ത്രികോണങ്ങളുടെ സമത്വത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ അടയാളം

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശവും തൊട്ടടുത്തുള്ള രണ്ട് കോണുകളും യഥാക്രമം വശത്തിനും മറ്റൊരു ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് അടുത്തുള്ള കോണുകൾക്കും തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരം ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

MN = PR N = R M = P

ആദ്യ മാനദണ്ഡത്തിന്റെ തെളിവായി, ത്രികോണങ്ങളുടെ സമത്വത്തിന് ഇത് മതിയോ എന്ന് നിങ്ങൾ ഉറപ്പുവരുത്തേണ്ടതുണ്ട്, അവ പൂർണ്ണമായും പൊരുത്തപ്പെടുമോ?

1. MN = PR മുതൽ, ഈ ഭാഗങ്ങൾ അവയുടെ അവസാന പോയിന്റുകൾ വിന്യസിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ വിന്യസിക്കപ്പെടും.

2. N = R, M = P ആയതിനാൽ, കിരണങ്ങൾ \ (MK \), \ (NK \) എന്നിവ യഥാക്രമം \ (PT \), \ (RT \) എന്നിവയിൽ സൂപ്പർഇമ്പോസ് ചെയ്യപ്പെടും.

3. കിരണങ്ങൾ ഒത്തുചേരുന്നുവെങ്കിൽ, അവയുടെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ \ (K \), \ (T \) എന്നിവ യോജിക്കുന്നു.

4. ത്രികോണങ്ങളുടെ എല്ലാ ശീർഷകങ്ങളും വിന്യസിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്, Δ MNK, Δ PRT എന്നിവ പൂർണ്ണമായും വിന്യസിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത് അവ തുല്യമാണ്.

ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യതയുടെ മൂന്നാമത്തെ അടയാളം

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങൾ യഥാക്രമം മറ്റൊരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരം ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

MN = PR KN = TR MK = PT

വീണ്ടും, നമുക്ക് സൂപ്പർപോസിഷനിലൂടെ ang MNK, Δ PRT എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾ സംയോജിപ്പിച്ച് അനുബന്ധ തുല്യ വശങ്ങൾ ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ അനുബന്ധ കോണുകളുടെ തുല്യത ഉറപ്പ് നൽകുന്നുണ്ടെന്ന് ഉറപ്പുവരുത്തുക, അവ പൂർണ്ണമായും ഒത്തുചേരും.

ഉദാഹരണത്തിന്, സമാന വിഭാഗങ്ങൾ \ (MK \), \ (PT \) എന്നിവ സംയോജിപ്പിക്കാം. ഡോട്ടുകൾ \ (N \), \ (R \) എന്നിവ യോജിക്കുന്നില്ലെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം.

\ (O \) സെഗ്മെന്റിന്റെ മധ്യബിന്ദുവായിരിക്കട്ടെ \ (NR \). ഈ വിവരമനുസരിച്ച്, MN = PR, KN = TR. ത്രികോണങ്ങൾ \ (MNR \) ഉം \ (KNR \) ഉം ഒരു പൊതു അടിത്തറയുള്ള ഐസോസെല്ലുകളാണ് \ (NR \).

അതിനാൽ, അവരുടെ മീഡിയനുകൾ \ (MO \), \ (KO \) എന്നിവ ഉയരങ്ങളാണ്, അതിനാൽ അവ \ (NR \) ലംബമാണ്. പോയിന്റുകൾ \ (M \), \ (K \), \ (O \) പോയിന്റുകൾ ഒരു നേർരേഖയിൽ കിടക്കാത്തതിനാൽ \ (MO \), \ (KO \) എന്നീ നേർരേഖകൾ ഒത്തുപോകുന്നില്ല. എന്നാൽ നേർരേഖയിലെ പോയിന്റ് \ (O \) \ (NR \) നിങ്ങൾക്ക് ലംബമായി ഒരു നേർരേഖ മാത്രമേ വരയ്ക്കാനാകൂ. ഞങ്ങൾ ഒരു വൈരുദ്ധ്യത്തിലെത്തി.

