خم تمیزبه این نوع خم شدن گفته می شود که در آن عمل انجام می شود فقط لحظه خم شدن(شکل 3.5، الف).اجازه دهید صفحه مقطع I-I را عمود بر محور طولی تیر در فاصله * از انتهای آزاد تیر که لنگر خارجی به آن اعمال می شود رسم کنیم. m z .اجازه دهید اقداماتی مشابه اقداماتی را که هنگام تعیین تنش ها و کرنش ها در حین پیچش انجام دادیم انجام دهیم، یعنی:

• 1) بیایید معادلات تعادلی را برای قسمت برش ذهنی قطعه ترسیم کنیم.
• 2) تغییر شکل ماده قطعه را بر اساس شرایط سازگاری تغییر شکل حجم های اولیه یک بخش مشخص می کنیم.
• 3) حل معادلات تعادل و سازگاری تغییر شکل ها.

از وضعیت تعادل مقطع برش تیر (شکل 3.5، ب)

متوجه می شویم که لحظه نیروهای داخلی Mzبرابر با لحظه نیروهای خارجی است t: M = t.

برنج. 3.5.

ممان نیروهای داخلی توسط تنش های نرمال o v که در امتداد محور x هدایت می شوند ایجاد می شود. در خمش خالص هیچ نیروی خارجی وجود ندارد، بنابراین مجموع برآمدگی نیروهای داخلی بر روی هر یک از آنها است محور مختصاتبرابر با صفر بر این اساس شرایط تعادل را به صورت تساوی می نویسیم

کجا الف- سطح مقطع تیر (میله).

در خمش خالص، نیروهای خارجی Fx، F، Fvو همچنین لحظات نیروهای خارجی t x، t yبرابر با صفر هستند. بنابراین، معادلات تعادلی باقیمانده به طور یکسان برابر با صفر هستند.

از شرایط تعادل وقتی o^O به دنبال آن است

ولتاژ معمولی c xدر مقطع هم ارزش مثبت و هم ارزش منفی را به خود می گیرند. (تجربه نشان می دهد که هنگام خم کردن مواد سمت پایین تیر در شکل 3.5، الفکشیده می شود و قسمت بالایی فشرده می شود.) در نتیجه، در مقطع در حین خمش، چنین حجم های ابتدایی (لایه گذار از فشار به کشش) وجود دارد که در آنها ازدیاد طول یا فشرده سازی وجود ندارد. این - لایه خنثیخط تقاطع لایه خنثی با سطح مقطع نامیده می شود خط خنثی

شرایط سازگاری تغییر شکل‌های حجم‌های اولیه در حین خمش بر اساس فرضیه مقاطع صاف شکل می‌گیرد: مقاطع تیر قبل از خمش صاف هستند (شکل 3.5 را ببینید، ب)حتی پس از خم شدن صاف می ماند (شکل 3.6).

در نتیجه عمل یک لحظه خارجی، پرتو خم می شود و صفحات بخش I-Iو II-II نسبت به یکدیگر در یک زاویه می چرخند دو(شکل 3.6، ب).در خمش خالص، تغییر شکل تمام مقاطع در امتداد محور تیر یکسان است، بنابراین شعاع pk انحنای لایه خنثی تیر در امتداد محور x یکسان است. چون dx= ص K dip،سپس انحنای لایه خنثی برابر با 1 / p k = است شیب / dxو در طول تیر ثابت است.

لایه خنثی تغییر شکل نمی دهد طول آن قبل و بعد از تغییر شکل برابر است dxدر زیر این لایه مواد کشیده شده است، در بالای آن فشرده می شود.

برنج. 3.6.

مقدار کشیدگی لایه کشیده شده در فاصله y از لایه خنثی برابر است ydqکشیدگی نسبی این لایه:

بنابراین، در مدل اتخاذ شده، توزیع خطی تغییر شکل ها بسته به فاصله یک حجم ابتدایی معین تا لایه خنثی به دست می آید، یعنی. در امتداد ارتفاع بخش تیر. با فرض عدم فشار متقابل لایه های موازی مواد روی یکدیگر (o y = 0, a, = 0) قانون هوک را برای کشش خطی می نویسیم:

مطابق (3.13)، تنش های نرمال در مقطع تیر بر اساس یک قانون خطی توزیع می شود. تنش حجم اولیه ماده در دورترین فاصله از لایه خنثی (شکل 3.6، V)، حداکثر و برابر

? مشکل 3.6

حد الاستیک تیغه فولادی با ضخامت / = 4 میلی متر و طول / = 80 سانتی متر را تعیین کنید، اگر خم شدن آن به صورت نیم دایره باعث تغییر شکل باقیمانده نشود.

راه حل

تنش خمشی o v = ای/ r k بیایید y max = را در نظر بگیریم تی/ 2i r k = / / به

حد الاستیک باید مطابق با شرط уп > c v = باشد 1/2 kE t /1.

پاسخ: o = ] / 2 تا 2 10 11 4 10 _3 / 0.8 = 1570 مگاپاسکال. استحکام تسلیم این فولاد t> 1800 مگاپاسکال است که از a t قوی ترین فولادهای فنری بیشتر است. ?

? مشکل 3.7

تعریف کنید حداقل شعاعدرام برای سیم پیچ ضخامت نوار / = 0.1 میلی متر عنصر گرمایشساخته شده از آلیاژ نیکل، که در آن مواد نوار تغییر شکل پلاستیکی ندارد. ماژول E= 1.6 10 5 MPa، حد الاستیک حدود yp = 200 MPa.

پاسخ:حداقل شعاع р = V 2 ?ir/a yM = У? 1.6-10 11 0.1 10 -3 / (200 10 6) = = 0.04 متر؟

1. هنگام حل اولین معادله تعادل (3.12) و معادله سازگاری تغییر شکل (3.13) با هم، به دست می آوریم.

