റഷ്യൻ ഫെഡറേഷന്റെ വിദ്യാഭ്യാസത്തിന്റെയും ശാസ്ത്രത്തിന്റെയും മന്ത്രാലയം

ഫെഡറൽ സ്റ്റേറ്റ് സ്വയംഭരണ വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം

ഉയർന്ന പ്രൊഫഷണൽ വിദ്യാഭ്യാസം

"യുറൽ ഫെഡറൽ യൂണിവേഴ്സിറ്റിക്ക് റഷ്യയുടെ ആദ്യ പ്രസിഡന്റിന്റെ പേര് ബി.എൻ യെൽറ്റ്സിൻ"

ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ഓഫ് റേഡിയോ ഇലക്ട്രോണിക്സ് ആൻഡ് ഇൻഫർമേഷൻ ടെക്നോളജീസ് - ആർടിഎഫ്

വകുപ്പ് ഓട്ടോമേഷനും വിവര സാങ്കേതികവിദ്യയും

സ്പ്ലൈൻ ഇന്റർപോളേഷൻ

"സംഖ്യാ രീതികൾ" എന്ന ശാസനയിലെ ലബോറട്ടറി ജോലികൾക്കുള്ള മെത്തഡോളജിക്കൽ നിർദ്ദേശങ്ങൾ

സീനിയർ ലക്ചറർ ആയ IA സെലിവനോവ സമാഹരിച്ചത്.

സ്പൈൻ ഇടപെടൽ:"സംഖ്യാ രീതികൾ" വിഭാഗത്തിലെ പ്രായോഗിക വ്യായാമങ്ങൾക്കുള്ള രീതിപരമായ നിർദ്ദേശങ്ങൾ

230100 - "ഇൻഫോർമാറ്റിക്സ് ആൻഡ് കമ്പ്യൂട്ടർ എഞ്ചിനീയറിംഗ്" എന്ന ദിശയിലുള്ള എല്ലാത്തരം വിദ്യാഭ്യാസ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും നിർദ്ദേശങ്ങൾ ഉദ്ദേശിച്ചുള്ളതാണ്.

G FGAOU VPO "റഷ്യയുടെ ആദ്യ പ്രസിഡന്റിന്റെ പേരിലുള്ള UrFU B. N. Yeltsin", 2011

1. സ്പ്ലൈനുകളിലൂടെയുള്ള ഇടപെടൽ. 4

1.1 ക്യൂബിക് സ്പൈൻസ്. 4

1.2 സ്പ്ലൈൻ നൊട്ടേഷന്റെ ഒരു പ്രത്യേക രൂപം. 5

1.3 ക്വാഡ്രാറ്റിക് സ്പ്ലൈനുകൾ. 13

1.4 അസൈൻമെന്റ് പരിശീലിക്കുക. പതിനെട്ടു

1.5 ജോലി ഓപ്ഷനുകൾ. 19

പരാമർശങ്ങൾ 21

1. സ്പൈലുകളിലൂടെയുള്ള ഇന്റർപോളേഷൻ.

ഇടവേളയുള്ള സന്ദർഭങ്ങളിൽ [ എ,ബി] നിങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നിടത്ത് എഫ്(x) വലുതാണ്, നിങ്ങൾക്ക് സ്പ്ലൈൻ ഇന്റർപോളേഷൻ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും.

1.1 ക്യൂബിക് സ്പൈൻസ്.

ഇന്റർപോളേഷൻ സ്പൈൻസ് 3 ആംപോളിനോമിയലുകളുടെ കഷണങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളാണ് ക്രമം 3 thഓർഡർ ഇന്റർഫേസ് നോഡുകളിൽ, ഫംഗ്ഷന്റെ തുടർച്ച, അതിന്റെ ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉറപ്പാക്കുന്നു. ഏകദേശ പ്രവർത്തനം പ്രത്യേക പോളിനോമിയലുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു, ചട്ടം പോലെ, അതേ ചെറിയ അളവിൽ, ഓരോന്നും സെഗ്മെന്റിന്റെ സ്വന്തം ഭാഗത്ത് നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു.

വിഭാഗത്തിൽ അനുവദിക്കുക [ എ, ബി] യഥാർത്ഥ അച്ചുതണ്ട് x ഒരു ഗ്രിഡ് നൽകിയിരിക്കുന്നു, അതിന്റെ മൂല്യങ്ങളിൽ നോഡുകൾ
പ്രവർത്തനം എഫ്(x). സെഗ്‌മെന്റിൽ നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് [ എ, ബി] തുടർച്ചയായ സ്പ്ലൈൻ പ്രവർത്തനം എസ്(x), ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു:

ആവശ്യമായ സ്പ്ലൈൻ നിർമ്മിക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഗുണകങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്
ബഹു പദങ്ങൾ
,ഐ=1,… എന്, അതായത് 4 എന് തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന അജ്ഞാത ഗുണകങ്ങൾ 4 എന്-2 സമവാക്യങ്ങൾ (1), (2), (3). സമവാക്യ സംവിധാനത്തിന് ഒരു പരിഹാരം ലഭിക്കുന്നതിന്, രണ്ട് അധിക (അതിർത്തി) വ്യവസ്ഥകൾ ചേർത്തിരിക്കുന്നു. മൂന്ന് തരം അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

വ്യവസ്ഥകൾ (1), (2), (3) കൂടാതെ വ്യവസ്ഥകളിലൊന്ന് (4), (5), (6) ക്രമത്തിന്റെ ഒരു സ്ലെ ആയി മാറുന്നു 4 എന്. സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ഗോസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, ക്യൂബിക് പോളിനോമിയലിനായി ഒരു പ്രത്യേക നൊട്ടേഷൻ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ, പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ ക്രമം ഗണ്യമായി കുറയ്ക്കാൻ ഒരാൾക്ക് കഴിയും.

1.2 സ്പ്ലൈൻ നൊട്ടേഷന്റെ ഒരു പ്രത്യേക രൂപം.

വിഭാഗം പരിഗണിക്കുക
... വേരിയബിളുകളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം:

ഇവിടെ
- സെഗ്മെന്റ് ദൈർഘ്യം
,

,
- സഹായ വേരിയബിളുകൾ,

x- സെഗ്മെന്റിലെ ഇന്റർമീഡിയറ്റ് പോയിന്റ്
.

എപ്പോൾ x ഇടവേളയിലെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളിലൂടെയും പ്രവർത്തിക്കുന്നു
, വേരിയബിൾ 0 മുതൽ 1 വരെ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ
1 മുതൽ 0 വരെയാണ്.

