Ang lugar ng lateral surface ng isang arbitrary pyramid ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng lateral faces nito. Makatuwiran na magbigay ng isang espesyal na formula para sa pagpapahayag ng lugar na ito sa kaso ng isang regular na pyramid. Kaya, bigyan tayo ng isang regular na pyramid, sa base nito ay namamalagi ng isang regular na n-gon na may gilid na katumbas ng a. Hayaang h ang taas ng gilid na mukha, na tinatawag ding apothem mga pyramid. Ang lugar ng isang gilid na mukha ay 1/2ah, at ang kabuuan lateral surface Ang pyramid ay may sukat na katumbas ng n/2ha Dahil ang na ay ang perimeter ng base ng pyramid, maaari nating isulat ang nahanap na formula sa anyo.

Lateral surface area ng isang regular na pyramid ay katumbas ng produkto ng apothem nito at kalahati ng perimeter ng base.

Tungkol sa kabuuang lugar sa ibabaw, pagkatapos ay idagdag lamang namin ang lugar ng base sa gilid ng isa.

Inscribed at circumscribed sphere at sphere. Dapat pansinin na ang sentro ng globo na nakasulat sa pyramid ay nasa intersection ng mga bisector plane ng panloob na dihedral na anggulo ng pyramid. Ang gitna ng globo na inilarawan malapit sa pyramid ay nasa intersection ng mga eroplano na dumadaan sa mga midpoint ng mga gilid ng pyramid at patayo sa kanila.

Pinutol na pyramid. Kung ang isang pyramid ay pinutol ng isang eroplanong kahanay ng base nito, kung gayon ang bahaging nakapaloob sa pagitan ng cutting plane at base ay tinatawag pinutol na pyramid. Ang figure ay nagpapakita ng isang pyramid na itinatapon ang bahagi nito na nakahiga sa itaas ng cutting plane, nakakakuha kami ng isang pinutol na pyramid. Malinaw na ang maliit na itinapon na pyramid ay homothetic sa malaking pyramid na may sentro ng homothety sa tuktok. Ang koepisyent ng pagkakatulad ay katumbas ng ratio ng mga taas: k=h 2 /h 1, o mga gilid ng gilid, o iba pang katumbas na mga linear na sukat parehong pyramid. Alam namin na ang mga lugar ng magkatulad na mga figure ay nauugnay tulad ng mga parisukat ng mga linear na sukat; kaya ang mga lugar ng mga base ng parehong pyramid (i.e. ang lugar ng mga base ng pinutol na pyramid) ay nauugnay bilang

Narito ang S 1 ay ang lugar ng mas mababang base, at ang S 2 ay ang lugar ng itaas na base ng pinutol na pyramid. Ang mga lateral surface ng mga pyramids ay nasa parehong relasyon. Mayroong katulad na panuntunan para sa mga volume.

Dami ng magkatulad na katawan ay nauugnay tulad ng mga cube ng kanilang mga linear na sukat; halimbawa, ang mga volume ng mga pyramids ay nauugnay bilang produkto ng kanilang mga taas at ang lugar ng mga base, kung saan ang aming panuntunan ay agad na nakuha. Ito ay ganap na pangkalahatang kalikasan at direktang sumusunod sa katotohanan na ang dami ay palaging may sukat ng ikatlong kapangyarihan ng haba. Gamit ang panuntunang ito, nakakakuha kami ng isang formula na nagpapahayag ng dami ng isang pinutol na pyramid sa pamamagitan ng taas at lugar ng mga base.

Hayaang magbigay ng pinutol na pyramid na may taas h at mga base na lugar S 1 at S 2. Kung iniisip natin na ito ay pinalawak sa isang buong pyramid, kung gayon ang koepisyent ng pagkakatulad sa pagitan ng buong pyramid at ng maliit na piramide ay madaling mahanap bilang ugat ng ratio na S 2 /S 1 . Ang taas ng isang pinutol na pyramid ay ipinahayag bilang h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Ngayon mayroon kami para sa dami ng isang pinutol na pyramid (V 1 at V 2 ay tumutukoy sa mga volume ng buo at maliliit na pyramid)

formula para sa dami ng pinutol na pyramid

Kunin natin ang formula para sa lugar S ng lateral surface ng isang regular na pinutol na pyramid sa pamamagitan ng perimeters P 1 at P 2 ng mga base at ang haba ng apothem a. Nangangatuwiran kami nang eksakto sa parehong paraan tulad ng kapag kumukuha ng formula para sa volume. Pagpupuno sa pyramid tuktok na bahagi, mayroon tayong P 2 = kP 1, S 2 =k 2 S 1, kung saan ang k ay ang koepisyent ng pagkakatulad, ang P 1 at P 2 ay ang mga perimeter ng mga base, at ang S 1 at S 2 ay ang mga lugar ng mga lateral surface ng ang buong resultang pyramid at ang itaas na bahagi nito, ayon sa pagkakabanggit. Para sa pag-ilid na ibabaw nakita namin (a 1 at a 2 ay apothems ng mga pyramids, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

formula para sa lateral surface area ng isang regular na pinutol na pyramid

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng kahilingan sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa pagsubok, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Ang silindro ay isang geometric na katawan na napapaligiran ng dalawang magkatulad na eroplano at cylindrical na ibabaw. Sa artikulo ay pag-uusapan natin kung paano hanapin ang lugar ng isang silindro at, gamit ang formula, malulutas namin ang ilang mga problema bilang isang halimbawa.

