ഒരു സമാന്തരചലനം ഒരു ചതുർഭുജമാണ്, അതിന്റെ എതിർവശങ്ങൾ ജോഡികളായി സമാന്തരമാണ്. ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന് വിപരീത വശങ്ങൾ തുല്യമാണ്, വിപരീത കോണുകൾ തുല്യമാണ്, എല്ലാ കോണുകളുടെയും ആകെത്തുക 360 ഡിഗ്രി.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ്

• ജ്യാമിതിയെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ്.

നിർദേശ പുസ്തകം

1.   ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ കോണുകളിലൊന്ന് നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക, അത് എയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ബാക്കിയുള്ളവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു 3. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ സ്വത്ത് അനുസരിച്ച് വിപരീത കോണുകൾ തുല്യമാണ്. അതിനാൽ ഇതിന് വിപരീതമായി കിടക്കുന്ന കോൺ ഇതിന് തുല്യവും അതിന്റെ മൂല്യം എ.

2.   ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് കോണുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. സമാന്തരചലനത്തിലെ എല്ലാ കോണുകളുടെയും ആകെത്തുക 360 ഡിഗ്രിയും വിപരീത കോണുകൾ പരസ്പരം തുല്യവുമാണെന്നതിനാൽ, ഡാറ്റയുമായി ഒരു വശത്തുള്ള കോണാണ് (360 - 2A) / 2 എന്ന് ഇത് മാറുന്നു. ശരി, ഒന്നുകിൽ നമുക്ക് 180 - A. ലഭിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഒരു സമാന്തരചലനത്തിൽ, രണ്ട് കോണുകൾ A ന് തുല്യമാണ്, മറ്റ് രണ്ട് കോണുകൾ 180 - A ന് തുല്യമാണ്.

കുറിപ്പ്!
  ഒരു കോണിന്റെ മൂല്യം 180 ഡിഗ്രി കവിയാൻ പാടില്ല. ലഭിച്ച ആംഗിൾ മൂല്യങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിച്ചുറപ്പിക്കും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അവ ചേർക്കുക, തുക 360 ആണെങ്കിൽ എല്ലാം ശരിയായി കണക്കാക്കുന്നു.

സഹായകരമായ ഉപദേശം
  ഒരു ദീർഘചതുരവും റോംബസും ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ പ്രത്യേക കേസാണ്, തൽഫലമായി, കോണുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള എല്ലാ ഗുണങ്ങളും രീതികളും അവയ്ക്ക് ബാധകമാണ്.

ടാസ്ക് 1. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ കോണുകളിലൊന്ന് 65 is ആണ്. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ശേഷിക്കുന്ന കോണുകൾ കണ്ടെത്തുക.

സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിപരീത കോണുകളായി ∠C \u003d ∠A \u003d 65 °.

സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഒരു വശത്തോട് ചേർന്നുള്ള കോണുകളായി ∠A + \u003d B \u003d 180 °.

\u003d 180 ° - \u003d 180 ° - 65 ° \u003d 115 °.

സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിപരീത കോണുകളായി ∠D \u003d ∠B \u003d 115 °.

ഉത്തരം: ∠А \u003d ∠С \u003d 65 °; \u003d ∠D \u003d 115 °.

ടാസ്ക് 2   സമാന്തരചലനത്തിന്റെ രണ്ട് കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 220 is ആണ്. ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ കോണുകൾ കണ്ടെത്തുക.

സമാന്തരചലനത്തിന് 2 തുല്യ മൂർച്ചയുള്ള കോണുകളും 2 തുല്യ obtuse കോണുകളും ഉള്ളതിനാൽ, നമുക്ക് രണ്ട് obtuse കോണുകളുടെ ആകെത്തുക നൽകുന്നു, അതായത്. + ∠D \u003d 220 °. അപ്പോൾ ∠В \u003d ∠D \u003d 220 ° :   2 \u003d 110 °.

സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഒരു വശത്തോട് ചേർന്നുള്ള കോണുകളായി + A + \u003d B \u003d 180 °, അതിനാൽ ∠A \u003d 180 ° - ∠B \u003d 180 ° - 110 ° \u003d 70 °. അപ്പോൾ ∠C \u003d ∠A \u003d 70 °.

ഉത്തരം: \u003d ∠С \u003d 70 °; \u003d ∠D \u003d 110 °.

ടാസ്ക് 3.   സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഒരു കോണിൽ മറ്റൊന്നിനേക്കാൾ 3 മടങ്ങ് വലുതാണ്. ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ കോണുകൾ കണ്ടെത്തുക.

