عملکردیکی از مهمترین مفاهیم ریاضی است. تابع - وابستگی متغیر دراز متغیر ایکساگر هر مقدار NSبا یک مقدار منطبق است در... متغیر NSمتغیر یا آرگومان مستقل نامیده می شود. متغیر درمتغیر وابسته نامیده می شود. تمام مقادیر متغیر مستقل (متغیر ایکس) دامنه تابع را تشکیل می دهند. تمام مقادیری که متغیر وابسته (متغیر y، محدوده مقادیر تابع را تشکیل می دهد.

نمودار تابعمجموعه تمام نقاط را فراخوانی کنید هواپیمای مختصاتکه ابسیساهای آن برابر با مقادیر آرگومان و مختصات آن برابر با مقادیر متناظر تابع است، یعنی مقادیر متغیر در امتداد محور ابسیسا رسم می شود. ایکس، و مختصات مقادیر متغیر را نشان می دهد y... برای رسم نمودار تابع، باید ویژگی های تابع را بدانید. ویژگی های اصلی تابع بعداً مورد بحث قرار خواهد گرفت!

برای ترسیم نمودار یک تابع، توصیه می کنیم از برنامه ما - نمودار توابع آنلاین استفاده کنید. اگر در حین مطالعه مطالب موجود در این صفحه سؤالی دارید، همیشه می توانید آنها را در انجمن ما بپرسید. همچنین در انجمن به شما کمک می شود تا مسائل ریاضی، شیمی، هندسه، تئوری احتمالات و بسیاری از موضوعات دیگر را حل کنید!

ویژگی های اساسی توابع

1) دامنه تابع و دامنه تابع.

محدوده تابع مجموعه ای از تمام مقادیر آرگومان معتبر معتبر است ایکس(متغیر ایکس) که برای آن تابع y = f (x)تعریف شده است.
محدوده مقادیر یک تابع مجموعه ای از تمام مقادیر واقعی است yکه تابع می پذیرد.

V ریاضیات ابتداییتوابع فقط بر روی مجموعه اعداد واقعی مطالعه می شوند.

2) تابع صفر.

ارزش ها NSکه در آن y = 0نامیده میشود تابع صفر... اینها ابسیساهای نقاط تقاطع نمودار تابع با محور Ox هستند.

3) فواصل ثبات تابع.

فواصل علامت ثابت یک تابع - چنین فواصل مقادیر ایکس، که بر روی آن مقادیر تابع است yیا فقط مثبت یا فقط منفی نامیده می شوند فواصل پایداری تابع

4) یکنواختی عملکرد.

تابع افزایشی (در یک بازه معین) تابعی است که برای آن معنی بیشترآرگومان این بازه با مقدار بزرگتر تابع مطابقت دارد.

تابع کاهشی (در یک بازه معین) - تابعی که در آن مقدار بزرگتر آرگومان از این بازه با مقدار کوچکتر تابع مطابقت دارد.

5) تابع برابری (فرد)..

تابع زوج تابعی است که دامنه تعریف آن نسبت به مبدا و برای هر یک متقارن است NS f (-x) = f (x)... نمودار یک تابع زوج به صورت متقارن نسبت به محور ارتین است.

تابع فرد تابعی است که دامنه تعریف آن نسبت به مبدا و برای هر یک متقارن است NSدامنه تعریف برابری را برآورده می کند f (-x) = - f (x). نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدا متقارن است.

حتی عملکرد
1) دامنه تعریف در مورد نقطه (0; 0) متقارن است، یعنی اگر نقطه آمتعلق به دامنه است، سپس نقطه -آهمچنین به حوزه تعریف تعلق دارد.
2) برای هر ارزش ایکس f (-x) = f (x)
3) نمودار یک تابع زوج نسبت به محور Oy متقارن است.

تابع فرددارای خواص زیر است:
1) دامنه تعریف در مورد نقطه (0؛ 0) متقارن است.
2) برای هر مقدار ایکسمتعلق به حوزه تعریف، برابری f (-x) = - f (x)
3) نمودار یک تابع فرد نسبت به مبدأ مختصات متقارن است (0؛ 0).

