കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് പരിശീലനത്തിൽ, ചില പരിമിതമായ മൂല്യങ്ങൾക്കായി അവയുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികകൾ വ്യക്തമാക്കിയ ഫംഗ്ഷനുകൾ പലപ്പോഴും കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. എക്സ് : .

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്
ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് മതിയായ ലളിതമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ Ф(x) നിർമ്മിക്കുക, അത് നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിൽ x 0 , x 1 ,...,x എൻ , ഇൻ്റർപോളേഷൻ നോഡുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു, കൂടാതെ സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളിൽ (x 0 ,x n) നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു
, ഏകദേശം പ്രവർത്തനത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു
വ്യത്യസ്ത അളവിലുള്ള കൃത്യതയോടെ.

ഈ കേസിൽ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഫംഗ്ഷനു പകരം
ഫംഗ്ഷൻ Ф(x) ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുക. അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ Ф(x) നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തെ ഇൻ്റർപോളേഷൻ പ്രശ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മിക്കപ്പോഴും, ഇൻ്റർപോളിംഗ് ഫംഗ്ഷൻ Ф(x) ഒരു ബീജഗണിത ബഹുപദത്തിൻ്റെ രൂപത്തിലാണ് കാണപ്പെടുന്നത്.

1. ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ

ഓരോ ചടങ്ങിനും
, നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത് [ a,b], കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും സെറ്റ് നോഡുകൾ x 0 , x 1 ,....,x എൻ (x ഐ
[a,b], x ഐ x ജെഐയിൽ j) ബീജഗണിത ബഹുപദങ്ങൾക്കിടയിൽ n-നേക്കാൾ ഉയർന്നതല്ല, ഒരു അദ്വിതീയ ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ Ф(x) ഉണ്ട്, അത് രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

, (3.1)

എവിടെ
- ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുള്ള nth ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദം:

ഒരു ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിന്, പോളിനോമിയൽ
ഫോം ഉണ്ട്:

ഈ പോളിനോമിയൽ (3.1) ഇൻ്റർപോളേഷൻ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു, ഇതിനെ ലാഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഫോമിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക
ഇടവേളയിൽ
ഒരു പട്ടികയിൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു.

പോയിൻ്റ് x-2.5 ൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇതിനായി Lagrange പോളിനോമിയൽ ഉപയോഗിക്കാം. സൂത്രവാക്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി (3.1, 3.3), ഞങ്ങൾ ഈ ബഹുപദം വ്യക്തമായ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു:

(3.4).

തുടർന്ന്, ഞങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഫോർമുലയിലേക്ക് (3.4) പ്രാരംഭ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

ലഭിച്ച ഫലം സിദ്ധാന്തത്തോട് യോജിക്കുന്നു, അതായത്. .

1. ലഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ ഫോർമുല

ലഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ മറ്റൊരു രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

(3.5)

ഫോമിൽ (3.5) ഒരു ബഹുപദം എഴുതുന്നത് പ്രോഗ്രാമിംഗിന് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഇൻ്റർപോളേഷൻ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അളവ് എൻഇൻ്റർപോളേറ്റിംഗ് പോളിനോമിയലിൻ്റെ ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ (3.1), (3.5), ഇൻ്റർപോളേഷൻ നോഡുകളുടെ എണ്ണം എല്ലായ്പ്പോഴും തുല്യമായിരിക്കും. n+1അർത്ഥവും x, അതിനായി മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു
, ഇൻ്റർപോളേഷൻ നോഡുകളുടെ നിർവചന മേഖലയ്ക്കുള്ളിൽ കിടക്കണം ആ

. (3.6)

ചില പ്രായോഗിക സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഇൻ്റർപോളേഷൻ നോഡുകളുടെ ആകെ അറിയപ്പെടുന്ന എണ്ണം എംഇൻ്റർപോളേറ്റിംഗ് പോളിനോമിയലിൻ്റെ ക്രമത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കാം എൻ.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫോർമുല (3.5) അനുസരിച്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ നടപടിക്രമം നടപ്പിലാക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഏത് വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് (3.6) സാധുതയുള്ള ഇൻ്റർപോളേഷൻ നോഡുകൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. മൂല്യം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ ഏറ്റവും ചെറിയ പിശക് കൈവരിച്ചതായി ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ് x ഇൻ്റർപോളേഷൻ ഏരിയയുടെ മധ്യഭാഗത്ത്. ഇത് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന നടപടിക്രമം നിർദ്ദേശിക്കപ്പെടുന്നു:

നോൺ-നോഡൽ (ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ്) ആർഗ്യുമെൻ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഒരു ടാബുലേറ്റഡ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക എന്നതാണ് ഇൻ്റർപോളേഷൻ്റെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം, അതിനാലാണ് ഇൻ്റർപോളേഷനെ പലപ്പോഴും "വരികൾക്കിടയിൽ പട്ടികകൾ വായിക്കുന്ന കല" എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.

ലഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയൽ

ലഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ- ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അളവിലുള്ള ഒരു ബഹുപദം. വേണ്ടി എൻ+ 1 ജോഡി സംഖ്യകൾ, അവിടെ എല്ലാം x ഐവ്യത്യസ്തമാണ്, ഒരു അദ്വിതീയ ബഹുപദമുണ്ട് എൽ(x) ഇനി ബിരുദം ഇല്ല എൻ, അതിനായി എൽ(x ഐ) = വൈ ഐ .

ഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ ( എൻ= 1) നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയാണ് ഗ്രാഫ്.

നിർവ്വചനം

ഈ ഉദാഹരണം നാല് പോയിൻ്റുകൾ (-9,5) , (-4,2) , (-1,-2), (7,9) എന്നിവയ്‌ക്കായുള്ള ലാഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ കാണിക്കുന്നു. y j l j (x), അവ ഓരോന്നും തിരഞ്ഞെടുത്ത പോയിൻ്റുകളിലൊന്നിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും ബാക്കിയുള്ളതിൽ പൂജ്യം മൂല്യം എടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു x i

ചടങ്ങിനായി അനുവദിക്കുക എഫ്(x) മൂല്യങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു വൈ ജെ = എഫ്(x ജെ) ചില പോയിൻ്റുകളിൽ. അപ്പോൾ നമുക്ക് ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ ഇങ്ങനെ ഇൻ്റർപോളേറ്റ് ചെയ്യാം

പ്രത്യേകിച്ച്,

മുതൽ ഇൻ്റഗ്രലുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ എൽ ജെആശ്രയിക്കരുത് എഫ്(x) കൂടാതെ, ക്രമം അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് അവ മുൻകൂട്ടി കണക്കാക്കാം x ഐ .

ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൽ ഇൻ്റർപോളേഷൻ നോഡുകളുടെ ഏകീകൃത വിതരണത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം x ഐഇൻ്റർപോളേഷൻ നോഡുകൾ h ഉം ആരംഭ പോയിൻ്റും തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിലൂടെ x 0 :

അതുകൊണ്ട്

അടിസ്ഥാന പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഫോർമുലയിലേക്ക് ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലുമുള്ള ഗുണന ചിഹ്നങ്ങളിൽ നിന്ന് h എടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വേരിയബിൾ മാറ്റം അവതരിപ്പിക്കാൻ കഴിയും

എന്നതിൽ നിന്ന് ഒരു ബഹുപദം നേടുക വൈ, ഇത് പൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ ഗണിതശാസ്ത്രം മാത്രം ഉപയോഗിച്ചാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഈ സമീപനത്തിൻ്റെ പോരായ്മ ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെയും ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെയും ഫാക്‌ടോറിയൽ സങ്കീർണ്ണതയാണ്, ഇതിന് സംഖ്യകളുടെ മൾട്ടി-ബൈറ്റ് പ്രാതിനിധ്യമുള്ള അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ബാഹ്യ ലിങ്കുകൾ

വിക്കിമീഡിയ ഫൗണ്ടേഷൻ.

2010.

മറ്റ് നിഘണ്ടുവുകളിൽ "ലഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയൽ" എന്താണെന്ന് കാണുക: x 0, x1,..., x n എന്ന നോഡുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ ഇൻ്റർപോളേറ്റ് ചെയ്യുന്ന n (ലഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ) എന്ന ബഹുപദത്തിൻ്റെ രൂപം: x i യുടെ മൂല്യങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ, അതായത്. നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് (x x0)/h=t ഫോർമുല (1)… …

മാത്തമാറ്റിക്കൽ എൻസൈക്ലോപീഡിയ

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു വേരിയബിളിലെ പോളിനോമിയലുകൾ അല്ലെങ്കിൽ പോളിനോമിയലുകൾ രൂപത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്, അവിടെ ci സ്ഥിര ഗുണകങ്ങളും x ഒരു വേരിയബിളുമാണ്. പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട വിഭാഗങ്ങളിലൊന്നാണ് പോളിനോമിയലുകൾ. ബഹുപദ സമവാക്യങ്ങളെയും അവയുടെ പരിഹാരങ്ങളെയും കുറിച്ചുള്ള പഠനം... ... വിക്കിപീഡിയ

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, അടിസ്ഥാന ബേൺസ്റ്റൈൻ പോളിനോമിയലുകളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായ ബീജഗണിത ബഹുപദങ്ങളാണ് ബേൺസ്റ്റൈൻ പോളിനോമിയലുകൾ. ബേൺസ്റ്റൈൻ രൂപത്തിൽ പോളിനോമിയലുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സ്ഥിരമായ അൽഗോരിതം അൽഗോരിതം ആണ്... ... വിക്കിപീഡിയ

ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന മിനിമം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദം. എല്ലാം വ്യത്യസ്‌തമായ ജോഡി സംഖ്യകൾക്ക്, ബിരുദത്തിൻ്റെ ഒരു അദ്വിതീയ ബഹുപദമുണ്ട്. ഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ (... വിക്കിപീഡിയ

ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന മിനിമം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദം. എല്ലാം വ്യത്യസ്‌തമായ ജോഡി സംഖ്യകൾക്ക്, ബിരുദത്തിൻ്റെ ഒരു അദ്വിതീയ ബഹുപദമുണ്ട്. ഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ (... വിക്കിപീഡിയ

ലഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന മിനിമം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദം. എല്ലാ xiയും വ്യത്യസ്‌തമായിരിക്കുന്ന n + 1 ജോഡി സംഖ്യകൾക്ക്, പരമാവധി n ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു അദ്വിതീയ പോളിനോമിയൽ L(x) ഉണ്ട്, അതിന് L(xi) = yi.... ... വിക്കിപീഡിയ

പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ച്, കാണുക: ഇൻ്റർപോളൻ്റ്. കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ മാത്തമാറ്റിക്സിലെ ഇൻ്റർപോളേഷൻ അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങളുടെ നിലവിലുള്ള വ്യതിരിക്തമായ ഒരു കൂട്ടത്തിൽ നിന്ന് ഒരു അളവിൻ്റെ ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണ്. സയൻ്റിഫിക്, എഞ്ചിനീയറിംഗ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നവരിൽ പലരും പലപ്പോഴും... വിക്കിപീഡിയ

പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ച്, കാണുക: ഇൻ്റർപോളൻ്റ്. ഇൻ്റർപോളേഷൻ, കംപ്യൂട്ടേഷണൽ മാത്തമാറ്റിക്സിലെ ഇൻ്റർപോളേഷൻ എന്നത് അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങളുടെ നിലവിലുള്ള വ്യതിരിക്തമായ ഒരു കൂട്ടത്തിൽ നിന്ന് ഒരു അളവിൻ്റെ ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണ്. ശാസ്ത്രവും... ... വിക്കിപീഡിയയും നേരിടുന്ന പലരും

ഞങ്ങൾ രൂപത്തിൽ ഒരു ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ നിർമ്മിക്കും ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദങ്ങൾ എവിടെയേക്കാൾ ഉയർന്നതല്ലപി,

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്വത്ത് ഉണ്ട്: തീർച്ചയായും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഓരോ നോഡിലും പോളിനോമിയൽ (4.9)., x ജെ j=0,1,…n , അനുബന്ധ ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. ഇൻ്റർപോളേറ്റീവ് ആണ്.

നമുക്ക് അത്തരം ബഹുപദങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാം. x=x 0 ,x 1 ,…x i -1 ,x i +1 ,…x n മുതലായതിനാൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം

ഇവിടെ c ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്. വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും

ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ (4.1), രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു

ലാഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യം x*, ലഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയൽ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കിയാൽ, ഒരു അവശിഷ്ട പിശക് (4.8) ഉണ്ടാകും. ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ വൈ ഐഇൻ്റർപോളേഷൻ നോഡുകളിൽ x iഏകദേശം ഒരേ സമ്പൂർണ്ണ പിശക് ഉപയോഗിച്ച് നൽകിയിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് കൃത്യമായ മൂല്യത്തിന് പകരം, ഏകദേശ മൂല്യം കണക്കാക്കും, കൂടാതെ

ലാഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിൻ്റെ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ കേവല പിശക് എവിടെയാണ്. അവസാനമായി, ഏകദേശ മൂല്യത്തിൻ്റെ ആകെ പിശകിൻ്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന കണക്ക് ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്.

പ്രത്യേകിച്ച്, ഒന്നും രണ്ടും ഡിഗ്രികളുടെ Lagrange പോളിനോമിയലുകൾക്ക് രൂപം ഉണ്ടായിരിക്കും

പോയിൻ്റ് x * ൽ അവയുടെ ആകെ പിശകുകളും

ഒരേ ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ (4.1) എഴുതുന്നതിനുള്ള മറ്റ് രൂപങ്ങളുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, വിഭജിത വ്യത്യാസങ്ങളുള്ള ന്യൂട്ടൻ്റെ ഇൻ്റർപോളേഷൻ ഫോർമുലയും അതിൻ്റെ വകഭേദങ്ങളും ചുവടെ പരിഗണിക്കുന്നു. മൂല്യം കൃത്യമായി കണക്കാക്കുമ്പോൾ Pn(x *), ഒരേ നോഡുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മിച്ച വ്യത്യസ്ത ഇൻ്റർപോളേഷൻ ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ചത്, യോജിക്കുന്നു. ഒരു കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പിശകിൻ്റെ സാന്നിധ്യം ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളിലെ വ്യത്യാസത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ലാഗ്രേഞ്ച് രൂപത്തിൽ ഒരു ബഹുപദം എഴുതുന്നത് സാധാരണയായി ഒരു ചെറിയ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പിശകിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

