|
ട്രപസോയിഡ് രീതി
പ്രധാന ലേഖനം:ട്രപസോയിഡ് രീതി
ഓരോ ഭാഗിക സെഗ്‌മെൻ്റുകളിലെയും പ്രവർത്തനം ഒരു നേർരേഖയിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഏകദേശം കണക്കാക്കിയാൽ അന്തിമ മൂല്യങ്ങൾ, അപ്പോൾ നമുക്ക് ട്രപസോയ്ഡൽ രീതി ലഭിക്കും.
ഓരോ വിഭാഗത്തിലും ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം:
ഓരോ സെഗ്‌മെൻ്റിലെയും ഏകദേശ പിശക്:
 എവിടെ 
സമ്പൂർണ്ണ ഫോർമുലമുഴുവൻ സംയോജന ഇടവേളയും തുല്യ ദൈർഘ്യമുള്ള ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുമ്പോൾ ട്രപസോയിഡ്:
 എവിടെ
ട്രപസോയിഡ് ഫോർമുല പിശക്:
 എവിടെ 
സിംസൻ്റെ രീതി.
 ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് f(x)മാറ്റി ഇൻ്റർപോളേഷൻ ബഹുപദംരണ്ടാം ബിരുദം P(x)- മൂന്ന് നോഡുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു പരവലയം, ഉദാഹരണത്തിന്, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ((1) - ഫംഗ്ഷൻ, (2) - പോളിനോമിയൽ).
നമുക്ക് സംയോജനത്തിൻ്റെ രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം ( എച്ച്= കോൺസ്റ്റ് = x i+1 - x i), അതായത്, മൂന്ന് നോഡുകൾ x 0, x 1, x 2ന്യൂട്ടൻ്റെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഒരു പരാബോള വരയ്ക്കുന്നു:
അനുവദിക്കുക z = x - x 0,
പിന്നെ
ഇപ്പോൾ, ലഭിച്ച ബന്ധം ഉപയോഗിച്ച്, ഈ ഇടവേളയിലെ അവിഭാജ്യത ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:
.
വേണ്ടി യൂണിഫോം മെഷ്ഒപ്പം ഘട്ടങ്ങളുടെ ഇരട്ട എണ്ണം nസിംപ്‌സണിൻ്റെ സൂത്രവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു:
ഇവിടെ  , എ  ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ നാലാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ തുടർച്ചയുടെ അനുമാനത്തിന് കീഴിൽ.
[തിരുത്തുക] വർദ്ധിച്ച കൃത്യത
മുഴുവൻ ഇൻ്റഗ്രേഷൻ ഇടവേളയിലും ഒരൊറ്റ പോളിനോമിയൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏകദേശ കണക്ക്, ഒരു ചട്ടം പോലെ, ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതിൽ ഒരു വലിയ പിശകിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.
പിശക് കുറയ്ക്കുന്നതിന്, സംയോജന വിഭാഗത്തെ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുകയും അവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും സമഗ്രത വിലയിരുത്തുന്നതിന് ഒരു സംഖ്യാ രീതി ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
പാർട്ടീഷനുകളുടെ എണ്ണം അനന്തതയിലേക്ക് നീങ്ങുന്നതിനാൽ, ഏതെങ്കിലും സംഖ്യാ രീതിക്ക് അനലിറ്റിക്കൽ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായുള്ള അതിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യത്തിലേക്ക് ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റ് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു.
മുകളിലുള്ള രീതികൾ ഘട്ടം പകുതിയായി കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ലളിതമായ നടപടിക്രമം അനുവദിക്കുന്നു, ഓരോ ഘട്ടത്തിലും ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ പുതുതായി ചേർത്ത നോഡുകളിൽ മാത്രം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. കണക്കുകൂട്ടൽ പിശക് കണക്കാക്കാൻ, Runge's rule ഉപയോഗിക്കുന്നു.
റൂഞ്ചിൻ്റെ നിയമത്തിൻ്റെ പ്രയോഗം
എഡിറ്റ്] ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുന്നതിൻ്റെ കൃത്യത വിലയിരുത്തുന്നു
തിരഞ്ഞെടുത്ത സൂത്രവാക്യം (ദീർഘചതുരങ്ങൾ, ട്രപസോയിഡുകൾ, സിംസൺ പരാബോളകൾ) ഉപയോഗിച്ച് n-ന് തുല്യമായ ഘട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണം, തുടർന്ന് 2n-ന് തുല്യമായ ഘട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണം എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുന്നു. 2n ന് തുല്യമായ നിരവധി ഘട്ടങ്ങളുള്ള ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നതിലെ പിശക് നിർണ്ണയിക്കുന്നത് റൂഞ്ച് ഫോർമുലയാണ്:
, ദീർഘചതുരങ്ങളുടെയും ട്രപസോയിഡുകളുടെയും സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്കും സിംപ്സൺ ഫോർമുലയ്ക്കും.
അങ്ങനെ, ഘട്ടങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ തുടർച്ചയായ മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുന്നു, ഇവിടെ n 0 എന്നത് ഘട്ടങ്ങളുടെ പ്രാരംഭ സംഖ്യയാണ്. ε എന്നത് നിർദിഷ്ട കൃത്യതയുള്ള അടുത്ത മൂല്യമായ N-ന് വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാകുമ്പോൾ കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രക്രിയ അവസാനിക്കുന്നു.
പിശക് പെരുമാറ്റത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ.
എന്തുകൊണ്ടാണ് വിശകലനം ചെയ്യുന്നതെന്ന് തോന്നുന്നു വ്യത്യസ്ത രീതികൾനമുക്ക് നേടാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ഏകീകരണം ഉയർന്ന കൃത്യത, സംയോജന ഘട്ടത്തിൻ്റെ വലുപ്പം കുറയ്ക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, പിൻഭാഗത്തെ പിശകിൻ്റെ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുക ആർഅടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സംഖ്യാ കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ  നമ്പറിൽ നിന്നും എൻഇടവേള പാർട്ടീഷനുകൾ (അതായത്, ഘട്ടത്തിൽ . സെക്ഷൻ (1) ൽ, ഘട്ടം h ൻ്റെ കുറവ് കാരണം പിശക് കുറയുന്നു. എന്നാൽ വിഭാഗം (2) ൽ, നിരവധി ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി കംപ്യൂട്ടേഷണൽ പിശക് ആധിപത്യം സ്ഥാപിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു. അങ്ങനെ, ഓരോന്നും രീതിക്ക് അതിൻ്റേതായ ഉണ്ട് Rmin, ഇത് പല ഘടകങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, പക്ഷേ പ്രാഥമികമായി രീതി പിശകിൻ്റെ ഒരു പ്രിയോറി മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു ആർ.
റോംബർഗിൻ്റെ വ്യക്തമായ സൂത്രവാക്യം.
പാർട്ടീഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിൽ ഒന്നിലധികം വർദ്ധനയോടെ ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ മൂല്യം ക്രമാനുഗതമായി ശുദ്ധീകരിക്കുന്നതാണ് റോംബർഗിൻ്റെ രീതി. ഏകീകൃത ഘട്ടങ്ങളുള്ള ട്രപസോയിഡുകളുടെ ഫോർമുല അടിസ്ഥാനമായി എടുക്കാം എച്ച്.
പാർട്ടീഷനുകളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് നമുക്ക് ഇൻ്റഗ്രൽ സൂചിപ്പിക്കാം എൻ= 1 ആയി  .
ഘട്ടം പകുതിയായി കുറച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും  .
ഞങ്ങൾ ഘട്ടം 2 n തവണ തുടർച്ചയായി കുറയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ആവർത്തന ബന്ധം നമുക്ക് ലഭിക്കും.
നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾവീണ്ടും ഹലോ. ഈ പാഠത്തിൽ, ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യമായ ഒരു അത്ഭുതകരമായ കാര്യം ഞങ്ങൾ വിശദമായി പരിശോധിക്കും. ഇത്തവണ ആമുഖം ചെറുതായിരിക്കും. എല്ലാം. കാരണം ജാലകത്തിന് പുറത്ത് ഒരു മഞ്ഞുവീഴ്ചയുണ്ട്. കൃത്യമായ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത്:
1) കഴിയും കണ്ടെത്തുകഅനിശ്ചിത അവിഭാജ്യങ്ങൾ.
2) കഴിയും കണക്കാക്കുകനിശ്ചിത അവിഭാജ്യ.
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ മാസ്റ്റർ ചെയ്യുന്നതിന്, "സാധാരണ" അനിശ്ചിതത്വ ഇൻ്റഗ്രലുകളെ കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് നല്ല ധാരണ ഉണ്ടായിരിക്കണം. അതിനാൽ, നിങ്ങൾ ഇൻ്റഗ്രൽ കാൽക്കുലസിലേക്ക് മുങ്ങാൻ തുടങ്ങുകയും കെറ്റിൽ ഇതുവരെ തിളപ്പിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിൽ, പാഠത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യ. പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.
IN പൊതുവായ കാഴ്ചനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:
അനിശ്ചിതത്വ അവിഭാജ്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ എന്താണ് ചേർത്തിരിക്കുന്നത്? കൂടുതൽ സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ.
സംയോജനത്തിൻ്റെ താഴ്ന്ന പരിധി
സംയോജനത്തിൻ്റെ ഉയർന്ന പരിധിഅക്ഷരം കൊണ്ട് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആയി സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
സെഗ്മെൻ്റിനെ വിളിക്കുന്നു സംയോജനത്തിൻ്റെ വിഭാഗം.
