കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രാക്ടീസിൽ, ചില പരിമിതമായ മൂല്യങ്ങൾക്കായി അവയുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികകൾ നൽകുന്ന ഫംഗ്ഷനുകൾ പലപ്പോഴും കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. എൻ. എസ് : .

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്
ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഇന്റർമീഡിയറ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ Ф (x) നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു, ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് മതിയായ ലളിതമാണ്, ഇത് നൽകിയിരിക്കുന്ന പോയിന്റുകളിൽ x 0 , x 1 , ..., x എൻ , ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു, കൂടാതെ സെഗ്‌മെന്റിന്റെ മറ്റ് പോയിന്റുകളിൽ (x 0, x n) നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു
, ഏകദേശം പ്രവർത്തനത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു
വ്യത്യസ്ത അളവിലുള്ള കൃത്യതയോടെ.

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പ്രവർത്തനത്തിന് പകരം
ഫംഗ്ഷൻ Ф (x) ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുക. അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ Ф (x) നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തെ ഇന്റർപോളേഷൻ പ്രശ്നം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മിക്കപ്പോഴും, ഇന്റർപോളേറ്റിംഗ് ഫംഗ്ഷൻ Ф (x) ഒരു ബീജഗണിത ബഹുപദത്തിന്റെ രൂപത്തിലാണ് തേടുന്നത്.

1. ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ

ഓരോ പ്രവർത്തനത്തിനും
നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നത് [ എ, ബി], കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും സെറ്റ് നോഡുകൾ x 0 , x 1 , ...., x എൻ (x ഐ
[എ, ബി], x ഐ x ജെഐ j) പരമാവധി n ഡിഗ്രിയുടെ ബീജഗണിത ബഹുപദങ്ങൾക്കിടയിൽ, ഒരു അദ്വിതീയ ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ Ф (x) ഉണ്ട്, അത് രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

, (3.1)

എവിടെ
- ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉള്ള ഡിഗ്രി n ന്റെ ബഹുപദം:

ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിന്, പോളിനോമിയൽ
ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

ഈ പോളിനോമിയൽ (3.1) ഇന്റർപോളേഷൻ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നു, ഇതിനെ ലാഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഫോമിന്റെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക
ഇടവേളയിൽ
ഒരു പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

x-2.5 പോയിന്റിൽ ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇതിനായി നമ്മൾ Lagrange polynomial ഉപയോഗിക്കും. സൂത്രവാക്യങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി (3.1, 3.3), ഞങ്ങൾ ഈ ബഹുപദം വ്യക്തമായ രൂപത്തിൽ എഴുതുന്നു:

(3.4).

തുടർന്ന്, ഞങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് ഫോർമുലയിലേക്ക് (3.4) പ്രാരംഭ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

ലഭിച്ച ഫലം സിദ്ധാന്തവുമായി യോജിക്കുന്നു, അതായത്. ...

1. ലഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ ഫോർമുല

ലഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ മറ്റൊരു രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

(3.5)

പോളിനോമിയൽ രൂപത്തിൽ (3.5) എഴുതുന്നത് പ്രോഗ്രാമിംഗിന് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഇന്റർപോളേഷൻ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അളവ് എൻഇന്റർപോളേറ്റിംഗ് പോളിനോമിയലിന്റെ ക്രമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കൂടാതെ, ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ (3.1), (3.5), ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകളുടെ എണ്ണം എല്ലായ്പ്പോഴും തുല്യമായിരിക്കും. n + 1അർത്ഥവും x, അതിനുള്ള മൂല്യം
, ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകളുടെ നിർവചനത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിനുള്ളിൽ കിടക്കണം ആ.

. (3.6)

ചില പ്രായോഗിക സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകളുടെ ആകെ അറിയപ്പെടുന്ന എണ്ണം എംഇന്റർപോളേറ്റിംഗ് പോളിനോമിയലിന്റെ ക്രമത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കാം എൻ.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫോർമുല (3.5) അനുസരിച്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ നടപടിക്രമം നടപ്പിലാക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഏത് വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് (3.6) സാധുതയുള്ള ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. മൂല്യം കണ്ടെത്തുമ്പോൾ ഏറ്റവും ചെറിയ പിശക് കൈവരിച്ചതായി ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ് x ഇന്റർപോളേഷൻ ഏരിയയുടെ മധ്യഭാഗത്ത്. ഇത് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന നടപടിക്രമം നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:

