Ang pangalawang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok

Kung ang isang gilid at dalawang magkatabing anggulo ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng isang gilid at dalawang magkatabing anggulo ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga naturang tatsulok ay magkapareho.

MN = PR N = R M = P

Tulad ng sa patunay ng unang palatandaan, kailangan mong tiyakin kung ito ay sapat para sa mga tatsulok na maging pantay, maaari ba silang ganap na pinagsama?

1. Dahil MN = PR, ang mga segment na ito ay pinagsama-sama kung ang kanilang mga end point ay pinagsama.

2. Dahil ang N = R at M = P, ang mga ray \(MK\) at \(NK\) ay magkakapatong sa mga ray \(PT\) at \(RT\), ayon sa pagkakabanggit.

3. Kung ang mga sinag ay nag-tutugma, kung gayon ang kanilang mga intersection point na \(K\) at \(T\) ay nag-tutugma.

4. Ang lahat ng mga vertices ng triangles ay pinagsama, iyon ay, ang Δ MNK at Δ PRT ay ganap na nakahanay, na nangangahulugan na sila ay pantay.

Ang ikatlong tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok

Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga naturang tatsulok ay magkapareho.

MN = PR KN = TR MK = PT

Subukan nating muli na pagsamahin ang mga tatsulok Δ MNK at Δ PRT sa pamamagitan ng pag-overlay at tiyaking ginagarantiyahan ng katumbas na magkaparehong panig na ang mga katumbas na anggulo ng mga tatsulok na ito ay pantay at sila ay ganap na magkakasabay.

Pagsamahin natin, halimbawa, ang magkaparehong mga segment \(MK\) at \(PT\). Ipagpalagay natin na ang mga puntong \(N\) at \(R\) ay hindi nagtutugma.

Hayaang ang \(O\) ang midpoint ng segment na \(NR\). Ayon sa impormasyong ito, MN = PR, KN = TR. Ang mga tatsulok \(MNR\) at \(KNR\) ay isosceles na may karaniwang base \(NR\).

Samakatuwid, ang kanilang mga median \(MO\) at \(KO\) ay mga taas, na nangangahulugang sila ay patayo sa \(NR\). Ang mga linyang \(MO\) at \(KO\) ay hindi nagtutugma, dahil ang mga puntong \(M\), \(K\), \(O\) ay hindi nasa parehong linya. Ngunit sa pamamagitan ng puntong \(O\) ng linyang \(NR\) isang linya lamang na patayo dito ang maaaring iguhit. Dumating kami sa isang kontradiksyon.

Napatunayan na ang vertices \(N\) at \(R\) ay dapat magkasabay.

Ang ikatlong tanda ay nagpapahintulot sa amin na tawagan ang tatsulok na isang napakalakas, matatag na pigura, kung minsan ay sinasabi nila iyon tatsulok - matibay na pigura . Kung ang mga haba ng mga gilid ay hindi nagbabago, ang mga anggulo ay hindi rin nagbabago. Halimbawa, ang quadrilateral ay walang ganitong katangian. Samakatuwid, ang iba't ibang mga suporta at kuta ay ginawang tatsulok.

Ngunit ang mga tao ay sinusuri at binibigyang-diin ang kakaibang katatagan, katatagan at pagiging perpekto ng numerong \(3\) sa loob ng mahabang panahon.

Pinag-uusapan ito ng mga fairy tale.

Doon ay nakilala natin ang "Three Bears", "Three Winds", "Three Little Pigs", "Three Comrades", "Three Brothers", "Three Lucky Men", "Three Craftsmen", "Three Princes", "Three Friends", "Tatlong bayani", atbp.

May "tatlong pagtatangka", "tatlong payo", "tatlong tagubilin", "tatlong pagpupulong" ay ibinigay, "tatlong hiling" ay natupad, dapat magtiis ng "tatlong araw", "tatlong gabi", "tatlong taon", pagdaan. "tatlong estado" ", "tatlong kaharian sa ilalim ng lupa", makatiis sa "tatlong pagsubok", maglayag sa "tatlong dagat".

Ang dalawang tatsulok ay sinasabing magkatugma kung maaari silang pagsama-samahin sa pamamagitan ng pagpapatong. Ang Figure 1 ay nagpapakita ng pantay na tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1. Ang bawat isa sa mga tatsulok na ito ay maaaring i-superimpose sa isa upang sila ay ganap na magkatugma, iyon ay, ang kanilang mga vertice at panig ay magkatugma sa mga pares. Malinaw na ang mga anggulo ng mga tatsulok na ito ay magkatugma din sa mga pares.