ഇൻ്റർപോളേഷൻ സമയത്ത് ഉണ്ടാകുന്ന പിശകുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലകളുടെ ഉപയോഗം പ്രശ്നത്തിൻ്റെ രൂപീകരണത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നോഡുകളുടെ എണ്ണം അറിയാമെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ മതിയായ എണ്ണം ശരിയായ ചിഹ്നങ്ങളോടെ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടൽ ചുമതല സജ്ജമാക്കാം. f(x *)സാധ്യമായ ഏറ്റവും ഉയർന്ന കൃത്യതയോടെ. നേരെമറിച്ച്, ശരിയായ ചിഹ്നങ്ങളുടെ എണ്ണം ചെറുതും നോഡുകളുടെ എണ്ണം വലുതും ആണെങ്കിൽ, നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രശ്നം ഉണ്ടാക്കാം. f(x *)ഫംഗ്ഷൻ്റെ ടേബിൾ മൂല്യം അനുവദിക്കുന്ന കൃത്യതയോടെ, ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, പട്ടികയുടെ അപൂർവ്വവും ഒതുക്കവും ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം.

§4.3. വേർതിരിച്ച വ്യത്യാസങ്ങളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും.

വിഭജിച്ച വ്യത്യാസം എന്ന ആശയം ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ സാമാന്യവൽക്കരിച്ച ആശയമാണ്. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ x 0, x 1,…x n എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ നൽകട്ടെ f(x 0), f(x 1),...,f(x n). ആദ്യ ക്രമത്തിൻ്റെ വിഭജിത വ്യത്യാസങ്ങൾ തുല്യതയാൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു

രണ്ടാം ക്രമ വ്യത്യാസങ്ങളെ തുല്യതയാൽ വേർതിരിക്കുന്നു,

വിഭജിക്കപ്പെട്ട വ്യത്യാസങ്ങളും കെഇനിപ്പറയുന്ന ആവർത്തന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ക്രമം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

വിഭജിച്ച വ്യത്യാസങ്ങൾ സാധാരണയായി ഇതുപോലെയുള്ള ഒരു പട്ടികയിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു:

വിഭജിച്ച വ്യത്യാസങ്ങളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന സവിശേഷതകൾ പരിഗണിക്കുക.

1. എല്ലാ ഓർഡറുകളുടെയും വിഭജിച്ച വ്യത്യാസങ്ങൾ മൂല്യങ്ങളുടെ രേഖീയ സംയോജനമാണ് f(x i), അതായത്. ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല നിലനിർത്തുന്നു:

വ്യത്യാസങ്ങളുടെ ക്രമത്തിൽ ഇൻഡക്ഷൻ വഴി ഈ ഫോർമുലയുടെ സാധുത നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. ആദ്യ ഓർഡർ വ്യത്യാസങ്ങൾക്ക്

ഫോർമുല (4.12) ശരിയാണ്. ക്രമത്തിലെ എല്ലാ വ്യത്യാസങ്ങൾക്കും ഇത് സാധുതയുള്ളതാണെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ അനുമാനിക്കാം.

തുടർന്ന്, ക്രമത്തിലെ വ്യത്യാസങ്ങൾക്ക് (4.11), (4.12) അനുസരിച്ച് k=n+1നമുക്ക് ഉണ്ട്

അടങ്ങുന്ന നിബന്ധനകൾ f(x 0)ഒപ്പം f(x n +1), ആവശ്യമായ ഫോം ഉണ്ട്. അടങ്ങുന്ന നിബന്ധനകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം f(x i), i=1, 2, …,n. അത്തരം രണ്ട് പദങ്ങളുണ്ട് - ഒന്നും രണ്ടും തുകകളിൽ നിന്ന്:

ആ ക്രമത്തിലെ വ്യത്യാസത്തിന് ഫോർമുല (4.12) സാധുവാണ് k=n+1, തെളിവ് പൂർത്തിയായി.

2. വിഭജിച്ച വ്യത്യാസം അതിൻ്റെ ആർഗ്യുമെൻ്റുകളുടെ x 0 , x 1 ,…x n (അതായത്, ഒരു പുനഃക്രമീകരണത്തിലും ഇത് മാറില്ല):

ഈ സ്വത്ത് തുല്യതയിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു (4.12).

3. ലളിതമായ വിഭജിത വ്യത്യാസ ബന്ധം എഫ്ഡെറിവേറ്റീവും f(n)(x)ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം നൽകുന്നു.

നോഡുകൾ x 0 , x 1 ,…x n സെഗ്‌മെൻ്റിൽ ഉൾപ്പെടട്ടെ പ്രവർത്തനവും f(x)ഈ ഇടവേളയിൽ ഓർഡറിൻ്റെ തുടർച്ചയായ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട് എൻ. അപ്പോൾ അത്തരമൊരു പോയിൻ്റുണ്ട് xÎ, എന്ത്

നമുക്ക് ആദ്യം ബന്ധത്തിൻ്റെ സാധുത തെളിയിക്കാം

(4.12) അനുസരിച്ച്, ചതുര ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ പദപ്രയോഗം

എഫ്.