നോൺ-നോഡൽ (ഇന്റർമീഡിയറ്റ്) ആർഗ്യുമെന്റ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി ഒരു ടാബുലേറ്റഡ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക എന്നതാണ് ഇന്റർപോളേഷന്റെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം, അതിനാൽ ഇന്റർപോളേഷനെ പലപ്പോഴും "വരികൾക്കിടയിൽ പട്ടികകൾ വായിക്കുന്നതിനുള്ള കല" എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ലഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയൽ

ലഗ്രാൻജിയൻ ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ- ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദം. വേണ്ടി എൻ+ 1 ജോഡി സംഖ്യകൾ, എല്ലാം x ഐവ്യത്യസ്തമായി, ഒരു ബഹുപദം മാത്രമേയുള്ളൂ എൽ(x) ഇനി ബിരുദം ഇല്ല എൻ, അതിനായി എൽ(x ഐ) = വൈ ഐ .

ഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ ( എൻ= 1) നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് പോയിന്റുകളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ഒരു നേർരേഖയാണ് ഗ്രാഫ്.

നിർവ്വചനം

ഈ ഉദാഹരണം നാല് പോയിന്റുകൾ (-9.5), (-4.2), (-1, -2), (7.9) എന്നിവയ്‌ക്കും പോളിനോമിയലുകൾക്കുമുള്ള ലഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ കാണിക്കുന്നു. y j l j (x), അവ ഓരോന്നും തിരഞ്ഞെടുത്ത പോയിന്റുകളിലൊന്നിലൂടെ കടന്നുപോകുകയും ബാക്കിയുള്ളതിൽ പൂജ്യം മൂല്യം എടുക്കുകയും ചെയ്യുന്നു x i

ചടങ്ങിനായി അനുവദിക്കുക എഫ്(x) മൂല്യങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു വൈ ജെ = എഫ്(x ജെ) ചില പോയിന്റുകളിൽ. അപ്പോൾ നമുക്ക് ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ ഇങ്ങനെ ഇന്റർപോളേറ്റ് ചെയ്യാം

പ്രത്യേകിച്ച്,

യുടെ ഇന്റഗ്രലുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ എൽ ജെആശ്രയിക്കരുത് എഫ്(x), കൂടാതെ അവ ക്രമം അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് മുൻകൂട്ടി കണക്കാക്കാം x ഐ .

ഒരു സെഗ്‌മെന്റിനൊപ്പം ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകളുടെ ഏകീകൃത വിതരണത്തിന്

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം x ഐഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകൾ h ഉം ആരംഭ പോയിന്റും തമ്മിലുള്ള ദൂരത്തിലൂടെ x 0 :

അതിനാൽ

ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളെ അടിസ്ഥാന ബഹുപദത്തിന്റെ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റി, ന്യൂമറേറ്ററിലും ഡിനോമിനേറ്ററിലുമുള്ള ഗുണന ചിഹ്നങ്ങൾക്കായി h എടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് വേരിയബിൾ റീപ്ലേസ്‌മെന്റ് നൽകാം

കൂടാതെ ഒരു ബഹുപദം നേടുക വൈപൂർണ്ണസംഖ്യയുടെ കണക്ക് മാത്രം ഉപയോഗിച്ചാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. ഈ സമീപനത്തിന്റെ പോരായ്മ ന്യൂമറേറ്ററിന്റെയും ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെയും ഫാക്‌ടോറിയൽ സങ്കീർണ്ണതയാണ്, ഇതിന് സംഖ്യകളുടെ മൾട്ടിബൈറ്റ് പ്രാതിനിധ്യമുള്ള അൽഗോരിതം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ബാഹ്യ ലിങ്കുകൾ

വിക്കിമീഡിയ ഫൗണ്ടേഷൻ. 2010.

മറ്റ് നിഘണ്ടുവുകളിൽ "Lagrange polynomial" എന്താണെന്ന് കാണുക:

ഒരു നിശ്ചിത ഫംഗ്‌ഷൻ f (x) ഇന്റർപോളേറ്റ് ചെയ്യുന്ന ഡിഗ്രി n (ലഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ) എന്ന ബഹുപദം എഴുതുന്ന രീതി. x 0, x1, ..., xn നോഡുകളിൽ: xi യുടെ മൂല്യങ്ങൾ തുല്യമായിരിക്കുമ്പോൾ, അത് ആണ്, നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നത് (x x0) / h = t ഫോർമുല (1) ... ... എൻസൈക്ലോപീഡിയ ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്സ്