ക്യൂബിക് പോളിനോമിയൽ ആകട്ടെ
വിഭാഗത്തിൽ
ഇത് പോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

വേരിയബിളുകൾ ഒപ്പം
ഇന്റർപോളേഷന്റെ ഒരു പ്രത്യേക വിഭാഗവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

സ്പ്ലൈനിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക
സെഗ്മെന്റിന്റെ അറ്റത്ത്
... പോയിന്റ്
വിഭാഗത്തിന്റെ പ്രാരംഭമാണ്
, അതുകൊണ്ടു =0,
= 1 കൂടാതെ (3.8) അനുസരിച്ച്:
.

സെഗ്മെന്റിന്റെ അവസാനം
=1,
= 0 കൂടാതെ
.

ഇടവേളയ്ക്ക്
പോയിന്റ്
പരിമിതമാണ്, അതിനാൽ =1,
= 0, ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (9) നമുക്ക് ലഭിക്കും:
... അങ്ങനെ, പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തുടർച്ചയുടെ അവസ്ഥ എസ്(x) സംഖ്യകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് പരിഗണിക്കാതെ ക്യൂബിക് പോളിനോമിയലുകളുടെ ജംഗ്ഷനുകളിൽ  i.

ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ  i, ഐ=0,… എന് സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനമായി ഞങ്ങൾ (8) രണ്ടുതവണ വേർതിരിക്കുന്നു x... പിന്നെ

സ്പ്ലൈനിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ നമുക്ക് നിർവചിക്കാം
ഒപ്പം
:

പോളിനോമിയലിനായി
പോയിന്റ് ഇന്റർപോളേഷൻ വിഭാഗത്തിന്റെ ആരംഭമാണ് =0,
= 1, അതിനാൽ

ഇത് (15), (16) എന്നിവയിൽ നിന്ന് തുടരുന്നു [ എ,ബി] മൂന്നാം-ഓർഡർ പോളിനോമിയലുകളുടെ കഷണങ്ങളിൽ നിന്ന് "ഒട്ടിച്ചിരിക്കുന്ന" ഒരു സ്പ്ലൈൻ ഫംഗ്ഷന് തുടർച്ചയായ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്.

ഫംഗ്ഷന്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ തുടർച്ച ലഭിക്കുന്നതിന് എസ്(x), ഇന്റർപോളേഷന്റെ ആന്തരിക നോഡുകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് വ്യവസ്ഥയുടെ പൂർത്തീകരണം ആവശ്യമാണ്:

സ്വാഭാവിക ക്യൂബിക് സ്പ്ലൈനിനായി
അതിനാൽ, സമവാക്യ സംവിധാനത്തിന് ഒരു ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കും:

സമവാക്യ സംവിധാനത്തിന് (17) ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കും:

ഉദാഹരണം.

പ്രാരംഭ ഡാറ്റ:

ഫംഗ്ഷൻ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക
ഇന്റർപോളേഷൻ ക്യൂബിക് സ്പ്ലൈൻ, നൽകിയിരിക്കുന്ന നോഡൽ പോയിന്റുകളിലെ മൂല്യങ്ങൾ (പട്ടിക കാണുക) ഒരേ പോയിന്റുകളിലെ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. വ്യത്യസ്ത അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ പരിഗണിക്കുക.

നോഡൽ പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ പട്ടികയിൽ നിന്നുള്ള മൂല്യങ്ങൾ തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു.

വ്യത്യസ്ത അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾക്ക് (4), (5), (6), ക്യൂബിക് സ്പ്ലൈനുകളുടെ ഗുണകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

1. ആദ്യത്തെ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ പരിഗണിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ എന്=3,
,
,
... കണ്ടുപിടിക്കാൻ
ഞങ്ങൾ സമവാക്യ സംവിധാനം ഉപയോഗിക്കുന്നു (3.18):

നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടാം ഒപ്പം ഫോർമുലകൾ (7) ഉം (11) ഉപയോഗിച്ച്:

ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

.

സിസ്റ്റം പരിഹാരം:

ആദ്യത്തെ അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, സ്പ്ലൈൻ ഗുണകങ്ങൾ:

അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ (3.5) കണക്കിലെടുത്ത് സ്പ്ലൈൻ കോഫിഫിഷ്യന്റുകളുടെ നിർവചനം പരിഗണിക്കുക:

ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക
:

നമുക്ക് കണക്കുകൂട്ടാം
ഒപ്പം
:

നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനത്തിൽ (21) മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം ഒപ്പം :

ഫോർമുല (20) ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ  0 ഉം  3 ഉം നിർവ്വചിക്കുന്നു:

പ്രത്യേക മൂല്യങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ:

കൂടാതെ ഗുണകങ്ങളുടെ വെക്റ്റർ:

ഇന്റർപോളേഷൻ സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ മധ്യ പോയിന്റുകളിൽ ക്യൂബിക് സ്പ്ലൈൻ എസ് (x) ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് കണക്കാക്കാം.

വിഭാഗങ്ങളുടെ മധ്യഭാഗം:

ഇന്റർപോളേഷൻ സെഗ്‌മെന്റുകളുടെ മധ്യഭാഗത്തുള്ള ക്യൂബിക് സ്പ്ലൈനിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഫോർമുലകൾ (7), (9) എന്നിവ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

3.1.

കണ്ടെത്തുക ഒപ്പം
:

ഫോർമുലയിൽ (3.9), ഞങ്ങൾ ഗുണകങ്ങളെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു

3.2.

കണ്ടെത്തുക ഒപ്പം
:

, അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾക്ക് (4), (5), (6):

3.3.

