മുമ്പത്തെ ലേഖനങ്ങളിലൊന്നിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പരാമർശിച്ചു. ഇന്ന് നമ്മൾ അതിൻ്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയ നാവിഗേറ്റ് ചെയ്യാൻ ശ്രമിക്കും. ശാസ്ത്രീയമായി പറഞ്ഞാൽ, എങ്ങനെ ശരിയായി ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. ഈ പ്രക്രിയ എങ്ങനെ നടപ്പാക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും, അതേ സമയം സാധ്യമായ എല്ലാ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളിലും ഞങ്ങൾ സ്പർശിക്കും: പ്രകൃതി, യുക്തിരഹിതം, യുക്തിസഹമായ, പൂർണ്ണസംഖ്യ.

അതിനാൽ, ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിച്ച് അതിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണെന്ന് കണ്ടെത്താം:

1. ആശയത്തിൻ്റെ നിർവചനം.
2. നെഗറ്റീവ് കലയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു.
3. പൂർണ്ണസംഖ്യ സൂചകം.
4. ഒരു സംഖ്യ ഉയർത്തുന്നു യുക്തിരഹിതമായ ബിരുദം.

അർത്ഥം കൃത്യമായി പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന ഒരു നിർവചനം ഇതാ: "ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ മൂല്യത്തിൻ്റെ നിർവചനമാണ് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ."

അതനുസരിച്ച്, കലയിൽ a സംഖ്യ ഉയർത്തുന്നു. r ഉം ഘാതകമായ r എന്ന ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്ന പ്രക്രിയയും സമാന ആശയങ്ങളാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പവർ (0.6)6″ മൂല്യം കണക്കാക്കുക എന്നതാണ് ചുമതലയെങ്കിൽ, അത് "0.6 സംഖ്യയെ 6 ൻ്റെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക" എന്ന പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് ലളിതമാക്കാം.

ഇതിനുശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് നിർമ്മാണ നിയമങ്ങളിലേക്ക് നേരിട്ട് പോകാം.

നെഗറ്റീവ് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങളുടെ ശൃംഖലയിൽ നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കണം:

110=0.1=1* 10 മൈനസ് 1 ടീസ്പൂൺ.,

മൈനസ് 2 ഡിഗ്രിയിൽ 1100=0.01=1*10,

മൈനസ് 3 ൽ 11000=0.0001=1*10.,

110000=0.00001=1*10 മുതൽ മൈനസ് 4 ഡിഗ്രി വരെ.

ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് നന്ദി, 10 മുതൽ ഏതെങ്കിലും മൈനസ് പവർ വരെ തൽക്ഷണം കണക്കാക്കാനുള്ള കഴിവ് നിങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമായി കാണാൻ കഴിയും. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, ദശാംശ ഘടകം മാറ്റാൻ ഇത് മതിയാകും:

• 10 മുതൽ -1 ഡിഗ്രി വരെ - ഒന്നിന് മുമ്പ് 1 പൂജ്യം;
• -3 ൽ - ഒന്നിന് മുമ്പ് മൂന്ന് പൂജ്യങ്ങൾ;
• -9-ൽ 9 പൂജ്യങ്ങളും മറ്റും ഉണ്ട്.

10 മൈനസ് 5 ടീസ്പൂൺ എത്രയായിരിക്കുമെന്ന് ഈ ഡയഗ്രാമിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാനും എളുപ്പമാണ്. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

ഒരു സംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക ശക്തിയിലേക്ക് എങ്ങനെ ഉയർത്താം

നിർവചനം ഓർമ്മിക്കുമ്പോൾ, കലയിലെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യ a എന്ന് ഞങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നു. n എന്നത് n ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്, അവ ഓരോന്നും a യ്ക്ക് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് ചിത്രീകരിക്കാം: (a*a*…a)n, ഇവിടെ n എന്നത് ഗുണിച്ച സംഖ്യകളുടെ എണ്ണമാണ്. അതനുസരിച്ച്, a n-ലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: a*a*…a n കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ.

ഇതിൽ നിന്ന് അത് വ്യക്തമാകും സ്വാഭാവിക സെൻ്റ് വരെ ഉയർത്തുന്നു. ഗുണനം ചെയ്യാനുള്ള കഴിവിനെ ആശ്രയിക്കുന്നു(ഈ മെറ്റീരിയൽ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്ന വിഭാഗത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്). പ്രശ്നം നോക്കാം:

ഉയർത്തുക -2 മുതൽ 4 വരെ.

ഞങ്ങൾ ഒരു സ്വാഭാവിക സൂചകമാണ് കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത്. അതനുസരിച്ച്, തീരുമാനത്തിൻ്റെ ഗതി ഇപ്രകാരമായിരിക്കും: (-2) കലയിൽ. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). ഇപ്പോൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). നമുക്ക് 16 ലഭിക്കുന്നു.

പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം:

(-2) കലയിൽ. 4=16.

ഉദാഹരണം:

മൂല്യം കണക്കാക്കുക: മൂന്ന് പോയിൻ്റ് രണ്ട് ഏഴാം സ്ക്വയർ.

ഈ ഉദാഹരണംഇനിപ്പറയുന്ന ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്: മൂന്ന് പോയിൻ്റ് രണ്ട് ഏഴിൽ മൂന്ന് പോയിൻ്റ് രണ്ട് ഏഴിൽ ഗുണിച്ചാൽ. മിക്സഡ് സംഖ്യകൾ എങ്ങനെ ഗുണിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഓർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ നിർമ്മാണം പൂർത്തിയാക്കുന്നു:

• 3 പോയിൻ്റ് 2 ഏഴിലൊന്ന് സ്വയം ഗുണിച്ചാൽ;
• 23 ഏഴിലൊന്ന് ഗുണിച്ചാൽ 23 ഏഴിലൊന്ന് തുല്യമാണ്;
• 529 നാൽപ്പത്തി ഒമ്പതിന് തുല്യമാണ്;
• ഞങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നു, നമുക്ക് 10 മുപ്പത്തിയൊൻപത് നാൽപ്പത്തിയൊമ്പതാം ലഭിക്കും.

ഉത്തരം: 10 39/49

യുക്തിരഹിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിലേക്ക് ഉയർത്തുന്ന പ്രശ്‌നത്തെക്കുറിച്ച്, ഒരു നിശ്ചിത കൃത്യതയോടെ മൂല്യം നേടാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും അക്കത്തിലേക്ക് ഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൻ്റെ പ്രാഥമിക റൗണ്ടിംഗ് പൂർത്തിയാക്കിയതിന് ശേഷം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ തുടങ്ങുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് P (pi) എന്ന സംഖ്യ വർഗ്ഗീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

P നെ നൂറിലൊന്നിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്തുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കുന്നു:

പി സ്ക്വയർ = (3.14)2=9.8596. എന്നിരുന്നാലും, നമ്മൾ പിയെ പതിനായിരത്തിലൊന്നായി കുറച്ചാൽ, നമുക്ക് P = 3.14159 ലഭിക്കും. അപ്പോൾ സ്ക്വയറിംഗ് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഒരു നമ്പർ നൽകുന്നു: 9.8695877281.