ഗണിതത്തിൽ, ഒരു വേരിയബിളിലെ പോളിനോമിയലുകൾ അല്ലെങ്കിൽ പോളിനോമിയലുകൾ ഫോമിന്റെ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്, അവിടെ ci സ്ഥിര ഗുണകങ്ങളും x ഒരു വേരിയബിളുമാണ്. പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട വിഭാഗങ്ങളിലൊന്നാണ് പോളിനോമിയലുകൾ. ബഹുപദ സമവാക്യങ്ങളെയും അവയുടെ പരിഹാരങ്ങളെയും കുറിച്ചുള്ള പഠനം ... ... വിക്കിപീഡിയ

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, അടിസ്ഥാന ബേൺസ്റ്റൈൻ പോളിനോമിയലുകളുടെ രേഖീയ സംയോജനമായ ബീജഗണിത ബഹുപദങ്ങളാണ് ബേൺസ്റ്റൈൻ പോളിനോമിയലുകൾ. ബേൺസ്റ്റൈൻ രൂപത്തിൽ പോളിനോമിയലുകൾ കംപ്യൂട്ടുചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഒരു സ്ഥിരമായ അൽഗോരിതം അൽഗോരിതം ആണ് ... ... വിക്കിപീഡിയ

ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന മിനിമം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദം. എല്ലാം വ്യത്യസ്‌തമായിരിക്കുന്ന സംഖ്യകളുടെ ജോഡികൾക്ക്, ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദം മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ, അതിനായി. ഏറ്റവും ലളിതമായ സാഹചര്യത്തിൽ (... വിക്കിപീഡിയ

ലാഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന മിനിമം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദമാണ്. എല്ലാ xiയും വ്യത്യസ്‌തമായിരിക്കുന്ന n + 1 ജോഡി സംഖ്യകൾക്ക്, പരമാവധി n ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു അദ്വിതീയ പോളിനോമിയൽ L (x) ഉണ്ട്, അതിന് L (xi) = yi. ... ... വിക്കിപീഡിയ

ലാഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ എന്നത് ഒരു നിശ്ചിത പോയിന്റുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്ന മിനിമം ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു ബഹുപദമാണ്. എല്ലാ xiയും വ്യത്യസ്‌തമായിരിക്കുന്ന n + 1 ജോഡി സംഖ്യകൾക്ക്, പരമാവധി n ഡിഗ്രിയുടെ ഒരു അദ്വിതീയ പോളിനോമിയൽ L (x) ഉണ്ട്, അതിന് L (xi) = yi. ... ... വിക്കിപീഡിയ

ഫംഗ്‌ഷനിൽ, കാണുക: ഇന്റർപോളിയന്റ്. കംപ്യൂട്ടേഷണൽ മാത്തമാറ്റിക്സിലെ ഇന്റർപോളേഷൻ അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങളുടെ ലഭ്യമായ വ്യതിരിക്തമായ ഒരു കൂട്ടത്തിൽ നിന്ന് ഒരു അളവിന്റെ ഇന്റർമീഡിയറ്റ് മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണ്. സയന്റിഫിക്, എഞ്ചിനീയറിംഗ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നവരിൽ പലരും പലപ്പോഴും ... വിക്കിപീഡിയ

ഫംഗ്‌ഷനിൽ, കാണുക: ഇന്റർപോളിയന്റ്. ഇന്റർപോളേഷൻ, കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ മാത്തമാറ്റിക്സിലെ ഇന്റർപോളേഷൻ അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങളുടെ ലഭ്യമായ വ്യതിരിക്തമായ സെറ്റിൽ നിന്ന് ഒരു അളവിന്റെ ഇന്റർമീഡിയറ്റ് മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതിയാണ്. ശാസ്ത്രവും ... ... വിക്കിപീഡിയയും കടന്നു വരുന്ന പലരും

ഞങ്ങൾ രൂപത്തിൽ ഒരു ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ നിർമ്മിക്കും

ബിരുദത്തിന്റെ ബഹുപദങ്ങൾ എവിടെയാണ് എൻ. എസ്,ഇനിപ്പറയുന്ന സ്വത്ത് ഉണ്ട്:

തീർച്ചയായും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഓരോ നോഡിലും പോളിനോമിയൽ (4.9). x ജെ, j = 0,1, ... n, ഫംഗ്‌ഷന്റെ അനുബന്ധ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ് വൈ ജെ, അതായത്. ഇന്റർപോളേഷൻ ആണ്.

