Inverser l'exemple de la matrice. Définition matricielle inverse de l'existence et de l'unicité

Définition 1:  une matrice est appelée dégénérée si son déterminant est zéro. Définition 2:  une matrice est dite non dégénérée si son déterminant n'est pas égal à zéro. La matrice "A" s'appelle matrice inversesi la condition A * A-1 \u003d A-1 * A \u003d E (la matrice d'identité) est satisfaite. Une matrice carrée n'est inversible que si elle est non dégénérée. Schéma de calcul de matrice inverse: 1) Calculez le déterminant de la matrice "A" si ∆ A \u003d 0, alors la matrice inverse n'existe pas. 2) Trouver tous les compléments algébriques de la matrice "A". 3) Composer une matrice de compléments algébriques (Aij) 4) Transposer une matrice de compléments algébriques (Aij) T 5) Multipliez la matrice transposée par le nombre inverse du déterminant de cette matrice. 6) Effectuer un contrôle: À première vue, cela peut sembler difficile, mais en réalité, c'est très simple. Toutes les décisions reposent sur de simples calculs arithmétiques, l’essentiel pour décider de ne pas être confondus avec les signes "-" et "+", et de ne pas les perdre. Et maintenant, résolvons la tâche pratique avec vous en calculant la matrice inverse. Tâche: trouver la matrice inverse "A" indiquée dans l'image ci-dessous: Nous résolvons tout exactement comme il est indiqué dans le plan de calcul de la matrice inverse. 1. La première chose à faire est de trouver le déterminant de la matrice "A": Explication: Nous avons simplifié notre identifiant en utilisant ses fonctions principales. Premièrement, nous avons ajouté aux deuxième et troisième rangées les éléments de la première rangée multipliés par un nombre. Deuxièmement, nous avons changé les deuxième et troisième colonnes du déterminant et, en fonction de ses propriétés, nous avons également changé le signe qui le précédait. Troisièmement, nous avons retiré le facteur commun (-1) de la deuxième ligne, inversant ainsi à nouveau le signe et celui-ci est devenu positif. Nous avons également simplifié la ligne 3 de la même manière qu'au tout début de l'exemple. Nous avons obtenu un déterminant triangulaire, dans lequel les éléments situés au-dessous de la diagonale sont égaux à zéro, et par la propriété 7, il est égal au produit des éléments de la diagonale. En conséquence, nous avons ∆ A \u003d 26, donc, la matrice inverse existe. A11 \u003d 1 * (3 + 1) \u003d 4 A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11 A13 \u003d 1 * 1 \u003d 1 A21 \u003d -1 * (- 6) \u003d 6 A22 \u003d 1 * (3-0) \u003d 3 A23 \u003d -1 * (1 + 4) \u003d -5 A31 \u003d 1 * 2 \u003d 2 A32 \u003d -1 * (- 1) \u003d -1 A33 \u003d 1+ (1 + 6) \u003d 7 3. L'étape suivante consiste à compiler une matrice des ajouts résultants: 5. On multiplie cette matrice par le nombre inverse du déterminant, c'est-à-dire par 1/26: 6. Eh bien, il ne nous reste plus qu'à effectuer un contrôle: Pendant le contrôle, nous avons obtenu une matrice d’unités, la décision a donc été prise parfaitement. 2 façons de calculer la matrice inverse. 1. Transformation élémentaire des matrices 2. Matrice inverse à travers un convertisseur élémentaire. La transformation de la matrice élémentaire comprend: 1. Multiplication d'une ligne par un nombre différent de zéro. 2. Ajouter à une ligne une autre ligne multipliée par un nombre. 3. Permuter les lignes de la matrice. 4. En appliquant une chaîne de transformations élémentaires, nous obtenons une autre matrice. Un -1 = ? 1. (A | E) ~ (E | A -1 ) 2. un -1 * A \u003d E Considérez ceci avec un exemple pratique avec des nombres réels. Cession:  Trouvez la matrice inverse. Solution: Vérifions: Un petit éclaircissement sur la solution: Tout d'abord, nous avons réorganisé les première et deuxième lignes de la matrice, puis nous avons multiplié la première ligne par (-1). Après cela, nous avons multiplié la première ligne par (-2) et ajouté à la deuxième ligne de la matrice. Ensuite, nous avons multiplié 2 lignes par 1/4. L'étape finale de la transformation a été la multiplication de la deuxième ligne par 2 et l'ajout de la première. En conséquence, nous avons la matrice d'identité à gauche, donc la matrice inverse est la matrice à droite. Après vérification, nous étions convaincus de l'exactitude de la solution. Comme vous pouvez le constater, le calcul de la matrice inverse est très simple. En conclusion de cette conférence, je voudrais aussi consacrer un peu de temps aux propriétés d’une telle matrice. Trouver la matrice inverse. Dans cet article, nous aborderons le concept de matrice inverse, ses propriétés et ses méthodes de recherche. Arrêtons-nous en détail sur la résolution d’exemples dans lesquels il est nécessaire de construire une matrice inverse pour une matrice donnée. Navigation de page. La matrice inverse est la définition. Trouver la matrice inverse en utilisant une matrice de compléments