∠A \u003d x അനുവദിക്കുക. അപ്പോൾ ∠В \u003d 3х. ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഒരു വശത്തോട് ചേർന്നുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 to ന് തുല്യമാണെന്ന് അറിയുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കുന്നു.

x \u003d 180 : 4;

ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: ∠А \u003d х \u003d 45 °, ∠В \u003d 3х \u003d 3 ∙ 45 ° \u003d 135 °.

സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വിപരീത കോണുകൾ തുല്യമാണ്, അതിനാൽ,

\u003d ∠С \u003d 45 °; \u003d ∠D \u003d 135 °.

ഉത്തരം: ∠А \u003d ∠С \u003d 45 °; \u003d ∠D \u003d 135 °.

ടാസ്ക് 4.   ഒരു ചതുർഭുജത്തിന് സമാന്തരവും തുല്യവുമായ രണ്ട് വശങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ ചതുരം ഒരു സമാന്തരചലനമാണെന്ന് തെളിയിക്കുക.

തെളിവ്.

ഒരു ഡയഗണൽ ബിഡി വരച്ച് Δ ADB, CBD എന്നിവ പരിഗണിക്കുക.

വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം AD \u003d BC. ബിഡി വശം സാധാരണമാണ്. AD1 \u003d BC2 സമാന്തരമായി (അനുമാനമനുസരിച്ച്) AD, BC വരികൾക്കും ഒരു സെക്കന്റ് ബിഡിക്കും ക്രോസ്വൈസ് കിടക്കുന്ന ആന്തരികവയായി. അതിനാൽ, രണ്ട് വശങ്ങളിൽ Δ ADB \u003d Δ CBD യും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണും (ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യതയുടെ ആദ്യ ചിഹ്നം). തുല്യ ത്രികോണങ്ങളിൽ, അനുബന്ധ കോണുകൾ തുല്യമാണ്, അതായത് ∠3 \u003d ∠4. ഈ കോണുകൾ എബി, സിഡി, സെക്കന്റ് ബിഡി എന്നീ നേർരേഖകളിൽ ആന്തരികമായി കിടക്കുന്നു. എബി, സിഡി വരികളുടെ സമാന്തരതയെ ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഈ ചതുർഭുജ എബിസിഡിയിൽ, എതിർവശങ്ങൾ ജോഡിയായി സമാന്തരമാണ്, അതിനാൽ, ആവശ്യാനുസരണം എബിസിഡി - പാരലലോഗ്രാമുകൾ നിർവചിക്കുന്നത്.

ടാസ്ക് 5.   സമാന്തരചലനത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും 2 ആയി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു :   5, ചുറ്റളവ് 3.5 മീ. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വശങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

∙   (AB + AD).

ഒരു ഭാഗം x കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുക. തുടർന്ന് AB \u003d 2x, AD \u003d 5x മീറ്റർ. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ പരിധി 3.5 മീ ആണെന്ന് അറിയുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ സമവാക്യം രചിക്കുന്നു:

2 ∙   (2x + 5x) \u003d 3.5;

2 ∙   7x \u003d 3.5;

x \u003d 3,5 : 14;

ഒരു ഭാഗം 0.25 മീ. പിന്നെ എബി \u003d 2 ∙   0.25 \u003d 0.5 മീ; AD \u003d 5 ∙   0.25 \u003d 1.25 മീ.

പരിശോധന

സമാന്തരചലനം ചുറ്റളവ് പി എബിസിഡി \u003d 2 ∙   (AB + AD) \u003d 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙   1.75 \u003d 3.5 (മീ).

സമാന്തരചലനത്തിന്റെ എതിർവശങ്ങൾ തുല്യമായതിനാൽ, സിഡി \u003d എബി \u003d 0.25 മീ; BC \u003d AD \u003d 1.25 മീ.

ഉത്തരം: സിഡി \u003d എബി \u003d 0.25 മീ; BC \u003d AD \u003d 1.25 മീ.

യൂക്ലിഡിയൻ ജ്യാമിതിയിലെന്നപോലെ, ഒരു ബിന്ദുവും ഒരു നേർരേഖയും വിമാനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രധാന ഘടകങ്ങളാണ്, അതിനാൽ ഒരു സമാന്തരചലനം കോൺവെക്സ് ക്വാഡ്രാങ്കിളുകളുടെ പ്രധാന വ്യക്തികളിൽ ഒന്നാണ്. അതിൽ നിന്ന്, ഒരു പന്തിൽ നിന്നുള്ള ത്രെഡുകൾ പോലെ, “ദീർഘചതുരം”, “ചതുരം”, “റോംബസ്”, മറ്റ് ജ്യാമിതീയ അളവുകൾ എന്നിവ കടന്നുപോകുന്നു.

