بین ریشه ها و ضرایب معادله مربع، علاوه بر فرمول های ریشه، روابط مفید دیگری وجود دارد که تنظیم می شوند قضیه Vieta. در این مقاله ما اصطلاحات و اثبات قضیه Vieta را برای معادله مربع. بیشتر قضیه، قضیه معکوس Vieta را در نظر بگیرید. پس از آن، ما راه حل های نمونه های مشخصه را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. در نهایت، فرمول Vieta را بنویسید، که رابطه بین ریشه های معتبر را تعیین می کند معادله جبری درجه N و ضرایب آن.

مرور صفحه

قضیه Vieta، اصطلاحات، اثبات

از فرمول ریشه های مربع معادله مربع a · x 2 + b · x + c \u003d 0 از گونه، که در آن d \u003d b 2 -4 · a · c، روابط x 1 + x 2 \u003d -b / a ، x 1 · x 2 جریان C / A هستند. این نتایج تایید شده است قضیه Vieta:

قضیه

اگر یک x 1 و x 2 - ریشه های مربع معادله a · x 2 + b · x + c \u003d 0، سپس مقدار ریشه ها برابر با نسبت ضرایب B و A با استفاده از مخالف آشنا، و محصول ریشه برابر با نسبت ضرایب C و A، یعنی است.

شواهد و مدارک.

اثبات قضیه Vieta بر اساس طرح زیر انجام خواهد شد: مقدار و محصول ریشه های معادله مربع را با استفاده از فرمول های شناخته شده ریشه ها، پس از آن ما تبدیل عبارات به دست آمده، و اطمینان حاصل کنید که آنها به ترتیب برابر با -B / A و C / A هستند.

بیایید با مقدار ریشه ها شروع کنیم، آن را بالا ببریم. در حال حاضر ما به بخش ها می دهیم مخرج مشترکما داریم. در عددی از کسر حاصل، پس از آن: در نهایت، پس از 2، ما دریافت می کنیم. این اولین نسبت قضیه Vieta را برای مقدار ریشه های معادله مربع ثابت کرد. به دوم بروید

ما محصولی از ریشه های معادله مربع را کامپایل می کنیم :. با توجه به قوانین کسری، آخرین کار شما می توانید به عنوان بنویسید حالا ما براکت را به براکت در عددی ضرب می کنیم، اما سریعتر این کار را انجام می دهیم فرمول تفاوت مربعات، بنابراین . علاوه بر این، به یاد داشته باشید، انتقال بعدی را انجام دهید. و از آنجا که تبعیض کننده معادله مربع به فرمول D \u003d B 2 -4 · a · c مربوط می شود، پس از آن در آخرین بخش به جای D می تواند جایگزین B 2 -4 · a · c، ما به دست آوردیم. پس از افشای براکت ها و آوردن شرایط مشابه ما به کسری می رویم، و کاهش آن به 4 · می دهد. این نشان دهنده نسبت دوم قضیه Vieta برای محصول ریشه است.

اگر توضیح را کاهش دهید، اثبات قضیه Vieta یک نگاه مختصر را انجام خواهد داد:
,
.

این تنها متوجه می شود که با یک معادله برابر برابر صفر، معادله مربع دارای یک ریشه است. با این حال، اگر فرض کنیم معادله در این مورد دارای دو ریشه مشابه است، پس برابری از قضیه Vieta نیز انجام می شود. در واقع، در d \u003d 0، ریشه معادله مربع، پس از آن و، و از آنجا که D \u003d 0، یعنی B 2 -4 · a · c \u003d 0، از جایی که B 2 \u003d 4 · a · c، سپس .

در عمل، اغلب، قضیه Vetiet در رابطه با معادله مربع داده شده (با ضریب ارشد A، برابر با 1) از فرم X 2 + P · X + Q \u003d 0 استفاده می شود. گاهی اوقات این نیز برای معادلات مربع دقیقا مانند چنین گونه ای فرموله شده است که ژنالیت را محدود نمی کند، زیرا هر معادله مربع را می توان با معادله معادل معادل جایگزین کرد، با تعیین دو بخش آن، از صفر متفاوت است. ما اصطلاحات مناسب تئوری Vieta را ارائه می دهیم:

قضیه

مجموع ریشه های میدان مغناطیسی مربع x 2 + p · x + q \u003d 0 برابر با ضریب x، گرفته شده با علامت مخالف، و محصول ریشه - یک عضو آزاد است، یعنی x 1 + x 2 \u003d -P، x 1 · x 2 \u003d q.