algébriques. Propriétés de la matrice inverse. Recherche de la matrice inverse par la méthode de Gauss-Jordan. Trouver des éléments de la matrice inverse en résolvant les systèmes correspondants d’équations algébriques linéaires. La matrice inverse est la définition. Le concept de matrice inverse n’est introduit que pour les matrices carrées dont le déterminant est non nul, c’est-à-dire pour les matrices carrées non dégénérées. La définition Matriceappelé l'inverse de la matricedont le déterminant est non nul si les égalités où E  Est-ce que la matrice d'identité de l'ordre n  sur n. Trouver la matrice inverse en utilisant une matrice de compléments algébriques. Comment trouver la matrice inverse pour une donnée? Tout d'abord, nous avons besoin de concepts matrice transposée, mineur de matrice et complément algébrique de l’élément de la matrice. La définition Mineurkth de commande  matrices Un  de commande m  sur n  Est le déterminant de la matrice d'ordre k  sur k, qui est obtenu à partir des éléments de la matrice Unsitué dans sélectionné k  lignes et k  colonnes. ( k  ne dépasse pas le plus petit des nombres m  ou n). Mineur du (n-1) ème  ordre, qui est composé des éléments de toutes les lignes sauf i-èmeet toutes les colonnes sauf jthmatrice carrée Un  de commande n  sur n  dénoter comme. En d'autres termes, la mineure est obtenue à partir de la matrice carrée Un  de commande n  sur nrayer des éléments i-ème  des cordes et jth  colonne. Par exemple, écrivez, mineur 2ème  ordre obtenu à partir de la matrice le choix des éléments de ses deuxième, troisième rangées et première, troisième colonnes . Afficher également la mineure obtenue à partir de la matrice   en supprimant la deuxième ligne et la troisième colonne . Nous illustrons la construction de ces mineurs: et. La définition Complément algébrique  un élément d'une matrice carrée est appelé mineur du (n-1) ème  ordre, qui est obtenu à partir de la matrice Unen supprimant les éléments d'elle i-ème  des cordes et jth  fois de colonne. Le complément algébrique d'un élément est désigné par. De cette façon . Par exemple, pour une matrice   il y a un complément algébrique d'un élément. Deuxièmement, deux propriétés du déterminant, que nous avons examinées dans la section, nous sont utiles. calcul déterminant matriciel: Sur la base de ces propriétés du déterminant, les définitions opérations de multiplication matricielle par un nombre  et le concept de la matrice inverse , où est la matrice transposée dont les éléments sont des compléments algébriques. Matrice   est vraiment l'inverse de la matrice Un, puisque les égalités tiennent . Le montrer Maquillage algorithme de matrice inverse  en utilisant l'égalité . Laissez-nous analyser l'algorithme pour trouver la matrice inverse en utilisant un exemple. Un exemple Matrice de Dana . Trouvez la matrice inverse. Solution Nous calculons le déterminant de la matrice Unen le développant dans les éléments de la troisième colonne: Le déterminant est non nul, donc la matrice Un  réversible. Trouvez la matrice des compléments algébriques: Donc Transposons la matrice à partir de compléments algébriques: Maintenant, trouvez la matrice inverse comme : Vérifiez le résultat: Égalités   sont satisfaits, donc, la matrice inverse est trouvée correctement. Propriétés de la matrice inverse. Concept de matrice inverse, égalité , les définitions des opérations sur les matrices et les propriétés du déterminant d’une matrice permettent de justifier propriétés de la matrice inverse: Trouver des éléments de la matrice inverse en résolvant les systèmes correspondants d’équations algébriques linéaires. Envisagez une autre façon de trouver la matrice inverse pour une matrice carrée Unde commande n  sur n. Cette méthode est basée sur la solution. n  systèmes d'équations algébriques linéaires inhomogènes avec n  inconnu. Les variables inconnues dans ces systèmes d'équations sont les éléments inverses de la matrice. L'idée est très simple. Notons la matrice inverse comme Xc'est-à-dire . Depuis, par la définition de la matrice inverse, En comparant les éléments correspondants en colonnes, on obtient n  systèmes d'équation linéaire Nous les résolvons de quelque manière que ce soit et à partir des valeurs trouvées, nous composons la matrice inverse. Analysons cette méthode à l'aide d'un exemple. Un exemple Matrice de Dana . Trouvez la matrice inverse. Solution Acceptera . L'égalité nous donne trois systèmes d'équations algébriques linéaires inhomogènes: Nous ne peindrons pas de solution à ces systèmes, si nécessaire, reportez-vous à la section résoudre des systèmes d'équations algébriques linéaires. Du premier système d'équations nous avons, du deuxième - du troisième -. Par conséquent, la matrice inverse souhaitée a la forme . Nous vous recommandons de vérifier que le résultat est correct. Pour résumer. Nous avons examiné le concept de matrice inverse, ses propriétés et trois méthodes pour le trouver. Exemple de solution matricielle inverse Tâche 1  Résoudre SLAE par la méthode de la matrice inverse. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 \u003d 1 3 x 1 + 5 x 2 + 3 x 3 + 2x 4 \u003d 2 5 x 1 + 7 x 2 + 6 x 3 + 2x 4 \u003d 3 4 x 1 + 4x 2 + 3 x 3 + x 4 \u003d 4 Début du formulaire Fin du formulaire La solution. Nous écrivons la matrice sous la forme: Vecteur B: BT \u003d (1,2,3,4) Déterminant principal mineur pour (1,1): \u003d 5 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) \u003d -3 Mineur pour (2.1): \u003d 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1) +4 (3 2-6 1) \u003d 0 Mineur pour (3 , 1): \u003d 3 (3 1-3 2) -5 (3 1-3 1) +4 (3 2-3 1) \u003d 3 mineur pour (4.1): \u003d 3 (3 2-6 2) -5 (3 2-6 1) +7 (3 2-3 1) \u003d 3 Déterminant mineur ∆ \u003d 2 (-3) -3 0 + 5 3-4 3 \u003d -3 Matrice transposée Complément algébrique ∆ 1,1 \u003d 5 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +2 (7 3-6 4) \u003d -3 1,2 \u003d -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4) +1 (7 3-6 4) \u003d 0 ∆ 1,3 \u003d 3 (3 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3-3 4 ) \u003d 3 ∆ 1,4 \u003d -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7) +1 (5 6-3 7) \u003d -3 ∆ 2,1 \u003d -3 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +2 (5 3-6 4) \u003d 9 ∆ 2,2 \u003d 2 (6 1-2 3) -3 (5 1-2 4) +1 (5 3- 6 4) \u003d 0 ∆ 2,3 \u003d -2 (3 1-2 3) -3 (3 1-2 4) +1 (3 3-3 4) \u003d -6 ∆ 2,4 \u003d 2 (3 2- 2 6) -3 (3 2-2 5) +1 (3 6-3 5) \u003d 3 ∆ 3,1 \u003d 3 (7 1-2 4) -5 (5 1-2 4) +2 (5 4 -7 4) \u003d -4 ∆ 3,2 \u003d -2 (7 1-2 4) -3 (5 1-2 4) +1 (5 4-7 4) \u003d 1 ∆ 3,3 \u003d 2 (5 1 -2 4) -3 (3 1-2-4) +1 (3 4-5 4) \u003d 1 ∆ 3,4 \u003d -2 (5 2-2 7) -3 (3 2-2 5) +1 ( 3 7-5 5) \u003d 0 ∆ 4.1 \u003d -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -12 ∆ 4,2 \u003d 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) \u003d 9 × 4,4 \u003d 2 (5 6-3 7) -3 (3 6-3 5) +3 (3 7-5 5) \u003d -3 Matrice inverse Résultats vecteur X  X \u003d A -1 ∙ B   X T \u003d (2, -1, -0,33,1) x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -1 x 3 \u003d -0,33 x 4 \u003d 1 voir aussi solutions SLAE par la méthode de la matrice inverse  en ligne. Pour ce faire, entrez vos données et obtenez une solution avec des commentaires détaillés. Tâche 2. Écrivez le système d'équations sous forme de matrice et résolvez-le en utilisant la matrice inverse. Vérifiez la solution reçue. La solution:xml:xls Exemple 2. Ecrivez le système d'équations sous forme de matrice et résolvez-le en utilisant la matrice inverse. La solution:xml:xls Exemple. Un système de trois équations linéaires à trois inconnues est donné. Nécessite: 1) de trouver sa solution en utilisant formules de Cramer; 2) écrivez le système sous forme matricielle et résolvez-le au moyen d'un calcul matriciel. Lignes directrices. Après avoir résolu avec la méthode Cramer, recherchez le bouton "Solution de matrice inverse pour les données source". Vous recevrez une solution appropriée. Ainsi, les données ne devront plus être renseignées. La solution. Soit A la matrice des coefficients pour les inconnues; X est une matrice de colonnes d’inconnues; B - matrice de colonne des membres libres: Vecteur B: BT \u003d (4, -3, -3) Etant donné ces notations, ce système d'équations prend la forme de matrice suivante: A * X \u003d B. Si A est non dégénéré (son déterminant est non nul, il a alors une matrice inverse A -1. En multipliant les deux côtés de l'équation par A -1, nous obtenons: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Cette égalité s'appelle enregistrement matriciel d'une solution d'un système d'équations linéaires. Pour trouver une solution au système d'équations, il est nécessaire de calculer la matrice inverse A -1. Le système aura une solution si le déterminant de la matrice A est différent de zéro. Trouvez le déterminant principal. ∆ \u003d -1 (-2 (-1) -1 1) -3 (3 (-1) -1 0) +2 (3 1 - (- 2 0)) \u003d 14 Donc, le déterminant est 14 0, on continue donc la décision. Pour ce faire, recherchez la matrice inverse au moyen de compléments algébriques. Supposons que nous ayons une matrice non dégénérée A: Nous calculons des compléments algébriques. ∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1 ∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3 ∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3 ∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5 ∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1 ∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1 ∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7 ∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T \u003d (- 1,1,2) x 1 \u003d -14 / 14 \u003d -1 x 2 \u003d 14/14 \u003d 1 x 3 \u003d 28/14 \u003d 2 Chèque. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls La réponse est: -1,1,2.