ഞങ്ങൾ എത്തുന്നതിന് മുമ്പ് പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങൾ, നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു ചെറിയ ഫാക്.
ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ പരിഹരിക്കുക എന്നതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്?ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.
ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?സ്കൂളിൽ നിന്ന് പരിചിതമായ ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:
ഒരു പ്രത്യേക കടലാസിൽ ഫോർമുല മാറ്റിയെഴുതുന്നതാണ് നല്ലത്; പാഠത്തിലുടനീളം അത് നിങ്ങളുടെ കണ്ണുകൾക്ക് മുന്നിലായിരിക്കണം.
ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഘട്ടങ്ങൾ ഇപ്രകാരമാണ്:
1) ആദ്യം നമ്മൾ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ (അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ) കണ്ടെത്തുന്നു. നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിലെ സ്ഥിരാങ്കം എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക ചേർത്തിട്ടില്ല. പദവി പൂർണ്ണമായും സാങ്കേതികമാണ്, കൂടാതെ ലംബമായ വടിക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അർത്ഥമില്ല, അത് ഒരു അടയാളപ്പെടുത്തൽ മാത്രമാണ്. റെക്കോർഡിംഗ് തന്നെ ആവശ്യമായിരിക്കുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്? ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള തയ്യാറെടുപ്പ്.
2) ഉയർന്ന പരിധിയുടെ മൂല്യം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: .
3) താഴത്തെ പരിധിയുടെ മൂല്യം ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക: .
4) ഞങ്ങൾ (പിശകുകളില്ലാതെ!) വ്യത്യാസം കണക്കാക്കുന്നു, അതായത്, ഞങ്ങൾ നമ്പർ കണ്ടെത്തുന്നു.
ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഘടകം എപ്പോഴും നിലവിലുണ്ടോ?ഇല്ല, എപ്പോഴും അല്ല.
ഉദാഹരണത്തിന്, ഇൻ്റഗ്രൽ നിലവിലില്ല, കാരണം സംയോജനത്തിൻ്റെ സെഗ്മെൻ്റ് ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല (കീഴിലുള്ള മൂല്യങ്ങൾ സ്ക്വയർ റൂട്ട്നെഗറ്റീവ് ആകാൻ കഴിയില്ല). വ്യക്തമല്ലാത്ത ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ: സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ പോയിൻ്റുകളിൽ ടാൻജെൻ്റ് ഇല്ലാത്തതിനാൽ അത്തരമൊരു അവിഭാജ്യവും നിലവിലില്ല. പറയട്ടെ, ആരാണ് ഇതുവരെ വായിക്കാത്തത്? രീതിശാസ്ത്രപരമായ മെറ്റീരിയൽ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗ്രാഫുകളും അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളും- അത് ചെയ്യാനുള്ള സമയമാണിത്. ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ മുഴുവൻ സമയത്തും സഹായിക്കാൻ ഇത് വളരെ മികച്ചതായിരിക്കും.
അതിനായി ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഘടകം നിലനിൽക്കണമെങ്കിൽ, സംയോജനത്തിൻ്റെ ഇടവേളയിൽ സംയോജനം തുടർച്ചയായിരുന്നാൽ മതി.
മേൽപ്പറഞ്ഞവയിൽ നിന്ന്, ആദ്യത്തെ പ്രധാന ശുപാർശ താഴെ പറയുന്നു: ഏതെങ്കിലും നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, നിങ്ങൾ ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് ഫംഗ്ഷൻ ഉറപ്പാക്കേണ്ടതുണ്ട്. സംയോജനത്തിൻ്റെ ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായാണ്. ഞാൻ ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയായിരിക്കുമ്പോൾ, ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിൽ വളരെക്കാലം പോരാടിയപ്പോൾ എനിക്ക് ആവർത്തിച്ച് ഒരു സംഭവം ഉണ്ടായി, ഒടുവിൽ ഞാൻ അത് കണ്ടെത്തിയപ്പോൾ, മറ്റൊരു ചോദ്യത്തിൽ ഞാൻ എൻ്റെ തലച്ചോറിനെ അലട്ടി: "എന്തൊരു വിഡ്ഢിത്തമാണ് അത് മാറിയത് ?" ഒരു ലളിതമായ പതിപ്പിൽ, സാഹചര്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:  ???! നിങ്ങൾക്ക് റൂട്ടിന് കീഴിൽ നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയില്ല! ഇതെന്താ നരകം?! പ്രാരംഭ അശ്രദ്ധ.
പരിഹരിക്കണമെങ്കിൽ (ഇൻ ടെസ്റ്റ് വർക്ക്, ഒരു ടെസ്റ്റിൽ, പരീക്ഷയിൽ) നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നോൺ-ഇസ്‌റ്റിഗ്രൽ ഇൻ്റഗ്രൽ ഓഫർ ചെയ്യുന്നു, അപ്പോൾ ഇൻ്റഗ്രൽ നിലവിലില്ല എന്ന ഉത്തരം നൽകുകയും എന്തുകൊണ്ടെന്ന് ന്യായീകരിക്കുകയും വേണം.
നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കാമോ നെഗറ്റീവ് നമ്പർ?
ഒരുപക്ഷേ. ഒപ്പം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയും. കൂടാതെ പൂജ്യം. ഇത് അനന്തമായി മാറിയേക്കാം, പക്ഷേ അത് ഇതിനകം തന്നെ ആയിരിക്കും അനുചിതമായ ഇൻ്റഗ്രൽ, ഒരു പ്രത്യേക പ്രഭാഷണം നൽകുന്നു.
സംയോജനത്തിൻ്റെ താഴ്ന്ന പരിധി, സംയോജനത്തിൻ്റെ ഉയർന്ന പരിധിയേക്കാൾ കൂടുതലാകുമോ?ഒരുപക്ഷേ ഈ സാഹചര്യം പ്രായോഗികമായി സംഭവിക്കാം.
- ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഇൻ്റഗ്രൽ എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം.
ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്തത് എന്താണ്? തീർച്ചയായും, എല്ലാത്തരം പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഇല്ലാതെ. അതിനാൽ, നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിൻ്റെ ചില സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.
ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് മുകളിലും താഴെയുമുള്ള പരിധികൾ പുനഃക്രമീകരിക്കാം, ചിഹ്നം മാറ്റാം: 
ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിൽ, സംയോജനത്തിന് മുമ്പ്, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ "സാധാരണ" ക്രമത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്നത് ഉചിതമാണ്:
 - ഈ രൂപത്തിൽ സംയോജിപ്പിക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.
 - ഇത് രണ്ടിന് മാത്രമല്ല, ഏത് ഫംഗ്ഷനുകൾക്കും ശരിയാണ്.
ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിൽ ഒരാൾക്ക് നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും ഇൻ്റഗ്രേഷൻ വേരിയബിളിൻ്റെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ, എന്നിരുന്നാലും, അനിശ്ചിതത്വ അവിഭാജ്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഇതിന് അതിൻ്റേതായ പ്രത്യേകതകൾ ഉണ്ട്, അത് ഞങ്ങൾ പിന്നീട് സംസാരിക്കും.
ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്നവ ശരിയാണ്: ഭാഗങ്ങളുടെ സൂത്രവാക്യം വഴിയുള്ള സംയോജനം:
ഉദാഹരണം 1
പരിഹാരം:
(1) അവിഭാജ്യ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ സ്ഥിരാങ്കം എടുക്കുന്നു.
(2) ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പട്ടികയിൽ സംയോജിപ്പിക്കുക  . ഉയർന്നുവരുന്ന സ്ഥിരാങ്കത്തെ വേർതിരിച്ച് ബ്രാക്കറ്റിന് പുറത്ത് വെക്കുന്നത് നല്ലതാണ്. ഇത് ചെയ്യേണ്ട ആവശ്യമില്ല, പക്ഷേ അത് അഭികാമ്യമാണ് - എന്തിനാണ് അധിക കണക്കുകൂട്ടലുകൾ?
 . ആദ്യം ഞങ്ങൾ ഉയർന്ന പരിധി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, തുടർന്ന് താഴ്ന്ന പരിധി. ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുകയും അന്തിമ ഉത്തരം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു.
ഉദാഹരണം 2
നിശ്ചിത സമഗ്രത കണക്കാക്കുക
ഇത് നിങ്ങൾക്ക് സ്വന്തമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ്, പരിഹാരവും ഉത്തരവും പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിലാണ്.
നമുക്ക് ചുമതല അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം:
ഉദാഹരണം 3
നിശ്ചിത സമഗ്രത കണക്കാക്കുക
പരിഹാരം:
(1) ഞങ്ങൾ നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ രേഖീയ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.
(2) ഞങ്ങൾ പട്ടിക അനുസരിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കുന്നു, എല്ലാ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളും പുറത്തെടുക്കുമ്പോൾ - അവ മുകളിലും താഴെയുമുള്ള പരിധികൾക്ക് പകരമായി പങ്കെടുക്കില്ല.
(3) മൂന്ന് പദങ്ങളിൽ ഓരോന്നിനും ഞങ്ങൾ ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നു:
കൃത്യമായ ഇൻ്റഗ്രലിലെ ദുർബലമായ ലിങ്ക് കണക്കുകൂട്ടൽ പിശകുകളും അടയാളങ്ങളിലെ പൊതുവായ ആശയക്കുഴപ്പവുമാണ്. ശ്രദ്ധാലുവായിരിക്കുക! പ്രത്യേക ശ്രദ്ധഞാൻ മൂന്നാം ടേമിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു:  - അശ്രദ്ധമൂലമുള്ള പിശകുകളുടെ ഹിറ്റ് പരേഡിൽ ഒന്നാം സ്ഥാനം, മിക്കപ്പോഴും അവ സ്വയമേവ എഴുതുന്നു  (പ്രത്യേകിച്ച് മുകളിലും താഴെയുമുള്ള പരിധികൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് വാക്കാലുള്ളതും അത്ര വിശദമായി എഴുതാത്തതും ആയപ്പോൾ). ഒരിക്കൽ കൂടി, മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം പഠിക്കുക.
ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന രീതി ഒന്നല്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. കുറച്ച് അനുഭവം ഉണ്ടെങ്കിൽ, പരിഹാരം ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇതുപോലുള്ള ഇൻ്റഗ്രലുകൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞാൻ തന്നെ പതിവാണ്:
ഇവിടെ ഞാൻ രേഖീയതയുടെ നിയമങ്ങൾ വാമൊഴിയായി ഉപയോഗിക്കുകയും പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് വാക്കാലുള്ള സംയോജനം നടത്തുകയും ചെയ്തു. അടയാളപ്പെടുത്തിയ പരിധികളുള്ള ഒരു ബ്രാക്കറ്റിൽ ഞാൻ അവസാനിച്ചു:  (ആദ്യ രീതിയിലുള്ള മൂന്ന് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി). "മുഴുവൻ" ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷനിലേക്ക്, ഞാൻ ആദ്യം 4 മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചു, തുടർന്ന് -2, വീണ്ടും എൻ്റെ മനസ്സിലെ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും ചെയ്തു.
ഹ്രസ്വ പരിഹാരത്തിൻ്റെ ദോഷങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്? കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ യുക്തിസഹതയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് ഇവിടെ എല്ലാം വളരെ നല്ലതല്ല, പക്ഷേ വ്യക്തിപരമായി ഞാൻ കാര്യമാക്കുന്നില്ല - സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾഞാൻ ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിൽ എണ്ണുന്നു.
കൂടാതെ, കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഒരു പിശക് ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത കൂടുതലാണ്, അതിനാൽ ഒരു ടീ വിദ്യാർത്ഥിക്ക് "എൻ്റെ" രീതി പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ആദ്യ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്, അടയാളം തീർച്ചയായും എവിടെയെങ്കിലും നഷ്ടപ്പെടും.
എന്നിരുന്നാലും നിസ്സംശയമായ നേട്ടങ്ങൾരണ്ടാമത്തെ രീതി, പരിഹാരത്തിൻ്റെ വേഗത, നൊട്ടേഷൻ്റെ ഒതുക്കം, ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു ബ്രാക്കറ്റിലാണെന്ന വസ്തുത എന്നിവയാണ്.
ഉപദേശം: ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഇത് പരിശോധിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്: ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് തന്നെ ശരിയായി കണ്ടെത്തിയോ?
അതിനാൽ, പരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്: ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മുകളിലും താഴെയുമുള്ള പരിധികൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ശരിയായി കണ്ടെത്തിയോ എന്ന് ഡ്രാഫ്റ്റിൽ പരിശോധിക്കുന്നത് ഉചിതമാണോ? നമുക്ക് വേർതിരിക്കാം:
യഥാർത്ഥ ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് ഫംഗ്ഷൻ ലഭിച്ചു, അതായത് അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ശരിയായി കണ്ടെത്തി എന്നാണ്. ഇനി നമുക്ക് ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാം.
ഏതെങ്കിലും നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുമ്പോൾ അത്തരമൊരു പരിശോധന അതിരുകടന്നതായിരിക്കില്ല.
ഉദാഹരണം 4
നിശ്ചിത സമഗ്രത കണക്കാക്കുക
ഇത് സ്വയം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. ഹ്രസ്വവും വിശദവുമായ രീതിയിൽ ഇത് പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.
ഒരു വേരിയബിൾ ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിൽ മാറ്റുന്നു
ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിന്, അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിന് എല്ലാത്തരം സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷനുകളും സാധുവാണ്. അതിനാൽ, നിങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുന്നതിൽ വളരെ മികച്ചതല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ പാഠം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കണം അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിൽ സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി.
ഈ ഖണ്ഡികയിൽ ഭയപ്പെടുത്തുന്നതോ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതോ ആയ ഒന്നുമില്ല. എന്ന ചോദ്യത്തിലാണ് പുതുമ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ ഏകീകരണത്തിൻ്റെ പരിധികൾ എങ്ങനെ മാറ്റാം.
ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, സൈറ്റിൽ എവിടെയും ഇതുവരെ കണ്ടെത്തിയിട്ടില്ലാത്ത തരങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ഞാൻ ശ്രമിക്കും.
ഉദാഹരണം 5
നിശ്ചിത സമഗ്രത കണക്കാക്കുക
ഇവിടെ പ്രധാന ചോദ്യം കൃത്യമായ അവിഭാജ്യത്തെക്കുറിച്ചല്ല, പകരം എങ്ങനെ ശരിയായി നടപ്പിലാക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചാണ്. നമുക്ക് നോക്കാം ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ പട്ടികഞങ്ങളുടെ ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് ഫംഗ്ഷൻ ഏറ്റവും കൂടുതൽ എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് കണ്ടെത്തുക? വ്യക്തമായും, നീണ്ട ലോഗരിതത്തിന്:  . എന്നാൽ ഒരു പൊരുത്തക്കേടുണ്ട്, പട്ടികയിൽ റൂട്ടിന് കീഴിലുള്ള അവിഭാജ്യമുണ്ട്, ഞങ്ങളുടേത് - “x” മുതൽ നാലാമത്തെ ശക്തി വരെ. മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനുള്ള ആശയവും യുക്തിയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു - എങ്ങനെയെങ്കിലും ഞങ്ങളുടെ നാലാമത്തെ ഡിഗ്രി ഒരു ചതുരമാക്കി മാറ്റുന്നത് നന്നായിരിക്കും. ഇത് യഥാർത്ഥമാണ്.
ആദ്യം, മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനായി ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ഇൻ്റഗ്രൽ തയ്യാറാക്കുന്നു:
മേൽപ്പറഞ്ഞ പരിഗണനകളിൽ നിന്ന്, ഒരു പകരം വയ്ക്കൽ സ്വാഭാവികമായി ഉയർന്നുവരുന്നു:
അങ്ങനെ, ഡിനോമിനേറ്ററിൽ എല്ലാം ശരിയാകും: .
ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന ഭാഗം എന്തായി മാറുമെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ കണ്ടെത്തുന്നു:
അനിശ്ചിതത്വ ഇൻ്റഗ്രലിലെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കലുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഒരു അധിക ഘട്ടം ചേർക്കുന്നു.
സംയോജനത്തിൻ്റെ പുതിയ പരിധികൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്. നമുക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കലും സംയോജനത്തിൻ്റെ പഴയ പരിധികളും നോക്കാം.
ആദ്യം, ഞങ്ങൾ സംയോജനത്തിൻ്റെ താഴ്ന്ന പരിധി, അതായത് പൂജ്യം, പകരം വയ്ക്കൽ എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:
തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ സംയോജനത്തിൻ്റെ ഉയർന്ന പരിധി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അതായത് മൂന്നിൻ്റെ റൂട്ട്:
തയ്യാറാണ്. പിന്നെ വെറുതെ...
നമുക്ക് പരിഹാരം തുടരാം.
(1) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ അനുസരിച്ച് സംയോജനത്തിൻ്റെ പുതിയ പരിധികളുള്ള ഒരു പുതിയ ഇൻ്റഗ്രൽ എഴുതുക.
(2) ഇതാണ് ഏറ്റവും ലളിതമായ ടേബിൾ ഇൻ്റഗ്രൽ, ഞങ്ങൾ ടേബിളിന് മുകളിലൂടെ സംയോജിപ്പിക്കുന്നു. ബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്ത് സ്ഥിരാങ്കം വിടുന്നതാണ് നല്ലത് (നിങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യേണ്ടതില്ല) അങ്ങനെ അത് കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഇടപെടില്ല. വലതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ സംയോജനത്തിൻ്റെ പുതിയ പരിധികളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഒരു രേഖ വരയ്ക്കുന്നു - ഇത് ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള തയ്യാറെടുപ്പാണ്.
(3) ഞങ്ങൾ ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു  .
കഴിയുന്നത്ര ഉത്തരം എഴുതാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കുന്നു. ഒതുക്കമുള്ള രൂപം, ഇവിടെ ഞാൻ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉപയോഗിച്ചു.
അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിൽ നിന്നുള്ള മറ്റൊരു വ്യത്യാസം, ഞങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കൽ നടത്തിയതിന് ശേഷം, റിവേഴ്സ് റീപ്ലേസ്മെൻ്റുകളൊന്നും നടത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല.
ഇപ്പോൾ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമായ തീരുമാനം. എന്ത് പകരം വയ്ക്കണം - സ്വയം ഊഹിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.
ഉദാഹരണം 6
നിശ്ചിത സമഗ്രത കണക്കാക്കുക
ഉദാഹരണം 7
നിശ്ചിത സമഗ്രത കണക്കാക്കുക
നിങ്ങൾക്ക് സ്വയം തീരുമാനിക്കാനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളാണിവ. പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിൽ പരിഹാരങ്ങളും ഉത്തരങ്ങളും.
