ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ വരികളുടെ (നിരകൾ) പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളെ അർത്ഥമാക്കുന്നു:

1. രണ്ട് വരികൾ (നിരകൾ) പുനositionസ്ഥാപിക്കൽ.
2. ഒരു വരിയുടെ (നിര) എല്ലാ മൂലകങ്ങളെയും $ a \ neq 0 $ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.
3. ഒരു വരിയുടെ (നിര) എല്ലാ മൂലകങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക, മറ്റൊരു വരിയുടെ (നിര) അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളുമായി, ചില യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാൽ ഗുണിച്ചാൽ.

$ A $ മാട്രിക്സിന്റെ വരികളിലേക്കോ നിരകളിലേക്കോ ഞങ്ങൾ ചില പ്രാഥമിക പരിവർത്തനം പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പുതിയ മാട്രിക്സ് $ B $ ലഭിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, $ \ rang (A) = \ rang (B) $, അതായത്. പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് മാറ്റില്ല.

$ \ Rang A = \ R $ B $ ആണെങ്കിൽ, $ A $, $ B $ എന്നീ മെട്രിക്സ് വിളിക്കുന്നു തത്തുല്യമായ... $ A $ എന്ന മാട്രിക്സ് മാട്രിക്സിന് തുല്യമാണെന്ന വസ്തുത ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു: $ A \ sim B $.

ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്: $ A \ വലതുവശത്ത് B $, അതായത് മാട്രിക്സ് $ B $ എന്നത് ചില പ്രാഥമിക പരിവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച് മാട്രിക്സ് $ A $ ൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നു എന്നാണ്.

ഗോസിയൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് റാങ്ക് കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വരികളും നിരകളും ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കാനാകും. സ്ട്രിംഗുകളിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, അതിനാൽ, ഈ പേജിലെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, മാട്രിക്സ് സ്ട്രിംഗുകളിൽ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു.

ട്രാൻസ്പോസിഷൻ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് മാറ്റില്ലെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതായത്. $ \ rang (A) = \ rang (A ^ T) $. ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കാൻ സൗകര്യപ്രദമാണ് (ഉദാഹരണം # 3 കാണുക), കാരണം, ആവശ്യമെങ്കിൽ, നിരകൾ നിരകളാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്, തിരിച്ചും.

അൽഗോരിതത്തിന്റെ സംക്ഷിപ്ത വിവരണം

നമുക്ക് കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ പരിചയപ്പെടുത്താം. പൂജ്യം രേഖ- ഒരു സ്ട്രിംഗ്, അതിന്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. നോൺസെറോ സ്ട്രിംഗ്- ഒരു സ്ട്രിംഗ്, അതിന്റെ ഒരു മൂലകമെങ്കിലും നോൺസെറോ ആണ്. മുൻനിര ഘടകംനോൺസെറോ സ്ട്രിംഗിനെ അതിന്റെ ആദ്യത്തേത് (ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് എണ്ണുന്നു) നോൺസെറോ മൂലകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, $ (0; 0; 5; -9; 0) $ എന്ന വരിയിൽ, പ്രധാന ഘടകം മൂന്നാമത്തെ ഘടകമായിരിക്കും (ഇത് 5 ന് തുല്യമാണ്).

ഏതെങ്കിലും പൂജ്യം മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് 0 ആണ്, അതിനാൽ പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള മാട്രിക്സുകൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. മാട്രിക്സ് പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ആത്യന്തിക ലക്ഷ്യം അത് പടിപടിയാക്കുക എന്നതാണ്. ഒരു സ്റ്റെപ്ഡ് മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് നോൺസെറോ വരികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പരിഗണിക്കുന്ന രീതി നിരവധി ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ആദ്യ ഘട്ടം ആദ്യ വരി ഉപയോഗിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടം രണ്ടാമത്തേത് ഉപയോഗിക്കുന്നു. നിലവിലെ ഘട്ടത്തിൽ നമ്മൾ ഉപയോഗിക്കുന്ന വരിയുടെ കീഴിൽ, പൂജ്യം വരികൾ മാത്രമേ അവശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ, അല്ലെങ്കിൽ വരികളൊന്നുമില്ലെങ്കിൽ, അൽഗോരിതം നിർത്തുന്നു, കാരണം ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സ് സ്റ്റെപ്പ് ചെയ്യപ്പെടും.

ഇപ്പോൾ അൽഗോരിതം ഓരോ ഘട്ടത്തിലും നിർവഹിക്കുന്ന സ്ട്രിംഗുകൾക്ക് മുകളിലുള്ള ആ പരിവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് നമുക്ക് തിരിയാം. ഈ ഘട്ടത്തിൽ നമ്മൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ട നിലവിലെ ലൈനിന് കീഴിൽ, നോൺസെറോ ലൈനുകൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക, അവിടെ $ k $ എന്നത് നിലവിലെ ലൈനിന്റെ മുൻനിര ഘടകത്തിന്റെ എണ്ണമാണ്, കൂടാതെ $ k _ (\ min) $ ആണ് ഏറ്റവും ചെറിയത് നിലവിലെ ലൈനിന് താഴെ കിടക്കുന്ന ആ വരികളുടെ മുൻനിര ഘടകങ്ങളുടെ എണ്ണം ...

• $ K \ lt (k _ (\ min)) $ ആണെങ്കിൽ, അൽഗോരിതം അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക, അതായത്. അടുത്ത വരി ഉപയോഗിക്കാൻ.
• $ K = k _ (\ min) $ ആണെങ്കിൽ, കീവൺ നമ്പറുകൾ $ k _ (\ min) $ ആയിരിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന വരികളുടെ പിവറ്റ് ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കും. പൂജ്യം വരികൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അവയെ മാട്രിക്സിന്റെ അടിയിലേക്ക് മാറ്റുന്നു. തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.
• $ K \ gt (k _ (\ min)) $ ആണെങ്കിൽ, ചുവടെയുള്ള ആ വരികളിലൊന്നിൽ ഞങ്ങൾ നിലവിലെ ലൈൻ മാറ്റുന്നു, അതിന്റെ പ്രധാന നമ്പർ $ k _ (\ min) $ ആണ്. അതിനുശേഷം, അടിസ്ഥാന വരികളുടെ പിവറ്റ് ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കുന്നു, ഇതിനായി പിവറ്റ് നമ്പർ $ k _ (\ min) $ ആണ്. അത്തരം വരികളൊന്നുമില്ലെങ്കിൽ, അൽഗോരിത്തിന്റെ അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക. പൂജ്യം വരികൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അവയെ മാട്രിക്സിന്റെ അടിയിലേക്ക് മാറ്റുന്നു.

പിവറ്റ് ഘടകങ്ങൾ എത്ര കൃത്യമായി പൂജ്യമാക്കിയിരിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ പ്രായോഗികമായി പരിഗണിക്കും. $ R $ ("വരി" എന്ന വാക്കിൽ നിന്ന്) അക്ഷരങ്ങൾ വരികളെ സൂചിപ്പിക്കും: $ r_1 $ ആദ്യ നിരയാണ്, $ r_2 $ രണ്ടാമത്തെ നിരയാണ്, അങ്ങനെ. $ C $ ("കോളം" എന്ന വാക്കിൽ നിന്നുള്ള) അക്ഷരങ്ങൾ നിരകളെ സൂചിപ്പിക്കും: $ c_1 $ - ആദ്യ നിര, $ c_2 $ - രണ്ടാമത്തെ നിര മുതലായവ.

ഈ പേജിലെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, നിലവിലെ വരിയുടെ പിവറ്റ് നമ്പർ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഞാൻ $ k $ ഉപയോഗിക്കും, കൂടാതെ നിലവിലെ വരിക്ക് താഴെയുള്ള വരികളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പിവറ്റ് നമ്പർ സൂചിപ്പിക്കാൻ $ k _ (\ min) $ ഉപയോഗിക്കും.

ഉദാഹരണം # 1

മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക $ A = \ ഇടത് (\ start (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \\ -9 & 6 & 0 & -2 & 21 \\ -5 & 5 & 1 & 1 & 1 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $.