Trouver la matrice inverse  - une tâche souvent résolue par deux méthodes:

• la méthode des additions algébriques, dans laquelle il est nécessaire de trouver des déterminants et de transposer des matrices;
• méthode Gauss inconnue, dans laquelle il est nécessaire d'effectuer des transformations de matrice élémentaires (ajouter des lignes, multiplier des lignes avec le même nombre, etc.).

Pour les plus curieux, il existe d'autres méthodes, par exemple la méthode des transformations linéaires. Dans cette leçon, nous allons analyser les trois méthodes et algorithmes mentionnés pour trouver la matrice inverse à l'aide de ces méthodes.

Matrice inverse Unest appelée une telle matrice

Un
. (1)

Matrice inverse être trouvé pour une matrice carrée donnée Unest appelée une telle matrice

produit matriciel Un  à droite, la matrice d'identité, c'est-à-dire
. (1)

Une matrice unitaire est une matrice diagonale dans laquelle tous les éléments diagonaux sont égaux à un.

Théorème  Pour chaque matrice carrée non singulière (non dégénérée, non singulière), vous pouvez trouver la matrice inverse et, de plus, une seule. Pour une matrice carrée spéciale (dégénérée, singulière), la matrice inverse n'existe pas.

La matrice carrée s'appelle non spécifique  (ou non dégénéré, non singulier) si son déterminant n'est pas égal à zéro, et spécial  (ou dégénérer, singulier) si son déterminant est zéro.

La matrice inverse ne peut être trouvée que pour la matrice carrée. Naturellement, la matrice inverse sera également carrée et du même ordre que cette matrice. Une matrice pour laquelle une matrice inverse peut être trouvée s'appelle une matrice inversible.

Pour matrice inverse   il y a une analogie inverse pertinente. Pour chaque numéro unnon nul, il existe un tel nombre bce produit un  et b  égal à un: ab  \u003d 1. Nombre b  appelé l'inverse du nombre b. Par exemple, pour le nombre 7, l'inverse est 1/7, puisque 7 * 1/7 \u003d 1.

Recherche de la matrice inverse par la méthode des compléments algébriques (matrice de l'union)

Pour une matrice carrée non singulière Unl'inverse est la matrice

où est le déterminant de la matrice Un, a est une matrice alliée à la matrice Un.

Allié avec une matrice carrée Unon appelle une matrice du même ordre dont les éléments sont les compléments algébriques des éléments correspondants du déterminant de la matrice transposée par rapport à la matrice A. Ainsi, si

alors

et

Algorithme de recherche de la matrice inverse par la méthode du complément algébrique

1. Trouver le déterminant d'une matrice donnée Un. Si le déterminant est zéro, la matrice inverse est arrêtée, car la matrice est dégénérée et l'inverse n'existe pas pour elle.