ബന്ധപ്പെടുക

പാരലലോഗ്രാം നിർവചനം

കോൺവെക്സ് ക്വാഡ്രാങ്കിൾ,   സെഗ്മെന്റുകൾ അടങ്ങുന്ന, ഓരോ ജോഡിയും സമാന്തരമാണ്, ജ്യാമിതിയിൽ ഒരു സമാന്തരചലനം എന്നറിയപ്പെടുന്നു.

ക്ലാസിക് പാരലലോഗ്രാം ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള എ ബി സി ഡി പോലെ കാണപ്പെടുന്നു. വശങ്ങളെ ബേസ് (എബി, ബിസി, സിഡി, എഡി) എന്നും, ഏത് ശീർഷകത്തിൽ നിന്നും വശത്തേക്ക് വരയ്ക്കുന്ന ലംബത്തെ ഉയരം (BE, BF) എന്നും എസി, ബിഡി വരികളെ ഡയഗോണലുകൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ശ്രദ്ധ!   ഒരു ചതുരം, റോംബസ്, ദീർഘചതുരം എന്നിവ ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ പ്രത്യേക കേസുകളാണ്.

വശങ്ങളും കോണുകളും: അനുപാതത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ

പ്രധാന സവിശേഷതകൾ, വലുതും വലുതും,   നൊട്ടേഷൻ മുൻ\u200cനിശ്ചയിച്ചത്, അവയെ പ്രമേയം തെളിയിക്കുന്നു. ഈ സവിശേഷതകൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്:

1. വിപരീത പാർട്ടികൾ ജോഡികളായി തുല്യമാണ്.
2. പരസ്പരം എതിർവശത്തായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന കോണുകൾ ജോഡികളായി തുല്യമാണ്.

തെളിവ്: ACABC, ∆ADC എന്നിവ പരിഗണിക്കുക, എസി ലൈനിന്റെ ചതുർഭുജ ABCD വേർതിരിക്കുന്നതിനാൽ ഇത് ലഭിക്കും. ACBCA \u003d ADCAD, ∠BAC \u003d ∠ACD, കാരണം എസി അവർക്ക് സാധാരണമാണ് ( ലംബ കോണുകൾ   BC || AD, AB || CD എന്നിവ യഥാക്രമം). ഇതിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു: ∆ABC \u003d ∆ADC (ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യതയുടെ രണ്ടാമത്തെ അടയാളം).

∆ABC ജോഡിയായി AB, BC എന്നീ സെഗ്\u200cമെന്റുകൾ ∆ADC ലെ സിഡി, എഡി എന്നീ വരികളുമായി യോജിക്കുന്നു, അതായത് അവയുടെ ഐഡന്റിറ്റി: AB \u003d CD, BC \u003d AD. അതിനാൽ, ∠B ∠D യുമായി യോജിക്കുന്നു, അവ തുല്യമാണ്. ∠A \u003d ∠BAC + ADCAD മുതൽ, pairC \u003d ∠BCA + ∠ACD, ഇവ ജോഡിയായി സമാനമാണ്, തുടർന്ന് ∠A \u003d ∠C. പ്രോപ്പർട്ടി തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ ഡയഗോണലുകളുടെ സവിശേഷതകൾ

പ്രധാന ലക്ഷണംഈ സമാന്തരചലനരേഖകളുടെ: ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റ് അവയെ പകുതിയായി വിഭജിക്കുന്നു.

തെളിവ്: എബിസിഡി ചിത്രത്തിന്റെ എസി, ബിഡി എന്നീ ഡയഗോണലുകളുടെ വിഭജന പോയിന്റായി ടി. ഇ ആകട്ടെ. അവ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങളായി മാറുന്നു - BABE, ∆CDE.

എബി \u003d സിഡി, കാരണം അവ വിപരീതമാണ്. വരികളും സെക്കന്റുകളും അനുസരിച്ച്, ∠ABE \u003d ∠CDE, ∠BAE \u003d ∠DCE.