താരതമ്യത്തിൽ നിന്ന് (4.14) ശേഷിക്കുന്ന പദത്തിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനുമായി (4.7). R n (x)=f(x)-L n (x)നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു (4.13), സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ലളിതമായ പരിണതഫലം പിന്തുടരുന്നു. ഒരു ബഹുപദത്തിന് എൻബിരുദം

f(x) = a 0 x n +a 1 x n -1 +…a n

ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് എൻ, വ്യക്തമായും ഉണ്ട്

ബന്ധവും (4.13) വിഭജിച്ച വ്യത്യാസത്തിന് മൂല്യം നൽകുന്നു

അതിനാൽ, എല്ലാ ബഹുപദങ്ങൾക്കും ഡിഗ്രി ഉണ്ട് എൻവേർതിരിക്കപ്പെട്ട ക്രമ വ്യത്യാസങ്ങൾ എൻഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ് - ബഹുപദത്തിൻ്റെ ഉയർന്ന ഡിഗ്രിയുടെ ഗുണകം. ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ വേർതിരിച്ച വ്യത്യാസങ്ങൾ
(കൂടുതൽ എൻ), വ്യക്തമായും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, വേർതിരിച്ച വ്യത്യാസങ്ങളിൽ കണക്കുകൂട്ടൽ പിശക് ഇല്ലെങ്കിൽ മാത്രമേ ഈ നിഗമനം സാധുവാകൂ.

§4.4. ന്യൂട്ടൻ്റെ വിഭജിത വ്യത്യാസം ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ

നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ ലാഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ എഴുതാം:

എവിടെ L 0 (x) = f(x 0)=y 0, എ Lk(x)– ബിരുദത്തിൻ്റെ ലഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ ബഹുപദം കെ, നോഡുകൾ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത് x 0 , x 1 ,…,x k. പിന്നെ ബിരുദത്തിൻ്റെ ഒരു ബഹുപദമുണ്ട് കെ, ആരുടെ വേരുകൾ പോയിൻ്റുകളാണ് x 0 , x 1 , …,x k -1. അതിനാൽ, ഇത് ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാവുന്നതാണ്

ഇവിടെ A k എന്നത് ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്.

(4.14) അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

(4.16) ഉം (4.17) താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ (4.15) രൂപമെടുക്കുന്നതായി നമുക്ക് കാണാം

ഇതിനെ ന്യൂട്ടൻ്റെ വിഭജിച്ച വ്യത്യാസം ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിൻ്റെ ഇത്തരത്തിലുള്ള നൊട്ടേഷൻ കൂടുതൽ ദൃശ്യപരമാണ് (ഒരു നോഡിൻ്റെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഒരു പദത്തിൻ്റെ രൂപവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു) കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന നിർമ്മിതികളുമായി നടത്തുന്ന നിർമ്മാണങ്ങളുടെ സാമ്യം നന്നായി കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ന്യൂട്ടൺ ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിൻ്റെ ശേഷിക്കുന്ന പിശക് ഫോർമുല (4.8) ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, പക്ഷേ, (4.13) കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഇത് മറ്റൊരു രൂപത്തിൽ എഴുതാം.

ആ പോളിനോമിയലിൽ ആദ്യം ഉപേക്ഷിച്ച പദത്തിൻ്റെ മോഡുലസ് ഉപയോഗിച്ച് ശേഷിക്കുന്ന പിശക് കണക്കാക്കാം Nn(x*).

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പിശക് Nn(x*)വേർതിരിച്ച വ്യത്യാസങ്ങളുടെ പിശകുകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടും. ഇൻ്റർപോളേറ്റഡ് മൂല്യത്തിന് ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ഇൻ്റർപോളേഷൻ നോഡുകൾ x*, ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിൽ കൂടുതൽ സ്വാധീനം ചെലുത്തും, കൂടുതൽ അകലെ കിടക്കുന്നവയ്ക്ക് കുറഞ്ഞ സ്വാധീനം ഉണ്ടാകും. അതിനാൽ, സാധ്യമെങ്കിൽ, അത് അഭികാമ്യമാണ് x 0ഒപ്പം x 1ഏറ്റവും അടുത്തുള്ളവ എടുക്കുക x*ഇൻ്റർപോളേഷൻ നോഡുകൾ, ആദ്യം ഈ നോഡുകൾക്കൊപ്പം ലീനിയർ ഇൻ്റർപോളേഷൻ നടത്തുക. ഇനിപ്പറയുന്ന നോഡുകൾ ക്രമേണ ആകർഷിക്കുക, അങ്ങനെ അവ ആപേക്ഷികമായി കഴിയുന്നത്ര സമമിതിയായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു x*, സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യത്തിലെ അടുത്ത പദം അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വിഭജിത വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ കേവല പിശകിനേക്കാൾ കുറവായിരിക്കും.

സെഗ്മെൻ്റിൽ വരട്ടെ പ്രവർത്തനം y=f(x)ഒരു പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതായത്. (x i , y i), (i=0,1,..,n),എവിടെ y i =f(x i).നൽകിയിരിക്കുന്ന ഈ പ്രവർത്തനത്തെ "" എന്ന് വിളിക്കുന്നു മെഷ്».

