Leņķis starp diviem vektoriem:

Ja leņķis starp diviem vektoriem ir akūts, tad to skalārais reizinājums ir pozitīvs; ja leņķis starp vektoriem ir neass, tad šo vektoru skalārā reizinājums ir negatīvs. Divu nulles vektoru skalārā reizinājums ir vienāds ar nulli tad un tikai tad, ja šie vektori ir ortogonāli.

Vingrinājums. Atrodiet leņķi starp vektoriem un

Risinājums. Vēlamā leņķa kosinuss

16. Leņķa aprēķins starp taisnēm, taisni un plakni

Leņķis starp taisni un plakni, kas krusto šo taisni un nav tai perpendikulāra, ir leņķis starp līniju un tās projekciju uz šo plakni.

Leņķa noteikšana starp taisni un plakni ļauj secināt, ka leņķis starp taisni un plakni ir leņķis starp divām krustojošām līnijām: pašu taisni un tās projekciju uz plakni. Tāpēc leņķis starp taisni un plakni ir akūts leņķis.

Leņķis starp perpendikulāru taisni un plakni tiek uzskatīts par vienādu ar , un leņķis starp paralēlu taisni un plakni netiek noteikts vispār vai tiek uzskatīts par vienādu ar .

69.§ Leņķa aprēķins starp taisnēm.

Leņķa aprēķināšanas problēma starp divām taisnēm telpā tiek atrisināta tāpat kā plaknē (§ 32). Ar φ apzīmēsim leņķa lielumu starp līnijām l 1 un l 2, un caur ψ - leņķa lielums starp virziena vektoriem A Un b šīs taisnās līnijas.

Tad ja

ψ 90° (206.6. att.), tad φ = 180° - ψ. Acīmredzot abos gadījumos ir patiesa vienādība cos φ = |cos ψ|. Pēc formulas (1) 20. § mums ir

tātad,

Ļaujiet līnijas dot ar to kanoniskajiem vienādojumiem

Pēc tam, izmantojot formulu, nosaka leņķi φ starp līnijām

Ja viena no līnijām (vai abām) ir dota ar nekanoniskiem vienādojumiem, tad, lai aprēķinātu leņķi, jāatrod šo līniju virziena vektoru koordinātas un pēc tam jāizmanto formula (1).

17. Paralēlas taisnes, Teorēmas par paralēlām taisnēm

Definīcija. Tiek izsauktas divas plaknes līnijas paralēli, ja tiem nav kopīgu punktu.

Tiek sauktas divas līnijas trīsdimensiju telpā paralēli, ja tie atrodas vienā plaknē un tiem nav kopīgu punktu.

Leņķis starp diviem vektoriem.

No punktu produkta definīcijas:

.

Nosacījums divu vektoru ortogonalitātei:

Nosacījums divu vektoru kolinearitātei:

.

Izriet no 5. definīcijas - . Patiešām, no vektora un skaitļa reizinājuma definīcijas izriet. Tāpēc, pamatojoties uz vektoru vienādības likumu, mēs rakstām , , , kas nozīmē . Bet vektors, kas iegūts, vektoru reizinot ar skaitli, ir kolineārs pret vektoru.

Vektora projekcija uz vektoru:

.

4. piemērs. Dotie punkti , , , .

Atrodiet punktu produktu.

Risinājums. mēs atrodam, izmantojot vektoru skalārās reizinājuma formulu, ko nosaka to koordinātas. Kopš

, ,

5. piemērs. Dotie punkti , , , .

Atrodiet projekciju.

Risinājums. Kopš

, ,

Pamatojoties uz projekcijas formulu, mums ir

.

6. piemērs. Dotie punkti , , , .

Atrodiet leņķi starp vektoriem un .

Risinājums. Ņemiet vērā, ka vektori

, ,

nav kolineāri, jo to koordinātas nav proporcionālas:

.

Šie vektori arī nav perpendikulāri, jo to skalārais reizinājums ir .

Atradīsim

Stūris mēs atrodam no formulas:

.

7. piemērs. Nosakiet, pie kādiem vektoriem un kolineārs.

Risinājums. Kolinearitātes gadījumā atbilstošās vektoru koordinātas un tam jābūt proporcionālam, tas ir:

.

Līdz ar to un.

8. piemērs. Nosakiet, kādā vektora vērtībā Un perpendikulāri.

Risinājums. Vektors un ir perpendikulāri, ja to skalārais reizinājums ir nulle. No šī nosacījuma mēs iegūstam: . Tāpēc,.

9. piemērs. Atrast , Ja , , .

Risinājums. Skalārā produkta īpašību dēļ mums ir:

10. piemērs. Atrodiet leņķi starp vektoriem un , kur un - vienības vektorus un leņķi starp vektoriem un ir vienāds ar 120°.

Risinājums. Mums ir: , ,

Beidzot mums ir: .

5.b. Vektoru mākslas darbs.

21. definīcija.Vektoru mākslas darbs vektoru pēc vektora sauc par vektoru vai, ko definē šādi trīs nosacījumi:

1) Vektora modulis ir vienāds ar , kur ir leņķis starp vektoriem un , t.i. .

No tā izriet, ka vektora reizinājuma modulis ir skaitliski vienāds ar laukumu paralelograms, kas konstruēts uz vektoriem un abām pusēm.

2) Vektors ir perpendikulārs katram no vektoriem un ( ; ), t.i. perpendikulāri paralelograma plaknei, kas konstruēta uz vektoriem un .

3) Vektors ir vērsts tā, ka, skatoties no tā gala, īsākais pagrieziens no vektora uz vektoru būtu pretēji pulksteņrādītāja virzienam (vektori , , veido labās puses trīskāršu).

Kā aprēķināt leņķus starp vektoriem?

Studējot ģeometriju, rodas daudzi jautājumi par vektoru tēmu. Īpašas grūtības studentam rodas, ja nepieciešams atrast leņķus starp vektoriem.

Pamatnosacījumi

Pirms aplūkot leņķus starp vektoriem, ir jāiepazīstas ar vektora definīciju un leņķa starp vektoriem jēdzienu.

Vektors ir segments, kuram ir virziens, tas ir, segments, kuram ir noteikts tā sākums un beigas.

Leņķis starp diviem vektoriem plaknē ar vispārējs sākums, sauc par mazāko no leņķiem, par kādu jāpārvieto viens no vektoriem ap kopīgu punktu tādā stāvoklī, kurā to virzieni sakrīt.

Risinājuma formula

Kad esat sapratis, kas ir vektors un kā tiek noteikts tā leņķis, varat aprēķināt leņķi starp vektoriem. Risinājuma formula tam ir diezgan vienkārša, un tās piemērošanas rezultāts būs leņķa kosinusa vērtība. Saskaņā ar definīciju tas ir vienāds ar vektoru skalārās reizinājuma un to garumu reizinājuma koeficientu.

Vektoru skalāro reizinājumu aprēķina kā faktoru vektoru atbilstošo koordinātu summu, kas reizināta ar otru. Vektora garumu vai tā moduli aprēķina kā kvadrātsakne no tā koordinātu kvadrātu summas.

