Rastgele bir piramidin yan yüzeyinin alanı, yan yüzlerinin alanlarının toplamına eşittir. Düzenli bir piramit durumunda bu alanı ifade etmek için özel bir formül vermek mantıklıdır. Öyleyse, tabanında bir kenarı a'ya eşit olan düzgün bir n-gon bulunan düzgün bir piramit verilsin. Yan yüzün yüksekliği h olsun. özlü söz piramitler. Bir yan yüzün alanı 1/2ah'dır ve piramidin tüm yan yüzeyinin alanı n/2ha'dır.na, piramidin tabanının çevresi olduğundan, bulunan formülü aşağıdaki gibi yazabiliriz. :

yanal yüzey alanı düzgün bir piramidin, özünün çarpımına tabanın çevresinin yarısına eşittir.

İlişkin toplam yüzey alanı, ardından tabanın alanını yana ekleyin.

Yazılı ve sınırlı küre ve top. Piramidin içinde yazılı olan kürenin merkezinin, piramidin iç dihedral açılarının açıortay düzlemlerinin kesişme noktasında yer aldığına dikkat edilmelidir. Piramidin yakınında tanımlanan kürenin merkezi, piramidin kenarlarının orta noktalarından geçen ve onlara dik olan düzlemlerin kesişme noktasında bulunur.

Kesik piramit. Piramit tabanına paralel bir düzlem tarafından kesilirse, kesme düzlemi ile taban arasında kalan kısma denir. kesik piramit.Şekil, bir piramidi göstermektedir, kesme düzleminin üzerinde kalan kısmını atarak, kesilmiş bir piramit elde ederiz. Atılacak küçük piramidin, homotety merkezi tepede olan büyük piramidin homotetik olduğu açıktır. Benzerlik katsayısı, yüksekliklerin oranına eşittir: k=h 2 /h 1 veya yan kenarlar veya diğer uygun doğrusal boyutlar her iki piramit. Benzer şekillerin alanlarının doğrusal boyutların kareleri olarak ilişkili olduğunu biliyoruz; bu nedenle her iki piramidin taban alanları (yani, kesik piramidin tabanlarını yedekler) şu şekilde ilişkilidir:

Burada S 1, alt tabanın alanıdır ve S 2, kesik piramidin üst tabanının alanıdır. Piramitlerin yan yüzeyleri aynı orandadır. Hacimler için de benzer bir kural vardır.

Benzer cisimlerin hacimleri doğrusal boyutlarının küpleri olarak ilişkilidir; örneğin, piramitlerin hacimleri, kuralımızın hemen takip ettiği taban alanı ile yüksekliklerinin ürünleri olarak ilişkilidir. Tamamen genel bir karaktere sahiptir ve hacmin her zaman uzunluğun üçüncü kuvvetinin boyutuna sahip olduğu gerçeğinden doğrudan çıkar. Bu kuralı kullanarak, kesik bir piramidin hacmini tabanların yüksekliği ve alanları cinsinden ifade eden bir formül elde ederiz.

Yüksekliği h ve taban alanları S 1 ve S 2 olan bir kesik piramit verilsin. Tam piramite uzatıldığını düşünürsek, tam piramit ile küçük piramidin benzerlik katsayısı S 2/S 1 oranının kökü olarak kolayca bulunabilir. Kesik piramidin yüksekliği h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k) olarak ifade edilir. Şimdi, kesilmiş piramidin hacmine sahibiz (V 1 ve V 2, tam ve küçük piramitlerin hacimlerini gösterir)

kesik piramit hacim formülü

Düzenli bir kesik piramidin yan yüzeyinin S alanı için formülü, tabanların P 1 ve P 2 çevreleri ve a özdeyişinin uzunluğu boyunca türetiyoruz. Hacim formülünü türetirken olduğu gibi tam olarak aynı şekilde tartışıyoruz. Piramidi tamamlamak tepe, elimizde P 2 \u003d kP 1, S 2 \u003d k 2 S 1 var, burada k benzerlik katsayısı, P 1 ve P 2 tabanların çevreleri ve S 1 ve S 2 tarafın atlarıdır sırasıyla elde edilen tüm piramidin ve üst kısmının yüzeyleri. Yan yüzey için buluyoruz (a 1 ve 2 - piramitlerin özlü sözleri, a \u003d a 1 - a 2 \u003d a 1 (1-k))

düzenli bir kesik piramidin yan yüzey alanı için formül

Gizliliğiniz bizim için önemlidir. Bu nedenle, bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik politikamızı okuyun ve herhangi bir sorunuz olursa bize bildirin.

Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması

Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.

Bizimle iletişime geçtiğinizde herhangi bir zamanda kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.

Aşağıda, toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize ilişkin bazı örnekler verilmiştir.

Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:

• Siteye bir başvuru yaptığınızda, adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. E-posta vb.

Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:

• Topladığımız kişisel bilgiler, sizinle iletişim kurmamıza ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
• Zaman zaman, size önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kişisel bilgilerinizi kullanabiliriz.
• Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri iyileştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili önerilerde bulunmak için denetimler, veri analizleri ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi dahili amaçlarla da kullanabiliriz.
• Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir teşvike girerseniz, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.