നമുക്ക് അത്തരം ബഹുപദങ്ങൾ നിർമ്മിക്കാം. x = x 0, x 1,… x i -1, x i +1,… x n എന്നിവയ്‌ക്കായി, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം

ഇവിടെ c ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്. വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും

ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ (4.1) രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു

ലാഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പോയിന്റിലെ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏകദേശ മൂല്യം x *ലഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയൽ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കിയാൽ ഒരു അവശിഷ്ട പിശക് ഉണ്ടാകും (4.8). ഫംഗ്ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ യീഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകളിൽ x iഏകദേശം ഒരേ സമ്പൂർണ്ണ പിശക് ഉപയോഗിച്ച് സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് കൃത്യമായ മൂല്യത്തിന് പകരം, ഒരു ഏകദേശ മൂല്യം കണക്കാക്കും, കൂടാതെ

ലാഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിന്റെ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ കേവല പിശക് എവിടെയാണ്. അവസാനമായി, ഏകദേശ മൂല്യത്തിന്റെ ആകെ പിശകിന്റെ ഇനിപ്പറയുന്ന കണക്ക് ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്.

പ്രത്യേകിച്ച്, ഒന്നും രണ്ടും ഡിഗ്രിയുടെ ലഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയലുകൾക്ക് രൂപം ഉണ്ടായിരിക്കും

x * എന്ന പോയിന്റിലെ അവയുടെ ആകെ പിശകുകളും

ഒരേ ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ (4.1) എഴുതുന്നതിനുള്ള മറ്റ് രൂപങ്ങളുണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, ന്യൂട്ടൺ ഇന്റർപോളേഷൻ ഫോർമുല വേർതിരിക്കപ്പെട്ട വ്യത്യാസങ്ങളും അതിന്റെ വകഭേദങ്ങളും ചുവടെ പരിഗണിക്കുന്നു. കൃത്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്കായി, മൂല്യങ്ങൾ Pn (x *)ഒരേ നോഡുകളിൽ നിന്ന് നിർമ്മിച്ച വ്യത്യസ്ത ഇന്റർപോളേഷൻ ഫോർമുലകൾ വഴി ലഭിച്ചതാണ്. ഒരു കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പിശകിന്റെ സാന്നിധ്യം ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളിൽ വ്യത്യാസമുണ്ടാക്കുന്നു. ലാഗ്രാഞ്ചിന്റെ രൂപത്തിൽ ഒരു ബഹുപദം എഴുതുന്നത്, ഒരു ചട്ടം പോലെ, ഒരു ചെറിയ കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പിശകിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

ഇന്റർപോളേഷനിൽ നിന്ന് ഉണ്ടാകുന്ന പിശകുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഉപയോഗം പ്രശ്നത്തിന്റെ രൂപീകരണത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നോഡുകളുടെ എണ്ണം അറിയാമെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ മതിയായ അളവിലുള്ള ശരിയായ ചിഹ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടുന്നതിലെ പ്രശ്നം f (x *)സാധ്യമായ ഏറ്റവും വലിയ കൃത്യതയോടെ. നേരെമറിച്ച്, ശരിയായ ചിഹ്നങ്ങളുടെ എണ്ണം ചെറുതും നോഡുകളുടെ എണ്ണം വലുതും ആണെങ്കിൽ, കണക്കുകൂട്ടുന്നതിലെ പ്രശ്നം f (x *)ഫംഗ്‌ഷന്റെ ടേബിൾ മൂല്യം അനുവദിക്കുന്ന കൃത്യതയോടെ, ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, പട്ടികയുടെ അപൂർവവും ഒതുക്കവും ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം.

§4.3. വേർതിരിച്ച വ്യത്യാസങ്ങളും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും.

വിഭജിച്ച വ്യത്യാസം എന്ന ആശയം ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ പൊതുവായ ഒരു ആശയമാണ്. പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അനുവദിക്കുക f (x 0), f (x 1), ..., f (x n)... വേർതിരിച്ച ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ വ്യത്യാസങ്ങൾ തുല്യതയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു

രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിലെ വ്യത്യാസങ്ങളാൽ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു - തുല്യതകൾ,

വേർപിരിഞ്ഞ വ്യത്യാസങ്ങളും കെ-th ഓർഡർ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഇനിപ്പറയുന്ന ആവർത്തന ഫോർമുലയാണ്:

വിഭജന വ്യത്യാസങ്ങൾ സാധാരണയായി ഇതുപോലെയുള്ള ഒരു പട്ടികയിൽ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു:

വേർതിരിച്ച വ്യത്യാസങ്ങളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന സവിശേഷതകൾ പരിഗണിക്കുക.