Saņemot leņķa kosinusa vērtību, jūs varat aprēķināt paša leņķa vērtību, izmantojot kalkulatoru vai trigonometrisko tabulu.

Piemērs

Kad esat izdomājis, kā aprēķināt leņķi starp vektoriem, atbilstošās problēmas atrisināšana kļūs vienkārša un skaidra. Kā piemēru ir vērts apsvērt vienkāršo problēmu, kā atrast leņķa vērtību.

Pirmkārt, ērtāk būs aprēķināt risinājumam nepieciešamās vektoru garumu vērtības un to skalāro reizinājumu. Izmantojot iepriekš sniegto aprakstu, mēs iegūstam:

Aizvietojot iegūtās vērtības formulā, mēs aprēķinām vajadzīgā leņķa kosinusa vērtību:

Šis skaitlis nav viena no piecām izplatītākajām kosinusa vērtībām, tāpēc, lai iegūtu leņķa vērtību, jums būs jāizmanto kalkulators vai Bradis trigonometriskā tabula. Bet pirms leņķa iegūšanas starp vektoriem formulu var vienkāršot, lai atbrīvotos no papildu negatīvās zīmes:

Lai saglabātu precizitāti, galīgo atbildi var atstāt tādu, kāda tā ir, vai arī varat aprēķināt leņķa vērtību grādos. Saskaņā ar Bradis tabulu tā vērtība būs aptuveni 116 grādi un 70 minūtes, un kalkulators rādīs vērtību 116,57 grādi.

Leņķa aprēķināšana n-dimensiju telpā

Apsverot divus vektorus trīsdimensiju telpā, ir daudz grūtāk saprast, par kuru leņķi mēs runājam, ja tie neatrodas vienā plaknē. Lai vienkāršotu uztveri, varat uzzīmēt divus krustojošus segmentus, kas veido mazāko leņķi starp tiem, tas būs vēlamais. Pat ja vektorā ir trešā koordināta, vektoru leņķu aprēķināšanas process nemainīsies. Aprēķiniet vektoru skalāro reizinājumu un moduļus, to koeficienta loka kosinuss būs atbilde uz šo problēmu.

Ģeometrijā bieži vien ir problēmas ar telpām, kurām ir vairāk nekā trīs dimensijas. Bet viņiem atbildes atrašanas algoritms izskatās līdzīgs.

Atšķirība no 0 līdz 180 grādiem

Viena no izplatītākajām kļūdām, rakstot atbildi uz uzdevumu, kas paredzēts, lai aprēķinātu leņķi starp vektoriem, ir lēmums rakstīt, ka vektori ir paralēli, tas ir, vēlamais leņķis ir vienāds ar 0 vai 180 grādiem. Šī atbilde ir nepareiza.

Saņemot leņķa vērtību 0 grādu risinājuma rezultātā, pareizā atbilde būtu apzīmēt vektorus kā kopvirzienu, tas ir, vektoriem būs vienāds virziens. Ja tiek iegūti 180 grādi, vektori būs pretēji vērsti.

Specifiski vektori

Atrodot leņķus starp vektoriem, papildus iepriekš aprakstītajiem līdzvirziena un pretējā virziena veidiem varat atrast vienu no īpašajiem veidiem.

• Vairākus vektorus, kas ir paralēli vienai plaknei, sauc par koplanāriem.
• Vektorus, kuru garums un virziens ir vienāds, sauc par vienādiem.
• Vektorus, kas atrodas uz vienas taisnas līnijas neatkarīgi no virziena, sauc par kolineāriem.
• Ja vektora garums ir nulle, tas ir, tā sākums un beigas sakrīt, tad to sauc par nulli, un, ja tas ir viens, tad par vienību.

Kā atrast leņķi starp vektoriem?

lūdzu palīdziet! Es zinu formulu, bet nevaru to aprēķināt ((
vektors a (8; 10; 4) vektors b (5; -20; -10)

Aleksandrs Titovs

Leņķis starp vektoriem, ko nosaka to koordinātas, tiek atrasts, izmantojot standarta algoritmu. Vispirms jāatrod vektoru a un b skalārais reizinājums: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Šeit mēs aizstājam šo vektoru koordinātas un aprēķinām:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Tālāk mēs nosakām katra vektora garumus. Vektora garums vai modulis ir kvadrātsakne no tā koordinātu kvadrātu summas:
|a| = sakne no (x1^2 + y1^2 + z1^2) = sakne no (8^2 + 10^2 + 4^2) = sakne no (64 + 100 + 16) = sakne no 180 = 6 saknes no 5
|b| = sakne no (x2^2 + y2^2 + z2^2) = sakne no (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = sakne no (25 + 400 + 100) = sakne no 525 = 5 saknes no 21.
Mēs reizinām šos garumus. Mēs iegūstam 30 saknes no 105.
Un visbeidzot mēs dalām vektoru skalāro reizinājumu ar šo vektoru garumu reizinājumu. Mēs iegūstam -200/(30 saknes no 105) vai
- (4 saknes no 105) / 63. Tas ir leņķa kosinuss starp vektoriem. Un pats leņķis ir vienāds ar šī skaitļa loka kosinusu
f = arccos (-4 saknes no 105) / 63.
Ja es visu pareizi saskaitīju.

Kā aprēķināt leņķa sinusu starp vektoriem, izmantojot vektoru koordinātas

Mihails Tkačovs

Sareizināsim šos vektorus. To skalārais reizinājums ir vienāds ar šo vektoru garumu reizinājumu un starp tiem esošā leņķa kosinusu.
Leņķis mums nav zināms, bet koordinātas ir zināmas.
Pierakstīsim to matemātiski šādi.
Doti vektori a(x1;y1) un b(x2;y2).
Tad

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Parunāsim.
vektoru a*b-skalārais reizinājums ir vienāds ar šo vektoru koordinātu atbilstošo koordinātu reizinājumu summu, t.i., vienāds ar x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-vektora garumu reizinājums ir vienāds ar √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Tas nozīmē, ka leņķa kosinuss starp vektoriem ir vienāds ar:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Zinot leņķa kosinusu, mēs varam aprēķināt tā sinusu. Apspriedīsim, kā to izdarīt:

Ja leņķa kosinuss ir pozitīvs, tad šis leņķis atrodas 1 vai 4 kvadrantos, kas nozīmē, ka tā sinuss ir pozitīvs vai negatīvs. Bet, tā kā leņķis starp vektoriem ir mazāks vai vienāds ar 180 grādiem, tad tā sinuss ir pozitīvs. Mēs domājam līdzīgi, ja kosinuss ir negatīvs.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Tas arī viss)))) lai veicas to izdomāt)))

Dmitrijs Leviščovs

Tas, ka nav iespējams tieši sinusēt, nav taisnība.
Papildus formulai:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Ir arī šis:
||=|a|*|b|*sin A
Tas ir, skalārā reizinājuma vietā varat ņemt vektora reizinājuma moduli.

Studējot ģeometriju, rodas daudzi jautājumi par vektoru tēmu. Īpašas grūtības studentam rodas, ja nepieciešams atrast leņķus starp vektoriem.