قضیه، قضیه معکوس Vieta

اصطلاح دوم قضیه Wieth که در پاراگراف قبلی ارائه شده نشان می دهد که اگر x 1 و x 2 ریشه های معادله مربع داده شده x 2 + p · x + q \u003d 0، و سپس نسبت x 1 + x 2 \u003d -P، x 1 · x 2 \u003d Q. از سوی دیگر، از روابط ضبط شده x 1 + x 2 \u003d -P، x 1 · x 2 \u003d q این بدان معنی است که x 1 و x 2 ریشه های مربع x 2 + p · x + q \u003d 0 دارند. به عبارت دیگر، تصویب، قضیه معکوس Vieta. ما آن را در قالب قضیه فرموله می کنیم و آن را اثبات می کنیم.

قضیه

اگر اعداد X 1 و X 2 به گونه ای باشند که x 1 + x 2 \u003d -P و x 1 · x 2 \u003d q، سپس x 1 و x 2 ریشه های معادله مربع کاهش یافته x 2 + p · x + q هستند \u003d 0

شواهد و مدارک.

پس از جایگزینی در معادله x 2 + p · x + q \u003d 0 از ضرایب P و Q از عبارات آنها از طریق x 1 و x 2، آن را به معادله معادل تبدیل شده است.

جایگزین به معادله نتیجه به جای X شماره X 1، ما برابری داریم x 1 2 - (x 1 + x 2) · x 1 + x 1 · x 2 \u003d 0که، با هر X 1 و X 2، یک برابری عددی وفادار است 0 \u003d 0، از آنجا که x 1 2 - (x 1 + x 2) · x 1 + x 1 · x 2 \u003d x 1 2 -x 1 2 -x 2 · x 1 + x 1 · x 2 \u003d 0. بنابراین، x 1 - ریشه معادله x 2 - (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 \u003d 0بنابراین x 1 معادله ریشه و معادل آن x 2 + p · x + q \u003d 0 است.

اگر معادله x 2 - (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 \u003d 0 جایگزین به جای x شماره x 2، پس ما برابری را دریافت می کنیم x 2 2 - (x 1 + x 2) · x 2 + x 1 · x 2 \u003d 0. این برابری درست است x 2 2 - (x 1 + x 2) · x 2 + x 1 · x 2 \u003d x 2 2 -x 1 · x 2 -x 2 2 + x 1 · x 2 \u003d 0. بنابراین، x 2 نیز ریشه معادله است x 2 - (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 \u003d 0بنابراین، معادلات X 2 + P · X + Q \u003d 0.

این اثبات قضیه را تکمیل کرد قضیه معکوس ویتا

نمونه هایی از استفاده از قضیه Vieta

وقت آن است که در مورد کاربرد عملی قضیه ویتا و قضیه معکوس صحبت کنیم. در این مرحله ما راه حل های چند نمونه مشخصه را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

بیایید شروع به استفاده از قضیه، قضیه معکوس Vieta کنیم. مناسب است که برای بررسی اینکه آیا داده ها دو ریشه از یک معادله مربع مشخص شده است، استفاده می شود. این مبلغ و تفاوت آنها را محاسبه می کند، پس از آن مقادیر اعتبار بررسی می شود. اگر هر دو این روابط انجام شود، پس از آن به موجب قضیه، قضیه معکوس ویتا، نتیجه گیری می شود که این تعداد ریشه های معادله است. اگر حداقل یکی از روابط برآورده نشود، داده های این تعداد ریشه های معادله مربع نیستند. این رویکرد را می توان در هنگام حل معادلات مربع برای بررسی ریشه های یافت شده استفاده کرد.

مثال.

کدام یک از جفت اعداد 1) x 1 \u003d -5، x 2 \u003d 3، یا 2)، یا 3) یک جفت ریشه از معادله مربع 4 · x 2 -16 · x + 9 \u003d 0 است؟

تصمیم گیری

ضرایب معادله مربع مشخص شده 4 · x 2 -16 · x + 9 \u003d 0 a \u003d 4، b \u003d -16، c \u003d 9 هستند. با توجه به قضیه Vieta، مقدار ریشه های معادله مربع باید -B / A باشد، یعنی 16/4 \u003d 4، و محصول ریشه ها باید برابر با C / A باشد، یعنی 9 / 4

در حال حاضر ما مقدار و محصول اعداد را در هر یک از سه جفت مشخص شده محاسبه می کنیم و آنها را با مقادیر به دست آمده مقایسه می کنیم.