ആദ്യത്തെ പടി

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ നിരയിൽ, പ്രധാന മൂലകം ആദ്യ മൂലകമാണ്, അതായത്. ആദ്യ വരിയുടെ പിവറ്റ് നമ്പർ $ k = 1 $. ആദ്യ വരിക്ക് താഴെയുള്ള വരികൾ നോക്കാം. ഈ വരികളിലെ മുൻനിര ഘടകങ്ങൾ 4, 1, 1, 1. എന്നിങ്ങനെയാണ്. ഈ സംഖ്യകളിൽ ഏറ്റവും ചെറിയത് $ k _ (\ min) = 1 $ ആണ്. $ K = k _ (\ min) $ ആയതിനാൽ, അടിസ്ഥാന വരികളുടെ പിവറ്റ് ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കുന്നു, ഇതിനായി പിവറ്റ് നമ്പർ $ k _ (\ min) $ ആണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും അഞ്ചാമത്തെയും വരികളുടെ മുൻനിര ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

തത്വത്തിൽ, മുകളിലുള്ള മൂലകങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കുന്നതിലേക്ക് നിങ്ങൾക്ക് തുടരാം, എന്നിരുന്നാലും, പൂജ്യത്തിലേക്ക് നടത്തുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക്, ഉപയോഗിച്ച സ്ട്രിംഗിന്റെ മുൻനിര ഘടകം ഒന്നായിരിക്കുമ്പോൾ അത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഇത് ആവശ്യമില്ല, പക്ഷേ ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ വളരെ ലളിതമാക്കുന്നു. ആദ്യ വരിയിലെ പ്രധാന ഘടകമായി നമുക്ക് നമ്പർ -2 ഉണ്ട്. "അസvenകര്യം" എന്ന സംഖ്യ ഒന്ന് (അല്ലെങ്കിൽ നമ്പർ (-1)) ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ആദ്യ വരയെ 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം, തുടർന്ന് ആദ്യ വരിയിൽ നിന്ന് അഞ്ചാമത്തേത് കുറയ്ക്കാം. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒന്നും മൂന്നും നിരകൾ മാറ്റാം. നിരകൾ # 1, # 3 എന്നിവ പുനraക്രമീകരിച്ച ശേഷം, നൽകിയ മാട്രിക്സിന് തുല്യമായ ഒരു പുതിയ മാട്രിക്സ് ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കും $ A $:

$$ \ left (\ start (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -& 4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ = ആരംഭിക്കുക (അറേ) (ccccc) \ boldred (1) & 3 & -2 & 0 & -& \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \ normblue (-5) & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ \ നോർമഗ്രീൻ (1) & 5 & -5 & 1 & 1 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $$

ആദ്യ വരിയുടെ പ്രധാന ഘടകം ഒന്നാണ്. ആദ്യ വരിയുടെ പിവറ്റ് നമ്പർ മാറിയിട്ടില്ല: $ k = 1 $. ആദ്യത്തേതിന് താഴെയുള്ള വരികളുടെ മുൻനിര ഘടകങ്ങളുടെ സംഖ്യകൾ ഇവയാണ്: 4, 1, 2, 1. ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ $ k _ (\ min) = 1 $ ആണ്. $ K = k _ (\ min) $ ആയതിനാൽ, അടിസ്ഥാന വരികളുടെ പിവറ്റ് ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കുന്നു, ഇതിനായി പിവറ്റ് നമ്പർ $ k _ (\ min) $ ആണ്. ഇതിനർത്ഥം നിങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെയും അഞ്ചാമത്തെയും വരികളുടെ മുൻനിര ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്. ഈ ഘടകങ്ങൾ നീലയിലും പച്ചയിലും ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു.

ആവശ്യമായ ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കുന്നതിന്, മാട്രിക്സിന്റെ വരികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തും. ഞാൻ ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പ്രത്യേകം എഴുതാം:

$$ \ start (aligned) & r_3- \ frac (\ normblue (-5)) (\ boldred (1)) \ cdot (r_1) = r_3 + 5r_1; \\ & r_5- \ frac (\ normgreen (1) ) (\ boldred (1)) \ cdot (r_1) = r_5-r_1. \ അവസാനം (വിന്യസിച്ചത്) $$

റെക്കോർഡ് $ r_3 + 5r_1 $ എന്നാൽ ആദ്യ വരിയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ, അഞ്ച് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, മൂന്നാമത്തെ വരിയുടെ ഘടകങ്ങളിൽ ചേർത്തിരിക്കുന്നു എന്നാണ്. ഒരു പുതിയ മാട്രിക്സിൽ മൂന്നാം വരിയുടെ സ്ഥാനത്ത് ഫലം എഴുതിയിരിക്കുന്നു. അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വാക്കാലുള്ള പ്രകടനത്തിൽ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടായാൽ, ഈ പ്രവർത്തനം പ്രത്യേകമായി ചെയ്യാവുന്നതാണ്:

$$ r_3 + 5r_1 = ( - 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) +5 \ cdot (1; \; 3; \; - 2; \; 0; \; - 4) = \\ = ( - 5; \; - 11; \; 4; \; 12; \; 18) + (5; \; 15; \; - 10; \; 0; \; - 20) = (0; \; 4; \; - 6; \; 12; \; - 2). $$

$ R_5-r_1 $ പ്രവർത്തനം സമാനമാണ്. സ്ട്രിംഗ് പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന മാട്രിക്സ് ലഭിക്കുന്നു:

$$ \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം ( 0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ ഫാന്റം (0) \\ r_5 -r_1 \ end (array) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $$

ഈ ഘട്ടത്തിൽ, ആദ്യപടി പൂർത്തിയായതായി കണക്കാക്കാം. ആദ്യ വരിക്ക് കീഴിൽ നോൺസെറോ ലൈനുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾ ജോലി തുടരേണ്ടതുണ്ട്. ഒരേയൊരു മുന്നറിയിപ്പ്: തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ മൂന്നാം നിരയിൽ, എല്ലാ ഘടകങ്ങളും 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു തുടർന്ന് രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുക:

$$ \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം ( 0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \ അവസാനം (അറേ) \ സിം \ ഇടത് (\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & - 3 & 1 & 5 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $$

രണ്ടാം ഘട്ടം

രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. മാട്രിക്സിന്റെ രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ, പ്രധാന ഘടകം നാലാമത്തേതാണ്, അതായത്. രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ പിവറ്റ് നമ്പർ $ k = 4 $. രണ്ടാമത്തെ വരിക്ക് താഴെയുള്ള വരികൾ നോക്കാം. ഈ വരികളിലെ മുൻനിര ഘടകങ്ങൾ 2, 2, 2. എന്നിങ്ങനെയാണ് അക്കമിട്ടിരിക്കുന്നത്. $ K \ gt (k _ (\ min)) $ ആയതിനാൽ, നിലവിലെ രണ്ടാമത്തെ വരി $ k _ (\ min) $ ആയിരിക്കുന്ന വരികളിലൊന്ന് ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ, നാലാമത്തെയോ അഞ്ചാമത്തെയോ രണ്ടാമത്തെ വരി മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്. ഞാൻ അഞ്ചാമത്തെ വരി തിരഞ്ഞെടുക്കും (ഇത് ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ രൂപം ഒഴിവാക്കും), അതായത്. അഞ്ചാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും വരികൾ മാറ്റുക:

$$ \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ഓവർസെറ്റ് (r_2 \ ഇടത് വലത് (r_5)) (\ sim) \ ഇടത് (\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \ boldred (2) & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \ normblue (2) & -3 & 6 & - 1 \\ 0 & \ നോർമഗ്രീൻ (6) & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $$

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ വരി വീണ്ടും നോക്കാം. ഇപ്പോൾ പ്രധാന ഘടകം രണ്ടാമത്തെ മൂലകമാണ് (ഇത് ചുവപ്പിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു), അതായത്. $ k = 2 $. അടിസ്ഥാന വരികളുടെ പിവറ്റ് നമ്പറുകളിൽ ഏറ്റവും ചെറുത് (അതായത്, 2, 2, 4 എന്നീ നമ്പറുകളിൽ) $ k _ (\ min) = 2 $ ആയിരിക്കും. $ K = k _ (\ min) $ ആയതിനാൽ, അടിസ്ഥാന വരികളുടെ പിവറ്റ് ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കുന്നു, ഇതിനായി പിവറ്റ് നമ്പർ $ k _ (\ min) $ ആണ്. ഇതിനർത്ഥം നിങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും വരികളുടെ മുൻനിര ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്. ഈ മൂലകങ്ങൾ നീലയിലും പച്ചയിലും ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നു.