പല പ്രശ്‌നങ്ങളിലും യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകൾ അധികാരങ്ങളിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല എന്നത് ഇവിടെ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ചട്ടം പോലെ, ഉത്തരം യഥാർത്ഥ ഡിഗ്രിയുടെ രൂപത്തിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, 6 ൻ്റെ റൂട്ട് 3 ൻ്റെ ശക്തി, അല്ലെങ്കിൽ, പദപ്രയോഗം അനുവദിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ പരിവർത്തനം നടപ്പിലാക്കുന്നു: 5 മുതൽ 7 ഡിഗ്രി റൂട്ട് = 5-ൻ്റെ 125 റൂട്ട്.

ഒരു സംഖ്യയെ എങ്ങനെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിലേക്ക് ഉയർത്താം

ഈ ബീജഗണിത കൃത്രിമത്വം ഉചിതമാണ് ഇനിപ്പറയുന്ന കേസുകൾ കണക്കിലെടുക്കുക:

• പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക്;
• ഒരു പൂജ്യം സൂചകത്തിന്;
• ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം.

മിക്കവാറും എല്ലാ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യകളും സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ പിണ്ഡവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതിനാൽ, ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ പവറിലേക്ക് സജ്ജീകരിക്കുന്നത് കലയിൽ ക്രമീകരണം ചെയ്യുന്ന അതേ പ്രക്രിയയാണ്. സ്വാഭാവികം. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ഞങ്ങൾ ഈ പ്രക്രിയ വിവരിച്ചു.

ഇനി നമുക്ക് സെൻ്റ് കണക്കാക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം. ശൂന്യം. a എന്ന സംഖ്യയുടെ പൂജ്യം പവർ പൂജ്യം അല്ലാത്ത ഏതൊരു a (യഥാർത്ഥം) യ്ക്കും നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം മുകളിൽ കണ്ടെത്തി, അതേസമയം a കലയിൽ. 0 1 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

അതനുസരിച്ച്, ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സംഖ്യ പൂജ്യത്തിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു. ഒന്ന് തരും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 10 ൽ 0=1, (-3.65)0=1, ഒപ്പം 0 സെൻ്റ്. 0 നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് പൂർത്തിയാക്കുന്നതിന്, നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യങ്ങൾക്കുള്ള ഓപ്ഷനുകൾ തീരുമാനിക്കുന്നത് അവശേഷിക്കുന്നു. ആ കല ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു. ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം -z-ൽ നിന്ന് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി നിർവചിക്കപ്പെടും. ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ സെൻ്റ്. ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച്, അതിൻ്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്താൻ പഠിച്ചു. ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നത് നിർമ്മാണത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണം:

ഒരു നെഗറ്റീവ് ഇൻ്റിജർ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ക്യൂബ് ചെയ്ത സംഖ്യ 2 ൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാര പ്രക്രിയ:

നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു: രണ്ട് മൈനസ് 3 ഡിഗ്രി. ഒന്നിൽ നിന്ന് രണ്ട് മുതൽ മൂന്നാമത്തെ ശക്തിക്ക് തുല്യമാണ്.

ഡിനോമിനേറ്റർ ലളിതമായി കണക്കാക്കുന്നു: രണ്ട് ക്യൂബ്ഡ്;

3 = 2*2*2=8.

ഉത്തരം: രണ്ട് മുതൽ മൈനസ് മൂന്നാം കല വരെ. = എട്ടിലൊന്ന്.

ഈ മെറ്റീരിയലിൽ ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി എന്താണെന്ന് നോക്കാം. അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ കൂടാതെ, പ്രകൃതി, പൂർണ്ണസംഖ്യ, യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ ഘാതകങ്ങളുള്ള ശക്തികൾ എന്തൊക്കെയാണെന്ന് ഞങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്തും. എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, എല്ലാ ആശയങ്ങളും ഉദാഹരണ പ്രശ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിക്കും.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ആദ്യം, ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ബിരുദത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന നിർവചനം രൂപപ്പെടുത്താം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഗുണനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന നിയമങ്ങൾ നാം ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയെ അടിസ്ഥാനമായും (എ അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു), ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയെ സൂചകമായും (n എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു) എടുക്കുമെന്ന് മുൻകൂട്ടി വ്യക്തമാക്കാം.

നിർവ്വചനം 1

സ്വാഭാവിക ഘാതം n ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി, ഘടകങ്ങളുടെ n-ാമത്തെ സംഖ്യയുടെ ഗുണനമാണ്, അവ ഓരോന്നും a എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ബിരുദം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: ഒരു എൻ, ഒരു ഫോർമുലയുടെ രൂപത്തിൽ അതിൻ്റെ ഘടനയെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ഉദാഹരണത്തിന്, എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് 1 ഉം ബേസ് a ഉം ആണെങ്കിൽ, a യുടെ ആദ്യ ശക്തി ഇങ്ങനെ എഴുതപ്പെടും a 1. a എന്നത് ഘടകത്തിൻ്റെ മൂല്യവും 1 എന്നത് ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണവും ആയതിനാൽ, നമുക്ക് അത് നിഗമനം ചെയ്യാം a 1 = a.

പൊതുവേ, ഒരു ബിരുദം ഒരു വലിയ സംഖ്യ തുല്യ ഘടകങ്ങൾ എഴുതുന്നതിനുള്ള സൗകര്യപ്രദമായ രൂപമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അതിനാൽ, ഫോമിൻ്റെ ഒരു റെക്കോർഡ് 8 8 8 8ആയി ചുരുക്കാം 8 4 . ഏതാണ്ട് സമാനമായി, റെക്കോർഡിംഗ് ഒഴിവാക്കാൻ ഒരു കൃതി നമ്മെ സഹായിക്കുന്നു വലിയ സംഖ്യനിബന്ധനകൾ (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4); സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിനായി നീക്കിവച്ചിരിക്കുന്ന ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇത് ഇതിനകം ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുണ്ട്.

ഡിഗ്രി പ്രവേശനം എങ്ങനെ ശരിയായി വായിക്കാം? പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട ഓപ്ഷൻ "a to the power of n" ആണ്. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് "a ൻ്റെ nth power" അല്ലെങ്കിൽ "anth power" എന്ന് പറയാം. ഉദാഹരണത്തിൽ ഞങ്ങൾ എൻട്രി നേരിട്ടെങ്കിൽ, പറയുക 8 12 , നമുക്ക് "8 മുതൽ 12-ആം ശക്തി", "8 മുതൽ 12-ൻ്റെ ശക്തി" അല്ലെങ്കിൽ "8-ൻ്റെ 12-ആം ശക്തി" എന്നിങ്ങനെ വായിക്കാം.

സംഖ്യകളുടെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ശക്തികൾക്ക് അവരുടേതായ സ്ഥാപിത പേരുകളുണ്ട്: ചതുരവും ക്യൂബും. നമ്മൾ രണ്ടാമത്തെ ശക്തി കാണുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പർ 7 (7 2), അപ്പോൾ നമുക്ക് "7 സ്ക്വയർ" അല്ലെങ്കിൽ "7 സംഖ്യയുടെ ചതുരം" എന്ന് പറയാം. അതുപോലെ, മൂന്നാം ഡിഗ്രി ഇതുപോലെ വായിക്കുന്നു: 5 3 - ഇതാണ് "അക്ക നമ്പർ 5" അല്ലെങ്കിൽ "5 ക്യൂബ്". എന്നിരുന്നാലും, "രണ്ടാം / മൂന്നാം ശക്തിയിലേക്ക്" നിങ്ങൾക്ക് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുലേഷൻ ഉപയോഗിക്കാം;

ഉദാഹരണം 1

സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം നോക്കാം: വേണ്ടി 5 7 അഞ്ച് അടിസ്ഥാനമായിരിക്കും, ഏഴ് ഘാതം ആയിരിക്കും.

അടിസ്ഥാനം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ ആയിരിക്കണമെന്നില്ല: ബിരുദത്തിന് (4 , 32) 9 അടിസ്ഥാനം ഭിന്നസംഖ്യ 4, 32 ആയിരിക്കും, ഘാതം ഒമ്പത് ആയിരിക്കും. പരാൻതീസിസുകൾ ശ്രദ്ധിക്കുക: ഈ നൊട്ടേഷൻ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ എല്ലാ ശക്തികൾക്കും വേണ്ടി നിർമ്മിച്ചതാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

പരാൻതീസിസ് എന്തിനുവേണ്ടിയാണ്? കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പിശകുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ അവ സഹായിക്കുന്നു. നമുക്ക് രണ്ട് എൻട്രികൾ ഉണ്ടെന്ന് പറയാം: (− 2) 3 ഒപ്പം − 2 3 . ആദ്യത്തേത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു നെഗറ്റീവ് നമ്പർമൈനസ് രണ്ട് സ്വാഭാവിക ഘാതം മൂന്ന് ഉപയോഗിച്ച് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തി; രണ്ടാമത്തേത് ഡിഗ്രിയുടെ വിപരീത മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സംഖ്യയാണ് 2 3 .

ചിലപ്പോൾ പുസ്തകങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ അല്പം വ്യത്യസ്തമായ അക്ഷരവിന്യാസം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും - a^n(ഇവിടെ a അടിസ്ഥാനവും n എന്നത് ഘാതകവുമാണ്). അതായത്, 4^9 സമാനമാണ് 4 9 . n ഒരു മൾട്ടി-അക്ക സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, അത് പരാൻതീസിസിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . എന്നാൽ ഞങ്ങൾ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കും ഒരു എൻകൂടുതൽ സാധാരണമായി.

നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ മൂല്യം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാമെന്ന് ഊഹിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: നിങ്ങൾ ഒരു n-ാമത്തെ തവണ ഗുണിച്ചാൽ മതി. മറ്റൊരു ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ എഴുതി.

ഡിഗ്രി എന്ന ആശയം മറ്റൊരു ഗണിതശാസ്ത്ര ആശയത്തിൻ്റെ വിപരീതമാണ് - ഒരു സംഖ്യയുടെ റൂട്ട്. ശക്തിയുടെയും ഘാതകത്തിൻ്റെയും മൂല്യം നമുക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ, നമുക്ക് അതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനം കണക്കാക്കാം. ബിരുദത്തിന് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഉപയോഗപ്രദമായ ചില പ്രത്യേക ഗുണങ്ങളുണ്ട്, അത് ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രത്യേക മെറ്റീരിയലിൽ ചർച്ച ചെയ്തു.

എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾക്ക് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ മാത്രമല്ല, നെഗറ്റീവ്, പൂജ്യങ്ങൾ എന്നിവയുൾപ്പെടെ പൊതുവെ ഏത് പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യങ്ങളും ഉൾപ്പെടുത്താം, കാരണം അവയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ പെടുന്നു.

നിർവ്വചനം 2

പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയെ ഒരു ഫോർമുലയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: .

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, n എന്നത് ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്.

സീറോ ഡിഗ്രി എന്ന ആശയം നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, തുല്യ അടിത്തറയുള്ള അധികാരങ്ങൾക്കുള്ള ക്വോട്ട് പ്രോപ്പർട്ടി കണക്കിലെടുക്കുന്ന ഒരു സമീപനമാണ് ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഇത് ഇതുപോലെ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു:

നിർവ്വചനം 3

സമത്വം a m: a n = a m - nഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ ശരിയാകും: m, n എന്നിവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളാണ്, m< n , a ≠ 0 .

അവസാനത്തെ വ്യവസ്ഥ പ്രധാനമാണ്, കാരണം അത് പൂജ്യത്താൽ വിഭജനം ഒഴിവാക്കുന്നു. m, n എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലം ലഭിക്കും: a n: a n = a n - n = a 0

എന്നാൽ അതേ സമയം ഒരു n: a n = 1 ഒരു ഘടകമാണ് തുല്യ സംഖ്യകൾ ഒരു എൻകൂടാതെ എ. പൂജ്യമല്ലാത്ത ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും പൂജ്യം ശക്തി ഒന്നിന് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

എന്നിരുന്നാലും, അത്തരമൊരു തെളിവ് പൂജ്യത്തിന് പൂജ്യത്തിന് ബാധകമല്ല. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾക്ക് അധികാരങ്ങളുടെ മറ്റൊരു സ്വത്ത് ആവശ്യമാണ് - തുല്യ അടിത്തറയുള്ള അധികാരങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ സ്വത്ത്. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: a m · a n = a m + n .

n 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അപ്പോൾ a m · a 0 = a m(ഈ സമത്വം അതും നമുക്ക് തെളിയിക്കുന്നു a 0 = 1). എന്നാൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, നമ്മുടെ സമത്വം രൂപം പ്രാപിക്കുന്നു 0 m · 0 0 = 0 m, n ൻ്റെ ഏതൊരു സ്വാഭാവിക മൂല്യത്തിനും ഇത് ശരിയായിരിക്കും, കൂടാതെ ബിരുദത്തിൻ്റെ മൂല്യം കൃത്യമായി എന്താണെന്നത് പ്രശ്നമല്ല 0 0 , അതായത്, ഇത് ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും തുല്യമായിരിക്കും, ഇത് തുല്യതയുടെ കൃത്യതയെ ബാധിക്കില്ല. അതിനാൽ, ഫോമിൻ്റെ ഒരു നൊട്ടേഷൻ 0 0 എന്നതിന് അതിൻ്റേതായ പ്രത്യേക അർത്ഥമില്ല, ഞങ്ങൾ അത് ആട്രിബ്യൂട്ട് ചെയ്യുന്നില്ല.

വേണമെങ്കിൽ, അത് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ് a 0 = 1ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടിയുമായി ഒത്തുചേരുന്നു (a m) n = a m nഡിഗ്രിയുടെ അടിസ്ഥാനം പൂജ്യമല്ലെന്ന് നൽകിയിട്ടുണ്ട്. അങ്ങനെ, ഘാതക പൂജ്യമുള്ള ഏതൊരു പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയുടെയും ശക്തി ഒന്നാണ്.

ഉദാഹരണം 2

നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം: അതിനാൽ, 5 0 - യൂണിറ്റ്, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , മൂല്യവും 0 0 നിർവചിക്കാത്തത്.

സീറോ ഡിഗ്രിക്ക് ശേഷം, നെഗറ്റീവ് ഡിഗ്രി എന്താണെന്ന് നമ്മൾ കണ്ടുപിടിക്കണം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഇതിനകം മുകളിൽ ഉപയോഗിച്ച തുല്യ അടിത്തറയുള്ള പവർ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ അതേ പ്രോപ്പർട്ടി ആവശ്യമാണ്: a m · a n = a m + n.

നമുക്ക് വ്യവസ്ഥ അവതരിപ്പിക്കാം: m = - n, അപ്പോൾ a പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കരുത്. അത് പിന്തുടരുന്നു a - n · a n = a - n + n = a 0 = 1. ഇത് ഒരു n ഉം എന്ന് മാറുന്നു a−nഞങ്ങൾക്ക് പരസ്പരം പരസ്പര സംഖ്യകളുണ്ട്.

തൽഫലമായി, a to negative whole power എന്നത് 1 a n എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല.

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിക്ക്, ഒരു സ്വാഭാവിക എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിക്ക് ഉള്ള എല്ലാ ഗുണങ്ങളും സാധുവാണെന്ന് ഈ ഫോർമുലേഷൻ സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു (അടിസ്ഥാനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ).

ഉദാഹരണം 3

ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം n ഉള്ള ഒരു ശക്തിയെ 1 a n എന്ന ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. അങ്ങനെ, a - n = 1 a n വിധേയമാണ് a ≠ 0കൂടാതെ n എന്നത് ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്.

നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് നമ്മുടെ ആശയം വിശദീകരിക്കാം:

ഉദാഹരണം 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

ഖണ്ഡികയുടെ അവസാന ഭാഗത്ത്, ഒരു ഫോർമുലയിൽ വ്യക്തമായി പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതെല്ലാം ചിത്രീകരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും:

നിർവ്വചനം 4

സ്വാഭാവിക ഘാതം z ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി ഇതാണ്: a z = a z, e, l, z എന്നിവയ്‌ക്കൊപ്പം - പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ 1, z = 0, a ≠ 0, (z = 0, a = 0 എന്നിവയ്‌ക്ക് ഫലം 0 0 ആണ്, 0 0 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ നിർവചിച്ചിട്ടില്ല) 1 a z, എങ്കിൽ, z എന്നത് ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയും ≠ 0 ഉം ആണെങ്കിൽ (z ഒരു നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയും a = 0 ആണെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് 0 z ലഭിക്കും, egoz മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല)

യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള ശക്തികൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൽ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ കേസുകൾ പരിശോധിച്ചു. എന്നിരുന്നാലും, അതിൻ്റെ ഘാതം ഫ്രാക്ഷണൽ സംഖ്യ അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ പോലും നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താൻ കഴിയും. ഇതിനെ ഡിഗ്രി സി എന്ന് വിളിക്കുന്നു യുക്തിസഹമായ സൂചകം. ഈ വിഭാഗത്തിൽ ഇതിന് മറ്റ് ശക്തികളുടേതിന് സമാനമായ ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിക്കും.

എന്താണ് യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾ? അവയുടെ വൈവിധ്യത്തിൽ മുഴുവനും ഉൾപ്പെടുന്നു ഭിന്നസംഖ്യകൾ, ഫ്രാക്ഷണൽ നമ്പറുകളെ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം (പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ്). ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ നിർവചനം നമുക്ക് m / n എന്ന ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് രൂപപ്പെടുത്താം, ഇവിടെ n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും m ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയുമാണ്.

ഒരു m n എന്ന ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുമായി നമുക്ക് കുറച്ച് ഡിഗ്രി ഉണ്ട്. സ്വത്ത് കൈവശം വയ്ക്കാനുള്ള ശക്തിക്ക്, a m n n = a m n · n = a m എന്ന തുല്യത ശരിയായിരിക്കണം.

nth റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനവും a m n n = a m എന്നതും കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, m, n, a എന്നിവയുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾക്ക് a m n അർത്ഥമുണ്ടെങ്കിൽ a m n = a m n എന്ന അവസ്ഥയെ നമുക്ക് അംഗീകരിക്കാം.

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ മുകളിലുള്ള ഗുണങ്ങൾ a m n = a m n എന്ന അവസ്ഥയിൽ ശരിയാകും.

ഞങ്ങളുടെ ന്യായവാദത്തിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാന നിഗമനം ഇതാണ്: ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് m / n ഉള്ള ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ a യുടെ ശക്തി, m എന്ന സംഖ്യയുടെ n-ആം മൂലമാണ്. m, n, a എന്നിവയുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾക്ക് a m n എന്ന പദപ്രയോഗം അർഥപൂർണമായി തുടരുകയാണെങ്കിൽ ഇത് ശരിയാണ്.

1. ഡിഗ്രിയുടെ അടിത്തറയുടെ മൂല്യം നമുക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്താം: നമുക്ക് a എടുക്കാം, m ൻ്റെ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്ക് 0-നേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയിരിക്കും, കൂടാതെ നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്ക് - കർശനമായി കുറവ് (m ≤ 0 ന് വേണ്ടി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു 0 മീ, എന്നാൽ അത്തരമൊരു ബിരുദം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ചിലതിന് m/n ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉള്ള പവർ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ a എന്നത് m എന്ന ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയതിൻ്റെ n-ാമത്തെ മൂലമാണ്. ഇത് ഒരു ഫോർമുലയായി പ്രകടിപ്പിക്കാം:

പൂജ്യം അടിത്തറയുള്ള ഒരു ശക്തിക്ക്, ഈ വ്യവസ്ഥയും അനുയോജ്യമാണ്, എന്നാൽ അതിൻ്റെ ഘാതം ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ മാത്രം.

ബേസ് പൂജ്യവും ഫ്രാക്ഷണൽ പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് m/n ഉള്ള ഒരു പവർ ഇതായി പ്രകടിപ്പിക്കാം

0 m n = 0 m n = 0 നൽകിയത് m ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യയും n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുമാണ്.

ഒരു നെഗറ്റീവ് അനുപാതത്തിന് m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

ഒരു കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കാം. പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ എന്ന വ്യവസ്ഥ ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിച്ചതിനാൽ, ചില കേസുകൾ ഞങ്ങൾ നിരസിച്ചു.

a m n എന്ന പ്രയോഗം ചിലപ്പോൾ a, ചില m എന്നിവയുടെ ചില നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അർത്ഥമുണ്ട്. അങ്ങനെ, ശരിയായ എൻട്രികൾ (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4 എന്നിവയാണ്, അതിൽ അടിസ്ഥാനം നെഗറ്റീവ് ആണ്.

2. രണ്ടാമത്തെ സമീപനം a m n എന്ന മൂലത്തെ ഇരട്ട, ഒറ്റ ഘാതം എന്നിവ പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കുക എന്നതാണ്. അപ്പോൾ നമ്മൾ ഒരു വ്യവസ്ഥ കൂടി അവതരിപ്പിക്കേണ്ടതുണ്ട്: ഒരു ഘാതാങ്കത്തിൽ കുറയ്ക്കാവുന്ന ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യ ഉള്ളത്, ഡിഗ്രി a ആയി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, അതിൻ്റെ ഘാതാങ്കത്തിൽ അതിനനുസരിച്ചുള്ള മാറ്റാനാവാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയുണ്ട്. എന്തുകൊണ്ടാണ് നമുക്ക് ഈ അവസ്ഥ ആവശ്യമെന്നും എന്തുകൊണ്ട് ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണെന്നും പിന്നീട് ഞങ്ങൾ വിശദീകരിക്കും. അതിനാൽ, നമുക്ക് a m · k n · k എന്ന നൊട്ടേഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് അത് m n ആയി ചുരുക്കി കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാം.

n ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യയും m ൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ a നെഗറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യയും ആണെങ്കിൽ, m n അർത്ഥവത്താണ്. ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ ഒരു നെഗറ്റീവല്ല എന്ന അവസ്ഥ ആവശ്യമാണ്. m ൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, a നെഗറ്റീവും പൂജ്യവും ആകാം, കാരണം ഏത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യയിൽ നിന്നും ഒറ്റമൂലി എടുക്കാം.

മുകളിലുള്ള എല്ലാ നിർവചനങ്ങളും ഒരു എൻട്രിയിൽ സംയോജിപ്പിക്കാം:

ഇവിടെ m/n എന്നാൽ കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഭിന്നസംഖ്യയാണ്, m എന്നത് ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്, n എന്നത് ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്.

നിർവ്വചനം 5

m

കുറയ്ക്കാനാകാത്ത ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് m / n ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി ഇനിപ്പറയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ m n ആയി പ്രകടിപ്പിക്കാം: - ഏത് യഥാർത്ഥ a, പൂർണ്ണസംഖ്യയ്ക്കും പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ m, വിചിത്രമായ സ്വാഭാവിക മൂല്യങ്ങൾ n. ഉദാഹരണം: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

ഏതെങ്കിലും നോൺ-സീറോ റിയൽ a, m ൻ്റെ നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യങ്ങളും n ൻ്റെ ഒറ്റമൂല്യങ്ങളും, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

ഏതെങ്കിലും നോൺ-നെഗറ്റീവ് a, പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ m, n എന്നിവയ്‌ക്ക്, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ് a, നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ m, n എന്നിവയ്‌ക്ക്, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

മറ്റ് മൂല്യങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ബിരുദം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നില്ല. അത്തരം ഡിഗ്രികളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

ഇപ്പോൾ മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത അവസ്ഥയുടെ പ്രാധാന്യം നമുക്ക് വിശദീകരിക്കാം: ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ കുറയ്ക്കാവുന്ന ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി പകരം വയ്ക്കാൻ കഴിയാത്ത ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് എന്തിനാണ്. ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്തില്ലെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകുമായിരുന്നു, അതായത്, 6/10 = 3/5. അപ്പോൾ അത് ശരിയായിരിക്കണം (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , എന്നാൽ - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , കൂടാതെ (- 1) 3 5 = (- 1 ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

ഞങ്ങൾ ആദ്യം അവതരിപ്പിച്ച ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം, രണ്ടാമത്തേതിനേക്കാൾ പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് ഉപയോഗിക്കുന്നത് തുടരും.

നിർവ്വചനം 6

അങ്ങനെ, m/n എന്ന ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉള്ള a പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ശക്തി 0 m n = 0 m n = 0 ആയി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ എ a m n എന്ന നൊട്ടേഷൻ അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല. പോസിറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾക്ക് പൂജ്യത്തിൻ്റെ ശക്തി m/n 0 m n = 0 m n = 0 ആയി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, നെഗറ്റീവ് ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾക്ക് ഞങ്ങൾ പൂജ്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രി നിർവചിക്കുന്നില്ല.

നിഗമനങ്ങളിൽ, ഏതെങ്കിലും ഫ്രാക്ഷണൽ ഇൻഡിക്കേറ്റർ ഫോമിൽ എഴുതാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു മിക്സഡ് നമ്പർ, രൂപത്തിലും ദശാംശം: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് എക്‌സ്‌പോണൻ്റിനെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, തുടർന്ന് എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ നിർവചനം ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾക്കായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

യുക്തിരഹിതവും യഥാർത്ഥ ഘാതകരുമുള്ള ശക്തികൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

എന്താണ് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ? അവയുടെ ഗണത്തിൽ യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ സംഖ്യകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു യഥാർത്ഥ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം എന്താണെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവുമായ ഘാതങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രികൾ നിർവചിക്കേണ്ടതുണ്ട്. മുകളിൽ യുക്തിസഹമായവ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. നമുക്ക് യുക്തിരഹിതമായ സൂചകങ്ങൾ ഘട്ടം ഘട്ടമായി കൈകാര്യം ചെയ്യാം.

ഉദാഹരണം 5

നമുക്ക് ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയും അതിൻ്റെ ദശാംശ ഏകദേശങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണിയും ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക a 0 , a 1 , a 2 , . . . . ഉദാഹരണത്തിന്, മൂല്യം a = 1.67175331 എടുക്കാം. . . , പിന്നെ

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1.67, a 1 = 1.6717, a 2 = 1.671753, . . .

a 0, a 1, a 2, എന്നീ ഡിഗ്രികളുടെ ഒരു ശ്രേണിയുമായി നമുക്ക് ഏകദേശ ക്രമങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുത്താം. . . . സംഖ്യകളെ യുക്തിസഹമായ ശക്തികളിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ മുമ്പ് പറഞ്ഞത് ഓർക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ശക്തികളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് സ്വയം കണക്കാക്കാം.

ഉദാഹരണമായി എടുക്കാം a = 3, പിന്നെ a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . തുടങ്ങിയവ.

ശക്തികളുടെ ക്രമം ഒരു സംഖ്യയായി ചുരുക്കാം, അത് ബേസ് a ഉം യുക്തിരഹിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റും ഉള്ള ശക്തിയുടെ മൂല്യമായിരിക്കും. ഫലമായി: 3 1, 67175331 എന്ന ഫോമിൻ്റെ യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം. . 6, 27 എന്ന നമ്പറിലേക്ക് ചുരുക്കാം.

നിർവ്വചനം 7

a യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം a ഉള്ള ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ ശക്തി a ആയി എഴുതിയിരിക്കുന്നു. a 0, a a 1, a a 2, എന്ന ക്രമത്തിൻ്റെ പരിധിയാണ് അതിൻ്റെ മൂല്യം. . . , എവിടെ a 0 , a 1 , a 2 , . . . അവിഭാജ്യ സംഖ്യയുടെ തുടർച്ചയായ ദശാംശ ഏകദേശങ്ങളാണ്. 0 a = 0 അങ്ങനെ, 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0 ഉപയോഗിച്ച് പോസിറ്റീവ് ആയ യുക്തിരഹിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾക്ക് പൂജ്യം അടിത്തറയുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയും നിർവചിക്കാം. എന്നാൽ നെഗറ്റീവ് ആയവയ്ക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല, കാരണം, ഉദാഹരണത്തിന്, 0 - 5, 0 - 2 π മൂല്യം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. ഏതെങ്കിലും യുക്തിരഹിതമായ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയ ഒരു യൂണിറ്റ് ഒരു യൂണിറ്റായി തുടരുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, 2-ൽ 1 2, 1 5, 1 - 5 എന്നിവ 1-ന് തുല്യമായിരിക്കും.

ടെക്‌സ്‌റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

ബീജഗണിതത്തിലെയും എല്ലാ ഗണിതത്തിലെയും പ്രധാന സ്വഭാവങ്ങളിലൊന്ന് ബിരുദമാണ്. തീർച്ചയായും, 21-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും ഒരു ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്ററിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയും, എന്നാൽ മസ്തിഷ്ക വികസനത്തിന് ഇത് സ്വയം എങ്ങനെ ചെയ്യണമെന്ന് പഠിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

ഈ ലേഖനത്തിൽ ഈ നിർവ്വചനം സംബന്ധിച്ച ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. അതായത്, അത് പൊതുവായി എന്താണെന്നും അതിൻ്റെ പ്രധാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്താണെന്നും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ എന്തൊക്കെ ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്നും നമുക്ക് മനസിലാക്കാം.

കണക്കുകൂട്ടൽ എങ്ങനെയാണെന്നും അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എന്താണെന്നും ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം. അളവുകളുടെ പ്രധാന തരങ്ങളെക്കുറിച്ചും അവ മറ്റ് ഫംഗ്ഷനുകളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്നും നോക്കാം.

ഈ അളവ് ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നമുക്ക് മനസിലാക്കാം. പൂജ്യം പവർ, യുക്തിരഹിതം, നെഗറ്റീവ് മുതലായവ എങ്ങനെ ഉയർത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കാണിക്കും.

ഓൺലൈൻ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ കാൽക്കുലേറ്റർ

ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി എന്താണ്

"ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക" എന്ന പ്രയോഗത്തിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്?

ഒരു സംഖ്യയുടെ പവർ n എന്നത് ഒരു നിരയിൽ ഒരു n മടങ്ങ് കാന്തിമാനമുള്ള ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

a n = a * a * a * …a n .

ഉദാഹരണത്തിന്:

• മൂന്നാം ഡിഗ്രിയിൽ 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 ഘട്ടത്തിലേക്ക്. രണ്ട് = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 ഘട്ടത്തിലേക്ക്. നാല് = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 5 ഘട്ടങ്ങളിൽ 10 5 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 4 ഘട്ടങ്ങളിൽ 10 4 = 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള സ്ക്വയറുകളുടെയും ക്യൂബുകളുടെയും ഒരു പട്ടിക ചുവടെയുണ്ട്.

1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ പട്ടിക

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ പോസിറ്റീവ് ശക്തികളിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട് - "1 മുതൽ 100 ​​വരെ".

ഡിഗ്രികളുടെ സവിശേഷതകൾ

അത്തരമൊരു ഗണിത പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ സവിശേഷത എന്താണ്? അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ നോക്കാം.

ശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇനിപ്പറയുന്നവ സ്ഥാപിച്ചു എല്ലാ ഡിഗ്രികളുടെയും സ്വഭാവ സവിശേഷതകൾ:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കാം:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. മറുവശത്ത്, 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

അതുപോലെ: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. അല്ലെങ്കിൽ 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. ഇത് വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

എന്നാൽ എന്തുപറ്റി സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും? ഇത് ലളിതമാണ്. ആദ്യം എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ നടത്തുന്നു, തുടർന്ന് സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും.

നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: നിങ്ങൾ ആദ്യം കുറച്ചാൽ നിയമം നിലനിൽക്കില്ല: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ ആദ്യം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം പരാൻതീസിസിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

എങ്ങനെ ഉത്പാദിപ്പിക്കാം കൂടുതൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കേസുകൾ ? ഓർഡർ സമാനമാണ്:

• ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അവയിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കേണ്ടതുണ്ട്;
• പിന്നെ എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ;
• തുടർന്ന് ഗുണനത്തിൻ്റെയും വിഭജനത്തിൻ്റെയും പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക;
• സങ്കലനത്തിനു ശേഷം, കുറയ്ക്കൽ.

എല്ലാ ഡിഗ്രികളുടെയും സ്വഭാവമല്ലാത്ത പ്രത്യേക ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

1. a മുതൽ m ഡിഗ്രി വരെയുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ nth റൂട്ട് ഇങ്ങനെ എഴുതപ്പെടും: a m / n.
2. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ: ന്യൂമറേറ്ററും അതിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്ററും ഈ നടപടിക്രമത്തിന് വിധേയമാണ്.
3. ഒരു ജോലി നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾഒരു ശക്തിയിലേക്ക്, ഈ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനത്തിന് നൽകിയിരിക്കുന്ന ശക്തിയുമായി പദപ്രയോഗം യോജിക്കും. അതായത്: (a * b) n = a n * b n .
4. ഒരു സംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, അതേ നൂറ്റാണ്ടിൽ നിങ്ങൾ 1-നെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, പക്ഷേ ഒരു "+" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച്.
5. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ഒരു നെഗറ്റീവ് ശക്തിയാണെങ്കിൽ, ഈ പദപ്രയോഗം ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ ഗുണനത്തിനും ഡിനോമിനേറ്റർ പോസിറ്റീവ് പവറിനും തുല്യമായിരിക്കും.
6. പവർ 0 = 1, പവർ എന്നിവയിലേക്ക് ഏത് സംഖ്യയും. 1 = സ്വയം.

ചില കേസുകളിൽ ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രധാനമാണ്; ഞങ്ങൾ അവയെ കൂടുതൽ വിശദമായി ചുവടെ പരിഗണിക്കും.

നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ബിരുദം

ഒരു മൈനസ് ഡിഗ്രി ഉപയോഗിച്ച് എന്തുചെയ്യണം, അതായത് സൂചകം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ?

പ്രോപ്പർട്ടികൾ 4, 5 എന്നിവ അടിസ്ഥാനമാക്കി(മുകളിലുള്ള പോയിൻ്റ് കാണുക), അതു മാറുന്നു:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

തിരിച്ചും:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ആണെങ്കിലോ?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

സ്വാഭാവിക സൂചകത്തോടുകൂടിയ ബിരുദം

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് തുല്യമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള ഒരു ബിരുദമായാണ് ഇത് മനസ്സിലാക്കുന്നത്.

ഓർമ്മിക്കേണ്ട കാര്യങ്ങൾ:

എ 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1... etc.

എ 1 = എ, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... തുടങ്ങിയവ.

കൂടാതെ, (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... എങ്കിൽ ഫലം ഒരു “+” ചിഹ്നത്തിലായിരിക്കും. ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ഒറ്റ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ, തിരിച്ചും.

പൊതുവായ ഗുണങ്ങളും മുകളിൽ വിവരിച്ച എല്ലാ പ്രത്യേക സവിശേഷതകളും അവയുടെ സ്വഭാവ സവിശേഷതകളാണ്.

ഫ്രാക്ഷണൽ ബിരുദം

ഈ തരം ഒരു സ്കീം ആയി എഴുതാം: A m / n. ഇതായി വായിക്കുക: പവർ m ലേക്ക് A എന്ന സംഖ്യയുടെ nth റൂട്ട്.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഇൻഡിക്കേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളതെന്തും ചെയ്യാൻ കഴിയും: അത് കുറയ്ക്കുക, ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുക, മറ്റൊരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക തുടങ്ങിയവ.

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം

α ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയും A ˃ 0 ആയിരിക്കട്ടെ.

അത്തരമൊരു സൂചകമുള്ള ഒരു ബിരുദത്തിൻ്റെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കാൻ, സാധ്യമായ വ്യത്യസ്ത കേസുകൾ നോക്കാം:

• A = 1. ഫലം 1 ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഒരു സിദ്ധാന്തം ഉള്ളതിനാൽ - എല്ലാ ശക്തികളിലും 1 എന്നത് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 - യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ;

• 0˂A˂1.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഇത് മറ്റൊരു വഴിയാണ്: രണ്ടാമത്തെ ഖണ്ഡികയിലെ അതേ വ്യവസ്ഥകളിൽ A r 2 ˂ A α ˂ A r 1.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഘാതം π എന്ന സംഖ്യയാണ്.അത് യുക്തിസഹമാണ്.

r 1 - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ 3 ന് തുല്യമാണ്;

r 2 - 4 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

തുടർന്ന്, A = 1, 1 π = 1.

A = 2, പിന്നെ 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, തുടർന്ന് (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

അത്തരം ബിരുദങ്ങൾ എല്ലാവരുടെയും സവിശേഷതയാണ് ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾമുകളിൽ വിവരിച്ച പ്രത്യേക ഗുണങ്ങളും.

ഉപസംഹാരം

നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം - ഈ അളവുകൾ എന്തിനുവേണ്ടിയാണ് വേണ്ടത്, അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്? തീർച്ചയായും, ഒന്നാമതായി, ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അവർ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെയും പ്രോഗ്രാമർമാരുടെയും ജീവിതം ലളിതമാക്കുന്നു, കാരണം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ചെറുതാക്കാനും അൽഗോരിതങ്ങൾ ചെറുതാക്കാനും ഡാറ്റ ചിട്ടപ്പെടുത്താനും അതിലേറെ കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യാനും അവർ അവരെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഈ അറിവ് മറ്റെവിടെ ഉപയോഗപ്രദമാകും? ഏതായാലും ജോലി സ്പെഷ്യാലിറ്റി: മെഡിസിൻ, ഫാർമക്കോളജി, ഡെൻ്റിസ്ട്രി, കൺസ്ട്രക്ഷൻ, ടെക്നോളജി, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ഡിസൈൻ മുതലായവ.

ഡിഗ്രി സൂത്രവാക്യങ്ങൾസങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനും ലളിതമാക്കുന്നതിനും, സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രക്രിയയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നമ്പർ സിആണ് എൻഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി എഎപ്പോൾ:

ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

1. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ഡിഗ്രികളെ ഗുണിക്കുന്നതിലൂടെ, അവയുടെ സൂചകങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു:

ഒരു എം·a n = a m + n .

2. ഒരേ ബേസ് ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രികളെ ഹരിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഘാതം കുറയ്ക്കുന്നു:

3. രണ്ടോ അതിലധികമോ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിൻ്റെ അളവ് ഈ ഘടകങ്ങളുടെ ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്:

(abc...) n = a n · b n · c n ...

4. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ അളവ് ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെയും ഡിവിസറിൻ്റെയും ഡിഗ്രികളുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്:

(a/b) n = a n /b n .

5. ഒരു ശക്തിയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, ഘാതകങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു:

(a m) n = a m n .

മുകളിലുള്ള ഓരോ ഫോർമുലയും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ടും തിരിച്ചും ദിശകളിൽ ശരിയാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

വേരുകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

1. നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ഈ ഘടകങ്ങളുടെ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:

2. ഒരു അനുപാതത്തിൻ്റെ റൂട്ട് ഡിവിഡൻ്റിൻ്റെയും വേരുകളുടെ വിഭജനത്തിൻ്റെയും അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്:

3. ഒരു റൂട്ട് ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, ഈ ശക്തിയിലേക്ക് റാഡിക്കൽ നമ്പർ ഉയർത്തിയാൽ മതി:

4. നിങ്ങൾ റൂട്ടിൻ്റെ ഡിഗ്രി വർദ്ധിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ എൻഒരിക്കൽ, ഒരേ സമയം നിർമ്മിക്കുക എൻ th പവർ ഒരു റാഡിക്കൽ സംഖ്യയാണ്, അപ്പോൾ റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം മാറില്ല:

5. നിങ്ങൾ റൂട്ടിൻ്റെ ഡിഗ്രി കുറയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ എൻഒരേ സമയം റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുക എൻഒരു റാഡിക്കൽ സംഖ്യയുടെ -th പവർ, അപ്പോൾ റൂട്ടിൻ്റെ മൂല്യം മാറില്ല:

നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണുള്ള ഒരു ബിരുദം.പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത (പൂർണ്ണസംഖ്യ) എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയുടെ ശക്തിയെ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത് അതേ സംഖ്യയുടെ ശക്തിയാൽ ഹരിച്ചിരിക്കുന്ന ഒന്നായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. യഥാർത്ഥ മൂല്യംപോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത സൂചകം:

ഫോർമുല ഒരു എം:a n =a m - nവേണ്ടി മാത്രമല്ല ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും എം> എൻ, മാത്രമല്ല കൂടെ എം< എൻ.

ഉദാഹരണത്തിന്. എ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ഫോർമുലയിലേക്ക് ഒരു എം:a n =a m - nഎപ്പോൾ ന്യായമായി m=n, പൂജ്യം ഡിഗ്രിയുടെ സാന്നിധ്യം ആവശ്യമാണ്.

പൂജ്യം സൂചികയുള്ള ഒരു ബിരുദം.പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും ശക്തി പൂജ്യ ഘാതം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ബിരുദം.ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ ഉയർത്താൻ എഡിഗ്രി വരെ m/n, നിങ്ങൾ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കേണ്ടതുണ്ട് എൻഎന്ന ബിരുദം എംഈ സംഖ്യയുടെ ശക്തി എ.

ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയെക്കുറിച്ചുള്ള സംഭാഷണം തുടരുന്നു, ശക്തിയുടെ മൂല്യം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് മനസിലാക്കുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്. ഈ പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു വിസ്താരം. ഈ ലേഖനത്തിൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ എങ്ങനെ നടത്തപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ പഠിക്കും, അതേസമയം സാധ്യമായ എല്ലാ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളിലും ഞങ്ങൾ സ്പർശിക്കും - പ്രകൃതി, പൂർണ്ണസംഖ്യ, യുക്തിസഹവും യുക്തിരഹിതവും. പാരമ്പര്യമനുസരിച്ച്, വിവിധ ശക്തികളിലേക്ക് സംഖ്യകൾ ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ വിശദമായി പരിഗണിക്കും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

"എക്‌സ്‌പോണൻ്റേഷൻ" എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നത് വിശദീകരിച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. പ്രസക്തമായ നിർവചനം ഇതാ.

നിർവ്വചനം.

എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ- ഇത് ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നു.

അങ്ങനെ, ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ മൂല്യം r ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നതും a എന്ന സംഖ്യയെ പവർ r ലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതും ഒന്നുതന്നെയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ടാസ്ക് "പവർ (0.5) 5" എന്നതിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക" ആണെങ്കിൽ, അത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പരിഷ്കരിക്കാം: "പവർ 5 ലേക്ക് 0.5 എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തുക."

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ നടത്തുന്ന നിയമങ്ങളിലേക്ക് നേരിട്ട് പോകാം.

ഒരു സംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

പ്രായോഗികമായി, അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള സമത്വം സാധാരണയായി ഫോമിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു. അതായത്, ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ പവർ m/n ആയി ഉയർത്തുമ്പോൾ, ആദ്യം a എന്ന സംഖ്യയുടെ nth റൂട്ട് എടുക്കുന്നു, അതിനുശേഷം ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫലം m എന്ന പൂർണ്ണസംഖ്യയായി ഉയർത്തുന്നു.

ഫ്രാക്ഷണൽ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ബിരുദത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം.

ഞങ്ങൾ രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ കാണിക്കും.

ആദ്യ വഴി. ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം പ്രകാരം. റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു, തുടർന്ന് വേർതിരിച്ചെടുക്കുക ക്യൂബ് റൂട്ട്: .

രണ്ടാമത്തെ വഴി. ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, വേരുകളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യതകൾ ശരിയാണ്: . ഇപ്പോൾ നമ്മൾ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു , ഒടുവിൽ, ഞങ്ങൾ അതിനെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയായി ഉയർത്തുന്നു .

വ്യക്തമായും, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തിയതിൻ്റെ ഫലം യോജിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയായോ മിക്സഡ് സംഖ്യയായോ എഴുതാം, ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ അത് അനുബന്ധ സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും പിന്നീട് ഒരു പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുകയും വേണം.

ഉദാഹരണം.

കണക്കാക്കുക (44.89) 2.5.

പരിഹാരം.

നമുക്ക് ഘാതം ഫോമിൽ എഴുതാം പൊതു അംശം(ആവശ്യമെങ്കിൽ, ലേഖനം കാണുക): . ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു:

ഉത്തരം:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

യുക്തിസഹമായ ശക്തികളിലേക്ക് സംഖ്യകൾ ഉയർത്തുന്നത് വളരെയേറെയാണെന്ന് പറയണം തൊഴിൽ-തീവ്രമായ പ്രക്രിയ(പ്രത്യേകിച്ച് ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും ആവശ്യത്തിന് വലിയ സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ), ഇത് സാധാരണയായി കമ്പ്യൂട്ടർ സാങ്കേതികവിദ്യ ഉപയോഗിച്ച് നടപ്പിലാക്കുന്നു.

ഈ പോയിൻ്റ് അവസാനിപ്പിക്കാൻ, പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യയെ ഫ്രാക്ഷണൽ പവറായി ഉയർത്തുന്നതിനെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം. ഫോമിൻ്റെ പൂജ്യത്തിൻ്റെ ഫ്രാക്ഷണൽ പവറിന് ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന അർത്ഥം നൽകി: നമുക്ക് ഉള്ളപ്പോൾ , കൂടാതെ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് m/n പവർ നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. അതിനാൽ, ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ പോസിറ്റീവ് പവർ പൂജ്യം പൂജ്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, . ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ നെഗറ്റീവ് പവറിലെ പൂജ്യം അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല, ഉദാഹരണത്തിന്, 0 -4.3 പദപ്രയോഗങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നില്ല.

യുക്തിരഹിതമായ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

ചിലപ്പോൾ യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പ്രായോഗിക ആവശ്യങ്ങൾക്ക് ഒരു നിശ്ചിത ചിഹ്നത്തിന് കൃത്യമായ ഡിഗ്രിയുടെ മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന് സാധാരണയായി മതിയാകും. പ്രായോഗികമായി ഈ മൂല്യം ഇലക്ട്രോണിക് കമ്പ്യൂട്ടറുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് കണക്കാക്കുന്നത്, കാരണം ഇത് യുക്തിരഹിതമായ ശക്തിയിലേക്ക് സ്വമേധയാ ഉയർത്തുന്നതിന് വളരെയധികം ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമാണ്. എന്നാൽ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സാരാംശം ഞങ്ങൾ പൊതുവായി വിവരിക്കും.

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ ഏകദേശ മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഘാതകത്തിൻ്റെ ചില ദശാംശ ഏകദേശം എടുക്കുകയും ശക്തിയുടെ മൂല്യം കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ മൂല്യം ഒരു യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള a സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ ഏകദേശ മൂല്യമാണ്. ഒരു സംഖ്യയുടെ ദശാംശ ഏകദേശം എത്രത്തോളം കൃത്യമായി എടുക്കുന്നുവോ അത്രയും കൃത്യതയോടെ ബിരുദത്തിൻ്റെ മൂല്യം അവസാനം ലഭിക്കും.

ഒരു ഉദാഹരണമായി, നമുക്ക് 2 1.174367... ൻ്റെ ശക്തിയുടെ ഏകദേശ മൂല്യം കണക്കാക്കാം. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ദശാംശ ഏകദേശം എടുക്കാം യുക്തിരഹിതമായ സൂചകം: . ഇപ്പോൾ നമ്മൾ 2 റേഷണൽ പവർ 1.17 ലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു (മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ഈ പ്രക്രിയയുടെ സാരാംശം ഞങ്ങൾ വിവരിച്ചു), നമുക്ക് 2 1.17 ≈2.250116 ലഭിക്കും. അങ്ങനെ, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . യുക്തിരഹിതമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ കൂടുതൽ കൃത്യമായ ദശാംശ ഏകദേശം ഞങ്ങൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, യഥാർത്ഥ എക്‌സ്‌പോണൻ്റിൻ്റെ കൂടുതൽ കൃത്യമായ മൂല്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. അഞ്ചാം ക്ലാസിലെ ഗണിത പാഠപുസ്തകം. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ.
• മകാരിചെവ് യു.എൻ., മിൻഡ്യൂക്ക് എൻ.ജി., നെഷ്കോവ് കെ.ഐ., സുവോറോവ എസ്.ബി. ബീജഗണിതം: ഏഴാം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകം. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ.
• മകാരിചെവ് യു.എൻ., മിൻഡ്യൂക്ക് എൻ.ജി., നെഷ്കോവ് കെ.ഐ., സുവോറോവ എസ്.ബി. ബീജഗണിതം: എട്ടാം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകം. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ.
• മകാരിചെവ് യു.എൻ., മിൻഡ്യൂക്ക് എൻ.ജി., നെഷ്കോവ് കെ.ഐ., സുവോറോവ എസ്.ബി. ബീജഗണിതം: ഒമ്പതാം ക്ലാസിലെ പാഠപുസ്തകം. വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ.
• കോൾമോഗോറോവ് എ.എൻ., അബ്രമോവ് എ.എം., ഡഡ്നിറ്റ്സിൻ യു.പി. മറ്റുള്ളവയും ആൾജിബ്രയും വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും: പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ 10 - 11 ഗ്രേഡുകൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം.
• ഗുസെവ് വി.എ., മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി. ഗണിതശാസ്ത്രം (സാങ്കേതികവിദ്യാലയങ്ങളിൽ പ്രവേശിക്കുന്നവർക്കുള്ള ഒരു മാനുവൽ).