Kaya, kung ang dalawang tatsulok ay magkapareho, kung gayon ang mga elemento (i.e. mga gilid at anggulo) ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng mga elemento ng isa pang tatsulok. Tandaan na sa pantay na tatsulok laban sa magkatulad na pantay na panig(ibig sabihin, nagsasapawan kapag nakapatong) pantay na anggulo ang kasinungalingan at likod: Ang mga pantay na panig ay namamalagi sa tapat, ayon sa pagkakabanggit, pantay na mga anggulo.

Kaya, halimbawa, sa pantay na tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1, na ipinapakita sa Figure 1, sa tapat ng pantay na panig AB at A 1 B 1, ayon sa pagkakabanggit, ay nasa pantay na mga anggulo C at C 1. Ipapahiwatig natin ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1 bilang mga sumusunod: Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Lumalabas na ang pagkakapantay-pantay ng dalawang tatsulok ay maaaring maitatag sa pamamagitan ng paghahambing ng ilan sa kanilang mga elemento.

Teorama 1. Ang unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok. Kung ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga tatsulok ay magkapareho (Larawan 2).

Patunay. Isaalang-alang ang mga tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1, kung saan AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (tingnan ang Fig. 2). Patunayan natin na Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Dahil ∠ A = ∠ A 1, ang tatsulok na ABC ay maaaring i-superimpose sa tatsulok A 1 B 1 C 1 upang ang vertex A ay nakahanay sa vertex A 1, at ang mga gilid ng AB at AC ay magkakasunod na nakapatong sa mga sinag A 1 B 1 at A 1 C 1 . Dahil AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, pagkatapos ay ang gilid AB ay align sa gilid A 1 B 1 at gilid AC ay align sa gilid A 1 C 1; sa partikular, ang mga puntos B at B 1, C at C 1 ay magkakasabay. Dahil dito, ang mga panig BC at B 1 C 1 ay maghahanay. Kaya, ang mga tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1 ay ganap na magkatugma, na nangangahulugan na sila ay pantay.

Ang Theorem 2 ay napatunayan sa katulad na paraan gamit ang superposition method.

Teorama 2. Ang pangalawang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok. Kung ang isang gilid at dalawang magkatabing anggulo ng isang tatsulok ay magkapareho sa gilid at dalawang magkatabing anggulo ng isa pang tatsulok, kung gayon ang gayong mga tatsulok ay magkapareho (Larawan 34).

Magkomento. Batay sa Theorem 2, Theorem 3 ay itinatag.

Theorem 3. Ang kabuuan ng alinmang dalawang panloob na anggulo ng isang tatsulok ay mas mababa sa 180°.

Ang Theorem 4 ay sumusunod mula sa huling theorem.

Teorama 4. Panlabas na sulok tatsulok ay mas malaki kaysa sa alinman panloob na sulok, hindi katabi nito.

Teorama 5. Ang ikatlong tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok. Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga naturang tatsulok ay magkapareho ().

Halimbawa 1. Sa mga tatsulok na ABC at DEF (Fig. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm Paghambingin ang mga tatsulok na ABC at DEF. Ano ang anggulo sa tatsulok na DEF katumbas ng anggulo SA?

Solusyon. Ang mga tatsulok na ito ay pantay ayon sa unang tanda. Ang anggulo F ng tatsulok na DEF ay katumbas ng anggulo B ng tatsulok na ABC, dahil ang mga anggulong ito ay nasa tapat ng magkabilang panig ng DE at AC.

Halimbawa 2. Ang mga segment na AB at CD (Larawan 5) ay nagsalubong sa punto O, na siyang gitna ng bawat isa sa kanila. Ano ang haba ng segment BD kung ang segment AC ay 6 m?

Solusyon. Ang mga tatsulok na AOC at BOD ay pantay (ayon sa unang pamantayan): ∠ AOC = ∠ BOD (vertical), AO = OB, CO = OD (ayon sa kondisyon).
Mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ito ay sumusunod na ang kanilang mga panig ay pantay, i.e. AC = BD. Ngunit dahil ayon sa kondisyon AC = 6 m, pagkatapos ay BD = 6 m.

Mayroong tatlong mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay para sa dalawang tatsulok. Sa artikulong ito isasaalang-alang natin ang mga ito sa anyo ng mga theorems, at ibigay din ang kanilang mga patunay. Upang gawin ito, tandaan na ang mga numero ay magiging pantay sa kaso kapag sila ay ganap na magkakapatong sa isa't isa.

Unang tanda

Teorama 1

Magiging pantay ang dalawang tatsulok kung ang dalawang panig at ang anggulo sa pagitan ng mga ito sa isa sa mga tatsulok ay katumbas ng dalawang panig at ang anggulo na nasa pagitan ng mga ito sa isa pa.

