No pirmā acu uzmetiena algebriskās daļas šķiet ļoti sarežģītas, un nesagatavotam skolēnam var šķist, ka ar tām neko nevar izdarīt. Mainīgo lielumu, skaitļu un pat grādu uzkrāšanās izraisa bailes. Tomēr tie paši noteikumi tiek izmantoti, lai samazinātu parastās daļskaitļus (piemēram, 15/25) un algebriskās daļas.

Soļi

Frakcijas samazināšana

Apskatiet aktivitātes ar vienkāršās frakcijas. Darbības ar parastajām un algebriskajām daļām ir līdzīgas. Piemēram, ņemsim daļu 15/35. Lai vienkāršotu šo daļu, jums vajadzētu atrast kopīgu dalītāju. Abi skaitļi dalās ar pieci, tāpēc skaitītājā un saucējā varam izdalīt 5:

Tagad jūs varat samazināt kopējos faktorus, tas ir, izsvītrojiet 5 skaitītājā un saucējā. Rezultātā mēs iegūstam vienkāršoto daļu 3/7 . IN algebriskās izteiksmes kopīgie faktori tiek sadalīti tāpat kā parastajos. Iepriekšējā piemērā mēs varējām viegli nošķirt 5 no 15 — tas pats princips attiecas uz sarežģītākām izteiksmēm, piemēram, 15x – 5. Atradīsim kopējo faktoru. IN šajā gadījumā tas būs 5, jo abi termini (15x un -5) dalās ar 5. Tāpat kā iepriekš, izolējiet kopējo faktoru un pārvietojiet to pa kreisi.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Lai pārbaudītu, vai viss ir pareizi, vienkārši reiziniet izteiksmi iekavās ar 5 - rezultāts būs tādi paši skaitļi kā sākumā. Sarežģītos elementus var izolēt tāpat kā vienkāršus. Uz algebriskajām daļām attiecas tie paši principi, kas uz parastajām daļām. Tas ir vienkāršākais veids, kā samazināt daļu. Apsveriet šādu daļu:

Ņemiet vērā, ka gan skaitītājs (augšpusē), gan saucējs (apakšā) satur vārdu (x+2), tāpēc to var samazināt tāpat kā kopējo koeficientu 5 daļā 15/35:

Rezultātā mēs iegūstam vienkāršotu izteiksmi: (x-3)/(x+10)

Algebrisko daļu samazināšana

Atrodiet kopējo koeficientu skaitītājā, tas ir, daļskaitļa augšdaļā. Samazinot algebrisko daļu, pirmais solis ir vienkāršot abas puses. Sāciet ar skaitītāju un mēģiniet to iekļaut pēc iespējas vairāk faktoru. Apsveriet šajā sadaļā šādu daļu:

Sāksim ar skaitītāju: 9x – 3. 9x un -3 kopējais koeficients ir skaitlis 3. Iekavās izņemsim 3, kā tas tiek darīts ar parastajiem skaitļiem: 3 * (3x-1). Šīs transformācijas rezultāts ir šāda daļa:

Atrodiet kopējo koeficientu skaitītājā. Turpināsim ar iepriekš minēto piemēru un pierakstīsim saucēju: 15x+6. Tāpat kā iepriekš, noskaidrosim, ar kādu skaitli abas daļas dalās. Un šajā gadījumā kopējais koeficients ir 3, tāpēc mēs varam rakstīt: 3 * (5x +2). Pārrakstīsim daļskaitli šādā formā:

Saīsiniet tos pašus terminus. Šajā solī jūs varat vienkāršot daļu. Atceliet tos pašus vārdus skaitītājā un saucējā. Mūsu piemērā šis skaitlis ir 3.

Nosakiet, ka daļai ir vienkāršākā forma. Daļa ir pilnībā vienkāršota, ja skaitītājā un saucējā nav palicis neviens kopīgs faktors. Ņemiet vērā, ka jūs nevarat atcelt vienumus, kas tiek rādīti iekavās — iepriekš minētajā piemērā nav iespējams atdalīt x no 3x un 5x, jo pilnie termini ir (3x -1) un (5x + 2). Tādējādi frakciju nevar vēl vairāk vienkāršot, un galīgā atbilde ir šāda:

Praktizējiet frakciju samazināšanu patstāvīgi. Labākais veids iemācieties metodi neatkarīgs lēmums uzdevumus. Pareizās atbildes ir sniegtas zem piemēriem.