ശീർഷകങ്ങൾ \ (N \), \ (R \) എന്നിവ പൊരുത്തപ്പെടണമെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്.

ഒരു ത്രികോണത്തെ വളരെ ശക്തവും സുസ്ഥിരവുമായ രൂപം എന്ന് വിളിക്കാൻ മൂന്നാമത്തെ അടയാളം നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു, ചിലപ്പോൾ അവർ അത് പറയുന്നു ത്രികോണം - കർക്കശമായ രൂപം ... വശങ്ങളുടെ നീളം മാറുന്നില്ലെങ്കിൽ, കോണുകളും മാറില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ചതുർഭുജത്തിന് അത്തരമൊരു സ്വത്ത് ഇല്ല. അതിനാൽ, വിവിധ പിന്തുണകളും കോട്ടകളും ത്രികോണാകൃതിയിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്.

എന്നാൽ ഒരു തരത്തിലുള്ള സ്ഥിരത, സ്ഥിരത, സംഖ്യയുടെ പൂർണ്ണത എന്നിവ (3 \) ആളുകൾ വളരെക്കാലമായി വിലയിരുത്തുകയും ഒറ്റപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു.

യക്ഷിക്കഥകൾ അതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു.

അവിടെ ഞങ്ങൾ മൂന്ന് കരടികൾ, മൂന്ന് കാറ്റുകൾ, മൂന്ന് ചെറിയ പന്നികൾ, മൂന്ന് സഖാക്കൾ, മൂന്ന് സഹോദരന്മാർ, മൂന്ന് ഭാഗ്യശാലികൾ, മൂന്ന് കരകൗശല തൊഴിലാളികൾ, മൂന്ന് സാരെവിച്ച്, മൂന്ന് സുഹൃത്തുക്കൾ, മൂന്ന് ഹീറോകൾ എന്നിവയും മറ്റുള്ളവയും കണ്ടുമുട്ടുന്നു.

"മൂന്ന് ശ്രമങ്ങൾ", "മൂന്ന് ഉപദേശം", "മൂന്ന് നിർദ്ദേശങ്ങൾ", "മൂന്ന് മീറ്റിംഗുകൾ", "മൂന്ന് ആഗ്രഹങ്ങൾ" നിറവേറ്റിയിട്ടുണ്ട്, നിങ്ങൾ "മൂന്ന് ദിവസം", "മൂന്ന് രാത്രികൾ", "മൂന്ന് വർഷം" സഹിക്കണം "മൂന്ന് സംസ്ഥാനങ്ങൾ", "മൂന്ന് അധോലോക രാജ്യങ്ങൾ", "മൂന്ന് ടെസ്റ്റുകൾ" നേരിടാൻ, "മൂന്ന് കടലുകൾ" കടന്നുപോകുക.

രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ തുല്യമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ചിത്രം 1 തുല്യ ത്രികോണങ്ങളായ ABC, A 1 B 1 C 1 എന്നിവ കാണിക്കുന്നു. ഈ ത്രികോണങ്ങളിൽ ഓരോന്നും മറ്റൊന്നിൽ സൂപ്പർഇമ്പോസ് ചെയ്യാൻ കഴിയും, അങ്ങനെ അവ പൂർണ്ണമായും വിന്യസിക്കപ്പെടും, അതായത്, അവയുടെ മുകളിലും വശങ്ങളും ജോഡികളായി പൊരുത്തപ്പെടും. ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ കോണുകൾ ജോഡികളായി പൊരുത്തപ്പെടുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