കണ്ടെത്തുക ഒപ്പം
:

ഫോർമുലയിൽ (9), ഞങ്ങൾ ഗുണകങ്ങളെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു
, അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾക്ക് (4), (5), (6):

നമുക്ക് ഒരു പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം:

സ്പ്ലൈൻ (ഇംഗ്ലീഷ് പദം "spline") എന്ന വാക്കിന്റെ അർത്ഥം ഒരു വിമാനത്തിൽ നിർദ്ദിഷ്ട പോയിന്റുകളിലൂടെ സുഗമമായ വളവുകൾ വരയ്ക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന വഴങ്ങുന്ന ഭരണാധികാരി എന്നാണ്. ഓരോ സെഗ്‌മെന്റിലെയും ഈ സാർവത്രിക കഷണത്തിന്റെ ആകൃതി ഒരു ക്യൂബിക് പരബോള വിവരിക്കുന്നു. എഞ്ചിനീയറിംഗ് ആപ്ലിക്കേഷനുകളിൽ, പ്രത്യേകിച്ച് കമ്പ്യൂട്ടർ ഗ്രാഫിക്സിൽ സ്പ്ലൈനുകൾ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഓരോന്നിലും ഐ-മൂന്നാം വിഭാഗം [ x i –1 , x i], i = 1, 2,…, എൻ,മൂന്നാം ഡിഗ്രി പോളിനോമിയലിന്റെ രൂപത്തിൽ പരിഹാരം തേടും:

എസ് ഐ(x)= a i + b i(x - x i)+ സി ഐ(x–x i) 2 /2+ ഡി ഐ(x - x i) 3 /6

അജ്ഞാതമായ സാധ്യതകൾ a i, b i, c i, d i, i = 1, 2,..., എൻ,ഞങ്ങൾ ഇതിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തുന്നു:

ഇന്റർപോളേഷൻ വ്യവസ്ഥകൾ: എസ് ഐ(x i)= f i, i = 1, 2,..., എൻ;എസ് 1 (x 0)= എഫ് 0 ,

തുടർച്ച പ്രവർത്തനം എസ് ഐ(x i- 1 ) = എസ് ഐ- 1 (x i –1), i = 2, 3,..., എൻ,

ഒന്നും രണ്ടും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ തുടർച്ചകൾ:

എസ് / ഐ(x i- 1)=എസ് / ഐ - 1 (x i –1), എസ് // ഐ(x i –1)= എസ് // ഐ –1 (x i –1), i = 2, 3,..., എൻ.

അത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, 4 നിർണ്ണയിക്കാൻ എൻഅജ്ഞാതർ, ഞങ്ങൾക്ക് സിസ്റ്റം 4 ലഭിക്കും എൻ–2 സമവാക്യങ്ങൾ:

a i = f i, i = 1, 2,..., എൻ,

ബി ഐ എച്ച് ഐ - സി ഐ എച്ച് ഐ 2 /2+ ഡി ഐ എച്ച് ഐ 3 /6= എഫ് ഐ - എഫ് ഐ –1 , i = 1, 2,..., എൻ,

b i - b i - 1 = c i h i - d i h i 2 /2, i = 2, 3,..., എൻ,

d i h i = c i - c i– 1 , i = 2, 3,..., എൻ.

എവിടെ h i = x i - x i– 1. കാണാതായ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ അധിക വ്യവസ്ഥകളിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്: എസ് //(എ)= എസ് //(ബി)=0. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അത് കാണിക്കാൻ കഴിയും. അജ്ഞാതരെ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ് b i, d i,സിസ്റ്റം ലഭിച്ച ശേഷം N + 1 ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ (SLAE) ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ c i:

സി 0 = 0, സി N = 0,

h i c i –1 + 2(h i + h i +1)c i + h i +1 c i +1 = 6 , i = 1, 2,…, എൻ–1. (1)

അതിനുശേഷം, ഗുണകങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു b i, d i:

, i = 1, 2,..., എൻ. (2)

ഒരു സ്ഥിരമായ ഗ്രിഡിന്റെ കാര്യത്തിൽ h i = hഈ സമവാക്യ സംവിധാനം ലളിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു.

ഈ SLAE ന് ഒരു ത്രികോണ മാട്രിക്സ് ഉണ്ട്, അത് സ്വീപ്പ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഫോർമുലകളിൽ നിന്നാണ്:

മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ എസ്(xസെഗ്‌മെന്റിന്റെ ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റിൽ z∈[എ, ബി] ഗുണകങ്ങൾക്കായുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് c i, i = 1,2,…, എൻ–1, തുടർന്ന് എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും കണ്ടെത്തുക b i, d i.കൂടാതെ, ഏത് ഇടവേളയ്ക്കായി നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് [ x i 0, x i 0-1] ഈ പോയിന്റ് അടിക്കുകയും നമ്പർ അറിയുകയും ചെയ്യുന്നു i 0,ഒരു ഘട്ടത്തിൽ സ്പ്ലൈനിന്റെയും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും മൂല്യം കണക്കാക്കുക z

എസ്(z)= a i 0 + b i 0 (z - x i 0)+ സി ഐ 0 (z - x i 0) 2 /2+ ഡി ഐ 0 (z - x i 0) 3 /6

എസ് /(z)= b i 0 + സി ഐ 0 (z - x i 0)+ ഡി ഐ 0 (z - x i 0) 2 /2, എസ് //(z)= c i 0 + ഡി ഐ 0 (z - x i 0).

സ്പ്ലൈൻ ഇന്റർപോളേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് 0.25, 0.8 പോയിന്റുകളിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ: h i = 1/4 ,.

നിർണ്ണയിക്കാൻ നമുക്ക് ഒരു സമവാക്യ സംവിധാനം എഴുതാം:

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഈ സംവിധാനം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

പോയിന്റ് 0.25 പരിഗണിക്കുക, അത് ആദ്യ വിഭാഗത്തിൽ പെടുന്നു, അതായത്. ... അതിനാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

നാലാമത്തെ വിഭാഗത്തിൽപ്പെട്ട 0.8 പോയിന്റ് പരിഗണിക്കുക, അതായത്. ...

അതിനാൽ,

ആഗോള ഇടപെടൽ

എപ്പോൾ ആഗോള ഇടപെടൽമുഴുവൻ ഇടവേളയിലും ഒരൊറ്റ പോളിനോമിയൽ കാണപ്പെടുന്നു [ എ, ബി], അതായത് ഒരു പോളിനോമിയൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു, ഇത് x (ആർ) ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വ്യതിയാനത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഇടവേളയിലും f (x) ഫംഗ്ഷൻ ഇന്റർപോളേറ്റ് ചെയ്യാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഒരു പോളിനോമിയൽ (പോളിനോമിയൽ) രൂപത്തിൽ ഒരു ഇന്റർപോളേറ്റിംഗ് ഫംഗ്ഷൻ ഞങ്ങൾ നോക്കും. m-ഡിഗ്രി പി എം(x)= എ 0 + എ 1 x + a 2 x 2 + എ 3 x 3 + ... + ഒരു m x m.എല്ലാ ഇന്റർപോളേഷൻ വ്യവസ്ഥകളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതിന് പോളിനോമിയലിന്റെ അളവ് എത്രയാണ്? രണ്ട് പോയിന്റുകൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് കരുതുക: ( x 0 , എഫ് 0) കൂടാതെ ( x 1 , എഫ് 1), അതായത് N = 1. ഈ പോയിന്റുകളിലൂടെ ഒരൊറ്റ നേർരേഖ വരയ്ക്കാം, അതായത്. ഇന്റർപോളിംഗ് ഫംഗ്ഷൻ ഒന്നാം ഡിഗ്രി പോളിനോമിയൽ ആയിരിക്കും പി 1 (x)= എ 0 + എ 1 xമൂന്ന് പോയിന്റുകളിലൂടെ (N = 2) ഒരാൾക്ക് ഒരു പരാബോള വരയ്ക്കാം പി 2 (x)= എ 0 + എ 1 x + a 2 x 2, മുതലായവ ഈ രീതിയിൽ ന്യായവാദം ചെയ്യുമ്പോൾ, ആവശ്യമുള്ള പോളിനോമിയലിന് ബിരുദം ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം എൻ .