Atbilde:(x=13)

Atbilde:(2x-1)/5

Īpašas kustības

Izņemiet to negatīva zīmeārpus frakcijas. Pieņemsim, ka jums tiek dota šāda daļa:

Ņemiet vērā, ka (x-4) un (4-x) ir “gandrīz” identiski, taču tos nevar uzreiz samazināt, jo tie ir “apgriezti”. Tomēr (x - 4) var uzrakstīt kā -1 * (4 - x), tāpat kā (4 + 2x) var uzrakstīt kā 2 * (2 + x). To sauc par "zīmju maiņu".

Tagad varat samazināt identiskus vārdus (4 x):

Tātad, mēs saņemam galīgo atbildi: -3/5 . Iemācieties atpazīt atšķirību starp kvadrātiem. Kvadrātu atšķirība ir tad, kad viena skaitļa kvadrāts tiek atņemts no cita skaitļa kvadrāta, kā tas ir izteiksmē (a 2 - b 2). Perfekto kvadrātu starpību vienmēr var sadalīt divās daļās - summā un atbilstošā starpībā kvadrātsaknes. Tad izteiksmei būs šāda forma:

A 2 - b 2 = (a+b) (a-b)

Šis paņēmiens ir ļoti noderīgs, meklējot kopīgus terminus algebriskajās daļās.

• Pārbaudiet, vai esat pareizi aprēķinājis šo vai citu izteiksmi. Lai to izdarītu, reiziniet koeficientus - rezultātam jābūt tādai pašai izteiksmei.
• Lai pilnībā vienkāršotu daļu, vienmēr izolējiet lielākos faktorus.

Šajā rakstā mēs detalizēti aplūkosim, kā samazināšanas frakcijas. Vispirms apspriedīsim to, ko sauc par frakcijas samazināšanu. Pēc tam parunāsim par reducējamās daļas samazināšanu līdz nereducējamai formai. Tālāk mēs iegūsim noteikumu par frakciju samazināšanu un, visbeidzot, apsvērsim šī noteikuma piemērošanas piemērus.

Lapas navigācija.

Ko nozīmē samazināt daļu?

Mēs zinām, ka parastās frakcijas iedala reducējamās un nereducējamās frakcijās. Pēc nosaukumiem var nojaust, ka reducējamās daļas var samazināt, bet nereducējamās frakcijas nevar.

Ko nozīmē samazināt daļu? Samaziniet daļu- tas nozīmē dalīt tā skaitītāju un saucēju ar to pozitīvo un atšķirīgo no vienotības. Skaidrs, ka daļskaitļa samazināšanas rezultātā tiek iegūta jauna daļa ar mazāku skaitītāju un saucēju, un, pateicoties daļskaitļa pamatīpašībai, iegūtā daļa ir vienāda ar sākotnējo.

Piemēram, samazināsim parasto daļskaitli 8/24, dalot tās skaitītāju un saucēju ar 2. Citiem vārdiem sakot, samazinām daļu 8/24 par 2. Tā kā 8:2=4 un 24:2=12, šis samazinājums rada daļskaitli 4/12, kas ir vienāda ar sākotnējo daļskaitli 8/24 (skatīt vienādas un nevienādas daļas). Rezultātā mums ir .

Parasto frakciju samazināšana līdz nereducējamai formai

Parasti frakcijas samazināšanas galīgais mērķis ir iegūt nesamazināmu daļu, kas ir vienāda ar sākotnējo reducējamo daļu. Šo mērķi var sasniegt, samazinot sākotnējo reducējamo daļu tā skaitītājā un saucējā. Šādas samazināšanas rezultātā vienmēr tiek iegūta nereducējama daļa. Patiešām, daļa ir nesamazināms, jo tas ir zināms Un - . Šeit mēs teiksim, ka daļskaitļa skaitītāja un saucēja lielākais kopīgais dalītājs ir lielākais skaits, ar kuru šo daļu var samazināt.