അങ്ങനെ, രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂലകങ്ങൾ (അതായത് വശങ്ങളും കോണുകളും) യഥാക്രമം മറ്റ് ത്രികോണത്തിന്റെ മൂലകങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്. അതല്ല തുല്യ ത്രികോണങ്ങളിൽ യഥാക്രമം തുല്യ വശങ്ങൾക്കെതിരെ(അതായത് ഓവർലാപ്പിംഗ്) തുല്യ കോണുകൾ ഉണ്ട്,തിരിച്ചും: തുല്യ വശങ്ങൾ തുല്യ കോണുകൾക്ക് എതിരായി കിടക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, തുല്യ ത്രികോണങ്ങളിൽ ABC, A 1 B 1 C 1, ചിത്രം 1 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു, യഥാക്രമം തുല്യ വശങ്ങളായ AB, A 1 B 1 എന്നിവയ്ക്ക് എതിർവശത്ത് C, C 1 എന്നിവ തുല്യ കോണുകളാണ്. ABC, А 1 В 1 С 1 എന്നീ ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യത താഴെ സൂചിപ്പിക്കും: Δ ABC = Δ А 1 В 1 В 1. രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളുടെ സമത്വം അവയുടെ ചില ഘടകങ്ങളെ താരതമ്യം ചെയ്തുകൊണ്ട് സ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 1. ത്രികോണങ്ങളുടെ സമത്വത്തിന്റെ ആദ്യ അടയാളം.ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും യഥാക്രമം രണ്ട് വശങ്ങൾക്കും തുല്യമായ മറ്റൊരു ത്രികോണത്തിനും തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരം ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമാണ് (ചിത്രം 2).

തെളിവ്. ABC, A 1 B 1 C 1 എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക, ഇതിനായി AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (ചിത്രം 2 കാണുക). Prove ABC = Δ A 1 B 1 C 1 എന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

∠ A = ∠ A 1 ആയതിനാൽ, ABC എന്ന ത്രികോണത്തിൽ ABC എന്ന ത്രികോണത്തെ സൂപ്പർഇമ്പോസ് ചെയ്യാൻ കഴിയും, അങ്ങനെ A ശീർഷം A1 ശീർഷവുമായി യോജിക്കുന്നു, കൂടാതെ AB, AC എന്നീ വശങ്ങൾ യഥാക്രമം കിരണങ്ങളിൽ സൂപ്പർഇമ്പോസ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു. എ 1 ബി 1, എ 1 സി 1. AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ആയതിനാൽ, AB സൈഡ് A 1 B 1 വശവും AC വശവും - A 1 C 1 വശവുമായി വിന്യസിക്കും; പ്രത്യേകിച്ചും, ബി, ബി 1, സി, സി 1 എന്നീ പോയിന്റുകൾ സംയോജിപ്പിക്കും. അതിനാൽ, ബിസി, ബി 1 സി 1 എന്നീ വശങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കും. അതിനാൽ, ABC, A 1 B 1 C 1 എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾ പൂർണ്ണമായും അനുയോജ്യമാണ്, അതായത് അവ തുല്യമാണ്.

സിദ്ധാന്തം 2 സൂപ്പർപോസിഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമാനമായി തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 2. ത്രികോണങ്ങളുടെ സമത്വത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ അടയാളം.ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വശവും തൊട്ടടുത്തുള്ള രണ്ട് കോണുകളും യഥാക്രമം വശത്തിനും മറ്റൊരു ത്രികോണത്തിന്റെ രണ്ട് അടുത്തുള്ള കോണുകൾക്കും തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരം ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമാണ് (ചിത്രം 34).

അഭിപ്രായം സിദ്ധാന്തം 3 സ്ഥാപിക്കാൻ സിദ്ധാന്തം 2 ഉപയോഗിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 3. ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് ആന്തരിക കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 ° ൽ കുറവാണ്.

സിദ്ധാന്തം 4 അവസാന സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 4. പുറത്ത് മൂലത്രികോണം മറ്റേതിനേക്കാളും വലുതാണ് അകത്തെ മൂലഅതിനോട് ചേർന്നില്ല.

സിദ്ധാന്തം 5. ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യതയുടെ മൂന്നാമത്തെ അടയാളം.ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങൾ യഥാക്രമം മറ്റൊരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരം ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമാണ് ().

