രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിന്റെ ബീജഗണിത വക്രത നിർണ്ണയിക്കുന്നത് രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ബീജഗണിത സമവാക്യമാണ് എൻ. എസ്ഒപ്പം at... പൊതുവായ രൂപത്തിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു

എ എൻ. എസ് 2 + ബി ഹു+ സി at 2 + ഡി x+ ഇ വൈ+ F = 0, (6)

കൂടാതെ, А 2 + В 2 + С 2 ¹ 0 (അതായത് അതേ സമയം А, В, the എന്ന സംഖ്യകൾ അപ്രത്യക്ഷമാകില്ല). നിബന്ധനകൾ എ എൻ. എസ് 2, ബി ഹുകൂടെ at 2 സമവാക്യത്തിന്റെ സീനിയർ നിബന്ധനകൾ, സംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

വിളിച്ചു വിവേചനംഈ സമവാക്യത്തിന്റെ. സമവാക്യം (6) എന്ന് വിളിക്കുന്നു പൊതു സമവാക്യംരണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ വളവ്.

നേരത്തെ പരിഗണിച്ച വളവുകൾക്ക്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്:

ദീർഘവൃത്തം: Þ A =, B = 0, C =, D = E = 0, F = –1,

വൃത്തം എൻ. എസ് 2 + at 2 = എ 2 Þ A = C = 1, B = D = E = 0, F = - എ 2, d = 1> 0;

ഹൈപ്പർബോള: Þ A =, B = 0, C = -, D = E = 0, F = –1,

d = -.< 0.

പരബോള: at 2 = 2pxÞ A = B = 0, C = 1, D = –2 ആർ, E = F = 0, d = 0,

എൻ. എസ് 2 = 2RUÞ A = 1B = C = D = 0, E = –2 ആർ, എഫ് = 0, ഡി = 0.

സമവാക്യം (6) നൽകുന്ന വളവുകളെ വിളിക്കുന്നു കേന്ദ്ര d¹0 ആണെങ്കിൽ വളവുകൾ. D> 0 ആണെങ്കിൽ, വളവ് ദീർഘവൃത്താകൃതി d ആണെങ്കിൽ ടൈപ്പ് ചെയ്യുക<0, то кривая ഹൈപ്പർബോളിക്തരം. D = 0 എന്നത് വളവുകളാണ് പാരബോളിക്തരം.

ലെ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ ലൈൻ ആണെന്ന് തെളിഞ്ഞു ഏതെങ്കിലുംകാർട്ടീഷ്യൻ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം നൽകുന്നത് രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിലുള്ള ബീജഗണിത സമവാക്യമാണ്. ഒരു സിസ്റ്റത്തിൽ മാത്രമേ സമവാക്യത്തിന് സങ്കീർണ്ണമായ രൂപമുള്ളൂ (ഉദാഹരണത്തിന്, (6)), മറ്റൊന്നിൽ ഇത് ലളിതമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, (5). അതിനാൽ, പഠിച്ച കർവ് ഏറ്റവും ലളിതമായ (ഉദാഹരണത്തിന്, കാനോനിക്കൽ) സമവാക്യം എഴുതിയ ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്നുള്ള പരിവർത്തനം, അതിൽ ഫോം (6) എന്ന സമവാക്യം വഴി മറ്റൊന്നിലേക്ക് കർവ് നൽകപ്പെടുന്നു, അവിടെ അതിന്റെ സമവാക്യത്തിന് ലളിതമായ രൂപമുണ്ട്, ഏകോപന പരിവർത്തനം.

കോർഡിനേറ്റ് പരിവർത്തനങ്ങളുടെ പ്രധാന തരങ്ങൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.

ഐ. പരിവർത്തനം നടത്തുകകോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ (ദിശയുടെ സംരക്ഷണത്തോടെ). യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ XOU പോയിന്റ് M ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ ( എൻ. എസ്, atഎൻ. എസ്¢, at¢). വ്യത്യസ്ത സംവിധാനങ്ങളിലെ M പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ അനുപാതങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഡ്രോയിംഗിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും

(7), അല്ലെങ്കിൽ (8)

ഫോർമുലകൾ (7), (8) എന്നിവയെ കോർഡിനേറ്റ് ട്രാൻസ്ഫോർമേഷൻ ഫോർമുലകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

II ഭ്രമണ പരിവർത്തനംഒരു കോണിൽ അക്ഷങ്ങളെ ഏകോപിപ്പിക്കുക a. പോയിന്റ് M ന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ ( എൻ. എസ്, at), പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ XO ¢ Y ഇതിന് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് ( എൻ. എസ്¢, at¢). അപ്പോൾ ഈ കോർഡിനേറ്റുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ഫോർമുലകളാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു

, (9)

അഥവാ

കോർഡിനേറ്റുകൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, സമവാക്യം (6) ഇനിപ്പറയുന്നവയിലൊന്നിലേക്ക് കുറയ്ക്കാം കാനോനിക്കൽസമവാക്യങ്ങൾ

1) - ദീർഘവൃത്തം,

2) - ഹൈപ്പർബോൾ,

3) at 2 = 2px, എൻ. എസ് 2 = 2RU- പരബോള

4) എ 2 എൻ. എസ് 2 – ബി 2 വൈ 2 = 0 - ഒരു ജോടി വിഭജിക്കുന്ന നേർരേഖകൾ (ചിത്രം എ)

5) വൈ 2 – എ 2 = 0 - ഒരു ജോടി സമാന്തര നേർരേഖകൾ (ചിത്രം ബി)

6) x 2 –എ 2 = 0 - ഒരു ജോടി സമാന്തര നേർരേഖകൾ (ചിത്രം സി)

7) വൈ 2 = 0 - പൊരുത്തപ്പെടുന്ന നേർരേഖകൾ (OX axis)

8) x 2 = 0 - പൊരുത്തപ്പെടുന്ന നേർരേഖകൾ (OU അച്ചുതണ്ട്)

9) എ 2 എൻ. എസ് 2 + ബി 2 വൈ 2 = 0 - പോയിന്റ് (0, 0)

10) സാങ്കൽപ്പിക ദീർഘവൃത്തം

11) വൈ 2 + എ 2 = 0 - ഒരു ജോടി സാങ്കൽപ്പിക വരികൾ

12) x 2 + എ 2 = 0 എന്നത് ഒരു ജോടി സാങ്കൽപ്പിക വരികളാണ്.

ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഓരോന്നും രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ലൈൻ സമവാക്യമാണ്. സമവാക്യങ്ങൾ 4 - 12 നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന വരികളെ വിളിക്കുന്നു അധeneraപതിക്കുകരണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ വളവുകൾ.

ഒരു വക്രത്തിന്റെ പൊതുവായ സമവാക്യം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

1) 9എൻ. എസ് 2 + 4at 2 – 54എൻ. എസ് + 8at+ 49 = 0 Þ (9 എൻ. എസ് 2 – 54എൻ. എസ്) + (4at 2 + 8at) + 49 = 0 Þ

9(എൻ. എസ് 2 – 6എൻ. എസ്+ 9) + 4(at 2 + 2at+ 1) - 81 - 4 + 49 = 0 Þ 9 ( എൻ. എസ് –3) 2 + 4(at+ 1) = 36, Þ

.