معنی E/ r k φ 0 و برای همه عناصر یکسان است dAمناطق ادغام در نتیجه، این برابری فقط تحت شرط ارضا می شود

این انتگرال نامیده می شود گشتاور ساکن سطح مقطع حول محورzمعنای فیزیکی این انتگرال چیست؟

بیایید یک صفحه با ضخامت ثابت /، اما یک نمایه دلخواه را در نظر بگیریم (شکل 3.7). بیایید این بشقاب را در یک نقطه آویزان کنیم بابه طوری که او در موقعیت افقی. بیایید با علامت y m نشان دهیم وزن مخصوصمواد صفحه، سپس وزن حجم اولیه با مساحت dAبرابر است dq= y JdA.از آنجایی که صفحه در حالت تعادل است، پس از برابری به صفر برآمدگی نیروها بر روی محور دردریافت می کنیم

کجا جی= y M tA- وزن رکورد

برنج. 3.7.

مجموع گشتاورهای نیروهای همه نیروها حول محور zعبور از هر بخش از صفحه نیز صفر است:

با توجه به اینکه Y ج = جی،بیایید بنویسیم

بنابراین، اگر انتگرالی از شکل J xdAبر اساس منطقه الفبرابر است

صفر، پس x c = 0. به این معنی که نقطه C با مرکز ثقل صفحه منطبق است. بنابراین، از برابری S z =جی ydA = 0 در زمان مقرر

خمش نتیجه می گیرد که مرکز ثقل مقطع تیر روی خط خنثی است.

بنابراین، ارزش سالسطح مقطع تیر صفر است.

• 1. خط خنثی در هنگام خمش از مرکز ثقل مقطع تیر عبور می کند.
• 2. مرکز ثقل مقطع، مرکز کاهش گشتاورهای نیروهای خارجی و داخلی است.

مشکل 3.8

مشکل 3.9

2. هنگام حل معادله تعادل دوم (3.12) و معادله سازگاری تغییر شکل (3.13) با هم، به دست می آوریم.

انتگرال Jz= جی y 2 dAتماس گرفت ممان اینرسی عرضی

بخش تیر (میله) نسبت به محور z،عبور از مرکز ثقل مقطع.

بنابراین، M z = E J z /با توجه به اینکه c x = Ee x = ای/ r k i E/ r k = یک x / y،وابستگی تنش های نرمال را بدست می آوریم اوههنگام خم شدن:

1. تنش خمشی در یک نقطه معین از مقطع به مدول الاستیک نرمال بستگی ندارد E،اما بستگی به پارامتر هندسیمقطع Jzو فواصل دراز یک نقطه معین به مرکز ثقل مقطع.

2. حداکثر تنش خمشی در حجم های ابتدایی دورتر از خط خنثی رخ می دهد (شکل 3.6 را ببینید، V):

کجا W z- ممان مقاومت مقطع نسبت به محور ز-

شرایط استحکام تحت خمش خالص مشابه شرایط استحکام تحت کشش خطی است:

جایی که [a m | - تنش خمشی مجاز

بدیهی است که حجم های داخلی مواد، به ویژه در نزدیکی محور خنثی، عملاً بارگذاری نمی شوند (شکل 3.6 را ببینید، V).این با الزام به حداقل رساندن مصرف مصالح سازه در تضاد است. در زیر چند راه برای غلبه بر این تناقض را نشان خواهیم داد.

تخت خمش عرضیتیرها نیروهای خمشی داخلی وابستگی های افتراقی نیروهای داخلی قوانین بررسی نمودارهای نیروهای خمشی داخلی. تنش های معمولی و برشی در حین خمش. محاسبه مقاومت بر اساس تنش های معمولی و مماسی.

10. انواع ساده مقاومت. خم تخت

10.1. مفاهیم و تعاریف کلی

خمش نوعی بارگذاری است که در آن میله در صفحاتی که از محور طولی میله عبور می کنند بارگذاری می شود.

میله ای که خم می شود تیر (یا الوار) نامیده می شود. در آینده تیرهای مستطیلی را در نظر خواهیم گرفت که سطح مقطع آنها حداقل یک محور تقارن دارد.

مقاومت مصالح به خمش مسطح، مایل و پیچیده تقسیم می شود.

خمش صفحه خمشی است که در آن تمام نیروهای خم کننده تیر در یکی از صفحات تقارن تیر (در یکی از صفحات اصلی) قرار می گیرند.

صفحات اصلی اینرسی یک تیر، صفحاتی هستند که از محورهای اصلی عبور می کنند مقاطع عرضیو محور هندسی تیر (محور x).

خمش مورب خمشی است که در آن بارها در یک صفحه عمل می کنند که با صفحات اصلی اینرسی منطبق نیست.

خمش پیچیده خمشی است که در آن بارها در سطوح مختلف (خودسرانه) عمل می کنند.

10.2. تعیین نیروهای خمشی داخلی

بیایید دو حالت معمولی خمش را در نظر بگیریم: در مورد اول، تیر کنسول توسط یک گشتاور متمرکز M o خم می شود. در دوم - با نیروی متمرکز F.

با استفاده از روش مقاطع ذهنی و ایجاد معادلات تعادل برای قسمت های بریده تیر، نیروهای داخلی را در هر دو حالت تعیین می کنیم:

معادلات تعادل باقیمانده به وضوح برابر با صفر هستند.

بنابراین، در مورد کلیخمش مسطح در مقطع تیر، از شش نیروی داخلی، دو نیروی ایجاد می شود - لحظه خم شدن M z و نیروی برشی Q y (یا هنگام خم شدن نسبت به محور اصلی دیگر - گشتاور خمشی M y و نیروی برشی Q z).

علاوه بر این، مطابق با دو مورد بارگذاری در نظر گرفته شده، خمش صفحه را می توان به خالص و عرضی تقسیم کرد.

خمش خالص یک خمش مسطح است که در آن تنها یکی از شش نیروی داخلی در بخش های میله رخ می دهد - یک لحظه خمشی (به حالت اول مراجعه کنید).

خم عرضی- خمشی که در آن در مقاطع میله علاوه بر لنگر خمشی داخلی، نیروی عرضی نیز ایجاد می شود (به حالت دوم مراجعه کنید).