ഇത് തെളിയിക്കുന്നതിന്, ഗുണകങ്ങൾക്കായുള്ള ഒരു സമവാക്യ സംവിധാനം ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു. ഓരോന്നിലും ഉള്ള ഇന്റർപോളേഷൻ അവസ്ഥകളാണ് സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങൾ x = x i:

ആവശ്യമുള്ള ഗുണകങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഈ സംവിധാനം രേഖീയമാണ് എ 0 , എ 1 , എ 2 , …,ഒരു എൻ.ഒരു SLAE- ന് അതിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് നോൺസെറോ ആണെങ്കിൽ ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് അറിയാം. തന്നിരിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിന്റെ നിർണ്ണായകൻ

പേര് വഹിക്കുന്നു വണ്ടർമോണ്ടെയുടെ നിർണ്ണായകൻ... ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൽ നിന്ന് ഇത് നോൺസെറോ ആണെങ്കിൽ അറിയാം x കെ≠x മീ(അതായത് എല്ലാ ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകളും വ്യത്യസ്തമാണ്). അങ്ങനെ, സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് തെളിഞ്ഞു.

ഗുണകങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ അത് കാണിച്ചു
എ 0 , എ 1 , എ 2 , …,ഒരു എൻ SLAE പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഇത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമാണ്. എന്നാൽ പോളിനോമിയൽ നിർമ്മിക്കാൻ മറ്റൊരു വഴിയുണ്ട് എൻ-ടി, അത്തരം ഒരു സംവിധാനത്തിന്റെ പരിഹാരം ആവശ്യമില്ല.

ലഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയൽ

ഞങ്ങൾ ഫോമിൽ പരിഹാരം തേടുന്നു , എവിടെ l ഞാൻ(z) – അടിസ്ഥാന പോളിനോമിയലുകൾ എൻ-നിബന്ധന പാലിക്കപ്പെടുന്ന ബിരുദം: ... അത്തരം പോളിനോമിയലുകൾ നിർമ്മിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം എൽ എൻ (x)ഇന്റർപോളേഷൻ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തും:

അടിസ്ഥാന പോളിനോമിയലുകൾ എങ്ങനെ നിർമ്മിക്കാം? ഞങ്ങൾ നിർവ്വചിക്കുന്നു

, i = 0, 1,..., എൻ.

അത് മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്

ഫംഗ്ഷൻ l ഞാൻ(z) ഒരു ബഹു പദമാണ് എൻ-മുതൽ ബിരുദം zഅതിനായി "അടിസ്ഥാന" വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

0, i ≠ k ;, അതായത് k = 1, ..., i-1 അല്ലെങ്കിൽ k = i + 1, ..., N

അങ്ങനെ, ഇന്റർപോളേറ്റിംഗ് പോളിനോമിയൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിഞ്ഞു N–ഡിഗ്രി, ഇതിന് SLAE പരിഹരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. ലഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയൽ ഒരു കോംപാക്റ്റ് ഫോർമുലയായി എഴുതാം: . യഥാർത്ഥ പ്രവർത്തനം ആണെങ്കിൽ ഈ ഫോർമുലയുടെ തെറ്റ് കണക്കാക്കാം g(x) വരെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ട് N + 1 ഓർഡർ:

ഈ സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, രീതിയുടെ പിശക് പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സവിശേഷതകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു g(x), അതുപോലെ ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകളുടെയും പോയിന്റുകളുടെയും സ്ഥാനത്ത് നിന്ന് zകണക്കാക്കിയ പരീക്ഷണങ്ങൾ അത് കാണിക്കുന്നു ലഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയലിന് ചെറിയ മൂല്യങ്ങൾക്ക് ഒരു ചെറിയ പിശക് ഉണ്ട് എൻ<20 ... വലിയതിന് എൻപിശക് വളരാൻ തുടങ്ങുന്നു, ഇത് ലഗ്രാഞ്ച് രീതി ഒത്തുചേരുന്നില്ലെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു (അതായത്, വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് അതിന്റെ തെറ്റ് കുറയുന്നില്ല എൻ).

നമുക്ക് പ്രത്യേക കേസുകൾ പരിഗണിക്കാം. N = 1 അനുവദിക്കുക, അതായത്. ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ മാത്രമേ നൽകിയിട്ടുള്ളൂ. അപ്പോൾ അടിസ്ഥാന പോളിനോമിയലുകൾ ഇവയാണ്:

, അതായത് പീസ്‌വൈസ് ലീനിയർ ഇന്റർപോളേഷനായി ഞങ്ങൾ ഫോർമുലകൾ നേടുന്നു.

N = 2 അനുവദിക്കുക. പിന്നെ:

തത്ഫലമായി, വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങൾ നേടി ക്വാഡ്രാറ്റിക് അല്ലെങ്കിൽ പാരബോളിക് ഇന്റർപോളേഷൻ.