Tātad, kopējās frakcijas samazināšana līdz nereducējamai formai sastāv no sākotnējās reducējamās daļas skaitītāja un saucēja dalīšanas ar to gcd.

Apskatīsim piemēru, kuram mēs atgriežamies pie daļskaitļa 8/24 un samazinām to ar skaitļu 8 un 24 lielāko kopīgo dalītāju, kas ir vienāds ar 8. Tā kā 8:8=1 un 24:8=3, mēs nonākam pie nereducējamās daļas 1/3. Tātad,.

Ņemiet vērā, ka frāze “samazināt daļu” bieži nozīmē sākotnējās daļas samazināšanu līdz tās nesamazināmai formai. Citiem vārdiem sakot, daļskaitļa samazināšana ļoti bieži attiecas uz skaitītāja un saucēja dalīšanu ar to lielāko kopīgo koeficientu (nevis ar jebkuru kopējo faktoru).

Kā samazināt daļu? Daļskaitļu samazināšanas noteikumi un piemēri

Atliek tikai aplūkot frakciju samazināšanas noteikumu, kas izskaidro, kā samazināt noteiktu daļu.

Noteikums frakciju samazināšanai sastāv no diviem posmiem:

• pirmkārt, tiek atrasts daļskaitļa skaitītāja un saucēja gcd;
• otrkārt, frakcijas skaitītājs un saucējs tiek dalīts ar to gcd, kas dod nereducējamu daļu, kas vienāda ar sākotnējo.

Sakārtosim to daļas samazināšanas piemērs saskaņā ar noteikto noteikumu.

Piemērs.

Samaziniet daļu 182/195.

Risinājums.

Izpildīsim abas daļas, kas noteiktas daļas samazināšanas noteikumā.

Vispirms atrodam GCD(182, 195) . Visērtāk ir izmantot Eiklīda algoritmu (skat.): 195=182·1+13, 182=13·14, tas ir, GCD(182, 195)=13.

Tagad mēs dalām daļskaitļa 182/195 skaitītāju un saucēju ar 13, un mēs iegūstam nereducējamo daļu 14/15, kas ir vienāda ar sākotnējo daļu. Tas pabeidz frakcijas samazināšanu.

Īsumā risinājumu var uzrakstīt šādi: .

Atbilde:

Šeit mēs varam pabeigt frakciju samazināšanu. Bet, lai pabeigtu attēlu, apskatīsim vēl divus veidus, kā samazināt frakcijas, ko parasti izmanto vieglos gadījumos.

Dažreiz samazinātās daļas skaitītājs un saucējs nav grūts. Daļas samazināšana šajā gadījumā ir ļoti vienkārša: no skaitītāja un saucēja vienkārši jānoņem visi izplatītie faktori.

Ir vērts atzīmēt, ka šī metode tieši izriet no daļskaitļu samazināšanas noteikuma, jo visu kopējo skaitītāja un saucēja galveno faktoru reizinājums ir vienāds ar to lielāko kopīgo dalītāju.

Apskatīsim piemēra risinājumu.

Piemērs.

Samaziniet daļu 360/2 940.

Risinājums.

Sadalīsim skaitītāju un saucēju vienkāršos faktoros: 360=2·2·2·3·3·5 un 2,940=2·2·3·5·7·7. Tādējādi .

Tagad mēs atbrīvojamies no kopējiem faktoriem skaitītājā un saucējā, mēs tos vienkārši izsvītrojam: .

Visbeidzot, mēs reizinām atlikušos faktorus: , un frakcijas samazināšana ir pabeigta.

Šeit ir īss risinājuma kopsavilkums: .

Atbilde:

Apskatīsim citu veidu, kā samazināt daļu, kas sastāv no secīgas samazināšanas. Šeit katrā solī daļa tiek samazināta ar kādu kopīgu skaitītāja un saucēja dalītāju, kas ir acīmredzams vai viegli nosakāms, izmantojot

Nezinot, kā samazināt daļu, un ar konsekventu prasmi atrisināt līdzīgi piemēri Skolā ir ļoti grūti mācīties algebru. Jo tālāk, jo vairāk pamata zināšanu par saīsinājumu parastās frakcijas uzlikts jaunu informāciju. Vispirms parādās pilnvaras, tad faktori, kas vēlāk kļūst par polinomiem.