Pamatnosacījumi

Pirms aplūkot leņķus starp vektoriem, ir jāiepazīstas ar vektora definīciju un leņķa starp vektoriem jēdzienu.

Vektors ir segments, kuram ir virziens, tas ir, segments, kuram ir noteikts tā sākums un beigas.

Leņķis starp diviem vektoriem plaknē, kuriem ir kopīga sākumpunkts, ir mazākais no leņķiem, par cik viens no vektoriem jāpārvieto ap kopējo punktu, līdz to virzieni sakrīt.

Risinājuma formula

Kad esat sapratis, kas ir vektors un kā tiek noteikts tā leņķis, varat aprēķināt leņķi starp vektoriem. Risinājuma formula tam ir diezgan vienkārša, un tās piemērošanas rezultāts būs leņķa kosinusa vērtība. Saskaņā ar definīciju tas ir vienāds ar vektoru skalārās reizinājuma un to garumu reizinājuma koeficientu.

Vektoru skalāro reizinājumu aprēķina kā faktoru vektoru atbilstošo koordinātu summu, kas reizināta ar otru. Vektora garumu vai tā moduli aprēķina kā kvadrātsakni no tā koordinātu kvadrātu summas.

Saņemot leņķa kosinusa vērtību, jūs varat aprēķināt paša leņķa vērtību, izmantojot kalkulatoru vai trigonometrisko tabulu.

Piemērs

Kad esat izdomājis, kā aprēķināt leņķi starp vektoriem, atbilstošās problēmas atrisināšana kļūs vienkārša un skaidra. Kā piemēru ir vērts apsvērt vienkāršo problēmu, kā atrast leņķa vērtību.

Pirmkārt, ērtāk būs aprēķināt risinājumam nepieciešamās vektoru garumu vērtības un to skalāro reizinājumu. Izmantojot iepriekš sniegto aprakstu, mēs iegūstam:

Aizvietojot iegūtās vērtības formulā, mēs aprēķinām vajadzīgā leņķa kosinusa vērtību:

Šis skaitlis nav viena no piecām izplatītākajām kosinusa vērtībām, tāpēc, lai iegūtu leņķa vērtību, jums būs jāizmanto kalkulators vai Bradis trigonometriskā tabula. Bet pirms leņķa iegūšanas starp vektoriem formulu var vienkāršot, lai atbrīvotos no papildu negatīvās zīmes:

Lai saglabātu precizitāti, galīgo atbildi var atstāt tādu, kāda tā ir, vai arī varat aprēķināt leņķa vērtību grādos. Saskaņā ar Bradis tabulu tā vērtība būs aptuveni 116 grādi un 70 minūtes, un kalkulators rādīs vērtību 116,57 grādi.

Leņķa aprēķināšana n-dimensiju telpā

Apsverot divus vektorus trīsdimensiju telpā, ir daudz grūtāk saprast, par kuru leņķi mēs runājam, ja tie neatrodas vienā plaknē. Lai vienkāršotu uztveri, varat uzzīmēt divus krustojošus segmentus, kas veido mazāko leņķi starp tiem, tas būs vēlamais. Pat ja vektorā ir trešā koordināta, vektoru leņķu aprēķināšanas process nemainīsies. Aprēķiniet vektoru skalāro reizinājumu un moduļus, to koeficienta loka kosinuss būs atbilde uz šo problēmu.

Ģeometrijā bieži vien ir problēmas ar telpām, kurām ir vairāk nekā trīs dimensijas. Bet viņiem atbildes atrašanas algoritms izskatās līdzīgs.

Atšķirība no 0 līdz 180 grādiem

Viena no izplatītākajām kļūdām, rakstot atbildi uz uzdevumu, kas paredzēts, lai aprēķinātu leņķi starp vektoriem, ir lēmums rakstīt, ka vektori ir paralēli, tas ir, vēlamais leņķis ir vienāds ar 0 vai 180 grādiem. Šī atbilde ir nepareiza.

Saņemot leņķa vērtību 0 grādu risinājuma rezultātā, pareizā atbilde būtu apzīmēt vektorus kā kopvirzienu, tas ir, vektoriem būs vienāds virziens. Ja tiek iegūti 180 grādi, vektori būs pretēji vērsti.

Specifiski vektori

Atrodot leņķus starp vektoriem, papildus iepriekš aprakstītajiem līdzvirziena un pretējā virziena veidiem varat atrast vienu no īpašajiem veidiem.

• Vairākus vektorus, kas ir paralēli vienai plaknei, sauc par koplanāriem.
• Vektorus, kuru garums un virziens ir vienāds, sauc par vienādiem.
• Vektorus, kas atrodas uz vienas taisnas līnijas neatkarīgi no virziena, sauc par kolineāriem.
• Ja vektora garums ir nulle, tas ir, tā sākums un beigas sakrīt, tad to sauc par nulli, un, ja tas ir viens, tad par vienību.

Pēc jūsu pieprasījuma!

1. Novērsiet iracionalitāti saucējā:

3. Atrisiniet eksponenciālo vienādojumu:

4. Atrisiniet nevienlīdzību:

Aritmētiskā kvadrātsakne pastāv tikai no nenegatīva skaitļa un vienmēr tiek izteikta kā nenegatīvs skaitlis, tāpēc šī nevienlīdzība būs spēkā visiem X, atbilst nosacījumam: 2-х≥0. No šejienes mēs iegūstam: x≤2. Atbildi rakstām skaitliska intervāla veidā: (-∞; 2].

5. Atrisiniet nevienādību: 7 x > -1.

Pēc definīcijas: Funkciju formā y = a x sauc par eksponenciālu, kur a >0, a≠1, x ir jebkurš skaitlis. Vērtību diapazons eksponenciālā funkcija ir visu pozitīvo skaitļu kopa, jo pozitīvs skaitlis jebkurā mērā būs pozitīvs. Tāpēc 7 x >0 jebkuram x un vēl jo vairāk 7 x > -1, t.i. nevienādība ir patiesa visiem x ∈ (-∞; +∞).

6. Konvertēt uz produktu:

Pielietosim sinusu summas formulu: divu leņķu sinusu summa ir vienāda ar šo leņķu pussummas sinusa un to pusatšķirības kosinusa reizinājumu.

8. Ir zināms, ka f(x) = -15x+3. Kurām x vērtībām f(x)=0?

F(x) vietā aizstājiet skaitli 0 un atrisiniet vienādojumu:

15x+3=0 ⇒ -15x=-3 ⇒ x=3:15 ⇒ x = 1/5.

11 . Pirmajā un otrajā sakausējumā varš un cinks ir attiecībās 5:2 un 3:4. Cik daudz katra sakausējuma jāņem, lai iegūtu 28 kg jauna sakausējuma ar vienādu vara un cinka saturu.