ഉദാഹരണം 1.ത്രികോണങ്ങളിൽ ABC, DEF (ചിത്രം 4)

= A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm. ത്രികോണങ്ങൾ ABC, DEF എന്നിവ താരതമ്യം ചെയ്യുക. DEF എന്ന ത്രികോണത്തിലെ ആംഗിൾ എന്താണ് കോണിന് തുല്യമാണ്വി?

പരിഹാരം ഈ ആട്രിബ്യൂട്ടിൽ ഈ ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമാണ്. ഡിഎഫ് ത്രികോണത്തിന്റെ ആംഗിൾ എഫ് ത്രികോണത്തിന്റെ എബിസിയുടെ കോണിന് തുല്യമാണ്, കാരണം ഈ കോണുകൾ അനുബന്ധ തുല്യ വശങ്ങളായ ഡിഇയ്ക്കും എസിക്കും എതിരായി കിടക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 2.എബി, സിഡി (ചിത്രം 5) സെഗ്‌മെന്റുകൾ ഒ പോയിന്റിൽ വിഭജിക്കുന്നു, അവ ഓരോന്നിന്റെയും മധ്യമാണ്. ലെഗ് എസി 6 മീറ്റർ ആണെങ്കിൽ ലെഗ് ബിഡി എന്താണ്?

പരിഹാരം AOC, BOD എന്നീ ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമാണ് (ആദ്യ മാനദണ്ഡമനുസരിച്ച്): ∠ AOC = ∠ BOD (ലംബം), AO = OB, CO = OD (വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം).
ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ സമത്വം അവയുടെ വശങ്ങളുടെ തുല്യതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതായത് AC = BD. എന്നാൽ എസി = 6 മീറ്റർ വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, പിന്നെ ബിഡി = 6 മീ.

രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾക്ക് തുല്യതയുടെ മൂന്ന് അടയാളങ്ങളുണ്ട്. ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഞങ്ങൾ അവയെ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ രൂപത്തിൽ പരിഗണിക്കുകയും അവയുടെ തെളിവുകൾ നൽകുകയും ചെയ്യും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, കണക്കുകൾ പരസ്പരം പൂർണ്ണമായും സൂപ്പർഇമ്പോസ് ചെയ്യപ്പെടുമ്പോൾ തുല്യമായിരിക്കും.

ആദ്യത്തെ അടയാളം

സിദ്ധാന്തം 1

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും രണ്ട് വശങ്ങൾക്കും തുല്യമായി മറ്റൊന്നിൽ കിടക്കുന്ന കോണുകൾക്കും തുല്യമാണെങ്കിൽ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കും.

തെളിവ്.

$ ABC $, $ A "B" C "$ എന്നീ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക, അതിൽ $ AB = A" B "$, $ AC = A" C "$, $ ∠A = ∠A" $ (ചിത്രം 1).

നമുക്ക് ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ ഉയരം $ A $, $ A "$ എന്നിവ കൂട്ടിച്ചേർക്കാം. ഈ ശീർഷങ്ങളിലെ കോണുകൾ പരസ്പരം തുല്യമായതിനാൽ, $ AB $, $ AC $ എന്നീ വശങ്ങൾ യഥാക്രമം $ A" B കിരണങ്ങളിൽ ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യും. "$, $ A" C "$. ഈ വശങ്ങൾ ജോഡികളായി തുല്യമായതിനാൽ, $ A" B "$, $ A" C "$ എന്നീ വശങ്ങളുമായി യഥാക്രമം $ AB $, $ AC $ എന്നിവ യോജിക്കുന്നു, അതിനാൽ $ B $, $ B "$, $ C $, $ C" $ എന്നിവ തമ്മിൽ പൊരുത്തപ്പെടും.

അതിനാൽ, സൈഡ് ബിസി പൂർണ്ണമായും $ B "C" $ വശവുമായി പൊരുത്തപ്പെടും. ഇതിനർത്ഥം ത്രികോണങ്ങൾ പരസ്പരം പൂർണ്ണമായും ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യും എന്നാണ്, അതായത് അവയുടെ തുല്യത.