در اولین مورد، ما X 1 + x 2 \u003d -5 + -2 -2 داریم. مقدار حاصل از 4 متفاوت است، بنابراین شما نمی توانید بیشتر تأیید شود، اما توسط قضیه، قضیه معکوس Vieta، بلافاصله نتیجه می گیرد که اولین جفت اعداد یک جفت ریشه از یک معادله مربع مشخص نیست.

به مورد دوم بروید در اینجا، یعنی شرایط اول انجام می شود. ما شرایط دوم را بررسی می کنیم: مقدار حاصل از 9/4 متفاوت است. در نتیجه، جفت دوم عدد یک جفت ریشه از معادله مربع نیست.

آخرین مورد باقی می ماند اینجا و. بنابراین هر دو شرایط ساخته می شوند، بنابراین، این اعداد x 1 و x 2 ریشه های یک معادله مربع مشخص شده است.

پاسخ:

قضیه، قضیه معکوس، در عمل، می تواند برای انتخاب ریشه های معادله مربع استفاده شود. به طور معمول تمام ریشه های معادلات مربع داده شده را با ضرایب عدد صحیح انتخاب کنید، زیرا در موارد دیگر بسیار دشوار است. در این مورد، از این واقعیت استفاده کنید که اگر مجموع دو عدد برابر با ضریب دوم معادله مربع با علامت منفی باشد، و محصول این اعداد برابر با یک عضو آزاد است، سپس این تعداد ریشه های این است معادله مربع ما در مثال این کار را انجام خواهیم داد.

معادله مربع x 2 -5 · x + 6 \u003d 0 را بگیرید. به طوری که اعداد x 1 و x 2 ریشه های این معادله بودند، دو برابر برابر x 1 + x 2 \u003d 5 و x 1 · x 2 \u003d 6 باید انجام شود. این تعداد را انتخاب می کند. در این مورد، این کار بسیار ساده است: این تعداد 2 تا 3، از 2 + 3 \u003d 5 و 2 · 3 \u003d 6 است. بنابراین، 2 و 3 ریشه های این معادله مربع هستند.

قضیه، قضیه معکوس Vieta، به ویژه برای پیدا کردن ریشه دوم معادله مربع داده شده، زمانی که یکی از ریشه ها شناخته شده یا واضح است، مناسب است. در این مورد، ریشه دوم از هر یک از روابط است.

به عنوان مثال، یک معادله مربع 512 · x 2 -509 · x-3 \u003d 0 را بگیرید. اینجا آسان است که توجه داشته باشید که واحد ریشه معادله است، زیرا مجموع ضرایب این معادله مربع صفر است. بنابراین، x 1 \u003d 1. دوم ریشه X 2 را می توان یافت، به عنوان مثال، از نسبت x 1 · x 2 \u003d c / a. ما 1 · x 2 \u003d -3 / 512، از جایی که x 2 \u003d -3 / 512 وجود دارد. بنابراین ما هر دو ریشه از معادله مربع را تعیین کردیم: 1 و -3/512.

واضح است که انتخاب ریشه ها تنها در موارد ساده ای مناسب است. در موارد دیگر، ریشه های ریشه های معادله مربع را می توان برای جستجوی ریشه ها از طریق تبعیض آمیز اعمال کرد.

یکی دیگر استفاده عملی قضیه، قضیه معکوس Vieta، شامل آماده سازی معادلات مربع بر روی ریشه های مشخص شده X 1 و X 2 می باشد. برای انجام این کار، کافی است که مقدار ریشه ها را محاسبه کنید، که ضریب x را با علامت مخالف معادله مربع داده شده و محصول ریشه ها، که یک عضو آزاد را به دست می دهد، به دست می دهد.

مثال.

یک معادله مربع بنویسید، ریشه های آنها اعداد -11 و 23 است.