Mēs saprotam, ka jaunais sakausējums saturēs 14 kg vara un 14 kg cinka. Visas līdzīgas problēmas tiek atrisinātas vienādi: tiek izveidots vienādojums, kurā kreisajā un labajā pusē ir vienāds vielas daudzums (ņemsim varu), kas rakstīts atšķirīgi (pamatojoties uz uzdevuma specifiskajiem nosacījumiem). Mūsu 14 kg vara jaunajā sakausējumā sastāvēs no vara no abiem šiem sakausējumiem. Ļaujiet pirmā sakausējuma masai X kg, tad otrā sakausējuma masa ir ( 28. gadi) kg. Pirmajā sakausējumā ir 5 daļas vara un 2 daļas cinka, tāpēc varš būs (5/7) no x kg. Lai atrastu skaitļa daļu, jums tā jāreizina ar doto skaitli. Otrais sakausējums satur 3 daļas vara un 4 daļas cinka, t.i. varš satur (3/7) no (28) kg. Tātad:

12. Atrisiniet vienādojumu: log 2 8 x = -1.

Pēc logaritma definīcijas:

8 x = 2 -1 ⇒ 2 3x = 2 -1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3.

15. Atrodiet funkcijas f(x) = -ln cosx 2 atvasinājumu.

20. Atrodiet izteiciena nozīmi:

Skaitļa moduli var izteikt tikai kā nenegatīvu skaitli. Ja zem moduļa zīmes ir negatīva izteiksme, tad, atverot moduļu iekavas, visi termini tiek rakstīti ar pretējām zīmēm.

22. Atrisiniet nevienādību sistēmu:

Pirmkārt, mēs atrisinām katru nevienlīdzību atsevišķi.

Ņemiet vērā, ka mazākais kopējais periods šīm funkcijām būtu 2π, tāpēc tika attiecināti gan pa kreisi, gan pa labi 2πn. Atbilde C).

23. Atrodiet figūras laukumu, ko ierobežo funkcijas y=3-|x-3| grafiks un taisne y=0.

Šīs funkcijas grafiks sastāvēs no divām puslīnijām, kas iziet no viena punkta. Pierakstīsim līniju vienādojumus. Ja x≥3 mēs atveram moduļu iekavas un iegūstam: y=3-x+3 ⇒ y=6-x. Pie x<3 получаем функцию: y=3+x-3 ⇒ y=x.

Trijstūris, ko ierobežo funkcijas grafiks un Vērša ass segments, ir figūra, kuras laukums ir jāatrod. Protams, šeit var iztikt bez integrāļiem. Ļaujiet mums atrast trīsstūra laukumu kā pusi no tā pamatnes un augstuma reizinājuma, kas novilkts uz šo pamatni. Mūsu bāze ir vienāda ar 6 vienības segmentiem, un augstums, kas novilkts uz šo pamatni, ir vienāds ar 3 vienības segmentiem. Platība būs 9 kvadrātmetri. vienības

24. Atrast leņķa A kosinusu trijstūrim ar virsotnēm punktos A(1; 4), B(-2; 3), C(4; 2).

Lai atrastu vektora koordinātas, ko nosaka tā galu koordinātas, no beigu koordinātām ir jāatņem sākuma koordinātas.

Leņķi A veido vektori:

25. Kastītē ir 23 bumbiņas: sarkana, balta un melna. Balto bumbiņu ir 11 reizes vairāk nekā sarkano bumbiņu. Cik melnu bumbiņu?

Ļaujiet tai gulēt kastē X sarkanas bumbiņas. Tad balts 11x bumbiņas.

Sarkans un balts x+11x= 12x bumbiņas. Tāpēc melnās bumbiņas 23-12x. Tā kā tas ir vesels bumbiņu skaits, vienīgā iespējamā vērtība ir x=1. Izrādās: 1 sarkana bumbiņa, 11 baltas bumbiņas un 11 melnas bumbiņas.

Norādījumi

Plaknē uzrādīti divi vektori, kas nav nulles vektori, kas attēloti no viena punkta: vektors A ar koordinātām (x1, y1) B ar koordinātām (x2, y2). Stūris starp tiem ir apzīmēts ar θ. Lai atrastu leņķa θ pakāpes mēru, jāizmanto skalārā reizinājuma definīcija.

Divu nulles vektoru skalārā reizinājums ir skaitlis, kas vienāds ar šo vektoru garumu reizinājumu un starp tiem esošā leņķa kosinusu, tas ir, (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Tagad jums ir jāizsaka leņķa kosinuss no šī: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalāro reizinājumu var atrast arī, izmantojot formulu (A,B)=x1*x2+y1*y2, jo divu vektoru, kas nav nulles, reizinājums ir vienāds ar tiem atbilstošo vektoru reizinājumu summu. Ja nulle atšķirīgu vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli, tad vektori ir perpendikulāri (leņķis starp tiem ir 90 grādi) un turpmākos aprēķinus var izlaist. Ja divu vektoru skalārais reizinājums ir pozitīvs, tad leņķis starp tiem vektori akūts, un, ja negatīvs, tad leņķis ir strups.

Tagad aprēķiniet vektoru A un B garumus, izmantojot šādas formulas: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Vektora garumu aprēķina kā kvadrātsakni no tā koordinātu kvadrātu summas.

Atrastās skalārās reizinājuma vērtības un vektoru garumus aizstājiet 2. solī iegūtā leņķa formulā, tas ir, cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+ √(x2²+y2²)). Tagad, zinot vērtību, lai atrastu leņķa pakāpi starp vektori jums ir jāizmanto Bradis tabula vai jāņem no šīs: θ=arccos(cos(θ)).

Ja vektori A un B ir doti trīsdimensiju telpā un tiem ir attiecīgi koordinātes (x1, y1, z1) un (x2, y2, z2), tad, atrodot leņķa kosinusu, tiek pievienota vēl viena koordināte. Šajā gadījumā kosinuss: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Noderīgs padoms

Ja divi vektori nav attēloti no viena punkta, tad, lai atrastu leņķi starp tiem ar paralēlo tulkošanu, jums ir jāapvieno šo vektoru izcelsme.
Leņķis starp diviem vektoriem nedrīkst būt lielāks par 180 grādiem.

Avoti:

• kā aprēķināt leņķi starp vektoriem
• Leņķis starp taisni un plakni

Lai atrisinātu daudzas gan lietišķās, gan teorētiskās problēmas fizikā un lineārajā algebrā, ir jāaprēķina leņķis starp vektoriem. Šis šķietami vienkāršais uzdevums var radīt daudz grūtību, ja skaidri neizprotat skalārā reizinājuma būtību un to, kāda vērtība parādās šī produkta rezultātā.

Norādījumi

Leņķis starp vektoriem vektoru lineārajā telpā ir minimālais leņķis, pie kura tiek sasniegts vektoru kopvirziens. Zīmē vienu no vektoriem ap tā sākuma punktu. No definīcijas kļūst skaidrs, ka leņķa vērtība nedrīkst pārsniegt 180 grādus (skatīt soli).

Šajā gadījumā pilnīgi pamatoti tiek pieņemts, ka lineārajā telpā, veicot vektoru paralēlu pārsūtīšanu, leņķis starp tiem nemainās. Tāpēc leņķa analītiskajam aprēķinam vektoru telpiskajai orientācijai nav nozīmes.

Punktu reizinājuma rezultāts ir skaitlis, pretējā gadījumā skalārs. Atcerieties (tas ir svarīgi zināt), lai turpmākajos aprēķinos nepieļautu kļūdas. Skalārā reizinājuma formulai, kas atrodas plaknē vai vektoru telpā, ir forma (skatiet soļa attēlu).

Ja vektori atrodas telpā, tad aprēķinu veic līdzīgi. Vienīgā termiņa parādīšanās dividendē būs pieteikuma termiņš, t.i. vektora trešā sastāvdaļa. Attiecīgi, aprēķinot vektoru moduli, jāņem vērā arī z komponente, tad vektoriem, kas atrodas telpā, pēdējo izteiksmi pārveido šādi (soli skat. 6. attēlā).

Vektors ir segments ar noteiktu virzienu. Leņķim starp vektoriem ir fiziska nozīme, piemēram, meklējot vektora projekcijas garumu uz asi.

Norādījumi

Leņķis starp diviem nulles vektoriem, aprēķinot punktu reizinājumu. Pēc definīcijas reizinājums ir vienāds ar garumu un leņķa starp tiem reizinājumu. Savukārt diviem vektoriem a ar koordinātām (x1; y1) un b ar koordinātām (x2; y2) aprēķina skalāro reizinājumu: ab = x1x2 + y1y2. No šīm divām metodēm punktu reizinājums ir viegli leņķis starp vektoriem.

Atrodiet vektoru garumus vai lielumus. Mūsu vektoriem a un b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Atrodiet vektoru skalāro reizinājumu, reizinot to koordinātas pa pāriem: ab = x1x2 + y1y2. No skalārās reizinājuma definīcijas ab = |a|*|b|*cos α, kur α ir leņķis starp vektoriem. Tad mēs iegūstam, ka x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Tad cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Atrodiet leņķi α, izmantojot Bradis tabulas.

Video par tēmu

Lūdzu, ņemiet vērā

Skalārais reizinājums ir vektoru garuma un leņķa starp tiem skalārais raksturlielums.

Plakne ir viens no ģeometrijas pamatjēdzieniem. Plakne ir virsma, kurai ir patiess šāds apgalvojums: jebkura taisne, kas savieno divus tās punktus, pilnībā pieder šai virsmai. Plaknes parasti apzīmē ar grieķu burtiem α, β, γ utt. Divas plaknes vienmēr krustojas pa taisnu līniju, kas pieder abām plaknēm.

Norādījumi

Apskatīsim pusplaknes α un β, ko veido krustpunkts . Leņķis, ko veido taisne a un divas pusplaknes α un β ar divskaldņu leņķi. Šajā gadījumā pusplaknes, kas veido divskaldņu leņķi ar savām virsmām, taisni a, pa kuru plaknes krustojas, sauc par divskaldņa leņķa malu.

Divšķautņu leņķis, tāpat kā plaknes leņķis, ir grādos. Lai izveidotu divskaldņu leņķi, tā virsmā ir jāizvēlas patvaļīgs punkts O. Abos gadījumos caur punktu O tiek izvilkti divi stari. Izveidoto leņķi AOB sauc par lineāro divskaldņu leņķi a.

Tātad ir dots vektors V = (a, b, c) un plakne A x + B y + C z = 0, kur A, B un C ir normālā N koordinātas. Tad leņķa kosinuss α starp vektoriem V un N ir vienāds ar: cos α = (a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²)).

Lai aprēķinātu leņķi grādos vai radiānos, no iegūtās izteiksmes jāaprēķina kosinusa apgrieztā funkcija, t.i. arkosīns:α = arskos ((a A + b B + c C)/(√(a² + b² + c²) √(A² + B² + C²))).

Piemērs: atrast stūrī starp vektors(5, -3, 8) un lidmašīna, kas dots ar vispārīgo vienādojumu 2 x – 5 y + 3 z = 0. Risinājums: pierakstiet plaknes N = (2, -5, 3) normālvektora koordinātas. Aizvietojiet visas zināmās vērtības dotajā formulā: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video par tēmu

Izveidojiet vienādību un izolējiet no tās kosinusu. Saskaņā ar vienu formulu vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar to garumiem, kas reizināti viens ar otru un ar kosinusu leņķis, un, no otras puses, - koordinātu reizinājumu summa pa katru no asīm. Pielīdzinot abas formulas, varam secināt, ka kosinuss leņķis jābūt vienādam ar koordinātu reizinājumu summas attiecību pret vektoru garumu reizinājumu.

Pierakstiet iegūto vienādību. Lai to izdarītu, jums ir jānorāda abi vektori. Pieņemsim, ka tie ir doti trīsdimensiju Dekarta sistēmā un to sākuma punkti atrodas koordinātu tīklā. Pirmā vektora virzienu un lielumu norādīs punkts (X1,Y₁,Z₁), otrā - (X2,Y2,Z2), un leņķis tiks apzīmēts ar burtu γ. Tad katra vektora garumus var noteikt, piemēram, izmantojot Pitagora teorēmu par , kas veidojas no to projekcijām uz katru koordinātu asi: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) un √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Aizstājiet šīs izteiksmes iepriekšējā solī formulētajā formulā, un jūs iegūsit vienādību: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂) + Y₂² + Z₂² )).

Izmantojiet to, ka summa kvadrātā sinusa un co sinusa no leņķis vienāds daudzums vienmēr dod vienu. Tas nozīmē, ka, paaugstinot iepriekšējā solī iegūto par sinusa kvadrātā un atņemts no viena, un pēc tam

Vektoru punktu reizinājums

Mēs turpinām nodarboties ar vektoriem. Pirmajā nodarbībā Manekenu vektori Mēs apskatījām vektora jēdzienu, darbības ar vektoriem, vektoru koordinātas un vienkāršākās problēmas ar vektoriem. Ja pirmo reizi nonācāt šajā lapā, izmantojot meklētājprogrammu, es ļoti iesaku izlasīt iepriekš minēto ievadrakstu, jo, lai apgūtu materiālu, jums ir jāpārzina manis lietotie termini un apzīmējumi, jābūt pamatzināšanām par vektoriem un spēj atrisināt pamata problēmas. Šī nodarbība ir loģisks tēmas turpinājums, un tajā es detalizēti analizēšu tipiskus uzdevumus, kas izmanto vektoru skalāro reizinājumu. Šī ir ĻOTI SVARĪGA darbība.. Centieties neizlaist piemērus; tiem ir noderīgs papildinājums - prakse palīdzēs konsolidēt aplūkoto materiālu un labāk atrisināt izplatītas analītiskās ģeometrijas problēmas.

Vektoru saskaitīšana, vektora reizināšana ar skaitli.... Būtu naivi domāt, ka matemātiķi nav izdomājuši ko citu. Papildus jau apspriestajām darbībām ir vairākas citas darbības ar vektoriem, proti: vektoru punktu reizinājums, vektoru vektorreizinājums Un vektoru jauktais produkts. Vektoru skalārais reizinājums mums ir pazīstams no skolas laikiem, pārējie divi produkti tradicionāli pieder augstākās matemātikas kursam. Tēmas ir vienkāršas, daudzu problēmu risināšanas algoritms ir vienkāršs un saprotams. Vienīgais. Informācijas ir pieklājīgi daudz, tāpēc nav vēlams mēģināt apgūt un atrisināt VISU UZREIZ. Tas jo īpaši attiecas uz manekeniem, ticiet man, autors absolūti nevēlas justies kā Čikatilo no matemātikas. Nu, protams, arī ne no matemātikas =) Sagatavotāki skolēni var selektīvi izmantot materiālus, savā ziņā “dabūt” tev trūkstošās zināšanas es būšu nekaitīgs grāfs Drakula =)

Beidzot atveram durvis un ar entuziasmu vērosim, kas notiek, kad divi vektori satiekas...

Vektoru skalārās reizinājuma definīcija.
Skalārā reizinājuma īpašības. Tipiski uzdevumi

Punktu produkta jēdziens

Vispirms par leņķis starp vektoriem. Es domāju, ka visi intuitīvi saprot, kāds ir leņķis starp vektoriem, bet katram gadījumam nedaudz sīkāk. Apskatīsim brīvos nulles vektorus un . Ja jūs attēlojat šos vektorus no patvaļīga punkta, jūs iegūsit attēlu, ko daudzi jau ir domājuši:

Atzīšos, šeit situāciju aprakstīju tikai izpratnes līmenī. Ja jums ir nepieciešama stingra leņķa definīcija starp vektoriem, lūdzu, skatiet praktiskas problēmas mācību grāmatā, principā mums tas nav noderīgi. Arī ŠEIT UN ŠEIT es vietām ignorēšu nulles vektorus to zemās praktiskās nozīmes dēļ. Es veicu rezervāciju īpaši pieredzējušiem vietnes apmeklētājiem, kuri var man pārmest dažu turpmāko apgalvojumu teorētisko nepilnību.

Literatūrā leņķa simbols bieži tiek izlaists un vienkārši uzrakstīts.

Definīcija: Divu vektoru skalārā reizinājums ir SKAITS, kas vienāds ar šo vektoru garumu un starp tiem esošā leņķa kosinusu:

Tagad šī ir diezgan stingra definīcija.

Mēs koncentrējamies uz būtisku informāciju:

Apzīmējums: skalārais reizinājums tiek apzīmēts ar vai vienkārši.

Operācijas rezultāts ir SKAITS: vektors tiek reizināts ar vektoru, un rezultāts ir skaitlis. Patiešām, ja vektoru garumi ir skaitļi, leņķa kosinuss ir skaitlis, tad to reizinājums arī būs cipars.

Tikai daži iesildīšanās piemēri:

1. piemērs

Risinājums: Mēs izmantojam formulu . Šajā gadījumā:

Atbilde:

Kosinusa vērtības var atrast trigonometriskā tabula. Iesaku izdrukāt - tas būs vajadzīgs gandrīz visās torņa sekcijās un būs vajadzīgs daudzas reizes.

No tīri matemātiskā viedokļa skalārais reizinājums ir bezdimensijas, tas ir, rezultāts šajā gadījumā ir tikai skaitlis, un tas arī viss. No fizikas uzdevumu viedokļa skalāram reizinājumam vienmēr ir noteikta fiziska nozīme, tas ir, pēc rezultāta ir jānorāda viena vai otra fiziskā vienība. Kanonisku spēka darba aprēķināšanas piemēru var atrast jebkurā mācību grāmatā (formula ir tieši skalārais reizinājums). Spēka darbs tiek mērīts džoulos, tāpēc atbilde tiks uzrakstīta diezgan konkrēti, piemēram, .

2. piemērs

Atrodi, ja , un leņķis starp vektoriem ir vienāds ar .

Šis ir piemērs, kas jārisina pašam, atbilde ir nodarbības beigās.

Leņķis starp vektoriem un punkta produkta vērtību

1. piemērā skalārais reizinājums izrādījās pozitīvs, bet 2. piemērā tas izrādījās negatīvs. Noskaidrosim, no kā ir atkarīga skalārā reizinājuma zīme. Apskatīsim mūsu formulu: . Nenulles vektoru garumi vienmēr ir pozitīvi: , tāpēc zīme var būt atkarīga tikai no kosinusa vērtības.

Piezīme: Lai labāk izprastu tālāk sniegto informāciju, labāk ir izpētīt rokasgrāmatā esošo kosinusa grafiku Funkciju grafiki un īpašības. Skatiet, kā segmentā darbojas kosinuss.

Kā jau minēts, leņķis starp vektoriem var mainīties , un ir iespējami šādi gadījumi:

1) Ja stūrī starp vektoriem pikants: (no 0 līdz 90 grādiem), tad , Un punktu produkts būs pozitīvs līdzrežisors, tad leņķis starp tiem tiek uzskatīts par nulli, un arī skalārais reizinājums būs pozitīvs. Tā kā , formula vienkāršo: .

2) Ja stūrī starp vektoriem strups: (no 90 līdz 180 grādiem), tad , un attiecīgi punktu produkts ir negatīvs: . Īpašs gadījums: ja vektori pretējos virzienos, tad tiek ņemts vērā leņķis starp tiem paplašināts: (180 grādi). Arī skalārais reizinājums ir negatīvs, jo

Arī pretējie apgalvojumi ir patiesi:

1) Ja , tad leņķis starp šiem vektoriem ir akūts. Alternatīvi, vektori ir līdzvirziena.

2) Ja , tad leņķis starp šiem vektoriem ir strups. Alternatīvi, vektori ir pretējos virzienos.

Bet trešais gadījums ir īpaši interesants:

3) Ja stūrī starp vektoriem tiešā veidā: (90 grādi), tad skalārais reizinājums ir nulle: . Ir arī otrādi: ja , tad . Paziņojumu var kompakti formulēt šādi: Divu vektoru skalārā reizinājums ir nulle tad un tikai tad, ja vektori ir ortogonāli. Īss matemātiskais apzīmējums:

! Piezīme : Atkārtosim matemātiskās loģikas pamati: abpusēju loģisku seku ikonu parasti nolasa "ja un tikai tad", "ja un tikai tad". Kā redzat, bultiņas ir vērstas abos virzienos - "no šī seko tas, un otrādi - no šī seko tas." Starp citu, kāda ir atšķirība no vienvirziena sekošanas ikonas? Ikona norāda tikai to, ka “no tā izriet tas”, un tas nav fakts, ka ir otrādi. Piemēram: , bet ne katrs dzīvnieks ir pantera, tāpēc šajā gadījumā nevar izmantot ikonu. Tajā pašā laikā ikonas vietā Var izmantojiet vienpusēju ikonu. Piemēram, risinot uzdevumu, mēs noskaidrojām, ka secinājām, ka vektori ir ortogonāli: - šāds ieraksts būs pareizs un pat atbilstošāks nekā .

Trešajam gadījumam ir liela praktiska nozīme, jo tas ļauj pārbaudīt, vai vektori ir ortogonāli vai nē. Šo problēmu atrisināsim nodarbības otrajā daļā.

Punktu produkta īpašības

Atgriezīsimies pie situācijas, kad divi vektori līdzrežisors. Šajā gadījumā leņķis starp tiem ir nulle, un skalārā reizinājuma formula ir šāda: .

Kas notiek, ja vektoru reizina ar sevi? Ir skaidrs, ka vektors ir saskaņots ar sevi, tāpēc mēs izmantojam iepriekš minēto vienkāršoto formulu:

Numurs tiek izsaukts skalārais kvadrāts vektors, un tiek apzīmēti kā .

Tādējādi vektora skalārais kvadrāts ir vienāds ar dotā vektora garuma kvadrātu:

No šīs vienādības mēs varam iegūt formulu vektora garuma aprēķināšanai:

Pagaidām tas šķiet neskaidrs, taču nodarbības mērķi visu noliks savās vietās. Lai atrisinātu arī mums nepieciešamās problēmas punktu produkta īpašības.

Patvaļīgiem vektoriem un jebkuram skaitlim ir patiesas šādas īpašības:

1) – komutatīvais vai komutatīvais skalārā produkta likums.

2) – izplatīšana vai sadales skalārā produkta likums. Vienkārši varat atvērt kronšteinus.

3) – asociatīvais vai asociatīvs skalārā produkta likums. Konstanti var iegūt no skalārā reizinājuma.

Nereti visdažādākās īpašības (kas arī jāpierāda!) skolēni uztver kā nevajadzīgu miskasti, kas tikai jāiegaumē un uzreiz pēc eksāmena droši jāaizmirst. Šķiet, kas šeit ir svarīgi, visi jau no pirmās klases zina, ka faktoru pārkārtošana produktu nemaina: . Man ir jābrīdina, ka augstākajā matemātikā ar šādu pieeju ir viegli visu sajaukt. Tātad, piemēram, komutatīvais īpašums nav patiess algebriskās matricas. Tā nav arī taisnība vektoru vektorreizinājums. Tāpēc labāk vismaz iedziļināties jebkurās īpašībās, ar kurām saskaraties augstākās matemātikas kursā, lai saprastu, ko var un ko nevar.

3. piemērs

.

Risinājums: Vispirms noskaidrosim situāciju ar vektoru. Kas tas vispār ir? Vektoru summa ir precīzi definēts vektors, ko apzīmē ar . Darbību ar vektoriem ģeometriskā interpretācija ir atrodama rakstā Manekenu vektori. Tie paši pētersīļi ar vektoru ir vektoru un .

Tātad, atbilstoši nosacījumam, ir jāatrod skalārais reizinājums. Teorētiski jums ir jāpiemēro darba formula , bet problēma ir tā, ka mēs nezinām vektoru garumus un leņķi starp tiem. Bet nosacījums dod līdzīgus parametrus vektoriem, tāpēc mēs izvēlēsimies citu maršrutu:

(1) Aizstāj vektoru izteiksmes.

(2) Atveram iekavas saskaņā ar polinomu reizināšanas noteikumu, rakstā var atrast vulgāru mēles griezēju Sarežģīti skaitļi vai Frakcionētas-racionālas funkcijas integrēšana. Es neatkārtošos =) Starp citu, skalārā produkta sadales īpašība ļauj mums atvērt iekavas. Mums ir tiesības.

(3) Pirmajā un pēdējā terminā mēs kompakti ierakstām vektoru skalāros kvadrātus: . Otrajā terminā mēs izmantojam skalārā reizinājuma komutējamību: .

(4) Mēs piedāvājam līdzīgus terminus: .

(5) Pirmajā terminā mēs izmantojam skalārā kvadrāta formulu, kas tika minēta pirms neilga laika. Pēdējā termiņā attiecīgi darbojas tas pats: . Otro terminu izvēršam pēc standarta formulas .

(6) Aizstāt šos nosacījumus , un UZMANĪGI veiciet galīgos aprēķinus.

Atbilde:

Skalārās reizinājuma negatīvā vērtība norāda, ka leņķis starp vektoriem ir neass.

Problēma ir tipiska, šeit ir piemērs, kā to atrisināt pats:

4. piemērs

Atrodiet vektoru skalāro reizinājumu un, ja tas ir zināms .

Tagad vēl viens izplatīts uzdevums, tikai jaunajai vektora garuma formulai. Apzīmējums šeit nedaudz pārklājas, tāpēc skaidrības labad es to pārrakstīšu ar citu burtu:

5. piemērs

Atrodiet vektora garumu, ja .

Risinājums būs šādi:

(1) Mēs piedāvājam vektora izteiksmi.

(2) Mēs izmantojam garuma formulu: , kamēr visa izteiksme ve darbojas kā vektors “ve”.

(3) Mēs izmantojam skolas formulu summas kvadrātam. Ņemiet vērā, kā tas ziņkārīgi darbojas šeit: – patiesībā tas ir starpības kvadrāts, un patiesībā tas tā arī ir. Tie, kas vēlas, var pārkārtot vektorus: - notiek tas pats, līdz pat terminu pārkārtošanai.

(4) Sekojošais jau ir pazīstams no divām iepriekšējām problēmām.

Atbilde:

Tā kā mēs runājam par garumu, neaizmirstiet norādīt izmēru - “vienības”.

6. piemērs

Atrodiet vektora garumu, ja .

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Mēs turpinām izspiest noderīgas lietas no punktu produkta. Apskatīsim vēlreiz mūsu formulu . Izmantojot proporcijas likumu, mēs atiestatām vektoru garumus uz kreisās puses saucēju:

Apmainīsim detaļas:

Kāda ir šīs formulas nozīme? Ja ir zināmi divu vektoru garumi un to skalārā reizinājums, tad mēs varam aprēķināt leņķa kosinusu starp šiem vektoriem un līdz ar to arī pašu leņķi.

Vai punktu produkts ir skaitlis? Numurs. Vai vektoru garumi ir skaitļi? Skaitļi. Tas nozīmē, ka daļskaitlis ir arī skaitlis. Un, ja ir zināms leņķa kosinuss: , tad, izmantojot apgriezto funkciju, ir viegli atrast pašu leņķi: .

7. piemērs

Atrodiet leņķi starp vektoriem un, ja ir zināms, ka .

Risinājums: Mēs izmantojam formulu:

Aprēķinu pēdējā posmā tika izmantots tehniskais paņēmiens - saucējā iracionalitātes novēršana. Lai novērstu iracionalitāti, es skaitītāju un saucēju reizinu ar .

Tātad, ja , Tas:

Apgriezto trigonometrisko funkciju vērtības var atrast pēc trigonometriskā tabula. Lai gan tas notiek reti. Analītiskās ģeometrijas uzdevumos daudz biežāk kāds neveikls lācis patīk , un leņķa vērtība ir aptuveni jāatrod, izmantojot kalkulatoru. Patiesībā šādu attēlu mēs redzēsim vairāk nekā vienu reizi.

Atbilde:

Atkal neaizmirstiet norādīt izmērus - radiānus un grādus. Personīgi, lai acīmredzami “atrisinātu visus jautājumus”, es gribētu norādīt abus (ja vien nosacījums, protams, neprasa atbildi uzrādīt tikai radiānos vai tikai grādos).