മുമ്പത്തെ ഘട്ടത്തിൽ, നിര നിരമാറ്റം ഉപയോഗിച്ച് 1 നിലവിലെ വരിയുടെ മുൻനിര ഘടകമാക്കി മാറ്റി. ഭിന്നസംഖ്യകളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നത് ഒഴിവാക്കാനാണ് ഇത് ചെയ്തത്. ഇവിടെയും നിങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ പിവറ്റിന്റെ സ്ഥാനത്ത് ഒരെണ്ണം സ്ഥാപിക്കാവുന്നതാണ്: ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ടാമത്തെയും നാലാമത്തെയും നിരകൾ മാറ്റിക്കൊണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യില്ല, കാരണം ഭിന്നസംഖ്യകൾ എന്തായാലും ഉണ്ടാകില്ല. സ്ട്രിങ്ങുകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇതുപോലെയായിരിക്കും:

$$ \ start (aligned) & r_3- \ frac (\ normblue (2)) (\ boldred (2)) \ cdot (r_2) = r_3-r_2; \\ & r_4- \ frac (\ normgreen (6)) (\ boldred (2)) \ cdot (r_2) = r_4-3r_2. \ അവസാനം (വിന്യസിച്ചത്) $$

സൂചിപ്പിച്ച പ്രവർത്തനങ്ങൾ നിർവഹിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന മാട്രിക്സിൽ എത്തിച്ചേരും:

$$ \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \ \ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ അവസാനിക്കുക (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം ( 0) \\ r_3 -r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ ഫാന്റം (0) \ അവസാനം (അറേ) \ സിം \ ഇടത് (\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ അവസാനം (ശ്രേണി ) \ വലത്) $$

രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടം കഴിഞ്ഞു. രണ്ടാമത്തെ വരിക്ക് കീഴിൽ നോൺസെറോ ലൈനുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ മൂന്നാം ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുന്നു.

മൂന്നാമത്തെ ഘട്ടം

മൂന്നാം ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. മാട്രിക്സിന്റെ മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ, പ്രധാന ഘടകം നാലാമത്തേതാണ്, അതായത്. മൂന്നാം നിരയുടെ പിവറ്റ് നമ്പർ $ k = 4 $. മൂന്നാമത്തെ വരയ്ക്ക് താഴെയുള്ള വരികൾ നോക്കാം. ഈ വരികളിലെ മുൻനിര ഘടകങ്ങൾ 4 ഉം 4 ഉം ആണ്, അതിൽ ഏറ്റവും ചെറിയത് $ k _ (\ min) = 4 $ ആണ്. $ K = k _ (\ min) $ ആയതിനാൽ, കീവൺ നമ്പറുകൾ $ k _ (\ min) $ ആയ അടിസ്ഥാന വരികളുടെ പിവറ്റ് ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം നിങ്ങൾ നാലാമത്തെയും അഞ്ചാമത്തെയും വരികളുടെ മുൻനിര ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്. ഈ ആവശ്യത്തിനായി നടത്തുന്ന പരിവർത്തനങ്ങൾ മുമ്പ് നടത്തിയവയ്ക്ക് തികച്ചും സമാനമാണ്:

$$ \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ അവസാനിക്കുക (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5 -r_3 \ end (array) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $$

മൂന്നാമത്തെ വരയ്ക്ക് കീഴിൽ പൂജ്യം രേഖകൾ മാത്രമേയുള്ളൂ. ഇതിനർത്ഥം പരിവർത്തനം പൂർത്തിയായി എന്നാണ്. ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സിനെ ഒരു പടിപടിയായി കൊണ്ടുവന്നു. കുറച്ച മാട്രിക്സിൽ മൂന്ന് നോൺസെറോ വരികൾ ഉള്ളതിനാൽ, അതിന്റെ റാങ്ക് 3. തത്ഫലമായി, യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കും മൂന്ന് ആണ്, അതായത്, $ \ rang A = 3 $. വിശദീകരണമില്ലാതെ പൂർണ്ണമായ പരിഹാരം:

$$ \ left (\ start (array) (ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -& 4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & -5 & 12 & 18 \ = ആരംഭിക്കുക (അറേ) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & - 9 & -2 & 21 \\ 1 & 5 & -5 & 1 & 1 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ r_3 + 5r_1 \\ \ ഫാന്റം (0) \\ r_5 -r_1 \ അവസാനം (അറേ) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 4 & -6 & 12 & -2 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ 1/2 \ cdot (r_3) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \ end (array) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & - ) \ ഇടത് (\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \ \ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ ഫാന്റം (0) \ അവസാനം (അറേ) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ start (അറേ) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & - 5 & ​​6 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം ( 0) \\ r_4 + r_3 \\ r_5 -r_3 \ end (array) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $$

ഉത്തരം: $ \ rang A = 3 $.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 2

മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക $ A = \ ഇടത് (\ start (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $.

ഈ മാട്രിക്സ് പൂജ്യമല്ല, അതായത് അതിന്റെ റാങ്ക് പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്. അൽഗോരിതം ആദ്യ ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകാം.

ആദ്യത്തെ പടി

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ നിരയിൽ, പ്രധാന മൂലകം ആദ്യ മൂലകമാണ്, അതായത്. ആദ്യ വരിയുടെ പിവറ്റ് നമ്പർ $ k = 1 $. ആദ്യ വരിക്ക് താഴെയുള്ള വരികൾ നോക്കാം. ഈ വരികളിലെ മുൻനിര ഘടകങ്ങൾ 1 എന്ന് സംഖ്യപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, അതായത്. അടിസ്ഥാന വരികളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പിവറ്റ് നമ്പർ $ k _ (\ min) = 1 $ ആണ്. $ K = k _ (\ min) $ ആയതിനാൽ, ആ അടിസ്ഥാന വരികളുടെ മുൻനിര ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഇതിനായി മുൻനിര മൂലകത്തിന്റെ എണ്ണം $ k _ (\ min) $ ന് തുല്യമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും വരികളുടെ മുൻനിര ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കേണ്ടതുണ്ട്.

കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ സൗകര്യാർത്ഥം, ആദ്യ വരിയിലെ മുൻനിര ഘടകം ഒന്നായി ഞങ്ങൾ മാറ്റും. മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇതിനായി ഞങ്ങൾ നിരകൾ മാറ്റി, പക്ഷേ ഈ പ്രവർത്തനം ഈ മാട്രിക്സുമായി പ്രവർത്തിക്കില്ല - ഈ മാട്രിക്സിൽ ഒന്നിന് തുല്യമായ ഘടകങ്ങളൊന്നുമില്ല. നമുക്ക് ഒരു സഹായ പ്രവർത്തനം നടത്താം: $ r_1-5r_2 $. അപ്പോൾ ആദ്യ വരിയുടെ പിവറ്റ് 1 ആയിരിക്കും.

$$ \ left (\ start (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) r_1-5r_2 \\ \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \ end (array) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $$

ആദ്യ വരിയുടെ മുൻനിര ഘടകം ഒന്നാണ്. അടിസ്ഥാന വരികളുടെ മുൻനിര ഘടകങ്ങൾ നമുക്ക് പൂജ്യമാക്കാം:

$$ \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ r_2-2r_1 \\ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ അവസാനം (അറേ) \ സിം \ ഇടത് (\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & - 2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $$

ആദ്യ ഘട്ടം കഴിഞ്ഞു. ആദ്യ വരിക്ക് കീഴിൽ നോൺസെറോ ലൈനുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾ ജോലി തുടരേണ്ടതുണ്ട്.

രണ്ടാം ഘട്ടം

രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. മാട്രിക്സിന്റെ രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ, പ്രധാന ഘടകം രണ്ടാമത്തേതാണ്, അതായത്. രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ പിവറ്റ് നമ്പർ $ k = 2 $. ചുവടെയുള്ള വരികളിലെ മുൻനിര ഘടകങ്ങൾക്ക് ഒരേ നമ്പർ 2 ഉണ്ട്, അതിനാൽ $ k _ (\ min) = 2 $. $ K = k _ (\ min) $ ആയതിനാൽ, കീവൺ നമ്പറുകൾ $ k _ (\ min) $ ആയ അടിസ്ഥാന വരികളുടെ പിവറ്റ് ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കുന്നു. ഇതിനർത്ഥം നിങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും വരികളുടെ മുൻനിര ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്നാണ്.

$$ \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \ \ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ അവസാനം (അറേ) \ സിം \ ഇടത് (\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $$

ഒരു ശൂന്യ രേഖ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. നമുക്ക് അത് മാട്രിക്സിന്റെ താഴേക്ക് വീഴാം:

$$ \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \ 0 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 0 കൂടാതെ & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $$

രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടം കഴിഞ്ഞു. ഞങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം ഒരു സ്റ്റെപ്ഡ് മാട്രിക്സ് ലഭിച്ചുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾക്ക് അൽഗോരിതം forപചാരികമായി പൂർത്തിയാക്കാൻ കഴിയും. രണ്ടാമത്തെ വരിക്ക് കീഴിൽ നോൺസെറോ ലൈനുകൾ ഉള്ളതിനാൽ, നിങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോയി മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ പ്രവർത്തിക്കണം, എന്നാൽ മൂന്നാമത്തെ വരിക്ക് കീഴിൽ നോൺസെറോ ലൈനുകൾ ഇല്ല. അതിനാൽ, പരിവർത്തനം പൂർത്തിയായി.