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന: കണ്ടെത്തുക ബീജഗണിത ബഹുപദം (ബഹുപദം):

ബിരുദം ഉയർന്നതല്ല എൻഅത്തരം

L n (x i)=y i,ചെയ്തത് i= 0,1,..,n,(5.6)

ആ തന്നിരിക്കുന്ന നോഡുകളിൽ ഉള്ളത് xi, (ഐ=0,1,..,എൻ) ഗ്രിഡ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അതേ മൂല്യങ്ങൾ ചെയ്തത്=f(x).

ബഹുപദം തന്നെ Ln(x)വിളിച്ചു ഇൻ്റർപോളേഷൻ ബഹുപദം, ചുമതലയാണ് പോളിനോമിയൽ ഇൻ്റർപോളേഷൻ .

പോളിനോമിയൽ L n (x) കണ്ടെത്തുക- ഇതിനർത്ഥം അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക a 0 , എ 1 ,…,എഎൻ. ഇതിനായി ഉണ്ട് n+ 1 വ്യവസ്ഥ (5.6), ഇത് അജ്ഞാതർക്കുള്ള ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റമായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു AI,(ഐ=0, 1,…,എൻ):

എവിടെ xഞാൻ ഒപ്പം വൈഞാൻ( ഐ=0,1,…,എൻ) - ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെയും പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെയും പട്ടിക മൂല്യങ്ങൾ.

ഒരു ബീജഗണിത കോഴ്‌സിൽ നിന്ന്, ഈ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഡിറ്റർമിനൻ്റ് വണ്ടർമോണ്ട് ഡിറ്റർമിനൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്കറിയാം:

പൂജ്യമല്ലാത്തത്അതിനാൽ, സിസ്റ്റം (5.7) ഉണ്ട് ഒരേയൊരു പരിഹാരം.

ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിച്ചു എ 0 , എ 1 ,…,എ എൻ, സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റം (5.7), ഞങ്ങൾ വിളിക്കപ്പെടുന്നവ നേടുന്നു ലഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽപ്രവർത്തനത്തിന് f(x):

(5.8)

ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

നൽകിയെന്ന് തെളിഞ്ഞിട്ടുണ്ട് എൻ+1 ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാൻ കഴിയും ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ ഏക ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ(5.8).

പ്രായോഗികമായി, ആദ്യത്തേതിൻ്റെ ലഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലുകൾ ( n= 1) രണ്ടാമത്തേത് ( n= 2) ഡിഗ്രി.

ചെയ്തത് n=ഇൻ്റർപോളേറ്റഡ് ഫംഗ്‌ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള 1 വിവരങ്ങൾ y=f(x)രണ്ട് പോയിൻ്റുകളിൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു: (x 0 , വൈ 0 ) കൂടാതെ (x 1 , വൈ 1 ), ലാഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയലിന് രൂപമുണ്ട്

വേണ്ടി n= 2 ലഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയൽ ത്രീ-പോയിൻ്റ് പട്ടിക ഉപയോഗിച്ചാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്

പരിഹാരം:ഞങ്ങൾ പ്രാരംഭ ഡാറ്റ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (5.8). ഫംഗ്‌ഷൻ നാല് മൂല്യങ്ങളാൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ലാഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയലിൻ്റെ അളവ് മൂന്നാമത്തേതിനേക്കാൾ ഉയർന്നതല്ല:

ലാഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ ഉപയോഗിച്ച്, ഏത് ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് പോയിൻ്റിലും നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താനാകും, ഉദാഹരണത്തിന് എക്സ്=4:

= 43

ലഗ്രാഞ്ച് ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലുകൾഉപയോഗിച്ചത് പരിമിതമായ മൂലക രീതി, നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

മറ്റ് ഇൻ്റർപോളേഷൻ ഫോർമുലകളും അറിയപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ന്യൂട്ടൻ്റെ ഇൻ്റർപോളേഷൻ ഫോർമുല, ഇക്വിഡിസ്റ്റൻ്റ് നോഡുകളുടെയോ ഇൻ്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിൻ്റെയോ കാര്യത്തിൽ ഇൻ്റർപോളേഷനായി ഉപയോഗിക്കുന്നു എർമിറ്റ.

സ്പ്ലൈൻ ഇൻ്റർപോളേഷൻ. ധാരാളം ഇൻ്റർപോളേഷൻ നോഡുകൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഒരു പ്രത്യേക സാങ്കേതികത ഉപയോഗിക്കുന്നു - പീസ്വൈസ് പോളിനോമിയൽ ഇൻ്റർപോളേഷൻ, ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദത്താൽ ഫംഗ്ഷൻ ഇൻ്റർപോളേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ ടിഅടുത്തുള്ള ഏതെങ്കിലും ഗ്രിഡ് നോഡുകൾക്കിടയിൽ.

റൂട്ട് അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ചതുര ഏകദേശമാണ്

പ്രശ്നത്തിൻ്റെ പ്രസ്താവന

RMS ഏകദേശ കണക്ക്ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഏകദേശമാക്കുന്നതിന് അനലിറ്റിക്കൽ എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ നേടുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു സമീപനമാണ് ഫംഗ്‌ഷനുകൾ. ചില പാറ്റേണുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രാരംഭ ഡാറ്റ വ്യക്തമാണ് എന്നതാണ് അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഒരു സവിശേഷത ഏകദേശ സ്വഭാവം.

ചില പരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഫലമായോ ചില കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രക്രിയയുടെ ഫലമായോ ഈ ഡാറ്റ ലഭിക്കുന്നു. അതനുസരിച്ച്, ഈ ഡാറ്റയിൽ പരീക്ഷണാത്മക പിശകുകൾ (ഉപകരണങ്ങളും വ്യവസ്ഥകളും അളക്കുന്നതിലെ പിശകുകൾ, ക്രമരഹിതമായ പിശകുകൾ മുതലായവ) അല്ലെങ്കിൽ റൗണ്ടിംഗ് പിശകുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ ചില പ്രതിഭാസങ്ങളെക്കുറിച്ചോ പ്രക്രിയയെക്കുറിച്ചോ അന്വേഷിക്കുകയാണെന്ന് പറയാം. പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന സൈബർനെറ്റിക് സിസ്റ്റം ("ബ്ലാക്ക് ബോക്സ്") ഉപയോഗിച്ച് ഗവേഷണ വസ്തുവിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

വേരിയബിൾ എക്സ്ഒരു സ്വതന്ത്ര, നിയന്ത്രിത വേരിയബിൾ ആണ് (ഇൻപുട്ട് പാരാമീറ്റർ).

വേരിയബിൾ വൈ- ഇത് ഇൻപുട്ട് പാരാമീറ്ററിൻ്റെ സ്വാധീനത്തോടുള്ള പഠന വസ്തുവിൻ്റെ പ്രതികരണമാണ് (പ്രതികരണം). ഇതാണ് ആശ്രിത വേരിയബിൾ.

ഈ പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുമ്പോൾ, ഒരു നിശ്ചിത പ്രവർത്തനപരമായ ആശ്രിതത്വം കണ്ടെത്തിയെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം y=f(x)സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളുകൾക്കിടയിൽ എക്സ്ആശ്രിത വേരിയബിളും യു.ഈ ആശ്രിതത്വം ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. 5.1 അർത്ഥങ്ങൾ x i, y i (i=1,2,…,എൻ) പരീക്ഷണ സമയത്ത് ലഭിച്ചത്.

പട്ടിക 5.1

ഫംഗ്ഷൻ്റെ അനലിറ്റിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ ആണെങ്കിൽ y=f(x)അജ്ഞാതമോ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതോ ആയതിനാൽ, പ്രവർത്തനം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചുമതല ഉയർന്നുവരുന്നു y=ജെ (എക്സ്),ആരുടെ മൂല്യങ്ങൾ x=xi, ഒരുപക്ഷേ അത് കുറച്ച് വ്യത്യസ്തമായിരുന്നുപരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞാൻ, (ഐ=1,..,എൻ). അതിനാൽ, പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള ആശ്രിതത്വം ഫംഗ്ഷൻ പ്രകാരം ഏകദേശമായി കണക്കാക്കുന്നു y=ജെ (എക്സ്)വിഭാഗത്തിൽ [ x 1 ,xn]:

f(x)@ജെ (എക്സ്). (5.9)

ഏകദേശ പ്രവർത്തനം y=ജെ (എക്സ്)വിളിച്ചു അനുഭവ സൂത്രവാക്യം (EF)അല്ലെങ്കിൽ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം (RE).

അനുഭവപരമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രകൃതിയുടെ നിയമങ്ങളായി നടിക്കുന്നില്ല, മറിച്ച് പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയെ കൂടുതലോ കുറവോ വേണ്ടത്ര വിവരിക്കുന്ന അനുമാനങ്ങൾ മാത്രമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, അവയുടെ പ്രാധാന്യം വളരെ വലുതാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വിജയകരമായ അനുഭവ സൂത്രവാക്യം മികച്ച ശാസ്ത്ര കണ്ടെത്തലുകളിലേക്ക് നയിച്ച സന്ദർഭങ്ങൾ ശാസ്ത്ര ചരിത്രത്തിൽ ഉണ്ട്.

അനുഭവ സൂത്രവാക്യം ആണ് മതിയായ, പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള വസ്തുവിനെ പരിശീലനത്തിന് മതിയായ കൃത്യതയോടെ വിവരിക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കാമെങ്കിൽ.

ഈ ആശ്രിതത്വം എന്തിനുവേണ്ടിയാണ്?

ഏകദേശ കണക്ക് (5.9) കണ്ടെത്തിയാൽ, അത് സാധ്യമാണ്:

സെഗ്‌മെൻ്റിന് പുറത്ത് പഠിക്കുന്ന വസ്തുവിൻ്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു പ്രവചനം നടത്തുക ( എക്സ്ട്രാപോളേഷൻ );

തിരഞ്ഞെടുക്കുക ഒപ്റ്റിമൽ പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള പ്രക്രിയയുടെ വികസനത്തിൻ്റെ ദിശ.