സമത്വത്തിനായുള്ള രണ്ടാമത്തെ മാനദണ്ഡമനുസരിച്ച്, ΔABE \u003d ΔCDE. ഇതിനർത്ഥം ∆ABE, ∆CDE: AE \u003d CE, BE \u003d DE എന്നീ ഘടകങ്ങൾ എസി, ബിഡി എന്നിവയുടെ ആനുപാതിക ഭാഗങ്ങളാണ്. പ്രോപ്പർട്ടി തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

അടുത്തുള്ള കോണുകളുടെ സവിശേഷതകൾ

തൊട്ടടുത്ത വശങ്ങളിൽ, കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 is ആണ്കാരണം, അവ സമാന്തര രേഖകളുടെ ഒരു വശത്തും ഒരു സെക്കന്റിലും കിടക്കുന്നു. ചതുർഭുജ എബിസിഡിക്ക്:

∠A + ∠B \u003d ∠C + ∠D \u003d ∠A + ∠D \u003d ∠B + ∠C \u003d 180º

ബൈസെക്ടർ പ്രോപ്പർട്ടികൾ:

1.   , ഒരു വശത്തേക്ക് താഴ്ത്തി, ലംബമാണ്;
2. വിപരീത കൊടുമുടികൾക്ക് സമാന്തര ബൈസെക്ടറുകളുണ്ട്;
3. ബൈസെക്ടർ പിടിച്ച് ലഭിച്ച ത്രികോണം ഐസോസെല്ലുകളായിരിക്കും.

ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ സ്വഭാവ സവിശേഷതകളെ പ്രമേയം നിർണ്ണയിക്കുന്നു

ഈ ചിത്രത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ അതിന്റെ പ്രധാന സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു, അത് ഇനിപ്പറയുന്നവ പറയുന്നു: ഒരു ചതുർഭുജത്തെ ഒരു സമാന്തരചലനമായി കണക്കാക്കുന്നുഅതിന്റെ ഡയഗോണലുകൾ പരസ്പരം കൂടിച്ചേരുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ, ഈ പോയിന്റ് അവയെ തുല്യ ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു.

തെളിവ്: ടി. ഇയിൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള എബിസിഡിയുടെ എസി, ബിഡി വരികൾ തമ്മിൽ വിഭജിക്കുന്നുവെന്ന് കരുതുക. ∠AED \u003d ECBEC, AE + CE \u003d AC BE + DE \u003d BD, ∆AED \u003d ∆BEC (ത്രികോണങ്ങളുടെ തുല്യതയുടെ ആദ്യ ചിഹ്നത്തിലൂടെ). അതായത്, ∠EAD \u003d ∠ECB. എ.ഡി, ബി.സി എന്നീ നേർരേഖകൾക്കായുള്ള സെക്കന്റ് എസിയുടെ ആന്തരിക ക്രോസ് ആംഗിളുകളും അവയാണ്. അങ്ങനെ, സമാന്തരതയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച് - എ.ഡി || ബിസി. ബിസി, സിഡി ലൈനുകളുടെ സമാന സ്വത്തും .ട്ട്\u200cപുട്ടാണ്. പ്രമേയം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഒരു ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നു

ഈ ചിത്രത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം   നിരവധി രീതികൾ കണ്ടെത്തിഏറ്റവും ലളിതമായ ഒന്ന്: അത് വരച്ച ഉയരവും അടിത്തറയും ഗുണിക്കുന്നു.

തെളിവ്: ബി, സി എന്നീ ലംബങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ BE, CF എന്നിവ ലംബമായി വരയ്ക്കുന്നു. ABABE, ∆DCF എന്നിവ തുല്യമാണ്, കാരണം AB \u003d CD, BE \u003d CF. ആനുപാതികമായ കണക്കുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ എബിസിഡി ദീർഘചതുരം ഐബിസിഎഫുമായി ഐസോമെട്രിക് ആണ്: എസ് എബിഇ, എസ് ഇബിസിഡി, എസ് എസ് ഡിസിഎഫ്, എസ് ഇബിസിഡി. ഇത് അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം പിന്തുടരുന്നു ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങൾ   ദീർഘചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്:

S ABCD \u003d S EBCF \u003d BE × BC \u003d BE × AD.

പൊതുവായ സമാന്തരചലന ഏരിയ സൂത്രവാക്യം നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഉയരം ഇതായി സൂചിപ്പിക്കുക hbവശത്തേക്ക് b. ഉചിതമായി:

പ്രദേശം കണ്ടെത്താനുള്ള മറ്റ് വഴികൾ

ഏരിയ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സമാന്തരചലനത്തിന്റെയും കോണിന്റെയും വശങ്ങളിലൂടെഅറിയപ്പെടുന്ന രണ്ടാമത്തെ രീതിയാണ് അവ രൂപപ്പെടുത്തുന്നത്.