تصمیم گیری

نشان دادن x 1 \u003d -11 و x 2 \u003d 23. محاسبه مقدار و محصول این شماره ها: x 1 + x 2 \u003d 12 و x 1 · x 2 \u003d -253. در نتیجه، این تعداد ریشه های معادله مربع داده شده با ضریب دوم -12 و عضو آزاد -253 است. این است که، x 2 -12 · x-253 \u003d 0 معادله مورد نظر است.

پاسخ:

x 2 -12 · x-253 \u003d 0.

قضیه Vieta اغلب در حل وظایف مرتبط با نشانه های ریشه های معادلات مربع استفاده می شود. چگونه قضیه Vieta با ریشه های معادله مربع ریشه X 2 + P · X + Q \u003d 0؟ ما دو عبارت مربوطه را ارائه می دهیم:

• اگر یک عضو رایگان Q - مثبت و اگر معادله مربع ریشه های معتبر داشته باشد، پس هر دو مثبت یا منفی هستند.
• اگر عضو رایگان Q یک عدد منفی باشد و اگر معادله مربع ریشه های معتبر داشته باشد، نشانه های آنها متفاوت است، به عبارت دیگر، یک ریشه مثبت است، و دیگری منفی است.

این اظهارات جریان از فرمول x 1 · x 2 \u003d q، و همچنین قوانین ضرب مثبت، اعداد منفی و اعداد با علائم مختلف. نمونه هایی از درخواست خود را در نظر بگیرید.

مثال.

R مثبت است با توجه به فرمول تبعیض آمیز، ما پیدا کردن d \u003d (r + 2) 2 -4 · 1 · (r-1) \u003d R 2 + 4 · r + 4-4 · r + 4 \u003d r 2 +8، مقدار از عبارت R 2 +8 مثبت با هر R معتبر، بنابراین، d\u003e 0 با هر R معتبر در نتیجه، معادله مربع اصلی دارای دو ریشه در هر مقادیر معتبر پارامتر R است.

در حال حاضر پیدا کردن زمانی که ریشه ها علائم مختلف. اگر نشانه های ریشه متفاوت باشند، کار آنها منفی است و در قضیه Vieta، محصول ریشه های معادله مربع داده شده برابر با یک عضو آزاد است. بنابراین، ما به آن مقادیر R علاقه مند هستیم، که در آن اصطلاح آزاد R-1 منفی است. بنابراین، برای پیدا کردن ارزش های مورد علاقه R، لازم است تصميم گرفتن نابرابری خطی R-1.<0 , откуда находим r<1 .

پاسخ:

در R.<1 .

فرمول های Vieta

در بالا، ما در مورد قضیه Vetha برای معادله مربع صحبت کردیم و نسبت ها را مورد تایید قرار دادیم. اما فرمول هایی وجود دارد که ریشه های معتبر و ضرایب نه تنها معادلات مربع را متصل می کنند، بلکه معادلات مکعبی، معادلات کوانتوم و به طور کلی، معادلات جبری درجه n آنها نامیده می شوند فرمول های Vieta.

ما فرمول Vieta را برای معادله جبری درجه N از فرم بنویسیم و فرض کنیم که ریشه های معتبر x 1، x 2، ...، x n (در میان آنها ممکن است همزمان باشد):

فرمول های Vita را اجازه می دهد قضیه تجزیه چندجملهای در ضریب خطی، و همچنین تعریف چندجملهای برابر از طریق برابری تمام ضرایب مربوطه آنها. بنابراین تجزیه چندجملهای و تجزیه آن بر عوامل خطی گونه ها برابر است. باز کردن یک براکت در آخرین کار و معادل ضرایب مربوطه، فرمول Vieta را به دست می آوریم.

به طور خاص، در n \u003d 2، ما در حال حاضر به فرمول Vience برای معادله مربع آشنا هستیم.

برای معادله مکعبی فرمول Vieta فرم را تشکیل می دهند

تنها متوجه می شود که ابتدایی به اصطلاح ابتدایی در سمت چپ فرمول های Vieta است چندجملهای متقارن.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• جبر: مطالعات. برای 8 CL آموزش عمومی. موسسات / [یو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorov]؛ اد. S. A. Telikovsky. - 16 - M: روشنگری، 2008. - 271 پ. : ایل - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. جبر کلاس هشتم در 2 قاشق چایخوری. 1. آموزش دانشجویان موسسات آموزشی عمومی / A. Mordkovich. - 11th ed.، ched - متر: Mnemozina، 2009. - 215 پ.: ایل. ISBN 978-5-346-011555-2.
• جبر و شروع به تجزیه و تحلیل ریاضی کرد. درجه 10: مطالعات. برای آموزش عمومی موسسات: پایه و مشخصات. سطوح / [Y. M. Kolyagin، M. V. Tkacheva، N. E. Fedorova، M. I. Shabunin]؛ اد. A. B. Zhizchenko. - 3drd - متر: روشنگری، 2010.- 368 p. : ایل - ISBN 978-5-09-0222771-1.

تعیین مقدار ریشه های معادله یکی از مراحل لازم در حل معادلات مربع (معادلات فرم AX² + BX + C \u003d 0 است، جایی که شاخص های A، B و C اعداد دلخواه هستند و 0) با حمایت از قضیه Vieta.

دستورالعمل

1. معادله مربع را به صورت AX² + BX + C \u003d 0 ضبط کنید مثال: معادله اولیه: 12 + x² \u003d 8xGrequently معادله ثبت شده: x² - 8x + 12 \u003d 0

2. قضیه قضیه شراب را اعمال کنید، طبق آن مقدار ریشه های معادله برابر با شماره "B"، با علامت مخالف گرفته می شود، و محصول آنها شماره "C" است. به عنوان مثال: در نظر گرفته شده است معادله b \u003d -8، c \u003d 12 به ترتیب: x1 + x2 \u003d 8 × 1 * x2 \u003d 12

3. پیدا کردن عدد صحیح یا منفی، ریشه های معادلات است. اگر محصول و مقدار ریشه اعداد مثبت، تمام ریشه ها - شماره درست است. اگر محصول ریشه درست باشد، مقدار ریشه تعداد منفی است، سپس هر دو ریشه منفی هستند. اگر محصول ریشه منفی باشد، ریشه های یک ریشه دارای علامت "+" و علامت دیگری است "-" در این مورد باید توسط یک قانون اضافی استفاده شود: "اگر مقدار ریشه ها یک عدد مثبت باشد ، ریشه نیز مثبت است و اگر مقدار ریشه نیز مثبت باشد، تعداد منفی یک ماژول ریشه بزرگتر است. مثلا: در معادله در نظر گرفته شده و مقدار، و محصول شماره های مناسب است: 8 و 12، آن به این معنی است که هر دو ریشه اعداد مثبت هستند.

4. سیستم نتیجه معادلات را با انتخاب ریشه ها تعیین کنید. راحت است که انتخاب چند ضلعی را شروع کنید، و پس از آن، برای بررسی، هر جفت عامل را در معادله دوم جایگزین کنید و بررسی کنید که آیا مقدار این ریشه ها مربوط به راه حل است. مثال: x1 * x2 \u003d 12 جفت ریشه های مناسب به ترتیب: 12 و 1، 6 و 2، 4 و 3 جفت های دریافت شده را با پشتیبانی از معادله x1 + x2 \u003d 8 بررسی کنید. زوج 12 + 1 ≠ 86 + 2 \u003d 84 + 3 ≠ 8 ریشه های مجزا از معادله اعداد 6 و 8 است.

معادله برابری فرم F (x، y، ...) \u003d g (x، y، ...) نامیده می شود، جایی که F و G از یک یا چند متغیر عمل می کنند. معادله ریشه را شناسایی کنید - این بدان معنی است که چنین استدلالی را شناسایی کنید که این برابری انجام می شود.

شما نیاز خواهید داشت

• دانش بررسی ریاضی.

دستورالعمل

1. این امکان وجود دارد، شما معادله فرم را دارید: X + 2 \u003d X / 5. برای شروع، ما تمام اجزای این برابری را از سمت راست به سمت چپ حرکت می دهیم و علامت را از جزء به مخالف تغییر می دهیم. در قسمت راست این معادله، صفر باقی می ماند، یعنی، ما موارد زیر را به دست می آوریم: X + 2-X / 5 \u003d 0.

2. ما دروغ های مشابهی را ارائه می دهیم. ما موارد زیر را دریافت می کنیم: 4x / 5 + 2 \u003d 0.

3. علاوه بر این معادله به دست آمده، یک اصطلاح ناشناخته را پیدا خواهد کرد، در این مورد X است. مقدار حاصل از یک متغیر ناشناخته و راه حل معادله اولیه خواهد بود. در این مورد، ما موارد زیر را دریافت می کنیم: x \u003d -2.5.

ویدئو در موضوع

توجه داشته باشید!
در نتیجه، راه حل ها می توانند ریشه های اضافی ایجاد کنند. آنها یک راه حل برای معادله اولیه نخواهند بود، حتی اگر همه شما به طور مثبت تصمیم گرفته اید. مطمئن باشید که تمام راه حل ها را بررسی کنید.

مشاوره مفید
مقادیر به دست آمده از بررسی ناشناخته ناشناخته. این به طور اساسی مجاز است، جایگزینی مقدار به دست آمده به معادله اولیه. اگر برابری درست باشد، راه حل درست است.

تئوری Vieta یک پیوند مستقیم بین ریشه ها (x1 و x2) و شاخص ها (B و C، D) معادله نوع BX2 + CX + d \u003d 0 را ایجاد می کند. با کمک این قضیه مجاز بود، بدون تعیین ارزش های ریشه، محاسبه مبلغ آنها، جسورانه صحبت کردن، در ذهن. هیچ چیز سختی در آن وجود ندارد، مهمترین چیز این است که برخی از قوانین را بدانید.

شما نیاز خواهید داشت

• - ماشین حساب؛
• - مقاله برای سوابق.

دستورالعمل

1. به نظر استاندارد معادله مربع آزمون، به طوری که تمام شاخص های درجه به ترتیب کاهش، یعنی در ابتدای درجه بالاتر - X2، و در پایان درجه صفر - X0. معادله فرم را می گیرد: B * x2 + C * x1 + d * x0 \u003d b * x2 + c * x + d \u003d 0.

2. بررسی غیر منفی از تبعیض را بررسی کنید. این چک مورد نیاز است تا اطمینان حاصل شود که ریشه ها معادله را دارند. D (تشخیص) فرم را می گیرد: D \u003d C2 - 4 * B * D. گزینه های متعددی وجود دارد. D - تشخیص صحیح است، به این معنی که معادله دارای دو ریشه است. D صفر است، از این به دنبال آن است که یک ریشه وجود دارد، اما این دوگانه است، یعنی x1 \u003d x2. D - منفی، برای جبر مدرسه این وضعیت نشان می دهد که هیچ ریشه ای وجود ندارد، برای ریاضیات بالاتر - ریشه وجود دارد، اما آنها پیچیده هستند.

3. مقدار ریشه های معادله را تعیین کنید. با کمک قضیه Vieta، آسان است: B * X2 + C * X + D \u003d 0. مقدار ریشه های معادله به طور مستقیم متناسب با "-c" و معکوس متناسب با "B" "شاخص یعنی x1 + x2 \u003d -c / b. محصول ریشه را با توجه به متن تعیین کنید - محصول ریشه های معادله به طور مستقیم متناسب با "D" و معکوس متناسب با شاخص "B": x1 * x2 \u003d d / b.

توجه داشته باشید!
اگر شما یک تبعیض منفی داشته باشید، این بدان معنا نیست که هیچ ریشه ای وجود ندارد. این به این معنی است که ریشه های معادله ریشه های پیچیده پیچیده هستند. تئوری Vieta نیز در این مورد قابل اجرا است، اما فرم آن کمی اصلاح شده است: [-c + (- i) * (- C2 + 4 * b * d) 0.5] / \u003d x1،2

مشاوره مفید
اگر شما با یک معادله مربع مواجه هستید، اما با یک مکعب یا معادله درجه N: B0 * XN + B1 * XN-1 + ... .. + BN \u003d 0، سپس برای محاسبه مقدار یا محصول از ریشه های معادله، شما همچنین می توانید از قضیه Vieta استفاده کنید: یکی. -B1 / B0 \u003d X1 + X2 + X3 + .... + XN، 2. B2 / B0 \u003d X1 * X2 + .... + XN-1 * XN، 3. (-1) n * (bn / b0) \u003d x1 * x2 * x3 * .... * xn.

اگر، هنگام جایگزینی تعداد به معادله، برابری مناسب به دست می آید، چنین تعداد ریشه نامیده می شود. ریشه ها می توانند صحیح، منفی و صفر باشند. در میان هر مجموعه ای از ریشه های معادله، حداکثر و حداقل.