വഴിയിൽ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സ് ട്രപസോയിഡൽ ആണ്. ട്രെപ്സോയ്ഡൽ മാട്രിക്സ് ഒരു സ്റ്റെപ്ഡ് മാട്രിക്സിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്.

ഈ മാട്രിക്സിൽ മൂന്ന് നോൺസെറോ വരികൾ ഉള്ളതിനാൽ, അതിന്റെ റാങ്ക് 3. തത്ഫലമായി, യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കും മൂന്ന് ആണ്, അതായത്, $ \ rang (A) = 3 $. വിശദീകരണമില്ലാതെ പൂർണ്ണമായ പരിഹാരം:

$$ \ left (\ start (array) (ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & -17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) r_1-5r_2 \\ \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \ end (array) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2 \\ -3 & 5 & ​​-17 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ r_2-2r_1 \ \ r_3 + 3r_1 \\ r_4-4r_1 \ end (array) \ sim $$ $$ \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & -4 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 12 & 0 & 7 & -4 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ end (array) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ഓവർസെറ്റ് (r_3 \ ഇടത് വലത് (r_4)) ( \ sim) \ ഇടത് (\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $$

ഉത്തരം: $ \ rang A = 3 $.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 3

മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക $ A = \ ഇടത് (\ start (array) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $.

ചിലപ്പോൾ പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ മാട്രിക്സ് മാറ്റുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. ട്രാൻസ്പോസ്ഡ് മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിന് തുല്യമായതിനാൽ, അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനം തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ്. ഈ ഉദാഹരണം അത്തരമൊരു കേസ് പരിഗണിക്കും. പരിവർത്തന സമയത്ത്, രണ്ട് സമാന സ്ട്രിംഗുകൾ $ (0; \; 1; \; - 2) $ (ഒന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും) ദൃശ്യമാകും. തത്വത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് $ r_4-r_1 $ എന്ന പ്രവർത്തനം നടത്താൻ കഴിയും, അപ്പോൾ നാലാമത്തെ വരി പൂജ്യമാകും, എന്നാൽ ഇത് ഒരു റെക്കോർഡിലൂടെ പരിഹാരം നീട്ടുക മാത്രമാണ് ചെയ്യുന്നത്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ നാലാമത്തെ വരിയുടെ പൂജ്യം നടത്തുകയില്ല.

$$ \ left (\ start (array) (ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 \\ 2 & 3 & 0 \ end (array) \ വലത്) \ start (array) (l) 1/2 \ cdot (r_1) \\ \ phantom (0) \\ \ phantom (0) \\ 1/5 \ cdot (r_4) \\ \ fantom (0) \ end (array) \ sim \ left (\ start (array) (ccc) 0 & 1 & -2 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 1 & -2 \\ 2 & 3 & 0 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ sim $$ $$ \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 1 & -4 & 1 & 1 & 1 \ അറേ) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ -2 & 5 & 7 & -2 & 0 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ r_3 + 2r_1 \ end (array) \ sim $$ $$ \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 9 & 0 & 6 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ r_3-3r_2 \ end (array) \ sim \ left (\ start (array) (ccccc) 1 & -4 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $$

രൂപാന്തരപ്പെടുത്തിയ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് 2 ആണ്, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് $ \ rang (A) = 2 $ ആണ്. തത്വത്തിൽ, മാട്രിക്സ് ട്രാൻസ്പോസ് ചെയ്യാതെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമായിരുന്നു: ആദ്യ വരി രണ്ടാമത്തെ, മൂന്നാമത്തെയോ അഞ്ചാമത്തെയോ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റി, വരികളിലൂടെ സാധാരണ പരിവർത്തനങ്ങൾ തുടരുക. മാട്രിക്സ് ഒരു സ്റ്റെപ്പ്ഡ് ഫോമിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്ന രീതി പരിഹാര പ്രക്രിയയിലെ വ്യതിയാനങ്ങൾ അനുവദിക്കുന്നു.

ഉത്തരം: $ \ rang A = 2 $.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 4

$ A = \ ഇടത് (\ start (array) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & -4 & 1 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $.

ഈ മാട്രിക്സ് പൂജ്യമല്ല, അതായത്. അവളുടെ പദവി പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണ്. അൽഗോരിതം ആദ്യ ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകാം.

ആദ്യത്തെ പടി

ആദ്യ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യ വരിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. തന്നിരിക്കുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ ആദ്യ നിരയിൽ, മുൻനിര ഘടകം രണ്ടാമത്തേതാണ്, അതായത്. ആദ്യ വരിയുടെ പിവറ്റ് നമ്പർ $ k = 2 $. ആദ്യ വരിക്ക് താഴെയുള്ള വരികൾ പരിഗണിക്കുക. ഈ വരികളിലെ മുൻനിര ഘടകങ്ങൾ 3 ആണ്, അതായത്. അടിസ്ഥാന വരികളുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പിവറ്റ് നമ്പർ $ k _ (\ min) = 3 $ ആണ്. $ K \ lt (k _ (\ min)) $ മുതൽ, ഞങ്ങൾ അൽഗോരിത്തിന്റെ അടുത്ത ഘട്ടത്തിലേക്ക് പോകുന്നു.

രണ്ടാം ഘട്ടം

രണ്ടാമത്തെ ഘട്ടത്തിൽ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ, മുൻനിര ഘടകം മൂന്നാമത്തേതാണ്, അതായത്. രണ്ടാമത്തെ വരിയുടെ പിവറ്റ് നമ്പർ $ k = 3 $. രണ്ടാമത്തെ വരയ്ക്ക് താഴെ ഒരു മൂന്നാമത്തെ വരി മാത്രമാണ്, അതിന്റെ പിവറ്റ് നമ്പർ 3 ആണ്, അതിനാൽ $ k _ (\ min) = 3 $. $ K = k _ (\ min) $ ആയതിനാൽ, മൂന്നാം നിരയിലെ മുൻനിര ഘടകം ഞങ്ങൾ പൂജ്യം ചെയ്യുന്നു:

$$ \ left (\ start (array) (cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 10 & 0 & - 4 & 1 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) \ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (l) \ ഫാന്റം (0) \\ \ ഫാന്റം (0) \\ r_3-2r_2 \ end (അറേ) \ സിം \ ഇടത് (\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) ) \ വലത്) $$

ഒരു സ്റ്റെപ്ഡ് മാട്രിക്സ് ലഭിച്ചു. രൂപാന്തരപ്പെടുത്തിയ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക്, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് 3 ആണ്.

ഉത്തരം: $ \ rang A = 3 $.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 5

മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക $ A = \ ഇടത് (\ ആരംഭിക്കുക (അറേ) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5. \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $.

ചിലപ്പോൾ ഒരു മാട്രിക്സ് ഒരു സ്റ്റെപ്ഡ് മാട്രിക്സായി കുറയ്ക്കാൻ സാദ്ധ്യതയുണ്ട്. തീർച്ചയായും ഇത് വളരെ അപൂർവ്വമായി സംഭവിക്കുന്നു, പക്ഷേ വിജയകരമായ പുനrangeക്രമീകരണത്തിന് പരിഹാരത്തെ ഗണ്യമായി ലളിതമാക്കാൻ കഴിയും.

$$ \ left (\ start (array) (ccccc) 0 & 0 & 0 & 0 & 6 \\ 9 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 5 & 2 & 0 & 0 & -5 \ end (array ) (വലത്) 11. & 5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & -11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 6 \ അവസാനം (അറേ) \ വലത്) $$

മാട്രിക്സ് പടിപടിയായി, $ \ rang (A) = 3 $.

ഉത്തരം: $ \ rang A = 3 $.

ഈ ലേഖനം ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കും ആവശ്യമായ അധിക ആശയങ്ങളും പോലുള്ള ഒരു ആശയം ചർച്ച ചെയ്യും. ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും തെളിവുകളും ഞങ്ങൾ നൽകും, കൂടാതെ ഒരു മാട്രിക്സ് മൈനർ എന്താണെന്നും എന്തുകൊണ്ട് ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണെന്നും നിങ്ങളോട് പറയും.

മൈനർ മാട്രിക്സ്

ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് എന്താണെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ മൈനർ പോലുള്ള ഒരു ആശയം മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

നിർവ്വചനം 1

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തകെ-ഓർഡർ മാട്രിക്സ് മാട്രിക്സ് എ യുടെ മൂലകങ്ങളുടെ സ്ഥാനം നിലനിർത്തിക്കൊണ്ട്, മുൻകൂട്ടി തിരഞ്ഞെടുത്ത കെ-വരികളിലും കെ-നിരകളിലും സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന മാട്രിക്സ് എ യുടെ മൂലകങ്ങൾ ചേർന്ന കെ × കെ എന്ന ചതുര മാട്രിക്സിന്റെ നിർണ്ണായകമാണ്.

ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, മാട്രിക്സ് എയിൽ നമ്മൾ (pk) വരികളും (nk) നിരകളും ഇല്ലാതാക്കുകയും, അവശേഷിക്കുന്ന മൂലകങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഒരു മാട്രിക്സ് രചിക്കുകയും, മാട്രിക്സ് A യുടെ മൂലകങ്ങളുടെ ക്രമീകരണം സംരക്ഷിക്കുകയും ചെയ്താൽ, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ നിർണായകമാണ് മാട്രിക്സ് എ യുടെ ഒരു ചെറിയ ഓർഡർ.

ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്ന്, മാട്രിക്സ് എയിലെ ആദ്യ ഓർഡർ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ മാട്രിക്സിന്റെ തന്നെ ഘടകങ്ങളാണ്.

2 ആം ഓർഡർ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്. നമുക്ക് രണ്ട് നിരകളും രണ്ട് നിരകളും തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒന്നും രണ്ടും നിര, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും നിര.

മൂലകങ്ങളുടെ ഈ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനൊപ്പം, രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ചെറുതായിരിക്കും - 1 3 0 2 = ( - - 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

മാട്രിക്സ് എ യുടെ മറ്റൊരു രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ മൈനർ 0 0 1 1 = 0 ആണ്

മാട്രിക്സ് എ യുടെ രണ്ടാം ഓർഡർ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ നിർമ്മാണത്തിന്റെ ഒരു ചിത്രം നമുക്ക് നൽകാം:

മൂന്നാമത്തെ ഓർഡർ മൈനർ ലഭിക്കുന്നത് മാട്രിക്സ് A യുടെ മൂന്നാമത്തെ നിര ഇല്ലാതാക്കിക്കൊണ്ടാണ്:

0 0 3 1 1 2 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × ( - 1) + 3 × 1 × ( - 4) - 3 × 1 × ( - 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × ( - 4) = - 9

മാട്രിക്സ് എ യുടെ മൈനർ ഓർഡർ എങ്ങനെയാണ് ലഭിക്കുന്നത് എന്നതിന്റെ ഒരു ചിത്രീകരണം:

തന്നിരിക്കുന്ന മാട്രിക്സിന്, 3 ആം ഓർഡറിനേക്കാൾ ഉയർന്ന പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ ഇല്ല, കാരണം

k ≤ m i n (p, n) = m i n (3, 4) = 3

ഓർഡർ p × n ന്റെ മാട്രിക്സ് A യ്ക്ക് എത്ര k-th ഓർഡർ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ നിലവിലുണ്ട്?

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ എണ്ണം ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

C p k × C n k, ഇവിടെ e e C p k = p! k! (പി - കെ)! കൂടാതെ C n k = n! k! (n - k)! - യഥാക്രമം p മുതൽ k, n മുതൽ k വരെ കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണം.

മാട്രിക്സ് എയിലെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ എന്താണെന്ന് ഞങ്ങൾ തീരുമാനിച്ചതിന് ശേഷം, മാട്രിക്സ് എ യുടെ റാങ്ക് നിർണ്ണയിക്കാൻ നമുക്ക് തുടരാം.

മാട്രിക്സ് റാങ്ക്: കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

മാട്രിക്സ് റാങ്ക് - പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള മാട്രിക്സിന്റെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ക്രമം.

പദവി 1

റാങ്ക് (എ), Rg (A), രംഗ് (A).

മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിന്റെയും മാട്രിക്സിന്റെ മൈനറിന്റെയും നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, പൂജ്യം മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് പൂജ്യമാണെന്നും നോൺസെറോ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് നോൺസെറോയാണെന്നും വ്യക്തമാകും.

നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നു

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ കണക്കെടുപ്പ് - ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു രീതി.

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ കണക്കാക്കി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അൽഗോരിതം :

ഓർഡറിന്റെ മാട്രിക്സ് എ യുടെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് പി× എന്... കുറഞ്ഞത് ഒരു നോൺസെറോ മൂലകമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കുറഞ്ഞത് ഒരു തുല്യമാണ് ( മുതലുള്ള പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ആദ്യ ഓർഡറിന്റെ ഒരു മൈനറാണ്).

ഇതിനുശേഷം, രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ എണ്ണൽ നടത്തുന്നു. എല്ലാ 2 ആം ഓർഡർ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, റാങ്ക് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു നോൺസെറോ മൈനറെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, 3 ആം ഓർഡറിലെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ കണക്കെടുപ്പിലേക്ക് പോകേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കുറഞ്ഞത് രണ്ടിന് തുല്യമായിരിക്കും.

മൂന്നാം ഓർഡറിന്റെ റാങ്കിനൊപ്പം ഞങ്ങൾ സമാനമായ രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കും: മാട്രിക്സിന്റെ എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, റാങ്ക് രണ്ടിന് തുല്യമായിരിക്കും. ഓർഡർ 3 -ൽ ഒരു നോൺസെറോ മൈനറെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കുറഞ്ഞത് മൂന്ന് ആണ്. അങ്ങനെ, സാമ്യം കൊണ്ട്.

ഉദാഹരണം 2

ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക:

എ = - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

മാട്രിക്സ് നോൺസെറോ ആയതിനാൽ, അതിന്റെ റാങ്ക് കുറഞ്ഞത് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ മൈനർ - 1 1 2 2 = ( - - 1) × 2 - 1 × 2 = 4 നോൺസെറോ ആണ്. അതിനാൽ മാട്രിക്സ് എ യുടെ റാങ്ക് കുറഞ്ഞത് രണ്ട് ആണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

3 -ാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ ഞങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുന്നു: С 3 3 × С 5 3 = 1 5! 3! (5 - 3)! = 10 കഷണങ്ങൾ.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = ( - 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + ( - 1) × 2 × 3 - ( - 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (- 1) × 6 × 3 = 0

1- 1- 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11- (- 2) × 6 × 4- (- 1) × 2 × 1 - ( - 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = ( - 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + ( - 2) × 2 × 3 - ( - 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = ( - 1) × 6 × ( - 7) + ( - 1) × ( - 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7)- (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × ( - 7) + ( - 1) × ( - 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - ( - 1) × 2 × (- 7)- 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × ( - 7) + ( - 2) × ( - 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - ( - - 2) × 2 × (- 7)- 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = ( - 1) × 0 × ( - 7) + ( - 2) × ( - 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7)- (- 1) × (- 4) × 1 = 0

മൂന്നാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് രണ്ടിന് തുല്യമാണ്.

ഉത്തരം : റാങ്ക് (എ) = 2.

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നു

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ രീതി - കുറഞ്ഞ കണക്കുകൂട്ടൽ ജോലി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫലം നേടാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു രീതി.

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നു - മൈനർ M ok (k + 1) - മാട്രിക്സ് A യുടെ മൈനർ M യുടെ M എന്ന മാട്രിക്സ് A യുടെ മൈനർ M ok- മായി യോജിക്കുന്ന മാട്രിക്സ് "അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ" പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത എം.

ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, അതിർത്തിയിലുള്ള മൈനർ M യുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന മാട്രിക്സ് ഒരു വരിയുടെയും ഒരു നിരയുടെയും മൂലകങ്ങൾ ഇല്ലാതാക്കിക്കൊണ്ട് അതിർത്തിയിലുള്ള മൈനർ M o k യുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് ലഭിക്കും.

ഉദാഹരണം 3

ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക:

എ = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

റാങ്ക് കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ മൈനർ take = 2 - 1 4 1 എടുക്കുന്നു

അതിർത്തിയിലുള്ള എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെയും ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ അതിർത്തി പങ്കിടുന്ന രീതി സ്ഥിരീകരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഒരു സിദ്ധാന്തം അവതരിപ്പിക്കുന്നു, അതിന്റെ രൂപീകരണത്തിന് തെളിവ് അടിസ്ഥാനം ആവശ്യമില്ല.