Patunay.

Isaalang-alang ang dalawang tatsulok na $ABC$ at $A"B"C"$, kung saan ang $AB=A"B"$, $AC=A"C"$ at $∠A=∠A"$ (Fig. 1).

Pagsamahin natin ang taas na $A$ at $A"$ ng mga tatsulok na ito. Dahil ang mga anggulo sa mga vertex na ito ay pantay sa isa't isa, ang mga gilid na $AB$ at $AC$ ay magkakapatong, ayon sa pagkakabanggit, ang mga sinag na $A"B" $ at $A"C" $ Dahil magkapares ang mga panig na ito, ang mga panig na $AB$ at $AC$, ayon sa pagkakabanggit, ay nag-tutugma sa mga gilid na $A"B"$ at $A"C"$, at samakatuwid ay ang mga vertex Magiging pareho ang $B$ at $B"$. , $C$ at $C"$.

Samakatuwid, ang panig BC ay ganap na magkakasabay sa panig na $B"C"$. Nangangahulugan ito na ang mga tatsulok ay ganap na magkakapatong sa isa't isa, na nangangahulugan na sila ay pantay.

Ang teorama ay napatunayan.

Pangalawang tanda

Teorama 2

Magiging pantay ang dalawang tatsulok kung ang dalawang anggulo at ang kanilang karaniwang bahagi ng isa sa mga tatsulok ay katumbas ng dalawang anggulo at ang kanilang karaniwang panig sa isa pa.

Patunay.

Isaalang-alang natin ang dalawang tatsulok na $ABC$ at $A"B"C"$, kung saan ang $AC=A"C"$ at $∠A=∠A"$, $∠C=∠C"$ (Fig. 2) .

Pagsamahin natin ang mga gilid na $AC$ at $A"C"$ ng mga tatsulok na ito, upang ang mga taas na $B$ at $B"$ ay nasa magkabilang panig nito. Dahil ang mga anggulo sa mga panig na ito ay magkapares na katumbas ng sa isa't isa, pagkatapos ang mga gilid na $AB$ at $BC$ ay magkakapatong, ayon sa pagkakabanggit, ang mga sinag na $A"B"$ at $B"C"$ Dahil dito, pareho ang puntong $B$ at ang puntong $B"$ maging mga intersection point ng pinagsamang mga sinag (iyon ay, halimbawa, ang mga sinag na $AB$ at $BC$). Dahil ang mga ray ay maaaring magkaroon lamang ng isang intersection point, ang puntong $B$ ay magkakasabay sa puntong $B"$. Nangangahulugan ito na ang mga tatsulok ay ganap na magkakapatong sa isa't isa, na nangangahulugang sila ay pantay.

Ang teorama ay napatunayan.

Pangatlong tanda

Teorama 3

Magiging pantay ang dalawang tatsulok kung ang tatlong panig ng isa sa mga tatsulok ay katumbas ng tatlong panig ng isa.

Patunay.

Isaalang-alang ang dalawang tatsulok na $ABC$ at $A"B"C"$, kung saan ang $AC=A"C"$, $AB=A"B"$ at $BC=B"C"$ (Fig. 3).

Patunay.

Pagsamahin natin ang mga gilid na $AC$ at $A"C"$ ng mga tatsulok na ito, upang ang mga taas na $B$ at $B"$ ay nasa magkabilang panig nito. Susunod ay isasaalang-alang natin ang tatlong magkakaibang kaso ng resultang kaayusan ng mga vertex na ito ay isasaalang-alang natin sa mga larawan.

Unang kaso:

Dahil $AB=A"B"$, ang pagkakapantay-pantay na $∠ABB"=∠AB"B$ ay magiging totoo. Gayundin, $∠BB"C=∠B"BC$. Pagkatapos, bilang kabuuan, makakakuha tayo ng $∠B=∠B"$

Pangalawang kaso:

Dahil $AB=A"B"$, ang pagkakapantay-pantay na $∠ABB"=∠AB"B$ ay magiging totoo. Gayundin, $∠BB"C=∠B"BC$. Pagkatapos, bilang pagkakaiba, nakukuha namin ang $∠B=∠B"$

Samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1, ang mga tatsulok na ito ay pantay.

Pangatlong kaso:

Dahil $BC=B"C"$, ang pagkakapantay-pantay na $∠ABC=∠AB"C$ ay magiging totoo

Samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1, ang mga tatsulok na ito ay pantay.

Ang teorama ay napatunayan.

Mga halimbawang gawain

Halimbawa 1

Patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok sa figure sa ibaba

Ang ikatlong pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok sa tatlong panig ay nabuo sa anyo ng isang teorama.