1. എല്ലാ ഓർഡറുകളുടെയും വിഭജിച്ച വ്യത്യാസങ്ങൾ മൂല്യങ്ങളുടെ രേഖീയ സംയോജനമാണ് f (x i), അതായത്. ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല നിലനിർത്തുന്നു:

വ്യത്യാസങ്ങളുടെ ക്രമത്തിൽ ഇൻഡക്ഷൻ വഴി ഈ ഫോർമുലയുടെ സാധുത നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. ആദ്യ ക്രമ വ്യത്യാസങ്ങൾക്ക്

ഫോർമുല (4.12) സാധുവാണ്. ഇപ്പോൾ ഇത് എല്ലാ ക്രമ വ്യത്യാസങ്ങൾക്കും സാധുതയുള്ളതാണെന്ന് കരുതുക.

പിന്നെ, (4.11) ഉം (4.12) ഉം അനുസരിച്ച്, ക്രമത്തിലെ വ്യത്യാസങ്ങൾക്ക് k = n + 1നമുക്ക് ഉണ്ട്

അടങ്ങുന്ന നിബന്ധനകൾ f (x 0)ഒപ്പം f (x n +1), ആവശ്യമായ ഫോം ഉണ്ട്. അടങ്ങുന്ന നിബന്ധനകൾ പരിഗണിക്കുക f (x i), i = 1, 2, ..., n... അത്തരം രണ്ട് പദങ്ങളുണ്ട് - ഒന്നും രണ്ടും തുകകളിൽ നിന്ന്:

ആ. ഫോർമുല (4.12) ഓർഡർ വ്യത്യാസത്തിന് സാധുതയുള്ളതാണ് k = n + 1, തെളിവ് കഴിഞ്ഞു.

2. വിഭജിച്ച വ്യത്യാസം അതിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റുകളുടെ x 0, x 1,… x n (അതായത്, ഒരു ക്രമാനുഗതത്തിനും ഇത് മാറില്ല):

ഈ സ്വത്ത് തുല്യതയിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു (4.12).

3. ലളിതമായ പിളർപ്പ്-വ്യത്യാസ ബന്ധം എഫ്ഡെറിവേറ്റീവും f (n) (x)ഇനിപ്പറയുന്ന സിദ്ധാന്തം നൽകുന്നു.

x 0, x 1, ... x n എന്നീ നോഡുകൾ സെഗ്‌മെന്റിൽ ഉൾപ്പെടട്ടെ പ്രവർത്തനവും f (x)ഈ സെഗ്‌മെന്റിൽ ക്രമത്തിന്റെ തുടർച്ചയായ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട് എൻ. എസ്... അപ്പോൾ ഒരു പോയിന്റുണ്ട് xÎ, എന്ത്

നമുക്ക് ആദ്യം ബന്ധത്തിന്റെ സാധുത തെളിയിക്കാം

(4.12) അനുസരിച്ച്, ചതുര ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ പദപ്രയോഗം

എഫ്.

ബാക്കിയുള്ളവയ്ക്ക് (4.14) എക്സ്പ്രഷനുമായി (4.7) താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു R n (x) = f (x) -L n (x)നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു (4.13), സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ഒരു ലളിതമായ പരിണതഫലം പിന്തുടരുന്നു. ബഹുപദത്തിന് എൻ. എസ്- ഡിഗ്രി

f (x) = a 0 x n + a 1 x n -1 +… a n

ഓർഡർ ഡെറിവേറ്റീവ് എൻ. എസ്വ്യക്തമായും ഉണ്ട്

ബന്ധവും (4.13) വിഭജിച്ച വ്യത്യാസത്തിന് മൂല്യം നൽകുന്നു

അതിനാൽ, ഡിഗ്രിയുടെ ഓരോ ബഹുപദവും എൻ. എസ്വേർതിരിച്ച ഓർഡർ വ്യത്യാസങ്ങൾ എൻ. എസ്ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ് - ബഹുപദത്തിന്റെ ഉയർന്ന അളവിലുള്ള ഗുണകം. ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ വേർതിരിച്ച വ്യത്യാസങ്ങൾ
(കൂടുതൽ എൻ. എസ്) എന്നത് വ്യക്തമായും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, വേർതിരിച്ച വ്യത്യാസങ്ങൾക്ക് കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പിശക് ഇല്ലെങ്കിൽ മാത്രമേ ഈ നിഗമനം സാധുവാകൂ.