هر تابعی زوج یا فرد نیست. کارکرد نمای کلی نه زوج هستند و نه فرد

6) توابع محدود و نامحدود.

تابع در صورت وجود محدود نامیده می شود عدد مثبت M طوری که | f (x) | ≤ M برای همه مقادیر x. اگر چنین عددی وجود نداشته باشد، تابع نامحدود است.

7) تناوب عملکرد.

یک تابع f (x) تناوبی است اگر یک عدد غیرصفر T وجود داشته باشد به طوری که برای هر x از دامنه تابع تابع زیر برقرار است: f (x + T) = f (x). چنین کوچکترین عدددوره تابع نامیده می شود. همه چيز توابع مثلثاتیدوره ای هستند. (فرمول های مثلثاتی).

عملکرد fاگر عددی وجود داشته باشد که برای هر یک وجود داشته باشد دوره ای نامیده می شود ایکساز حوزه، برابری f (x) = f (x-T) = f (x + T). تیدوره عملکرد است.

هر تابع تناوبی دارای مجموعه بی نهایت دوره است. در عمل معمولا کوتاه ترین دوره مثبت در نظر گرفته می شود.

مقادیر تابع تناوبی پس از بازه ای برابر با دوره تکرار می شوند. این در هنگام ساخت نمودار استفاده می شود.

برای این کار از کاغذ گراف یا ماشین حساب گراف استفاده کنید. هر مضربی از مقادیر متغیر توضیحی عددی را انتخاب کنید x (\ displaystyle x)و آنها را به تابع وصل کنید تا مقادیر متغیر وابسته را محاسبه کنید y (\ نمایش سبک y)... مختصات یافت شده نقاط را در صفحه مختصات رسم کنید و سپس این نقاط را به هم متصل کنید تا نموداری از تابع بسازید.

• مثبت را جایگزین کنید مقادیر عددی x (\ displaystyle x)و مقادیر عددی منفی مربوطه. به عنوان مثال، یک تابع داده شده است. در آن جایگزین کنید مقادیر زیر x (\ displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ (2) + 1 = 2 + 1 = 3) (1، 3) (\ شیوه نمایش (1،3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ (2) + 1 = 2 (4) +1 = 8 + 1 = 9)... یک نقطه با مختصات گرفتم (2، 9) (\ displaystyle (2.9)).
  • f (- 1) = 2 (- 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\ displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ (2) + 1 = 2 + 1 = 3)... یک نقطه با مختصات گرفتم (- 1، 3) (\ نمایش سبک (-1،3)).
  • f (- 2) = 2 (- 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ (2) + 1 = 2 ( 4) + 1 = 8 + 1 = 9)... یک نقطه با مختصات گرفتم (- 2، 9) (\ displaystyle (-2.9)).

وابستگی متغیر y به متغیر x که در آن هر مقدار x با یک مقدار y مطابقت دارد تابع نامیده می شود. نماد y = f (x) است. هر تابع دارای تعدادی ویژگی اساسی مانند یکنواختی، برابری، تناوب و غیره است.

ویژگی برابری را با جزئیات بیشتری در نظر بگیرید.

یک تابع y = f (x) فراخوانی می شود حتی اگر دو شرط زیر را برآورده کند:

2. مقدار تابع در نقطه x متعلق به دامنه تابع باید برابر با مقدار تابع در نقطه -x باشد. یعنی برای هر نقطه x، از دامنه تابع، برابری زیر باید برآورده شود f (x) = f (-x).

حتی نمودار تابع

اگر نموداری از یک تابع زوج بسازید، نسبت به محور Oy متقارن خواهد بود.