Teorama : Kung ang tatlong panig ng isang tatsulok ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng tatlong panig ng isa pang tatsulok, kung gayon ang mga naturang tatsulok ay magkapareho.

Patunay. Isaalang-alang ang ΔABC at ΔA 1 B 1 C 1 kung saan AB = A 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 . Patunayan natin na ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Hayaang maging tatsulok ang ABC at A 1 B 1 C 1 na may AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Ilagay natin ang ∆ABC sa ∆A 1 B 1 C 1 upang ang vertex A ay tumutugma sa A 1, at ang mga vertex B at B 1, at ang mga vertex C at C 1 ay nasa magkabilang panig ng linya A 1 B 1. Tatlong kaso ang posible: 1) ang sinag C 1 C ay dumadaan sa loob ng anggulo A 1 C 1 B 1 (Fig. a)); 2) ray C 1 C coincides sa isa sa mga gilid ng anggulo na ito (Fig. b)); ray C 1 C ay dumadaan sa labas ng anggulo A 1 C 1 B 1 (Fig. c)). Isaalang-alang natin ang unang kaso. Dahil, ayon sa mga kondisyon ng teorama, ang mga panig AC at A 1 C 1, BC at B 1 C 1 ay pantay, kung gayon ang mga tatsulok na A 1 C 1 C at B 1 C 1 C ay isosceles. Sa pamamagitan ng theorem sa pag-aari ng mga anggulo isosceles triangleÐl = Ð2, Ð3 = Ð4, samakatuwid ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 C 1 B 1 . Kaya, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, РС = РС 1. Samakatuwid, ang mga tatsulok na ABC at A 1 B 1 C 1 ay pantay ayon sa unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

Isulat sa pisara:

Ibinigay:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 , AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1

Patunayan:ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Patunay. Ipataw natin ang ∆ABC sa ∆A 1 B 1 C 1 upang ang A →A 1, at B → B 1, at C at C 1 ay nasa magkabilang panig ng tuwid na linya A 1 B 1. Isaalang-alang natin ang isang kaso. ang beam C 1 C ay dumadaan sa loob ng RA 1 C 1 B 1 (Fig. a)).

AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 ═> ΔA 1 C 1 C at ΔB 1 C 1 C - katumbas. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (ayon sa likas na katangian ng mga anggulo ay katumbas ng Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 C 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = РС 1 ═>

ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1 ayon sa unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok.

2.Rhombus. Kahulugan, katangian, palatandaan.

Ang rhombus ay isang uri ng quadrilateral.

Kahulugan: Ang rhombus ay isang paralelogram kung saan ang lahat ng panig ay pantay.

Ang figure ay nagpapakita ng paralelogram ABCD na may AB=BC=CD=DA. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang paralelogram na ito ay isang rhombus. Ang AC at ВD ay ang mga dayagonal ng rhombus. Dahil ang isang rhombus ay isang paralelogram, lahat ng mga katangian at katangian ng isang paralelogram ay may bisa para dito.

Ari-arian:

1) Sa isang rhombus, magkatapat ang mga anggulo (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Ang mga diagonal ng isang rhombus ay nahahati sa kalahati sa pamamagitan ng punto ng intersection. (BO=ОD, AO=ОC)

3) Ang mga diagonal ng isang rhombus ay magkaparehong patayo at ang mga anggulo nito ay nahahati. (AS DV, ‌‌АБО=РУВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РВАО) ( espesyal na ari-arian)

4) Ang kabuuan ng mga anggulo na katabi ng isang panig ay katumbas ng 180 0 (ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0)

palatandaan rombus:

1) Kung ang mga diagonal ng isang parallelogram ay magkaparehong patayo, kung gayon ang parallelogram na ito ay isang rhombus

2) Kung ang dayagonal ng isang parallelogram ay hinahati ang mga anggulo nito, kung gayon ang parallelogram ay isang rhombus.

3) Kung ang lahat ng panig ng isang paralelogram ay pantay, kung gayon ito ay isang rhombus.

Pagsusulat sa pisara.

Ari-arian:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BO=OD, AO=OC

3) AC DV, ‌‌ААBO=РУВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РВАО

4) ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0

Ang magkasalungat na pahayag ay palatandaan rombus:

1 ) Kung ang ABCD ay isang parallel m, at AC DB, kung gayon ang ABCD ay isang rhombus.

2) Kung ang ABCD ay isang parallel, at ang AC at DB ay bisectors, kung gayon ang ABCD ay isang rhombus.

3) Kung ang ABCD ay isang parallel, at ang AC=DB at BC=AD, kung gayon ang ABCD ay isang rhombus.

Gawain.