به طور دقیق، به انواع سادهمقاومت فقط به خمش خالص مربوط می شود. خمش عرضی به طور معمول به عنوان یک نوع مقاومت ساده طبقه بندی می شود، زیرا در بیشتر موارد (برای تیرهای به اندازه کافی طولانی) می توان از تأثیر نیروی عرضی هنگام محاسبه مقاومت چشم پوشی کرد.

هنگام تعیین تلاش های داخلی، ما به قانون علائم زیر پایبند هستیم:

1) نیروی عرضی Q y اگر تمایل داشته باشد عنصر تیر مورد نظر را در جهت عقربه های ساعت بچرخاند مثبت در نظر گرفته می شود.

2) لحظه خم شدناگر هنگام خم کردن المان تیر، الیاف بالایی المان فشرده و الیاف پایینی کشیده شوند، M z مثبت در نظر گرفته می شود (قانون چتر).

بنابراین راه حل مسئله تعیین نیروهای داخلی در حین خمش بر اساس نقشه زیر ساخته می شود: 1) در مرحله اول با در نظر گرفتن شرایط تعادل سازه به عنوان یک کل، در صورت لزوم واکنش های مجهول را تعیین می کنیم. از تکیه گاه ها (توجه داشته باشید که برای یک تیر کنسول، واکنش های موجود در جاسازی را می توان یافت و اگر تیر را از انتهای آزاد در نظر بگیریم) وجود ندارد. 2) در مرحله دوم، بخش های مشخصه تیر را انتخاب می کنیم و نقاط اعمال نیرو، نقاط تغییر شکل یا اندازه تیر، نقاط چفت شدن تیر را به عنوان مرزهای مقاطع در نظر می گیریم. 3) در مرحله سوم با در نظر گرفتن شرایط تعادل عناصر تیر در هر مقطع، نیروهای داخلی در مقاطع تیر را تعیین می کنیم.

10.3. وابستگی های دیفرانسیل در طول خمش

اجازه دهید برخی از روابط بین نیروهای داخلی و بارهای خمشی خارجی و همچنین برقرار کنیم ویژگی های مشخصهنمودارهای Q و M که دانش آنها ساخت نمودارها را تسهیل می کند و به شما امکان می دهد صحت آنها را کنترل کنید. برای سهولت در نمادگذاری، علامت گذاری می کنیم: M ≡ M z، Q ≡ Q y.

اجازه دهید یک عنصر کوچک dx را در قسمتی از یک تیر با بار دلخواه در مکانی که نیروها و گشتاورهای متمرکزی وجود ندارد انتخاب کنیم. از آنجایی که کل تیر در حالت تعادل است، عنصر dx نیز تحت تأثیر نیروهای برشی، لنگرهای خمشی و بار خارجی اعمال شده به آن در حالت تعادل خواهد بود. از آنجایی که Q و M به طور کلی در امتداد محور تیر تغییر می کنند، نیروهای عرضی Q و Q + dQ و همچنین گشتاورهای خمشی M و M + dM در مقاطع عنصر dx ظاهر می شوند. از شرایط تعادل عنصر انتخاب شده بدست می آوریم

∑ F y = 0 Q + q dx - (Q + dQ) = 0;

∑ M 0 = 0 M + Q dx + q dx dx 2 − (M + dM ) = 0.

از معادله دوم، با غفلت از عبارت q dx (dx /2) به عنوان کمیت بینهایت کوچک مرتبه دوم، متوجه می شویم

روابط (10.1)، (10.2) و (10.3) نامیده می شوندوابستگی های دیفرانسیل D.I Zhuravsky در طول خمش.

تجزیه و تحلیل وابستگی های دیفرانسیل فوق در طول خمش به ما اجازه می دهد تا برخی از ویژگی ها (قوانین) را برای ساخت نمودارهای لنگرهای خمشی و نیروهای عرضی ایجاد کنیم:

الف - در مناطقی که بار توزیع شده q وجود ندارد، نمودارهای Q به خطوط مستقیم موازی با پایه و نمودارهای M محدود به خطوط مستقیم مایل است.

ب - در مناطقی که بار توزیع شده q به تیر اعمال می شود، نمودارهای Q با خطوط مستقیم مایل محدود می شوند و نمودارهای M محدود می شوند. سهمی های درجه دوم. بعلاوه، اگر نمودار M را "روی یک فیبر کشیده" بسازیم، تحدب pa-

کار در جهت عمل q هدایت می شود و انتها در قسمتی قرار می گیرد که نمودار Q خط پایه را قطع می کند.

ج - در مقاطعی که نیروی متمرکزی به تیر وارد می شود، در نمودار Q جهش هایی به بزرگی و در جهت این نیرو وجود دارد و در نمودار M پیچ خوردگی هایی وجود دارد که نوک آن در جهت است. عمل این نیرو؛ d - در مقاطعی که یک گشتاور متمرکز به تیر در قسمت اپی اعمال می شود.

هیچ تغییری در re Q وجود نخواهد داشت و در نمودار M جهش هایی با مقدار این لحظه وجود خواهد داشت. d – در مناطقی که Q > 0، لحظه M افزایش می یابد و در مناطقی که Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. تنش های معمولی در طول خمش خالص تیر مستقیم

اجازه دهید حالت خمش صفحه خالص تیر را در نظر بگیریم و فرمولی برای تعیین تنش های نرمال برای این مورد استخراج کنیم. توجه داشته باشید که در تئوری الاستیسیته می‌توان وابستگی دقیقی برای تنش‌های معمولی در حین خمش خالص به دست آورد، اما اگر این مشکل با روش‌های مقاومت مصالح حل شود، لازم است چند فرض مطرح شود.