برای مثال، تابع y = x ^ 2 زوج است. بگذار چک کنیم. ناحیه تعریف کل محور اعداد است، به این معنی که نسبت به نقطه O متقارن است.

x=3 دلخواه را در نظر بگیرید. f (x) = 3 ^ 2 = 9.

f (-x) = (- 3) ^ 2 = 9. از این رو f (x) = f (-x). بنابراین، ما هر دو شرط را برآورده می کنیم، به این معنی که تابع زوج است. در زیر نموداری از تابع y = x ^ 2 آمده است.

شکل نشان می دهد که نمودار نسبت به محور Oy متقارن است.

نمودار تابع فرد

تابع y = f (x) اگر دو شرط زیر را برآورده کند فرد نامیده می شود:

1. دامنه این تابع باید نسبت به نقطه O متقارن باشد. یعنی اگر نقطه a متعلق به دامنه تابع باشد، نقطه مربوطه -a نیز باید به دامنه تابع داده شده تعلق داشته باشد.

2. برای هر نقطه x، از دامنه تابع، برابری زیر باید برآورده شود f (x) = -f (x).

نمودار تابع فرد نسبت به نقطه O - مبدا متقارن است. برای مثال، تابع y = x ^ 3 فرد است. بگذار چک کنیم. ناحیه تعریف کل محور اعداد است، به این معنی که نسبت به نقطه O متقارن است.

x=2 دلخواه را در نظر بگیرید. f (x) = 2 ^ 3 = 8.

f (-x) = (- 2) ^ 3 = -8. از این رو f (x) = -f (x). بنابراین، ما هر دو شرط را برآورده می کنیم، به این معنی که تابع فرد است. در زیر نموداری از تابع y = x ^ 3 آمده است.

شکل به وضوح نشان می دهد که تابع فرد y = x ^ 3 نسبت به مبدا متقارن است.

یکنواختی و عجیب بودن یک تابع یکی از ویژگی های اصلی آن است و یکنواختی بخش قابل توجهی را به خود اختصاص می دهد دوره مدرسهریاضیات تا حد زیادی ماهیت رفتار تابع را تعیین می کند و ساخت نمودار مربوطه را بسیار تسهیل می کند.

اجازه دهید برابری تابع را تعریف کنیم. به طور کلی، تابع مورد مطالعه در نظر گرفته می شود حتی اگر برای مقادیر متضاد متغیر مستقل (x) که در محدوده تعریف آن هستند، مقادیر مربوط به y (تابع) برابر باشد.

اجازه دهید تعریف دقیق تری ارائه دهیم. تابع f (x) را در نظر بگیرید که در دامنه D داده شده است. حتی اگر برای هر نقطه x واقع در دامنه تعریف باشد:

• -x (نقطه مقابل) نیز در این محدوده قرار دارد،

• f (-x) = f (x).

تعریف فوق مستلزم یک شرط لازم برای دامنه تعریف چنین تابعی است، یعنی تقارن نسبت به نقطه O، که مبدأ است، زیرا اگر نقطه b در دامنه یک تابع زوج باشد، آنگاه مقدار مربوطه نقطه - b نیز در این حوزه قرار دارد. بنابراین، نتیجه از موارد فوق به دست می‌آید: تابع زوج دارای شکلی متقارن نسبت به محور ارتین (Oy) است.

چگونه برابری یک تابع را در عمل تعیین کنیم؟

اجازه دهید با استفاده از فرمول h (x) = 11 ^ x + 11 ^ (- x) داده شود. با پیروی از الگوریتمی که مستقیماً از تعریف به دست می آید، ابتدا دامنه تعریف آن را بررسی می کنیم. بدیهی است که برای تمام مقادیر آرگومان تعریف شده است، یعنی شرط اول برآورده می شود.

مرحله بعدی این است که مقدار مخالف آن (-x) را با آرگومان (x) جایگزین کنید.
ما گرفتیم:
h (-x) = 11 ^ (- x) + 11 ^ x.
از آنجایی که جمع قانون جابجایی (قابل انتقال) را برآورده می کند، بدیهی است که h (-x) = h (x) و وابستگی تابعی داده شده زوج است.