ഒപ്പം ഖണ്ഡികയുടെ അവസാനത്തിലും പ്രധാനപ്പെട്ട പോയിൻ്റുകൾ, സൈറ്റ് സന്ദർശകർക്ക് നന്ദി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടതിൻ്റെ വിശകലനം. ആദ്യത്തേത് ആശങ്കാകുലമാണ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനുള്ള നിയമസാധുത. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല!അതിനാൽ, ഉദാഹരണം 6, ഇത് ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് തോന്നുന്നു സാർവത്രിക ത്രികോണമിതി പകരം വയ്ക്കൽ, എന്നിരുന്നാലും, സംയോജനത്തിൻ്റെ ഉയർന്ന പരിധി ("പൈ")ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻഈ സ്പർശനം അതിനാൽ ഈ പകരം വയ്ക്കൽ നിയമവിരുദ്ധമാണ്! അങ്ങനെ, "മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ" പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായിരിക്കണം എല്ലാത്തിലുംസംയോജന വിഭാഗത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റുകൾ.
മറ്റൊന്നിൽ ഇമെയിൽപ്രവേശിച്ചു അടുത്ത ചോദ്യം: "ഡിഫറൻഷ്യൽ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ഫംഗ്ഷൻ ഉൾപ്പെടുത്തുമ്പോൾ സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ മാറ്റേണ്ടത് ആവശ്യമാണോ?" ആദ്യം ഞാൻ "അസംബന്ധം തള്ളിക്കളയാൻ" ആഗ്രഹിച്ചു, "തീർച്ചയായും ഇല്ല" എന്ന് സ്വയമേവ ഉത്തരം നൽകാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിച്ചു, എന്നാൽ അത്തരമൊരു ചോദ്യത്തിൻ്റെ കാരണത്തെക്കുറിച്ച് ഞാൻ ചിന്തിച്ചു, പെട്ടെന്ന് ഒരു വിവരവുമില്ലെന്ന് കണ്ടെത്തി.
പോരാ. എന്നാൽ ഇത് വ്യക്തമാണെങ്കിലും വളരെ പ്രധാനമാണ്:
ഡിഫറൻഷ്യൽ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ ഉൾപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ മാറ്റേണ്ട ആവശ്യമില്ല! എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ പുതിയ വേരിയബിളിലേക്ക് യഥാർത്ഥ പരിവർത്തനം ഇല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്:
സംയോജനത്തിൻ്റെ പുതിയ പരിധികളുടെ തുടർന്നുള്ള "പെയിൻ്റിംഗ്" ഉപയോഗിച്ച് അക്കാദമിക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിനേക്കാൾ ഇവിടെ സംഗ്രഹം വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്. അങ്ങനെ, കൃത്യമായ ഇൻ്റഗ്രൽ വളരെ സങ്കീർണ്ണമല്ലെങ്കിൽ, എല്ലായ്‌പ്പോഴും ഫംഗ്ഷൻ ഡിഫറൻഷ്യൽ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഉൾപ്പെടുത്താൻ ശ്രമിക്കുക! ഇത് വേഗതയേറിയതാണ്, ഇത് കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ളതാണ്, ഇത് സാധാരണമാണ് - നിങ്ങൾ ഡസൻ കണക്കിന് തവണ കാണും!
നിങ്ങളുടെ കത്തുകൾക്ക് വളരെ നന്ദി!
ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിൽ ഭാഗങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്ന രീതി
ഇവിടെ പുതുമയും കുറവാണ്. ലേഖനത്തിൻ്റെ എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിലെ ഭാഗങ്ങൾ കൊണ്ടുള്ള സംയോജനംനിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിന് പൂർണ്ണമായും സാധുവാണ്.
ഭാഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിൽ ഒരു പ്ലസ് മാത്രമേയുള്ളൂ, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ ചേർത്തിരിക്കുന്നു:
ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഇവിടെ രണ്ടുതവണ പ്രയോഗിക്കണം: ഉൽപ്പന്നത്തിനും ഞങ്ങൾ ഇൻ്റഗ്രൽ എടുത്തതിനുശേഷവും.
ഉദാഹരണത്തിന്, സൈറ്റിൽ ഇതുവരെ എവിടെയും കണ്ടെത്തിയിട്ടില്ലാത്ത ഇൻ്റഗ്രൽ തരം ഞാൻ വീണ്ടും തിരഞ്ഞെടുത്തു. ഉദാഹരണം ലളിതമല്ല, പക്ഷേ വളരെ വിവരദായകമാണ്.
ഉദാഹരണം 8
നിശ്ചിത സമഗ്രത കണക്കാക്കുക
നമുക്ക് തീരുമാനിക്കാം.
നമുക്ക് ഭാഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കാം:
ഇൻ്റഗ്രലിൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ആർക്കും, പാഠം നോക്കുക ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സംയോജനം, അത് അവിടെ വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.
(1) ഭാഗങ്ങളുടെ സംയോജനത്തിൻ്റെ സൂത്രവാക്യത്തിന് അനുസൃതമായി ഞങ്ങൾ പരിഹാരം എഴുതുന്നു.
(2) ഉൽപ്പന്നത്തിന് ഞങ്ങൾ ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നു. ശേഷിക്കുന്ന അവിഭാജ്യത്തിനായി ഞങ്ങൾ രേഖീയതയുടെ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതിനെ രണ്ട് ഇൻ്റഗ്രലുകളായി വിഭജിക്കുന്നു. അടയാളങ്ങളിൽ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകരുത്!
(4) കണ്ടെത്തിയ രണ്ട് ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കായി ഞങ്ങൾ ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നു.
സത്യം പറഞ്ഞാൽ, എനിക്ക് ഫോർമുല ഇഷ്ടമല്ല.  കൂടാതെ, സാധ്യമെങ്കിൽ, ... ഞാൻ അതില്ലാതെ ചെയ്യുന്നു! എൻ്റെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ രണ്ടാമത്തെ പരിഹാരം പരിഗണിക്കാം, അത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമാണ്.
നിശ്ചിത സമഗ്രത കണക്കാക്കുക
ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ ഞാൻ അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യത കണ്ടെത്തുന്നു:
നമുക്ക് ഭാഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കാം:
ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തി. സ്ഥിരമായി അകത്ത് ഈ സാഹചര്യത്തിൽചേർക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല.
അത്തരമൊരു വർദ്ധനവിൻ്റെ പ്രയോജനം എന്താണ്? സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികൾ "ചുറ്റും" ആവശ്യമില്ല, സംയോജനത്തിൻ്റെ പരിധികളുടെ ചെറിയ ചിഹ്നങ്ങൾ ഒരു ഡസൻ തവണ എഴുതുന്നത് ക്ഷീണിതമായിരിക്കും.
രണ്ടാം ഘട്ടത്തിൽ ഞാൻ പരിശോധിക്കുന്നു(സാധാരണയായി ഡ്രാഫ്റ്റിൽ).
കൂടാതെ ലോജിക്കൽ. ഞാൻ ആൻറിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ തെറ്റായി കണ്ടെത്തിയാൽ, ഞാൻ നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ തെറ്റായി പരിഹരിക്കും. ഉടനടി കണ്ടെത്തുന്നതാണ് നല്ലത്, ഉത്തരം വേർതിരിക്കാം:
യഥാർത്ഥ ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് ഫംഗ്ഷൻ ലഭിച്ചു, അതായത് ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ശരിയായി കണ്ടെത്തി എന്നാണ്.
മൂന്നാമത്തെ ഘട്ടം ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുലയുടെ പ്രയോഗമാണ്:
കൂടാതെ ഇവിടെ കാര്യമായ പ്രയോജനമുണ്ട്! "എൻ്റെ" സൊല്യൂഷൻ രീതിയിൽ, പകരം വയ്ക്കലുകളിലും കണക്കുകൂട്ടലുകളിലും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാനുള്ള സാധ്യത വളരെ കുറവാണ് - ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഒരിക്കൽ മാത്രം പ്രയോഗിക്കുന്നു. സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ടീപോത്ത് സമാനമായ ഒരു ഇൻ്റഗ്രൽ പരിഹരിക്കുകയാണെങ്കിൽ  (ആദ്യ രീതിയിൽ), അപ്പോൾ അവൻ തീർച്ചയായും എവിടെയെങ്കിലും ഒരു തെറ്റ് ചെയ്യും.
പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന സൊല്യൂഷൻ അൽഗോരിതം ഏതെങ്കിലും നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലുകൾക്ക് പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്.
പ്രിയ വിദ്യാർത്ഥി, പ്രിൻ്റ് ചെയ്ത് സംരക്ഷിക്കുക:
സങ്കീർണ്ണമെന്ന് തോന്നുന്ന അല്ലെങ്കിൽ അത് എങ്ങനെ പരിഹരിക്കണമെന്ന് പെട്ടെന്ന് വ്യക്തമല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ നൽകിയാൽ എന്തുചെയ്യും?
1) ആദ്യം നമ്മൾ അനിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ (ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ) കണ്ടെത്തുന്നു. ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ബമ്മർ ഉണ്ടായിരുന്നുവെങ്കിൽ, ന്യൂട്ടണും ലെയ്ബ്നിസും ചേർന്ന് ബോട്ട് കൂടുതൽ കുലുക്കുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല. ഒരേയൊരു വഴിയേയുള്ളൂ - നിങ്ങളുടെ അറിവിൻ്റെ നിലവാരവും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കഴിവുകളും വർദ്ധിപ്പിക്കുക അനിശ്ചിത അവിഭാജ്യങ്ങൾ.
2) ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ വഴി കണ്ടെത്തിയ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു. അത് തെറ്റായി കണ്ടെത്തിയാൽ, മൂന്നാമത്തെ ഘട്ടം സമയം പാഴാക്കും.