ഞങ്ങൾ വെച്ചു എൻ. എസ്¢ = എൻ. എസ് – 3, at¢ = at+ 1, ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും ... സമത്വം എൻ. എസ്¢ = എൻ. എസ് – 3, at¢ = atകോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ പോയിന്റിലേക്കുള്ള പരിഭാഷയുടെ പരിവർത്തനം + 1 നിർവ്വചിക്കുക (3, –1). പഴയതും പുതിയതുമായ കോർഡിനേറ്റ് സംവിധാനങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചതിനാൽ, ഈ ദീർഘവൃത്തം വരയ്ക്കാൻ പ്രയാസമില്ല.

2) 3at 2 +4എൻ. എസ്– 12at+8 = 0. പരിവർത്തനം:

(3at 2 – 12at)+ 4 എൻ. എസ്+8 = 0

3(at 2 – 4at+4) - 12 + 4 എൻ. എസ് +8 = 0

3(y - 2) 2 + 4(എൻ. എസ് –1) = 0

(at – 2) 2 = – (എൻ. എസ് – 1) .

ഞങ്ങൾ വെച്ചു എൻ. എസ്¢ = എൻ. എസ് – 1, at¢ = at- 2, നമുക്ക് പരബോള സമവാക്യം ലഭിക്കും at¢ 2 = - എൻ. എസ്. തിരഞ്ഞെടുത്ത മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തെ O ¢ (1,2) എന്ന പോയിന്റിലേക്ക് മാറ്റുന്നു.

ഈ ലേഖനത്തിൽ ഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം നോക്കാം. ഈ നേർരേഖയുടെ രണ്ട് പോയിന്റുകൾ അറിയാമെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പോയിന്റും ഈ നേർരേഖയുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററും അറിയാമെങ്കിൽ ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം. സമവാക്യത്തെ കാനോനിക്കൽ, പാരാമട്രിക് രൂപങ്ങളായി മാറ്റുന്നതിനുള്ള രീതികൾ നമുക്ക് അവതരിപ്പിക്കാം.

ഏകപക്ഷീയമായ കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സംവിധാനം നൽകട്ടെ ഓക്സി... ആദ്യ ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു സമവാക്യം അല്ലെങ്കിൽ ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക:

എവിടെ എ, ബി, സി- ചില സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ, കുറഞ്ഞത് ഒരു ഘടകമെങ്കിലും എഒപ്പം ബിനോൺസെറോ.

ഒരു വിമാനത്തിലെ രേഖീയ സമവാക്യം ഒരു നേർരേഖയെ നിർവ്വചിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും. ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം 1. ഒരു വിമാനത്തിലെ ഏകപക്ഷീയമായ കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ഓരോ നേർരേഖയും ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം. നേരെമറിച്ച്, ഒരു വിമാനത്തിലെ ഏകപക്ഷീയമായ കാർട്ടീഷ്യൻ ദീർഘചതുര കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഓരോ രേഖീയ സമവാക്യവും (1) ഒരു നേർരേഖയെ നിർവ്വചിക്കുന്നു.

തെളിവ്. വര എന്ന് തെളിയിച്ചാൽ മതി എൽഏതെങ്കിലും ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നു, അതിനുശേഷം അത് ഒരു രേഖീയ സമവാക്യത്തിലൂടെയും കാർട്ടീഷ്യൻ ദീർഘചതുര കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഏത് തിരഞ്ഞെടുപ്പിനും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടും.

വിമാനത്തിൽ ഒരു നേർരേഖ നൽകട്ടെ എൽ... നമുക്ക് ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അങ്ങനെ അച്ചുതണ്ട് കാളഒരു നേർരേഖയുമായി ഒത്തുചേർന്നു എൽഅച്ചുതണ്ടും ഓയ്അതിന് ലംബമായിരുന്നു. പിന്നെ നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം എൽഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കും:

എല്ലാ പോയിന്റുകളും ഒരു നേർരേഖയിൽ എൽരേഖീയ സമവാക്യം (2) തൃപ്തിപ്പെടുത്തും, ഈ നേർരേഖയ്ക്ക് പുറത്തുള്ള എല്ലാ പോയിന്റുകളും സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുകയില്ല (2). സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ആദ്യ ഭാഗം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം നൽകട്ടെ, ഒരു ലീനിയർ സമവാക്യം (1) നൽകട്ടെ, അവിടെ കുറഞ്ഞത് ഒരു ഘടകമെങ്കിലും എഒപ്പം ബിനോൺസെറോ. കോർഡിനേറ്റുകൾ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന പോയിന്റുകളുടെ സ്ഥാനം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം (1). കുറഞ്ഞത് ഗുണകങ്ങളിൽ ഒന്ന് മുതൽ എഒപ്പം ബിപൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യാസമുണ്ട്, അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിന് (1) കുറഞ്ഞത് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട് എം(x 0 ,വൈ 0). (ഉദാഹരണത്തിന്, വേണ്ടി എ≠ 0, പോയിന്റ് എം 0 (−സി / എ, 0) തന്നിരിക്കുന്ന പോയിന്റുകളുടെ സ്ഥാനത്ത് ഉൾപ്പെടുന്നു). (1) ൽ ഈ കോർഡിനേറ്റുകൾക്ക് പകരമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഐഡന്റിറ്റി ലഭിക്കും

നമുക്ക് ഐഡന്റിറ്റി (3) (1) ൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കാം:

വ്യക്തമായും, സമവാക്യം (4) സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ് (1). അതിനാൽ, (4) ചില വരികൾ നിർവ്വചിക്കുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കാൻ ഇത് മതിയാകും.

ഞങ്ങൾ ഒരു കാർട്ടീഷ്യൻ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സംവിധാനം പരിഗണിക്കുന്നതിനാൽ, അത് തുല്യതയിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു (4) ഘടകങ്ങളുള്ള ഒരു വെക്റ്റർ ( x - x 0 , y - y 0) വെക്റ്ററിന് ഓർത്തോഗണൽ ആണ് എന്കോർഡിനേറ്റുകൾക്കൊപ്പം ( എ, ബി}.

ചില നേർരേഖകൾ പരിഗണിക്കുക എൽപോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു എം 0 (x 0 , വൈ 0) വെക്റ്ററിന് ലംബമായി എന്(ചിത്രം 1). കാര്യം പറയട്ടെ എം(x, y) നേർരേഖയിൽ പെടുന്നു എൽ... പിന്നെ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള വെക്റ്റർ x - x 0 , y - y 0 ലംബമായി എന്സമവാക്യം (4) തൃപ്തിപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു (വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം എന്പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്). പോയിന്റ് എങ്കിൽ തിരികെ എം(x, y) നേർരേഖയിൽ കിടക്കുന്നില്ല എൽ, പിന്നെ കോർഡിനേറ്റുകളുള്ള വെക്റ്റർ x - x 0 , y - y 0 വെക്റ്ററിന് ഓർത്തോഗണൽ അല്ല എന്സമവാക്യം (4) തൃപ്തികരമല്ല. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

തെളിവ്. (5), (6) എന്നീ വരികൾ ഒരേ വരയെ നിർവചിക്കുന്നതിനാൽ, സാധാരണ വെക്റ്ററുകൾ എന് 1 ={എ 1 ,ബി 1) കൂടാതെ എന് 2 ={എ 2 ,ബി 2) കോളിനിയർ ആണ്. വെക്റ്ററുകൾ മുതൽ എന് 1 ≠0, എന് 2 ≠ 0, അപ്പോൾ ഒരു നമ്പർ നിലവിലുണ്ട് λ , എന്ത് എന് 2 =എന് 1 λ ... അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: എ 2 =എ 1 λ , ബി 2 =ബി 1 λ ... നമുക്ക് അത് തെളിയിക്കാം സി 2 =സി 1 λ ... വ്യക്തമായും, യോജിക്കുന്ന വരികൾക്ക് പൊതുവായ ഒരു പോയിന്റ് ഉണ്ട് എം 0 (x 0 , വൈ 0). സമവാക്യം (5) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു λ അതിൽ നിന്ന് സമവാക്യം കുറയ്ക്കുമ്പോൾ (6) നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു:

എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ നിന്നുള്ള ആദ്യ രണ്ട് തുല്യതകൾ (7) തൃപ്തിപ്പെട്ടതിനാൽ, പിന്നെ സി 1 λ −സി 2 = 0. ആ. സി 2 =സി 1 λ ... പരാമർശം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

സമവാക്യം (4) പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം നിർവ്വചിക്കുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക എം 0 (x 0 , വൈ 0) ഒരു സാധാരണ വെക്റ്റർ ഉണ്ട് എന്={എ, ബി). അതിനാൽ, നേർരേഖയുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററും ഈ നേർരേഖയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന പോയിന്റും അറിയാമെങ്കിൽ, നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും (4).

ഉദാഹരണം 1. ഒരു നേർരേഖ ഒരു പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു എം= (4, -1) ഒരു സാധാരണ വെക്റ്റർ ഉണ്ട് എന്= (3, 5). നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുക.

പരിഹാരം നമുക്ക് ഉണ്ട്: x 0 =4, വൈ 0 =−1, എ=3, ബി= 5. ഒരു നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (4):

ഉത്തരം:

വെക്റ്റർ നേർരേഖയ്ക്ക് സമാന്തരമാണ് എൽഅതിനാൽ, നേർരേഖയുടെ സാധാരണ വെക്റ്ററിന് ലംബമാണ് എൽ... നമുക്ക് ഒരു നേർരേഖയുടെ ഒരു സാധാരണ വെക്റ്റർ നിർമ്മിക്കാം എൽ, വെക്റ്ററുകളുടെ സ്കെയിലർ ഉൽപ്പന്നം കണക്കിലെടുക്കുന്നു എന്പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. നമുക്ക് എഴുതാം, ഉദാഹരണത്തിന്, എന്={1,−3}.

നേർരേഖയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല (4) ഉപയോഗിക്കും. പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളിൽ (4) പകരം വയ്ക്കുക എം 1 (നമുക്ക് പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളും എടുക്കാം എം 2) സാധാരണ വെക്റ്റർ എന്:

പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾക്ക് പകരമായി എം 1 കൂടാതെ എം 2 in (9) സമവാക്യം (9) നൽകുന്ന നേർരേഖ ഈ പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ഉറപ്പാക്കാം.

ഉത്തരം:

(1) മുതൽ (10) കുറയ്ക്കുക:

വരയുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം ഞങ്ങൾ നേടി. വെക്റ്റർ q={−ബി, എ) നേർരേഖയുടെ ഡയറക്ടിംഗ് വെക്റ്റർ ആണ് (12).

വിപരീത പരിവർത്തനം കാണുക.

ഉദാഹരണം 3. ഒരു പ്ലെയിനിൽ ഒരു നേർരേഖയെ ഇനിപ്പറയുന്ന പൊതു സമവാക്യം പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:

രണ്ടാമത്തെ ടേം വലത്തേക്ക് നീക്കി സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് വശങ്ങളും 2 · 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ കർവ്- ഒരു വിമാനത്തിലെ പോയിന്റുകളുടെ സ്ഥാനം, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ

ഫോമിന്റെ സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നവ:

ഇതിൽ കുറഞ്ഞത് ഒരു ഗുണകം ഒരു 11, ഒരു 12, ഒരു 22പൂജ്യമല്ല.

രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിന്റെ വളവുകളുടെ വ്യത്യാസങ്ങൾ.

വക്രത്തിന്റെ ആകൃതി താഴെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന 4 മാറ്റങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു:

കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഭ്രമണവും വിവർത്തന മാറ്റങ്ങളും:

കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഭ്രമണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വ്യത്യാസമില്ല ( അർദ്ധ-മാറ്റമില്ലാത്തത്):

രണ്ടാം ഓർഡർ വളവുകൾ പഠിക്കാൻ, ഉൽപ്പന്നം പരിഗണിക്കുക എ * സി

ജനറൽ രണ്ടാം ഓർഡർ കർവ് സമവാക്യംഅത് പോലെ തോന്നുന്നു:

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

എങ്കിൽ A * C> 0 ദീർഘവൃത്ത തരം... ഏതെങ്കിലും ദീർഘവൃത്താകൃതി

ഒരു സമവാക്യം ഒരു സാധാരണ ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു അധeneraപതന ദീർഘവൃത്തം (പോയിന്റ്) അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സാങ്കൽപ്പികമാണ്

ഒരു ദീർഘവൃത്തം (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യം വിമാനത്തിലെ ഒരൊറ്റ ജ്യാമിതീയ ചിത്രം നിർവ്വചിക്കുന്നില്ല);

എങ്കിൽ എ * സി< 0 , അപ്പോൾ സമവാക്യം സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപമെടുക്കുന്നു ഹൈപ്പർബോളിക് തരം... ഏതെങ്കിലും ഹൈപ്പർബോളിക്

സമവാക്യം ലളിതമായ ഹൈപ്പർബോള അല്ലെങ്കിൽ ഡീജനറേറ്റഡ് ഹൈപ്പർബോള (രണ്ട് വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ) പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു;

എങ്കിൽ A * C = 0, പിന്നെ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ ലൈൻ കേന്ദ്രമാകില്ല. ഈ തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ വിളിക്കുന്നു

സമവാക്യങ്ങൾ പാരബോളിക് തരംഒരു വിമാനത്തിൽ ഒരു ലളിതമായ പരാബോള അല്ലെങ്കിൽ 2 സമാന്തരമായി പ്രകടിപ്പിക്കുക

(ഒന്നുകിൽ) നേർരേഖകൾ, അല്ലെങ്കിൽ വിമാനത്തിൽ ഏതെങ്കിലും ജ്യാമിതീയ ചിത്രം പ്രകടിപ്പിക്കരുത്;

എങ്കിൽ A * C ≠ 0, രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ വളവ് ആയിരിക്കും

വിമാനത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ വക്രത്തിന്റെ പൊതുവായ സമവാക്യം:

കോടാലി 2 + 2Bxy + സൈ 2 + 2Dx + 2ഏയ് + എഫ് = 0, (39)

എവിടെ എ 2 + ബി 2 + സി 2 0, (എ, ബി, സി, ഡി, ഇ, എഫ്) ആർ... വിമാനത്തിൽ ഏകപക്ഷീയമായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന സാധ്യമായ എല്ലാ കോണാകൃതിയിലുള്ള ഭാഗങ്ങളും ഇത് നിർവ്വചിക്കുന്നു.

സമവാക്യത്തിന്റെ (39) ഗുണകങ്ങളിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ രണ്ട് നിർണ്ണായക ഘടകങ്ങൾ രചിക്കുന്നു:

വിളിച്ചു സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനം(39), കൂടാതെ - സമവാക്യത്തിന്റെ മുൻനിര നിബന്ധനകളുടെ വിവേചനം. 0 ൽ, സമവാക്യം (39) നിർണ്ണയിക്കുന്നു:> 0 - ദീർഘവൃത്തം;< 0 - гиперболу; = 0 - параболу. В случае = 0 кривые вырождаются в точку или прямые линии.

പൊതു സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (39), ചിത്രത്തിന്റെ സമമിതി അക്ഷങ്ങളുമായി യോജിക്കുന്ന ഒരു പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മാറിക്കൊണ്ട് നിങ്ങൾ രേഖീയവും ക്രോസ് നിബന്ധനകളും ഒഴിവാക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോകാം. പകരം വയ്ക്കുക (39) xന് x + എഒപ്പം വൈന് വൈ + ബി, എവിടെ എ, ബിചില സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ. ലഭിച്ച ഗുണകങ്ങൾ നമുക്ക് എഴുതാം എൻ. എസ്ഒപ്പം വൈഅവയെ 0 ആയി തുല്യമാക്കുക

(ആ + ബിബി + ഡി)x = 0, (സിബി + ബാ + ഇ)വൈ = 0. (41)

തത്ഫലമായി, സമവാക്യം (39) ഫോം എടുക്കും:

എ(x) 2 + 2ബി(x)(വൈ) + സി(വൈ) 2 + എഫ് = 0, (42)

എവിടെയാണ് ഗുണകങ്ങൾ എ, ബി, സിമാറിയിട്ടില്ല, പക്ഷേ എഫ്= /. സമവാക്യ വ്യവസ്ഥയുടെ പരിഹാരം (41) ചിത്രത്തിന്റെ സമമിതി കേന്ദ്രത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളെ നിർണ്ണയിക്കും:

എങ്കിൽ ബി= 0, പിന്നെ എ = -ഡി/എ, ബി = -ഇ/സി(39) ലെ ലീനിയർ നിബന്ധനകൾ ഒരു തികഞ്ഞ ചതുരത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒഴിവാക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

കോടാലി 2 + 2Dx = എ(x 2 + 2xD/എ + (ഡി/എ) 2 - (ഡി/എ) 2) = എ(x + ഡി/എ) 2 - ഡി 2 /എ.

(42) സമവാക്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ കോർഡിനേറ്റുകൾ a (38) ആംഗിൾ ഉപയോഗിച്ച് തിരിക്കും. ക്രോസ് ടേമിൽ ലഭിച്ച ഗുണകം നമുക്ക് എഴുതാം xവൈഅത് 0 ആയി തുല്യമാക്കുക

xy = 0. (44)

അവസ്ഥ (44) കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുടെ ഭ്രമണത്തിന്റെ ആവശ്യമായ ആംഗിൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് അവ ചിത്രത്തിന്റെ സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടുകളുമായി ഒത്തുചേർന്ന് രൂപം എടുക്കുന്നതുവരെയാണ്:

സമവാക്യം (42) ഫോം എടുക്കുന്നു:

എ+ X 2 + സി + വൈ 2 + എഫ് = 0 (46)

അതിൽ നിന്ന് കർവിന്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിലേക്ക് കടക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്:

സാധ്യതകൾ എ + , സി+, വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് വിധേയമായി (45), ഒരു സഹായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ടി 2 - (എ + സി)ടി + = 0. (48)

തൽഫലമായി, ചിത്രത്തിന്റെ സമമിതി അക്ഷങ്ങളുടെ സ്ഥാനവും ദിശയും അതിന്റെ സെമിയാക്സിസും നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ടു:

കൂടാതെ ഇത് ജ്യാമിതീയമായി നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും.

കേസിൽ = 0 നമുക്ക് ഒരു പരാബോളയുണ്ട്. അതിന്റെ സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ട് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമാണെങ്കിൽ ഓ, തുടർന്ന് സമവാക്യം ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കി:

ഇല്ലെങ്കിൽ, ഫോമിലേക്ക്:

ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ പദപ്രയോഗങ്ങൾ, 0 ന് തുല്യമാണ്, പുതിയ കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളുടെ വരികൾ നിർവ്വചിക്കുന്നു:,.

സാധാരണ ജോലികൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഉദാഹരണം 15.സമവാക്യം 2 x 2 + 3വൈ 2 - 4x + 6വൈ- 7 = 0 കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ഒരു വളവ് നിർമ്മിക്കുക.

പരിഹാരം ബി= 0, = -72 0, = 6> 0 ദീർഘവൃത്തം.

ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരത്തിലേക്ക് റിഡക്ഷൻ നടത്താം:

2(x - 1) 2 + 3(വൈ + 1) 2 - 12 = 0.

സമമിതി കോർഡിനേറ്റുകളുടെ കേന്ദ്രം (1; -1), രേഖീയ പരിവർത്തനം എക്സ് = x - 1, വൈ = വൈ+ 1 സമവാക്യം കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു.

ഉദാഹരണം 16.സമവാക്യം 2 xy = എ 2 കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ഒരു വളവ് നിർമ്മിക്കുക.

പരിഹാരം ബി = 1, = എ 2 0, = -1 < 0 гипербола .

കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ കേന്ദ്രം വക്രത്തിന്റെ സമമിതിയുടെ മധ്യത്തിലാണ്; സമവാക്യത്തിൽ രേഖീയ പദങ്ങളൊന്നുമില്ല. നമുക്ക് A എന്ന കോണിലൂടെ അക്ഷങ്ങൾ തിരിക്കാം. ഫോർമുല (45) അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് tg2a = ഉണ്ട് ബി/(എ - സി) =, അതായത് a = 45 °. കാനോനിക്കൽ സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങൾ (46) എ + , സി+ സമവാക്യം (48) നിർണ്ണയിക്കുന്നു: ടി 2 = 1 അല്ലെങ്കിൽ ടി 1,2 = 1 എ + = 1, സി+ = -1, അതായത്
എക്സ് 2 - വൈ 2 = എ 2 അല്ലെങ്കിൽ. അങ്ങനെ, സമവാക്യം 2 ഹു = എ 2 (0; 0) ൽ സമമിതിയുടെ മധ്യഭാഗത്തുള്ള ഒരു ഹൈപ്പർബോളയെ വിവരിക്കുന്നു. സമമിതിയുടെ അച്ചുതണ്ടുകൾ കോർഡിനേറ്റ് കോണുകളുടെ ബൈസെക്റ്ററുകൾക്കൊപ്പം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളാണ്, ഹൈപ്പർബോളയുടെ അർദ്ധ അക്ഷങ്ങൾ തുല്യമാണ് എ.y - 9 = 0;

9x 2 + വൈ 2 - 18x + 2y + 1 = 0;

2x 2 + 4എൻ. എസ് + വൈ - 2 = 0;

3x 2 - 6എൻ. എസ് - വൈ + 2 = 0;

- x 2 + 4വൈ 2 - 8x - 9വൈ + 16 = 0;

4x 2 + 8എൻ. എസ് - വൈ - 5 = 0;

9x 2 - വൈ 2 + 18x + 2വൈ - 1 = 0;

9x 2 - 4വൈ 2 + 36x + 16വൈ - 16 = 0.

ഞങ്ങൾ വിമാനത്തിൽ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സംവിധാനം സ്ഥാപിക്കുകയും രണ്ടാമത്തെ ഡിഗ്രിയുടെ പൊതുവായ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

അതിൽ
.

കോർഡിനേറ്റുകൾ Eq- നെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന വിമാനത്തിന്റെ എല്ലാ പോയിന്റുകളുടെയും സെറ്റ്. (8.4.1) എന്ന് വിളിക്കുന്നു വളഞ്ഞ (ലൈൻ) രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ.

രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ ഏതെങ്കിലും വക്രത്തിന്, കാനോനിക്കൽ എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ഉണ്ട്, അതിൽ ഈ വക്രത്തിന്റെ സമവാക്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപങ്ങളിൽ ഒന്ന് ഉണ്ട്:

1)
(ദീർഘവൃത്തം);

2)
(സാങ്കൽപ്പിക ദീർഘവൃത്തം);

3)
(ഒരു ജോടി സാങ്കൽപ്പിക വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ);

4)
(ഹൈപ്പർബോള);

5)
(ഒരു ജോടി വിഭജിക്കുന്ന വരികൾ);

6)
(പരബോള);

7)
(ഒരു ജോടി സമാന്തര രേഖകൾ);

8)
(ഒരു ജോടി സാങ്കൽപ്പിക സമാന്തര രേഖകൾ);

9)
(ഒരു ജോടി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന നേർരേഖകൾ).

സമവാക്യങ്ങൾ 1) –9) എന്ന് വിളിക്കുന്നു രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിന്റെ വളവുകളുടെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യങ്ങൾ.

കാനോനിക്കൽ ഫോമിലേക്ക് ഒരു രണ്ടാം-ഓർഡർ കർവിന്റെ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിനുള്ള പരിഹാരം, വക്രത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യവും കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റവും കണ്ടെത്തുന്നത് ഉൾപ്പെടുന്നു. ഒരു വക്രത്തിന്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കാനും യഥാർത്ഥ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് അതിന്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കാനും കാനോനിക്കലൈസേഷൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. യഥാർത്ഥ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്നുള്ള മാറ്റം
കാനോനിക്കലിലേക്ക്
ഒറിജിനൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ അച്ചുതണ്ടുകളെ ഒരു ബിന്ദുവിന് ചുറ്റും തിരിക്കുന്നതിലൂടെയാണ് ഇത് നടത്തുന്നത് ഒചില ആംഗിൾ by ഉം കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ തുടർന്നുള്ള സമാന്തര വിവർത്തനവും.

രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിന്റെ ഒരു വക്രത്തിന്റെ മാറ്റമില്ലാതെ(8.4.1) അതിന്റെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു, ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് അതേ സിസ്റ്റത്തിന്റെ മറ്റൊന്നിലേക്ക് കടക്കുമ്പോൾ അതിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ മാറുന്നില്ല.

രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ കർവിനായി (8.4.1), കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ചതുരങ്ങളിലെ ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക

,

ഏറ്റവും ഉയർന്ന അളവിൽ ഗുണകങ്ങൾ അടങ്ങിയ നിർണ്ണായകമാണ്

മൂന്നാമത്തെ ഓർഡർ നിർണ്ണായകവും

മാറ്റമില്ലാത്തവയാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ വക്രത്തിന്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കാനും കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം രചിക്കാനും അസ്ഥിരങ്ങളായ s, , of ന്റെ മൂല്യം ഉപയോഗിക്കാം (പട്ടിക 8.1).

പട്ടിക 8.1

മാറ്റമില്ലാത്തവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ വളവുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം

ദീർഘവൃത്തം, ഹൈപ്പർബോള, പരാബോള എന്നിവ നമുക്ക് അടുത്തറിയാം.

ദീർഘവൃത്തം(ചിത്രം 8.1) രണ്ട് നിശ്ചിത പോയിന്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന്റെ ആകെത്തുകയെ വിമാനത്തിന്റെ പോയിന്റുകളുടെ ലോക്കസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു
ഈ വിമാനം, വിളിച്ചു ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഫോസി, ഒരു നിരന്തരമായ മൂല്യമുണ്ട് (foci തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തേക്കാൾ വലുത്). ഇത് ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഫോക്കസുകളുടെ യാദൃശ്ചികതയെ ഒഴിവാക്കുന്നില്ല. ഫോക്കസ് പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ, ദീർഘവൃത്തം ഒരു വൃത്തമാണ്.

ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ പോയിന്റിൽ നിന്ന് അതിന്റെ ഫോസിയിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന്റെ പകുതി തുക സൂചിപ്പിക്കുന്നത് എ, ഫോസി തമ്മിലുള്ള പകുതി ദൂരം - കൂടെ... ദീർഘചതുരത്തിന്റെ ഫോക്കസ് അച്ചുതണ്ടിൽ സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നതിനായി വിമാനത്തിൽ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം തിരഞ്ഞെടുത്തിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ ഒxഉത്ഭവത്തെക്കുറിച്ച് സമമിതിപരമായി, പിന്നെ ഈ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ദീർഘവൃത്തം സമവാക്യം നൽകുന്നു

, (8.4.2)

വിളിച്ചു കാനോനിക്കൽ ദീർഘവൃത്തസമവാക്യം, എവിടെ
.

അരി 8.1

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ നിർദ്ദിഷ്ട തിരഞ്ഞെടുപ്പിനൊപ്പം, ദീർഘവൃത്തം കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങളെയും ഉത്ഭവത്തെയും കുറിച്ചുള്ള സമമിതിയാണ്. ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ സമമിതി അക്ഷങ്ങൾ അതിനെ വിളിക്കുന്നു അച്ചുതണ്ടുകൾ, സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രം - ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ കേന്ദ്രം... അതേസമയം, സംഖ്യകൾ 2 പലപ്പോഴും ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ അച്ചുതണ്ടായി പരാമർശിക്കപ്പെടുന്നു. എകൂടാതെ 2 ബിസംഖ്യകളും എഒപ്പം ബി – വലിയഒപ്പം അർദ്ധ-ചെറിയ അക്ഷംയഥാക്രമം

ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ അക്ഷങ്ങളുള്ള വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ശീർഷങ്ങൾ... ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ശീർഷങ്ങൾക്ക് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് ( എ, 0), (–എ, 0), (0, ബി), (0, –ബി).