اجازه دهید یکنواختی تابع h (x) = 11 ^ x-11 ^ (- x) را بررسی کنیم. با پیروی از همان الگوریتم، دریافت می کنیم که h (-x) = 11 ^ (- x) -11 ^ x. با برداشتن منهای، در پایان، ما داریم
h (-x) = - (11 ^ x-11 ^ (- x)) = - h (x). بنابراین، h (x) فرد است.

به هر حال، لازم به یادآوری است که توابعی وجود دارند که نمی توان آنها را بر اساس این معیارها طبقه بندی کرد، آنها نه زوج و نه فرد نامیده می شوند.

حتی توابع دارای تعدادی ویژگی جالب هستند:

• در نتیجه افزودن چنین توابعی، یک عدد زوج به دست می آید.
• در نتیجه تفریق چنین توابعی، یک عدد زوج به دست می آید.
• حتی، همچنین یکنواخت;
• در نتیجه ضرب دو تابع از این قبیل، یک عدد زوج به دست می آید.
• در نتیجه ضرب توابع فرد و زوج، یک فرد به دست می آید.
• در نتیجه تقسیم توابع فرد و زوج، یک فرد به دست می آید.
• مشتق چنین تابعی فرد است.
• اگر یک تابع فرد را مربع کنیم، یک عدد زوج بدست می آید.

هنگام حل معادلات می توان از تابع برابری استفاده کرد.

برای حل معادله ای مانند g (x) = 0، که در آن سمت چپمعادله یک تابع زوج است، برای یافتن جواب آن برای مقادیر غیر منفی متغیر کافی است. ریشه های حاصل از معادله باید با اعداد مخالف ترکیب شوند. یکی از آنها در معرض تأیید است.

این نیز با موفقیت برای حل مسائل غیر استاندارد با یک پارامتر استفاده می شود.

به عنوان مثال، آیا مقداری برای پارامتر a وجود دارد که معادله 2x ^ 6-x ^ 4-ax ^ 2 = 1 دارای سه ریشه باشد؟

اگر در نظر بگیریم که متغیر با توان زوج وارد معادله می شود، مشخص می شود که جایگزینی x با - x معادله داده شده را تغییر نمی دهد. نتیجه می شود که اگر عددی ریشه آن باشد، آن هم است عدد مقابل... نتیجه واضح است: ریشه های غیر صفر معادله در مجموعه راه حل های آن به صورت "جفت" گنجانده شده است.

واضح است که خود عدد 0 نیست، یعنی تعداد ریشه های چنین معادله ای فقط می تواند زوج باشد و طبیعتاً در هیچ مقدار پارامتر نمی تواند سه ریشه داشته باشد.

اما تعداد ریشه های معادله 2 ^ x + 2 ^ (- x) = تبر ^ 4 + 2x ^ 2 + 2 می تواند فرد باشد و برای هر مقدار از پارامتر. در واقع، به راحتی می توان بررسی کرد که مجموعه ریشه های این معادله حاوی راه حل های "جفت" باشد. بیایید بررسی کنیم که آیا 0 یک ریشه است یا خیر. وقتی آن را در معادله جایگزین می کنیم، 2 = 2 می گیریم. بنابراین، علاوه بر "جفت"، 0 نیز یک ریشه است که عدد فرد آنها را ثابت می کند.

تبدیل نمودارها

توصیف شفاهی عملکرد.

روش گرافیکی

روش گرافیکی برای تعریف یک تابع بصری ترین است و اغلب در فناوری استفاده می شود. در تحلیل ریاضی از روش گرافیکی تعریف توابع به عنوان مثال استفاده می شود.

نمودار تابع f مجموعه ای از تمام نقاط (x; y) صفحه مختصات است، که در آن y = f (x)، و x از کل دامنه این تابع عبور می کند.

زیر مجموعه ای از صفحه مختصات نمودار هر تابعی است که حداکثر یک نقطه مشترک با هر خط مستقیم موازی با محور y داشته باشد.