3) ഞങ്ങൾ ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും വളരെ ശ്രദ്ധയോടെ നടപ്പിലാക്കുന്നു - ഇത് ടാസ്ക്കിൻ്റെ ഏറ്റവും ദുർബലമായ ലിങ്കാണ്.
കൂടാതെ, ഒരു ലഘുഭക്ഷണത്തിന്, സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഒരു അവിഭാജ്യഘടകം.
ഉദാഹരണം 9
നിശ്ചിത സമഗ്രത കണക്കാക്കുക
പരിഹാരവും ഉത്തരവും അടുത്തെവിടെയോ ഉണ്ട്.
വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അടുത്ത ശുപാർശ ചെയ്യുന്ന പാഠം ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?
നമുക്ക് ഭാഗങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് സംയോജിപ്പിക്കാം:
നിങ്ങൾ അവ പരിഹരിച്ചുവെന്നും ഈ ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിച്ചുവെന്നും തീർച്ചയാണോ? ;-) ഒരു വൃദ്ധയുടെ അശ്ലീലവും ഉണ്ട്. |
സിദ്ധാന്തം. ചടങ്ങാണെങ്കിൽ f(x)ഇടവേളയിൽ സംയോജിപ്പിക്കാം [ എ, ബി], എവിടെ എ< b
, കൂടാതെ എല്ലാവർക്കും x ∈അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു
സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള അസമത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഒരാൾക്ക് നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത കണക്കാക്കാം, അതായത്. അതിൻ്റെ അർത്ഥം അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന അതിരുകൾ സൂചിപ്പിക്കുക. ഈ അസമത്വങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യത്തിൻ്റെ ഒരു മതിപ്പ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.
സിദ്ധാന്തം [മീൻ സിദ്ധാന്തം]. ചടങ്ങാണെങ്കിൽ f(x)ഇടവേളയിൽ സംയോജിപ്പിക്കാം [ എ, ബി] കൂടാതെ എല്ലാവർക്കും x ∈അസമത്വങ്ങൾ തൃപ്തികരമാണ് m ≤ f(x) ≤ M, അത്
എവിടെ m≤ μ≤ M.
അഭിപ്രായം. ചടങ്ങിൽ f(x)ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി [ എ, ബി], സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള സമത്വം രൂപമെടുക്കുന്നു
എവിടെ c ∈. നമ്പർ μ=f(c), ഈ ഫോർമുല നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്, വിളിക്കുന്നു ശരാശരി മൂല്യംപ്രവർത്തനങ്ങൾ f(x)വിഭാഗത്തിൽ [ എ, ബി]. ഈ സമത്വത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്നവയുണ്ട് ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം: തുടർച്ചയായ വരയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം y=f(x) (f(x) ≤ 0), ഒരേ അടിത്തറയും ഉയരവുമുള്ള ഒരു ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, ഈ വരിയിലെ ചില പോയിൻ്റിൻ്റെ ഓർഡിനേറ്റിന് തുല്യമാണ്.
തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനത്തിനുള്ള ഒരു ആൻറിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അസ്തിത്വം
ആദ്യം, ഒരു വേരിയബിൾ അപ്പർ ലിമിറ്റ് ഉള്ള ഒരു ഇൻ്റഗ്രൽ എന്ന ആശയം ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.
പ്രവർത്തനം നടക്കട്ടെ f(x)ഇടവേളയിൽ സംയോജിപ്പിക്കാം [ എ, ബി]. പിന്നെ നമ്പർ ഏതായാലും xനിന്ന് [ എ, ബി], പ്രവർത്തനം f(x)ഇടവേളയിൽ സംയോജിപ്പിക്കാം [ എ, ബി]. അതിനാൽ, ഇടവേളയിൽ [ എ, ബി] ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചു
ഒരു വേരിയബിൾ അപ്പർ ലിമിറ്റ് ഉള്ള ഒരു ഇൻ്റഗ്രൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
സിദ്ധാന്തം. ഇൻ്റഗ്രാൻഡ് ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി ആണെങ്കിൽ [ എ, ബി], അപ്പോൾ ഒരു വേരിയബിൾ അപ്പർ ലിമിറ്റ് ഉള്ള ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലുണ്ട്, അത് ഈ പരിധിക്കുള്ള ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്
അനന്തരഫലം. ഒരു വേരിയബിൾ അപ്പർ ലിമിറ്റ് ഉള്ള ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ ഒരു തുടർച്ചയായ ഇൻ്റഗ്രാൻഡിൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്നാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി നടക്കുന്ന ഏതൊരു പ്രവർത്തനത്തിനും ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്.
കുറിപ്പ് 1. ഫംഗ്ഷൻ ആണെങ്കിൽ ശ്രദ്ധിക്കുക f(x)ഇടവേളയിൽ സംയോജിപ്പിക്കാം [ എ, ബി], അപ്പോൾ വേരിയബിൾ അപ്പർ ലിമിറ്റ് ഉള്ള ഇൻ്റഗ്രൽ ഈ സെഗ്മെൻ്റിൽ തുടർച്ചയായ ഉയർന്ന പരിധിയുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്. തീർച്ചയായും, St.2 ൽ നിന്നും നമുക്കുള്ള ശരാശരി മൂല്യ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നും
കുറിപ്പ് 2. സംയോജനത്തിൻ്റെ വേരിയബിൾ ഉയർന്ന പരിധിയുള്ള ഇൻ്റഗ്രൽ നിരവധി പുതിയ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ നിർവചനത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, 
. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ അടിസ്ഥാനപരമല്ല; ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, സൂചിപ്പിച്ച സംയോജനങ്ങളുടെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകൾ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നില്ല.
സംയോജനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ
ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല
ഏതെങ്കിലും രണ്ട് മുതൽ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ f(x)ഒരു സ്ഥിരാങ്കം കൊണ്ട് വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് മുമ്പത്തെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് ഏതെങ്കിലും ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ആണെന്ന് വാദിക്കാം Φ(x)വിഭാഗത്തിൽ തുടർച്ചയായി [ എ, ബി] പ്രവർത്തനങ്ങൾ f(x)പോലെ തോന്നുന്നു
എവിടെ സി- ചില സ്ഥിരം.
ഈ ഫോർമുലയിൽ അനുമാനിക്കുന്നു x=aഒപ്പം x=b, St.1 definite integrals ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
ഈ സമത്വങ്ങളിൽ നിന്നാണ് ബന്ധം പിന്തുടരുന്നത്
വിളിക്കുന്നത് ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല.
അങ്ങനെ ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ചു:
സിദ്ധാന്തം. ഒരു തുടർച്ചയായ ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർദിഷ്ട സംയോജനം, സംയോജനത്തിൻ്റെ മുകളിലും താഴെയുമുള്ള പരിധികൾക്കായുള്ള അതിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.
ന്യൂട്ടൺ-ലീബ്നിസ് ഫോർമുല ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം
ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിൽ ഒരു വേരിയബിൾ മാറ്റുന്നു
സിദ്ധാന്തം. എങ്കിൽ
- പ്രവർത്തനം f(x)ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി [ എ, ബി];
- വിഭാഗം [ എ, ബി] എന്നത് ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടമാണ് φ(t), സെഗ്മെൻ്റിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു α ≤ t ≤ βഅതിൽ ഒരു തുടർച്ചയായ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടായിരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു;
- φ(α)=എ, φ(β)=b
അപ്പോൾ ഫോർമുല ശരിയാണ്
ഭാഗങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല
സിദ്ധാന്തം. പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്കിൽ u=u(x), v=v(x)ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട് [ എ, ബി], അപ്പോൾ ഫോർമുല സാധുവാണ്
ആപ്ലിക്കേഷൻ മൂല്യം ശരാശരി മൂല്യ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ
ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യതയാണ് ഗുണപരമായ വിലയിരുത്തൽഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ മൂല്യം കണക്കാക്കാതെ. നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം
: ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി ആണെങ്കിൽ, ഈ ഇടവേളയ്ക്കുള്ളിൽ അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു പോയിൻ്റ് ഉണ്ട് 
.
സങ്കീർണ്ണമോ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതോ ആയ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ അവിഭാജ്യത ഏകദേശം കണക്കാക്കാൻ ഈ ഫോർമുല തികച്ചും അനുയോജ്യമാണ്. ഫോർമുല ഉണ്ടാക്കുന്ന ഒരേയൊരു പോയിൻ്റ് ഏകദേശ
, ഒരു അനിവാര്യതയാണ് സ്വതന്ത്രമായ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്
ഡോട്ടുകൾ ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ പാത സ്വീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ - ഇൻ്റഗ്രേഷൻ ഇടവേളയുടെ മധ്യഭാഗം (നിരവധി പാഠപുസ്തകങ്ങളിൽ നിർദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ), അപ്പോൾ പിശക് വളരെ പ്രാധാന്യമർഹിക്കുന്നു. കൂടുതൽ കൃത്യമായ ഫലം ലഭിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു
ഇനിപ്പറയുന്ന ക്രമത്തിൽ കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്തുക:
ഇടവേളയിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക;
ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ മുകളിലെ അതിർത്തി വരയ്ക്കുക, അങ്ങനെ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിൻ്റെ കട്ട്-ഓഫ് ഭാഗങ്ങൾ വിസ്തൃതിയിൽ ഏകദേശം തുല്യമാണ്
(മുകളിലുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നത് ഇതാണ് - രണ്ട് വളഞ്ഞ ത്രികോണങ്ങൾ ഏതാണ്ട് സമാനമാണ്);
ചിത്രത്തിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക;
ശരാശരി മൂല്യ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുക.