§4.4. വേർപിരിഞ്ഞ വ്യത്യാസങ്ങളുള്ള ന്യൂട്ടൺ പോളിനോമിയൽ ഇന്റർപോളേഷൻ

നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിൽ ലാഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ എഴുതാം:

എവിടെ L 0 (x) = f (x 0) = y 0, എ L k (x)- ഡിഗ്രിയുടെ ലഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ കെനോഡുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മിച്ചത് x 0, x 1, ..., x k... പിന്നെ ബിരുദത്തിന്റെ ഒരു ബഹുപദമുണ്ട് കെആരുടെ വേരുകൾ പോയിന്റുകളാണ് x 0, x 1, ..., x k -1... അതിനാൽ, ഇത് ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാവുന്നതാണ്

ഇവിടെ A k എന്നത് ഒരു സ്ഥിരാങ്കമാണ്.

(4.14) അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

(4.16) ഉം (4.17) താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, (4.15) ഫോം എടുക്കുന്നതായി നമുക്ക് ലഭിക്കും

വേർതിരിക്കപ്പെട്ട വ്യത്യാസങ്ങളുള്ള ന്യൂട്ടന്റെ ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു.

ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിന്റെ ഇത്തരത്തിലുള്ള നൊട്ടേഷൻ കൂടുതൽ വിവരണാത്മകമാണ് (ഒരു നോഡിന്റെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഒരു പദത്തിന്റെ രൂപവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു) കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന നിർമ്മാണങ്ങളുമായി നിർമ്മിച്ച നിർമ്മാണങ്ങളുടെ സാമ്യം നന്നായി കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.

ന്യൂട്ടന്റെ ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിന്റെ ശേഷിക്കുന്ന പിശക് ഫോർമുല (4.8) മുഖേനയാണ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത്, എന്നാൽ അത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ (4.13) മറ്റൊരു രൂപത്തിൽ എഴുതാം.

ആ. പോളിനോമിയലിൽ ആദ്യം നിരസിച്ച പദത്തിന്റെ മോഡുലസ് ഉപയോഗിച്ച് ശേഷിക്കുന്ന പിശക് കണക്കാക്കാം N n (x *).

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പിശക് N n (x *)വേർതിരിച്ച വ്യത്യാസങ്ങളുടെ പിശകുകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടും. ഇന്റർപോളേറ്റഡ് മൂല്യത്തോട് ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകൾ x *, ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിൽ കൂടുതൽ സ്വാധീനം ചെലുത്തും, കൂടുതൽ കിടക്കുന്നു - കുറവ്. അതിനാൽ, സാധ്യമെങ്കിൽ, അത് അഭികാമ്യമാണ് x 0ഒപ്പം x 1വരുന്നത് എടുക്കുക x *ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകൾ, ഈ നോഡുകളിൽ ആദ്യം ലീനിയർ ഇന്റർപോളേഷൻ നടത്തുക. അടുത്ത നോഡുകളെ ക്രമേണ ആകർഷിക്കുക, അങ്ങനെ അവ ആപേക്ഷികമായി കഴിയുന്നത്ര സമമിതിയാണ് x *സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യത്തിലെ അടുത്ത പദം അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന വിഭജിത വ്യത്യാസത്തിന്റെ കേവല പിശകിനേക്കാൾ കുറവായിരിക്കുന്നതുവരെ.

സെഗ്മെന്റിൽ വരട്ടെ പ്രവർത്തനം y = f (x)ഒരു പട്ടികയിൽ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്. (x i, y i), (i = 0,1, .., n),എവിടെ y i = f (x i).ഈ പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു " മെഷ്».

പ്രശ്നത്തിന്റെ രൂപീകരണം: കണ്ടെത്തുക ബീജഗണിത ബഹുപദം (ബഹുപദം):

ബിരുദം ഉയർന്നതല്ല എൻഅത്തരം

L n (x i) = y i,ചെയ്തത് ഞാൻ = 0,1, .., n,(5.6)

ആ. തന്നിരിക്കുന്ന നോഡുകളിൽ ഉള്ളത് x i, (ഐ=0,1,..,എൻ) ഗ്രിഡ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ അതേ മൂല്യങ്ങൾ ചെയ്തത്=f (x).

