൽ 1 മീ 3 വേഗതയിൽ കണ്ടെയ്‌നറിലേക്ക് ഒഴിച്ച് ലായനിയുമായി തുല്യമായി കലർത്തുന്നു, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ലായനി അതേ വേഗതയിൽ കണ്ടെയ്‌നറിൽ നിന്ന് പുറത്തേക്ക് ഒഴുകുന്നു, തുടർന്ന് ഏത് സമയത്തും കണ്ടെയ്‌നറിൽ എത്ര ഉപ്പ് ഉണ്ടാകും? എങ്കിൽ x- ഒരു സമയത്ത് കണ്ടെയ്നറിൽ ഉപ്പ് അളവ് (കിലോയിൽ). ടി, പിന്നെ ഏത് സമയത്തും ടികണ്ടെയ്നറിൽ 1 മീറ്റർ 3 ലായനി അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു x/100 കിലോ ഉപ്പ്; അതിനാൽ ഉപ്പിൻ്റെ അളവ് ഒരു തോതിൽ കുറയുന്നു x/100 കി.ഗ്രാം/മിനിറ്റ്, അല്ലെങ്കിൽ

3) ശരീരത്തിൽ പിണ്ഡം ഉണ്ടാകട്ടെ എംവസന്തത്തിൻ്റെ അവസാനം മുതൽ സസ്പെൻഡ് ചെയ്തു, ഒരു പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്ന ശക്തി വസന്തത്തിലെ പിരിമുറുക്കത്തിൻ്റെ അളവിന് ആനുപാതികമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. അനുവദിക്കുക x- സന്തുലിതാവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ശരീരത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ അളവ്. തുടർന്ന്, ന്യൂട്ടൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ നിയമം അനുസരിച്ച്, ആ ത്വരണം പ്രസ്താവിക്കുന്നു (ഇതിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് xസമയം അനുസരിച്ച്, നിയുക്തമാക്കിയത് ഡി 2 x/dt 2) ബലത്തിന് ആനുപാതികമായി:

വലതുവശത്ത് ഒരു മൈനസ് അടയാളം ഉണ്ട്, കാരണം പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്ന ശക്തി സ്പ്രിംഗിൻ്റെ നീട്ടൽ കുറയ്ക്കുന്നു.

4) ശരീര താപനിലയിലെ വ്യത്യാസത്തിന് ആനുപാതികമായി ശരീരത്തിലെ താപത്തിൻ്റെ അളവ് കുറയുന്നുവെന്ന് ശരീര തണുപ്പിക്കൽ നിയമം പറയുന്നു. പരിസ്ഥിതി. 90 ഡിഗ്രി സെൽഷ്യസിൽ ചൂടാക്കിയ ഒരു കപ്പ് കാപ്പി 20 ഡിഗ്രി സെൽഷ്യസുള്ള മുറിയിലാണെങ്കിൽ,

എവിടെ ടി- സമയത്ത് കാപ്പി താപനില ടി.

5) ലില്ലിപുട്ട് സ്വീകരിച്ച ആയുധ പരിപാടി തൻ്റെ രാജ്യത്തെ സൈനിക ചെലവ് പരമാവധി വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നുവെന്ന് ബ്ലെഫുസ്കു സംസ്ഥാനത്തിൻ്റെ വിദേശകാര്യ മന്ത്രി അവകാശപ്പെടുന്നു. ലില്ലിപുട്ടിൻ്റെ വിദേശകാര്യ മന്ത്രിയും സമാനമായ പ്രസ്താവനകൾ നടത്തുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സാഹചര്യം (അതിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ വ്യാഖ്യാനത്തിൽ) രണ്ട് ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളാൽ കൃത്യമായി വിവരിക്കാം. അനുവദിക്കുക xഒപ്പം വൈ- ലില്ലിപുട്ടിൻ്റെയും ബ്ലെഫുസ്‌കുവിൻ്റെയും ആയുധങ്ങൾക്കുള്ള ചെലവുകൾ. ബ്ലെഫസ്‌കുവിൻ്റെ ആയുധങ്ങൾക്കായുള്ള ചെലവുകളുടെ വർദ്ധനവിൻ്റെ തോതിന് ആനുപാതികമായ തോതിൽ ലില്ലിപുട്ട് ആയുധങ്ങൾക്കായുള്ള അതിൻ്റെ ചെലവുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു, തിരിച്ചും, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അംഗങ്ങൾ എവിടെയാണ് കോടാലിഒപ്പം - വഴിഓരോ രാജ്യത്തിൻ്റെയും സൈനിക ചെലവുകൾ വിവരിക്കുക, കെഒപ്പം എൽപോസിറ്റീവ് സ്ഥിരാങ്കങ്ങളാണ്. (1939-ൽ എൽ. റിച്ചാർഡ്‌സൺ ആണ് ഈ പ്രശ്നം ആദ്യമായി രൂപപ്പെടുത്തിയത്.)

പ്രശ്നം ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഭാഷയിൽ എഴുതിയ ശേഷം, നിങ്ങൾ അവ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കണം, അതായത്. സമവാക്യങ്ങളിൽ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്കുകൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന അളവുകൾ കണ്ടെത്തുക. ചിലപ്പോൾ വ്യക്തമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിലാണ് പരിഹാരങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത്, എന്നാൽ മിക്കപ്പോഴും അവ ഏകദേശ രൂപത്തിൽ മാത്രമേ അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയൂ അല്ലെങ്കിൽ അവയെക്കുറിച്ച് ഗുണപരമായ വിവരങ്ങൾ ലഭിക്കും. ഒരു പരിഹാരം നിലവിലുണ്ടോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും, ഒന്ന് കണ്ടെത്തുക. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രധാന വിഭാഗത്തിൽ "അസ്തിത്വ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ഉൾപ്പെടുന്നു, അതിൽ ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിൻ്റെ അസ്തിത്വം തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ശാരീരിക പ്രശ്നത്തിൻ്റെ യഥാർത്ഥ ഗണിത രൂപീകരണത്തിൽ സാധാരണയായി ലളിതമാക്കുന്ന അനുമാനങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു; ലഭ്യമായ നിരീക്ഷണങ്ങളുമായുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര പരിഹാരത്തിൻ്റെ സ്ഥിരതയുടെ അളവാണ് അവയുടെ ന്യായയുക്തതയുടെ മാനദണ്ഡം.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം, ഉദാഹരണത്തിന് dy/dx = x/വൈ, ഒരു സംഖ്യയല്ല, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ കൊണ്ടാണ് തൃപ്തിപ്പെടുന്നത്, ഈ പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ അതിൻ്റെ ഗ്രാഫിന് ഏത് ഘട്ടത്തിലും, ഉദാഹരണത്തിന് കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള ഒരു പോയിൻ്റിൽ (2,3) ഒരു ടാൻജെൻ്റ് ഉണ്ടായിരിക്കും. ചരിവ്, കോർഡിനേറ്റുകളുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ് (ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ 2/3). നിങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഇത് പരിശോധിക്കാൻ എളുപ്പമാണ് വലിയ സംഖ്യപോയിൻ്റുകളും ഓരോന്നിൽ നിന്നും അനുബന്ധ ചരിവുള്ള ഒരു ചെറിയ സെഗ്‌മെൻ്റ് മാറ്റിവയ്ക്കുന്നു. ഗ്രാഫ് അതിൻ്റെ ഓരോ പോയിൻ്റും ബന്ധപ്പെട്ട സെഗ്‌മെൻ്റിലേക്ക് സ്പർശിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷനായിരിക്കും പരിഹാരം. ആവശ്യത്തിന് പോയിൻ്റുകളും സെഗ്‌മെൻ്റുകളും ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരിഹാര കർവുകളുടെ ഗതി ഏകദേശം നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം (അത്തരത്തിലുള്ള മൂന്ന് കർവുകൾ ചിത്രം 1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു). ഓരോ പോയിൻ്റിലൂടെയും കൃത്യമായി ഒരു പരിഹാര വക്രം കടന്നുപോകുന്നു വൈനമ്പർ 0. ഓരോ വ്യക്തിഗത പരിഹാരത്തെയും ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഭാഗിക പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു; എല്ലാ പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങളും അടങ്ങിയ ഒരു ഫോർമുല കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമെങ്കിൽ (ചില പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങൾ ഒഴികെ), ഒരു പൊതു പരിഹാരം ലഭിച്ചതായി അവർ പറയുന്നു. ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതേസമയം ഒരു പൊതു പരിഹാരം അവരുടെ മുഴുവൻ കുടുംബത്തെയും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം അതിൻ്റെ പ്രത്യേകമോ പൊതുവായതോ ആയ പരിഹാരം കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്. ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ, പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട് വൈ 2 – x 2 = സി, എവിടെ സി- ഏതെങ്കിലും നമ്പർ; പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിന് (1,1) രൂപമുണ്ട് വൈ = xഅത് എപ്പോൾ മാറും സി= 0; പോയിൻ്റ് (2,1) വഴി കടന്നുപോകുന്ന ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരത്തിന് രൂപമുണ്ട് വൈ 2 – x 2 = 3. ലായനി കർവ് കടന്നുപോകേണ്ട അവസ്ഥയെ, ഉദാഹരണത്തിന്, പോയിൻ്റിലൂടെ (2,1) പ്രാരംഭ അവസ്ഥ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ഇത് ലായനി വക്രത്തിലെ ആരംഭ പോയിൻ്റ് വ്യക്തമാക്കുന്നതിനാൽ).