ഒരു ഉദാഹരണമായി, നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കാം:
കൃത്യമായ മൂല്യം;
ഇടവേളയുടെ മധ്യഭാഗത്തേക്ക് 
ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ഏകദേശ മൂല്യവും ലഭിക്കും, അതായത്. വ്യക്തമായും കൃത്യമല്ലാത്ത ഫലം;
ശുപാർശകൾ അനുസരിച്ച് വരച്ച ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ മുകൾ വശത്ത് ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഏകദേശ മൂല്യം . തികച്ചും തൃപ്തികരമായ ഫലം, പിശക് 0.75% ആണ്.
ട്രപസോയിഡ് ഫോർമുല
ശരാശരി മൂല്യ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കൃത്യത, കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, ഗണ്യമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു ദൃശ്യ ഉദ്ദേശം
പോയിൻ്റ് ഷെഡ്യൂൾ അനുസരിച്ച്. തീർച്ചയായും, തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ, അതേ ഉദാഹരണത്തിൽ, പോയിൻ്റുകൾ അല്ലെങ്കിൽ , നിങ്ങൾക്ക് ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങൾ നേടാനാകും, കൂടാതെ പിശക് വർദ്ധിച്ചേക്കാം. വിഷയപരമായ ഘടകങ്ങൾ, ഗ്രാഫിൻ്റെ സ്കെയിൽ, ഡ്രോയിംഗിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം എന്നിവ ഫലത്തെ വളരെയധികം സ്വാധീനിക്കുന്നു. ഇത് അസ്വീകാര്യമായ
നിർണായക കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ, അതിനാൽ ശരാശരി മൂല്യ സിദ്ധാന്തം ഫാസ്റ്റിൽ മാത്രമേ ബാധകമാകൂ ഗുണനിലവാരം
സമഗ്രമായ കണക്കുകൾ.
ഈ വിഭാഗത്തിൽ, ഏകദേശ സംയോജനത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ ഒരു രീതി ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും - ട്രപസോയ്ഡൽ ഫോർമുല
. ഈ സൂത്രവാക്യം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന ആശയം, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, വക്രം ഏകദേശം ഒരു തകർന്ന വര ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാമെന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.
സംയോജന ഇടവേള വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് നമുക്ക് നിശ്ചയമായും (ചിത്രത്തിന് അനുസൃതമായി) അനുമാനിക്കാം. തുല്യമായ
(ഇത് ഓപ്ഷണൽ ആണ്, എന്നാൽ വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്) ഭാഗങ്ങൾ. ഈ ഓരോ ഭാഗത്തിൻ്റെയും നീളം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുകയും വിളിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു പടി
. പാർട്ടീഷൻ പോയിൻ്റുകളുടെ അബ്സിസ്സകൾ, നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, സൂത്രവാക്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നു, എവിടെ . അറിയപ്പെടുന്ന അബ്സിസ്സകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഓർഡിനേറ്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. അങ്ങനെ,
കേസിൻ്റെ ട്രപസോയിഡൽ ഫോർമുല ഇതാണ്. എല്ലാ ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ഓർഡിനേറ്റുകളും ചേർത്തിരിക്കുന്ന പ്രാരംഭ, അവസാന ഓർഡിനേറ്റുകളുടെ പകുതി തുകയാണ് പരാൻതീസിസിലെ ആദ്യ പദം എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. വേണ്ടി ഏതെങ്കിലും നമ്പർസംയോജന ഇടവേളയുടെ പാർട്ടീഷനുകൾ ട്രപസോയിഡുകൾക്കുള്ള പൊതു ഫോർമുല
ഫോം ഉണ്ട്: ക്വാഡ്രേച്ചർ ഫോർമുലകൾ: ദീർഘചതുരങ്ങൾ, സിംപ്സൺ, ഗൗസിയൻ മുതലായവ. പ്രാഥമിക മേഖലകളാൽ ഒരു കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിനുള്ള അതേ ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് അവ. വിവിധ രൂപങ്ങൾഅതിനാൽ, ട്രപസോയ്ഡൽ ഫോർമുലയിൽ വൈദഗ്ദ്ധ്യം നേടിയ ശേഷം, സമാന ഫോർമുലകൾ മനസ്സിലാക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. പല സൂത്രവാക്യങ്ങളും ട്രപസോയ്ഡൽ ഫോർമുല പോലെ ലളിതമല്ല, എന്നാൽ ചെറിയ എണ്ണം പാർട്ടീഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉയർന്ന കൃത്യതയുള്ള ഫലങ്ങൾ നേടാൻ അവ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.
ട്രപസോയ്ഡൽ ഫോർമുല (അല്ലെങ്കിൽ സമാനമായവ) ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് പ്രായോഗികമായി ആവശ്യമായ കൃത്യതയോടെ, സങ്കീർണ്ണമോ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതോ ആയ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ "പ്രവർത്തിക്കാനാവാത്ത" ഇൻ്റഗ്രലുകളും ഇൻ്റഗ്രലുകളും കണക്കാക്കാം.
മുമ്പ്, സംയോജനത്തിനായുള്ള ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളിലെ വ്യത്യാസമായി ഞങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കിയിരുന്നു. സംയോജന ഇടവേളയിൽ ഇൻ്റഗ്രാൻഡിന് ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെട്ടു.
ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ഉറപ്പുണ്ടായിരിക്കാം. എന്നാൽ അത്തരമൊരു പദപ്രയോഗം ഇല്ലെങ്കിൽ, ഒരു ആൻറിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം തുറന്നിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ കൃത്യമായ അവിഭാജ്യത നിലവിലുണ്ടോ എന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല.
ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, ഉദാഹരണത്തിന്, y=e^(-x^2) ഫംഗ്‌ഷനായി, പ്രാഥമിക ഫംഗ്‌ഷനുകളിലൂടെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്, ഇൻ്റഗ്രൽ \textstyle(\int\limits_(a)^(b)e^(-x^2)\,dx)നിലവിലുണ്ട് ഒപ്പം പ്രദേശത്തിന് തുല്യമാണ് x-അക്ഷം, y=e^(-x^2) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ്, x=a,~ x=b (ചിത്രം 6) എന്ന നേർരേഖകൾ എന്നിവയാൽ ബന്ധിതമായ ഒരു ചിത്രം. എന്നാൽ കൂടുതൽ കർശനമായ വിശകലനത്തിലൂടെ, പ്രദേശം എന്ന ആശയത്തിന് തന്നെ നീതീകരണം ആവശ്യമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു, അതിനാൽ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെയും കൃത്യമായ അവിഭാജ്യത്തിൻ്റെയും അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരാൾക്ക് അതിൽ ആശ്രയിക്കാൻ കഴിയില്ല.
അത് തെളിയിക്കട്ടെ ഒരു ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി നടക്കുന്ന ഏതൊരു ഫംഗ്‌ഷനും ഈ ഇടവേളയിൽ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്, അതിനാൽ, ഈ സെഗ്മെൻ്റിൽ അതിന് ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യതയുണ്ട്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അസ്തിത്വത്തിൻ്റെ അനുമാനത്തെ ആശ്രയിക്കാത്ത ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ സങ്കൽപ്പത്തോട് നമുക്ക് വ്യത്യസ്തമായ ഒരു സമീപനം ആവശ്യമാണ്.
ആദ്യം ചിലത് സ്ഥാപിക്കാം ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ ഗുണങ്ങൾ, ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളിലെ വ്യത്യാസമായി മനസ്സിലാക്കുന്നു.
നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ ഏകദേശ കണക്കുകൾ
സിദ്ധാന്തം 1. y=f(x) ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളയിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തട്ടെ, ഒപ്പം m=\min_(x\in)f(x)ഒപ്പം M=\max_(x\in)f(x)യഥാക്രമം, ഏറ്റവും ചെറിയതും ഏറ്റവും ഉയർന്ന മൂല്യംഫംഗ്‌ഷനുകൾ y=f(x) on , ഈ സെഗ്മെൻ്റിൽ y=f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്. പിന്നെ
m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a).
തെളിവ്. സെഗ്‌മെൻ്റിലെ y=f(x) ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ ഒന്നായിരിക്കട്ടെ F(x). പിന്നെ
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=\Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b)=F(b)-F(a).
ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് F(b)-F(a)=F"(c)(b-a), എവിടെ എ \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=f(c)(b-a).
വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം, സെഗ്മെൻ്റിൽ നിന്നുള്ള x ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും ഇനിപ്പറയുന്ന അസമത്വം നിലനിൽക്കുന്നു: m\leqslant f(x)\leqslant M, അതുകൊണ്ടാണ് m\leqslant f(c)\leqslant Mഅതുകൊണ്ട്
m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a), അതായത് m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a),
ക്യു.ഇ.ഡി.
ഇരട്ട അസമത്വം (1) നിശ്ചിത അവിഭാജ്യ മൂല്യത്തിന് വളരെ ഏകദേശ കണക്ക് നൽകുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൽ y=x^2 ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ 1 നും 25 നും ഇടയിലാണ്, അതിനാൽ അസമത്വങ്ങൾ സംഭവിക്കുന്നു
4=1\cdot(5-1)\leqslant\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.