ബഹുപദം തന്നെ L n (x)വിളിച്ചു ഇന്റർപോളേഷൻ ബഹുപദം, ചുമതലയാണ് പോളിനോമിയൽ ഇന്റർപോളേഷൻ .

പോളിനോമിയൽ L n (x) കണ്ടെത്തുക- ഇതിനർത്ഥം അതിന്റെ ഗുണകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക a 0 , എ 1 ,…, എഎൻ. ഇതിനായി ഉണ്ട് n + 1 വ്യവസ്ഥ (5.6), ഇത് അജ്ഞാതവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു ഒരു ഞാൻ,(ഐ=0, 1,…,എൻ):

എവിടെ xഞാൻ ഒപ്പം വൈഞാൻ ( ഐ=0,1,…,എൻ) - ആർഗ്യുമെന്റിന്റെയും പ്രവർത്തനത്തിന്റെയും പട്ടിക മൂല്യങ്ങൾ.

ആൾജിബ്ര കോഴ്സിൽ നിന്ന് അറിയപ്പെടുന്നത്, ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ്, വണ്ടർമോണ്ട് ഡിറ്റർമിനന്റ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു:

പൂജ്യമല്ലാത്തത്അതിനാൽ, സിസ്റ്റം (5.7) ഉണ്ട് തീരുമാനം മാത്രം.

ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിച്ചു എ 0 , എ 1 ,…, എ എൻ, സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റം (5.7), ഞങ്ങൾ വിളിക്കപ്പെടുന്നവ നേടുന്നു ലഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽപ്രവർത്തനത്തിന് f (x):

(5.8)

ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

നൽകിയെന്ന് തെളിഞ്ഞിട്ടുണ്ട് എൻഫംഗ്‌ഷന്റെ +1 മൂല്യങ്ങൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യാൻ കഴിയും ഒരേയൊരു ലഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ(5.8).

പ്രായോഗികമായി, ആദ്യത്തേതിന്റെ ലഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലുകൾ ( n = 1) രണ്ടാമത്തേത് ( n = 2) ഡിഗ്രി.

ചെയ്തത് n =ഇന്റർപോളേറ്റഡ് ഫംഗ്‌ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള 1 വിവരങ്ങൾ y = f (x)രണ്ട് പോയിന്റുകളായി സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു: (x 0 , വൈ 0 ) കൂടാതെ (x 1 , വൈ 1 ), ലാഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയലിന് രൂപമുണ്ട്

വേണ്ടി n = 2 ലഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയൽ മൂന്ന് പോയിന്റ് പട്ടികയിൽ നിന്നാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്

പരിഹാരം:ഞങ്ങൾ പ്രാരംഭ ഡാറ്റ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (5.8). ലഭിച്ച ലഗ്രാഞ്ച് പോളിനോമിയലിന്റെ അളവ് മൂന്നാമത്തേതിനേക്കാൾ ഉയർന്നതല്ല, കാരണം ഫംഗ്ഷൻ നാല് മൂല്യങ്ങളാൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

ലാഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയൽ ഉപയോഗിച്ച്, ഏത് ഇന്റർമീഡിയറ്റ് പോയിന്റിലും നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താനാകും, ഉദാഹരണത്തിന്, എൻ. എസ്=4:

= 43

ലഗ്രാഞ്ച് ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലുകൾഉപയോഗിച്ചത് പരിമിതമായ മൂലക രീതി, നിർമ്മാണ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

മറ്റ് ഇന്റർപോളേഷൻ ഫോർമുലകളും അറിയപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ന്യൂട്ടന്റെ ഇന്റർപോളേഷൻ ഫോർമുലതുല്യ അകലത്തിലുള്ള നോഡുകളുടെയോ ഇന്റർപോളേഷൻ പോളിനോമിയലിന്റെയോ കാര്യത്തിൽ ഇന്റർപോളേഷനായി ഉപയോഗിക്കുന്നു ഹെർമിത.

സ്പ്ലൈൻ ഇന്റർപോളേഷൻ... ധാരാളം ഇന്റർപോളേഷൻ നോഡുകൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഒരു പ്രത്യേക സാങ്കേതികത ഉപയോഗിക്കുന്നു - പീസ്വൈസ് പോളിനോമിയൽ ഇന്റർപോളേഷൻഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദത്താൽ ഫംഗ്ഷൻ ഇന്റർപോളേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ ടിഅടുത്തുള്ള ഏതെങ്കിലും ഗ്രിഡ് നോഡുകൾക്കിടയിൽ.