,

Spr-ma - ഏരിയ;

a, b എന്നിവ അതിന്റെ വശങ്ങളാണ്

a, b എന്നീ സെഗ്\u200cമെന്റുകൾ തമ്മിലുള്ള കോണാണ് α.

ഈ രീതി പ്രായോഗികമായി ആദ്യത്തേതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, പക്ഷേ അത് അജ്ഞാതമാണെങ്കിൽ. എല്ലായ്പ്പോഴും ഛേദിച്ചുകളയും മട്ട ത്രികോണംആരുടെ പാരാമീറ്ററുകൾ ത്രികോണമിതി ഐഡന്റിറ്റികളാൽ കണ്ടെത്തുന്നു, അതായത്. ബന്ധം പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു, ഞങ്ങൾ നേടുന്നു. ആദ്യ രീതിയുടെ സമവാക്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഈ ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിച്ച് ഉയരം മാറ്റി പകരം വയ്ക്കുകയും ഈ ഫോർമുലയുടെ സാധുതയുടെ തെളിവ് നേടുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെയും കോണിന്റെയും ഡയഗണലുകളിലൂടെ,   അവ കവലയിൽ സൃഷ്ടിക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് പ്രദേശം കണ്ടെത്താനും കഴിയും.

തെളിവ്: എസി, ബിഡി എന്നിവ തമ്മിൽ വിഭജിച്ച് നാല് ത്രികോണങ്ങൾ: എബിഇ, ബിഇസി, സിഡിഇ, എഇഡി. അവയുടെ തുക ഈ ചതുർഭുജത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഇവയിൽ ഓരോന്നിന്റെയും വിസ്തീർണ്ണം പദപ്രയോഗത്തിന് പിന്നിൽ കാണാം, ഇവിടെ a \u003d BE, b \u003d AE, ∠γ \u003d ∠AEB. അതിനുശേഷം, കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ സൈനിന്റെ ഒരൊറ്റ മൂല്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതായത്. AE + CE \u003d AC \u003d d 1, BE + DE \u003d BD \u003d d 2 എന്നിവ ആയതിനാൽ, ഏരിയ സൂത്രവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്നതിലേക്ക് കുറയ്\u200cക്കുന്നു:

.

വെക്റ്റർ ആൾജിബ്രയിലെ അപ്ലിക്കേഷൻ

ഈ ചതുർഭുജത്തിന്റെ ഘടകഭാഗങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ വെക്റ്റർ ആൾജിബ്രയിൽ പ്രയോഗം കണ്ടെത്തി, അതായത്: രണ്ട് വെക്റ്ററുകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ. സമാന്തരചലന നിയമം അത് പറയുന്നു വെക്റ്ററുകൾ നൽകിയാൽ   ഒപ്പം   അല്ല   കോളിനിയർ, അപ്പോൾ അവയുടെ ആകെത്തുക ഈ ചിത്രത്തിന്റെ ഡയഗോണലിന് തുല്യമായിരിക്കും, ഈ അടിസ്ഥാനങ്ങൾ ഈ വെക്റ്ററുകളുമായി യോജിക്കുന്നു.

തെളിവ്: അനിയന്ത്രിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത തുടക്കം മുതൽ - അതായത്. - ഞങ്ങൾ വെക്റ്ററുകളും നിർമ്മിക്കുന്നു. അടുത്തതായി, OA, OB എന്നീ സെഗ്\u200cമെന്റുകൾ വശങ്ങളുള്ള OASV- യുടെ ഒരു സമാന്തരചലനം ഞങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഒ.എസ് ഒരു വെക്റ്റർ അല്ലെങ്കിൽ തുകയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു.

പാരലലോഗ്രാം പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ ഐഡന്റിറ്റികൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

1. a, b, between അവയ്ക്കിടയിലുള്ള വശങ്ങളും കോണും;
2. d 1, d 2, inter എന്നിവ അവയുടെ വിഭജനത്തിന്റെ ഘട്ടത്തിലെ ഡയഗണലുകളാണ്;
3. h a, h b എന്നിവ a, b വശങ്ങളിൽ താഴ്ത്തിയിരിക്കുന്ന ഉയരങ്ങളാണ്;

പാരാമീറ്റർ	ഫോർമുല
പാർട്ടികൾ കണ്ടെത്തുന്നു
ഡയഗണോണലുകൾക്കിടയിലും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കോണിന്റെ കോസൈനിലും
ഡയഗണലായും വശത്തും
ഉയരത്തിലൂടെയും വിപരീത കൊടുമുടിയിലൂടെയും
ഡയഗോണലുകളുടെ നീളം കണ്ടെത്തുന്നു
വശങ്ങളിലും അവയ്ക്കിടയിലുള്ള കൊടുമുടിയുടെ വലുപ്പത്തിലും

ഒരു സമാന്തരചലനം ഒരു ചതുർഭുജമാണ്, അതിൽ എതിർവശങ്ങൾ ജോഡിയായി സമാന്തരമാണ്.

ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന് ചതുർഭുജത്തിന്റെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും ഉണ്ട്, എന്നാൽ ഇതിനുപുറമെ അതിന്റേതായുണ്ട് തനതുപ്രത്യേകതകൾ. അവയെ അറിയുന്നതിലൂടെ, ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും കോണുകളും നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

പാരലലോഗ്രാം പ്രോപ്പർട്ടികൾ

1. ഏതൊരു ചതുർഭുജത്തിലും ഉള്ളതുപോലെ ഏതെങ്കിലും സമാന്തരചലനത്തിലെ കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 360 is ആണ്.
2. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ മധ്യരേഖകളും അതിന്റെ ഡയഗോണലുകളും ഒരു ഘട്ടത്തിൽ വിഭജിച്ച് പകുതിയായി വിഭജിക്കുന്നു. ഈ പോയിന്റിനെ സമാന്തരചലനത്തിന്റെ സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
3. ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ എതിർവശങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും തുല്യമാണ്.
4. കൂടാതെ, ഈ കണക്കിൽ എല്ലായ്പ്പോഴും വിപരീത കോണുകളുണ്ട്.
5. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഇരുവശത്തോടും ചേർന്നുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക എല്ലായ്പ്പോഴും 180 is ആണ്.
6. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഡയഗോണലുകളുടെ സമചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അതിന്റെ രണ്ട് സമീപത്തുള്ള വശങ്ങളുടെ സമചതുരത്തിന്റെ ഇരട്ടിയാണ്. ഇത് സമവാക്യം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
   • d 1 2 + d 2 2 \u003d 2 (a 2 + b 2), ഇവിടെ d 1, d 2 എന്നിവ ഡയഗണലുകളാണ്, a, b എന്നിവ അടുത്തുള്ള വശങ്ങളാണ്.
7. ഒരു ചരിഞ്ഞ കോണിന്റെ കോസൈൻ എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണ്.

പ്രായോഗികമായി ഈ സവിശേഷതകൾ പ്രയോഗിച്ച് നൽകിയ സമാന്തരചലനത്തിന്റെ കോണുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? മറ്റ് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതിന് ഞങ്ങളെ സഹായിക്കും. ആവശ്യമായ നിർദ്ദിഷ്ട ജോലികൾ പരിഗണിക്കുക: സമാന്തരചലനത്തിന്റെ കോണുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

സമാന്തരചലനകോണുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു

കേസ് 1. ഒബ്\u200cട്യൂസ് ആംഗിളിന്റെ അളവ് അറിയാം; അക്യൂട്ട് ആംഗിൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം: ഒരു സമാന്തരചലന ABCD യിൽ, A ആംഗിൾ 120 is ആണ്. ശേഷിക്കുന്ന കോണുകളുടെ അളവ് കണ്ടെത്തുക.

തീരുമാനം: പ്രോപ്പർട്ടി നമ്പർ 5 ഉപയോഗിച്ച്, ടാസ്കിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന കോണിനോട് ചേർന്നുള്ള ബി ആംഗിളിന്റെ ഒരു അളവ് നമുക്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. ഇത് ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:

• 180 ° -120 ° \u003d 60 °

ഇപ്പോൾ, പ്രോപ്പർട്ടി നമ്പർ 4 ഉപയോഗിച്ച്, സി, ഡി എന്നീ ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് കോണുകൾ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയ ആ കോണുകൾക്ക് വിപരീതമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. സി ആംഗിൾ എ കോണിന് വിപരീതമാണ്, ആംഗിൾ ഡി ആംഗിൾ ബി ആണ്. അതിനാൽ, അവ ജോഡികളായി തുല്യമാണ്.

• ഉത്തരം: ബി \u003d 60 °, സി \u003d 120 °, ഡി \u003d 60 °

കേസ് 2. വശങ്ങളുടെ നീളവും ഡയഗോണലും അറിയപ്പെടുന്നു.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ കോസൈൻ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ആദ്യം, നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമുള്ള കോണിന്റെ കോസൈൻ കണക്കാക്കാം, തുടർന്ന് പ്രത്യേക പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ കോണിനെ കണ്ടെത്താം.