Ang isang silindro ay may tatlong ibabaw: isang tuktok, isang base, at isang gilid na ibabaw.

Ang tuktok at base ng isang silindro ay mga bilog at madaling makilala.

Ito ay kilala na ang lugar ng isang bilog ay katumbas ng πr 2. Samakatuwid, ang formula para sa lugar ng dalawang bilog (ang tuktok at base ng silindro) ay magiging πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Ang pangatlo, gilid na ibabaw ng silindro, ay ang hubog na dingding ng silindro. Upang mas mahusay na isipin ang ibabaw na ito, subukan nating baguhin ito upang makakuha ng isang makikilalang hugis. Isipin na ang silindro ay karaniwan lata, na walang takip sa itaas o ibaba. Gumawa tayo ng patayong hiwa sa dingding sa gilid mula sa itaas hanggang sa ibaba ng lata (Hakbang 1 sa figure) at subukang buksan (ituwid) ang resultang pigura hangga't maaari (Hakbang 2).

Matapos ganap na mabuksan ang resultang garapon, makikita natin ang isang pamilyar na pigura (Hakbang 3), ito ay isang parihaba. Ang lugar ng isang rektanggulo ay madaling kalkulahin. Ngunit bago iyon, bumalik tayo sandali sa orihinal na silindro. Ang vertex ng orihinal na silindro ay isang bilog, at alam natin na ang circumference ay kinakalkula ng formula: L = 2πr. Ito ay minarkahan ng pula sa figure.

Kapag ang gilid ng dingding ng silindro ay ganap na nabuksan, makikita natin na ang circumference ay nagiging haba ng nagresultang parihaba. Ang mga gilid ng rectangle na ito ay ang circumference (L = 2πr) at ang taas ng cylinder (h). Ang lugar ng isang rektanggulo ay katumbas ng produkto ng mga gilid nito - S = haba x lapad = L x h = 2πr x h = 2πrh. Bilang isang resulta, nakatanggap kami ng isang formula para sa pagkalkula ng lugar ng lateral surface ng cylinder.

Formula para sa lateral surface area ng isang silindro
S gilid = 2πrh

Kabuuang lugar ng ibabaw ng isang silindro

Sa wakas, kung idagdag namin ang lugar ng lahat ng tatlong ibabaw, nakukuha namin ang formula para sa kabuuang lugar ng ibabaw ng isang silindro. Ang ibabaw na lugar ng isang silindro ay katumbas ng lugar ng tuktok ng silindro + ang lugar ng base ng silindro + ang lugar ng gilid na ibabaw ng silindro o S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Minsan ang expression na ito ay nakasulat na magkapareho sa formula 2πr (r + h).

Formula para sa kabuuang lugar ng ibabaw ng isang silindro
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r - radius ng silindro, h - taas ng silindro

Mga halimbawa ng pagkalkula ng ibabaw na lugar ng isang silindro

Upang maunawaan ang mga formula sa itaas, subukan nating kalkulahin ang ibabaw na lugar ng isang silindro gamit ang mga halimbawa.

1. Ang radius ng base ng cylinder ay 2, ang taas ay 3. Tukuyin ang lugar ng lateral surface ng cylinder.

Ang kabuuang lugar ng ibabaw ay kinakalkula gamit ang formula: S side. = 2πrh

S gilid = 2 * 3.14 * 2 * 3

S gilid = 6.28 * 6

S gilid = 37.68

Ang lateral surface area ng cylinder ay 37.68.

2. Paano mahahanap ang surface area ng isang silindro kung ang taas ay 4 at ang radius ay 6?

Ang kabuuang lugar ng ibabaw ay kinakalkula gamit ang formula: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

S = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

• Problema 1. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid
• Problema 2. Hanapin ang lateral surface area ng isang regular na triangular pyramid

Problema 1. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng isang regular na pyramid

Solusyon.

Sa base ng isang regular na triangular na pyramid ay namamalagi ang isang equilateral triangle.
Samakatuwid, upang malutas ang problema, gagamitin namin ang mga katangian ng isang regular na tatsulok:

Alam natin ang taas ng tatsulok, mula sa kung saan natin mahahanap ang lugar nito.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Kung saan ang lugar ng base ay magiging katumbas ng:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Upang mahanap ang lugar ng gilid ng mukha, kinakalkula namin ang taas KM. Ayon sa problema, ang anggulo ng OKM ay 45 degrees.
kaya:
OK / MK = cos 45
Gamitin natin ang talahanayan ng mga halaga ng mga function ng trigonometriko at palitan ang mga kilalang halaga.