Kā jūs varat izvairīties no apjukuma šeit? Rūpīgi nostiprināt prasmes iepriekšējās tēmās un pakāpeniski sagatavoties zināšanām par to, kā samazināt daļu, kas gadu no gada kļūst sarežģītāka.

Pamatzināšanas

Bez tiem jūs nevarēsit tikt galā ar jebkura līmeņa uzdevumiem. Lai saprastu, jums ir jāsaprot divi vienkārši mirkļi. Pirmkārt: jūs varat tikai samazināt faktorus. Šī nianse izrādās ļoti svarīga, kad skaitītājā vai saucējā parādās polinomi. Tad jums ir skaidri jānošķir, kur ir reizinātājs un kur ir pievienošana.

Otrais punkts saka, ka jebkuru skaitli var attēlot faktoru veidā. Turklāt samazinājuma rezultāts ir daļa, kuras skaitītāju un saucēju vairs nevar samazināt.

Noteikumi parasto frakciju samazināšanai

Pirmkārt, jums vajadzētu pārbaudīt, vai skaitītājs dalās ar saucēju vai otrādi. Tad tieši šis skaitlis ir jāsamazina. Šī ir vienkāršākā iespēja.

Otrais ir analīze izskats cipariem. Ja abi beidzas ar vienu vai vairākām nullēm, tās var saīsināt par 10, 100 vai tūkstoti. Šeit var pamanīt, vai skaitļi ir pāra. Ja jā, tad varat to droši samazināt par diviem.

Trešais noteikums daļskaitļa samazināšanai ir skaitītāja un saucēja iedalīšana galvenajos faktoros. Šajā laikā jums ir aktīvi jāizmanto visas savas zināšanas par skaitļu dalāmības zīmēm. Pēc šīs sadalīšanas atliek tikai atrast visus atkārtojošos, tos reizināt un samazināt ar iegūto skaitli.

Ko darīt, ja daļskaitlī ir algebriskā izteiksme?

Šeit parādās pirmās grūtības. Jo šeit parādās termini, kas var būt identiski faktoriem. Es patiešām vēlos tos samazināt, bet es nevaru. Pirms nociršanas algebriskā daļa, tas ir jāpārveido tā, lai tam būtu reizinātāji.

Lai to izdarītu, jums būs jāveic vairākas darbības. Iespējams, jums būs jāiziet visas no tām, vai arī pirmais piedāvās piemērotu iespēju.

Pārbaudiet, vai skaitītājs un saucējs vai kāda tajos esoša izteiksme atšķiras pēc zīmes. Šajā gadījumā jums vienkārši jāizliek mīnus viens no iekavām. Tas rada vienādus faktorus, kurus var samazināt.

Skatiet, vai ir iespējams noņemt kopējo faktoru no polinoma no iekavām. Iespējams, tā rezultātā tiks izveidota iekava, kuru var arī saīsināt, vai arī tas būs noņemts monoms.

Mēģiniet grupēt monomus, lai pēc tam pievienotu tiem kopīgu faktoru. Pēc tam var izrādīties, ka būs faktori, kurus var samazināt, vai arī atkal tiks atkārtota kopīgu elementu iekavu veidošana.

Mēģiniet rakstiski apsvērt saīsinātās reizināšanas formulas. Ar to palīdzību jūs varat viegli pārvērst polinomus faktoros.

Darbību secība ar daļām ar pakāpēm

Lai viegli saprastu jautājumu par to, kā samazināt daļu ar pilnvarām, jums ir stingri jāatceras pamatdarbības ar tām. Pirmais no tiem ir saistīts ar pilnvaru pavairošanu. Šajā gadījumā, ja bāzes ir vienādas, rādītāji ir jāpievieno.

Otrais ir sadalījums. Atkal tiem, kuriem ir tādi paši iemesli, rādītāji būs jāatņem. Turklāt jums ir jāatņem no skaitļa, kas ir dividendēs, nevis otrādi.

Trešais ir pastiprināšana. Šajā situācijā rādītāji tiek reizināti.

Veiksmīgai samazināšanai būs nepieciešama arī spēja samazināt pilnvaras līdz vienādām bāzēm. Tas ir, redzēt, ka četri ir divi kvadrātā. Vai 27 - kubs no trim. Tā kā 9 kvadrātu un 3 kubu samazināšana ir sarežģīta. Bet, ja mēs pārveidosim pirmo izteiksmi kā (3 2) 2, tad samazināšana būs veiksmīga.

Daudzi skolēni pieļauj tādas pašas kļūdas, strādājot ar daļskaitļiem. Un tas viss tāpēc, ka viņi aizmirst pamatnoteikumus aritmētika. Šodien mēs atkārtosim šos noteikumus konkrēti uzdevumi ko es sniedzu savās nodarbībās.

Lūk, uzdevums, ko piedāvāju ikvienam, kurš gatavojas vienotajam valsts eksāmenam matemātikā:

Uzdevums. Cūkdelfīns dienā apēd 150 gramus barības. Bet viņa uzauga un sāka ēst par 20% vairāk. Cik gramus barības tagad cūka apēd?

Nav pareizais lēmums. Šī ir procentuālā problēma, kas izpaužas vienādojumā:

Daudzi (ļoti daudzi) samazina skaitli 100 daļskaitļa skaitītājā un saucējā:

Šī ir kļūda, ko mans students pieļāva tieši šī raksta rakstīšanas dienā. Saīsinātie skaitļi ir atzīmēti sarkanā krāsā.

Lieki piebilst, ka atbilde bija nepareiza. Spriediet paši: cūka apēda 150 gramus, bet sāka ēst 3150 gramus. Pieaugums ir nevis 20%, bet 21 reizi, t.i. par 2000%.

Lai izvairītos no šādiem pārpratumiem, atcerieties pamatnoteikumu:

Var samazināt tikai reizinātājus. Termiņus nevar samazināt!

Tādējādi pareizais iepriekšējās problēmas risinājums izskatās šādi:

Skaitītājā un saucējā saīsinātie skaitļi ir atzīmēti ar sarkanu krāsu. Kā redzat, skaitītājs ir reizinājums, saucējs ir parastais numurs. Līdz ar to samazinājums ir pilnīgi likumīgs.

Darbs ar proporcijām

Vēl viena lieta problēmzona — proporcijas. It īpaši, ja mainīgais ir abās pusēs. Piemēram:

Uzdevums. Atrisiniet vienādojumu:

Nepareizs risinājums - dažiem cilvēkiem burtiski niez visu saīsināt par m:

Samazinātie mainīgie ir parādīti sarkanā krāsā. Izteiksme 1/4 = 1/5 izrādās pilnīga muļķība, šie skaitļi nekad nav vienādi.

Un tagad - pareizais lēmums. Būtībā tas ir parasts lineārais vienādojums . To var atrisināt, pārvietojot visus elementus uz vienu pusi, vai arī ar proporcijas pamatīpašību:

Daudzi lasītāji iebildīs: "Kur ir kļūda pirmajā risinājumā?" Nu, noskaidrosim. Atcerēsimies noteikumu darbam ar vienādojumiem:

Jebkuru vienādojumu var dalīt un reizināt ar jebkuru skaitli, kas nav nulle.

Vai palaidāt garām triku? Var dalīt tikai ar cipariem kas nav nulle. Konkrēti, jūs varat dalīt ar mainīgo m tikai tad, ja m != 0. Bet ja m = 0? Aizstāsim un pārbaudīsim:

Mēs saņēmām pareizo skaitlisko vienādību, t.i. m = 0 ir vienādojuma sakne. Atlikušajam m != 0 iegūstam izteiksmi formā 1/4 = 1/5, kas dabiski ir nepareiza. Tādējādi nav sakņu, kas atšķiras no nulles.