ഉദാഹരണം:ചില പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു:

ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് z = 1 Lgrange ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ആഡ് ഹോക്ക് എൻ= 3, അതായത്. ലഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയൽ മൂന്നാമത്തെ ക്രമമാണ്. അടിസ്ഥാന പോളിനോമിയലുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് കണക്കാക്കാം z=1:

അനുഭവപരമായ ഫോർമുലകളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്

ഇന്റർപോളേഷൻ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുമ്പോൾ, ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിന്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ തുല്യതയുടെ അവസ്ഥയും ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷനും ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു. പരീക്ഷണാത്മക അളവുകളുടെ ഫലമായി പ്രാരംഭ ഡാറ്റ ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഡാറ്റ കൃത്യമായി ലഭിക്കാത്തതിനാൽ കൃത്യമായ പൊരുത്തത്തിന്റെ ആവശ്യകത ആവശ്യമില്ല. ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഇന്റർപോളേഷൻ വ്യവസ്ഥകളുടെ ഏകദേശ നിവൃത്തി മാത്രമേ ഒരാൾക്ക് ആവശ്യമുള്ളൂ. ഈ അവസ്ഥ അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഇന്റർപോളിംഗ് പ്രവർത്തനം എന്നാണ് എഫ് (x)തന്നിരിക്കുന്ന പോയിന്റുകളിലൂടെ കൃത്യമായി കടന്നുപോകുന്നില്ല, മറിച്ച് അവരുടെ ചില അയൽപക്കങ്ങളിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ.

അപ്പോൾ അതിനെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുക അനുഭവ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്... ഒരു പരിചയസമ്പന്നമായ ഫോർമുലയുടെ നിർമ്മാണത്തിൽ രണ്ട് ഘട്ടങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു 6 അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾ അടങ്ങിയ ഈ ഫോർമുലയുടെ ഫോം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനും ഈ പരാമീറ്ററുകളുടെ ചില അർത്ഥത്തിൽ മികച്ചത് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനും. ഫോർമുലയുടെ രൂപം ചിലപ്പോൾ ഭൗതിക പരിഗണനകളിൽ നിന്ന് അറിയപ്പെടുന്നു (ഒരു ഇലാസ്റ്റിക് മാധ്യമത്തിന്, സമ്മർദ്ദവും രൂപഭേദം തമ്മിലുള്ള ബന്ധം) അല്ലെങ്കിൽ ജ്യാമിതീയ പരിഗണനകളിൽ നിന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ടവ: പരീക്ഷണ പോയിന്റുകൾ ഒരു ഗ്രാഫിൽ ആസൂത്രണം ചെയ്യപ്പെടുകയും ആശ്രിതത്വത്തിന്റെ പൊതുവായ രൂപം താരതമ്യം ചെയ്തുകൊണ്ട് ഏകദേശം esഹിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അറിയപ്പെടുന്ന ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകളുള്ള ഫലമായ വക്രത. ഇവിടെ വിജയം പ്രധാനമായും നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഗവേഷകന്റെ അനുഭവവും അവബോധവുമാണ്.

പരിശീലനത്തിനായി, പോളിനോമിയലുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഏകീകരിക്കാനുള്ള കേസ് പ്രധാനമാണ്, അതായത്. ...

അനുഭവപരമായ ആശ്രിതത്വത്തിന്റെ തരം തിരഞ്ഞെടുത്തതിനുശേഷം, പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയുമായുള്ള അടുപ്പത്തിന്റെ അളവ് ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു കണക്കാക്കിയതും പരീക്ഷണാത്മകവുമായ ഡാറ്റയുടെ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ചുരുങ്ങിയ തുക.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചതുര രീതി

പ്രാരംഭ ഡാറ്റയ്ക്കായി അനുവദിക്കുക x i, f i, i = 1, ..., N (ഒന്ന് ഉപയോഗിച്ച് നമ്പറിംഗ് ആരംഭിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്),അനുഭവപരമായ ആശ്രിതത്വം തിരഞ്ഞെടുത്തു: അജ്ഞാത ഗുണകങ്ങളോടൊപ്പം. പരീക്ഷണാത്മക സൂത്രവാക്യവും നൽകിയ പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയും കണക്കാക്കുന്നതിനിടയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ സമചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക നമുക്ക് എഴുതാം:

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് പരാമീറ്ററുകൾ കണ്ടെത്തും ... ഇത് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചതുര രീതി (OLS).

മിനിമം പോയിന്റിൽ w യുടെ എല്ലാ ഭാഗിക ഡെറിവേറ്റീവുകളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് അറിയാം:

(1)

പ്രായോഗികമായി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു പ്രത്യേക കേസിനായുള്ള OLS ന്റെ പ്രയോഗം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ഒരു പരീക്ഷണാത്മക പ്രവർത്തനം എന്ന നിലയിൽ, പോളിനോമിയൽ പരിഗണിക്കുക

വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ തുക നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല (1) ഫോം എടുക്കും:

നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണക്കാക്കാം:

ഈ പദപ്രയോഗങ്ങൾ പൂജ്യമായി തുല്യമാക്കുകയും അജ്ഞാതർക്കായുള്ള ഗുണകങ്ങൾ ശേഖരിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന സംവിധാനം ലഭിക്കും.

പ്രവർത്തന മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക നൽകട്ടെ യീനോഡുകളിൽ എൻ. എസ് 0 < х 1 < ... < х п . സൂചിപ്പിക്കുക h i = x i - x i -1 , ഐ= 1, 2, ... , എൻ. എസ്.

സ്പ്ലൈൻ- നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന സുഗമമായ വളവ് ( x i, യീ), i = 0, 1, ... , എൻ. എസ്. സ്പ്ലൈൻ ഇന്റർപോളേഷൻ ഓരോ വിഭാഗത്തിലും [ x i -1 , x i] ഒരു നിശ്ചിത ബിരുദത്തിന്റെ ഒരു പോളിനോമിയൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു. മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന പോളിനോമിയൽ, കുറച്ച് തവണ - രണ്ടാമത്തേതോ നാലാമത്തേതോ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പോളിനോമിയലുകളുടെ ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകളിലെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ തുടർച്ചയ്ക്കുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ക്യൂബിക് സ്പ്ലൈൻ ഇന്റർപോളേഷൻഓരോ സെഗ്‌മെന്റിലും ഉള്ളപ്പോൾ ഒരു പ്രാദേശിക ഇടപെടലാണ് [ x i -1 , x i], i = 1, 2, ... , എൻ. എസ്ചില സുഗമമായ അവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ക്യൂബിക് കർവ് ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത്, ഫംഗ്ഷന്റെ തുടർച്ചയും നോഡൽ പോയിന്റുകളിലെ അതിന്റെ ആദ്യത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ. ഒരു ക്യുബിക് ഫംഗ്ഷന്റെ ഉപയോഗം ഇനിപ്പറയുന്ന പരിഗണനകളാൽ പ്രചോദിതമാണ്. ഇന്റർപോളേഷൻ കർവ് പോയിന്റുകളിൽ ഉറപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഇലാസ്റ്റിക് ഭരണാധികാരിയുമായി യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ കരുതുകയാണെങ്കിൽ ( x i, യീ), തുടർന്ന് മെറ്റീരിയലുകളുടെ പ്രതിരോധത്തെക്കുറിച്ചുള്ള കോഴ്സിൽ നിന്ന്, ഈ വക്രത്തെ ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമായി നിർവചിക്കുന്നുവെന്ന് അറിയാം എഫ്(IV) ( x) = 0 വിഭാഗത്തിൽ [ x i -1 , x i] (അവതരണത്തിന്റെ ലാളിത്യത്തിനായി, ശാരീരിക അളവുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കില്ല). അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിനുള്ള പൊതുവായ പരിഹാരം അനിയന്ത്രിതമായ ഗുണകങ്ങളുള്ള മൂന്നാം ഡിഗ്രി പോളിനോമിയലാണ്, അത് സൗകര്യപ്രദമായി രൂപത്തിൽ എഴുതാം
എസ് ഐ(x) = ഐ + b i(എൻ. എസ് - x i -1) +കൂടെ(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 ,
x i-1 £ എൻ. എസ് £ x i, i = 1, 2, ... , എൻ. എസ്.(4.32)

