Drugi znak jednakosti trokuta

Ako su stranica i dva susjedna kuta jednog trokuta, redom, jednaki stranici i dva susjedna kuta drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki.

MN = PR N = R M = P

Kao i u dokazu prvog kriterija, morate se uvjeriti da li je to dovoljno za jednakost trokuta, mogu li oni biti potpuno kompatibilni?

1. Budući da je MN = PR, ti su segmenti poravnati ako su njihove krajnje točke poravnate.

2. Budući da je N = R i M = P, zrake \ (MK \) i \ (NK \) bit će superponirane na zrake \ (PT \) odnosno \ (RT \).

3. Ako se zrake poklapaju, tada se njihove sjecišne točke \ (K \) i \ (T \) podudaraju.

4. Svi vrhovi trokuta su poravnati, odnosno Δ MNK i Δ PRT su potpuno poravnati, što znači da su jednaki.

Treći znak jednakosti trokuta

Ako su tri strane jednog trokuta respektivno jednake trima stranicama drugog trokuta, onda su takvi trokuti jednaki.

MN = PR KN = TR MK = PT

Opet, pokušajmo kombinirati trokute Δ MNK i Δ PRT superpozicijom i pobrinuti se da odgovarajuće jednake stranice jamče jednakost odgovarajućih kutova ovih trokuta i da će se oni potpuno poklopiti.

Kombinirajmo, na primjer, identične segmente \ (MK \) i \ (PT \). Pretpostavimo da se točke \ (N \) i \ (R \) ne podudaraju.

Neka je \ (O \) središte segmenta \ (NR \). Prema ovim informacijama, MN = PR, KN = TR. Trokuti \ (MNR \) i \ (KNR \) su jednakokračni sa zajedničkom bazom \ (NR \).

Stoga su njihove medijane \ (MO \) i \ (KO \) visine, što znači da su okomite na \ (NR \). Prave \ (MO \) i \ (KO \) se ne podudaraju, jer točke \ (M \), \ (K \), \ (O \) ne leže na jednoj ravnoj crti. Ali kroz točku \ (O \) ravne linije \ (NR \) možete povući samo jednu ravnu crtu okomitu na nju. Došli smo do kontradikcije.

Dokazano je da se vrhovi \ (N \) i \ (R \) moraju podudarati.

Treći znak nam omogućuje da trokut nazovemo vrlo snažnom, stabilnom figurom, ponekad tako kažu trokut - kruta figura ... Ako se duljine stranica ne mijenjaju, ne mijenjaju se ni kutovi. Na primjer, četverokut nema takvo svojstvo. Stoga se razni oslonci i utvrde izrađuju trokutasto.

Ali svojevrsnu stabilnost, stabilnost i savršenstvo broja \ (3 \) ljudi već dugo procjenjuju i izdvajaju.

Bajke govore o tome.

Tamo susrećemo Tri medvjeda, Tri vjetra, Tri praščića, Tri druga, Tri brata, Tri sretnika, Tri zanatlije, Tri carevića, Tri prijatelja, Tri junaka" i druge.

Daju se "tri pokušaja", "tri savjeta", "tri upute", "tri sastanka", "tri želje" su ispunjene, treba izdržati "tri dana", "tri noći", "tri godine", idi kroz "tri države", "Tri podzemna kraljevstva", izdržati "tri testa", zaploviti preko "tri mora".

Za dva trokuta se kaže da su jednaka ako se mogu preklapati. Slika 1 prikazuje jednake trokute ABC i A 1 B 1 C 1. Svaki od ovih trokuta može se preklopiti na drugi tako da budu potpuno poravnati, odnosno da će njihovi vrhovi i stranice biti upareni u paru. Jasno je da će u ovom slučaju kutovi ovih trokuta također biti kombinirani u paru.

Dakle, ako su dva trokuta jednaka, tada su elementi (tj. stranice i kutovi) jednog trokuta, redom, jednaki elementima drugog trokuta. Imajte na umu da u jednakim trokutima na dotično jednakim stranicama(tj. preklapanje) imaju jednake kutove, i natrag: jednake stranice leže nasuprot odgovarajućim jednakim kutovima.

Tako, na primjer, u jednakim trokutima ABC i A 1 B 1 C 1, prikazanim na slici 1, nasuprot jednakih stranica AB i A 1 B 1 jednaki su kutovi C i C 1. Jednakost trokuta ABC i A 1 V 1 S 1 označit ćemo na sljedeći način: Δ ABC = Δ A 1 V 1 S 1. Ispada da se jednakost dvaju trokuta može utvrditi usporedbom nekih njihovih elemenata.

Teorem 1. Prvi znak jednakosti trokuta. Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta respektivno jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki (slika 2).

Dokaz. Razmotrimo trokute ABC i A 1 B 1 C 1, za koje je AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (vidi sliku 2). Dokažimo da je Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1.

Budući da je ∠ A = ∠ A 1, onda se trokut ABC može superponirati na trokut A 1 B 1 C 1 tako da se vrh A spoji s vrhom A1, a stranice AB i AC su na zrake A 1 B 1 i A 1 C, odnosno 1 . Budući da je AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, tada će AB strana biti poravnata sa stranom A 1 B 1, a AC strana sa stranom A 1 C 1; posebno će se kombinirati točke B i B 1, C i C 1. Posljedično, stranice BC i B 1 C 1 će se kombinirati. Dakle, trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 su potpuno kompatibilni, što znači da su jednaki.

Teorem 2 dokazuje se slično metodom superpozicije.

Teorem 2. Drugi znak jednakosti trokuta. Ako su stranica i dva susjedna kuta jednog trokuta, redom, jednaki stranici i dva susjedna kuta drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki (slika 34).

Komentar. Teorem 2 koristi se za utvrđivanje teorema 3.

Teorem 3. Zbroj bilo koja dva unutarnja kuta trokuta manji je od 180°.

Teorem 4 slijedi iz posljednjeg teorema.

Teorem 4. Vanjski kut trokut veći od bilo kojeg unutarnji kut nije uz njega.

Teorem 5. Treći znak jednakosti trokuta. Ako su tri strane jednog trokuta respektivno jednake trima stranicama drugog trokuta, tada su takvi trokuti jednaki ().

Primjer 1. U trokutima ABC i DEF (sl. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Usporedi trokute ABC i DEF. Koliki je kut u trokutu DEF jednak kutu V?

Riješenje. Ti su trokuti jednaki u prvom atributu. Kut F trokuta DEF jednak je kutu B trokuta ABC, budući da ti kutovi leže nasuprot odgovarajućih jednakih stranica DE i AC.

Primjer 2. Segmenti AB i CD (slika 5) sijeku se u točki O, koja je sredina svakog od njih. Što je krak BD ako je krak AC 6 m?

Riješenje. Trokuti AOC i BOD su jednaki (prema prvom kriteriju): ∠ AOC = ∠ BOD (vertikalno), AO = OB, CO = OD (prema uvjetu).
Jednakost ovih trokuta podrazumijeva jednakost njihovih stranica, odnosno AC = BD. Ali budući da je prema uvjetu AC = 6 m, onda je BD = 6 m.

Za dva trokuta postoje tri znaka jednakosti. U ovom članku ćemo ih razmotriti u obliku teorema, kao i pružiti njihove dokaze. Da biste to učinili, imajte na umu da će brojke biti jednake u slučaju kada su u potpunosti postavljene jedna na drugu.

Prvi znak

Teorem 1

Dva trokuta bit će jednaka ako su dvije stranice i kut između njih jednog od trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu koji leži između njih u drugom.

Dokaz.

Razmotrimo dva trokuta $ ABC $ i $ A "B" C "$, u kojima je $ AB = A" B "$, $ AC = A" C "$ i $ ∠A = ∠A" $ (slika 1).