Üçüncü şahıslara açıklama

Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara ifşa etmiyoruz.

İstisnalar:

• Gerekirse - yasaya, adli usule uygun olarak, dava ve / veya Rusya Federasyonu topraklarındaki devlet organlarının kamuya açık talepleri veya talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu yararı amaçları için gerekli veya uygun olduğunu belirlersek hakkınızdaki bilgileri ifşa edebiliriz.
• Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda, topladığımız kişisel bilgileri ilgili üçüncü taraf halefine aktarabiliriz.

Kişisel bilgilerin korunması

Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişim, ifşa, değişiklik ve imhadan korumak için - idari, teknik ve fiziksel dahil olmak üzere - önlemler alıyoruz.

Şirket düzeyinde gizliliğinizi korumak

Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için, çalışanlarımıza gizlilik ve güvenlik uygulamalarını iletiriz ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uygularız.

Silindir, iki paralel düzlemle sınırlanmış geometrik bir cisimdir ve silindirik yüzey. Makalede, bir silindirin alanının nasıl bulunacağı hakkında konuşacağız ve formülü kullanarak örneğin birkaç problemi çözeceğiz.

Silindirin üç yüzeyi vardır: üst, alt ve yan yüzey.

Silindirin üstü ve altı dairelerdir ve tanımlanması kolaydır.

Bir dairenin alanının πr 2'ye eşit olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, iki dairenin (silindirin üstü ve altı) alan formülü πr 2 + πr 2 = 2πr 2 gibi görünecektir.

Silindirin üçüncü yan yüzeyi, silindirin kavisli duvarıdır. Bu yüzeyi daha iyi temsil etmek için, onu tanınabilir bir şekil elde edecek şekilde dönüştürmeye çalışalım. Bir silindirin düzenli olduğunu hayal edin. teneke, üst kapağı ve alt kısmı olmayan. Kavanozun yukarıdan aşağıya doğru yan duvarında dikey bir kesi yapalım (şekildeki Adım 1) ve ortaya çıkan şekli mümkün olduğunca açmaya (düzeltmeye) çalışalım (2. Adım).

Ortaya çıkan kavanozun tam olarak açıklanmasından sonra tanıdık bir şekil göreceğiz (Adım 3), bu bir dikdörtgen. Bir dikdörtgenin alanını hesaplamak kolaydır. Ama ondan önce, bir an için orijinal silindire dönelim. Orijinal silindirin tepe noktası bir dairedir ve bir dairenin çevresinin şu formülle hesaplandığını biliyoruz: L = 2πr. Şekilde kırmızı ile işaretlenmiştir.

Silindirin yan duvarı tamamen genişlediğinde, çevresinin elde edilen dikdörtgenin uzunluğu olduğunu görüyoruz. Bu dikdörtgenin kenarları çevresi (L = 2πr) ve silindirin yüksekliği (h) olacaktır. Bir dikdörtgenin alanı, kenarlarının ürününe eşittir - S = uzunluk x genişlik = L x h = 2πr x h = 2πrh. Sonuç olarak, bir silindirin yan yüzey alanını hesaplamak için bir formül elde ettik.

Silindirin yan yüzeyinin alanı için formül
S tarafı = 2 saat

Silindirin tam yüzey alanı

Son olarak, üç yüzeyin alanını toplarsak, bir silindirin toplam yüzey alanı formülünü elde ederiz. Silindirin yüzey alanı, silindirin üst alanı + silindirin tabanının alanı + silindirin yan yüzeyinin alanına eşittir veya S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Bazen bu ifade aynı formül 2πr (r + h) ile yazılır.

Silindirin toplam yüzey alanı formülü
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r silindirin yarıçapıdır, h silindirin yüksekliğidir

Bir silindirin yüzey alanını hesaplama örnekleri

Yukarıdaki formülleri anlamak için örnekler kullanarak bir silindirin yüzey alanını hesaplamaya çalışalım.

1. Silindirin tabanının yarıçapı 2, yüksekliği 3'tür. Silindirin yan yüzeyinin alanını belirleyin.

Toplam yüzey alanı şu formülle hesaplanır: S tarafı. = 2 saat

S tarafı = 2 * 3.14 * 2 * 3

S tarafı = 6.28 * 6

S tarafı = 37.68

Silindirin yan yüzey alanı 37.68'dir.

2. Yükseklik 4 ve yarıçap 6 ise bir silindirin yüzey alanı nasıl bulunur?

Toplam yüzey alanı şu formülle hesaplanır: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

• Görev 1. Piramidin toplam yüzey alanını bulun
• Görev 2. Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzeyinin alanını bulun

Görev 1. Düzenli bir piramidin toplam yüzey alanını bulun

Çözüm.