مثال. آیا نمودارهای تابع شکل های زیر نشان داده شده است؟

مزیت تکلیف گرافیکیوضوح آن است. می‌توانید فوراً ببینید که عملکرد چگونه عمل می‌کند، کجا افزایش می‌یابد، کجا کاهش می‌یابد. در برنامه، می توانید بلافاصله برخی را تشخیص دهید ویژگی های مهمکارکرد.

به طور کلی، روش های تحلیلی و گرافیکی برای تعریف یک تابع دست به دست هم می دهند. کار با یک فرمول به شما کمک می کند یک نمودار بسازید. و نمودار اغلب راه‌حل‌هایی را پیشنهاد می‌کند که حتی در فرمول متوجه آن‌ها نمی‌شوید.

تقریباً هر دانش آموزی سه روش برای تعریف یک تابع را می داند که ما به آنها نگاه کردیم.

بیایید سعی کنیم به این سوال پاسخ دهیم: "آیا راه های دیگری برای تعریف یک تابع وجود دارد؟"

چنین راهی وجود دارد.

تابع را می توان کاملاً بدون ابهام در کلمات تعریف کرد.

به عنوان مثال، تابع y = 2x را می توان شرح شفاهی زیر داد: هر کدام ارزش واقعیبه آرگومان x مقدار دو برابر شده آن اختصاص داده می شود. قانون تنظیم شده است، عملکرد تنظیم شده است.

علاوه بر این، می توان یک تابع را به صورت شفاهی تعریف کرد، که تنظیم آن با یک فرمول بسیار دشوار است، اگر غیرممکن نباشد.

به عنوان مثال: هر مقدار آرگومان طبیعی x با مجموع ارقامی که مقدار x را تشکیل می دهند مرتبط است. به عنوان مثال، اگر x = 3، y = 3. اگر x = 257، y = 2 + 5 + 7 = 14. و غیره. نوشتن آن با فرمول مشکل ساز است. اما ترسیم علامت آسان است.

روش توصیف کلامی روشی نسبتاً نادر است. اما گاهی اوقات اینطور می شود.

اگر یک قانون مطابقت یک به یک بین x و y وجود داشته باشد، یک تابع وجود دارد. چه قانونی، به چه شکلی بیان شده است - با یک فرمول، یک لوح، یک برنامه، کلمات - ماهیت موضوع را تغییر نمی دهد.

توابعی را در نظر بگیرید که حوزه‌های تعریف آنها نسبت به مبدا متقارن است، یعنی. برای هرکس NSاز دامنه تعریف، عدد (- NS) نیز به حوزه تعریف تعلق دارد. از جمله این توابع هستند زوج و فرد.

تعریف.تابع f فراخوانی می شود زوجاگر برای هر NSاز محدوده تعریف او

مثال.تابع را در نظر بگیرید

او حتی است. بگذار چک کنیم.

برای هرکس NSبرابری ها برقرار است

بنابراین، ما هر دو شرط را برآورده می کنیم، به این معنی که تابع زوج است. در زیر نموداری از این تابع آورده شده است.

تعریف.تابع f فراخوانی می شود فرداگر برای هر NSاز محدوده تعریف او

مثال. تابع را در نظر بگیرید

او عجیب است. بگذار چک کنیم.

ناحیه تعریف کل محور اعداد است، به این معنی که نسبت به نقطه (0؛ 0) متقارن است.

برای هرکس NSبرابری ها برقرار است

بنابراین، ما هر دو شرط را برآورده می کنیم، به این معنی که تابع فرد است. در زیر نموداری از این تابع آورده شده است.

نمودارهای نشان داده شده در شکل های اول و سوم نسبت به محور ارتین متقارن هستند و نمودارهای نشان داده شده در شکل های دوم و چهارم نسبت به مبدا متقارن هستند.

کدام یک از توابعی که نمودار آنها در شکل ها نشان داده شده است زوج و کدام فرد است؟