سه فرضیه از این دست برای خم شدن وجود دارد:

الف - فرضیه مقاطع صفحه (فرضیه برنولی)

- مقاطعی که قبل از تغییر شکل صاف هستند پس از تغییر شکل صاف می مانند، اما فقط نسبت به یک خط مشخص می چرخند که به آن محور خنثی مقطع تیر می گویند. در این حالت ، الیاف تیری که در یک طرف محور خنثی قرار دارد کشیده می شود و از طرف دیگر فشرده می شود. الیافی که روی محور خنثی قرار دارند طول خود را تغییر نمی دهند.

ب - فرضیه پایداری تنشهای نرمال

niy - تنش هایی که در همان فاصله y از محور خنثی اعمال می شوند در عرض تیر ثابت هستند.

ج – فرضیه عدم وجود فشارهای جانبی – همزمان

الیاف طولی خاکستری روی یکدیگر فشار نمی آورند.

وظیفه نمودارهای Q و M را برای یک تیر از نظر استاتیکی نامعین بسازید.بیایید پرتوها را با استفاده از فرمول محاسبه کنیم:

n= Σ آر- ش— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

پرتو یک باراز نظر استاتیکی نامشخص است، به این معنی یکیاز واکنش ها است "اضافی" ناشناخته. اجازه دهید واکنش پشتیبانی را به عنوان ناشناخته «اضافی» در نظر بگیریم در — R B.

یک پرتو قابل تعریف استاتیکی که از یک تیر مشخص با حذف اتصال "اضافی" به دست می آید، سیستم اصلی نامیده می شود. (ب).

حال باید این سیستم ارائه شود معادلداده شده است. برای انجام این کار، سیستم اصلی را بارگذاری کنید داده شده استبار، و در نقطه در بیایید درخواست کنیم واکنش "اضافی" R B(برنج V).

با این حال برای معادل سازیاین کافی نیست، از آنجایی که در چنین پرتو نقطه در شاید حرکت عمودی، و در یک پرتو داده شده (شکل. الف ) این نمی تواند اتفاق بیفتد. بنابراین اضافه می کنیم وضعیت، چی انحراف تی. دردر سیستم اصلی باید برابر با 0 باشد. انحراف تی. در متشکل از انحراف از بار فعال Δ اف و از انحراف از واکنش "اضافی" Δ آر.

سپس آرایش می کنیم شرط سازگاری حرکات:

Δ اف + Δ آر=0 (1)

حالا باید اینها را محاسبه کرد حرکات (انحرافات).

در حال بارگذاری اصلیسیستم بار داده شده(برنج .G) و ما خواهیم ساخت نمودار بارگذاریM F (برنج د ).

در تی. در بیایید اعمال کنیم و یک ep بسازیم. (برنج جوجه تیغی ).

با استفاده از فرمول سیمپسون تعیین می کنیم انحراف ناشی از بار فعال.

حالا بیایید تعریف کنیم انحراف از عمل واکنش "اضافی". R B ، برای این ما سیستم اصلی را بارگذاری می کنیم R B (برنج ساعت ) و نمودار لحظه های عمل آن را بسازید ام آر (برنج و ).

ما می سازیم و حل می کنیم معادله (1):

بیایید بسازیم ep. س و م (برنج k، l ).

ساختن نمودار س

بیایید یک نمودار بسازیم م روش نقاط مشخصه. ما نقاط را روی تیر قرار می دهیم - اینها نقاط ابتدا و انتهای تیر هستند ( D, A ، لحظه متمرکز ( ب ، و همچنین وسط بار توزیع شده یکنواخت را به عنوان یک نقطه مشخص علامت گذاری کنید ( ک ) یک نقطه اضافی برای ساخت منحنی سهمی است.

لحظات خمشی را در نقاط تعیین می کنیم. قاعده علائمسانتی متر - .

لحظه در در آن را به صورت زیر تعریف می کنیم. ابتدا تعریف کنیم:

توقف کامل به بیایید وارد کنیم وسطمنطقه ای با بار توزیع یکنواخت.

ساختن نمودار م . طرح AB – منحنی سهموی(قاعده چتر)، منطقه VD – خط مایل مستقیم.

برای یک تیر، واکنش های تکیه گاه را تعیین کنید و نمودار لنگرهای خمشی را بسازید ( م) و نیروهای برشی ( س).

1. تعیین می کنیم پشتیبانی می کندنامه ها الف و در و واکنش های حمایت مستقیم R A و R B .

تدوین معادلات تعادل.

معاینه

مقادیر را یادداشت کنید R A و R B در طرح طراحی.

2. ساختن نمودار نیروهای برشیروش بخش ها. ما بخش ها را ترتیب می دهیم مناطق مشخصه(بین تغییرات). با توجه به نخ ابعادی - 4 بخش، 4 بخش.

ثانیه 1-1 حرکت کنید سمت چپ.

بخش از منطقه عبور می کند با بار به طور مساوی توزیع شده است، اندازه را علامت بزنید z 1 سمت چپ بخش قبل از شروع بخش. طول بخش 2 متر است. قاعده علائمبرای س - سانتی متر

ما با توجه به ارزش یافت شده می سازیم نمودارس.

ثانیه 2-2 حرکت در سمت راست.

بخش مجدداً با یک بار توزیع یکنواخت از منطقه عبور می کند ، اندازه را علامت بزنید z 2 به سمت راست از بخش تا ابتدای بخش. طول بخش 6 متر است.

ساختن نمودار س.

ثانیه 3-3 حرکت در سمت راست.

ثانیه 4-4 حرکت در سمت راست.

ما در حال ساختن هستیم نمودارس.

3. ساخت و ساز نمودارهای Mروش نقاط مشخصه.

نقطه ویژگی- نقطه ای که تا حدودی روی تیر قابل توجه است. اینها نکات هستند الف, در, با, D و همچنین یک نکته به ، که در آن س=0 و لنگر خمشی یک اکسترموم دارد. همچنین در وسطکنسول ما یک نکته اضافی قرار خواهیم داد E، از آنجایی که در این بخش تحت یک بار توزیع یکنواخت نمودار متوصیف کرد کج شدهخط، و حداقل بر اساس ساخته شده است 3 امتیاز

بنابراین، نقاط قرار می گیرند، بیایید شروع به تعیین مقادیر در آنها کنیم لحظات خم شدن. قاعده علائم - نگاه کنید.