Kombinirajmo visine $ A $ i $ A "$ ovih trokuta. Budući da su kutovi na tim vrhovima jednaki jedan drugome, stranice $ AB $ i $ AC $ bit će postavljene na zrake $ A" B "$ i $ A" C " $. Budući da su ove strane u paru jednake, stranice $ AB $ i $ AC $, respektivno, poklapaju se sa stranicama $ A "B" $ i $ A "C" $, a time i vrhovi $ B $ i $ B "$ , $ C $ i $ C "$ će se podudarati.

Stoga će se strana BC potpuno poklopiti sa stranom $ B "C" $. To znači da će se trokuti potpuno međusobno preklapati, što znači njihovu jednakost.

Teorem je dokazan.

Drugi znak

Teorem 2

Dva će trokuta biti jednaka ako su dva kuta i njihova zajednička stranica jednog od trokuta jednaki dvama kutovima i njihova zajednička stranica u drugom.

Dokaz.

Razmotrimo dva trokuta $ ABC $ i $ A "B" C "$, u kojima je $ AC = A" C "$ i $ ∠A = ∠A" $, $ ∠C = ∠C "$ (slika 2).

Kombinirajmo stranice $ AC $ i $ A "C" $ ovih trokuta, tako da će visine $ B $ i $ B "$ ležati na jednoj njegovoj strani. Budući da su kutovi na ovim stranicama u paru jednaki jedna drugoj, stranice $ AB $ i $ BC $ bit će postavljene na zrake $ A "B" $ i $ B "C" $. Stoga će točka $ B $ i točka $ B "$ biti točke presjeka poravnatih zraka (to je, na primjer, zrake $ AB $ i $ BC $). Budući da zrake mogu imati samo jednu točku presjeka, točka $ B $ će se poklopiti s točkom $ B "$. To znači da će se trokuti potpuno međusobno preklapati, što znači da su jednaki.

Teorem je dokazan.

Treći znak

Teorem 3

Dva su trokuta jednaka ako su tri strane jednog od trokuta jednake trima stranicama drugog.

Dokaz.

Razmotrimo dva trokuta $ ABC $ i $ A "B" C "$, u kojima je $ AC = A" C "$, $ AB = A" B "$ i $ BC = B" C "$ (slika 3).

Dokaz.

Kombinirajmo stranice $ AC $ i $ A "C" $ ovih trokuta, tako da će visine $ B $ i $ B "$ ležati na njegovim suprotnim stranama. Zatim ćemo razmotriti tri različita slučaja trokuta rezultirajući raspored ovih vrhova.na slikama.

Prvi slučaj:

Budući da je $ AB = A "B" $, jednakost $ ∠ABB "= ∠AB" B $ bit će istinita. Slično, $ ∠BB "C = ∠B" BC $. Tada, kao zbroj, dobivamo $ ∠B = ∠B "$

drugi slučaj:

Budući da je $ AB = A "B" $, jednakost $ ∠ABB "= ∠AB" B $ bit će istinita. Slično, $ ∠BB "C = ∠B" BC $. Tada, kao razliku, dobivamo $ ∠B = ∠B "$

Stoga su prema teoremu 1 ti trokuti jednaki.

Treći slučaj:

Budući da je $ BC = B "C" $, onda je jednakost $ ∠ABC = ∠AB "C $

Stoga su prema teoremu 1 ti trokuti jednaki.

Teorem je dokazan.

Primjeri zadataka

Primjer 1

Dokažite jednakost trokuta na donjoj slici

Treći kriterij jednakosti trokuta na tri strane formuliran je kao teorem.

Teorema : Ako su tri strane jednog trokuta respektivno jednake trima stranicama drugog trokuta, onda su takvi trokuti jednaki.