دستورالعمل

1. کشف تمام ریشه های معادله، در میان آنها، منفی را انتخاب کنید، اگر هر کدام. بگذارید، بگو، یک معادله مربع 2x داده شده است؟ -3x + 1 \u003d 0. فرمول را برای جستجو در ریشه های معادله مربع اعمال کنید: x (1.2) \u003d / 2 \u003d / 2 \u003d / 2، سپس x1 \u003d 2، x2 \u003d 1. این آسان است که در میان آنها منفی نیست.

2. تشخیص ریشه های معادله مربع نیز با استفاده از قضیه Vieta مجاز است. با توجه به این قضیه x1 + x1 \u003d -b، x1؟ x2 \u003d c، که در آن B و C به ترتیب، شاخص های معادله x؟ + bx + c \u003d 0 است. اعمال این قضیه، مجاز به محاسبه تبعیض B؟ -4AC نیست، که در برخی موارد می تواند به طور قابل توجهی ساده کار را ساده کند.

3. اگر در معادله مربع، شاخص X در X حتی مجاز به استفاده از اصلی نیست، و فرمول اختصاری برای جستجوی ریشه ها. اگر فرمول اصلی به نظر می رسد x (1،2) \u003d [- b ±؟ (b؟ -4ac)] / 2a، سپس آن را به صورت اختصار نوشته شده است: x (1،2) \u003d [- b / 2 ±؟ (b؟ / 4-AC)] / a. اگر هیچ عضو آزاد در معادله مربع وجود نداشته باشد، X را برای براکت ها انتقال می دهد. و گاهی اوقات سمت چپ در مربع کامل قرار می گیرد: X؟ + 2X + 1 \u003d (X + 1)؟

4. انواع معادلات وجود دارد که یک عدد را نمی دهد، بلکه یک راه حل کامل رزولوشن است. می گویند معادلات مثلثاتی. بنابراین، نتیجه معادله 2sin؟ (2x) + 5sin (2x) -3 \u003d 0 x \u003d؟ / 4+؟ k، جایی که k یک عدد صحیح است. به عبارت دیگر، هنگامی که جایگزین تمام کل مقدار پارامتر K، استدلال X معادله مشخص را برآورده می کند.

5. در وظایف مثلثاتی، ممکن است لازم باشد همه ریشه های منفی یا بالاترین منفی را شناسایی کنید. در حل چنین وظایفی، استدلال های منطقی استفاده می شود یا یک روش القاء ریاضی است. چندین مقدار کل را برای K در عبارت X \u003d؟ / 4+؟ K جایگزین کنید و فقط چگونه استدلال رفتار می کنید. به هر حال، بالاترین ریشه منفی در معادله قبلی X \u003d -3 خواهد بود؟ / 4 در K \u003d 1.

ویدئو در موضوع

توجه داشته باشید!
در این مثال، یک نوع از معادله مربع که در آن A \u003d 1 در نظر گرفته شد. به منظور اطمینان از همان روش برای حل معادله مربع کامل، جایی که A & NE 1، شما نیاز به یک معادله کمکی، آوردن "A" به یکی.

مشاوره مفید
از این روش حل معادلات استفاده کنید تا سریعا ریشه ها را تشخیص دهید. همچنین در صورت نیاز به حل معادله در ذهن، بدون توسل به سوابق، کمک خواهد کرد.

مجموع ریشه های معادله مربع مشخص شده برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است و محصول ریشه برابر با یک عضو آزاد است.

(به یاد بیاورید: معادله مربع کاهش یافته معادله ای است که در آن ضریب اول 1 است).

توضیح:

اجازه دهید معادله مربع aX 2 +bx +.c. \u003d 0 ریشه دارد h. 1 I. h. 2 سپس قضیه Vieta:

مثال 1:

معادله کاهش یافته X 2 - 7x + 10 \u003d 0 ریشه 2 و 5 دارد.

مقدار ریشه 7 است و محصول برابر با 10 است.

و در معادله ما، ضریب دوم -7 و یک عضو آزاد از 10 است.

بنابراین، مقدار ریشه ها برابر با ضریب دوم با علامت مخالف است و محصول ریشه یک عضو آزاد است.