വികേന്ദ്രീകൃത ദീർഘവൃത്തംനമ്പറിലേക്ക് വിളിച്ചു

. (8.4.3)

0 Since മുതൽ സി < എ, ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഉത്കേന്ദ്രത 0  < 1, причем у окружности  = 0. Перепишем равенство (8.4.3) в виде

.

അതിനാൽ, ഉത്കേന്ദ്രത ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ രൂപത്തെ ചിത്രീകരിക്കുന്നതായി കാണാം: പൂജ്യത്തോട് അടുത്ത് zero, ദീർഘവൃത്തം ഒരു വൃത്തം പോലെ കാണപ്പെടുന്നു; increasing വർദ്ധിക്കുന്നതോടെ ദീർഘവൃത്തം കൂടുതൽ നീളമേറിയതായിത്തീരുന്നു.

ആകട്ടെ
- ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റ്,
ഒപ്പം
- പോയിന്റിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം എംതന്ത്രങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് എഫ് 1 കൂടാതെ എഫ്യഥാക്രമം 2 സംഖ്യകൾ ആർ 1 കൂടാതെ ആർ 2 എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഫോക്കൽ പോയിന്റ് റേഡിയസ് എം ദീർഘവൃത്തംസൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു

ഹെഡ്മിസ്ട്രസ്ഒരു വൃത്തം അല്ലാതെ ദീർഘവൃത്തംകാനോനിക്കൽ സമവാക്യം (8.4.2) രണ്ട് നേർരേഖകളാണ്

.

ദീർഘവൃത്ത ഡയറക്‌ട്രിക്സ് ദീർഘവൃത്തത്തിന് പുറത്ത് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 8.1).

ഫോക്കൽ ആരം അനുപാതം പോയിന്റുകൾഎംദൂരത്തിലേക്കുള്ള ദീർഘവൃത്തം  ഈ ദീർഘവൃത്തം (ഫോക്കസും ഡയറക്‌ട്രിക്സും ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്ത് ഒരേ വശത്താണെങ്കിൽ ഉചിതമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു).

ഹൈപ്പർബോൾ(ചിത്രം 8.2) രണ്ട് നിശ്ചിത പോയിന്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന്റെ മൊഡ്യൂളായ വിമാനത്തിന്റെ പോയിന്റുകളുടെ ലോക്കസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഒപ്പം ഈ വിമാനം, വിളിച്ചു ഹൈപ്പർബോളിനെ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നു, ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമുണ്ട് (പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, ഫോസി തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തേക്കാൾ കുറവാണ്).

ഫോസികൾ തമ്മിലുള്ള ദൂരം 2 ആയിരിക്കട്ടെ കൂടെ, ദൂരവ്യത്യാസത്തിന്റെ സൂചിപ്പിച്ച മോഡുലസ് 2 ആണ് എ... ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ അതേ രീതിയിൽ ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സംവിധാനം നമുക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ഈ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ, ഹൈപ്പർബോള സമവാക്യം നൽകുന്നു

, (8.4.4)

വിളിച്ചു കാനോനിക്കൽ ഹൈപ്പർബോള സമവാക്യം, എവിടെ
.

അരി 8.2

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഈ തിരഞ്ഞെടുപ്പിലൂടെ, കോർഡിനേറ്റ് അക്ഷങ്ങൾ ഹൈപ്പർബോളയുടെ സമമിതി അക്ഷങ്ങളാണ്, ഉത്ഭവം അതിന്റെ സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രമാണ്. ഹൈപ്പർബോളയുടെ സമമിതി അക്ഷങ്ങൾ അതിനെ വിളിക്കുന്നു അച്ചുതണ്ടുകൾ, സമമിതിയുടെ കേന്ദ്രമാണ് ഹൈപ്പർബോളിന്റെ കേന്ദ്രം... വശങ്ങളുള്ള ദീർഘചതുരം 2 എകൂടാതെ 2 ബിചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. 8.2 എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഹൈപ്പർബോളയുടെ പ്രധാന ദീർഘചതുരം... സംഖ്യകൾ 2 എകൂടാതെ 2 ബിഹൈപ്പർബോളയുടെ അക്ഷങ്ങളും അക്കങ്ങളും ആകുന്നു എഒപ്പം ബി- അവളുടെ പകുതി-ഷാഫ്റ്റുകൾ... പ്രധാന ദീർഘചതുര രൂപത്തിന്റെ ഡയഗണലുകളുടെ തുടർച്ചയായ വരികൾ ഹൈപ്പർബോൾ അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ

.

അക്ഷവുമായി ഹൈപ്പർബോളയുടെ വിഭജന പോയിന്റുകൾ കാളവിളിക്കുന്നു ഹൈപ്പർബോളയുടെ ശീർഷങ്ങൾ... ഹൈപ്പർബോളയുടെ ശീർഷങ്ങൾക്ക് കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉണ്ട് ( എ, 0), (–എ, 0).

ഹൈപ്പർബോളയുടെ വികേന്ദ്രതനമ്പറിലേക്ക് വിളിച്ചു

. (8.4.5)

ഇതുവരെ കൂടെ > എ, ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഉത്കേന്ദ്രത > 1. ഞങ്ങൾ സമത്വം (8.4.5) രൂപത്തിൽ വീണ്ടും എഴുതുന്നു

.

അതിനാൽ, ഉത്കേന്ദ്രത പ്രധാന ദീർഘചതുരത്തിന്റെ ആകൃതിയും അതിനാൽ, ഹൈപ്പർബോളയുടെ രൂപവും വിവരിക്കുന്നതായി കാണാം: ചെറിയ , പ്രധാന ദീർഘചതുരം കൂടുതൽ നീട്ടുന്നു, അതിനുശേഷം ഹൈപ്പർബോള തന്നെ അക്ഷത്തിൽ കാള.

ആകട്ടെ
- ഹൈപ്പർബോളയുടെ ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റ്,
ഒപ്പം
- പോയിന്റിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം എംതന്ത്രങ്ങൾക്ക് മുമ്പ് എഫ് 1 കൂടാതെ എഫ്യഥാക്രമം 2 സംഖ്യകൾ ആർ 1 കൂടാതെ ആർ 2 എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഫോക്കൽ പോയിന്റ് റേഡിയസ് എം ഹൈപ്പർബോൾസൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു

ഹെഡ്മിസ്ട്രസ് ഹൈപ്പർബോൾകാനോനിക്കൽ സമവാക്യം (8.4.4) രണ്ട് വരികളാണ്

.