കൂടുതൽ കൃത്യമായ എസ്റ്റിമേറ്റ് ലഭിക്കാൻ, ഡോട്ടുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സെഗ്മെൻ്റിനെ പല ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക a=x_0 അസമത്വം (1) ഓരോ ഭാഗത്തിനും ബാധകമാണ്. അസമത്വം സെഗ്മെൻ്റിൽ നിലനിൽക്കുകയാണെങ്കിൽ
m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_(x_k)^(x_(k+1)) f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,
ഇവിടെ \Delta x_k വ്യത്യാസത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു (x_(k+1)-x_k), അതായത് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ നീളം. 0 മുതൽ n-1 വരെയുള്ള k യുടെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും ഈ അസമത്വങ്ങൾ എഴുതുകയും അവ ചേർക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1) ))f(x)\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k),
എന്നാൽ ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ അഡിറ്റീവ് പ്രോപ്പർട്ടി അനുസരിച്ച്, സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ എല്ലാ ഭാഗങ്ങളിലും ഉള്ള ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ ആകെത്തുക ഈ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ അവിഭാജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്.
\sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1))f(x)\,dx= \int\limits_a)^(b)f(x) \,dx\,.
അർത്ഥമാക്കുന്നത്,
\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(a)^(b)f(x )\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k)
ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഒരു സെഗ്മെൻ്റിനെ 10 തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഓരോന്നിനും 0.4 നീളമുണ്ട്, തുടർന്ന് ഒരു ഭാഗിക സെഗ്മെൻ്റിൽ
അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു
(1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2
അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:
0,\!4\sum_(k=0)^(9)(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 0, \!4\sum_(k=0)^(9)\bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2.
കണക്കാക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 36,\!64\leqslant \int\limits_(1)^(5) x^2\,dx\leqslant 46,\!24. ഈ കണക്ക് മുമ്പ് ലഭിച്ചതിനേക്കാൾ വളരെ കൃത്യമാണ് 4\leqslant\int\പരിമിതികൾ_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant100.
ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ കൂടുതൽ കൃത്യമായ കണക്ക് ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ സെഗ്മെൻ്റിനെ 10 ആയി വിഭജിക്കേണ്ടതുണ്ട്, പക്ഷേ, പറയുക, 100 അല്ലെങ്കിൽ 1000 ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ച് അനുബന്ധ തുകകൾ കണക്കാക്കുക. തീർച്ചയായും, ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് ഈ ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്:
\int\പരിമിതികൾ_(1)^(5)x^2\,dx= \ഇടത്.(\frac(x^3)(3))\വലത്|_(1)^(5)= \frac(1) (3)(125-1)= \frac(124)(3)\,.
എന്നാൽ ആൻറിഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള പദപ്രയോഗം നമുക്ക് അജ്ഞാതമാണെങ്കിൽ, അസമത്വങ്ങൾ (2) താഴെ നിന്നും മുകളിൽ നിന്നും അവിഭാജ്യ മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.
ഒരു വിഭജിക്കുന്ന സംഖ്യയായി നിശ്ചിത അവിഭാജ്യസംഖ്യ
അസമത്വത്തിൽ (2) ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന m_k, M_k എന്നീ സംഖ്യകൾ ഏകപക്ഷീയമായി തിരഞ്ഞെടുക്കാം, ഓരോ സെഗ്‌മെൻ്റിലും അസമത്വം തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k. സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളിലും M_k ഏറ്റവും ചെറുതും m_k ഏറ്റവും വലുതും ആയി എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ തന്നിരിക്കുന്ന പാർട്ടീഷനുള്ള ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ ഏറ്റവും കൃത്യമായ കണക്ക് ലഭിക്കും. ഇതിനർത്ഥം m_k ആയി നമ്മൾ സെഗ്‌മെൻ്റിലെ y=f(x) ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ കൃത്യമായ ലോവർ ബൗണ്ടും അതേ സെഗ്മെൻ്റിൽ ഈ മൂല്യങ്ങളുടെ കൃത്യമായ മുകളിലെ ബൗണ്ടും M_k ആയി എടുക്കണം എന്നാണ്:
m_k=\inf_(x\in)f(x),\qquad M_k=\sup_(x\in)f(x).
y=f(x) എന്നത് സെഗ്‌മെൻ്റിലെ ഒരു ബൗണ്ടഡ് ഫംഗ്‌ഷനാണെങ്കിൽ, അത് ഓരോ സെഗ്‌മെൻ്റിലും പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ അതിനുള്ള സംഖ്യകൾ m_k ഒപ്പം M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1. m_k, M_k എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഈ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനൊപ്പം, തുകകൾ \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)m_k\Delta x_k)ഒപ്പം \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)M_k\Delta x_k)നൽകിയിരിക്കുന്ന പാർട്ടീഷനുള്ള y=-f(x) ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ഡാർബോക്‌സിൻ്റെ താഴെയും മുകളിലുമുള്ള ഇൻ്റഗ്രൽ തുകകളെ യഥാക്രമം വിളിക്കുന്നു:
a=x_0
സെഗ്മെൻ്റ് ഞങ്ങൾ ഈ തുകകളെ യഥാക്രമം s_(fP), S_(fP) ആയി സൂചിപ്പിക്കും, കൂടാതെ y=f(x) ഫംഗ്ഷൻ ഉറപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, s_P, S_P എന്നിവ.
അസമത്വം (2) എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു ഇടവേളയിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് y=f(x) ഈ ഇടവേളയിൽ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ സംഖ്യാ ഗണങ്ങളെ \(s_p\) ഒപ്പം \(S_P\) വേർതിരിക്കുന്നു. ഇടവേളയുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ പാർട്ടീഷനുകളും പി. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ഈ രണ്ട് സെറ്റുകളെ വേർതിരിക്കുന്ന സംഖ്യ അദ്വിതീയമല്ലെന്ന് സംഭവിക്കാം. എന്നാൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ക്ലാസുകൾക്ക് (പ്രത്യേകിച്ച്, തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക്) ഇത് അദ്വിതീയമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ചുവടെ കാണും.
എന്നതിന് ഒരു പുതിയ നിർവചനം അവതരിപ്പിക്കാൻ ഇത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx), ഇത് ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതല്ല, എന്നാൽ Darboux തുകകൾ മാത്രം ഉപയോഗിക്കുന്നു.
നിർവ്വചനം.ഇടവേളയുടെ സാധ്യമായ എല്ലാ പാർട്ടീഷനുകൾക്കുമായി രൂപീകരിക്കപ്പെട്ട ലോവർ, അപ്പർ ഡാർബോക്സ് തുകകളുടെ സെറ്റുകളെ വേർതിരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യ \ell ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു ഇടവേളയിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ y=f(x) ഈ ഇടവേളയിൽ ഇൻ്റഗ്രബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. y=f(x) ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളയിൽ സംയോജിപ്പിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ഈ ഗണങ്ങളെ വേർതിരിക്കുന്ന ഒരേയൊരു സംഖ്യയെ ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഇടവേളയ്ക്കും അർത്ഥത്തിനും മീതെയുള്ള നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
ഞങ്ങൾ ഇൻ്റഗ്രൽ നിർവചിച്ചു \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx)എപ്പോൾ കേസിനായി b , പിന്നെ ഞങ്ങൾ ഇട്ടു
\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,.
ഈ നിർവചനം സ്വാഭാവികമാണ്, കാരണം ഏകീകരണ ഇടവേളയുടെ ദിശ മാറുമ്പോൾ, എല്ലാ വ്യത്യാസങ്ങളും \ഡെൽറ്റ x_k=x_(k+1)-x_kഅടയാളം മാറ്റുക, തുടർന്ന് അടയാളങ്ങളും Darboux തുകകളും മാറ്റുക, അതുവഴി അവയെ വേർതിരിക്കുന്ന സംഖ്യ, അതായത്. സമഗ്രമായ.
a=b എല്ലാം \Delta x_k അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നത് മുതൽ, ഞങ്ങൾ സജ്ജമാക്കി
\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx=0.
ഒരു നിശ്ചിത ഇൻ്റഗ്രൽ എന്ന ആശയത്തിൻ്റെ രണ്ട് നിർവചനങ്ങൾ ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു: ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസവും ഡാർബോക്സ് തുകകളുടെ വിഭജന സംഖ്യയും. ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കേസുകളിലെ ഈ നിർവചനങ്ങൾ ഒരേ ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു:
സിദ്ധാന്തം 2. y=f(x) ഫംഗ്ഷൻ ഒരു ഇടവേളയിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തുകയും അതിൽ ഒരു ആൻ്റിഡെറിവേറ്റീവ് y=F(x) ഉണ്ടായിരിക്കുകയും താഴെയും മുകളിലെയും ഡാർബോക്സ് തുകകളെ വേർതിരിക്കുന്ന ഒരൊറ്റ സംഖ്യയുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യ F(b) ന് തുല്യമാണ്. )-എഫ്(എ).
തെളിവ്. F(a)-F(b) എന്ന സംഖ്യ \(s_P\), \(S_P\) എന്നിവയെ വേർതിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ മുകളിൽ തെളിയിച്ചു. വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ച് വേർതിരിക്കുന്ന സംഖ്യ അദ്വിതീയമായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഇത് F(b)-F(a) മായി യോജിക്കുന്നു.
ഇനി മുതൽ നമ്മൾ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കും \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx)\(s_P\), \(S_P\) ഗണങ്ങളെ വേർതിരിക്കുന്ന ഒരൊറ്റ സംഖ്യയ്ക്ക് മാത്രം. തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ മുകളിൽ ഉപയോഗിച്ച ഈ നൊട്ടേഷൻ്റെ ധാരണയുമായി ഒരു വൈരുദ്ധ്യവുമില്ലെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.