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

രണ്ടാമത്തെ അടയാളം

സിദ്ധാന്തം 2

രണ്ട് കോണുകളും അവയുടെ ത്രികോണങ്ങളിലൊന്നിന്റെ പൊതുവായ വശവും രണ്ട് കോണുകൾക്കും മറ്റേ വശത്ത് അവയുടെ പൊതുവായ വശത്തിനും തുല്യമാണെങ്കിൽ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കും.

തെളിവ്.

$ ABC $, $ A "B" C "$ എന്നീ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക, അതിൽ $ AC = A" C "$ കൂടാതെ $ ∠A = ∠A" $, $ ∠C = ∠C "$ (ചിത്രം 2).

ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ $ AC $, $ A "C" $ എന്നീ വശങ്ങൾ നമുക്ക് കൂട്ടിച്ചേർക്കാം, അങ്ങനെ $ B $, $ B "$ എന്നിവയുടെ ഉയരം അതിന്റെ ഒരു വശത്ത് കിടക്കും. ഈ വശങ്ങളിലെ കോണുകൾ ജോഡികളായി തുല്യമായതിനാൽ പരസ്പരം, $ A "B" $, $ B "C" $ എന്നീ കിരണങ്ങളിൽ യഥാക്രമം $ AB $, $ BC $ എന്നീ വശങ്ങൾ സൂപ്പർഇമ്പോസ് ചെയ്യും. അതിനാൽ, പോയിന്റ് $ B $, പോയിന്റ് $ B "$ വിന്യസിച്ച കിരണങ്ങളുടെ കവല പോയിന്റുകളായിരിക്കും (ഉദാഹരണത്തിന്, കിരണങ്ങൾ $ AB $, $ BC $). കിരണങ്ങൾക്ക് ഒരു കവല പോയിന്റ് മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നതിനാൽ, $ B $ എന്ന പോയിന്റ് $ B "$ എന്ന പോയിന്റുമായി പൊരുത്തപ്പെടും. ഇതിനർത്ഥം ത്രികോണങ്ങൾ പരസ്പരം പൂർണ്ണമായും ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യും എന്നാണ്, അതായത് അവ തുല്യമാണ്.

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

മൂന്നാമത്തെ അടയാളം

സിദ്ധാന്തം 3

ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങൾ മറ്റൊന്നിൽ മൂന്ന് വശങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

തെളിവ്.

$ ABC $, $ A "B" C "$ എന്നീ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക, അതിൽ $ AC = A" C "$, $ AB = A" B "$, $ BC = B" C "$ (ചിത്രം 3).

തെളിവ്.

ഈ ത്രികോണങ്ങളുടെ $ AC $, $ A "C" $ എന്നീ വശങ്ങൾ നമുക്ക് സംയോജിപ്പിക്കാം, അങ്ങനെ $ B $, $ B "$ എന്നിവയുടെ ഉയരം അതിന്റെ എതിർവശങ്ങളിൽ കിടക്കും. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ മൂന്ന് വ്യത്യസ്ത കേസുകൾ പരിഗണിക്കും ഫലമായി ഈ ശീർഷങ്ങളുടെ ക്രമീകരണം. ചിത്രങ്ങളിൽ.

ആദ്യ കേസ്:

$ AB = A "B" $ ആയതിനാൽ, തുല്യത $ ∠ABB "= ∠AB" B $ സത്യമായിരിക്കും. അതുപോലെ, $ ∠BB "C = ∠B" BC $. പിന്നെ, ഒരു തുകയായി, നമുക്ക് $ ∠B = ∠B "$ ലഭിക്കും

രണ്ടാമത്തെ കേസ്:

$ AB = A "B" $ ആയതിനാൽ, തുല്യത $ ∠ABB "= ∠AB" B $ സത്യമായിരിക്കും. അതുപോലെ, $ ∠BB "C = ∠B" BC $. അപ്പോൾ, ഒരു വ്യത്യാസമെന്ന നിലയിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് $ ∠B = ∠B "$ ലഭിക്കും