اغلب معادلات مربع وجود دارد که می تواند به راحتی با استفاده از تئوری Vieta محاسبه شود - بیشتر از آن، با کمک آن، آنها را آسان تر محاسبه. این آسان است که هر دو نمونه قبلی و زیر را مطمئن شوید.

مثال 2 حل معادله مربع h. 2 – 2h. – 24 = 0.

تصمیم گیری

ما از قضیه Vieta استفاده می کنیم و دو هویت را بنویسیم:

h. یکی · h. 2 = –24

h. 1 + h. 2 = 2

ما چنین چندتایی را برای -24 انتخاب می کنیم به طوری که مقدار آنها برابر 2. پس از بازتاب های کوتاه، ما می بینیم: 6 و -4. بررسی:

6 · (- 4) \u003d -24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

همانطور که متوجه شدید، ماهیت قضیه Vieta این است که در معادله میدان فعلی یک عضو آزاد برای تجزیه بر روی چنین ضریب ها، مجموع آن برابر با ضریب دوم با نشانه اختلافات است. این ضغطه ها ریشه دارند.

بنابراین، ریشه های معادله مربع ما 6 و 4 است.

پاسخ: h. 1 = 6, h. 2 = –4.

مثال 3 اجازه دهید معادله مربع 3x 2 + 2x - 5 \u003d 0.

در اینجا ما با معادله مربع برخورد نمی کنیم. اما چنین معادلات نیز می تواند با استفاده از قضیه Vieta حل شود، اگر ضرایب آنها متعادل باشند - به عنوان مثال، اگر مجموع ضرایب اول و سوم برابر با دوم با علامت مخالف باشد.

تصمیم گیری

ضرایب معادله متعادل هستند: مجموع اعضای اول و سوم برابر با دوم با علامت مخالف است:

3 + (–5) = –2.

با توجه به قضیه Vieta

x 1 + x 2 \u003d -2/3
x 1 · x 2 \u003d -5/3.

ما باید چنین دو عدد را پیدا کنیم، مجموع آن -2/3 و محصول -5/3 است. این اعداد معادلات ریشه خواهند داشت.

شماره اول بلافاصله حدس زده می شود: این است 1. پس از همه، در x \u003d 1، معادله تبدیل به ساده ترین اضافی-تفریق می شود:
3 + 2 - 5 \u003d 0. چگونه ریشه دوم را پیدا کنید؟
تصور کنید 1 به شکل 3/3، به طوری که تمام اعداد مشابه یکسان بود: ساده تر است. و بلافاصله اقدامات بیشتری را پیشنهاد می کند. اگر x 1 \u003d 3/3، سپس:

3/3 + x 2 \u003d -2/3.

ما یک معادله ساده را حل می کنیم:

x 2 \u003d -2/3 - 3/3.

پاسخ: x 1 \u003d 1؛ x 2 \u003d -5/3

مثال 4: حل معادله مربع 7 ایکس. 2 – 6ایکس. – 1 = 0.

تصمیم گیری:

یک ریشه بلافاصله تشخیص داده می شود - او به طور مستقیم به چشم می خورد: h. 1 \u003d 1 (از آنجا که یک ریاضی ساده وجود دارد: 7 - 6 - 1 \u003d 0).

ضرایب معادله متعادل هستند: مقدار اول و سوم برابر با دوم با علامت مخالف است:
7 + (– 1) = 6.

مطابق با قضیه Vieta، ما دو هویت را ایجاد می کنیم (اگر چه در این مورد یکی از آنها کافی است):

h. یکی · h. 2 = –1/7
h. 1 + h. 2 = 6/7

ما مقدار x 1 را به هر یک از این دو عبارت جایگزین می کنیم و X 2 را پیدا می کنیم:

h. 2 = –1/7: 1 = –1/7

پاسخ: h. 1 = 1; h. 2 = –1/7

معادله مربع کاهش یافته است.

تبعیض آمیز معادله مربع داده شده می تواند هر دو توسط فرمول عمومی محاسبه شود، و در ساده سازی:

برایd \u003d 0 ریشه های معادله داده شده را می توان با فرمول محاسبه کرد:

اگر د< 0, то уравнение не имеет корней.

اگر d \u003d 0، معادله یک ریشه دارد.

اگر d\u003e 0، معادله دو ریشه دارد.