താഴ്ന്നതും ഉയർന്നതുമായ Darboux തുകകളുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ
നേരത്തെ നൽകിയ ഒരു അവിഭാജ്യത്തിൻ്റെ നിർവചനം അർത്ഥമാക്കുന്നതിന്, മുകളിലെ ഡാർബോക്സ് തുകകളുടെ സെറ്റ് യഥാർത്ഥത്തിൽ ലോവർ ഡാർബോക്സ് തുകകളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ വലതുവശത്താണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നതെന്ന് തെളിയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
ലെമ്മ 1. ഓരോ പാർട്ടീഷനും പി, അനുബന്ധ ലോവർ ഡാർബോക്സ് തുക മുകളിലെ ഡാർബോക്സ് തുകയായ s_P\leqslant S_P കവിയരുത്.
തെളിവ്. സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ചില പാർട്ടീഷൻ പി പരിഗണിക്കാം:
a=x_0 "
ഏത് k നും തിരഞ്ഞെടുത്ത പാർട്ടീഷൻ P നും അസമത്വം s_P\leqslant S_P ഉണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അതിനാൽ, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k, അതിനാൽ
s_P= \sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.
ക്യു.ഇ.ഡി. അസമത്വം (4) ഒരു നിശ്ചിത പാർട്ടീഷൻ പിക്ക് മാത്രമേ സാധുതയുള്ളൂ. അതിനാൽ, ഒരു പാർട്ടീഷൻ്റെ താഴത്തെ Darboux തുക മറ്റൊരു പാർട്ടീഷൻ്റെ മുകളിലെ Darboux തുകയെ കവിയാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഇതുവരെ പറയാനാവില്ല. ഈ പ്രസ്താവന തെളിയിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ലെമ്മ ആവശ്യമാണ്:
ലെമ്മ 2. ഒരു പുതിയ ഡിവിഷൻ പോയിൻ്റ് ചേർക്കുന്നതിലൂടെ, താഴ്ന്ന ഡാർബോക്സ് തുക കുറയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല, കൂടാതെ ഉയർന്ന തുക വർദ്ധിപ്പിക്കാനും കഴിയില്ല.
തെളിവ്. സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ കുറച്ച് പാർട്ടീഷൻ പി തിരഞ്ഞെടുത്ത് അതിലേക്ക് ഒരു പുതിയ ഡിവിഷൻ പോയിൻ്റ് (x^(\ast)) ചേർക്കാം. നമുക്ക് പുതിയ പാർട്ടീഷൻ P^(\ast) ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കാം. പാർട്ടീഷൻ P^(\ast) എന്നത് P പാർട്ടീഷൻ്റെ ഒരു പരിഷ്കരണമാണ്, അതായത്. ഓരോ പാർട്ടീഷൻ പോയിൻ്റും P ഒരു പാർട്ടീഷൻ പോയിൻ്റാണ് P^(\ast) .
പോയിൻ്റ് (x^(\ast)) സെഗ്മെൻ്റിൽ വീഴട്ടെ \colon\, x_k . ഫലമായുണ്ടാകുന്ന രണ്ട് സെഗ്‌മെൻ്റുകളും നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം
കൂടാതെ m_(k)^(\ast), m_(k)^(\ast\ast) എന്നീ ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള കൃത്യമായ താഴത്തെ അതിരുകളും M_(k)^(\ast) ഉപയോഗിച്ച് കൃത്യമായ മുകളിലെ അതിരുകളും സൂചിപ്പിക്കുക. ) കൂടാതെ M_(k )^(\ast\ast) .
അനുബന്ധം m_k(x_(k+1)-m_(k))പുതിയ ലോവർ ഡാർബോക്സ് തുകയിലെ യഥാർത്ഥ ലോവർ ഡാർബോക്സ് തുക രണ്ട് പദങ്ങളുമായി യോജിക്കുന്നു:
m_(k)^(\ast)(x^(\ast)-x_k)+ m_(k)^(\ast\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)).
അതേസമയത്ത് m_k\leqslant m_(k)^(\ast)ഒപ്പം m_k\leqslant m_(k)^(\ast\ast), m_k എന്നത് മുഴുവൻ സെഗ്‌മെൻ്റിലെയും f(x) ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ കൃത്യമായ ലോവർ ബൗണ്ടായതിനാൽ, m_(k)^(\ast), m_(k)^(\ast\ast) എന്നിവ മാത്രം ഭാഗങ്ങളും
യഥാക്രമം.
ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുകയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം:
\begin(aligned) m_(k)^(\ast)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1 )-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\ast)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr ) =\\ &=m_k\bigl(x^(\ast)-x_k+x_(k+1)-x^(\ast)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) - x_k\bigr).\end(വിന്യസിച്ചു)
പഴയതും പുതിയതുമായ ലോവർ ഡാർബോക്സ് തുകകളിലെ ശേഷിക്കുന്ന നിബന്ധനകൾ മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്നതിനാൽ, s_P\leqslant S_P എന്ന പുതിയ ഡിവിഷൻ പോയിൻ്റ് ചേർക്കുന്നതിൽ നിന്ന് ലോവർ ഡാർബോക്സ് തുക കുറയില്ല.
പാർട്ടീഷൻ പിയിലേക്ക് ഏതെങ്കിലും പരിമിതമായ പോയിൻ്റുകൾ ചേർക്കുമ്പോൾ പോലും തെളിയിക്കപ്പെട്ട പ്രസ്താവന സാധുവായി തുടരും.
മുകളിലെ Darboux തുകയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രസ്താവന സമാനമായ രീതിയിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു: S_(P^(\ast))\leqslant S_(P).
ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പാർട്ടീഷനുകൾക്കായുള്ള Darboux തുകകൾ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ നമുക്ക് പോകാം.
ലെമ്മ 3. താഴ്ന്ന ഡാർബോക്സ് തുകയൊന്നും മുകളിലെ ഡാർബോക്സ് തുകയെ കവിയുന്നില്ല (അത് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മറ്റൊരു പാർട്ടീഷനുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുണ്ടെങ്കിൽ പോലും).
തെളിവ്. സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ പാർട്ടീഷനുകൾ P_1, P_2 എന്നിവ പരിഗണിക്കുകയും P_1, P_2 എന്നീ പാർട്ടീഷനുകളുടെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും അടങ്ങുന്ന ഒരു മൂന്നാം പാർട്ടീഷൻ P_3 രൂപീകരിക്കുകയും ചെയ്യുക. അങ്ങനെ, പാർട്ടീഷൻ P_3 പാർട്ടീഷൻ P_1, പാർട്ടീഷൻ P_2 (ചിത്രം 7) എന്നിവയുടെ ഒരു പരിഷ്കരണമാണ്.
ഈ പാർട്ടീഷനുകൾക്ക് യഥാക്രമം താഴെയും മുകളിലുമുള്ള Darboux തുകകളെ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം s_1,~S_1.~s_2,~S_2കൂടാതെ s_1\leqslant S_2 എന്ന് തെളിയിക്കുക.
P_3 എന്നത് P_1 എന്ന പാർട്ടീഷൻ്റെ പരിഷ്കരണമായതിനാൽ, s_1\leqslant s_3. അടുത്തതായി, s_3\leqslant S_3, s_3, S_3 എന്നിവ ഒരേ പാർട്ടീഷനുമായി യോജിക്കുന്നതിനാൽ. അവസാനമായി, S_3\leqslant S_2 , കാരണം P_3 പാർട്ടീഷൻ P_2 ൻ്റെ പരിഷ്കരണമാണ്.
അങ്ങനെ, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2, അതായത്. s_1\leqslant S_2 , അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.
ലെമ്മ 3 മുതൽ അത് പിന്തുടരുന്നു ലോവർ ഡാർബോക്സ് തുകകളുടെ X=\(s_P\) സംഖ്യാഗണം മുകളിലെ ഡാർബോക്സ് തുകകളുടെ Y=\(S_P\) സംഖ്യാ ഗണത്തിൻ്റെ ഇടതുവശത്താണ്.
രണ്ട് സംഖ്യാ ഗണങ്ങൾക്ക് വേർതിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ നിലനിൽപ്പിനെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, X, Y എന്നീ ഗണങ്ങളെ വേർതിരിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയെങ്കിലും ഉണ്ട്, അതായത്. സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ഏത് വിഭജനത്തിനും ഇരട്ട അസമത്വം നിലനിൽക്കും:
s_P= \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\ cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.
ഈ സംഖ്യ അദ്വിതീയമാണെങ്കിൽ, പിന്നെ \textstyle(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx).
അത്തരമൊരു സംഖ്യ I, പൊതുവെ പറഞ്ഞാൽ, അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ലെന്ന് കാണിക്കുന്ന ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം. ഡിറിച്ലെറ്റ് ഫംഗ്ഷൻ, തുല്യതകൾ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഇടവേളയിൽ y=D(x) എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ആണെന്ന് ഓർക്കുക:
D(x)= \begin(cases)0,& \text(if)~~ x~~\text(അറേഷണൽ നമ്പർ ആണ്);\\1,& \text(if)~~ x~~ \text(ആണ് യുക്തിസഹമായ സംഖ്യ).\അവസാനം (കേസുകൾ)
നമ്മൾ ഏത് സെഗ്മെൻ്റ് എടുത്താലും, അതിൽ യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടാകും, അതായത്. കൂടാതെ D(x)=0, D(x)=1 എന്നീ പോയിൻ്റുകളും. അതിനാൽ, സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ഏത് പാർട്ടീഷനും, m_k ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ M_k യുടെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. എന്നാൽ പിന്നീട് എല്ലാ താഴ്ന്ന Darboux തുകകളും \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr))പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ എല്ലാ അപ്പർ ഡാർബോക്സ് തുകകളും \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr))ഒന്നിന് തുല്യം,