سایت ها NA، AD – منحنی سهموی("قانون چتر" برای تخصص های مکانیکی یا "قاعده بادبان" برای تخصص های ساختمانی)، بخش ها DC، SV – خطوط مایل مستقیم

لحظه ای در یک نقطه D باید تعیین شود هم چپ و هم راستاز نقطه D . همان لحظه در این عبارات گنجانده نشده است. در نقطه D دریافت می کنیم دوارزش ها با تفاوتبا مقدار متر – جهشبا اندازه اش

اکنون باید لحظه را در نقطه تعیین کنیم به (س=0). با این حال، ابتدا تعریف می کنیم موقعیت نقطه به ، فاصله آن تا ابتدای بخش را نامعلوم تعیین می کند X .

تی. به متعلق است دوممنطقه مشخصه، آن معادله نیروی برشی(به بالا مراجعه کنید)

اما نیروی برشی شامل به برابر با 0 ، A z 2 برابر است با ناشناخته X .

معادله را بدست می آوریم:

حالا دانستن X, بیایید لحظه را در نقطه تعیین کنیم به در سمت راست

ساختن نمودار م . ساخت و ساز می تواند برای انجام شود مکانیکیتخصص ها، کنار گذاشتن ارزش های مثبت بالااز خط صفر و با استفاده از قانون "چتر".

برای طراحی معین یک تیر کنسول، لازم است نمودارهایی از نیروی عرضی Q و لنگر خمشی M ساخته شود و با انتخاب یک مقطع دایره‌ای، یک محاسبه طراحی انجام شود.

مواد - چوب، مقاومت طراحی مواد R=10MPa، M=14kN m، q=8kN/m

دو روش برای ساختن نمودارها در یک تیر کنسول با یک جاسازی صلب وجود دارد - روش معمول، با تعیین واکنش های پشتیبانی از قبل، و بدون تعیین واکنش های پشتیبانی، اگر بخش ها را در نظر بگیرید، از انتهای آزاد تیر بروید و دور بیندازید. قسمت چپ با جاسازی. بیایید نمودارها را بسازیم معمولیراه

1. بیایید تعریف کنیم واکنش های حمایتی.

بار به طور مساوی توزیع شده است qبا نیروی شرطی جایگزین کنید Q= q·0.84=6.72 kN

در یک جاسازی صلب سه واکنش پشتیبانی وجود دارد - عمودی، افقی و لحظه ای در مورد ما، واکنش افقی 0 است.

پیدا خواهیم کرد عمودیواکنش زمین R Aو لحظه حمایت م الفاز معادلات تعادل

در دو بخش اول سمت راست نیروی برشی وجود ندارد. در ابتدای یک بخش با بار توزیع یکنواخت (سمت راست) Q=0، در پس زمینه - بزرگی واکنش R A.
3. برای ساختن، عباراتی را برای تعیین آنها در بخش می نویسیم. بیایید یک نمودار از گشتاورها روی الیاف بسازیم، یعنی. پایین

(نمودار لحظه های فردی قبلاً ساخته شده است)

معادله (1) را حل می کنیم، EI کاهش می دهیم

عدم تعیین استاتیک آشکار شد، مقدار واکنش "اضافی" پیدا شده است. می توانید شروع به ساختن نمودارهای Q و M برای یک پرتوی استاتیکی نامعین کنید... نمودار داده شده پرتو را ترسیم می کنیم و بزرگی واکنش را نشان می دهیم. Rb. در این پرتو، اگر از سمت راست حرکت کنید، نمی توان واکنش های موجود در جاسازی را تعیین کرد.

ساخت و ساز نمودارهای Qبرای یک پرتو استاتیکی نامعین

بیایید Q را ترسیم کنیم.

ساخت نمودار M

اجازه دهید M را در نقطه منتهی - در نقطه تعریف کنیم به. ابتدا بیایید موقعیت آن را مشخص کنیم. اجازه دهید فاصله تا آن را ناشناخته نشان دهیم. X" سپس

ما در حال ساخت یک نمودار از M هستیم.

تعیین تنش های برشی در مقطع I. بیایید بخش را در نظر بگیریم من پرتو S x = 96.9 سانتی متر 3 ; Yх=2030 سانتی متر 4 ; Q=200 کیلونیوتن

برای تعیین تنش برشی از آن استفاده می شود فرمولدر جایی که Q نیروی برشی در مقطع است، S x 0 ممان استاتیک بخشی از مقطع واقع در یک طرف لایه است که در آن تنش های مماسی تعیین می شود، I x ممان اینرسی کل است. سطح مقطع، b عرض مقطع در محل تعیین تنش برشی است

بیایید محاسبه کنیم حداکثرتنش برشی:

بیایید لحظه ایستا را برای قفسه بالایی:

حالا بیایید محاسبه کنیم تنش برشی:

ما در حال ساختن هستیم نمودار تنش برشی:

طراحی و محاسبات تایید. برای یک تیر با نمودارهای ساخته شده از نیروهای داخلی، مقطعی را به صورت دو کانال از شرایط مقاومت تحت تنش های معمولی انتخاب کنید. مقاومت تیر را با استفاده از شرایط مقاومت تنش برشی و معیار مقاومت انرژی بررسی کنید. داده شده:

بیایید یک پرتو با ساخته شده نشان دهیم نمودارهای Q و M

با توجه به نمودار لنگرهای خمشی خطرناک است بخش C،که در آن M C = M max = 48.3 kNm.