ഉദാഹരണത്തിൽ (1) പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന് ഫോം ഉണ്ടെന്ന് കാണിക്കാം x = CE –കെ.ടി, എവിടെ സി- നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു സ്ഥിരാങ്കം, ഉദാഹരണത്തിന്, പദാർത്ഥത്തിൻ്റെ അളവ് സൂചിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ടി= 0. ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നുള്ള സമവാക്യം (2) – പ്രത്യേക കേസ്ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നുള്ള സമവാക്യം (1), അനുബന്ധം കെ= 1/100. പ്രാരംഭ അവസ്ഥ x= 10 at ടി= 0 ഒരു പ്രത്യേക പരിഹാരം നൽകുന്നു x = 10ഇ –ടി/100. ഉദാഹരണം (4) ൽ നിന്നുള്ള സമവാക്യത്തിന് ഒരു പൊതു പരിഹാരമുണ്ട് ടി = 70 + CE –കെ.ടികൂടാതെ സ്വകാര്യ പരിഹാരം 70 + 130 – കെ.ടി; മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കാൻ കെ, അധിക ഡാറ്റ ആവശ്യമാണ്.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം dy/dx = x/വൈഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം അതിൽ ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു (ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ക്രമം സാധാരണയായി അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ക്രമമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു). പ്രായോഗികമായി ഉയർന്നുവരുന്ന ആദ്യ തരത്തിലുള്ള ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് (എല്ലാം അല്ലെങ്കിലും) ഓരോ പോയിൻ്റിലൂടെയും ഒരു പരിഹാര വക്രം മാത്രമേ കടന്നുപോകുന്നുള്ളൂ.

പ്രാഥമിക ഫംഗ്‌ഷനുകൾ മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഫോർമുലകളുടെ രൂപത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്ന നിരവധി പ്രധാന തരം ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട് - ശക്തികൾ, എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾ, ലോഗരിതം, സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ മുതലായവ. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളിൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉൾപ്പെടുന്നു.

വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ.

ഫോമിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ dy/dx = എഫ്(x)/ജി(വൈ) ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ എഴുതി പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ് ജി(വൈ)dy = എഫ്(x)dxരണ്ട് ഭാഗങ്ങളും സംയോജിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഏറ്റവും മോശം സാഹചര്യത്തിൽ, അറിയപ്പെടുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ രൂപത്തിൽ പരിഹാരം പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ dy/dx = x/വൈനമുക്ക് ഉണ്ട് എഫ്(x) = x, ജി(വൈ) = വൈ. ഫോമിൽ എഴുതിക്കൊണ്ടാണ് ydy = xdxസമന്വയിപ്പിക്കുകയും, നമുക്ക് ലഭിക്കും വൈ 2 = x 2 + സി. വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു (1), (2), (4) (മുകളിൽ വിവരിച്ച രീതിയിൽ അവ പരിഹരിക്കാനാകും).

മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിലെ സമവാക്യങ്ങൾ.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ടെങ്കിൽ dy/dx = എം(x,വൈ)/എൻ(x,വൈ), എവിടെ എംഒപ്പം എൻനൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളാണ്, തുടർന്ന് അതിനെ ഇതുപോലെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം എം(x,വൈ)dx – എൻ(x,വൈ)dy= 0. എങ്കിൽ ഇടത് വശംചില പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ വ്യത്യാസമാണ് എഫ്(x,വൈ), അപ്പോൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതാം dF(x,വൈ) = 0, ഇത് സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ് എഫ്(x,വൈ) = const. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാര വക്രങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ "സ്ഥിരമായ ലെവലുകളുടെ വരികൾ" അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ സ്ഥാനമാണ്. എഫ്(x,വൈ) = സി. സമവാക്യം ydy = xdx(ചിത്രം 1) - വേർതിരിക്കാവുന്ന വേരിയബിളുകൾക്കൊപ്പം, അതുപോലെ തന്നെ - മൊത്തം ഡിഫറൻഷ്യലുകളിൽ: രണ്ടാമത്തേത് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ അത് ഫോമിൽ എഴുതുന്നു ydy – xdx= 0, അതായത്. ഡി(വൈ 2 – x 2) = 0. പ്രവർത്തനം എഫ്(x,വൈ) ഈ സാഹചര്യത്തിൽ (1/2)( വൈ 2 – x 2); അതിൻ്റെ ചില സ്ഥിരമായ ലെവൽ ലൈനുകൾ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 1.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ "ഫസ്റ്റ് ഡിഗ്രി" യുടെ സമവാക്യങ്ങളാണ് - അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷനും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും അത്തരം സമവാക്യങ്ങളിൽ ആദ്യ ഡിഗ്രി വരെ മാത്രമേ ദൃശ്യമാകൂ. അങ്ങനെ, ആദ്യ ഓർഡർ ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് രൂപമുണ്ട് dy/dx + പി(x) = q(x), എവിടെ പി(x) ഒപ്പം q(x) - മാത്രം ആശ്രയിക്കുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങൾ x. അറിയപ്പെടുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ പരിഹാരം എല്ലായ്പ്പോഴും എഴുതാം. മറ്റ് പല തരത്തിലുള്ള ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും പ്രത്യേക സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു.

ഉയർന്ന ഓർഡർ സമവാക്യങ്ങൾ.

ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞർ അഭിമുഖീകരിക്കുന്ന പല ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളും രണ്ടാം-ക്രമ സമവാക്യങ്ങളാണ് (അതായത്, രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നുള്ള ലളിതമായ ഹാർമോണിക് ചലനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം). എംഡി 2 x/dt 2 = –kx. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഒരു രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വ്യവസ്ഥകൾ നിറവേറ്റുന്ന ഭാഗിക പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കാം; ഉദാഹരണത്തിന്, സൊല്യൂഷൻ കർവ് ഒരു നിശ്ചിത ദിശയിൽ ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകണമെന്ന് ഒരാൾ ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ ചില പരാമീറ്റർ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ (സാഹചര്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ), ആവശ്യമായ തരത്തിലുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ മാത്രം ചില മൂല്യങ്ങൾഈ പരാമീറ്റർ. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക എംഡി 2 x/dt 2 = –kxഞങ്ങൾ അത് ആവശ്യപ്പെടും വൈ(0) = വൈ(1) = 0. പ്രവർത്തനം വൈє 0 വ്യക്തമായും ഒരു പരിഹാരമാണ്, എന്നാൽ ഇത് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഗുണിതമാണെങ്കിൽ പി, അതായത്. കെ = എം 2 എൻ 2 പി 2, എവിടെ എൻഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ മാത്രം, മറ്റ് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്, അതായത്: വൈ= പാപം npx. സമവാക്യത്തിന് പ്രത്യേക പരിഹാരങ്ങളുള്ള പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങളെ സ്വഭാവം അല്ലെങ്കിൽ ഈജൻ മൂല്യങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു; പല ജോലികളിലും അവർ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു.