Düzenli bir üçgen piramidin tabanında bir eşkenar üçgen bulunur.
Bu nedenle, sorunu çözmek için normal bir üçgenin özelliklerini kullanıyoruz:

Üçgenin yüksekliğini, alanını bulabileceğimiz yerden biliyoruz.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Taban alanının eşit olacağı yerden:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Yan yüzün alanını bulmak için KM yüksekliğini hesaplıyoruz. Problem ifadesine göre OKM açısı 45 derecedir.
Böylece:
Tamam / MK = çünkü 45
Trigonometrik fonksiyonların değer tablosunu kullanalım ve bilinen değerleri yerine koyalım.

Tamam / MK = √2/2

Tamam'ın yazılı dairenin yarıçapına eşit olduğunu dikkate alıyoruz. O zamanlar
Tamam = √3/6 bir
Tamam = √3/6 * 6/√3 = 1

O zamanlar
Tamam / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

Yan yüzün alanı daha sonra üçgenin yüksekliğinin ve tabanının çarpımının yarısına eşittir.
Kenar = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Böylece piramidin toplam yüzey alanı şuna eşit olacaktır:
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Cevap: 3√3 + 18/√6

Görev 2. Düzenli bir piramidin yan yüzey alanını bulun

Çözüm.

Düzgün bir üçgen piramidin tabanı bir eşkenar üçgen olduğundan, AO, tabanın etrafındaki çevrelenmiş dairenin yarıçapıdır.
(Buradan takip eder)

Bir eşkenar üçgenin çevresinde çevrelenmiş bir dairenin yarıçapı, özelliklerinden bulunur.

Düzenli bir üçgen piramidin kenarlarının uzunluğu şuna eşit olacaktır:
AM 2 = MO 2 + AO 2
piramidin yüksekliği (10 cm) koşuluyla bilinir, AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Piramidin her bir tarafı bir ikizkenar üçgendir. Meydan ikizkenar üçgen Aşağıdaki ilk formülden bulun

S = 1/2 * 16 kare((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 kare((556/3) - 64)
S = 8 kare(364/3)
S = 16 kare(91/3)

Düzgün bir piramidin üç yüzü de eşit olduğundan, yan yüzey alanı şuna eşit olacaktır.
3S = 48√(91/3)

Cevap: 48 √(91/3)

Görev 3. Normal bir piramidin toplam yüzey alanını bulun

Düzgün üçgen piramidin bir kenarı 3 cm ve yan yüzü ile piramidin tabanı arasındaki açı 45 derecedir. Piramidin toplam yüzey alanını bulun.

Çözüm.
Piramit düzgün olduğu için tabanında bir eşkenar üçgen vardır. Yani tabanın alanı


Yani = 9 * √3/4

Yan yüzün alanını bulmak için KM yüksekliğini hesaplıyoruz. Problem ifadesine göre OKM açısı 45 derecedir.
Böylece:
Tamam / MK = çünkü 45
hadi kullanalım

- Bu, tabanında bir çokgen bulunan çokyüzlü bir şekildir ve kalan yüzler, ortak bir tepe noktasına sahip üçgenlerle temsil edilir.

Tabanı kare ise piramit denir dörtgen, eğer üçgen ise üçgensel. Piramidin yüksekliği, tepesinden tabana dik olarak çizilir. Ayrıca alanı hesaplamak için kullanılır özlü söz tepe noktasından alçaltılmış yan yüzün yüksekliğidir.
Bir piramidin yan yüzeyinin alanı için formül, yan yüzlerinin birbirine eşit olan alanlarının toplamıdır. Ancak, bu hesaplama yöntemi çok nadiren kullanılır. Temel olarak, piramidin alanı, tabanın çevresi ve özlü söz ile hesaplanır:

Bir piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Tabanı ABCDE, tepesi F olan bir piramit verilsin. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
Çevreyi bulalım. Tabanın tüm yüzleri eşit olduğundan, beşgenin çevresi şuna eşit olacaktır:
şimdi bulabilirsin yan alan piramitler:

Düzenli üçgen piramidin alanı

Düzgün bir üçgen piramit, içinde düzgün bir üçgen bulunan bir tabandan ve alanı eşit olan üç yan yüzden oluşur.
Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanı formülü hesaplanabilir. Farklı yollar. Çevre ve apothem üzerinden hesaplamak için normal formülü uygulayabilir veya bir yüzün alanını bulabilir ve üç ile çarpabilirsiniz. Piramidin yüzü üçgen olduğu için üçgenin alan formülünü uyguluyoruz. Bir özdeyiş ve tabanın uzunluğunu gerektirecektir. Düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanını hesaplamanın bir örneğini düşünün.

Özü a = 4 cm ve taban yüzü b = 2 cm olan bir piramit verildiğinde, piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.
İlk önce, yan yüzlerden birinin alanını bulun. AT bu durum O olacak:
Formüldeki değerleri değiştirin:
Normal bir piramitte tüm kenarlar aynı olduğundan, piramidin yan yüzeyinin alanı, üç yüzün alanlarının toplamına eşit olacaktır. Sırasıyla:

Kesik piramidin alanı

kesilmiş Bir piramit, bir piramidin oluşturduğu ve tabanına paralel olan bir çokyüzlüdür.
Kesik bir piramidin yan yüzey alanı formülü çok basittir. Alan, tabanların ve özdeyişin çevrelerinin toplamının yarısının çarpımına eşittir: