ആദ്യ നില

ബിരുദവും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും. സമഗ്രമായ ഗൈഡ് (2019)

എന്തുകൊണ്ടാണ് ബിരുദങ്ങൾ ആവശ്യമായി വരുന്നത്? നിങ്ങൾക്ക് അവ എവിടെയാണ് വേണ്ടത്? അവ പഠിക്കാൻ നിങ്ങൾ എന്തിന് സമയമെടുക്കണം?

ബിരുദങ്ങൾ, അവ എന്തിനുവേണ്ടിയാണ്, നിങ്ങളുടെ അറിവ് എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കണം എന്നതിനെ കുറിച്ച് എല്ലാം പഠിക്കാൻ ദൈനംദിന ജീവിതംഈ ലേഖനം വായിക്കുക.

കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, ബിരുദങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് നിങ്ങളെ വിജയത്തിലേക്ക് അടുപ്പിക്കും OGE കടന്നുപോകുന്നുഅല്ലെങ്കിൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയും നിങ്ങളുടെ സ്വപ്നങ്ങളുടെ സർവകലാശാലയിലേക്കുള്ള പ്രവേശനവും.

നമുക്ക് പോകാം... (നമുക്ക് പോകാം!)

പ്രധാന കുറിപ്പ്! ഫോർമുലകൾക്ക് പകരം gobbledygook കാണുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ കാഷെ മായ്‌ക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, CTRL+F5 (Windows-ൽ) അല്ലെങ്കിൽ Cmd+R (Mac-ൽ) അമർത്തുക.

ഫസ്റ്റ് ലെവൽ

ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതും അതുപോലെ തന്നെയാണ് ഗണിത പ്രവർത്തനംസങ്കലനം, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം അല്ലെങ്കിൽ ഹരിക്കൽ എന്നിവ പോലെ.

ഇപ്പോൾ ഞാൻ മനുഷ്യ ഭാഷയിൽ എല്ലാം വിശദീകരിക്കും ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ. ശ്രദ്ധാലുവായിരിക്കുക. ഉദാഹരണങ്ങൾ പ്രാഥമികമാണ്, എന്നാൽ പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യങ്ങൾ വിശദീകരിക്കുക.

കൂട്ടിച്ചേർക്കലോടെ തുടങ്ങാം.

ഇവിടെ വിശദീകരിക്കാൻ ഒന്നുമില്ല. നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം എല്ലാം അറിയാം: ഞങ്ങൾ എട്ട് പേരുണ്ട്. എല്ലാവരുടെയും കയ്യിൽ രണ്ടു കുപ്പി കോള. എത്ര കോളയുണ്ട്? അത് ശരിയാണ് - 16 കുപ്പികൾ.

ഇപ്പോൾ ഗുണനം.

കോളയുടെ അതേ ഉദാഹരണം വ്യത്യസ്തമായി എഴുതാം: . ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ തന്ത്രശാലികളും മടിയന്മാരുമാണ്. അവർ ആദ്യം ചില പാറ്റേണുകൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, തുടർന്ന് അവയെ വേഗത്തിൽ "എണ്ണാൻ" ഒരു വഴി കണ്ടെത്തുക. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, എട്ടുപേരിൽ ഓരോരുത്തർക്കും ഒരേ എണ്ണം കോള കുപ്പികൾ ഉണ്ടെന്ന് അവർ ശ്രദ്ധിച്ചു, ഗുണനം എന്ന സാങ്കേതികത കണ്ടുപിടിച്ചു. സമ്മതിക്കുക, ഇത് എളുപ്പത്തിലും വേഗത്തിലും കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

അതിനാൽ, വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും പിശകുകളില്ലാതെയും എണ്ണാൻ, നിങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട് ഗുണന പട്ടിക. തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാം സാവധാനത്തിലും കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും തെറ്റുകളോടെയും ചെയ്യാൻ കഴിയും! പക്ഷേ…

ഗുണന പട്ടിക ഇതാ. ആവർത്തിച്ച്.

മറ്റൊന്ന്, കൂടുതൽ മനോഹരമായ ഒന്ന്:

വേറെ ഏതൊക്കെ? തന്ത്രപരമായ തന്ത്രങ്ങൾകണക്കുകൾ കണ്ടുപിടിച്ചത് അലസരായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരാണോ? വലത് - ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു.

ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ അഞ്ച് തവണ കൊണ്ട് ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ, ആ സംഖ്യയെ അഞ്ചാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തണമെന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പറയുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, . ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഓർക്കുന്നത് രണ്ട് മുതൽ അഞ്ചാമത്തെ ശക്തി... അവർ അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ അവരുടെ തലയിൽ പരിഹരിക്കുന്നു - വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും തെറ്റുകളില്ലാതെയും.

നിങ്ങൾ ചെയ്യേണ്ടത് ഇത്രമാത്രം സംഖ്യകളുടെ ശക്തികളുടെ പട്ടികയിൽ നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത് ഓർക്കുക. എന്നെ വിശ്വസിക്കൂ, ഇത് നിങ്ങളുടെ ജീവിതം വളരെ എളുപ്പമാക്കും.

വഴിയിൽ, എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇതിനെ രണ്ടാം ഡിഗ്രി എന്ന് വിളിക്കുന്നത്? സമചതുരം Samachathuramഅക്കങ്ങൾ, മൂന്നാമത്തേത് - ക്യൂബ്? എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? വളരെ നല്ല ചോദ്യം. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ചതുരങ്ങളും ക്യൂബുകളും ഉണ്ടാകും.

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #1

സംഖ്യയുടെ ചതുരം അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തെ ശക്തി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

ഒരു മീറ്ററിൽ ഒരു മീറ്ററിൽ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കുളം സങ്കൽപ്പിക്കുക. കുളം നിങ്ങളുടെ ഡാച്ചയിലാണ്. നല്ല ചൂടാണ്, എനിക്ക് നീന്താൻ ആഗ്രഹമുണ്ട്. പക്ഷേ... കുളത്തിന് അടിയില്ല! നിങ്ങൾ കുളത്തിൻ്റെ അടിഭാഗം ടൈലുകൾ കൊണ്ട് മൂടണം. നിങ്ങൾക്ക് എത്ര ടൈലുകൾ വേണം? ഇത് നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ കുളത്തിൻ്റെ അടിഭാഗം അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

കുളത്തിൻ്റെ അടിയിൽ മീറ്റർ ക്യൂബുകൾ ഉണ്ടെന്ന് വിരൽ ചൂണ്ടി നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാം. ഒരു മീറ്ററിന് ഒരു മീറ്റർ ടൈലുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് കഷണങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. ഇത് എളുപ്പമാണ് ... എന്നാൽ അത്തരം ടൈലുകൾ നിങ്ങൾ എവിടെയാണ് കണ്ടത്? ടൈൽ മിക്കവാറും സെൻ്റീമീറ്റർ ആയിരിക്കും, തുടർന്ന് "നിങ്ങളുടെ വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണി" നിങ്ങളെ പീഡിപ്പിക്കും. അപ്പോൾ നിങ്ങൾ വർദ്ധിപ്പിക്കണം. അതിനാൽ, കുളത്തിൻ്റെ അടിഭാഗത്തിൻ്റെ ഒരു വശത്ത് ഞങ്ങൾ ടൈലുകളും (കഷണങ്ങൾ) മറുവശത്തും ടൈലുകളും ഘടിപ്പിക്കും. ഗുണിച്ചാൽ നിങ്ങൾക്ക് ടൈലുകൾ ലഭിക്കും ().

പൂൾ അടിയുടെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഒരേ സംഖ്യയെ ഗുണിച്ചതായി നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചോ? എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? നമ്മൾ ഒരേ സംഖ്യയെ ഗുണിക്കുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് "എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ" ടെക്‌നിക് ഉപയോഗിക്കാം. (തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് സംഖ്യകൾ മാത്രമുള്ളപ്പോൾ, നിങ്ങൾ അവയെ ഗുണിക്കുകയോ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുകയോ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് അവയിൽ ധാരാളം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അവയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, കൂടാതെ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പിശകുകളും കുറവാണ്. . ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക്, ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്).
അതിനാൽ, മുപ്പത് മുതൽ രണ്ടാമത്തെ ശക്തി വരെ () ആയിരിക്കും. അല്ലെങ്കിൽ മുപ്പത് സ്ക്വയർ ആകുമെന്ന് പറയാം. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയെ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ചതുരമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. തിരിച്ചും, നിങ്ങൾ ഒരു ചതുരം കാണുകയാണെങ്കിൽ, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയാണ്. ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയുടെ ചിത്രമാണ് ചതുരം.

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #2

നിങ്ങൾക്കായി ഇതാ ഒരു ടാസ്‌ക്: സംഖ്യയുടെ ചതുരം ഉപയോഗിച്ച് ചെസ്സ്ബോർഡിൽ എത്ര സ്ക്വയറുകളുണ്ടെന്ന് എണ്ണുക... സെല്ലുകളുടെ ഒരു വശത്തും മറുവശത്തും. അവയുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ എട്ടിനെ എട്ടായി ഗുണിക്കണം അല്ലെങ്കിൽ... ഒരു ചെസ്സ്ബോർഡ് ഒരു വശമുള്ള ഒരു ചതുരമാണെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് എട്ട് വർഗ്ഗീകരിക്കാം. നിങ്ങൾക്ക് സെല്ലുകൾ ലഭിക്കും. () അപ്പോൾ?

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #3

ഇപ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നാമത്തെ ശക്തി. അതേ കുളം. എന്നാൽ ഈ കുളത്തിലേക്ക് എത്ര വെള്ളം ഒഴിക്കണമെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾ വോളിയം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. (വോളിയങ്ങളും ദ്രാവകങ്ങളും, വഴിയിൽ, അളക്കുന്നത് ക്യുബിക് മീറ്റർ. അപ്രതീക്ഷിതമായി, ശരിയല്ലേ?) ഒരു കുളം വരയ്ക്കുക: ഒരു മീറ്ററും ഒരു മീറ്ററിൻ്റെ ആഴവും അളക്കുന്ന അടിഭാഗം, ഒരു മീറ്ററിന് ഒരു മീറ്റർ അളക്കുന്ന എത്ര ക്യൂബുകൾ നിങ്ങളുടെ പൂളിൽ ചേരുമെന്ന് എണ്ണാൻ ശ്രമിക്കുക.

നിങ്ങളുടെ വിരൽ ചൂണ്ടി എണ്ണുക! ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന്, നാല്...ഇരുപത്തിരണ്ട്, ഇരുപത്തിമൂന്ന്...എത്ര കിട്ടി? നഷ്ടപ്പെട്ടില്ലേ? നിങ്ങളുടെ വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണോ? അതിനാൽ! ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ നിന്ന് ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കുക. അവർ മടിയന്മാരാണ്, അതിനാൽ കുളത്തിൻ്റെ അളവ് കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ അതിൻ്റെ നീളം, വീതി, ഉയരം എന്നിവ പരസ്പരം ഗുണിക്കണമെന്ന് അവർ ശ്രദ്ധിച്ചു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, കുളത്തിൻ്റെ അളവ് ക്യൂബുകൾക്ക് തുല്യമായിരിക്കും ... എളുപ്പം, അല്ലേ?

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇതും ലളിതമാക്കിയാൽ എത്ര മടിയന്മാരും കൗശലക്കാരുമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ സങ്കൽപ്പിക്കുക. ഞങ്ങൾ എല്ലാം ഒരു പ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് ചുരുക്കി. നീളവും വീതിയും ഉയരവും തുല്യമാണെന്നും അതേ സംഖ്യയെ തന്നെ ഗുണിച്ചാൽ മതിയെന്നും അവർ ശ്രദ്ധിച്ചു... എന്താണ് ഇതിൻ്റെ അർത്ഥം? ഇതിനർത്ഥം നിങ്ങൾക്ക് ബിരുദം പ്രയോജനപ്പെടുത്താം എന്നാണ്. അതിനാൽ, നിങ്ങൾ ഒരിക്കൽ നിങ്ങളുടെ വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണിയത്, അവർ ഒരു പ്രവൃത്തിയിൽ ചെയ്യുന്നു: മൂന്ന് ക്യൂബുകൾ തുല്യമാണ്. ഇത് ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: .

അവശേഷിക്കുന്നത് അത്രമാത്രം ഡിഗ്രികളുടെ പട്ടിക ഓർക്കുക. തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെപ്പോലെ മടിയനും തന്ത്രശാലിയുമാണ്. കഠിനാധ്വാനം ചെയ്യാനും തെറ്റുകൾ വരുത്താനും നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണുന്നത് തുടരാം.

ശരി, ബിരുദങ്ങൾ ഉപേക്ഷിച്ചവരും തന്ത്രശാലികളുമായ ആളുകളാണ് അവരുടെ ജീവിത പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനും നിങ്ങൾക്കായി പ്രശ്‌നങ്ങൾ സൃഷ്‌ടിക്കുന്നതിനുമായി കണ്ടുപിടിച്ചതെന്ന് ഒടുവിൽ നിങ്ങളെ ബോധ്യപ്പെടുത്താൻ, ജീവിതത്തിൽ നിന്ന് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി ഇതാ.

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #4

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദശലക്ഷം റൂബിൾസ് ഉണ്ട്. ഓരോ വർഷത്തിൻ്റെയും തുടക്കത്തിൽ, നിങ്ങൾ സമ്പാദിക്കുന്ന ഓരോ ദശലക്ഷത്തിനും, നിങ്ങൾ മറ്റൊരു ദശലക്ഷം ഉണ്ടാക്കുന്നു. അതായത്, ഓരോ ദശലക്ഷത്തിനും ഓരോ വർഷത്തിൻ്റെയും തുടക്കത്തിൽ ഇരട്ടി വരും. വർഷങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് എത്ര പണം ഉണ്ടാകും? നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഇരുന്നു, "നിങ്ങളുടെ വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണുന്നു" എങ്കിൽ, നിങ്ങൾ വളരെ കഠിനാധ്വാനികളും ... വിഡ്ഢിയുമാണ്. എന്നാൽ മിക്കവാറും നിങ്ങൾ കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ ഉത്തരം നൽകും, കാരണം നിങ്ങൾ മിടുക്കനാണ്! അങ്ങനെ, ആദ്യ വർഷം - രണ്ടെണ്ണം രണ്ടായി ഗുണിച്ചു... രണ്ടാം വർഷം - സംഭവിച്ചത്, രണ്ടെണ്ണം കൂടി, മൂന്നാം വർഷത്തിൽ... നിർത്തുക! ഈ സംഖ്യയെ പലതവണ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചു. അതിനാൽ രണ്ട് മുതൽ അഞ്ചാമത്തെ ശക്തി ഒരു ദശലക്ഷം ആണ്! ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മത്സരം ഉണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക, ഏറ്റവും വേഗത്തിൽ എണ്ണാൻ കഴിയുന്നയാൾക്ക് ഈ ദശലക്ഷക്കണക്കിന് ലഭിക്കും ... സംഖ്യകളുടെ ശക്തികൾ ഓർക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്, അല്ലേ?

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #5

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദശലക്ഷം ഉണ്ട്. ഓരോ വർഷത്തിൻ്റെയും തുടക്കത്തിൽ, നിങ്ങൾ സമ്പാദിക്കുന്ന ഓരോ ദശലക്ഷത്തിനും, നിങ്ങൾ രണ്ടെണ്ണം കൂടി സമ്പാദിക്കുന്നു. ഗംഭീരം അല്ലേ? ഓരോ ദശലക്ഷവും മൂന്നിരട്ടിയാണ്. ഒരു വർഷത്തിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾക്ക് എത്ര പണം ലഭിക്കും? നമുക്ക് എണ്ണാം. ആദ്യ വർഷം - കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, തുടർന്ന് ഫലം മറ്റൊന്ന് കൊണ്ട്... ഇത് ഇതിനകം വിരസമാണ്, കാരണം നിങ്ങൾ ഇതിനകം എല്ലാം മനസ്സിലാക്കി: മൂന്ന് സ്വയം തവണ ഗുണിക്കുന്നു. അതിനാൽ നാലാമത്തെ ശക്തിക്ക് ഇത് ഒരു ദശലക്ഷത്തിന് തുല്യമാണ്. മൂന്ന് മുതൽ നാലാമത്തെ ശക്തി അല്ലെങ്കിൽ എന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കണം.

ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിലൂടെ നിങ്ങളുടെ ജീവിതം വളരെ എളുപ്പമാക്കുമെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്കറിയാം. ഡിഗ്രികൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്തുചെയ്യാനാകുമെന്നും അവയെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതെന്താണെന്നും നമുക്ക് കൂടുതൽ നോക്കാം.

നിബന്ധനകളും ആശയങ്ങളും... ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ

അതിനാൽ, ആദ്യം നമുക്ക് ആശയങ്ങൾ നിർവചിക്കാം. നീ എന്ത് ചിന്തിക്കുന്നു, എന്താണ് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻ്റ്? ഇത് വളരെ ലളിതമാണ് - ഇത് സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ "മുകളിൽ" ഉള്ള സംഖ്യയാണ്. ശാസ്ത്രീയമല്ല, വ്യക്തവും ഓർമിക്കാൻ എളുപ്പവുമാണ്...

ശരി, അതേ സമയം, എന്താണ് അത്തരമൊരു ബിരുദ അടിസ്ഥാനം? ഇതിലും ലളിതമാണ് - ഇത് ചുവടെ, അടിത്തറയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന സംഖ്യയാണ്.

നല്ല അളവിനുള്ള ഒരു ഡ്രോയിംഗ് ഇതാ.

നന്നായി പൊതുവായ കാഴ്ച, സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നതിനും നന്നായി ഓർമ്മിക്കുന്നതിനും വേണ്ടി... ഒരു ബേസ് "" ഉം ഒരു ഘാതം "" ഉം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം "ഡിഗ്രി" എന്ന് വായിക്കുകയും ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു:

സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി

നിങ്ങൾ ഇതിനകം ഊഹിച്ചിരിക്കാം: കാരണം ഘാതം ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. അതെ, പക്ഷേ അതെന്താണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യ? പ്രാഥമികം! ഒബ്‌ജക്‌റ്റുകൾ ലിസ്റ്റുചെയ്യുമ്പോൾ എണ്ണുന്നതിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യകളാണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ: ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന്... നമ്മൾ ഒബ്‌ജക്റ്റുകളെ എണ്ണുമ്പോൾ, “മൈനസ് അഞ്ച്,” “മൈനസ് ആറ്,” “മൈനസ് ഏഴ്” എന്ന് പറയില്ല. ഞങ്ങൾ പറയുന്നില്ല: "മൂന്നിൽ ഒന്ന്", അല്ലെങ്കിൽ "സീറോ പോയിൻ്റ് അഞ്ച്". ഇവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളല്ല. ഇവ ഏതൊക്കെ നമ്പറുകളാണെന്നാണ് നിങ്ങൾ കരുതുന്നത്?

"മൈനസ് അഞ്ച്", "മൈനസ് ആറ്", "മൈനസ് ഏഴ്" തുടങ്ങിയ സംഖ്യകൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു മുഴുവൻ സംഖ്യകൾ.പൊതുവേ, പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക് വിപരീതമായ സംഖ്യകളും (അതായത്, ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തിൽ എടുത്തത്), സംഖ്യയും ഉൾപ്പെടുന്നു. പൂജ്യം മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ് - അത് ഒന്നുമില്ലാത്ത സമയത്താണ്. നെഗറ്റീവ് ("മൈനസ്") സംഖ്യകൾ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? എന്നാൽ കടങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നതിനാണ് അവ പ്രധാനമായും കണ്ടുപിടിച്ചത്: നിങ്ങളുടെ ഫോണിൽ റൂബിളിൽ ബാലൻസ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഓപ്പറേറ്റർ റൂബിളിന് കടപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളാണ്. അവ എങ്ങനെയാണ് ഉണ്ടായത്, നിങ്ങൾ കരുതുന്നുണ്ടോ? വളരെ ലളിതം. ആയിരക്കണക്കിന് വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ്, നീളം, ഭാരം, വിസ്തീർണ്ണം മുതലായവ അളക്കാൻ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ഇല്ലെന്ന് നമ്മുടെ പൂർവ്വികർ കണ്ടെത്തി. അവർ കൂടെ വന്നു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ... രസകരമാണ്, അല്ലേ?

അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുമുണ്ട്. ഈ സംഖ്യകൾ എന്തൊക്കെയാണ്? ചുരുക്കത്തിൽ, അനന്തമായി ദശാംശം. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ ചുറ്റളവ് അതിൻ്റെ വ്യാസം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യ ലഭിക്കും.

സംഗ്രഹം:

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ (അതായത്, പൂർണ്ണസംഖ്യയും പോസിറ്റീവും) ആയ ഒരു ഡിഗ്രിയുടെ ആശയം നമുക്ക് നിർവചിക്കാം.

1. ആദ്യ ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും അതിന് തുല്യമാണ്:
2. ഒരു സംഖ്യയെ വർഗ്ഗീകരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം അതിനെ സ്വയം ഗുണിക്കുക എന്നാണ്:
3. ഒരു സംഖ്യയെ ക്യൂബ് ചെയ്യുക എന്നതിനർത്ഥം അതിനെ മൂന്ന് തവണ ഗുണിക്കുക എന്നാണ്.

നിർവ്വചനം.എന്നതിലേക്ക് നമ്പർ ഉയർത്തുക സ്വാഭാവിക ബിരുദം- അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു സംഖ്യയെ അതിൻ്റെ തവണ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക എന്നാണ്:
.

ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ഈ സ്വത്തുക്കൾ എവിടെ നിന്ന് വന്നു? ഞാൻ ഇപ്പോൾ കാണിച്ചുതരാം.

നമുക്ക് നോക്കാം: അതെന്താണ് ഒപ്പം ?

എ-പ്രിയറി:

ആകെ എത്ര ഗുണിതങ്ങൾ ഉണ്ട്?

ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്: ഞങ്ങൾ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഗുണിതങ്ങൾ ചേർത്തു, ഫലം മൾട്ടിപ്ലയറുകളാണ്.

എന്നാൽ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇത് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയാണ്, അതായത്: , അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.

ഉദാഹരണം: പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

പരിഹാരം:

ഉദാഹരണം:പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

പരിഹാരം:നമ്മുടെ ഭരണത്തിൽ അത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് നിർബന്ധമായുംഒരേ കാരണങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം!
അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശക്തികളെ അടിത്തറയുമായി സംയോജിപ്പിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഇത് ഒരു പ്രത്യേക ഘടകമായി തുടരുന്നു:

അധികാരങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് മാത്രം!

ഒരു സാഹചര്യത്തിലും നിങ്ങൾക്ക് അത് എഴുതാൻ കഴിയില്ല.

2. അത്രമാത്രം ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി

മുമ്പത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി പോലെ, നമുക്ക് ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനത്തിലേക്ക് തിരിയാം:

പദപ്രയോഗം പലതവണ ഗുണിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു, അതായത്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇതാണ് സംഖ്യയുടെ ശക്തി:

സാരാംശത്തിൽ, ഇതിനെ "ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് ഇൻഡിക്കേറ്റർ എടുക്കൽ" എന്ന് വിളിക്കാം. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് മൊത്തത്തിൽ ഒരിക്കലും ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല:

ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം: എത്ര തവണ എഴുതാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിച്ചു?

എന്നാൽ ഇത് ശരിയല്ല, എല്ലാത്തിനുമുപരി.

നെഗറ്റീവ് അടിത്തറയുള്ള പവർ

ഈ ഘട്ടം വരെ, എക്സ്പോണൻ്റ് എന്തായിരിക്കണമെന്ന് മാത്രമേ ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുള്ളൂ.

എന്നാൽ അടിസ്ഥാനം എന്തായിരിക്കണം?

യുടെ അധികാരങ്ങളിൽ സ്വാഭാവിക സൂചകംഅടിസ്ഥാനം ആയിരിക്കാം ഏതെങ്കിലും നമ്പർ. തീർച്ചയായും, നമുക്ക് ഏത് സംഖ്യകളെയും പരസ്പരം ഗുണിക്കാം, അവ പോസിറ്റീവോ നെഗറ്റീവോ പോലും.

ഏത് അടയാളങ്ങൾക്ക് ("" അല്ലെങ്കിൽ "") പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം?

ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പർ പോസിറ്റീവ് ആണോ നെഗറ്റീവ് ആണോ? എ? ? ആദ്യത്തേത് ഉപയോഗിച്ച്, എല്ലാം വ്യക്തമാണ്: നമ്മൾ എത്ര പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ പരസ്പരം ഗുണിച്ചാലും ഫലം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

എന്നാൽ നെഗറ്റീവ് ആയവ കുറച്ചുകൂടി രസകരമാണ്. ആറാം ക്ലാസിലെ ലളിതമായ നിയമം ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു: "മൈനസിന് മൈനസ് പ്ലസ് നൽകുന്നു." അതായത്, അല്ലെങ്കിൽ. എന്നാൽ നമ്മൾ ഗുണിച്ചാൽ, അത് പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് എന്ത് അടയാളമുണ്ടെന്ന് സ്വയം നിർണ്ണയിക്കുക:

നിങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്തോ?

ഉത്തരങ്ങൾ ഇതാ: ആദ്യത്തെ നാല് ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, എല്ലാം വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു? ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനവും ഘാതം നോക്കുകയും ഉചിതമായ നിയമം പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ഉദാഹരണം 5) എല്ലാം തോന്നുന്നത്ര ഭയാനകമല്ല: എല്ലാത്തിനുമുപരി, അടിസ്ഥാനം തുല്യമാണെന്നത് പ്രശ്നമല്ല - ബിരുദം തുല്യമാണ്, അതായത് ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

ശരി, അടിസ്ഥാനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ഒഴികെ. അടിസ്ഥാനം തുല്യമല്ല, അല്ലേ? വ്യക്തമായും ഇല്ല, മുതൽ (കാരണം).

ഉദാഹരണം 6) ഇനി അത്ര ലളിതമല്ല!

പരിശീലനത്തിനുള്ള 6 ഉദാഹരണങ്ങൾ

പരിഹാരത്തിൻ്റെ വിശകലനം 6 ഉദാഹരണങ്ങൾ

എട്ടാമത്തെ ശക്തിയെ നമ്മൾ അവഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമ്മൾ ഇവിടെ എന്താണ് കാണുന്നത്? ഏഴാം ക്ലാസ്സിലെ പരിപാടി ഓർക്കാം. അപ്പോൾ, നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? ഇതാണ് ചുരുക്കിയ ഗുണനത്തിനുള്ള ഫോർമുല, അതായത് ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം! നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

നമുക്ക് ഡിനോമിനേറ്റർ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കാം. ഇത് ന്യൂമറേറ്റർ ഘടകങ്ങളിലൊന്നായി കാണപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ എന്താണ് തെറ്റ്? വ്യവസ്ഥകളുടെ ക്രമം തെറ്റാണ്. അവ തിരിച്ചെടുത്താൽ, നിയമം ബാധകമാകും.

എന്നാൽ അത് എങ്ങനെ ചെയ്യണം? ഇത് വളരെ എളുപ്പമാണെന്ന് മാറുന്നു: ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ ഇരട്ട ബിരുദം ഇവിടെ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നു.

മാന്ത്രികമായി നിബന്ധനകൾ സ്ഥലങ്ങൾ മാറ്റി. ഈ "പ്രതിഭാസം" ഏത് പദപ്രയോഗത്തിനും തുല്യമായ അളവിൽ ബാധകമാണ്: നമുക്ക് പരാൻതീസിസിലെ അടയാളങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ മാറ്റാൻ കഴിയും.

എന്നാൽ ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്: എല്ലാ അടയാളങ്ങളും ഒരേ സമയം മാറുന്നു!

നമുക്ക് ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം:

വീണ്ടും ഫോർമുല:

മുഴുവൻനമ്മൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെയും അവയുടെ വിപരീതങ്ങളെയും (അതായത്, "" ചിഹ്നത്തോടൊപ്പം എടുത്തത്) സംഖ്യയെയും വിളിക്കുന്നു.

മുഴുവൻ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ , കൂടാതെ ഇത് സ്വാഭാവികത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല, അപ്പോൾ എല്ലാം മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ കൃത്യമായി കാണപ്പെടുന്നു.

ഇനി പുതിയ കേസുകൾ നോക്കാം. തുല്യമായ ഒരു സൂചകം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഒന്നിന് തുല്യമാണ്:

എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, നമുക്ക് സ്വയം ചോദിക്കാം: എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത്?

അടിസ്ഥാനം ഉപയോഗിച്ച് കുറച്ച് ഡിഗ്രി പരിഗണിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന് എടുത്ത് ഗുണിക്കുക:

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സംഖ്യയെ ഗുണിച്ചു, ഞങ്ങൾക്ക് അതേ കാര്യം ലഭിച്ചു - . ഒന്നും മാറാതിരിക്കാൻ ഏത് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം? അത് ശരിയാണ്, ഓൺ. അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും:

നമുക്ക് നിയമം ആവർത്തിക്കാം:

പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

എന്നാൽ പല നിയമങ്ങൾക്കും അപവാദങ്ങളുണ്ട്. ഇവിടെയും ഉണ്ട് - ഇതൊരു സംഖ്യയാണ് (അടിസ്ഥാനമായി).

ഒരു വശത്ത്, അത് ഏത് ഡിഗ്രിക്കും തുല്യമായിരിക്കണം - നിങ്ങൾ പൂജ്യത്തെ എത്രമാത്രം ഗുണിച്ചാലും നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം ലഭിക്കും, ഇത് വ്യക്തമാണ്. എന്നാൽ മറുവശത്ത്, പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും പോലെ, അത് തുല്യമായിരിക്കണം. അപ്പോൾ ഇതിൽ എത്രത്തോളം സത്യമുണ്ട്? ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇടപെടേണ്ടതില്ലെന്ന് തീരുമാനിക്കുകയും പൂജ്യം പൂജ്യത്തിലേക്ക് ഉയർത്താൻ വിസമ്മതിക്കുകയും ചെയ്തു. അതായത്, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കാൻ മാത്രമല്ല, പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താനും കഴിയില്ല.

നമുക്ക് നീങ്ങാം. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും സംഖ്യകൾക്കും പുറമേ, പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളും ഉൾപ്പെടുന്നു. നെഗറ്റീവ് ഡിഗ്രി എന്താണെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, കഴിഞ്ഞ തവണ പോലെ നമുക്ക് ചെയ്യാം: കുറച്ച് സാധാരണ സംഖ്യയെ അതേ ഒന്നുകൊണ്ട് ഗുണിക്കുക നെഗറ്റീവ് ബിരുദം:

ഇവിടെ നിന്ന് നിങ്ങൾ തിരയുന്നത് പ്രകടിപ്പിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്:

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നിയമം ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ ഡിഗ്രിയിലേക്ക് നീട്ടാം:

അതിനാൽ, നമുക്ക് ഒരു നിയമം രൂപപ്പെടുത്താം:

നെഗറ്റീവ് പവർ ഉള്ള ഒരു സംഖ്യ, പോസിറ്റീവ് പവർ ഉള്ള അതേ സംഖ്യയുടെ വിപരീതമാണ്. എന്നാൽ അതേ സമയം അടിസ്ഥാനം ശൂന്യമാക്കാൻ കഴിയില്ല:(കാരണം നിങ്ങൾക്ക് വിഭജിക്കാൻ കഴിയില്ല).

നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം:

I. കേസിൽ പദപ്രയോഗം നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. എങ്കിൽ, പിന്നെ.

II. പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഒന്നിന് തുല്യമാണ്: .

III. പൂജ്യത്തിനും നെഗറ്റീവ് പവറിനും തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ പോസിറ്റീവ് പവറിലേക്കുള്ള അതേ സംഖ്യയുടെ വിപരീതമാണ്: .

സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ചുമതലകൾ:

ശരി, പതിവുപോലെ, സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ:

സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ വിശകലനം:

എനിക്കറിയാം, എനിക്കറിയാം, അക്കങ്ങൾ ഭയാനകമാണ്, എന്നാൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിങ്ങൾ എന്തിനും തയ്യാറായിരിക്കണം! നിങ്ങൾക്ക് അവ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ പരിഹാരങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുക, പരീക്ഷയിൽ അവ എളുപ്പത്തിൽ നേരിടാൻ നിങ്ങൾ പഠിക്കും!

"അനുയോജ്യമായ" സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് ആയി വികസിപ്പിക്കുന്നത് തുടരാം.

ഇനി നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ.ഏത് സംഖ്യകളെയാണ് യുക്തിസഹമെന്ന് വിളിക്കുന്നത്?

ഉത്തരം: ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്ന എല്ലാം, എവിടെ, പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ, കൂടാതെ.

അത് എന്താണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ "ഫ്രാക്ഷണൽ ഡിഗ്രി", ഭിന്നസംഖ്യ പരിഗണിക്കുക:

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താം:

ഇനി നമുക്ക് നിയമം ഓർക്കാം "ഡിഗ്രി മുതൽ ഡിഗ്രി വരെ":

ലഭിക്കുന്നതിന് ഏത് സംഖ്യയെ പവറായി ഉയർത്തണം?

ഈ ഫോർമുലേഷൻ ആണ് ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനം.

ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ: ഒരു സംഖ്യയുടെ () ശക്തിയുടെ റൂട്ട് ഒരു സംഖ്യയാണ്, അത് ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ തുല്യമാണ്.

അതായത്, ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിൻ്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ് th ശക്തിയുടെ റൂട്ട്: .

അത് മാറുന്നു. വ്യക്തമായും ഇത് പ്രത്യേക കേസ്വിപുലീകരിക്കാൻ കഴിയും: .

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ന്യൂമറേറ്റർ ചേർക്കുന്നു: അതെന്താണ്? പവർ-ടു-പവർ റൂൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ എളുപ്പമാണ്:

എന്നാൽ അടിസ്ഥാനം ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ ആയിരിക്കുമോ? എല്ലാത്തിനുമുപരി, എല്ലാ സംഖ്യകളിൽ നിന്നും റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഒന്നുമില്ല!

നമുക്ക് നിയമം ഓർമ്മിക്കാം: ഇരട്ട ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയ ഏതൊരു സംഖ്യയും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. അതായത്, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് വേരുകൾ പോലും വേർതിരിച്ചെടുക്കുക അസാധ്യമാണ്!

ഇതിനർത്ഥം അത്തരം സംഖ്യകളെ ഇരട്ട ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ പവറിലേക്ക് ഉയർത്താൻ കഴിയില്ല, അതായത്, പദപ്രയോഗത്തിന് അർത്ഥമില്ല.

എക്സ്പ്രഷൻ്റെ കാര്യമോ?

എന്നാൽ ഇവിടെ ഒരു പ്രശ്നം ഉയർന്നുവരുന്നു.

സംഖ്യയെ മറ്റ്, കുറയ്ക്കാവുന്ന ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, അല്ലെങ്കിൽ.

അത് നിലവിലുണ്ട്, പക്ഷേ നിലവിലില്ല, എന്നാൽ ഇവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത റെക്കോർഡുകൾ മാത്രമാണ്.

അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം: ഒരിക്കൽ, നിങ്ങൾക്ക് അത് എഴുതാം. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ സൂചകം വ്യത്യസ്തമായി എഴുതുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ വീണ്ടും കുഴപ്പത്തിലാകും: (അതായത്, ഞങ്ങൾക്ക് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഫലം ലഭിച്ചു!).

അത്തരം വിരോധാഭാസങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള പോസിറ്റീവ് ബേസ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് മാത്രം.

അങ്ങനെയാണെങ്കില്:

• - സ്വാഭാവിക സംഖ്യ;
• - പൂർണ്ണസംഖ്യ;

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

പദപ്രയോഗങ്ങളെ വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നതിന് യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്:

പരിശീലനത്തിനുള്ള 5 ഉദാഹരണങ്ങൾ

പരിശീലനത്തിനുള്ള 5 ഉദാഹരണങ്ങളുടെ വിശകലനം

ശരി, ഇപ്പോൾ ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഭാഗം വരുന്നു. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അത് മനസ്സിലാക്കും ഡിഗ്രി സി യുക്തിരഹിതമായ സൂചകം .

ഇവിടെയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങളും ഗുണങ്ങളും, ഒഴികെ, യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദത്തിന് തുല്യമാണ്.

എല്ലാത്തിനുമുപരി, നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച്, അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയാത്ത സംഖ്യകളാണ്, എവിടെയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുമാണ് (അതായത്, അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ യുക്തിസഹമായവ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്).

സ്വാഭാവിക, പൂർണ്ണസംഖ്യ, യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രികൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ തവണയും ഞങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത "ചിത്രം", "സാദൃശ്യം" അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ പരിചിതമായ പദങ്ങളിൽ വിവരണം സൃഷ്ടിച്ചു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ് പലതവണ ഗുണിച്ചാൽ;

...പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള സംഖ്യ- ഇത്, ഒരു തവണ സ്വയം ഗുണിച്ച ഒരു സംഖ്യയാണ്, അതായത്, അവർ ഇതുവരെ അത് വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ തുടങ്ങിയിട്ടില്ല, അതിനർത്ഥം ആ സംഖ്യ ഇതുവരെ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടിട്ടില്ല എന്നാണ് - അതിനാൽ ഫലം ഒരു നിശ്ചിത "ശൂന്യ സംഖ്യ" മാത്രമാണ്. , അതായത് ഒരു നമ്പർ;

...നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ ബിരുദം- എന്തോ സംഭവിച്ചത് പോലെ " വിപരീത പ്രക്രിയ", അതായത്, സംഖ്യ സ്വയം ഗുണിച്ചില്ല, മറിച്ച് വിഭജിക്കപ്പെട്ടു.

വഴിയിൽ, ശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, അതായത്, ഘാതം ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ പോലുമല്ല.

എന്നാൽ സ്കൂളിൽ ഞങ്ങൾ അത്തരം ബുദ്ധിമുട്ടുകളെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുന്നില്ല;

നിങ്ങൾ എവിടെ പോകുമെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പുണ്ട്! (അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾ പഠിക്കുകയാണെങ്കിൽ :))

ഉദാഹരണത്തിന്:

സ്വയം തീരുമാനിക്കുക:

പരിഹാരങ്ങളുടെ വിശകലനം:

1. ഒരു പവർ ഒരു പവർ ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള സാധാരണ നിയമത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം:

ഇപ്പോൾ സൂചകം നോക്കുക. അവൻ നിങ്ങളെ ഒന്നും ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നില്ലേ? ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ സംക്ഷിപ്ത ഗുണനത്തിനുള്ള ഫോർമുല നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ,

ഇത് മാറുന്നു:

ഉത്തരം: .

2. ഞങ്ങൾ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളിലെ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരേ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു: ഒന്നുകിൽ ദശാംശങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും സാധാരണമായവ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

ഉത്തരം: 16

3. പ്രത്യേകിച്ചൊന്നുമില്ല, ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികളുടെ സാധാരണ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

അഡ്വാൻസ്ഡ് ലെവൽ

ബിരുദം നിർണ്ണയിക്കൽ

ഡിഗ്രി എന്നത് ഫോമിൻ്റെ ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്: , എവിടെ:

• — ഡിഗ്രി അടിസ്ഥാനം;
• - ഘാതം.

സ്വാഭാവിക സൂചകത്തോടുകൂടിയ ബിരുദം (n = 1, 2, 3,...)

ഒരു സംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക ശക്തിയായ n-ലേക്ക് ഉയർത്തുക എന്നതിനർത്ഥം സംഖ്യയെ അതിൻ്റെ തവണ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക എന്നാണ്.

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം (0, ±1, ±2,...)

ഘാതം ആണെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യനമ്പർ:

നിർമ്മാണം പൂജ്യം ഡിഗ്രി വരെ:

പദപ്രയോഗം അനിശ്ചിതത്വമാണ്, കാരണം, ഒരു വശത്ത്, ഏത് അളവിലും ഇതാണ്, മറുവശത്ത്, ഡിഗ്രിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഇതാണ്.

ഘാതം ആണെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യനമ്പർ:

(കാരണം നിങ്ങൾക്ക് വിഭജിക്കാൻ കഴിയില്ല).

പൂജ്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഒരിക്കൽ കൂടി: പദപ്രയോഗം കേസിൽ നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. എങ്കിൽ, പിന്നെ.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള പവർ

• - സ്വാഭാവിക സംഖ്യ;
• - പൂർണ്ണസംഖ്യ;

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം: ഈ പ്രോപ്പർട്ടികൾ എവിടെ നിന്നാണ് വന്നത്? നമുക്ക് അവ തെളിയിക്കാം.

നമുക്ക് നോക്കാം: എന്താണ്, എന്താണ്?

എ-പ്രിയറി:

അതിനാൽ, ഈ പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഉൽപ്പന്നം ലഭിക്കും:

എന്നാൽ നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഇത് ഒരു ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയാണ്, അതായത്:

ക്യു.ഇ.ഡി.

ഉദാഹരണം : പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

പരിഹാരം : .

ഉദാഹരണം : പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

പരിഹാരം : നമ്മുടെ ഭരണത്തിൽ അത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് നിർബന്ധമായുംഒരേ കാരണങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ശക്തികളെ അടിത്തറയുമായി സംയോജിപ്പിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഇത് ഒരു പ്രത്യേക ഘടകമായി തുടരുന്നു:

മറ്റൊരു പ്രധാന കുറിപ്പ്: ഈ നിയമം - അധികാരങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് മാത്രം!

ഒരു സാഹചര്യത്തിലും നിങ്ങൾക്ക് അത് എഴുതാൻ കഴിയില്ല.

മുമ്പത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി പോലെ, നമുക്ക് ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനത്തിലേക്ക് തിരിയാം:

നമുക്ക് ഈ ജോലി ഇതുപോലെ പുനഃസംഘടിപ്പിക്കാം:

പദപ്രയോഗം പലതവണ ഗുണിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു, അതായത്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇതാണ് സംഖ്യയുടെ ശക്തി:

സാരാംശത്തിൽ, ഇതിനെ "ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് ഇൻഡിക്കേറ്റർ എടുക്കൽ" എന്ന് വിളിക്കാം. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് മൊത്തത്തിൽ ഒരിക്കലും ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല: !

ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം: എത്ര തവണ എഴുതാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിച്ചു? എന്നാൽ ഇത് ശരിയല്ല, എല്ലാത്തിനുമുപരി.

നെഗറ്റീവ് അടിത്തറയുള്ള പവർ.

അത് എങ്ങനെയായിരിക്കണമെന്ന് മാത്രമാണ് ഞങ്ങൾ ഇത് വരെ ചർച്ച ചെയ്തത് സൂചികഡിഗ്രികൾ. എന്നാൽ അടിസ്ഥാനം എന്തായിരിക്കണം? യുടെ അധികാരങ്ങളിൽ സ്വാഭാവികം സൂചകം അടിസ്ഥാനം ആയിരിക്കാം ഏതെങ്കിലും നമ്പർ .

തീർച്ചയായും, നമുക്ക് ഏത് സംഖ്യകളെയും പരസ്പരം ഗുണിക്കാം, അവ പോസിറ്റീവോ നെഗറ്റീവോ പോലും. ഏത് അടയാളങ്ങൾക്ക് ("" അല്ലെങ്കിൽ "") പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം?

ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പർ പോസിറ്റീവ് ആണോ നെഗറ്റീവ് ആണോ? എ? ?

ആദ്യത്തേത് ഉപയോഗിച്ച്, എല്ലാം വ്യക്തമാണ്: നമ്മൾ എത്ര പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ പരസ്പരം ഗുണിച്ചാലും ഫലം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

എന്നാൽ നെഗറ്റീവ് ആയവ കുറച്ചുകൂടി രസകരമാണ്. ആറാം ക്ലാസിലെ ലളിതമായ നിയമം ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു: "മൈനസിന് മൈനസ് പ്ലസ് നൽകുന്നു." അതായത്, അല്ലെങ്കിൽ. എന്നാൽ () കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും - .

അങ്ങനെ പരസ്യ അനന്തതയിൽ: ഓരോ തുടർന്നുള്ള ഗുണനത്തിലും ചിഹ്നം മാറും. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ രൂപപ്പെടുത്താം ലളിതമായ നിയമങ്ങൾ:

1. പോലുംബിരുദം, - നമ്പർ പോസിറ്റീവ്.
2. നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായി ഉയർത്തി വിചിത്രമായബിരുദം, - നമ്പർ നെഗറ്റീവ്.
3. ഏത് അളവിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.
4. ഏത് ശക്തിക്കും പൂജ്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് എന്ത് അടയാളമുണ്ടെന്ന് സ്വയം നിർണ്ണയിക്കുക:

നിങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്തോ? ഉത്തരങ്ങൾ ഇതാ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ആദ്യത്തെ നാല് ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, എല്ലാം വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു? ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനവും ഘാതം നോക്കുകയും ഉചിതമായ നിയമം പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 5) എല്ലാം തോന്നുന്നത്ര ഭയാനകമല്ല: എല്ലാത്തിനുമുപരി, അടിസ്ഥാനം തുല്യമാണെന്നത് പ്രശ്നമല്ല - ബിരുദം തുല്യമാണ്, അതായത് ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും. ശരി, അടിസ്ഥാനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ഒഴികെ. അടിസ്ഥാനം തുല്യമല്ല, അല്ലേ? വ്യക്തമായും ഇല്ല, മുതൽ (കാരണം).

ഉദാഹരണം 6) ഇനി അത്ര ലളിതമല്ല. ഏതാണ് കുറവ് എന്ന് ഇവിടെ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്: അല്ലെങ്കിൽ? നമ്മൾ അത് ഓർക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് വ്യക്തമാകും, അതിനാൽ അടിസ്ഥാനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവ്. അതായത്, ഞങ്ങൾ നിയമം 2 പ്രയോഗിക്കുന്നു: ഫലം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

വീണ്ടും ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കുന്നു:

എല്ലാം പതിവുപോലെ - ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികളുടെ നിർവചനം എഴുതുകയും അവയെ പരസ്പരം വിഭജിക്കുകയും ജോഡികളായി വിഭജിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

അവസാന നിയമം നോക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാം.

പദപ്രയോഗങ്ങൾ കണക്കാക്കുക:

പരിഹാരങ്ങൾ :

എട്ടാമത്തെ ശക്തിയെ നമ്മൾ അവഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമ്മൾ ഇവിടെ എന്താണ് കാണുന്നത്? ഏഴാം ക്ലാസ്സിലെ പരിപാടി ഓർക്കാം. അപ്പോൾ, നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? ഇതാണ് ചുരുക്കിയ ഗുണനത്തിനുള്ള ഫോർമുല, അതായത് ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം!

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

നമുക്ക് ഡിനോമിനേറ്റർ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കാം. ഇത് ന്യൂമറേറ്റർ ഘടകങ്ങളിലൊന്നായി കാണപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ എന്താണ് തെറ്റ്? വ്യവസ്ഥകളുടെ ക്രമം തെറ്റാണ്. അവ മറിച്ചാണെങ്കിൽ, ചട്ടം 3 ബാധകമാകും, പക്ഷേ എങ്ങനെ? ഇത് വളരെ എളുപ്പമാണെന്ന് മാറുന്നു: ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ ഇരട്ട ബിരുദം ഇവിടെ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾ അതിനെ ഗുണിച്ചാൽ, ഒന്നും മാറില്ല, അല്ലേ? എന്നാൽ ഇപ്പോൾ ഇത് ഇതുപോലെ മാറുന്നു:

മാന്ത്രികമായി നിബന്ധനകൾ സ്ഥലങ്ങൾ മാറ്റി. ഈ "പ്രതിഭാസം" ഏത് പദപ്രയോഗത്തിനും തുല്യമായ അളവിൽ ബാധകമാണ്: നമുക്ക് പരാൻതീസിസിലെ അടയാളങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ മാറ്റാൻ കഴിയും. എന്നാൽ ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്: എല്ലാ അടയാളങ്ങളും ഒരേ സമയം മാറുന്നു!ഞങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടപ്പെടാത്ത ഒരു പോരായ്മ മാത്രം മാറ്റി നിങ്ങൾക്ക് അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയില്ല!

നമുക്ക് ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം:

വീണ്ടും ഫോർമുല:

അതിനാൽ ഇപ്പോൾ അവസാന നിയമം:

ഞങ്ങൾ അത് എങ്ങനെ തെളിയിക്കും? തീർച്ചയായും, പതിവുപോലെ: ബിരുദം എന്ന ആശയം വികസിപ്പിക്കുകയും ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യാം:

ശരി, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം. ആകെ എത്ര അക്ഷരങ്ങൾ ഉണ്ട്? ഗുണിതങ്ങളുടെ സമയങ്ങൾ - ഇത് നിങ്ങളെ എന്താണ് ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നത്? ഇത് ഒരു ഓപ്പറേഷൻ്റെ നിർവചനമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല ഗുണനം: അവിടെ ഗുണിതങ്ങൾ മാത്രമേ ഉണ്ടായിരുന്നുള്ളൂ. അതായത്, ഇത്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയാണ്:

ഉദാഹരണം:

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം

ശരാശരി തലത്തിനായുള്ള ഡിഗ്രികളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾക്ക് പുറമേ, യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രി വിശകലനം ചെയ്യും. ഇവിടെയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങളും ഗുണങ്ങളും ഒരു യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണ്, ഒഴികെ - എല്ലാത്തിനുമുപരി, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയാത്ത സംഖ്യകളാണ്, എവിടെയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളും (അതായത് , അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ യുക്തിസഹ സംഖ്യകൾ ഒഴികെ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്).

സ്വാഭാവിക, പൂർണ്ണസംഖ്യ, യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾ എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രികൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ തവണയും ഞങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത "ചിത്രം", "സാദൃശ്യം" അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ പരിചിതമായ പദങ്ങളിൽ വിവരണം സൃഷ്ടിച്ചു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ് പലതവണ ഗുണിച്ചാൽ; പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഒരു സംഖ്യ, അത് പോലെ, ഒരിക്കൽ സ്വയം ഗുണിച്ച ഒരു സംഖ്യയാണ്, അതായത്, അവർ ഇതുവരെ അതിനെ ഗുണിക്കാൻ തുടങ്ങിയിട്ടില്ല, അതായത് ആ സംഖ്യ ഇതുവരെ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടിട്ടില്ല - അതിനാൽ ഫലം ഒരു നിശ്ചിതമാണ് "ശൂന്യമായ നമ്പർ", അതായത് ഒരു നമ്പർ; ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു ബിരുദം - ഇത് ചില “റിവേഴ്സ് പ്രോസസ്” സംഭവിച്ചതുപോലെയാണ്, അതായത്, സംഖ്യ സ്വയം ഗുണിച്ചില്ല, മറിച്ച് വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു.

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം സങ്കൽപ്പിക്കുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ് (ഒരു 4-ഡൈമൻഷണൽ സ്പേസ് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ പ്രയാസമുള്ളതുപോലെ). ഇത് തികച്ചും ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഒരു വസ്തുവാണ്, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ബിരുദം എന്ന ആശയം സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ സ്ഥലത്തേക്കും വ്യാപിപ്പിക്കാൻ സൃഷ്ടിച്ചു.

വഴിയിൽ, ശാസ്ത്രത്തിൽ ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, അതായത്, ഘാതം ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ പോലുമല്ല. എന്നാൽ സ്കൂളിൽ ഞങ്ങൾ അത്തരം ബുദ്ധിമുട്ടുകളെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുന്നില്ല;

യുക്തിരഹിതമായ ഒരു ഘാതം കണ്ടാൽ നമ്മൾ എന്തുചെയ്യും? അത് ഇല്ലാതാക്കാൻ ഞങ്ങൾ പരമാവധി ശ്രമിക്കുന്നു. :)

ഉദാഹരണത്തിന്:

സ്വയം തീരുമാനിക്കുക:

ഉത്തരങ്ങൾ:

1. സ്ക്വയർ ഫോർമുലയുടെ വ്യത്യാസം നമുക്ക് ഓർക്കാം. ഉത്തരം: .
2. ഞങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരേ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നു: ഒന്നുകിൽ ദശാംശങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും സാധാരണമായവ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്: .
3. പ്രത്യേകിച്ചൊന്നുമില്ല, ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികളുടെ സാധാരണ ഗുണങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

വിഭാഗത്തിൻ്റെ സംഗ്രഹവും അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങളും

ഡിഗ്രിഫോമിൻ്റെ ഒരു പദപ്രയോഗം എന്ന് വിളിക്കുന്നു: , എവിടെ:

ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം

ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യ (അതായത്, പൂർണ്ണസംഖ്യയും പോസിറ്റീവ്) ആയ ഘാതം.

യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള പവർ

ഡിഗ്രി, ഇതിൻ്റെ ഘാതം നെഗറ്റീവ്, ഫ്രാക്ഷണൽ സംഖ്യകളാണ്.

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം

അനന്തമായ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയോ മൂലമോ ആയ ഘാതം.

ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ഡിഗ്രിയുടെ സവിശേഷതകൾ.

• നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായി ഉയർത്തി പോലുംബിരുദം, - നമ്പർ പോസിറ്റീവ്.
• നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായി ഉയർത്തി വിചിത്രമായബിരുദം, - നമ്പർ നെഗറ്റീവ്.
• ഏത് അളവിലും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.
• പൂജ്യം ഏത് ശക്തിക്കും തുല്യമാണ്.
• പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും തുല്യമാണ്.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് വാക്ക് ഉണ്ട്...

നിങ്ങൾക്ക് ലേഖനം എങ്ങനെ ഇഷ്ടപ്പെട്ടു? നിങ്ങൾക്ക് ഇഷ്ടപ്പെട്ടാലും ഇല്ലെങ്കിലും താഴെ കമൻ്റുകളിൽ എഴുതുക.

ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിങ്ങളുടെ അനുഭവത്തെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങളോട് പറയുക.

ഒരുപക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് ചോദ്യങ്ങളുണ്ടാകാം. അല്ലെങ്കിൽ നിർദ്ദേശങ്ങൾ.

അഭിപ്രായങ്ങളിൽ എഴുതുക.

നിങ്ങളുടെ പരീക്ഷകളിൽ ആശംസകൾ!

ബയോളജിയിലെ ഇൻഫർമേഷൻ ബൂം - പെട്രി ഡിഷിലെ സൂക്ഷ്മാണുക്കളുടെ കോളനികൾ ഓസ്‌ട്രേലിയയിലെ മുയലുകൾ ചെയിൻ പ്രതികരണങ്ങൾ - രസതന്ത്രത്തിൽ ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ - റേഡിയോ ആക്ടീവ് ക്ഷയം, മാറ്റം അന്തരീക്ഷമർദ്ദംഉയരത്തിലെ മാറ്റത്തോടെ, ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ ശരീരത്തിൻ്റെ തണുപ്പിക്കൽ - റേഡിയോ ആക്ടീവ് ക്ഷയം, ഉയരത്തിലെ മാറ്റത്തിനൊപ്പം അന്തരീക്ഷമർദ്ദത്തിലെ മാറ്റം, ശരീരത്തിൻ്റെ തണുപ്പിക്കൽ. ഓരോ 10 വർഷത്തിലും വിവരങ്ങളുടെ അളവ് ഇരട്ടിയാകുമെന്നും അവർ അവകാശപ്പെടുന്നു.

(3/5) -1 a 1 3 1/2 (4/9) 0 a *81 (1/2) -3 a -n 36 1/2* 8 1/ /3 2 -3.5

എക്സ്പ്രഷൻ 2 x 2 2 =4 2 5 = = =1/2 4 =1/16 2 4/3 = 32 4 = .5 = 1/2 3.5 =1/2 7= 1/(8 2)= 2/ 16 2)=

3=1, … 1; 1.7 1.73; 1.732;1.73205; 1,;... ക്രമം വർദ്ധിക്കുന്നു 2 1 ; 2 1.7; 2 1.73;2 1.732; 2 1.73205; 2 1, ;... സീക്വൻസ് ബൗണ്ടഡ് വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു, അതായത് അത് ഒരു പരിധിയിലേക്ക് ഒത്തുചേരുന്നു - മൂല്യം 2 3

ഒരാൾക്ക് π 0 നിർവചിക്കാം

10 10 18 y = a x n \ n a >10 10 10 10 10 title=" y = a x n \ n a >10 21 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ

ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിൽ ഓരോ 10 വർഷത്തിലും വിവരങ്ങളുടെ അളവ് ഇരട്ടിയാകുന്നു - ഗണിത പുരോഗതിയുടെ നിയമം അനുസരിച്ച്: 1,2,3,4.... Oy അക്ഷത്തിൽ - നിയമം അനുസരിച്ച് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി: 2 1.2 2.2 3.2 4 ... ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ്, അതിനെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ലാറ്റിൻ എക്‌സ്‌പോണറിൽ നിന്ന് - കാണിക്കാൻ)

ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു ബിരുദം, അതിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

എക്സ്പ്രഷൻ a n n≤0-നുള്ള a=0 ഒഴികെ എല്ലാ a, n എന്നിവയ്ക്കും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. അത്തരം ശക്തികളുടെ സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം.

ഏത് സംഖ്യകൾക്കും a, b, ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ m, n എന്നിവയുടെ തുല്യതകൾ സാധുവാണ്:

A m *a n = a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn ; (ab) n = a n *b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്വത്തുക്കളും ശ്രദ്ധിക്കുക:

m>n ആണെങ്കിൽ, a m >a n for a>1, a m<а n при 0<а<1.

ഈ വിഭാഗത്തിൽ, ടൈപ്പ് 2 ൻ്റെ പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് അർത്ഥം നൽകുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തികളെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയം ഞങ്ങൾ സാമാന്യവൽക്കരിക്കും 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 മുതലായവ. യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള ശക്തികൾക്ക് ഒരു പൂർണ്ണ ഘാതം ഉള്ള പവറുകളുടെ അതേ ഗുണങ്ങൾ (അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ ഭാഗമെങ്കിലും) ഉള്ള വിധത്തിൽ ഒരു നിർവചനം നൽകുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്. അപ്പോൾ, പ്രത്യേകിച്ച്, സംഖ്യയുടെ nth ശക്തിa എന്നതിന് തുല്യമായിരിക്കണംഎം . തീർച്ചയായും, സ്വത്താണെങ്കിൽ

(a p) q =a pq

നടപ്പിലാക്കുന്നു, തുടർന്ന്

അവസാന സമത്വം അർത്ഥമാക്കുന്നത് (nth റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനം പ്രകാരം) സംഖ്യ എന്നാണ്a യുടെ nth റൂട്ട് ആയിരിക്കണംഎം.

നിർവ്വചനം.

ഒരു സംഖ്യാ ഘാതം r= ഉള്ള a>0 എന്ന സംഖ്യയുടെ ശക്തി, ഇവിടെ m ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും (n > 1) ആണ്.

അതിനാൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്

(1)

പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾക്ക് മാത്രമാണ് 0 ൻ്റെ ശക്തി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്; നിർവചനം പ്രകാരം 0ഏത് r>0 നും r = 0.

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് ബിരുദം.

യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യരൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാംയുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയുടെ പരിധി: .

അനുവദിക്കുക . പിന്നെ ഒരു യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള ശക്തികൾ ഉണ്ട്. ഈ ശക്തികളുടെ ക്രമം ഒത്തുചേരുന്നതായി തെളിയിക്കാനാകും. ഈ ശ്രേണിയുടെ പരിധി വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാനവും യുക്തിരഹിതവുമായ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം: .

y = 2 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ നമുക്ക് നിരവധി പോയിൻ്റുകൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം x ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മുമ്പ് മൂല്യം 2 കണക്കാക്കി x സെഗ്മെൻ്റിൽ [-2; 3] 1/4 ഘട്ടം (ചിത്രം 1, എ), തുടർന്ന് 1/8 ഘട്ടം (ചിത്രം 1, ബി) 1/16, 1/32 ഘട്ടങ്ങളുള്ള അതേ നിർമ്മാണങ്ങൾ തുടരുക. മുതലായവ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോയിൻ്റുകൾ ഒരു മിനുസമാർന്ന കർവ് ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, അത് സ്വാഭാവികമായും ചില ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫായി കണക്കാക്കാം, മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലും നിർവചിക്കുകയും വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.യുക്തിസഹമായ പോയിൻ്റുകളിൽ(ചിത്രം 1, സി). ആവശ്യത്തിന് പണിതു വലിയ സംഖ്യഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് പോയിൻ്റുകൾ, ഈ ഫംഗ്‌ഷന് സമാന ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പാക്കാൻ കഴിയും (വ്യത്യാസം ഫംഗ്‌ഷനാണ് R) കുറയുന്നു.

ഈ നിരീക്ഷണങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് അക്കങ്ങൾ 2 ഇങ്ങനെ നിർവചിക്കാമെന്നാണ്α കൂടാതെ ഓരോ യുക്തിരഹിതമായ α യ്ക്കും, y=2 ഫോർമുലകൾ നൽകുന്ന ഫംഗ്ഷനുകൾ x ഒപ്പം തുടർച്ചയായി ആയിരിക്കും, ഫംഗ്‌ഷൻ y=2 x വർദ്ധിക്കുന്നു, ഒപ്പം പ്രവർത്തനവുംമുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലും കുറയുന്നു.

a എന്ന സംഖ്യ എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പൊതുവായി വിവരിക്കാം α a>1 എന്നതിന് യുക്തിരഹിതമായ α. y = a എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഉറപ്പാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു x വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരുന്നു. അപ്പോൾ ഏതെങ്കിലും യുക്തിസഹമായ ആർ 1 ഉം r 2 ഉം r 1<αഅസമത്വങ്ങൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം a r 1<а α <а r 1 .

r മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു 1 ഉം r 2 ഉം x നെ സമീപിക്കുമ്പോൾ, a യുടെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ ഒരാൾക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം r 1 ഉം a r 2 ഉം ചെറിയ വ്യത്യാസമുണ്ടാകും. എല്ലാറ്റിനേക്കാളും വലുതായ y എന്ന സംഖ്യ മാത്രമേ നിലവിലുണ്ടെന്നും തെളിയിക്കാൻ കഴിയൂ r 1 എല്ലാ യുക്തിസഹമായ ആർ 1 ഉം കുറഞ്ഞത് ഒരു ആർ 2 ഉം എല്ലാ യുക്തിസഹമായ ആർ 2 . ഈ സംഖ്യ y എന്നത് നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച് a ആണ് α .

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മൂല്യം 2 കണക്കാക്കുക x, x n, x` n എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ, ഇവിടെ x n, x` n എന്നിവ - സംഖ്യകളുടെ ദശാംശ ഏകദേശങ്ങൾഅടുത്ത് x എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും n, x`n k എന്നിവ , കുറവ് 2 വ്യത്യാസം x n, 2 x` n എന്നിവ.

അന്ന് മുതൽ

അതിനാൽ,

അതുപോലെ, ഇനിപ്പറയുന്ന ദശാംശ ഏകദേശ കണക്കുകൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നുകുറവും അധികവും അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ബന്ധങ്ങളിലെത്തുന്നു

;

;

;

;

.

അർത്ഥം കാൽക്കുലേറ്ററിൽ കണക്കാക്കുന്നത്:

.

എ എന്ന സംഖ്യയും സമാനമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു α 0-ന്<α<1. Кроме того полагают 1 α ഏതെങ്കിലും α, 0 എന്നിവയ്‌ക്ക് =1α>0 ന് α =0.

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ.

ചെയ്തത് എ > 0, എ = 1, ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചു y = a x, സ്ഥിരമായതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻഅടിത്തറയുള്ളത്എ.

വൈ=എ xചെയ്തത് എ> 1:

ബേസ് 0 ഉള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ< എ < 1 и എ> 1 ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ വൈ=എ x 0-ന്< എ < 1:

• ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയാണ്.
• പ്രവർത്തന ശ്രേണി - ഇടവേള (0; + ) .
• ഫംഗ്ഷൻ മുഴുവൻ സംഖ്യാ വരിയിലും കർശനമായി ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, അതായത്, എങ്കിൽ x 1 < x 2, പിന്നെ ഒരു x 1 >എ x 2 .
• ചെയ്തത് x= 0 ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യം 1 ആണ്.
• എങ്കിൽ x> 0, പിന്നെ 0< എ < 1 എങ്കിൽ x < 0, то ഒരു x > 1.
TO പൊതു ഗുണങ്ങൾ 0-ലെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ< a < 1, так и при a > 1 ഉൾപ്പെടുന്നു:
• എ x 1 എ x 2 = എ x 1 + x 2, എല്ലാവർക്കും x 1 ഒപ്പം x 2.
• എ − x= ( എ x) − 1 = 1 എxആർക്കും x.
• എൻഎ x= എ

ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുള്ള ഒരു ബിരുദം, അതിൻ്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ.

എക്സ്പ്രഷൻ a n n≤0-നുള്ള a=0 ഒഴികെ എല്ലാ a, n എന്നിവയ്ക്കും നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. അത്തരം ശക്തികളുടെ സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം.

ഏത് സംഖ്യകൾക്കും a, b, ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ m, n എന്നിവയുടെ തുല്യതകൾ സാധുവാണ്:

A m *a n = a m+n ; a m:a n =a m-n (a≠0); (a m) n = a mn ; (ab) n = a n *b n ; (b≠0); a 1 =a; a 0 =1 (a≠0).

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്വത്തുക്കളും ശ്രദ്ധിക്കുക:

m>n ആണെങ്കിൽ, a m >a n for a>1, a m<а n при 0<а<1.

ഈ വിഭാഗത്തിൽ, ടൈപ്പ് 2 ൻ്റെ പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് അർത്ഥം നൽകുന്ന ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തികളെക്കുറിച്ചുള്ള ആശയം ഞങ്ങൾ സാമാന്യവൽക്കരിക്കും 0.3 , 8 5/7 , 4 -1/2 മുതലായവ. യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളുള്ള ശക്തികൾക്ക് ഒരു പൂർണ്ണ ഘാതം ഉള്ള പവറുകളുടെ അതേ ഗുണങ്ങൾ (അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ ഭാഗമെങ്കിലും) ഉള്ള വിധത്തിൽ ഒരു നിർവചനം നൽകുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്. അപ്പോൾ, പ്രത്യേകിച്ച്, സംഖ്യയുടെ nth ശക്തിa എന്നതിന് തുല്യമായിരിക്കണംഎം . തീർച്ചയായും, സ്വത്താണെങ്കിൽ

(a p) q =a pq

നടപ്പിലാക്കുന്നു, തുടർന്ന്

അവസാന സമത്വം അർത്ഥമാക്കുന്നത് (nth റൂട്ടിൻ്റെ നിർവചനം പ്രകാരം) സംഖ്യ എന്നാണ്a യുടെ nth റൂട്ട് ആയിരിക്കണംഎം.

നിർവ്വചനം.

ഒരു സംഖ്യാ ഘാതം r= ഉള്ള a>0 എന്ന സംഖ്യയുടെ ശക്തി, ഇവിടെ m ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയും n ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും (n > 1) ആണ്.

അതിനാൽ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്

(1)

പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകൾക്ക് മാത്രമാണ് 0 ൻ്റെ ശക്തി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത്; നിർവചനം പ്രകാരം 0ഏത് r>0 നും r = 0.

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉപയോഗിച്ച് ബിരുദം.

യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യരൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാംയുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയുടെ പരിധി: .

അനുവദിക്കുക . പിന്നെ ഒരു യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള ശക്തികൾ ഉണ്ട്. ഈ ശക്തികളുടെ ക്രമം ഒത്തുചേരുന്നതായി തെളിയിക്കാനാകും. ഈ ശ്രേണിയുടെ പരിധി വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാനവും യുക്തിരഹിതവുമായ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം: .

y = 2 ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ നമുക്ക് നിരവധി പോയിൻ്റുകൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാം x ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മുമ്പ് മൂല്യം 2 കണക്കാക്കി x സെഗ്മെൻ്റിൽ [-2; 3] 1/4 ഘട്ടം (ചിത്രം 1, എ), തുടർന്ന് 1/8 ഘട്ടം (ചിത്രം 1, ബി) 1/16, 1/32 ഘട്ടങ്ങളുള്ള അതേ നിർമ്മാണങ്ങൾ തുടരുക. മുതലായവ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പോയിൻ്റുകൾ ഒരു മിനുസമാർന്ന കർവ് ഉപയോഗിച്ച് ബന്ധിപ്പിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, അത് സ്വാഭാവികമായും ചില ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫായി കണക്കാക്കാം, മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലും നിർവചിക്കുകയും വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.യുക്തിസഹമായ പോയിൻ്റുകളിൽ(ചിത്രം 1, സി). ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ മതിയായ എണ്ണം പോയിൻ്റുകൾ നിർമ്മിച്ചു, ഈ ഫംഗ്‌ഷന് സമാന ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പാക്കാൻ കഴിയും (വ്യത്യാസം ഫംഗ്‌ഷനാണ് R) കുറയുന്നു.

ഈ നിരീക്ഷണങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് അക്കങ്ങൾ 2 ഇങ്ങനെ നിർവചിക്കാമെന്നാണ്α കൂടാതെ ഓരോ യുക്തിരഹിതമായ α യ്ക്കും, y=2 ഫോർമുലകൾ നൽകുന്ന ഫംഗ്ഷനുകൾ x ഒപ്പം തുടർച്ചയായി ആയിരിക്കും, ഫംഗ്‌ഷൻ y=2 x വർദ്ധിക്കുന്നു, ഒപ്പം പ്രവർത്തനവുംമുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലും കുറയുന്നു.

a എന്ന സംഖ്യ എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പൊതുവായി വിവരിക്കാം α a>1 എന്നതിന് യുക്തിരഹിതമായ α. y = a എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഉറപ്പാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു x വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരുന്നു. അപ്പോൾ ഏതെങ്കിലും യുക്തിസഹമായ ആർ 1 ഉം r 2 ഉം r 1<αഅസമത്വങ്ങൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തണം a r 1<а α <а r 1 .

r മൂല്യങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു 1 ഉം r 2 ഉം x നെ സമീപിക്കുമ്പോൾ, a യുടെ അനുബന്ധ മൂല്യങ്ങൾ ഒരാൾക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം r 1 ഉം a r 2 ഉം ചെറിയ വ്യത്യാസമുണ്ടാകും. എല്ലാറ്റിനേക്കാളും വലുതായ y എന്ന സംഖ്യ മാത്രമേ നിലവിലുണ്ടെന്നും തെളിയിക്കാൻ കഴിയൂ r 1 എല്ലാ യുക്തിസഹമായ ആർ 1 ഉം കുറഞ്ഞത് ഒരു ആർ 2 ഉം എല്ലാ യുക്തിസഹമായ ആർ 2 . ഈ സംഖ്യ y എന്നത് നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച് a ആണ് α .

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മൂല്യം 2 കണക്കാക്കുക x, x n, x` n എന്നീ പോയിൻ്റുകളിൽ, ഇവിടെ x n, x` n എന്നിവ - സംഖ്യകളുടെ ദശാംശ ഏകദേശങ്ങൾഅടുത്ത് x എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും n, x`n k എന്നിവ , കുറവ് 2 വ്യത്യാസം x n, 2 x` n എന്നിവ.

അന്ന് മുതൽ

അതിനാൽ,

അതുപോലെ, ഇനിപ്പറയുന്ന ദശാംശ ഏകദേശ കണക്കുകൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നുകുറവും അധികവും അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ ബന്ധങ്ങളിലെത്തുന്നു

;

;

;

;

.

അർത്ഥം കാൽക്കുലേറ്ററിൽ കണക്കാക്കുന്നത്:

.

എ എന്ന സംഖ്യയും സമാനമായി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു α 0-ന്<α<1. Кроме того полагают 1 α ഏതെങ്കിലും α, 0 എന്നിവയ്‌ക്ക് =1α>0 ന് α =0.

എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ.

ചെയ്തത് എ > 0, എ = 1, ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചു y = a x, സ്ഥിരമായതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻഅടിത്തറയുള്ളത്എ.

വൈ=എ xചെയ്തത് എ> 1:

ബേസ് 0 ഉള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ< എ < 1 и എ> 1 ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ വൈ=എ x 0-ന്< എ < 1:

• ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയാണ്.
• പ്രവർത്തന ശ്രേണി - ഇടവേള (0; + ) .
• ഫംഗ്ഷൻ മുഴുവൻ സംഖ്യാ വരിയിലും കർശനമായി ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, അതായത്, എങ്കിൽ x 1 < x 2, പിന്നെ ഒരു x 1 >എ x 2 .
• ചെയ്തത് x= 0 ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യം 1 ആണ്.
• എങ്കിൽ x> 0, പിന്നെ 0< എ < 1 എങ്കിൽ x < 0, то ഒരു x > 1.
0-ലെ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പൊതുവായ ഗുണങ്ങളിലേക്ക്< a < 1, так и при a > 1 ഉൾപ്പെടുന്നു:
• എ x 1 എ x 2 = എ x 1 + x 2, എല്ലാവർക്കും x 1 ഒപ്പം x 2.
• എ − x= ( എ x) − 1 = 1 എxആർക്കും x.
• എൻഎ x= എ