2. Trouver une matrice transposée par rapport à Un.

3. Calculez les éléments de la matrice des unions en tant qu’additions algébriques à la marina trouvée à l’étape 2.

4. Appliquer la formule (2): multiplier l'inverse du déterminant de la matrice Un, à la matrice d’union trouvée à l’étape 4.

5. Vérifiez le résultat obtenu à l'étape 4 en multipliant cette matrice. Un  à la matrice inverse. Si le produit de ces matrices est égal à la matrice identité, alors la matrice inverse a été trouvée correctement. Sinon, recommencez le processus de solution.

Exemple 1  Pour la matrice

trouver la matrice inverse.

Solution Pour trouver la matrice inverse, il est nécessaire de trouver le déterminant de la matrice Un. On trouve par la règle des triangles:

Par conséquent, la matrice Un- non-singulier (non-dégénéré, non-singulier) et le contraire existe pour elle.

Trouvez la matrice associée à cette matrice Un.

Trouver la matrice transposée par rapport à la matrice Un:

Nous calculons les éléments de la matrice d’union en tant que compléments algébriques de la matrice transposée par rapport à la matrice Un:

Par conséquent, une matrice conjuguée à la matrice Una la forme

Remarque  L'ordre de calcul des éléments et de transposition de la matrice peut être différent. Vous pouvez d’abord calculer le complément algébrique de la matrice Un, puis transposez la matrice de compléments algébriques. Par conséquent, les mêmes éléments de la matrice des unions doivent être obtenus.

En utilisant la formule (2), nous trouvons la matrice inverse de la matrice Un:

Trouver la matrice inverse en éliminant le Gauss inconnu

La première étape pour trouver la matrice inverse par la méthode d’élimination des inconnues gaussiennes consiste à affecter à la matrice Un  unité de matrice du même ordre, en les séparant par une barre verticale. Nous obtenons une matrice double. Multipliez les deux côtés de cette matrice par, alors nous obtenons

,

Algorithme de recherche de la matrice inverse par élimination d'inconnu gaussien

1. À la matrice Un  assigner une matrice d'unités du même ordre.

2. Convertissez la matrice double résultante de sorte que dans sa partie gauche nous obtenions la matrice d'identité, puis dans la partie droite à la place de la matrice d'identité, nous obtenions automatiquement la matrice inverse. Matrice Un  sur le côté gauche est converti en une matrice unitaire par transformations de matrice élémentaires.

2. Si pendant la transformation de la matrice Un  dans la matrice d'identité de n'importe quelle ligne ou colonne, il n'y aura que des zéros, alors le déterminant de la matrice est zéro, et donc la matrice Un  sera dégénéré, et il n'a pas de matrice inverse. Dans ce cas, la découverte de la matrice inverse cesse.

Exemple 2  Pour la matrice

trouver la matrice inverse.

et nous allons le transformer, de sorte que sur la gauche nous obtenons la matrice d'identité. Nous commençons la conversion.

Multipliez la première ligne de la matrice gauche et droite par (-3) et ajoutez-la à la deuxième ligne, puis multipliez la première ligne par (-4) et ajoutez-la à la troisième ligne, puis nous obtenons

.

Pour éviter les nombres fractionnaires dans les transformations suivantes, nous créons d’abord une unité dans la deuxième ligne du côté gauche de la matrice double. Pour ce faire, multipliez la deuxième ligne par 2 et soustrayez la troisième ligne, puis nous obtenons

.

Ajoutez la première ligne à la seconde, puis multipliez la seconde par (-9) et ajoutez-la à la troisième. Ensuite nous obtenons

.

Diviser la troisième ligne par 8, puis

.

Multipliez la troisième ligne par 2 et ajoutez-la à la deuxième ligne. Il s'avère que:

.

Nous échangeons les deuxième et troisième lignes, puis nous obtenons finalement:

.

Nous voyons que du côté gauche nous avons la matrice d'identité, alors que du côté droit nous avons la matrice inverse. De cette façon:

.

Vous pouvez vérifier l'exactitude des calculs, nous multiplions la matrice d'origine par la matrice inverse trouvée:

Le résultat devrait être la matrice inverse.

Exemple 3  Pour la matrice

trouver la matrice inverse.

Solution Nous faisons une double matrice

et nous allons le transformer.

Nous multiplions la première ligne par 3, et la seconde par 2, et soustrayons de la seconde, puis multiplions la première ligne par 5, et la troisième par 2 et soustrayons de la troisième ligne, puis nous obtenons

.

On multiplie la première ligne par 2 et on l'ajoute à la seconde, puis on soustrait la seconde de la troisième ligne, puis on obtient

.