OK / MK = √2/2

Isaalang-alang natin na ang OK ay katumbas ng radius ng inscribed na bilog. Pagkatapos
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Pagkatapos
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Ang lugar ng gilid na mukha ay katumbas ng kalahati ng produkto ng taas at base ng tatsulok.
Sside = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Kaya, ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid ay magiging katumbas ng
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Sagot: 3√3 + 18/√6

Problema 2. Hanapin ang lateral surface area ng isang regular na pyramid

Solusyon.

Dahil ang base ng isang regular na triangular na pyramid ay isang equilateral triangle, ang AO ay ang radius ng bilog na nakapaligid sa base.
(Ito ay sumusunod mula sa)

Ang radius ng isang bilog na nakapaligid sa isang equilateral triangle ay makikita mula sa mga katangian nito

Kung saan ang haba ng mga gilid ng isang regular na triangular na pyramid ay magiging katumbas ng:
AM 2 = MO 2 + AO 2
ang taas ng pyramid ay kilala sa kondisyon (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Ang bawat panig ng pyramid ay isang isosceles triangle. Square isosceles triangle nalaman namin mula sa unang formula na ipinakita sa ibaba

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt(364/3)
S = 16 sqrt(91/3)

Dahil ang lahat ng tatlong mukha ng isang regular na pyramid ay pantay, ang lateral surface area ay magiging katumbas ng
3S = 48 √(91/3)

Sagot: 48 √(91/3)

Problema 3. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng isang regular na pyramid

Ang gilid ng isang regular na triangular na pyramid ay 3 cm at ang anggulo sa pagitan ng gilid na mukha at ang base ng pyramid ay 45 degrees. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng pyramid.

Solusyon.
Dahil regular ang pyramid, may equilateral triangle sa base nito. Samakatuwid ang lugar ng base ay


Kaya = 9 * √3/4

Upang mahanap ang lugar ng gilid ng mukha, kinakalkula namin ang taas KM. Ayon sa problema, ang anggulo ng OKM ay 45 degrees.
kaya:
OK / MK = cos 45
Samantalahin natin

ay isang multifaceted figure, ang base nito ay isang polygon, at ang natitirang mga mukha ay kinakatawan ng mga triangles na may isang karaniwang vertex.

Kung ang base ay isang parisukat, kung gayon ang pyramid ay tinatawag quadrangular, kung isang tatsulok - kung gayon tatsulok. Ang taas ng pyramid ay iginuhit mula sa tuktok nito patayo sa base. Ginagamit din sa pagkalkula ng lugar apothem– ang taas ng gilid ng mukha, na ibinaba mula sa tuktok nito.
Ang formula para sa lugar ng lateral surface ng isang pyramid ay ang kabuuan ng mga lugar ng mga lateral na mukha nito, na katumbas ng bawat isa. Gayunpaman, ang pamamaraang ito ng pagkalkula ay bihirang ginagamit. Karaniwan, ang lugar ng pyramid ay kinakalkula sa pamamagitan ng perimeter ng base at apothem:

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lugar ng lateral surface ng isang pyramid.

Bigyan tayo ng pyramid na may base ABCDE at top F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apothem a = 5 cm.
Hanapin natin ang perimeter. Dahil ang lahat ng mga gilid ng base ay pantay, ang perimeter ng pentagon ay magiging katumbas ng:
Ngayon ay mahahanap mo ang lateral area ng pyramid:

Lugar ng isang regular na triangular na pyramid

Ang isang regular na triangular na pyramid ay binubuo ng isang base kung saan nakahiga ang isang regular na tatsulok at tatlong gilid na mukha na pantay sa lugar.
Ang formula para sa lateral surface area ng isang regular na triangular pyramid ay maaaring kalkulahin sa iba't ibang paraan. Maaari mong ilapat ang karaniwang formula ng pagkalkula gamit ang perimeter at apothem, o maaari mong mahanap ang lugar ng isang mukha at i-multiply ito ng tatlo. Dahil ang mukha ng isang pyramid ay isang tatsulok, inilalapat namin ang formula para sa lugar ng isang tatsulok. Mangangailangan ito ng apothem at ang haba ng base. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng pagkalkula ng lateral surface area ng isang regular na triangular na pyramid.

Ibinigay ang isang pyramid na may apothem a = 4 cm at base face b = 2 cm Hanapin ang lugar ng lateral surface ng pyramid.
Una, hanapin ang lugar ng isa sa mga gilid na mukha. SA sa kasong ito siya ay:
Palitan ang mga halaga sa formula:
Dahil sa isang regular na pyramid ang lahat ng mga gilid ay pareho, ang lugar ng gilid na ibabaw ng pyramid ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng tatlong mukha. Ayon sa pagkakabanggit:

Lugar ng isang pinutol na pyramid

Pinutol Ang pyramid ay isang polyhedron na nabuo ng isang pyramid at ang cross section nito ay kahanay sa base.
Ang formula para sa lateral surface area ng truncated pyramid ay napaka-simple. Ang lugar ay katumbas ng produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga perimeter ng mga base at ang apothem: