삼각형의 면적을 결정하려면 다양한 공식을 사용할 수 있습니다. 모든 방법 중에서 가장 쉽고 자주 사용되는 방법은 높이에 밑면의 길이를 곱한 후 그 결과를 2로 나누는 것입니다. 그러나 이 방법이 유일한 방법은 아닙니다. 아래에서는 다양한 공식을 사용하여 삼각형의 면적을 찾는 방법을 읽을 수 있습니다.

이와 별도로 직사각형, 이등변형 및 정변형과 같은 특정 유형의 삼각형의 면적을 계산하는 방법을 살펴보겠습니다. 각 공식에는 그 본질을 이해하는 데 도움이 되는 간단한 설명이 함께 제공됩니다.

삼각형의 면적을 찾는 보편적인 방법

아래 수식은 특별한 표기법을 사용합니다. 우리는 그것들 각각을 해독할 것입니다:

• a, b, c - 우리가 고려하고 있는 그림의 세 변의 길이입니다.
• r은 삼각형에 내접할 수 있는 원의 반지름입니다.
• R은 주위에 설명할 수 있는 원의 반지름입니다.
• α는 변 b와 c가 이루는 각도의 크기입니다.
• β는 a와 c 사이의 각도의 크기입니다.
• γ는 변 a와 b가 이루는 각도의 크기입니다.
• h는 각도 α에서 변 a로 낮아진 삼각형의 높이입니다.
• p - 변 a, b, c의 합의 절반입니다.

이런 식으로 삼각형의 넓이를 구할 수 있는 이유는 논리적으로 분명합니다. 삼각형은 쉽게 평행사변형으로 완성될 수 있으며, 삼각형의 한 변이 대각선 역할을 합니다. 평행사변형의 면적은 한 변의 길이에 그려진 높이의 값을 곱하여 구합니다. 대각선은 이 조건부 평행사변형을 2개의 동일한 삼각형으로 나눕니다. 따라서 원래 삼각형의 면적은 이 보조 평행사변형 면적의 절반과 같아야 한다는 것이 매우 분명합니다.

S=½ a b sin γ

이 공식에 따르면 삼각형의 면적은 두 변, 즉 a와 b의 길이에 두 변이 이루는 각도의 사인을 곱하여 구합니다. 이 공식은 이전 공식에서 논리적으로 파생되었습니다. 각도 β에서 변 b로 높이를 낮추면 속성에 따라 정삼각형, 변 a의 길이에 각도 γ의 사인을 곱하면 삼각형의 높이, 즉 h를 얻습니다.

문제의 그림의 면적은 그 안에 들어갈 수 있는 원의 반경의 절반에 둘레를 곱하여 구합니다. 즉, 반경과 언급된 원의 반지름의 곱을 구합니다.

S= a b c/4R

이 공식에 따르면, 그림의 측면의 곱을 그림 주위에 설명된 원의 반지름 4개로 나누어 필요한 값을 찾을 수 있습니다.

이 공식은 모든 삼각형(사변형, 이등변형, 정변형, 직사각형)의 면적을 결정할 수 있으므로 보편적입니다. 이는 더 복잡한 계산을 사용하여 수행할 수 있으며 이에 대해서는 자세히 설명하지 않겠습니다.

특정 속성을 가진 삼각형 영역

직각 삼각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 이 그림의 특징은 양면이 동시에 높이라는 것입니다. a와 b가 다리이고 c가 빗변이 되면 면적은 다음과 같습니다.

이등변삼각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 길이가 a인 두 변과 길이가 b인 한 변이 있습니다. 결과적으로, 그 면적은 변 a의 제곱과 각도 γ의 사인을 2로 나누어 결정될 수 있습니다.

정삼각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 그 안에서 모든 변의 길이는 a와 같고 모든 각도의 크기는 α입니다. 높이는 변 a의 길이와 루트 3의 곱의 절반과 같습니다. 정삼각형의 면적을 구하려면 변 a의 제곱에 루트 3을 곱하고 다음으로 나누어야 합니다. 4.

면적의 개념

기하학적 도형, 특히 삼각형의 면적 개념은 정사각형과 같은 도형과 연관됩니다. 기하학적 도형의 단위 면적에 대해 우리는 변이 1인 정사각형의 면적을 취합니다. 완전성을 위해 영역 개념에 대한 두 가지 기본 속성을 기억해 보겠습니다. 기하학적 모양.

속성 1:기하학적 도형이 동일하면 해당 면적도 동일합니다.

속성 2:모든 그림은 여러 그림으로 나눌 수 있습니다. 또한, 원본 도형의 면적은 모든 구성 도형의 면적의 합과 같습니다.

예를 살펴보겠습니다.

실시예 1

분명히 삼각형의 변 중 하나는 대각선입니다. 직사각형, 한 변의 길이는 $5$($5$ 셀이 있으므로)이고 두 번째 변의 길이는 $6$($6$ 셀이 있으므로)입니다. 따라서 이 삼각형의 면적은 해당 직사각형의 절반과 같습니다. 직사각형의 면적은

그러면 삼각형의 면적은 다음과 같습니다.

답: $15$.

다음으로 우리는 높이와 밑변을 사용하여 삼각형의 넓이를 찾는 여러 가지 방법을 고려할 것입니다. 헤론의 공식그리고 정삼각형의 면적.

높이와 밑변을 사용하여 삼각형의 면적을 찾는 방법

정리 1

삼각형의 넓이는 한 변의 길이와 그 변의 높이의 곱의 절반으로 구할 수 있습니다.

수학적으로는 다음과 같습니다

$S=\frac(1)(2)αh$

여기서 $a$는 측면의 길이이고, $h$는 측면에 그려진 높이입니다.

증거.

$AC=α$인 삼각형 $ABC$를 생각해 보세요. $BH$ 높이가 이쪽에 그려지며 이는 $h$와 같습니다. 그림 2와 같이 정사각형 $AXYC$까지 만들어 보겠습니다.

직사각형 $AXBH$의 넓이는 $h\cdot AH$이고, 직사각형 $HBYC$의 넓이는 $h\cdot HC$입니다. 그 다음에

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

따라서 속성 2에 따라 필요한 삼각형 면적은 다음과 같습니다.

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

정리가 입증되었습니다.

실시예 2

셀의 면적이 1과 같은 경우 아래 그림에서 삼각형의 면적을 구하십시오.

이 삼각형의 밑변은 $9$와 같습니다($9$는 $9$ 정사각형이므로). 높이도 $9$입니다. 그러면 정리 1에 의해 우리는 다음을 얻습니다.

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

답: $40.5$.

헤론의 공식

정리 2

삼각형 $α$, $β$, $γ$의 세 변이 주어지면 그 넓이는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

여기서 $ρ$는 이 삼각형의 반둘레를 의미합니다.

증거.

다음 그림을 고려하십시오.

피타고라스 정리에 의해 삼각형 $ABH$로부터 우리는 다음을 얻습니다.

피타고라스의 정리에 따르면 삼각형 $CBH$에서 다음을 얻습니다.

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

이 두 관계로부터 우리는 평등을 얻습니다.

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$이므로 $α+β+γ=2ρ$입니다.

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

정리 1에 의해 우리는 다음을 얻습니다.

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

당신이 기억할 수 있듯이 학교 커리큘럼기하학에 따르면 삼각형은 같은 직선 위에 있지 않은 세 점으로 연결된 세 개의 선분으로 구성된 도형입니다. 삼각형은 세 개의 각을 형성하므로 그림의 이름이 붙여졌습니다. 정의는 다를 수 있습니다. 삼각형은 세 개의 각도를 가진 다각형이라고도 할 수 있으며 답도 정확합니다. 삼각형은 그림에 표시된 변의 개수와 각의 크기에 따라 나누어집니다. 따라서 삼각형은 각각 이등변, 정변 및 부등변 삼각형, 직사각형, 예각 및 둔각으로 구별됩니다.

삼각형의 면적을 계산하는 공식은 많습니다. 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 선택하세요. 어떤 공식을 사용할지는 귀하에게 달려 있습니다. 그러나 삼각형의 면적을 계산하기 위해 많은 공식에 사용되는 표기법 중 일부만 주목할 가치가 있습니다. 따라서 기억하세요:

S는 삼각형의 면적이고,

a, b, c는 삼각형의 변이고,

h는 삼각형의 높이이고,

R은 외접원의 반경이고,

p는 반주위입니다.

기하학 과정을 완전히 잊어버린 경우 유용할 수 있는 기본 표기법은 다음과 같습니다. 다음은 삼각형의 알 수 없고 신비한 영역을 계산하기 위한 가장 이해하기 쉽고 복잡하지 않은 옵션입니다. 그것은 어렵지 않으며 가정의 필요와 자녀를 돕는 데 모두 유용할 것입니다. 가능한 한 쉽게 삼각형의 면적을 계산하는 방법을 기억해 봅시다.

우리의 경우 삼각형의 면적은 S = ½ * 2.2 cm * 2.5 cm = 2.75 sq. cm입니다. 면적은 제곱센티미터(sqcm) 단위로 측정된다는 점을 기억하세요.

직각삼각형과 그 넓이.

직각삼각형은 한 각이 90도인 삼각형입니다(따라서 직각이라고 함). 직각은 두 개의 수직선(삼각형의 경우 두 개의 수직 세그먼트)으로 구성됩니다. 직각삼각형에는 직각이 하나만 있을 수 있습니다. 왜냐하면... 하나의 삼각형의 모든 각도의 합은 180도와 같습니다. 나머지 90도는 2개의 다른 각도(예: 70과 20, 45와 45 등)로 나누어야 합니다. 그래서, 당신은 가장 중요한 것을 기억합니다. 남은 것은 직각 삼각형의 면적을 찾는 방법을 찾는 것입니다. 우리 앞에 직각 삼각형이 있고 그 면적 S를 찾아야 한다고 상상해 봅시다.

1. 직각 삼각형의 면적을 결정하는 가장 간단한 방법은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

우리의 경우 직각 삼각형의 면적은 S = 2.5 cm * 3 cm / 2 = 3.75 sq. cm입니다.

원칙적으로 더 이상 다른 방법으로 삼각형의 면적을 확인할 필요가 없습니다. 이것만이 유용하고 일상생활에 도움이 될 것입니다. 그러나 예각을 통해 삼각형의 면적을 측정하는 옵션도 있습니다.

2. 다른 계산 방법을 위해서는 코사인, 사인, 탄젠트 표가 있어야 합니다. 스스로 판단하십시오. 여전히 사용할 수 있는 직각삼각형의 면적을 계산하기 위한 몇 가지 옵션은 다음과 같습니다.

우리는 첫 번째 공식과 약간의 얼룩을 사용하기로 결정했지만(우리는 그것을 공책에 그렸고 오래된 눈금자와 각도기를 사용했습니다) 올바른 계산을 얻었습니다.

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). 우리는 다음과 같은 결과를 얻었습니다: 3.6=3.7. 그러나 셀의 이동을 고려하면 이러한 차이는 용서할 수 있습니다.

이등변삼각형과 그 넓이.

이등변 삼각형의 공식을 계산하는 작업에 직면했다면 가장 쉬운 방법은 주 공식과 삼각형 영역에 대한 고전 공식으로 간주되는 공식을 사용하는 것입니다.

하지만 먼저 이등변삼각형의 넓이를 구하기 전에 이것이 어떤 도형인지부터 알아보겠습니다. 이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형이다. 이 두 면을 측면이라고 하고, 세 번째 면을 베이스라고 합니다. 이등변삼각형을 정삼각형과 혼동하지 마십시오. 세 변이 모두 같은 정삼각형. 이러한 삼각형에는 각도 또는 크기에 대한 특별한 경향이 없습니다. 그러나 이등변삼각형의 밑변의 각도는 동일하지만 같은 변 사이의 각도와는 다릅니다. 따라서 당신은 이미 첫 번째 공식과 주요 공식을 알고 있습니다. 이등변 삼각형의 면적을 결정하는 다른 공식이 무엇인지 알아내는 것이 남아 있습니다.

삼각형은 우리가 이미 알고 있는 가장 일반적인 기하학적 모양 중 하나입니다. 초등학교. 모든 학생은 기하학 수업에서 삼각형의 면적을 찾는 방법에 대한 질문에 직면합니다. 그렇다면 주어진 도형의 면적을 찾는 기능은 무엇인지 확인할 수 있습니까? 이 기사에서는 이러한 작업을 완료하는 데 필요한 기본 공식을 살펴보고 삼각형 유형도 분석합니다.

삼각형의 종류

삼각형의 넓이를 절대적으로 구할 수 있습니다 다른 방법들, 왜냐하면 기하학에는 세 개의 각도를 포함하는 두 가지 유형의 도형이 있기 때문입니다. 이러한 유형에는 다음이 포함됩니다.

• 무딘.
• 등변 (올바른).
• 정삼각형.
• 이등변.

각각에 대해 자세히 살펴보겠습니다. 기존 유형삼각형.

이 기하학적 도형은 기하학적 문제를 해결할 때 가장 일반적인 것으로 간주됩니다. 임의의 삼각형을 그려야 할 경우 이 옵션이 도움이 됩니다.

예각 삼각형에서는 이름에서 알 수 있듯이 모든 각도가 예각이고 합이 180°입니다.

이 유형의 삼각형도 매우 일반적이지만 예각 삼각형보다 덜 일반적입니다. 예를 들어, 삼각형을 풀 때(즉, 여러 변과 각도가 알려져 있고 나머지 요소를 찾아야 함) 때로는 각도가 둔한지 여부를 확인해야 합니다. 코사인은 음수입니다.

B, 각도 중 하나의 값이 90°를 초과하므로 나머지 두 각도는 작은 값(예: 15° 또는 심지어 3°)을 취할 수 있습니다.

이 유형의 삼각형 영역을 찾으려면 나중에 이야기할 몇 가지 뉘앙스를 알아야 합니다.

정삼각형과 이등변삼각형

정다각형은 n개의 각을 포함하고 변과 각이 모두 같은 도형입니다. 이것이 바로 정삼각형이다. 삼각형의 모든 내각의 합은 180°이므로 세 각의 각각은 60°입니다.

정삼각형은 그 특성 때문에 정삼각형이라고도 합니다.

정삼각형에는 단 하나의 원만 내접할 수 있고, 그 주위에는 단 하나의 원만 기술할 수 있으며, 그 중심은 같은 점에 위치한다는 점도 주목할 만하다.

정삼각형 외에도 약간 다른 이등변삼각형도 구별할 수 있습니다. 이러한 삼각형에서는 두 변과 두 각이 서로 같고 세 번째 변(인접하는 변)은 서로 같습니다. 같은 각도)가 기본이다.

그림은 각도 D와 F가 같고 DF가 밑변인 이등변삼각형 DEF를 보여줍니다.

정삼각형

직각 삼각형은 각도 중 하나가 직각, 즉 90°와 같기 때문에 그렇게 명명되었습니다. 나머지 두 각도의 합은 90°입니다.

제일 큰 면이러한 삼각형 중 90° 각도 반대편에 있는 변은 빗변이고 나머지 두 변은 다리입니다. 이 유형의 삼각형에는 피타고라스 정리가 적용됩니다.

다리 길이의 제곱의 합은 빗변 길이의 제곱과 같습니다.

그림은 빗변 AC와 다리 AB 및 BC가 있는 직각삼각형 BAC를 보여줍니다.

직각이 있는 삼각형의 넓이를 구하려면 다음을 알아야 합니다. 숫자 값그 다리.

주어진 그림의 면적을 찾는 공식으로 넘어 갑시다.

면적을 찾는 기본 공식

기하학에는 대부분의 삼각형 유형, 즉 예각삼각형, 둔각삼각형, 정삼각형 및 이등변삼각형의 면적을 찾는 데 적합한 두 가지 공식이 있습니다. 각각을 살펴보겠습니다.

측면 및 높이별

이 공식은 우리가 고려하고 있는 그림의 면적을 찾는 데 보편적입니다. 이렇게하려면 측면의 길이와 그에 그려진 높이의 길이를 아는 것으로 충분합니다. 공식 자체(밑변과 높이의 곱의 절반)는 다음과 같습니다.

여기서 A는 주어진 삼각형의 변이고, H는 삼각형의 높이입니다.

예를 들어, 예각 삼각형 ACB의 면적을 찾으려면 변 AB에 높이 CD를 곱하고 결과 값을 2로 나누어야 합니다.

그러나 이런 식으로 삼각형의 넓이를 구하는 것이 항상 쉬운 것은 아닙니다. 예를 들어, 둔각 삼각형에 이 공식을 사용하려면 변 중 하나를 확장한 다음 고도를 그려야 합니다.

실제로 이 공식은 다른 공식보다 더 자주 사용됩니다.

양쪽과 모서리에

이전 공식과 마찬가지로 이 공식은 대부분의 삼각형에 적합하며 그 의미는 삼각형의 측면과 높이로 면적을 구하는 공식의 결과입니다. 즉, 문제의 수식은 이전 수식에서 쉽게 도출될 수 있습니다. 그 공식은 다음과 같습니다.

S = ½*sinO*A*B,

여기서 A와 B는 삼각형의 변이고, O는 변 A와 B 사이의 각도입니다.

소련의 뛰어난 수학자 V. M. Bradis의 이름을 딴 특수 테이블에서 각도의 사인을 볼 수 있다는 점을 기억해 봅시다.

이제 예외적인 유형의 삼각형에만 적합한 다른 공식으로 넘어가겠습니다.

직각삼각형의 면적

삼각형에서 고도를 찾아야 하는 일반 공식 외에도 직각을 포함하는 삼각형의 면적을 다리에서 찾을 수 있습니다.

따라서 직각을 포함하는 삼각형의 면적은 다리의 곱의 절반입니다.

여기서 a와 b는 직각삼각형의 다리입니다.

정삼각형

이 유형기하학적 도형은 해당 변 중 하나만 표시된 값으로 면적을 찾을 수 있다는 점에서 다릅니다(정삼각형의 모든 변이 동일하기 때문에). 따라서 "두 변이 같을 때 삼각형의 넓이를 구하는" 작업에 직면했을 때 다음 공식을 사용해야 합니다.

S = A 2 *√3 / 4,

여기서 A는 정삼각형의 변입니다.

헤론의 공식

삼각형의 넓이를 구하는 마지막 옵션은 헤론의 공식입니다. 이를 사용하려면 도형의 세 변의 길이를 알아야 합니다. 헤론의 공식은 다음과 같습니다.

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

여기서 a, b 및 c는 주어진 삼각형의 변입니다.

때때로 문제가 주어집니다: "정삼각형의 넓이는 그 변의 길이를 구하는 것입니다." 안에 이 경우우리는 이미 알고 있는 정삼각형의 넓이를 구하는 공식을 사용하고 그로부터 변(또는 정사각형)의 값을 도출해야 합니다.

A 2 = 4S / √3.

심사과제

수학의 GIA 문제에는 많은 공식이 있습니다. 또한 체크 무늬 종이에서 삼각형의 면적을 찾아야 하는 경우가 많습니다.

이 경우 그림의 측면 중 하나에 높이를 그리고 셀에서 길이를 결정하고 영역을 찾는 일반 공식을 사용하는 것이 가장 편리합니다.

따라서 기사에 제시된 공식을 연구한 후에는 모든 종류의 삼각형 영역을 찾는 데 아무런 문제가 없습니다.