സിദ്ധാന്തം 1

മെട്രിക്സ് എ യുടെ കെ-ആം ഓർഡറിന്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സ് എയിലെ എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും (കെ + 1) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അൽഗോരിതം :

ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്താൻ, എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെയും മേൽ ആവർത്തിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല; അതിർത്തിയിലുള്ളവ നോക്കിയാൽ മതി.

അതിർത്തിയിലുള്ള പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് പൂജ്യമാണ്. പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത ഒരാളെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിർത്തിയിലുള്ള പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

അവയെല്ലാം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, റാങ്ക് (എ) രണ്ടാണ്. പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുമായി അതിർത്തി പങ്കിടുന്ന ഒരു നോൺസെറോയെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിൻറെ അതിർത്തിയിലുള്ള പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. അങ്ങനെ, സമാനമായ രീതിയിൽ.

ഉദാഹരണം 4

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക

എ = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും?

മാട്രിക്സ് എയിലെ 11 എന്ന ഘടകം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്തതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ആദ്യ ഓർഡറിന്റെ ഒരു മൈനർ എടുക്കുന്നു. പൂജ്യമല്ലാത്ത അതിർത്തി പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത ഒരാളെ തിരയാൻ തുടങ്ങാം:

2 1 4 2 = 2 × 2 - 1 × 4 = 0 2 0 4 1 = 2 × 1 - 0 × 4 = 2

പൂജ്യം 2 0 4 1 ന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു അതിർത്തിയിലുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

അതിർത്തിയിലുള്ള പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ മേൽ നമുക്ക് ആവർത്തിക്കാം - ((4 - 2) × (5 - 2) = 6 കഷണങ്ങൾ ഉണ്ട്).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

ഉത്തരം : റാങ്ക് (എ) = 2.

ഗോസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക (പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്)

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ എന്താണെന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ:

• മാട്രിക്സിന്റെ വരികൾ (നിരകൾ) പുനraക്രമീകരിക്കുന്നതിലൂടെ;
• മാട്രിക്സിന്റെ ഏതെങ്കിലും നിരയുടെ (നിര) എല്ലാ ഘടകങ്ങളും അനിയന്ത്രിതമായ നോൺസെറോ നമ്പർ കെ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ;

മാട്രിക്സിന്റെ മറ്റൊരു നിരയുമായി (കോളം) യോജിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും വരി (നിര) മൂലകങ്ങളുടെ ഘടകങ്ങളുമായി ചേർക്കുന്നതിലൂടെ, അവയെ അനിയന്ത്രിത സംഖ്യ k കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 5

ഗോസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നു - മെട്രിക്സിന്റെ തുല്യതാ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു രീതി: പരിമിതമായ എണ്ണം പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാട്രിക്സ് എയിൽ നിന്ന് മാട്രിക്സ് ബി ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, റാങ്ക് (എ) = റാങ്ക് (ബി).

ഈ പ്രസ്താവനയുടെ സാധുത മാട്രിക്സിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു:

• ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ വരികളുടെയോ നിരകളുടെയോ ക്രമമാറ്റത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, അതിന്റെ നിർണ്ണായകമായ മാറ്റങ്ങളുടെ അടയാളം. ഇത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, വരികളോ നിരകളോ പുനക്രമീകരിക്കുമ്പോൾ അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും;
• മാട്രിക്സിലെ ഏതെങ്കിലും നിരയിലെ (നിര) എല്ലാ ഘടകങ്ങളും അനിയന്ത്രിത സംഖ്യ k കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ നിർണ്ണയം യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിന്റെ നിർണ്ണയത്തിന് തുല്യമാണ്. കെ വഴി;

മാട്രിക്സിന്റെ ഒരു നിശ്ചിത നിരയിലോ നിരയിലോ ഉള്ള മൂലകങ്ങളിൽ k എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്ന മറ്റൊരു വരിയുടെയോ നിരയുടെയോ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ നിർണ്ണയത്തിൽ മാറ്റമില്ല.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തന രീതിയുടെ സാരാംശം : പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ട്രാപ്സോയ്ഡലായി റാങ്ക് കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്ന മാട്രിക്സ് കുറയ്ക്കുക.

എന്തിനുവേണ്ടി?

ഇത്തരത്തിലുള്ള മെട്രിക്സ് റാങ്ക് കണ്ടെത്താൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഇത് കുറഞ്ഞത് ഒരു നോൺസെറോ മൂലകമെങ്കിലും അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന വരികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. പ്രാഥമിക പരിവർത്തന സമയത്ത് റാങ്ക് മാറാത്തതിനാൽ, ഇത് മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കായിരിക്കും.

നമുക്ക് ഈ പ്രക്രിയ വിശദീകരിക്കാം:

• ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മെട്രിക്‌സിന് A എന്ന ക്രമത്തിന്റെ p, n, നിരകളുടെ എണ്ണം നിരകളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണ്:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0, R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k

• ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മെട്രിക്‌സിന് A എന്ന ക്രമത്തിന്റെ p, n, വരികളുടെ എണ്ണം നിരകളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവാണ്:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bpp + 1 ⋯ bpn, R ank (A) = p

B 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മെട്രിക്‌സിന് A എന്ന ക്രമത്തിന്റെ n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 n 0 0 0 ⋯ 0 1 , ആർ അങ്ക് (എ) = എൻ

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, R ank (A) = k, k< n

ഉദാഹരണം 5

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാട്രിക്സ് എ യുടെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും?

എ 11 എന്ന ഘടകം നോൺസെറോ ആയതിനാൽ, മാട്രിക്സ് എ യുടെ ആദ്യ നിരയിലെ ഘടകങ്ങൾ 1 a 11 = 1 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

രണ്ടാം വരിയുടെ മൂലകങ്ങളിലേക്ക് ഒന്നാം നിരയിലെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക, അവയെ (-3) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. മൂന്നാമത്തെ വരിയുടെ മൂലകങ്ങളിലേക്ക്, (-1) കൊണ്ട് ഗുണിച്ച ആദ്യ വരിയുടെ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക:

~ എ (1) = 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ എ (2) = = 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3)- 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3)- 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1)- 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5)- 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5)- 15 + 3 (- 5) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7)- 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

മൂലകം 22 (2) നോൺസെറോ ആണ്, അതിനാൽ മാട്രിക്സ് എ യുടെ 2 -ആം നിരയിലെ മൂലകങ്ങളെ A (2) കൊണ്ട് 1 a 22 (2) = - 2 3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു.

എ (3) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ എ (4) = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + ( - 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + ( - 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + ( - - 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ 3 -ആം നിരയിലെ ഘടകങ്ങളിലേക്ക്, 2 2 -ന്റെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ ചേർക്കുക, അവയെ 3 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക;
• 4 -ആം നിരയിലെ മൂലകങ്ങളിലേക്ക് - 2 -ആം നിരയിലെ ഘടകങ്ങൾ, 9 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ;
• അഞ്ചാമത്തെ വരിയുടെ മൂലകങ്ങളിലേക്ക് - 2 വരിയുടെ ഘടകങ്ങൾ, അവയെ 3 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു.

എല്ലാ വരി ഘടകങ്ങളും പൂജ്യമാണ്. അങ്ങനെ, പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സിനെ ഒരു ട്രപസോയിഡൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവന്നു, അതിൽ നിന്ന് R a n k (A (4)) = 2 എന്ന് കാണാം. അതിനാൽ യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കും രണ്ടിന് തുല്യമാണെന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു.

അഭിപ്രായം

നിങ്ങൾ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുകയാണെങ്കിൽ, ഏകദേശ മൂല്യങ്ങൾ അനുവദനീയമല്ല!

ടെക്സ്റ്റിൽ ഒരു പിശക് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് തിരഞ്ഞെടുത്ത് Ctrl + Enter അമർത്തുക

നിർവ്വചനം. മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് അനുസരിച്ച്വെക്റ്ററുകളായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്ന രേഖീയ സ്വതന്ത്ര രേഖകളുടെ പരമാവധി സംഖ്യയാണ്.

ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിലുള്ള സിദ്ധാന്തം 1. മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് അനുസരിച്ച്മാട്രിക്സിന്റെ നോൺസെറോ മൈനറിന്റെ പരമാവധി ഓർഡറാണ്.

ഡിറ്റർമിനന്റുകളെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠത്തിൽ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത ഒരാളുടെ ആശയം ഞങ്ങൾ ഇതിനകം വിശകലനം ചെയ്തിട്ടുണ്ട്, ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ അതിനെ സാമാന്യവൽക്കരിക്കും. നമുക്ക് മാട്രിക്സിൽ ചില വരികളും ചില നിരകളും എടുക്കാം, ഈ "ചിലത്" മാട്രിക്സിന്റെ വരികളുടെയും നിരകളുടെയും എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കണം, കൂടാതെ വരികൾക്കും നിരകൾക്കും ഈ "ചിലത്" ഒരേ സംഖ്യയായിരിക്കണം. പിന്നെ ചില വരികളുടെ കവലയിലും എത്ര നിരകൾക്കും നമ്മുടെ യഥാർത്ഥ മാട്രിക്സിനെക്കാൾ താഴ്ന്ന ക്രമത്തിലുള്ള ഒരു മാട്രിക്സ് ഉണ്ടാകും. സൂചിപ്പിച്ച "ചിലത്" (വരികളുടെയും നിരകളുടെയും എണ്ണം) കെ സൂചിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഈ മാട്രിക്സിന്റെ നിർണ്ണായകമായത് k-th ഓർഡർ ചെറുതായിരിക്കും.

നിർവ്വചനം.പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത ( ആർ+1) th ഓർഡർ, അതിനുള്ളിൽ തിരഞ്ഞെടുത്ത മൈനർ കിടക്കുന്നു ആർ-ഒരു പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത വ്യക്തിയുടെ അതിർത്തിയാണ് ഓർഡർ.

ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന രണ്ട് രീതികൾ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നു... അത് പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ വഴിഒപ്പം പ്രാഥമിക പരിവർത്തന രീതി(ഗോസ് രീതി പ്രകാരം).

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ രീതിക്ക് താഴെ പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിലുള്ള സിദ്ധാന്തം 2.മാട്രിക്സിന്റെ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു മൈനർ രചിക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ ആർ-ഒന്നാമത്തെ ക്രമം, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അപ്പോൾ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് ആർ.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തന രീതിയിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സ്വത്ത് ഉപയോഗിക്കുന്നു:

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളാൽ, യഥാർത്ഥമായതിന് തുല്യമായ ഒരു ട്രപസോയിഡൽ മാട്രിക്സ് ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പിന്നെ ഈ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക്പൂർണ്ണമായും പൂജ്യങ്ങൾ അടങ്ങിയ വരികൾ ഒഴികെയുള്ള അതിലെ വരികളുടെ എണ്ണമാണ്.

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നു

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത ഒരു പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത ആൾ ഒരു ഉയർന്ന ഓർഡറിന്റെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത വ്യക്തിയാണ്

ഉദാഹരണത്തിന്, മാട്രിക്സ് നൽകിയിരിക്കുന്നു

നമുക്ക് പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത ഒരാളെ എടുക്കാം

ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ അതിർത്തിയായിരിക്കും:

ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതംഅടുത്തത്.

1. രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ കണ്ടെത്തുക. എല്ലാ രണ്ടാം ഓർഡർ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കും ( ആർ =1 ).

2. പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ ഒരു മൈനറെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ അതിർത്തി പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ രചിക്കുന്നു. മൂന്നാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് രണ്ടിന് തുല്യമാണ് ( ആർ =2 ).

3. മൂന്നാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത ഒരാളെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അതിർത്തി പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ രചിക്കുന്നു. നാലാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് മൂന്നിന് തുല്യമാണ് ( ആർ =2 ).

4. മാട്രിക്സിന്റെ വലുപ്പം അനുവദിക്കുന്നിടത്തോളം തുടരുക.

ഉദാഹരണം 1.ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക

.

പരിഹാരം രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ മൈനർ .

ഞങ്ങൾ അത് ഫ്രെയിം ചെയ്യുന്നു. നാല് അതിർത്തി പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ ഉണ്ടാകും:

,

,

അങ്ങനെ, മൂന്നാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ, ഈ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് രണ്ടിന് തുല്യമാണ് ( ആർ =2 ).

ഉദാഹരണം 2.ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം ഈ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് 1 ആണ്, കാരണം ഈ മാട്രിക്സിന്റെ എല്ലാ രണ്ടാം-ഓർഡർ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (ഇതിൽ, അടുത്ത രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങളിലെ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ കാര്യത്തിൽ, പ്രിയ വിദ്യാർത്ഥികളെ സ്വയം പരിശോധിക്കാൻ ക്ഷണിക്കുന്നു, ഡിറ്റർമിനന്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം), കൂടാതെ ആദ്യ-ഓർഡർ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർക്കിടയിൽ, അതായത്, മാട്രിക്സിന്റെ മൂലകങ്ങൾക്കിടയിൽ, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല.

ഉദാഹരണം 3.ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം ഈ മാട്രിക്സിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ മൈനർ, ഈ മാട്രിക്സിന്റെ മൂന്നാമത്തെ ഓർഡറിലെ എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, ഈ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് രണ്ട് ആണ്.

ഉദാഹരണം 4.ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം ഈ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് 3 ആണ്, കാരണം ഈ മാട്രിക്സിന്റെ മൂന്നാമത്തെ ഓർഡർ മൈനർ 3 ആണ്.

പ്രാഥമിക പരിവർത്തന രീതി (ഗാസ് രീതി) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നു

ഇതിനകം ഉദാഹരണം 1 ൽ, പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ അതിർത്തി പങ്കിടുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിന് ധാരാളം നിർണ്ണായക ഘടകങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ അളവ് പരമാവധി കുറയ്ക്കാൻ ഒരു മാർഗമുണ്ട്. ഈ രീതി പ്രാഥമിക മാട്രിക്സ് പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഉപയോഗത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, ഇതിനെ ഗോസ് രീതി എന്നും വിളിക്കുന്നു.

പ്രാഥമിക മാട്രിക്സ് പരിവർത്തനങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളായി മനസ്സിലാക്കുന്നു:

1) ഏതെങ്കിലും വരിയുടെയോ മാട്രിക്സിന്റെ ഏതെങ്കിലും നിരയുടെയോ പൂജ്യം അല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക;

2) ഏതെങ്കിലും വരിയുടെ അല്ലെങ്കിൽ മാട്രിക്സിന്റെ ഏതെങ്കിലും നിരയിലെ ഘടകങ്ങളുമായി മറ്റൊരു വരി അല്ലെങ്കിൽ നിരയുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങൾ, അതേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ;

3) മാട്രിക്സിന്റെ രണ്ട് വരികൾ അല്ലെങ്കിൽ നിരകൾ മാറ്റുക;

4) "പൂജ്യം" ലൈനുകൾ നീക്കംചെയ്യൽ, അതായത്, അവയുടെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്;

5) ഒരെണ്ണം ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ ആനുപാതിക രേഖകളും ഇല്ലാതാക്കൽ.

സിദ്ധാന്തം.ഒരു പ്രാഥമിക പരിവർത്തനം മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് മാറ്റില്ല. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സിൽ നിന്ന് പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ എമാട്രിക്സിലേക്ക് പോയി ബി, പിന്നെ.

വരികൾ (നിരകൾ). നിരവധി വരികളെ (നിരകൾ) രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമെന്ന് വിളിക്കുന്നുവെങ്കിൽ അവയൊന്നും മറ്റുള്ളവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയില്ല. നിര സംവിധാനത്തിന്റെ റാങ്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും നിര സംവിധാനത്തിന്റെ റാങ്കിന് തുല്യമാണ്, ഈ സംഖ്യയെ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഈ മാട്രിക്സിന്റെ സാധ്യമായ നോൺസെറോ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ ഓർഡറുകളിൽ ഏറ്റവും ഉയർന്നതാണ് ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക്. ഏതെങ്കിലും വലുപ്പത്തിലുള്ള പൂജ്യം മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് പൂജ്യമാണ്. എല്ലാ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, റാങ്ക് ഒന്നുതന്നെയാണ്.

മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് ചിത്രത്തിന്റെ അളവാണ് മങ്ങിയ ⁡ (im ⁡ (A)) (\ displaystyle \ dim (\ operatorname (im) (A)))മാട്രിക്സ് യോജിക്കുന്ന ലീനിയർ ഓപ്പറേറ്റർ.

സാധാരണയായി മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് A (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി A)സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു rang ⁡ A (\ displaystyle \ operatorname (rang) A), r ⁡ A (\ displaystyle \ operatorname (r) A), rg ⁡ A (\ displaystyle \ operatorname (rg) A)അഥവാ റാങ്ക് ⁡ A (\ displaystyle \ operatorname (റാങ്ക്) A)... പിന്നീടുള്ള പതിപ്പ് ഇംഗ്ലീഷിന് സാധാരണമാണ്, ആദ്യ രണ്ട് ജർമ്മൻ, ഫ്രഞ്ച്, മറ്റ് നിരവധി ഭാഷകൾക്കുള്ളതാണ്.

കൊളീജിയറ്റ് YouTube

• 1 / 5

  ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള മാട്രിക്സ് ആയിരിക്കട്ടെ.

  പിന്നെ, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് A (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി A)ഒരു ആണ്:

  സിദ്ധാന്തം (റാങ്കുകളുടെ നിർവചനത്തിന്റെ കൃത്യതയെക്കുറിച്ച്).മാട്രിക്സിലെ എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെയും അനുവദിക്കുക ഒരു m × n (\ ഡിസ്പ്ലേ സ്റ്റൈൽ A_ (m \ times n))ഓർഡർ k (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി k)പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് ( M k = 0 (\ ഡിസ്പ്ലേ സ്റ്റൈൽ M_ (k) = 0)). പിന്നെ K M k + 1 = 0 (\ displaystyle \ forall M_ (k + 1) = 0)അവ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ.

  അനുബന്ധ നിർവചനങ്ങൾ

  പ്രോപ്പർട്ടികൾ

  • സിദ്ധാന്തം (അടിസ്ഥാനപരമായ ചെറിയതിനെക്കുറിച്ച്):ആകട്ടെ r = rang ⁡ A, M r (\ displaystyle r = \ operatorname (rang) A, M_ (r))- മാട്രിക്സിന്റെ അടിസ്ഥാന മൈനർ A (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി A), പിന്നെ:
  • പരിണതഫലങ്ങൾ:
  • സിദ്ധാന്തം (പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് കീഴിലുള്ള റാങ്ക് അസ്ഥിരതയിൽ):പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളിലൂടെ പരസ്പരം ലഭിക്കുന്ന മെട്രിക്സുകളുടെ ഒരു നൊട്ടേഷൻ നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം. ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രസ്താവന ശരിയാണ്: എങ്കിൽ A ∼ B (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി A \ sim B), അപ്പോൾ അവരുടെ റാങ്കുകൾ തുല്യമാണ്.
  • ക്രോണക്കർ - കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തം:രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനം അതിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് അതിന്റെ വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം സ്ഥിരമാണ്. പ്രത്യേകിച്ച്:
    • സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം സിസ്റ്റത്തിന്റെ റാങ്കിന് തുല്യമാണ്.
    • സിസ്റ്റത്തിന്റെ റാങ്ക് അതിന്റെ എല്ലാ വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണത്തിനും തുല്യമാണെങ്കിൽ ഒരു സംയുക്ത സംവിധാനം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടും (അതിന്റെ പരിഹാരം അതുല്യമാണ്).
  • സിൽവസ്റ്ററിന്റെ അസമത്വം:എങ്കിൽ എഒപ്പം ബിവലുപ്പമുള്ള മെട്രിക്സ് m x nഒപ്പം n x കെ, പിന്നെ
  rang ⁡ A B ≥ rang ⁡ A + rang ⁡ B - n (\ displaystyle \ operatorname (rang) AB \ geq \ operatorname (rang) A + \ operatorname (rang) B -n)

  ഇനിപ്പറയുന്ന അസമത്വത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യമാണിത്.

  • ഫ്രോബീനിയസ് അസമത്വം:എബി, ബിസി, എബിസി എന്നിവ നന്നായി നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ
  rang ⁡ A B C ≥ rang ⁡ A B + rang ⁡ B C - rang ⁡ B (\ displaystyle \ operatorname (rang) ABC \ geq \ operatorname (rang) AB + \ operatorname (rang) BC- \ operatorname (rang) B)

  ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ രേഖീയ പരിവർത്തനവും റാങ്കും

  ആകട്ടെ A (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി A)- സൈസ് മാട്രിക്സ് m × n (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി m \ തവണ n)വയലിന് മുകളിൽ സി (\ ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ സി)(അഥവാ R (\ ഡിസ്പ്ലേ സ്റ്റൈൽ R)). ആകട്ടെ ടി (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി ടി)- അനുബന്ധ രേഖീയ പരിവർത്തനം A (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി A)ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് അടിസ്ഥാനത്തിൽ; അതിനർത്ഥം അതാണ് T (x) = A x (\ displaystyle T (x) = മഴു). മാട്രിക്സ് റാങ്ക് A (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി A) പരിവർത്തനത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയുടെ അളവാണ് ടി (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി ടി).

  രീതികൾ

  ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നതിന് നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്:

  • പ്രാഥമിക പരിവർത്തന രീതി
  മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് മാട്രിക്സിന്റെ വരികളിലെ പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സ്റ്റെപ്പ്ഡ് ഫോമിലേക്ക് കുറച്ചതിനുശേഷം മാട്രിക്സിലെ നോൺസെറോ വരികളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.
  • പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരുടെ രീതി
  മാട്രിക്സിൽ അനുവദിക്കുക A (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി A)പ്രായപൂർത്തിയാകാത്ത നോൺസെറോ കണ്ടെത്തി k (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി k)-ഉത്തരവ് എം (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി എം)... എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെയും പരിഗണിക്കുക (k + 1) (\ displaystyle (k + 1))-മൈനർ (അതിർത്തി) ഉൾപ്പെടെയുള്ള ക്രമം എം (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി എം); അവയെല്ലാം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് k (\ ഡിസ്പ്ലേ ശൈലി k)... അല്ലാത്തപക്ഷം, അതിർത്തിയിലുള്ള പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർക്കിടയിൽ ഒരു നോൺസെറോ ഉണ്ട്, മുഴുവൻ നടപടിക്രമവും ആവർത്തിക്കുന്നു.

  ഏതെങ്കിലും മാട്രിക്സ് എഓർഡർ m × nഒരു സെറ്റ് ആയി കാണാൻ കഴിയും mവരി വെക്റ്ററുകൾ അല്ലെങ്കിൽ എന്നിര വെക്റ്ററുകൾ.

  റാങ്ക് അനുസരിച്ച്മെട്രിക്സ് എഓർഡർ m × nരേഖീയ സ്വതന്ത്ര കോളം വെക്റ്ററുകളുടെ അല്ലെങ്കിൽ വരി വെക്റ്ററുകളുടെ പരമാവധി എണ്ണം.

  മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് ആണെങ്കിൽ എതുല്യമാണ് ആർ, പിന്നെ ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

  ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുന്നു

  ആകട്ടെ എഏകപക്ഷീയമായ ഓർഡർ മാട്രിക്സ് m× എന്... ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്താൻ എഗാസിയൻ എലിമിനേഷൻ രീതി പ്രയോഗിക്കുക.

  ഒഴിവാക്കലിന്റെ ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ പിവറ്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, പിവറ്റ് നോൺസെറോ ആയ വരി ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഈ വരി മാറ്റുന്നു. അത്തരമൊരു നിര ഇല്ലെന്ന് തെളിഞ്ഞാൽ, അടുത്ത നിരയിലേക്ക് പോകുക.

  ഗൗസ് ഇല്ലാതാക്കുന്നതിനുള്ള നേരിട്ടുള്ള നീക്കത്തിന് ശേഷം, ഒരു മാട്രിക്സ് നമുക്ക് ലഭിക്കും, പ്രധാന ഡയഗണലിന് കീഴിലുള്ള ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. കൂടാതെ, സീറോ ലൈൻ വെക്റ്ററുകൾ ഉണ്ടാകാം.

  നോൺസെറോ റോ വെക്റ്ററുകളുടെ എണ്ണം മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് ആയിരിക്കും എ.

  ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇതെല്ലാം പരിഗണിക്കാം.

  ഉദാഹരണം 1.

  ആദ്യ നിര 4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ആദ്യ വരി 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

  

  രണ്ടാമത്തെ വരി -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും മൂന്നാമത്തെ വരിയിൽ ചേർക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

  

  ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് നോൺസെറോ വരികൾ ലഭിച്ചു, അതിനാൽ, മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് 2 ആണ്.

  ഉദാഹരണം 2.

  ഇനിപ്പറയുന്ന മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക:

  

  ആദ്യ വരി -2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ചേർക്കുക. അതുപോലെ, ആദ്യ നിരയിലെ മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും വരികളുടെ ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പൂജ്യം ചെയ്യുന്നു:

  

  രണ്ടാമത്തെ നിരയിലെ മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും വരികളുടെ ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യമാക്കുക, രണ്ടാമത്തെ നിരയിലേക്ക് അനുബന്ധ വരികൾ ചേർത്ത് -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.