Secinājumi: saliekot visu kopā

Tātad, lai atrisinātu frakcionēti racionālie vienādojumi atcerieties trīs noteikumus:

1. Var samazināt tikai reizinātājus. Papildinājumi nav atļauti. Tāpēc iemācieties skaitīt skaitītāju un saucēju;
2. Galvenā proporcijas īpašība: galējo elementu reizinājums ir vienāds ar vidējo reizinājumu;
3. Vienādojumus var reizināt un dalīt tikai ar skaitļiem k, kas nav nulle. Gadījums k = 0 ir jāpārbauda atsevišķi.

Atcerieties šos noteikumus un nepieļaujiet kļūdas.

Divīzija un to daļskaitļa skaitītājs un saucējs kopīgs dalītājs, kas atšķiras no viena, sauc samazinot daļu.

Lai samazinātu kopējo daļskaitli, tās skaitītājs un saucējs jāsadala ar to pašu naturālo skaitli.

Šis skaitlis ir dotās daļskaitļa skaitītāja un saucēja lielākais kopīgais dalītājs.

Ir iespējami šādi lēmumu ierakstīšanas veidlapas Piemēri parasto frakciju samazināšanai.

Studentam ir tiesības izvēlēties jebkuru ieraksta veidu.

Piemēri. Vienkāršojiet frakcijas.

Samaziniet daļu par 3 (daliet skaitītāju ar 3;

daliet saucēju ar 3).

Samaziniet daļu par 7.

Norādītās darbības veicam daļskaitļa skaitītājā un saucējā.

Iegūto daļu samazina par 5.

Samazināsim šo daļu 4) ieslēgts 5,7³- skaitītāja un saucēja lielākais kopējais dalītājs (GCD), kas sastāv no skaitītāja un saucēja kopējiem faktoriem, kas ņemti pakāpē ar mazāko eksponentu.

Ieskaitīsim šīs daļskaitļa skaitītāju un saucēju primārajos faktoros.

Mēs iegūstam: 756=2²·3³·7 Un 1176=2³·3·7².

Nosakiet daļskaitļa skaitītāja un saucēja GCD (lielāko kopīgo dalītāju) 5) .

Tas ir kopīgu faktoru rezultāts ar zemākajiem eksponentiem.

GCD(756, 1176)= 2²·3·7.

Mēs dalām šīs daļas skaitītāju un saucēju ar to gcd, t.i., ar 2²·3·7 mēs iegūstam nesamazināmu daļu 9/14 .

Vai arī bija iespējams uzrakstīt skaitītāja un saucēja dekompozīcijas pirmfaktoru reizinājuma formā, neizmantojot jaudas jēdzienu, un pēc tam samazināt daļu, izsvītrojot tos pašus faktorus skaitītājā un saucējā. Kad nav palicis identisks koeficients, atlikušos faktorus reizinām atsevišķi skaitītājā un atsevišķi saucējā un izrakstām iegūto daļu 9/14 .

Un, visbeidzot, šo daļu bija iespējams samazināt 5) pakāpeniski, piemērojot skaitļu dalīšanas zīmes gan daļskaitļa skaitītājam, gan saucējam. Mēs domājam šādi: skaitļi 756 Un 1176 beidzas ar pāra skaitli, kas nozīmē, ka abi dalās ar 2 . Mēs samazinām daļu par 2 . Jaunās frakcijas skaitītājs un saucējs ir skaitļi 378 Un 588 sadalīts arī 2 . Mēs samazinām daļu par 2 . Mēs pamanām, ka numurs 294 - pat, un 189 ir nepāra, un samazināšana par 2 vairs nav iespējama. Pārbaudīsim skaitļu dalāmību 189 Un 294 ieslēgts 3 .

(1+8+9)=18 dalās ar 3 un (2+9+4)=15 dalās ar 3, tātad paši skaitļi 189 Un 294 tiek sadalīti 3 . Mēs samazinām daļu par 3 . Tālāk, 63 dalās ar 3 un 98 - Nē. Apskatīsim citus galvenos faktorus. Abi skaitļi dalās ar 7 . Mēs samazinām daļu par 7 un mēs iegūstam nesamazināmo daļu 9/14 .