Tagad jūs varat patstāvīgi tikt galā ar sarežģītāku uzdevumu:

7. piemērs*

Ir doti vektoru garumi un leņķis starp tiem. Atrast leņķi starp vektoriem , .

Uzdevums nav tik daudz grūts, cik daudzpakāpju.
Apskatīsim risinājuma algoritmu:

1) Saskaņā ar nosacījumu jums jāatrod leņķis starp vektoriem un , tāpēc jums ir jāizmanto formula .

2) Atrodiet skalāro reizinājumu (skatiet piemērus Nr. 3, 4).

3) Atrodiet vektora garumu un vektora garumu (skatiet piemērus Nr. 5, 6).

4) Risinājuma beigas sakrīt ar piemēru Nr. 7 - mēs zinām skaitli , kas nozīmē, ka ir viegli atrast pašu leņķi:

Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Nodarbības otrā sadaļa ir veltīta tam pašam skalāram reizinājumam. Koordinātas. Tas būs pat vieglāk nekā pirmajā daļā.

vektoru punktu reizinājums,
dots ar koordinātām ortonormālā bāzē

Atbilde:

Lieki piebilst, ka tikt galā ar koordinātām ir daudz patīkamāk.

14. piemērs

Atrodiet vektoru skalāro reizinājumu un ja

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Šeit var izmantot darbības asociativitāti, tas ir, neskaitīt , bet uzreiz izņemt trīskāršu ārpus skalārā reizinājuma un reizināt ar to pēdējo. Risinājums un atbilde ir stundas beigās.

Sadaļas beigās provokatīvs piemērs vektora garuma aprēķināšanai:

15. piemērs

Atrodiet vektoru garumus , Ja

Risinājums: Iepriekšējās sadaļas metode atkal ierosina sevi: taču ir arī cits veids:

Atradīsim vektoru:

Un tā garums saskaņā ar triviālo formulu:

Punktu produkts te vispār nav aktuāls!

Tas arī nav lietderīgi, aprēķinot vektora garumu:
Stop. Vai mums nevajadzētu izmantot vektora garuma acīmredzamo īpašību? Ko jūs varat teikt par vektora garumu? Šis vektors ir 5 reizes garāks par vektoru. Virziens ir pretējs, bet tam nav nozīmes, jo mēs runājam par garumu. Acīmredzot vektora garums ir vienāds ar reizinājumu modulis skaitļi uz vektora garumu:
– moduļa zīme “apēd” iespējamo skaitļa mīnusu.

Tādējādi:

Atbilde:

Formula leņķa kosinusam starp vektoriem, kas norādīti ar koordinātām

Tagad mums ir pilnīga informācija, lai izmantotu iepriekš iegūto formulu leņķa kosinusam starp vektoriem izteikt caur vektora koordinātām:

Leņķa kosinuss starp plaknes vektoriem un , kas norādīti ortonormāli, izteikts ar formulu:
.

Leņķa kosinuss starp telpas vektoriem, kas norādīti ortonormāli, izteikts ar formulu:

16. piemērs

Dotas trīs trijstūra virsotnes. Atrast (virsotnes leņķis).

Risinājums: Saskaņā ar nosacījumiem zīmējums nav nepieciešams, bet tomēr:

Nepieciešamais leņķis ir atzīmēts ar zaļu loku. Tūlīt atcerēsimies leņķa skolas apzīmējumu: - īpaša uzmanība vidēji burts - šī ir mums nepieciešamā leņķa virsotne. Īsuma labad varat arī uzrakstīt vienkārši .

No zīmējuma ir diezgan skaidrs, ka trijstūra leņķis sakrīt ar leņķi starp vektoriem un, citiem vārdiem sakot: .

Ieteicams iemācīties veikt analīzi garīgi.

Atradīsim vektorus:

Aprēķināsim skalāro reizinājumu:

Un vektoru garumi:

Leņķa kosinuss:

Tieši šādu uzdevumu izpildes secību iesaku manekeniem. Pieredzējuši lasītāji var rakstīt aprēķinus “vienā rindā”:

Šeit ir “sliktas” kosinusa vērtības piemērs. Iegūtā vērtība nav galīga, tāpēc nav jēgas atbrīvoties no saucējā iracionalitātes.

Atradīsim pašu leņķi:

Ja paskatās uz zīmējumu, rezultāts ir diezgan ticams. Lai pārbaudītu, leņķi var izmērīt arī ar transportieri. Nesabojājiet monitora vāku =)

Atbilde:

Atbildē mēs to neaizmirstam jautāja par trijstūra leņķi(un ne par leņķi starp vektoriem), neaizmirstiet norādīt precīzu atbildi: un aptuveno leņķa vērtību: , atrasts, izmantojot kalkulatoru.

Tie, kam šis process patika, var aprēķināt leņķus un pārbaudīt kanoniskās vienlīdzības derīgumu

17. piemērs

Trijstūri telpā nosaka tā virsotņu koordinātas. Atrodiet leņķi starp malām un

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās

Īsa pēdējā sadaļa tiks veltīta prognozēm, kas ietver arī skalāro reizinājumu:

Vektora projekcija uz vektoru. Vektora projekcija uz koordinātu asīm.
Vektora virziena kosinusus

Apsveriet vektorus un:

Projektēsim vektoru uz vektoru, lai to izdarītu, no vektora sākuma un beigām mēs izlaižam perpendikulu uz vektoru (zaļas punktētas līnijas). Iedomājieties, ka gaismas stari krīt perpendikulāri vektoram. Tad segments (sarkanā līnija) būs vektora “ēna”. Šajā gadījumā vektora projekcija uz vektoru ir segmenta GARUMS. Tas ir, PROJEKCIJA IR SKAITS.

Šis SKAITS ir apzīmēts šādi: , “liels vektors” apzīmē vektoru KAS projekts, "mazais apakšindeksa vektors" apzīmē vektoru IESLĒGTS kas tiek prognozēts.

Pats ieraksts skan šādi: “vektora “a” projicēšana uz vektoru “būt”.

Kas notiek, ja vektors "būt" ir "pārāk īss"? Mēs novelkam taisnu līniju, kurā ir vektors “būt”. Un vektors “a” jau tiks projicēts vektora "būt" virzienā, vienkārši - uz taisni, kurā ir vektors “būt”. Tas pats notiks, ja vektoru “a” atliks trīsdesmitajā valstībā - tas joprojām būs viegli projicējams uz taisnes, kurā ir vektors “būt”.

Ja leņķis starp vektoriem pikants(kā attēlā), tad

Ja vektori ortogonāls, tad (projekcija ir punkts, kura izmēri tiek uzskatīti par nulli).

Ja leņķis starp vektoriem strups(attēlā garīgi pārkārtojiet vektora bultiņu), pēc tam (tāds pats garums, bet ņemts ar mīnusa zīmi).

Uzzīmēsim šos vektorus no viena punkta:

Acīmredzot, vektoram kustoties, tā projekcija nemainās