അതിനാൽ, സിദ്ധാന്തം 1 പ്രകാരം, ഈ ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

മൂന്നാമത്തെ കേസ്:

$ BC = B "C" $ മുതൽ, തുല്യത $ ∠ABC = ∠AB "C $

അതിനാൽ, സിദ്ധാന്തം 1 പ്രകാരം, ഈ ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

സാമ്പിൾ ടാസ്ക്കുകൾ

ഉദാഹരണം 1

ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യത തെളിയിക്കുക

മൂന്ന് വശങ്ങളിലുള്ള ത്രികോണങ്ങളുടെ സമത്വത്തിനുള്ള മൂന്നാമത്തെ മാനദണ്ഡം ഒരു സിദ്ധാന്തമായി രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം : ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങൾ യഥാക്രമം മറ്റൊരു ത്രികോണത്തിന്റെ മൂന്ന് വശങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരം ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമാണ്.

തെളിവ്.ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1 എന്നിവയിൽ AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 എന്നിവ പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് proveABC = ΔA 1 B 1 C 1 എന്ന് തെളിയിക്കാം

ABC യും A 1 B 1 C 1 ഉം AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 ഉള്ള ത്രികോണങ്ങളായിരിക്കട്ടെ. ∆A 1 B 1 C 1 ന് നമുക്ക് ∆ABC ചുമത്താം, അങ്ങനെ A ശീർഷകം A 1, ഒപ്പം ശീർഷകങ്ങളായ B, B 1 എന്നിവയും C, C 1 എന്നീ ശീർഷകങ്ങൾ A 1 B 1 നേർരേഖയുടെ എതിർവശങ്ങളിലായിരിക്കും. മൂന്ന് കേസുകൾ സാധ്യമാണ്: 1) റേ С 1 the കോണിനുള്ളിൽ കടന്നുപോകുന്നു А 1 С 1 В 1 (ചിത്രം എ)); 2) കിരണം С 1 this ഈ കോണിന്റെ ഒരു വശവുമായി ഒത്തുപോകുന്നു (ചിത്രം. ബി)); റേ С 1 angle കോണിന് പുറത്ത് കടന്നുപോകുന്നു А 1 С 1 В 1 (ചിത്രം c)). നമുക്ക് ആദ്യത്തെ കേസ് പരിഗണിക്കാം. സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ നിബന്ധന അനുസരിച്ച്, വശങ്ങളും എസിയും എ 1 സി 1, ബിസി, ബി 1 സി 1 എന്നിവ തുല്യമായതിനാൽ, ത്രികോണങ്ങൾ എ 1 സി 1 സി, ബി 1 സി 1 സി എന്നിവ ഐസോസെലുകളാണ്. കോണുകളുടെ സ്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് ഐസോസെൽസ് ത്രികോണം Ll = l2, l3 = l4, അതിനാൽ lA 1 CB 1 = lA 1 C 1 B 1. അതിനാൽ, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, lC = lC 1. അതിനാൽ, ത്രികോണങ്ങളായ ABC, A 1 B 1 C 1 എന്നിവ ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യതയുടെ ആദ്യ ചിഹ്നത്താൽ തുല്യമാണ്.

ബോർഡിൽ എഴുതുന്നു:

നൽകിയത്:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1, AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, ВС = В 1 С 1

തെളിയിക്കുക:ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1

തെളിവ്.∆A 1 B 1 C 1 ന് നമുക്ക് ∆ABC ചുമത്താം, അങ്ങനെ A → A 1, കൂടാതെ B → B 1, C, C 1 എന്നിവ നേർരേഖ A 1 B 1 ന്റെ എതിർവശങ്ങളിലായിരിക്കും. നമുക്ക് ഒരു കേസ് പരിഗണിക്കാം. കിരണം С 1 С inside 1 С 1 В 1 ഉള്ളിൽ കടന്നുപോകുന്നു (ചിത്രം a)).

АС = A 1 C 1, ВС = В 1 С 1 ═> ΔА 1 С 1 С ഉം ΔВ 1 С 1 С - തുല്യമാണ്. L> ll = l2, l3 = l4 (v- ന് തുല്യമായ sv-wu കോണുകൾ അനുസരിച്ച്), l> lA 1 CB 1 = lA 1 C 1 B 1 ═> AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, lC = РС 1 ═>

TriABC = ang 1 В 1 С 1 ത്രികോണങ്ങളുടെ സമത്വത്തിന്റെ ആദ്യ അടയാളം അനുസരിച്ച്.

2. റോംബ് നിർവ്വചനം, സവിശേഷതകൾ, അടയാളങ്ങൾ.

റോംബസ് ഒരു തരം ചതുരാകൃതിയാണ്.

നിർവ്വചനം: ഒരു റോംബസിനെ സമാന്തരചലനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിൽ എല്ലാ വശങ്ങളും തുല്യമാണ്.

AB = BC = CD = DA ഉള്ള ഒരു സമാന്തരചലനം ABCD ചിത്രം കാണിക്കുന്നു. നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച്, ഈ സമാന്തരചലനം ഒരു റോംബസ് ആണ്. എസി, ബിഡി എന്നിവയാണ് റോംബസിന്റെ ഡയഗണലുകൾ. ഒരു റോംബസ് ഒരു സമാന്തരചലനം ആയതിനാൽ, ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ഗുണങ്ങളും അതിന് സാധുതയുള്ളതാണ്.

പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

1) ഒരു റോംബസിൽ, വിപരീത കോണുകൾ തുല്യമാണ് (ÐA = ÐC, ÐB = ÐD)

2) റോംബസിന്റെ ഡയഗണലുകൾ കവല പോയിന്റ് വഴി പകുതിയായി കുറയുന്നു. (BО = ОD, AО = ОC)

3) റോംബസിന്റെ ഡയഗണലുകൾ പരസ്പരം ലംബമായിരിക്കുകയും അതിന്റെ കോണുകൾ പകുതിയായി കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു. (എസി ഡിബി, ÐABO = ÐOBS, ÐADO = ÐODDC, ÐBCO = ÐDCO, ÐDAO = ÐBAO) ( പ്രത്യേക സ്വത്ത്)

4) ഒരു വശത്തോട് ചേർന്നുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 0 ആണ് (РA + РВ = РС + РD = РВ + РC = РА + РD = 180 0)

അടയാളങ്ങൾ റോംബസ്:

1) ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഡയഗണലുകൾ പരസ്പരം ലംബമാണെങ്കിൽ, ഈ സമാന്തരചലനം ഒരു റോംബസ് ആണ്

2) ഒരു സമാന്തരചക്രത്തിന്റെ ഡയഗണൽ അതിന്റെ കോണുകളെ പകുതിയായി വിഭജിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ സമാന്തരചലനം ഒരു റോംബസ് ആണ്.

3) ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ എല്ലാ വശങ്ങളും തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത് ഒരു റോംബസ് ആണ്.

ബോർഡിൽ എഴുതുന്നു.

പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

1) РA = РC, РB = .D 2) BО = ОD, AО = .C

3) AC DB, ÐABO = ÐOBS, ÐADO = ÐODC, ÐBCO = ÐDCO, ÐDAO = ÐBAO

4) +A + РВ = РС + РД = РВ + РС = РА + РД = 180 0

വിപരീത പ്രസ്താവനകളാണ് അടയാളങ്ങൾ റോംബസ്:

1 ) ABСD - സമാന്തര -m, കൂടാതെ АС DB, പിന്നെ - ABСD - rhombus.

2) ABСD സമാന്തര -m ആണെങ്കിൽ, AC യും DB യും ബൈസെക്ടറുകളാണെങ്കിൽ - ABСD ഒരു റോംബസ് ആണ്.

3) ABСD സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, АС = DB, BC = AD, പിന്നെ - ABСD ഒരു റോംബസ് ആണ്.

ടാസ്ക്