ലളിതമായ ഹാർമോണിക് ചലനത്തിൻ്റെ സമവാക്യം ഒരു പ്രധാന സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ്, അതായത് സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. കൂടുതൽ പൊതു ഉദാഹരണം(രണ്ടാമത്തെ ക്രമവും) - സമവാക്യം

എവിടെ എഒപ്പം ബി- നൽകിയ സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ, എഫ്(x) നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനാണ്. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും പലവിധത്തിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇൻ്റഗ്രൽ ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം ഉപയോഗിക്കുന്നു. സ്ഥിരമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചും ഇതുതന്നെ പറയാം. അവരും ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾവേരിയബിൾ സാധ്യതകളോടെ.

നോൺ-ലീനിയർ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷനുകളും അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ ഉയർന്നതോ അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായതോ ആയ പവറുകളിലേക്കുള്ള സമവാക്യങ്ങളെ നോൺലീനിയർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. IN സമീപ വർഷങ്ങളിൽഅവർ കൂടുതൽ കൂടുതൽ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കുന്നു. ഭൗതിക സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണയായി ആദ്യത്തെ ഏകദേശ കണക്കിന് മാത്രമേ രേഖീയമാകൂ എന്നതാണ് വസ്തുത; കൂടുതൽ കൃത്യമായ ഗവേഷണത്തിന്, ചട്ടം പോലെ, രേഖീയമല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം ആവശ്യമാണ്. കൂടാതെ, പല പ്രശ്നങ്ങളും പ്രകൃതിയിൽ രേഖീയമല്ല. രേഖീയമല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ പലപ്പോഴും വളരെ സങ്കീർണ്ണവും ലളിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ പ്രയാസമുള്ളതുമായതിനാൽ, ഒരു പ്രധാന ഭാഗം ആധുനിക സിദ്ധാന്തംഅവരുടെ പെരുമാറ്റത്തിൻ്റെ ഗുണപരമായ വിശകലനത്തിന് സമർപ്പിക്കുന്നു, അതായത്. സമവാക്യം പരിഹരിക്കാതെ, മൊത്തത്തിലുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ച് കാര്യമായ എന്തെങ്കിലും പറയാൻ സാധ്യമാക്കുന്ന രീതികളുടെ വികസനം: ഉദാഹരണത്തിന്, അവയെല്ലാം പരിമിതമാണ്, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ആനുകാലിക സ്വഭാവം ഉണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പ്രത്യേക രീതിയിൽ ആശ്രയിക്കുന്നു ഗുണകങ്ങൾ.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള ഏകദേശ പരിഹാരങ്ങൾ സംഖ്യാപരമായി കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, എന്നാൽ ഇതിന് ധാരാളം സമയം ആവശ്യമാണ്. അതിവേഗ കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെ ആവിർഭാവത്തോടെ, ഈ സമയം വളരെ കുറഞ്ഞു, ഇത് മുമ്പ് അത്തരമൊരു പരിഹാരത്തിന് അപ്രസക്തമായിരുന്ന പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും സംഖ്യാപരമായ പരിഹാരത്തിനുള്ള പുതിയ സാധ്യതകൾ തുറന്നു.

അസ്തിത്വ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ.

അസ്തിത്വ സിദ്ധാന്തം എന്നത് ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് പ്രസ്താവിക്കുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തമാണ്. പരിഹാരങ്ങളില്ലാത്തതോ പ്രതീക്ഷിച്ചതിലും കൂടുതൽ ഉള്ളതോ ആയ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്. ഒരു അസ്തിത്വ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം, തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥത്തിൽ ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് നമ്മെ ബോധ്യപ്പെടുത്തുകയും, മിക്കപ്പോഴും അതിന് ആവശ്യമായ തരത്തിലുള്ള ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് ഉറപ്പുനൽകുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ ഇതിനകം നേരിട്ട സമവാക്യം dy/dx = –2വൈവിമാനത്തിൻ്റെ ഓരോ പോയിൻ്റിലൂടെയും കൃത്യമായി ഒരു പരിഹാരമുണ്ട് ( x,വൈ), ഞങ്ങൾ ഇതിനകം അത്തരമൊരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തിയതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം പൂർണ്ണമായും പരിഹരിച്ചു. മറുവശത്ത്, സമവാക്യം ( dy/dx) 2 = 1 – വൈ 2 ന് നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്. അവയിൽ നേരായവയാണ് വൈ = 1, വൈ= –1 ഒപ്പം വളവുകളും വൈ= പാപം( x + സി). പരിഹാരത്തിൽ ഈ നേർരേഖകളുടെയും വളവുകളുടെയും നിരവധി ഭാഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കാം, കോൺടാക്റ്റ് പോയിൻ്റുകളിൽ പരസ്പരം കടന്നുപോകുന്നു (ചിത്രം 2).

ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു അജ്ഞാത ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു പ്രസ്താവനയാണ് ഒരു സാധാരണ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം. ഒരു ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിൽ രണ്ടോ അതിലധികമോ വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്ഷനും കുറഞ്ഞത് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരിയബിളുകളുമായുള്ള ആ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ, അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളാണ് ലാപ്ലേസിൻ്റെ സമവാക്യം

X, വൈ) മൂല്യങ്ങളാണെങ്കിൽ സർക്കിളിനുള്ളിൽ യുബൗണ്ടിംഗ് സർക്കിളിൻ്റെ ഓരോ പോയിൻ്റിലും വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ ഒന്നിൽക്കൂടുതൽ വേരിയബിളുകളുമായുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നതിനുപകരം നിയമമായതിനാൽ, ഭാഗിക ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വിഷയം എത്രത്തോളം വിശാലമാണെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

നൽകിയത് ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ ഓൺലൈനിൽ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഒരു അപ്പോസ്‌ട്രോഫിയിലൂടെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഉചിതമായ ഫീൽഡിൽ നിങ്ങളുടെ സമവാക്യം നൽകിയാൽ മതി, കൂടാതെ ജനപ്രിയ വോൾഫ്രാം ആൽഫ വെബ്‌സൈറ്റിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നടപ്പിലാക്കിയ സിസ്റ്റം വിശദമായി നൽകും ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നുതികച്ചും സൗജന്യം. നിങ്ങൾക്ക് Cauchy പ്രശ്നം നിർവചിക്കാം, അങ്ങനെ മുഴുവൻ സെറ്റിൽ നിന്നും സാധ്യമായ പരിഹാരങ്ങൾനൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് അനുയോജ്യമായ ഘടകം തിരഞ്ഞെടുക്കുക. Cauchy പ്രശ്നം ഒരു പ്രത്യേക ഫീൽഡിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ട്.

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം

സ്ഥിരസ്ഥിതിയായി, സമവാക്യത്തിലെ പ്രവർത്തനം വൈഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രവർത്തനമാണ് x. എന്നിരുന്നാലും, വേരിയബിളിന് നിങ്ങളുടെ സ്വന്തം പദവി വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യത്തിൽ y(t) എന്ന് എഴുതിയാൽ, കാൽക്കുലേറ്റർ അത് സ്വയമേവ തിരിച്ചറിയും വൈഒരു വേരിയബിളിൽ നിന്ന് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട് ടി. ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൻ്റെ സഹായത്തോടെ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകഏതെങ്കിലും സങ്കീർണ്ണതയും തരവും: ഏകതാനവും അസമവും, രേഖീയമോ അല്ലാത്തതോ, ആദ്യ ക്രമമോ രണ്ടാമത്തേതും ഉയർന്നതുമായ ഓർഡറുകൾ, വേർതിരിക്കാവുന്നതോ വേർതിരിക്കാനാവാത്തതോ ആയ വേരിയബിളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ മുതലായവ. പരിഹാരം വ്യത്യാസം. സമവാക്യം വിശകലന രൂപത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഉണ്ട് വിശദമായ വിവരണം. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും വ്യത്യസ്ത സമവാക്യങ്ങൾ വളരെ സാധാരണമാണ്. അവ കണക്കാക്കാതെ, പല പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കുക അസാധ്യമാണ് (പ്രത്യേകിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്ര ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ).

ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഘട്ടം ഫംഗ്ഷനുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുക എന്നതാണ്. ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് സ്റ്റാൻഡേർഡ് രീതികളുണ്ട്. വേരിയബിളുകൾ y, x എന്നിവയുള്ള ഒരു രൂപത്തിലേക്ക് സമവാക്യങ്ങൾ കുറയ്ക്കുകയും വേർതിരിച്ച ഫംഗ്ഷനുകൾ പ്രത്യേകം സംയോജിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ചിലപ്പോൾ ഒരു പ്രത്യേക മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്.