വേണ്ടി ന്യൂനകോണ്   സമവാക്യം ഇതാണ്:

• cosa \u003d (A² + V² - d²) / (2 * A * B), എവിടെ
• കൂടാതെ - ഇതാണ് ആവശ്യമുള്ള നിശിതകോൺ,
• എ, ബി എന്നിവ സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വശങ്ങളാണ്,
• d - ചെറിയ ഡയഗണൽ

ഒരു ചരിഞ്ഞ കോണിനായി, സമവാക്യം ചെറുതായി മാറുന്നു:

• cosß \u003d (A² + V² - D²) / (2 * A * B), എവിടെ
• ob ഒരു obtuse angle ആണ്
• എ, ബി എന്നിവ വശങ്ങളാണ്
• ഡി - വലിയ ഡയഗണൽ

ഉദാഹരണം: സമാന്തരചലനത്തിന്റെ നിശിതകോൺ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതിന്റെ വശങ്ങൾ 6 സെന്റീമീറ്ററും 3 സെന്റീമീറ്ററുമാണ്, ചെറിയ ഡയഗണൽ 5.2 സെന്റിമീറ്ററാണ്

അക്യൂട്ട് ആംഗിൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയിലെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

• cosa \u003d (6 2 + 3 2 - 5.2 2) / (2 * 6 * 3) \u003d (36 + 9 - 27.04) / (2 * 18) \u003d 17.96 / 36 ~ 18/36 ~ 1/2
• cosa \u003d 1/2. പട്ടിക അനുസരിച്ച്, ആവശ്യമുള്ള കോൺ 60 is ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഒരു സമാന്തരചലനം ഒരു ചതുർഭുജമാണ്, അതിൽ എതിർവശങ്ങൾ സമാന്തരമാണ്, അതായത് സമാന്തര വരികളിൽ കിടക്കുന്നു (ചിത്രം 1).

  സിദ്ധാന്തം 1 ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വശങ്ങളുടെയും കോണുകളുടെയും സ്വത്തിൽ.   സമാന്തരചലനത്തിൽ, വിപരീത വശങ്ങൾ തുല്യമാണ്, വിപരീത കോണുകൾ തുല്യമാണ്, സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഒരു വശത്തോട് ചേർന്നുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 is ആണ്.

തെളിവ്. ഈ സമാന്തരചലന ABCD യിൽ, ഞങ്ങൾ ഡയഗണൽ എസി വരയ്ക്കുകയും ABC, ADC എന്നീ രണ്ട് ത്രികോണങ്ങൾ നേടുകയും ചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 2).

ഈ ത്രികോണങ്ങൾ തുല്യമാണ്, കാരണം ∠ 1 \u003d ∠ 4, ∠ 2 \u003d ∠ 3 (സമാന്തര വരികൾക്കായി ക്രോസ്വേസായി കിടക്കുന്ന കോണുകൾ), സ്പീക്കർ വശം സാധാരണമാണ്. Δ ABC \u003d Δ ADC എന്ന സമത്വത്തിൽ നിന്ന് AB \u003d CD, BC \u003d AD, ∠ B \u003d ∠ D. ഒരു വശത്തോട് ചേർന്നുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക, ഉദാഹരണത്തിന്, A, D കോണുകൾ സമാന്തര വരികളുള്ള ഏകപക്ഷീയമായി 180 is ആണ്. പ്രമേയം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

അഭിപ്രായം. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ എതിർവശങ്ങളുടെ തുല്യത എന്നാൽ സമാന്തരമായി മുറിച്ച സമാന്തരത്തിന്റെ ഭാഗങ്ങൾ തുല്യമാണെന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

കൊറോളറി 1. രണ്ട് വരികൾ സമാന്തരമാണെങ്കിൽ, ഒരു വരിയുടെ എല്ലാ പോയിന്റുകളും മറ്റ് വരിയിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണ്.

തെളിവ്. വാസ്തവത്തിൽ, ഒരു || b (ചിത്രം 3).

വരിയുടെ ബി, സി എന്നീ രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ നിന്ന് ബി വരെയും ലംബമായും ബി വരയ്ക്കുക. എബി മുതൽ || സിഡി, പിന്നെ എബിസിഡി ഒരു സമാന്തരചലനമാണ്, അതിനാൽ എബി \u003d സിഡി.