شرایط قدرت استرس طبیعیبرای این پرتو دارای فرم است σ max =M C /W X ≤σ adm .انتخاب یک بخش ضروری است از دو کانال

بیایید مقدار محاسبه شده مورد نیاز را تعیین کنیم ممان محوری مقاومت مقطع:

برای قسمتی به صورت دو کانالی مطابق می پذیریم دو کانال شماره 20aممان اینرسی هر کانال I x = 1670cm 4، سپس ممان محوری مقاومت کل بخش:

اضافه ولتاژ (کم ولتاژ)در نقاط خطرناک با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم: سپس دریافت می کنیم کم ولتاژ:

حال اجازه دهید مقاومت تیر را بر اساس بررسی کنیم شرایط مقاومت برای تنش های مماسیبا توجه به نمودار نیروی برشی خطرناکبخش ها هستند در بخش BC و بخش D.همانطور که از نمودار مشخص است، Q max = 48.9 kN.

شرایط مقاومت برای تنش های مماسیدارای فرم:

برای کانال شماره 20 a: ممان استاتیک ناحیه S x 1 = 95.9 سانتی متر 3، ممان اینرسی مقطع I x 1 = 1670 سانتی متر 4، ضخامت دیواره d 1 = 5.2 میلی متر، ضخامت فلنج متوسط ​​t 1 = 9.7 میلی متر، ارتفاع کانال h 1 = 20 سانتی متر، عرض قفسه b 1 = 8 سانتی متر.

برای عرضی بخش های دو کانال:

S x = 2S x 1 =2 95.9 = 191.8 cm 3،

I x =2I x 1 =2·1670=3340cm 4،

b=2d 1 =2·0.52=1.04 سانتی متر.

تعیین ارزش حداکثر تنش برشی:

τ max = 48.9 10 3 191.8 10 -6 / 3340 10 -8 1.04 10 -2 = 27 مگاپاسکال.

همانطور که می بینید، τmax<τ adm (27MPa<75МПа).

از این رو، شرایط قدرت برآورده شده است.

مقاومت تیر را با توجه به معیار انرژی بررسی می کنیم.

از در نظر گرفتن نمودارهای Q و Mبه دنبال آن است بخش C خطرناک است،که در آن فعالیت می کنند M C =M max =48.3 kNm و Q C =Q max =48.9 kN.

اجرا کنیم تجزیه و تحلیل وضعیت تنش در نقاط بخش C

بیایید تعریف کنیم تنش های معمولی و برشیدر چندین سطح (در نمودار بخش مشخص شده است)

سطح 1-1: y 1-1 =h 1 /2=20/2=10cm.

نرمال و مماس ولتاژ:

اصلی ولتاژ:

سطح 2-2: y 2-2 =h 1 /2-t 1 =20/2-0.97=9.03 سانتی متر.

تنش های اصلی:

سطح 3-3: y 3-3 =h 1 /2−t 1 =20/2−0.97=9.03cm.

تنش های معمولی و برشی:

تنش های اصلی:

تنش برشی شدید:

سطح 4-4: y 4-4 = 0.

(در وسط تنش های نرمال صفر هستند، تنش های مماسی حداکثر هستند، آنها در تست مقاومت با استفاده از تنش های مماسی پیدا شدند)

تنش های اصلی:

تنش برشی شدید:

سطح 5-5:

تنش های معمولی و برشی:

تنش های اصلی:

تنش برشی شدید:

سطح 6-6:

تنش های معمولی و برشی:

تنش های اصلی:

تنش برشی شدید:

سطح 7-7:

تنش های معمولی و برشی:

تنش های اصلی:

تنش برشی شدید:

مطابق با محاسبات انجام شده نمودارهای تنش σ، τ، σ 1، σ 3، τ max و τ minدر شکل ارائه شده اند.

تجزیه و تحلیلاینها نمودار نشان می دهد، که در مقطع تیر می باشد نقاط خطرناک در سطح 3-3 (یا 5-5) که در آن:

با استفاده از معیار انرژی قدرت،دریافت می کنیم

از مقایسه تنش های معادل و مجاز به دست می آید که شرط مقاومت نیز برآورده می شود.

(135.3 مگاپاسکال<150 МПа).

تیر پیوسته در تمام دهانه ها بارگذاری می شود. نمودارهای Q و M را برای یک پرتو پیوسته بسازید.

1. تعریف کنید درجه عدم تعیین استاتیکتیرها طبق فرمول:

n= Sop -3= 5-3 =2،کجا Sop - تعداد واکنش های مجهول، 3 - تعداد معادلات ایستا. برای حل این پرتو لازم است دو معادله اضافی

2. نشان دهیم اعداد از صفر پشتیبانی می کندبه ترتیب ( 0,1,2,3 )

3. نشان دهیم اعداد دهانه از اولبه ترتیب ( ι 1، ι 2، ι 3)

4. هر دهانه را به عنوان در نظر می گیریم پرتو سادهو برای هر تیر ساده نمودار بسازید Q و M.آنچه مربوط می شود پرتو ساده، نشان خواهیم داد با شاخص "0"، آنچه مربوط به مستمرپرتو، نشان خواهیم داد بدون این شاخصبنابراین، نیروی برشی و لنگر خمشی است برای یک تیر ساده

10.1. مفاهیم کلیو تعاریف

خم شدن- این یک نوع بارگذاری است که در آن میله در صفحاتی که از محور طولی میله عبور می کنند بارگذاری می شود.

میله ای که خم می شود تیر (یا الوار) نامیده می شود. در آینده تیرهای مستطیلی را در نظر خواهیم گرفت که سطح مقطع آنها حداقل یک محور تقارن دارد.

مقاومت مصالح به خمش مسطح، مایل و پیچیده تقسیم می شود.

خم صاف- خمش، که در آن تمام نیروهای خم کننده تیر در یکی از صفحات تقارن تیر (در یکی از صفحات اصلی) قرار دارند.

صفحات اصلی اینرسی یک تیر، صفحاتی هستند که از محورهای اصلی مقاطع و محور هندسی تیر (محور x) عبور می کنند.

خم شدن مورب- خمش، که در آن بارها در یک صفحه عمل می کنند که با صفحات اصلی اینرسی منطبق نیست.

خم پیچیده- خمش، که در آن بارها در سطوح مختلف (خودسرانه) عمل می کنند.