Nous voyons que dans la troisième rangée à gauche tous les éléments se sont avérés être zéro. Par conséquent, la matrice est dégénérée et n'a pas de matrice inverse. Trouver plus loin la marina inversée.

    Algèbre matricielle - Matrice inverse

Matrice inverse

Matrice inverse  on appelle une matrice qui, multipliée à droite et à gauche par cette matrice, donne la matrice identité.
  Noter la matrice inverse à la matrice Un  à travers, puis selon la définition on obtient:

où E  Est la matrice d'identité.
Matrice carrée  appelé non spécifique (non dégénéré) si son déterminant n'est pas égal à zéro. Sinon, cela s'appelle spécial (dégénérer) ou singulier.

Le théorème suivant est valable: chaque matrice non singulière a une matrice inverse.

L’opération de recherche de la matrice inverse s’appelle circulation  matrices. Considérons l'algorithme d'inversion de matrice. Laissons une matrice non singulière nème ordre:

où Δ \u003d det Un ≠ 0.

Complément algébriquematrices n  e ordre Un  le déterminant d’une matrice prise avec un certain signe s’appelle ( n  –1) ème ordre obtenu en biffant jela rangée et jcolonne de la matrice Un:

Faire le soi-disant affilié  matrice:

où sont les compléments algébriques des éléments de matrice correspondants Un.
  Notez que les compléments algébriques des éléments des lignes de la matrice Un  sont placés dans les colonnes correspondantes de la matrice à c'est-à-dire que la matrice est transposée en même temps.
  Division de tous les éléments de la matrice à   on Δ est la valeur du déterminant de la matrice Un, on obtient la matrice inverse comme résultat:

Nous notons un certain nombre de propriétés spéciales de la matrice inverse:
  1) pour une matrice donnée Un  sa matrice inverse   est le seul;
  2) s'il y a une matrice inverse, alors de retour  et revers gauche  les matrices coïncident avec elle;
  3) une matrice carrée spéciale (dégénérée) n'a pas de matrice inverse.

Les principales propriétés de la matrice inverse:
  1) le déterminant de la matrice inverse et le déterminant de la matrice d'origine sont inverses;
  2) la matrice inverse du produit des matrices carrées est égale au produit des matrices inverses des facteurs pris dans l'ordre inverse:

3) la matrice inverse transposée est égale à la matrice inverse de la matrice transposée donnée:

PRI moi R. Calcule l'inverse de la matrice donnée.

Similaire à l'inverse de nombreuses propriétés.

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Comment trouver la matrice inverse - bezbotvy

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Sous-titres

Propriétés inverses de la matrice

•    det A - 1 \u003d 1 det A (\\ displaystyle \\ det A ^ (- 1) \u003d (\\ frac (1) (\\ det A)))où    det (\\ displaystyle \\ \\ det)  dénote le déterminant.
•    (A B) - 1 \u003d B - 1 A - 1 (\\ displaystyle \\ (AB) ^ (- 1) \u003d B ^ (- 1) A ^ (- 1))  pour deux matrices inversibles carrées    A (\\ displaystyle A)  et    B (\\ style d'affichage B).
•    (A T) - 1 \u003d (A - 1) T (\\ displaystyle \\ (A ^ (T)) ^ (- 1) \u003d (A ^ (- 1)) ^ (T))où    (...) T (\\ displaystyle (...) ^ (T))  désigne la matrice transposée.
• (k A) - 1 \u003d k - 1 A - 1 (\\ displaystyle \\ (kA) ^ (- 1) \u003d k ^ (- 1) A ^ (- 1))  pour tout coefficient    k ≠ 0 (\\ displaystyle k \\ not \u003d 0).
•    E - 1 \u003d E (\\ displaystyle \\ E ^ (- 1) \u003d E).
• S'il est nécessaire de résoudre un système d'équations linéaires, (b est un vecteur non nul) où    x (\\ displaystyle x)  est le vecteur souhaité, et si    A - 1 (\\ style d'affichage A ^ (- 1))  existe alors    x \u003d A - 1 b (\\ style d'affichage x \u003d A ^ (- 1) b). Sinon, la dimension de l'espace de solution est supérieure à zéro ou n'existe pas du tout.

Façons de trouver la matrice inverse

Si la matrice est inversible, vous pouvez utiliser l'une des méthodes suivantes pour rechercher la matrice inverse:

Méthodes exactes

Méthode Gauss-Jordan

Prenons deux matrices: Un  et célibataire E. Nous donnons la matrice Un  à la matrice d’identité à l’aide de la méthode Gauss-Jordan en appliquant des transformations basées sur les lignes (vous pouvez également appliquer des transformations et des colonnes, mais sans mélanger). Après avoir appliqué chaque opération à la première matrice, appliquez la même opération à la seconde. Lorsque la réduction de la première matrice à un seul formulaire est terminée, la deuxième matrice sera égale A −1.

Lors de l'utilisation de la méthode de Gauss, la première matrice sera multipliée à gauche par l'une des matrices élémentaires.    I (\\ displaystyle \\ Lambda _ (i))  (matrice de transvection ou diagonale avec des unités sur la diagonale principale, sauf pour une position):

   Λ 1 ⋅ Λ n ⋅ A \u003d A \u003d E ⇒ \u003d A - 1 (\\ displaystyle \\ Lambda _ (1) \\ cdot \\ dots \\ cdot \\ Lambda _ (n) \\ cdot A \u003d \\ Lambda A \u003d E \\ Rightarrow \\ Lambda \u003d A ^ (- 1)).    M \u003d [1 ... 0 - a 1 m / amm 0 ... 0 ... 0 ... 1 - am - 1 m / amm 0 ... 0 0 ... 0 1 / amm 0 ... 0 0 ... 0 - am + 1 m / amm 1 ... 0 ... 0 ... 0 - anm / amm 0 ... 1] (\\ displaystyle \\ Lambda _ (m) \u003d (\\ begin (bmatrix) 1 & \\ points & 0 & -a_ (1m) / a_ (mm) & 0 & \\ points & 0 \\\\ m + 1m) / a_ (mm) & 1 & \\ dots & 0 \\\\ &&& \\ dots &&&& \\\\ 0 & \\ dots & 0 & -a_ (nm) / a_ (mm) & 0 & \\ dots & 1 \\ end (bmatrix))).

La deuxième matrice après l'application de toutes les opérations deviendra égale    Λ (\\ displaystyle \\ Lambda), c’est-à-dire, sera le désiré. La complexité de l'algorithme est    O (n 3) (\\ displaystyle O (n ^ (3))).

Utilisation de la matrice de compléments algébriques

Matrice inverse de la matrice    A (\\ displaystyle A)peut être représenté comme

A - 1 \u003d adj (A) det (A) (\\ displaystyle (A) ^ (- 1) \u003d ((\\ mbox (adj)) (A)) \\ over (\\ det (A))))

où    adj (A) (\\ displaystyle (\\ mbox (adj)) (A))  - matrice attachée;

La complexité de l'algorithme dépend de la complexité de l'algorithme de calcul du déterminant O det et est égale à O (n²) · O det.

Utilisation de la décomposition LU / LUP

Équation matricielle    A X \u003d I n (\\ displaystyle AX \u003d I_ (n))  pour matrice inverse    X (\\ style d'affichage X)  peut être considéré comme une combinaison    n (\\ displaystyle n)  systèmes de la forme    A x \u003d b (\\ displaystyle Ax \u003d b). Nous notons    i (\\ displaystyle i)colonne de la matrice    X (\\ style d'affichage X)  à travers    X i (\\ style d'affichage X_ (i)); alors    A X i \u003d e i (\\ displaystyle AX_ (i) \u003d e_ (i)),    i \u003d 1, ..., n (\\ displaystyle i \u003d 1, \\ ldots, n)  depuis    i (\\ displaystyle i)ième colonne de la matrice    I n (\\ displaystyle I_ (n))  est un vecteur unitaire    e i (\\ displaystyle e_ (i)). autrement dit, trouver la matrice inverse revient à résoudre n équations à une matrice et à droite. Après avoir effectué la décomposition de LUP (temps O (n³)), il faut du temps O (n²) pour résoudre chacune des n équations, de sorte que cette partie du travail prend également du temps O (n³).

Si la matrice A est non dégénérée, on peut alors calculer la décomposition de LUP    P A \u003d L U (\\ displaystyle PA \u003d LU). Laisser    P A \u003d B (\\ displaystyle PA \u003d B),    B - 1 \u003d D (\\ displaystyle B ^ (- 1) \u003d D). Ensuite, à partir des propriétés de la matrice inverse, nous pouvons écrire:    D \u003d U - 1 L - 1 (style d'affichage D \u003d U ^ (- 1) L ^ (- 1)). Si nous multiplions cette égalité par U et L, alors nous pouvons obtenir deux égalités de la forme    U D \u003d L - 1 (\\ displaystyle UD \u003d L ^ (- 1))  et    D L \u003d U - 1 (\\ displaystyle DL \u003d U ^ (- 1)). La première de ces égalités est un système d’équations linéaires n² pour    n (n + 1) 2 (\\ displaystyle (\\ frac (n (1 + 1)) (2)))  dont les côtés droits sont connus (d'après les propriétés des matrices triangulaires). La seconde représente également un système d’équations linéaires n² pour    n (n - 1) 2 (\\ displaystyle (\\ frac (n (1)) (2)))  dont les côtés de droite sont connus (également à partir des propriétés des matrices triangulaires). Ensemble, ils représentent un système de n² égalités. En utilisant ces égalités, nous pouvons déterminer récursivement tous les n² éléments de la matrice D. Ensuite, à partir de l’égalité (PA) - 1 \u003d A - 1 P - 1 \u003d B - 1 \u003d D. nous obtenons l’égalité    A - 1 \u003d D P (\\ displaystyle A ^ (- 1) \u003d DP).

Dans le cas de l'utilisation de la décomposition de LU, la permutation des colonnes de la matrice D n'est pas requise, mais la solution peut diverger même si la matrice A n'est pas dégénérée.

La complexité de l'algorithme est O (n³).

Méthodes itératives

Méthodes de Schultz

   (K \u003d E - AU k, U k + 1 \u003d U k i \u003d 0 n ki (\\ displaystyle (\\ begin (cases) \\ Psi _ (k) \u003d E-AU_ (k), \\\\ U_ ( k + 1) \u003d U_ (k) \\ somme _ (i \u003d 0) ^ (n) \\ Psi _ (k) ^ (i) \\ end (cases)))

Estimation d'erreur

Sélection de l'approximation initiale

Le problème du choix de l'approximation initiale dans les processus d'inversion matricielle itérative considérés ici ne nous permet pas de les traiter comme des méthodes universelles indépendantes en concurrence avec les méthodes d'inversion directe basées, par exemple, sur la décomposition de matrices par LU. Il y a quelques suggestions pour choisir    U 0 (\\ displaystyle U_ (0))fournir des conditions ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1}   (le rayon spectral de la matrice est inférieur à l'unité), ce qui est nécessaire et suffisant pour la convergence du processus. Cependant, dans ce cas, premièrement, il est nécessaire de connaître d'en haut l'estimation du spectre de la matrice inversible A ou de la matrice    A A T (\\ displaystyle AA ^ (T))  (à savoir, si A est une matrice définie positive symétrique et    ρ (A) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (A) \\ leq \\ beta)alors vous pouvez prendre    U 0 \u003d α E (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alpha) E)où si A est une matrice non dégénérée arbitraire et    ρ (A T T) ≤ β (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq \\ beta)alors crois    U 0 \u003d α A T (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ alpha) A ^ (T))où aussi    α ∈ (0, 2 β) (\\ displaystyle \\ alpha \\ in \\ left (0, (\\ frac (2) (\\ beta)) \\ right)); Vous pouvez certainement simplifier la situation et, en tirant parti du fait que    ρ (A A T) ≤ k A A T k (\\ displaystyle \\ rho (AA ^ (T)) \\ leq (\\ mathcal (k)) AA ^ (T) (\\ mathcal (k)))mettre    U 0 \u003d A T ‖ A A T ‖ (\\ displaystyle U_ (0) \u003d (\\ frac (A ^ (T)) (\\ | AA ^ (T) \\ |)))) Deuxièmement, avec une telle définition de la matrice initiale, rien ne garantit que    Ψ 0 ‖ (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |)  sera petit (peut-être même    Ψ 0 ‖\u003e 1 (\\ displaystyle \\ | \\ Psi _ (0) \\ |\u003e 1)), et un ordre de convergence élevé n’est pas immédiatement apparent.

Des exemples

Matrice 2x2

   A - 1 \u003d [a b c d] - 1 \u003d 1 det (A) [d - b - c a] \u003d 1 a d - b c [d - b - c a]. (\\ displaystyle \\ mathbf (A) ^ (- 1) \u003d (\\ begin (bmatrix) a & b \\\\ c & d \\\\\\ end (bmatrix)) ^ (- 1) \u003d (\\ frac (1) (\\ det (\\ mathbf (A)))) (\\ begin (bmatrix) \\, \\, \\, d & \\! \\! - b \\\\ - c & \\, a \\\\\\ end (bmatrix)) \u003d (\\ frac (1) (ad- bc)) (\\ begin (bmatrix) \\, \\, \\, d & \\! \\! - b \\\\ - c & \\, a \\\\\\ end (bmatrix)).)

L'inversion d'une matrice 2x2 n'est possible que si    a d - b c \u003d det A ≠ 0 (\\ displaystyle ad-bc \u003d \\ det A \\ neq 0).

 

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