Dokaz. razmotrimo ΔABC i ΔA 1 B 1 C 1 u kojima je AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, VS = V 1 S 1. Dokažimo da je ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1

Neka su ABC i A 1 B 1 C 1 trokuti s AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Na ∆A 1 B 1 C 1 namećemo ∆ABC tako da se vrh A podudara s A 1, a vrhovi B i B 1, a vrhovi C i C 1 su na suprotnim stranama prave A 1 B 1. Moguća su tri slučaja: 1) zraka S 1 S prolazi unutar kuta A 1 S 1 V 1 (sl. A)); 2) zraka S 1 S poklapa se s jednom od stranica ovog kuta (sl. B)); zraka S 1 S prolazi izvan kuta A 1 S 1 V 1 (slika c)). Razmotrimo prvi slučaj. Budući da su prema uvjetu teorema stranice AC i A 1 C 1, BC i B 1 C 1 jednake, trokuti A 1 C 1 C i B 1 C 1 C su jednakokračni. Po teoremu o svojstvu kutova jednakokračan trokut Ll = l2, l3 = l4; dakle, lA 1 CB 1 = lA 1 C 1 B 1. Dakle, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, lC = lC 1. Prema tome, trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 jednaki su prvim znakom jednakosti trokuta.

Pisanje na ploči:

dano:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1, AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, VS = V 1 S 1

Dokazati:ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1

Dokaz.∆ABC namećemo na ∆A 1 B 1 C 1 tako da su A → A 1 i B → B 1, a C i C 1 na suprotnim stranama prave A 1 B 1. Razmotrimo slučaj. zraka S 1 S prolazi unutar RA 1 S 1 V 1 (slika a)).

AS = A 1 C 1, VS = V 1 S 1 ═> ΔA 1 S 1 S i ΔV 1 S 1 S - je jednako. L> ll = l2, l3 = l4 (prema sv-wu kutovi su jednaki Δ), l> lA 1 CB 1 = lA 1 C 1 B 1 ═> AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 , lC = RS 1 ═>

ΔABC = ΔA 1 V 1 S 1 prema prvom znaku jednakosti trokuta.

2.Romb. Definicija, svojstva, znakovi.

Romb je vrsta četverokuta.

Definicija: Romb se naziva paralelogram u kojem su sve strane jednake.

Na slici je prikazan paralelogram ABCD s AB = BC = CD = DA. Po definiciji, ovaj paralelogram je romb. AS i VD su dijagonale romba. Budući da je romb paralelogram, za njega vrijede sva svojstva i atributi paralelograma.

Svojstva:

1) U rombu su suprotni kutovi jednaki (ÐA = ÐC, ÐB = ÐD)

2) Dijagonale romba prepolovljene su točkom presjeka. (BO = OD, AO = OC)

3) Dijagonale romba su međusobno okomite, a kutovi su mu prepolovljeni. (AC DB, ÐABO = ÐOBS, ÐADO = ÐODDC, ÐBCO = ÐDCO, ÐDAO = ÐBAO) ( posebno vlasništvo)

4) Zbroj kutova susjednih jednoj strani je 180 0 (RA + RV = RS + RD = RV + RC = RA + RD = 180 0)

znakovi romb:

1) Ako su dijagonale paralelograma međusobno okomite, onda je ovaj paralelogram romb

2) Ako dijagonala paralelograma dijeli njegove kutove na pola, onda je ovaj paralelogram romb.

3) ako su u paralelogramu sve strane jednake, onda je to romb.

Pisanje na ploči.

Svojstva:

1) RA = RC, RB = RD 2) BO = OD, AO = OC

3) AC DB, ÐABO = ÐOBS, ÐADO = ÐODDC, ÐBCO = ÐDCO, ÐDAO = ÐBAO

4) RA + RV = RS + RD = RV + RC = RA + RD = 180 0

Obrnuti iskazi su znakovi romb:

1 ) Ako je ABSD - paralelno-m, a AS DB, onda - ABSD - romb.

2) Ako je ABSD paralelno-m, a AC i DB su simetrale, onda je - ABSD romb.

3) Ako je ABSD paralelan, a AS = DB i BC = AD, tada je - ABSD romb.

Zadatak.