10.2. تعیین نیروهای خمشی داخلی

اجازه دهید دو حالت معمولی خمش را در نظر بگیریم: در مورد اول، تیر کنسول توسط یک گشتاور متمرکز Mo خم می‌شود. در دوم - نیروی متمرکز F.

با استفاده از روش مقاطع ذهنی و ایجاد معادلات تعادل برای قسمت های بریده تیر، نیروهای داخلی را در هر دو حالت تعیین می کنیم:

معادلات تعادل باقیمانده به وضوح برابر با صفر هستند.

بنابراین، در حالت کلی خمش صفحه در مقطع تیر، از شش نیروی داخلی، دو نیروی ایجاد می شود - لحظه خم شدن Mz و نیروی برشی Qy (یا هنگام خم شدن نسبت به محور اصلی دیگر - گشتاور خمشی My و نیروی برشی Qz).

علاوه بر این، مطابق با دو مورد بارگذاری در نظر گرفته شده، خمش صفحه را می توان به خالص و عرضی تقسیم کرد.

خم تمیز- خمش مسطح، که در آن در بخش های میله، از شش نیروی داخلی، تنها یک نیروی خمشی ایجاد می شود (مورد اول را ببینید).

خم عرضی- خمشی که در آن در مقاطع میله علاوه بر لنگر خمشی داخلی، نیروی عرضی نیز ایجاد می شود (به حالت دوم مراجعه کنید).

به بیان دقیق، انواع ساده مقاومت فقط شامل خمش خالص است. خمش عرضی به طور معمول به عنوان یک نوع مقاومت ساده طبقه بندی می شود، زیرا در بیشتر موارد (برای تیرهای به اندازه کافی طولانی) می توان از تأثیر نیروی عرضی هنگام محاسبه مقاومت چشم پوشی کرد.

هنگام تعیین تلاش های داخلی، ما به قانون علائم زیر پایبند هستیم:

1) نیروی عرضی Qy اگر تمایل داشته باشد عنصر تیر مورد نظر را در جهت عقربه های ساعت بچرخاند مثبت در نظر گرفته می شود.

2) ممان خمشی Mz مثبت در نظر گرفته می شود که هنگام خم کردن یک المان تیر، الیاف بالایی عنصر فشرده شده و الیاف پایین کشیده شوند (قاعده چتر).

بنابراین راه حل مسئله تعیین نیروهای داخلی در حین خمش بر اساس نقشه زیر ساخته می شود: 1) در مرحله اول با در نظر گرفتن شرایط تعادل سازه به عنوان یک کل، در صورت لزوم واکنش های مجهول را تعیین می کنیم. از تکیه گاه ها (توجه داشته باشید که برای یک تیر کنسول، واکنش های موجود در جاسازی را می توان یافت و اگر تیر را از انتهای آزاد در نظر بگیریم) وجود ندارد. 2) در مرحله دوم، بخش های مشخصه تیر را انتخاب می کنیم و نقاط اعمال نیرو، نقاط تغییر شکل یا اندازه تیر، نقاط چفت شدن تیر را به عنوان مرزهای مقاطع در نظر می گیریم. 3) در مرحله سوم با در نظر گرفتن شرایط تعادل عناصر تیر در هر مقطع، نیروهای داخلی در مقاطع تیر را تعیین می کنیم.

10.3. وابستگی های دیفرانسیل در طول خمش

اجازه دهید برخی از روابط بین نیروهای داخلی و بارهای خارجی در حین خمش و همچنین ویژگی های مشخصه نمودارهای Q و M ایجاد کنیم که آگاهی از آنها ساخت نمودارها را تسهیل می کند و به ما امکان می دهد صحت آنها را کنترل کنیم. برای سهولت در نمادگذاری، به موارد زیر اشاره می کنیم: M≡Mz، Q≡Qy.

اجازه دهید یک عنصر کوچک dx را در قسمتی از یک تیر با بار دلخواه در مکانی که نیروها و گشتاورهای متمرکزی وجود ندارد انتخاب کنیم. از آنجایی که کل تیر در حالت تعادل است، عنصر dx نیز تحت تأثیر نیروهای برشی، لنگرهای خمشی و بار خارجی اعمال شده به آن در حالت تعادل خواهد بود. از آنجایی که Q و M به طور کلی با هم متفاوت هستند

محور تیر و سپس نیروهای عرضی Q و Q+dQ و همچنین لنگرهای خمشی M و M+dM در مقاطع عنصر dx ظاهر می‌شوند. از شرایط تعادل عنصر انتخاب شده بدست می آوریم

اولین مورد از دو معادله نوشته شده شرط را می دهد

از معادله دوم، با غفلت از عبارت q dx (dx/2) به عنوان کمیت بینهایت کوچک مرتبه دوم، متوجه می شویم

با در نظر گرفتن عبارات (10.1) و (10.2) با هم می توانیم به دست آوریم

روابط (10.1)، (10.2) و (10.3) دیفرانسیل نامیده می شوند وابستگی های D.I. Zhuravsky در طول خم شدن.

تجزیه و تحلیل وابستگی های دیفرانسیل فوق در طول خمش به ما امکان می دهد تا برخی از ویژگی ها (قوانین) را برای ساخت نمودارهای لنگرهای خمشی و نیروهای عرضی ایجاد کنیم: الف - در مناطقی که بار توزیع شده وجود ندارد q، نمودارهای Q به خطوط مستقیم موازی با پایه محدود می شوند. ، و نمودارهای M به خطوط مستقیم مایل محدود می شوند. b - در مناطقی که بار توزیع شده q به تیر اعمال می شود، نمودارهای Q با خطوط مستقیم مایل محدود می شوند و نمودارهای M با سهمی های درجه دوم محدود می شوند.

علاوه بر این، اگر نمودار M را "روی یک فیبر کشیده" بسازیم، تحدب سهمی در جهت عمل q هدایت می شود و انتها در قسمتی قرار می گیرد که نمودار Q خط پایه را قطع می کند. ج - در مقاطعی که نیروی متمرکزی به تیر وارد می شود، در نمودار Q جهش هایی به بزرگی و در جهت این نیرو وجود دارد و در نمودار M پیچ خوردگی هایی وجود دارد که نوک آن در جهت است. عمل این نیرو؛ d - در بخشهایی که یک گشتاور متمرکز به تیر اعمال می شود، در نمودار Q تغییری ایجاد نمی شود و در نمودار M جهش هایی به بزرگی این گشتاور وجود دارد. d – در مناطقی که Q> 0، لحظه M افزایش می یابد و در مناطقی که Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. تنش های معمولی در طول خمش خالص تیر مستقیم

اجازه دهید حالت خمش صفحه خالص تیر را در نظر بگیریم و فرمولی برای تعیین تنش های نرمال برای این مورد استخراج کنیم.

توجه داشته باشید که در تئوری الاستیسیته می‌توان وابستگی دقیقی برای تنش‌های معمولی در حین خمش خالص به دست آورد، اما در صورتی که این مشکل با استفاده از روش‌های مقاومت مصالح حل شود، لازم است چند فرض مطرح شود.

سه فرضیه از این دست برای خم شدن وجود دارد:

الف – فرضیه مقاطع صاف (فرضیه برنولی) – مقاطع مسطح قبل از تغییر شکل پس از تغییر شکل صاف می مانند، اما فقط نسبت به یک خط مشخص می چرخند که به آن محور خنثی مقطع تیر می گویند. در این حالت ، الیاف تیری که در یک طرف محور خنثی قرار دارد کشیده می شود و از طرف دیگر فشرده می شود. الیافی که روی محور خنثی قرار دارند طول خود را تغییر نمی دهند.

ب - فرضیه ثابت بودن تنشهای نرمال - تنشهایی که در همان فاصله y از محور خنثی عمل می کنند در عرض تیر ثابت هستند.

ج – فرضیه عدم وجود فشارهای جانبی – فیبرهای طولی مجاور به یکدیگر فشار نمی آورند.

سمت استاتیک مشکل

برای تعیین تنش ها در مقاطع تیر ابتدا اضلاع استاتیکی مسئله را در نظر می گیریم. با استفاده از روش مقاطع ذهنی و تشکیل معادلات تعادل برای قسمت برش تیر، نیروهای داخلی در حین خمش را دریابیم. همانطور که قبلا نشان داده شد، تنها نیروی داخلی وارد بر بخش تیر در طول خمش خالص، ممان خمشی داخلی است، به این معنی که تنش های نرمال مرتبط با آن در اینجا ایجاد می شود.

ما رابطه بین نیروهای داخلی و تنش‌های عادی در مقطع تیر را با در نظر گرفتن تنش‌های سطح ابتدایی dA، مشخص‌شده در مقطع A تیر در نقطه‌ای با مختصات y و z پیدا می‌کنیم (محور y به سمت پایین هدایت می‌شود. راحتی تجزیه و تحلیل):

همانطور که می بینیم، مشکل از نظر استاتیکی داخلی نامشخص است، زیرا ماهیت توزیع تنش های نرمال بر روی مقطع ناشناخته است. برای حل مشکل، تصویر هندسی تغییر شکل ها را در نظر بگیرید.

جنبه هندسی مسئله

اجازه دهید تغییر شکل یک عنصر تیر به طول dx را که از یک میله خمشی در یک نقطه دلخواه با مختصات x جدا شده است، در نظر بگیریم. با در نظر گرفتن فرضیه پذیرفته شده قبلی در مورد مقاطع مسطح، پس از خم کردن مقطع تیر، نسبت به محور خنثی (n.o.) با زاویه dϕ بچرخید، در حالی که فیبر ab که از محور خنثی در فاصله y فاصله دارد، تبدیل به یک می شود. قوس دایره a1b1، و طول آن تا اندازه ای تغییر می کند. بیایید در اینجا به یاد بیاوریم که طول الیافی که روی محور خنثی قرار دارند تغییر نمی کند و بنابراین قوس a0b0 (شعاع انحنای آن با ρ نشان داده می شود) به اندازه طول قطعه a0b0 قبل از تغییر شکل a0b0=dx است. .

اجازه دهید تغییر شکل خطی نسبی εx فیبر ab تیر منحنی را پیدا کنیم.

محاسبه کنید تیر خمشیچندین گزینه وجود دارد:
1. محاسبه حداکثر باری که تحمل خواهد کرد
2. انتخاب مقطع این تیر
3. محاسبه بر اساس حداکثر تنش های مجاز (برای تأیید)
بیایید نگاهی بیندازیم اصل کلی برای انتخاب مقطع تیر روی دو تکیه گاه بارگذاری شده با یک بار توزیع یکنواخت یا نیروی متمرکز.
برای شروع، باید نقطه (بخش) را پیدا کنید که در آن حداکثر لحظه وجود دارد. این بستگی به پشتیبانی یا تعبیه شدن پرتو دارد. در زیر نمودارهای لنگرهای خمشی برای رایج ترین طرح ها آورده شده است.

علاوه بر این، هنگام تقسیم حداکثر گشتاور خمشی بر لحظه مقاومت در یک بخش معین، به دست می آوریم حداکثر تنش در تیرو ما باید این تنش را با تنشی که پرتوی ما از یک ماده معین به طور کلی می تواند تحمل کند مقایسه کنیم.

برای مواد پلاستیکی(فولاد، آلومینیوم و ...) حداکثر ولتاژ برابر خواهد بود قدرت تسلیم مواد، A برای شکننده(چدن) – استحکام کششی. ما می توانیم استحکام تسلیم و استحکام کششی را از جداول زیر پیدا کنیم.

P = m * g = 90 * 10 = 900 N = 0.9 کیلونیوتن

M = P * l = 0.9 kN * 2 m = 1.8 kN * m

b = M / W = 1.8 kN/m / 0.0000397 m3 = 45340 kN/m2 = 45.34 مگاپاسکال

45.34 مگاپاسکال صحیح است، به این معنی که این I-beam جرم 90 کیلوگرم را تحمل می کند.