പ്രവർത്തന ഗുണകങ്ങൾ എസ് ഐ(x) പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തുടർച്ചയുടെ അവസ്ഥകളിൽ നിന്നും ആന്തരിക നോഡുകളിലെ അതിന്റെ ആദ്യത്തേയും രണ്ടാമത്തേയും ഡെറിവേറ്റീവുകളിൽ നിന്നും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു x i,ഐ= 1, 2,..., എൻ. എസ് - 1.

ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് (4.32) എൻ. എസ് = x i-1 നമുക്ക് ലഭിക്കും

എസ് ഐ(x i- 1) = യീ -1 = a i, i = 1, 2,..., എൻ. എസ്,(4.33)

കൂടാതെ എൻ. എസ് = x i

എസ് ഐ(x i) = ഐ + ബി ഐ എച്ച് ഐ +ഞാൻ കൂടെ 2 + d i h i ഞാൻ 3 ,(4.34)

ഐ= 1, 2,..., എന്.

ഇന്റർപോളേഷൻ ഫംഗ്ഷന്റെ തുടർച്ചയ്ക്കുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ ഫോമിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു എസ് ഐ(x i) = എസ് ഐ -1 (x i), ഐ= 1, 2, ... , എന്- 1 ഉം വ്യവസ്ഥകളിൽ നിന്നും (4.33) കൂടാതെ (4.34) അവർ തൃപ്തരാണെന്ന് പിന്തുടരുന്നു.

ഫംഗ്ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുക എസ് ഐ(x):

എസ് "ഐ(x) =b i + 2കൂടെ(എൻ. എസ് - x i -1) + 3di(എൻ. എസ് – x i -1) 2 ,

എസ് "ഐ(x) = 2c i + 6d i(x - x i -1).

എ x = x i-1, ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട് എസ് "ഐ(x i -1) = b i, എസ് " (x i -1) = 2കൂടെ, ഒപ്പം എൻ. എസ് = x iനേടുക

എസ് "ഐ(x i) = b i+ 2ഞാൻ കൂടെ+ 3ഡി ഐ 2 , എസ് " (x i) = 2i + ഉപയോഗിച്ച് 6d i h i ഞാൻ.

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ തുടർച്ചയ്ക്കുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് നയിക്കുന്നു

എസ് "ഐ(x i) =എസ് "ഐ +1 (x i) Þ b i+ 2ഞാൻ കൂടെ+ 3ഡി ഐ 2 = b i +1 ,

ഐ= l, 2, ..., എൻ. എസ് - 1. (4.35)

എസ് "ഐ (x i) = എസ് "ഐ +1 (x i) Þ 2 i + ഉപയോഗിച്ച് 6d i h i ഞാൻ= 2c i +1 ,

ഐ= l, 2, ..., എന്- 1. (4.36)

മൊത്തത്തിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് 4 ഉണ്ട് എന്- 4 നിർണ്ണയിക്കാൻ 2 സമവാക്യങ്ങൾ എന്അജ്ഞാതമാണ്. രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ കൂടി ലഭിക്കുന്നതിന്, അധിക അതിർത്തി വ്യവസ്ഥകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, അവസാന പോയിന്റുകളിലെ ഇന്റർപോളേഷൻ കർവിന്റെ പൂജ്യം വക്രതയുടെ ആവശ്യകത, അതായത്, സെഗ്മെന്റിന്റെ അറ്റത്ത് പൂജ്യത്തിലേക്കുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ തുല്യത [ എ, ബി]എ = എൻ. എസ് 0 , ബി= x എൻ:

എസ് " 1 (x 0) = 2സി 1 = 0 കൂടെ 1 = 0,

എസ് "എൻ(x എൻ) = 2എൻ കൂടെ + 6ഡി എൻ എച്ച് എൻ = 0 Þ എൻ കൂടെ + 3ഡി എൻ എച്ച് എൻ = 0. (4.37)

സമവാക്യ സമ്പ്രദായം (4.33) - (4.37) ലളിതമാക്കാനും സ്പ്ലൈൻ ഗുണകങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ആവർത്തന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നേടാനും കഴിയും.

വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് (4.33) ഗുണകങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള വ്യക്തമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾക്കുണ്ട് ഒരു ഐ:

ഒരു ഐ = യീ -1 , i = 1,..., എന്. (4.38)

നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം d iഉടനീളം c iഉപയോഗിക്കുന്നത് (4.36), (4.37):

; ഐ = 1, 2,...,എന്; .

ഞങ്ങൾ വെച്ചു എൻ കൂടെ+1 = 0, തുടർന്ന് d iനമുക്ക് ഒരു ഫോർമുല ലഭിക്കും:

, ഐ = 1, 2,...,എന്. (4.39)

പകരമുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഐഒപ്പം d iതുല്യതയിലേക്ക് (4.34):

, ഐ= 1, 2,..., എന്.

പ്രകടിപ്പിക്കുക b i, കുറുകെ കൂടെ:

, ഐ= 1, 2,..., എന്. (4.40)

സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് (4.35) ഗുണകങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു b iഒപ്പം d i(4.39) ഉം (4.40) ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ഐ= 1, 2,..., എന് -1.

അതിനാൽ, നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം ഞങ്ങൾ നേടുന്നു കൂടെ:

സമവാക്യ സമ്പ്രദായം (4.41) ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം

നൊട്ടേഷൻ ഇവിടെ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു

, ഐ =1, 2,..., എന്- 1.

സ്വീപ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം (4.42) പരിഹരിക്കാം. ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു കൂടെ 2 വഴി കൂടെ 3:

സി 2 = എ 2 സി 3 + ബി 2 ,,. (4.43)

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് (4.43) പകരം വയ്ക്കുക (4.42):

മ 2 (എ 2 സി 3 + ബി 2) + 2 ( മ 2 + മ 3)സി 3 + മ 3 സി 4 = g 2 ,

പ്രകടിപ്പിക്കുക കൂടെ 3 വഴി കൂടെ 4:

കൂടെ 3 = എ 3 കൂടെ 4 + b 3, (4.44)

അത് അനുമാനിക്കുന്നു കൂടെ-1 = എ ഐ -1 c i+ ബി ഐ-1 ഐ-നാം സമവാക്യം (4.42) നമുക്ക് ലഭിക്കും

c i= എ ഞാൻ എന്നോടൊപ്പം+1 + ബി ഐ

, ഐ = 3,..., എന്- 1, എ എന്= 0, (4.45) c n +1 = 0,

c i= എ ഞാൻ എന്നോടൊപ്പം+1 + ബി ഐ, ഐ= എന്, എന് -1,..., 2, (4.48)

സി 1 = 0.

3. ഗുണകങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ ഐ, b i,d i:

ഒരു ഐ = യീ -1 ,

ഐ= 1, 2,..., എന്.

4. ഒരു സ്പ്ലൈൻ ഉപയോഗിച്ച് ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യത്തിന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അത്തരമൊരു മൂല്യം കണ്ടെത്തുക ഐവേരിയബിളിന്റെ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യം എൻ. എസ്വിഭാഗത്തിൽ പെടുന്നു [ x i -1 , x i] കൂടാതെ കണക്കുകൂട്ടുക

എസ് ഐ(x) = ഐ + b i(എൻ. എസ് - x i -1) +കൂടെ(x - x i -1) 2 + d i(x - x i -1) 3 . (4.50)

2.2 ക്യൂബിക് സ്പ്ലൈൻ ഇന്റർപോളേഷൻ

തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ f (x) ന് അനുബന്ധമായ ഒരു ക്യൂബിക് ഇന്റർപോളേഷൻ സ്പ്ലൈൻ കൂടാതെ നൽകിയിരിക്കുന്ന i നോഡുകൾ x i ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ S (x) ആണ്:

1. ഓരോ സെഗ്‌മെന്റിലും, i = 1, 2, ..., N, ഫംഗ്ഷൻ S (x) മൂന്നാം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു പോളിനോമിയലാണ്,

2. ഫംഗ്ഷൻ എസ് (x), അതിന്റെ ആദ്യത്തേയും രണ്ടാമത്തേയും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി,

3.S (x i) = f (x i), i = 0, 1, ..., എൻ.

ഓരോ ഇടവേളകളിലും, i = 1, 2, ... N

S i (x) = a i + b i (x - x i - 1) + c i (x - x i - 1) 2 + d i (x - 1) 3,

x i - 1 Ј x Ј x i,

എവിടെ a i, b i, c i, d i - എല്ലാ n പ്രാഥമിക വിഭാഗങ്ങളിലും ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടും. ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഒരു പരിഹാരം ലഭിക്കുന്നതിന്, സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതരുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം. അതിനാൽ, നമുക്ക് 4n സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഫംഗ്ഷൻ S (x) ന്റെ ഗ്രാഫ് തന്നിരിക്കുന്ന പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകേണ്ട അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആദ്യത്തെ 2n സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും, അതായത്.

എസ് ഐ (x i - 1) = y i - 1, S i (x i) = y i.

ഈ വ്യവസ്ഥകൾ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

എസ് ഐ (x i - 1) = a i = y i - 1,

S i (x i) = a i + b i h i + c i h + d i h = y i,

h i = x i - x i - 1, i = 1, 2, ..., n.

ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകളിലെ ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ തുടർച്ചയുടെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന 2n - 2 സമവാക്യങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നു, അതായത്, എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും വക്രത്തിന്റെ സുഗമമായ അവസ്ഥ.

S i + 1 (x i) = S i (x i), i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = b i + 2 c i (x - x i - 1) + 3 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = b i + 1 + 2 c i + 1 (x - x i) + 3 d i + 1 (x - x i).

ഓരോ ആന്തരിക നോഡിലും സമീകരിച്ച് x = x i നോഡിൽ നിന്ന് ഇടത്, വലത് ഇടവേളകളിൽ കണക്കുകൂട്ടുന്ന ഈ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും (h i = x i - x i - 1 കണക്കിലെടുത്ത്):

b i + 1 = b i + 2 h i c i + 3h d i, i = 1, ..., n - 1,

S i (x) = 2 c i + 6 d i (x - x i - 1),

S i + 1 (x) = 2 c i + 1 + 6 d i + 1 (x - x i),

x = x i ആണെങ്കിൽ

c i + 1 = c i + 3 h i d i, i = 1,2, ..., n - 1.

ഈ ഘട്ടത്തിൽ, നമുക്ക് 4n അജ്ഞാതരും 4n - 2 സമവാക്യങ്ങളും ഉണ്ട്. അതിനാൽ, രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ കൂടി കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അറ്റങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമായി ഉറപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ, ഈ പോയിന്റുകളിലെ വരിയുടെ വക്രത പൂജ്യമായി തുല്യമാക്കാം. അറ്റത്ത് പൂജ്യം വക്രതയുടെ അവസ്ഥകളിൽ നിന്ന്, രണ്ടാമത്തെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഈ പോയിന്റുകളിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

S 1 (x 0) = 0, S n (x n) = 0,

c i = 0, 2 c n + 6 d n h n = 0.

സമവാക്യങ്ങൾ 4n ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമാണ്: a i, b i, c i, d i (i = 1, 2, ..., N).

ഈ സംവിധാനം കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ ഒരു ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയും. എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും a i അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഒറ്റയടിക്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയും.

i = 1, 2, ..., n - 1,

പകരമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

b i = - (c i + 1 + 2c i), i = 1,2, ..., n - 1,

b n = - (h n c n)

ബി i, d i എന്നീ ഗുണകങ്ങളെ ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുന്നു. അവസാനമായി, i ഉള്ള ഗുണകങ്ങൾക്കായി മാത്രമേ നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യ സംവിധാനം ലഭിക്കൂ:

c 1 = 0, c n + 1 = 0:

h i - 1 c i - 1 + 2 (h i - 1 + h i) c i + h i c i + 1 = 3,

i = 2, 3, ..., എൻ.

I ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തിയ ഗുണകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, d i, b i കണക്കാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

മോണ്ടെ കാർലോ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇന്റഗ്രലുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ

ഈ സോഫ്റ്റ്വെയർ ഉൽപ്പന്നം രണ്ട് ദ്വിമാന സ്പ്ലൈൻ ഉപരിതലങ്ങളിലൂടെ സംയോജന മേഖലയിൽ അധിക പരിമിതികൾ സജ്ജമാക്കുന്നതിനുള്ള കഴിവ് നടപ്പിലാക്കുന്നു (അളവ് 3 ന്റെ സംയോജനത്തിന്) ...

ഫംഗ്ഷൻ ഇന്റർപോളേഷൻ

ഫംഗ്ഷൻ f (xi) = yi () മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക നൽകട്ടെ, അതിൽ അവ ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ആരോഹണ ക്രമത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു: x0< x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3...

സ്പ്ലൈൻ ഇന്റർപോളേഷൻ

സ്പ്ലൈൻ ഇന്റർപോളേഷൻ

സ്പ്ലൈൻ ഇന്റർപോളേഷൻ

പ്രോഗ്രാമിന്റെ അൽഗോരിതം നമുക്ക് പരിചയപ്പെടാം. 1. മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക 2. ഈ മൂല്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ സ്വീപ്പ് ഗുണകങ്ങളും o ഉം കണക്കാക്കുന്നു. 3. ലഭിച്ച ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ ഗുണകങ്ങൾ 4 കണക്കാക്കുന്നു ...

സാങ്കേതിക വസ്തുക്കളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര മോഡലിംഗ്

MathCAD- ന്റെ അന്തർനിർമ്മിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇന്റർപോളേഷൻ സമയത്ത് പരീക്ഷണാത്മക പോയിന്റുകളിലൂടെ വ്യത്യസ്ത അളവിലുള്ള സങ്കീർണ്ണതയുടെ വക്രങ്ങൾ വരയ്ക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ലീനിയർ ഇന്റർപോളേഷൻ ...

പ്രവർത്തന ഏകദേശ രീതികൾ

ഓരോ സെഗ്‌മെന്റിലും, ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഇടത് അല്ലെങ്കിൽ വലത് മൂല്യം. ഇടത് പീസ്‌വൈസ് ലീനിയർ ഇന്റർപോളേഷനായി F (x) = fi-1 if xi-1? X

പ്രവർത്തന ഏകദേശ രീതികൾ

ഓരോ ഇടവേളയിലും, ഫംഗ്ഷൻ ലീനിയർ ഫൈ (x) = കിക്സ് + ലി ആണ്. സെഗ്‌മെന്റിന്റെ അറ്റത്തുള്ള ഇന്റർപോളേഷൻ വ്യവസ്ഥകൾ നിറവേറ്റുന്നതിൽ നിന്നാണ് ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത്: Fi (xi-1) = fi-1, Fi (xi-1) = fi. നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം ലഭിക്കുന്നു: കിക്സി -1 + ലി = ഫൈ -1, കിക്സി + ലി = ഫൈ, കി = ലി = ഫൈ-കിക്സി ...

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ. ഇന്റർപോളേഷൻ

ഇന്റർപോളേഷൻ പ്രശ്നത്തിന്റെ പ്രസ്താവന. ഒരു സിസ്റ്റം പോയിന്റുകൾ (ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകൾ) xi, i = 0,1, ..., ഇടവേളയിൽ N നൽകിയിരിക്കുന്നു; എ? x i? b, കൂടാതെ ഈ നോഡുകളിലെ fn i = 0,1,2,…, N- ലെ അജ്ഞാത പ്രവർത്തനത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ. ഇനിപ്പറയുന്ന ജോലികൾ സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും: 1) F (x) ഫംഗ്ഷൻ നിർമ്മിക്കുക ...

ഒരു ഡിഫറൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയ വിവരിക്കുന്ന ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര മാതൃകയുടെ നിർമ്മാണം

3.1 ലഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിന്റെ നിർമ്മാണവും മൂല്യങ്ങളുടെ ഘനീഭവനവും ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു വ്യക്തമായ മാർഗ്ഗം ഫംഗ്ഷന്റെ വിശകലന മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ѓ (x) ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക എന്നതാണ്. ഇതിനായി - പ്രാഥമിക വിവരങ്ങൾ അനുസരിച്ച് ...

അവ ഡിഗ്രികളാണെങ്കിൽ (1, x, x2, ..., xn), നമ്മൾ ബീജഗണിത ഇന്റർപോളേഷനെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നത്, ഈ പ്രവർത്തനത്തെ ഒരു ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുകയും ഇതിനെ സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: (4) എങ്കിൽ () (5), നമുക്ക് കഴിയും ഡിഗ്രി n ന്റെ ഒരു ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ നിർമ്മിക്കുക, കൂടാതെ, ഒന്ന് മാത്രം ...

സുഗമമായ പ്രവർത്തന ഇന്റർപോളേഷന്റെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗം

ഒരു സെറ്റിന്റെ മൂലകങ്ങൾക്കുള്ള ഇന്റർപോളേഷന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ലാളിത്യത്തിനും സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കും, എടുക്കുക = [- 1; 1] ,. പോയിന്റുകൾ പരസ്പരം വ്യത്യാസപ്പെടട്ടെ. നമുക്ക് താഴെ പറയുന്ന പ്രശ്നം ഉന്നയിക്കാം: (12) ഈ അവസ്ഥകളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു ബഹുസ്വരത നിർമ്മിക്കുക ...

ഗണിത പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സംഖ്യാ രീതികളുടെ പ്രയോഗം

സംഖ്യാ രീതികൾ

അതിനാൽ, മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, തന്നിരിക്കുന്ന പോയിന്റുകളിലൂടെ ഗ്രാഫ് കടന്നുപോകുന്ന അത്തരമൊരു പോളിനോമിയൽ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ഇന്റർപോളേഷന്റെ ചുമതല. പട്ടിക (പട്ടിക 1) ഉപയോഗിച്ച് y = f (x) ഫംഗ്ഷൻ നൽകട്ടെ ...

ഗണിത പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സംഖ്യാ രീതികൾ