ഹൈപ്പർബോള ഡയറക്‌ട്രിക്സ് പ്രധാന ദീർഘചതുരം മുറിച്ചുകടന്ന് ഹൈപ്പർബോളയുടെ മധ്യഭാഗത്തിനും അനുബന്ധ ശീർഷത്തിനും ഇടയിൽ കടന്നുപോകുന്നു (ചിത്രം 8.2).

ഒ ഫോക്കൽ ആരം അനുപാതം പോയിന്റുകൾഎം ഹൈപ്പർബോൾ ദൂരത്തേക്ക് ഈ പോയിന്റിൽ നിന്ന് അനുബന്ധ ഫോക്കസിലേക്ക് ഹെഡ്മിസ്ട്രസ് ഉത്കേന്ദ്രതയ്ക്ക് തുല്യമാണ് ഈ ഹൈപ്പർബോളയുടെ (ഫോക്കസും ഡയറക്‌ട്രിക്സും ഹൈപ്പർബോളയുടെ മധ്യഭാഗത്ത് ഒരേ വശത്താണെങ്കിൽ ഉചിതമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു).

പരബോള(ചിത്രം 8.3) ചില നിശ്ചിത പോയിന്റുകളിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന്റെ തലത്തിന്റെ സ്ഥാനത്തെ വിളിക്കുന്നു എഫ് (ഫോക്കസ് പരബോള) ഈ വിമാനത്തിന്റെ നിശ്ചിത നേർരേഖയിലേക്കുള്ള ദൂരത്തിന് തുല്യമാണ് ( പരബോള ഡയറക്ടറിക്സ്), പരിഗണനയിലുള്ള വിമാനത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു.

നമുക്ക് ആരംഭം തിരഞ്ഞെടുക്കാം ഒസെഗ്‌മെന്റിന്റെ മധ്യഭാഗത്തുള്ള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം [ FD], ഇത് ഒരു ലംബമായ focusട്ട് ഫോക്കസ് ആണ് എഫ്ഡയറക്‌ട്രിക്സിലേക്ക് (ഫോക്കസ് ഡയറക്‌ട്രിക്‌സിന്റേതല്ലെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു), അച്ചുതണ്ട് കാളഒപ്പം ഓയ്ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നേരിട്ട്. 8.3 വിഭാഗത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം അനുവദിക്കുക [ FD] ന് തുല്യമാണ് പി... പിന്നെ തിരഞ്ഞെടുത്ത കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ
ഒപ്പം കാനോനിക്കൽ പരബോള സമവാക്യംരൂപമുണ്ട്

. (8.4.6)

അളവ് പിവിളിച്ചു പരാബോള പരാമീറ്റർ.

പരാബോളയ്ക്ക് സമമിതിയുടെ ഒരു അക്ഷമുണ്ട് പരബോള അച്ചുതണ്ട്... ഒരു പരാബോളയെ അതിന്റെ അച്ചുതണ്ട് ഉപയോഗിച്ച് വിഭജിക്കുന്ന സ്ഥലത്തെ വിളിക്കുന്നു ഒരു പരാബോളയുടെ അഗ്രം... പരബോള അതിന്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം (8.4.6) നൽകിയാൽ, പരബോളയുടെ അച്ചുതണ്ട് അക്ഷമാണ് കാള... വ്യക്തമായും, പരബോളയുടെ ശീർഷകം ഉത്ഭവമാണ്.

ഉദാഹരണം 1.പോയിന്റ് എ= (2, –1) ദീർഘവൃത്തത്തിൽ പെടുന്നു എഫ്= (1, 0) അതിന്റെ ഫോക്കസ് ആണ് എഫ്ഡയറക്ടറിക്സ് സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു
... ഈ ദീർഘവൃത്തത്തെ തുല്യമാക്കുക.

പരിഹാരംകോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം ചതുരാകൃതിയിലുള്ളതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും. പിന്നെ ദൂരം പോയിന്റിൽ നിന്ന് എഹെഡ്മിസ്ട്രസ് വരെ
ബന്ധത്തിന് അനുസൃതമായി (8.1.8), അതിൽ


, തുല്യമാണ്

.

ദൂരം പോയിന്റിൽ നിന്ന് എശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാൻ എഫ്തുല്യമാണ്

,

ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഉത്കേന്ദ്രത നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു

.

ആകട്ടെ എം = (x, വൈ) ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഏകപക്ഷീയമായ പോയിന്റാണ്. പിന്നെ ദൂരം
പോയിന്റിൽ നിന്ന് എംഹെഡ്മിസ്ട്രസ് വരെ
ഫോർമുല പ്രകാരം (8.1.8) തുല്യമാണ്

ദൂരവും പോയിന്റിൽ നിന്ന് എംശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാൻ എഫ്തുല്യമാണ്

.

ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഏത് പോയിന്റിനും അനുപാതം ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ ഉത്കേന്ദ്രതയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് അത് ഉണ്ട്

,

ഉദാഹരണം 2.സമവാക്യം വഴിയാണ് കർവ് നൽകുന്നത്

ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ. കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റവും ഈ വക്രത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യവും കണ്ടെത്തുക. വളവിന്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരംക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം
ഒരു മാട്രിക്സ് ഉണ്ട്

.

അതിന്റെ സ്വഭാവ ബഹുസ്വരത

വേരുകൾ ഉണ്ട്  1 = 4 ഉം  2 = 9. അതിനാൽ, മാട്രിക്സിന്റെ ഈജൻവെക്ടറുകളുടെ ഓർത്തോണോർമൽ അടിസ്ഥാനത്തിൽ എപരിഗണിക്കുന്ന ചതുർഭുജ രൂപത്തിന് കാനോനിക്കൽ രൂപമുണ്ട്

.

വേരിയബിളുകളുടെ ഓർത്തോഗണൽ ട്രാൻസ്ഫോർമേഷന്റെ ഒരു മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കാൻ നമുക്ക് മുന്നോട്ട് പോകാം, ഇത് പരിഗണിക്കപ്പെട്ട ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫോം സൂചിപ്പിച്ച കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നു. ഇതിനായി, സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകതാനമായ വ്യവസ്ഥകൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും
അവയെ ഓർത്തോണോമലൈസ് ചെയ്യുക.

എ
ഈ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്

അതിന്റെ പൊതു പരിഹാരം
... ഇവിടെ ഒരു സൗജന്യ വേരിയബിൾ ഉണ്ട്. അതിനാൽ, തീരുമാനങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന വ്യവസ്ഥയിൽ ഒരു വെക്റ്റർ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, വെക്റ്റർ
... ഇത് സാധാരണമാക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് വെക്റ്റർ ലഭിക്കും

.

എ
ഒരു വെക്റ്റർ നിർമ്മിക്കുക

.

വെക്റ്ററുകൾ ഒപ്പം സിമെട്രിക് മാട്രിക്സിന്റെ വ്യത്യസ്ത ഐഗൻ മൂല്യങ്ങളെ പരാമർശിക്കുന്നതിനാൽ അവ ഇതിനകം തന്നെ ഓർത്തോഗോണലാണ് എ... തന്നിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ ഓർത്തോണോർമൽ അടിസ്ഥാനം അവയാണ്. ആവശ്യമായ ഓർത്തോഗോണൽ മാട്രിക്സ് (റൊട്ടേഷൻ മാട്രിക്സ്) അവയുടെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ നിരകളിൽ നിന്നാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്

.

മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്റെ കൃത്യത നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം ആർഫോർമുല അനുസരിച്ച്
, എവിടെ
- അടിസ്ഥാനത്തിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിന്റെ മാട്രിക്സ്
:

മാട്രിക്സ് ആർശരിയായി കണ്ടെത്തി.

നമുക്ക് വേരിയബിളുകളുടെ പരിവർത്തനം നടത്താം

ഈ വക്രത്തിന്റെ സമവാക്യം ഒരു പുതിയ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ പഴയ മധ്യ, ദിശ വെക്റ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതുക
:

എവിടെ
.

ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം ലഭിച്ചു

.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പരിവർത്തനം ഫോർമുലകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു എന്ന വസ്തുത കാരണം

,

,

കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം
ഒരു തുടക്കമുണ്ട്
വഴികാട്ടികൾ
.

ഉദാഹരണം 3.മാറ്റമില്ലാത്ത സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, തരം നിർണ്ണയിച്ച് വക്രത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം എഴുതുക

പരിഹാരംഇതുവരെ

,

പട്ടികയ്ക്ക് അനുസൃതമായി. 8.1 ഇതൊരു ഹൈപ്പർബോൾ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

S = 0 മുതൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് രൂപത്തിന്റെ ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ സ്വഭാവ ബഹുസ്വരത

അതിന്റെ വേരുകൾ
ഒപ്പം
വക്രത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം എഴുതാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു

എവിടെ കൂടെഅവസ്ഥയിൽ നിന്നാണ് കണ്ടെത്തിയത്

,

.

വക്രത്തിന്റെ ആവശ്യമുള്ള കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം

.

ഈ വിഭാഗത്തിന്റെ ചുമതലകളിൽ, കോർഡിനേറ്റുകൾx, വൈചതുരാകൃതിയിലുള്ളതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

8.4.1. ദീർഘവൃത്തങ്ങൾക്ക്
ഒപ്പം
കണ്ടെത്തുക:

a) സെമി-ആക്സിലുകൾ;

b) തന്ത്രങ്ങൾ;

സി) അപകേന്ദ്രത;

d) ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ

8.4.2. ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുക, അതിന്റെ ഫോക്കസ് അറിയുക
സംവിധായകനുമായി ബന്ധപ്പെട്ടത് x= 8 ഉം ഉത്കേന്ദ്രതയും ... ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഫോക്കസും രണ്ടാമത്തെ ഡയറക്‌ട്രിക്സും കണ്ടെത്തുക.

8.4.3. കോർഡിനേറ്റുകൾ (1, 0), (0, 1) എന്നിവയിൽ ഒരു ദീർഘവൃത്തത്തെ രണ്ട് വലിയ അച്ചുതണ്ടുമായി തുല്യമാക്കുക.

8.4.4. ഹൈപ്പർബോൾ നൽകി
... കണ്ടെത്തുക:

a) അർദ്ധ അക്ഷങ്ങൾ എഒപ്പം ബി;

b) തന്ത്രങ്ങൾ;

സി) അപകേന്ദ്രത;

d) ലക്ഷണങ്ങളില്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ;

e) ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ

8.4.5. ഹൈപ്പർബോൾ നൽകി
... കണ്ടെത്തുക:

a) അർദ്ധ അക്ഷങ്ങൾ എഒപ്പം ബി;

b) തന്ത്രങ്ങൾ;

സി) അപകേന്ദ്രത;

d) ലക്ഷണങ്ങളില്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ;

e) ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങൾ

8.4.6. പോയിന്റ്
ഹൈപ്പർബോളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു, ആരുടെ ശ്രദ്ധയാണ്
, അനുബന്ധ ഡയറക്ടറിക്സ് സമവാക്യം നൽകുന്നു
... ഈ ഹൈപ്പർബോൾ തുല്യമാക്കുക.

8.4.7. ഒരു പരാബോള അതിന്റെ ഫോക്കസ് നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ തുല്യമാക്കുക
പ്രധാനാധ്യാപികയും
.

8.4.8. പരബോളയുടെ ശീർഷകം നൽകി
ഡയറക്‌ട്രിക്സ് സമവാക്യവും
... ഈ പരാബോളയെ തുല്യമാക്കുക.

8.4.9. ഒരു പോയിന്റിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്ന ഒരു പരാബോളയെ തുല്യമാക്കുക

കൂടാതെ സമവാക്യം വഴിയാണ് ഡയറക്‌ട്രിക്സ് നൽകുന്നത്
.

8.4.10. അതിന്റെ ഉത്കേന്ദ്രത അറിഞ്ഞ് ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ കർവ് തുല്യമാക്കുക
, ഫോക്കസ്
അനുബന്ധ ഡയറക്ടറും
.

8.4.11. രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ കർവിന്റെ തരം നിർണ്ണയിക്കുക, അതിന്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം എഴുതി കാനോനിക്കൽ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം കണ്ടെത്തുക:

ജി)
;

8.4.12.

ഒരു ദീർഘവൃത്തമാണ്. സെമിയാക്സിന്റെ നീളവും ഈ ദീർഘവൃത്തത്തിന്റെ അപകേന്ദ്രതയും, കേന്ദ്രത്തിന്റെയും ഫോസിയുടെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക, അക്ഷങ്ങൾക്കും ഡയറക്‌ട്രിക്സിനും സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുക.

8.4.13. സമവാക്യം നൽകിയ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ കർവ് തെളിയിക്കുക

ഒരു ഹൈപ്പർബോൾ ആണ്. സെമി അച്ചുതണ്ടുകളുടെ നീളവും ഈ ഹൈപ്പർബോളയുടെ അപകേന്ദ്രതയും കണ്ടെത്തുക, കേന്ദ്രത്തിന്റെയും ഫോസിയുടെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ, അക്ഷങ്ങൾ, ഡയറക്‌ട്രിക്സ്, അസിംപ്റ്റോട്ടുകൾ എന്നിവയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുക.

8.4.14. സമവാക്യം നൽകിയ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ കർവ് തെളിയിക്കുക

,

ഒരു പരാബോളയാണ്. ഈ പാരബോളയുടെ പാരാമീറ്റർ കണ്ടെത്തുക, ശീർഷങ്ങളുടെയും കോർഡിനേറ്റുകളുടെയും കോർഡിനേറ്റുകൾ, അക്ഷത്തിനും ഡയറക്‌ട്രിക്സിനും സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുക.

8.4.15. ഇനിപ്പറയുന്ന ഓരോ സമവാക്യങ്ങളും കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക. യഥാർത്ഥ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഡ്രോയിംഗിൽ അനുബന്ധ രണ്ടാം-ഓർഡർ കർവ് വരയ്ക്കുക:

8.4.16. മാറ്റമില്ലാത്ത സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, തരം നിർണ്ണയിച്ച് വക്രത്തിന്റെ കാനോനിക്കൽ സമവാക്യം എഴുതുക.