പഠനത്തിനു കീഴിലുള്ള വസ്തുവിൻ്റെ സവിശേഷതകളും പ്രാതിനിധ്യത്തിൻ്റെ ആവശ്യമായ കൃത്യതയും അനുസരിച്ച് റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിന് വ്യത്യസ്ത രൂപങ്ങളും സങ്കീർണ്ണതയുടെ വ്യത്യസ്ത തലങ്ങളും ഉണ്ടാകാം.

ജ്യാമിതീയമായിഒരു റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതല ഒരു വക്രം വരയ്ക്കുക എന്നതാണ് എൽ: y=ജെ (എക്സ്) « ഒരുപക്ഷേ അടുത്ത്» പരീക്ഷണ പോയിൻ്റുകളുടെ സംവിധാനത്തോട് ചേർന്ന് M i (x i, y i), i= 1,2,..,എൻ, പട്ടിക നൽകിയത്. 5.1 (ചിത്രം 5.2).

ഒരു റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർമ്മാണം (അനുഭവാത്മക പ്രവർത്തനം) 2 ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1. ഒരു പൊതു കാഴ്ച തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നുറിഗ്രഷൻ സമവാക്യങ്ങൾ,

2. അതിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

വിജയിച്ചു തിരഞ്ഞെടുപ്പ്റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം പ്രധാനമായും ഏതെങ്കിലും പ്രക്രിയയോ പ്രതിഭാസമോ പഠിക്കുന്ന പരീക്ഷകൻ്റെ അനുഭവത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

പലപ്പോഴും ഒരു റിഗ്രഷൻ സമവാക്യമായി ഒരു ബഹുപദം (പോളിനോമിയൽ) തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്നു:

രണ്ടാമത്തെ ചുമതല പാരാമീറ്ററുകൾ കണ്ടെത്തുന്നുറിഗ്രഷൻ സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചതുര രീതി(LSM), നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയോ പരീക്ഷണങ്ങളുടെയോ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഏതെങ്കിലും പാറ്റേൺ പഠിക്കുമ്പോൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു.

ഈ രീതിയുടെ വികസനം മുൻകാലങ്ങളിലെ പ്രശസ്ത ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പേരുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു - കെ.ഗൗസ്, എ. ലെജൻഡ്രെ.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സമചതുര രീതി

പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചുവെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. 5.1 റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ (5.11) എഴുതിയിരിക്കുന്നു, അതായത്. ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു ( എം+1) പരാമീറ്റർ

ഈ പരാമീറ്ററുകൾ പരീക്ഷണാത്മക പോയിൻ്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട റിഗ്രഷൻ സമവാക്യ ഗ്രാഫിൻ്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു M i (x i, y i), i= 1,2,..,എൻ(ചിത്രം 5.2).

എന്നിരുന്നാലും, ഈ പരാമീറ്ററുകൾ അദ്വിതീയമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന തരത്തിൽ പരാമീറ്ററുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് " കഴിയുന്നത്ര അടുത്ത്» ഈ പരീക്ഷണ പോയിൻ്റുകളുടെ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക്.

ആശയം പരിചയപ്പെടുത്താം വ്യതിയാനങ്ങൾപട്ടിക മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിൻ്റെ (5.11) മൂല്യങ്ങൾ വൈ ഐവേണ്ടി x i : , i= 1,2,..,എൻ.

നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം സ്ക്വയർ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ഏത്ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു ( എം+1) പരാമീറ്റർ

OLS അനുസരിച്ച് മികച്ച ഗുണകങ്ങൾ ഒരു ഐ(ഐ=0,1,..,എം) ചെറുതാക്കുന്നവയാണ് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, അതായത്.പ്രവർത്തനം

ഉപയോഗിക്കുന്നത് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രതയ്‌ക്ക് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾനിരവധി വേരിയബിളുകൾ, നമുക്ക് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ലഭിക്കും സാധാരണ സംവിധാനംഅജ്ഞാത ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ :

ഏകദേശ പ്രവർത്തനത്തിന് (5.11), സിസ്റ്റം (5.14) എന്നത് അജ്ഞാതർക്കുള്ള ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമാണ്. .

സാധ്യമായ കേസുകൾ:

1. എങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ (5.13) കുറയ്ക്കുന്ന അനന്തമായ ബഹുപദങ്ങൾ (5.11) ഉണ്ട്.

2. എങ്കിൽ m=n–1, തുടർന്ന് ഫംഗ്‌ഷൻ (5.13) കുറയ്ക്കുന്ന ഒരു പോളിനോമിയൽ (5.11) മാത്രമേയുള്ളൂ.

കുറവ് എം, അനുഭവ സൂത്രവാക്യം ലളിതമാണ്, എന്നാൽ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും മികച്ചതല്ല. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അനുഭവ സൂത്രവാക്യം ആയിരിക്കണം എന്നത് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ് മതിയായപഠിക്കുന്ന വസ്തു.