രണ്ട് സമാന്തര വരികൾക്കിടയിലുള്ള ദൂരം ഒരു വരിയുടെ ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു വരിയിലേക്കുള്ള ദൂരമാണ്.

തെളിയിക്കപ്പെട്ടതനുസരിച്ച്, സമാന്തര വരികളിൽ ഒന്നിന്റെ മറ്റൊരു പോയിന്റിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു വരയിലേക്ക് വരച്ച ലംബത്തിന്റെ നീളത്തിന് തുല്യമാണിത്.

ഉദാഹരണം 1   സമാന്തരചലനത്തിന്റെ പരിധി 122 സെന്റിമീറ്ററാണ്.ഇതിന്റെ ഒരു വശത്ത് മറ്റേതിനേക്കാൾ 25 സെന്റിമീറ്റർ വലുതാണ്.പാരലലോഗ്രാമിന്റെ വശങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

തീരുമാനം.   സിദ്ധാന്തം 1 അനുസരിച്ച്, സമാന്തരചലനത്തിന്റെ എതിർവശങ്ങൾ തുല്യമാണ്. സമാന്തരചലനത്തിന്റെ ഒരു വശം x ഉം മറ്റൊന്ന് y ഉം സൂചിപ്പിക്കുന്നു. $$ \\ ഇടത് \\ (\\ ആരംഭിക്കുക (മാട്രിക്സ്) 2x + 2y \u003d 122 \\\\ x - y \u003d 25 \\ അവസാനം (മാട്രിക്സ്) \\ വലത് എന്ന വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം. System ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നമുക്ക് x \u003d 43, y \u003d 18. ലഭിക്കും അങ്ങനെ, സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 18, 43, 18, 43 സെ.

ഉദാഹരണം 2

തീരുമാനം.   പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ ചിത്രം 4 ന് യോജിക്കട്ടെ.

എബിയെ x എന്നും ബിസി യെ y എന്നും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, സമാന്തരചലനത്തിന്റെ പരിധി 10 സെന്റിമീറ്ററാണ്, അതായത് 2 (x + y) \u003d 10, അല്ലെങ്കിൽ x + y \u003d 5. ത്രികോണത്തിന്റെ പരിധികൾ 8 സെന്റിമീറ്ററാണ്. എബി + എഡി \u003d എക്സ് + വൈ \u003d 5 മുതൽ ബിഡി \u003d 8 - 5 \u003d 3. അതിനാൽ ബിഡി \u003d 3 സെ.

ഉദാഹരണം 3   ഒരു സമാന്തരചലനത്തിന്റെ കോണുകൾ കണ്ടെത്തുക, അവയിലൊന്ന് മറ്റൊന്നിനേക്കാൾ 50 ° വലുതാണെന്ന് അറിയുക.

തീരുമാനം.   പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ ചിത്രം 5 ന് യോജിക്കട്ടെ.

A ന്റെ കോണിന്റെ ഡിഗ്രി അളവ് x കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുക. പിന്നെ ഡിഗ്രി അളവ്   ആംഗിൾ ഡി x + 50 is ആണ്.

BAD, ADC എന്നീ കോണുകൾ\u200c ആന്തരിക ഏകപക്ഷീയമാണ്, സമാന്തര നേർരേഖകളായ AB, DC, സെക്കൻറ് AD. അപ്പോൾ ഈ പേരുള്ള കോണുകളുടെ ആകെത്തുക 180 be ആയിരിക്കും, അതായത്.
  x + x + 50 ° \u003d 180 °, അല്ലെങ്കിൽ x \u003d 65 °. അങ്ങനെ, ∠ A \u003d ∠ C \u003d 65 °, a ∠ B \u003d ∠ D \u003d 115 °.

ഉദാഹരണം 4   സമാന്തരചലനത്തിന്റെ വശങ്ങൾ 4.5 dm ഉം 1.2 dm ഉം ആണ്. നിശിതകോണിന്റെ മുകളിൽ നിന്ന് ഒരു ബൈസെക്ടർ വരയ്ക്കുന്നു. ഏത് ഭാഗങ്ങളാണ് അവൾ വിഭജിക്കുന്നത് വലിയ വശം   സമാന്തരചലനം?

തീരുമാനം.   പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ ചിത്രം 6 ന് യോജിക്കട്ടെ.

സമാന്തരചലനത്തിന്റെ നിശിതകോണിന്റെ ബൈസെക്ടറാണ് AE. അതിനാൽ, ∠ 1 \u003d 2.