റൂട്ട് അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ചതുര ഏകദേശമാണ്

പ്രശ്നത്തിന്റെ രൂപീകരണം

Rms ഏകദേശ കണക്ക്ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഏകദേശ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായി അനലിറ്റിക്കൽ എക്‌സ്‌പ്രഷനുകൾ നേടുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു സമീപനമാണ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളുടെ ഒരു സവിശേഷത, ചില ക്രമങ്ങളുടെ നിർമ്മാണത്തിനായുള്ള പ്രാരംഭ ഡാറ്റ വ്യക്തമാണ് എന്നതാണ് ഏകദേശ സ്വഭാവം.

ഈ ഡാറ്റ ഏതെങ്കിലും പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഫലമായി അല്ലെങ്കിൽ ചില കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ പ്രക്രിയയുടെ ഫലമായി ലഭിക്കുന്നു. അതനുസരിച്ച്, ഈ ഡാറ്റയിൽ പരീക്ഷണാത്മക പിശകുകൾ (ഉപകരണങ്ങളും വ്യവസ്ഥകളും അളക്കുന്നതിലെ പിശകുകൾ, ക്രമരഹിതമായ പിശകുകൾ മുതലായവ) അല്ലെങ്കിൽ റൗണ്ടിംഗ് പിശകുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

ചില പ്രതിഭാസങ്ങളോ പ്രക്രിയയോ അന്വേഷിക്കുകയാണെന്ന് പറയാം. സാധാരണയായി, ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു സൈബർനെറ്റിക് സിസ്റ്റം ("ബ്ലാക്ക് ബോക്സ്") ഉപയോഗിച്ച് ഗവേഷണ വസ്തുവിനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയും.

വേരിയബിൾ എൻ. എസ്ഒരു സ്വതന്ത്ര നിയന്ത്രിത വേരിയബിളാണ് (ഇൻപുട്ട് പാരാമീറ്റർ).

വേരിയബിൾ വൈഇൻപുട്ട് പാരാമീറ്ററിന്റെ സ്വാധീനത്തോടുള്ള ഗവേഷണ വസ്തുവിന്റെ പ്രതികരണം (പ്രതികരണം) ആണോ. ഇതാണ് ആശ്രിത വേരിയബിൾ.

ഈ പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഫലങ്ങൾ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുമ്പോൾ, ഒരു നിശ്ചിത പ്രവർത്തനപരമായ ആശ്രിതത്വം കണ്ടെത്തി എന്ന് കരുതുക y = f (x)സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിന് ഇടയിൽ എൻ. എസ്ആശ്രിത വേരിയബിളും ചെയ്തത്.ഈ ആശ്രിതത്വം ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. 5.1 മൂല്യങ്ങൾ x i, y i (i=1,2,…, എൻ) പരീക്ഷണ സമയത്ത് ലഭിച്ചത്.

പട്ടിക 5.1

അനലിറ്റിക് ഫംഗ്ഷൻ എക്സ്പ്രഷൻ ആണെങ്കിൽ y = f (x)അജ്ഞാതമോ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതോ ആണ്, തുടർന്ന് ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തുന്നതിന് പ്രശ്നം ഉയർന്നുവരുന്നു y =ജെ (എൻ. എസ്),അതിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ x = x i, ഒരുപക്ഷേ അല്പം വ്യത്യസ്തമായിരിക്കുംപരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് യീ, (ഐ=1,..,എൻ). അങ്ങനെ, ഫംഗ്ഷൻ പ്രകാരം അന്വേഷിച്ച ആശ്രിതത്വം ഏകദേശം കണക്കാക്കുന്നു y =ജെ (എൻ. എസ്)വിഭാഗത്തിൽ [ x 1 , x n]:

f (x) @ജെ (എൻ. എസ്). (5.9)

ഏകദേശ പ്രവർത്തനം y =ജെ (എൻ. എസ്)വിളിച്ചു അനുഭവ സൂത്രവാക്യം (EF)അഥവാ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം (RR).

അനുഭവപരമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പ്രകൃതിയുടെ നിയമങ്ങളായി നടിക്കുന്നില്ല, മറിച്ച് പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയെ കൂടുതലോ കുറവോ വേണ്ടത്ര വിവരിക്കുന്ന അനുമാനങ്ങൾ മാത്രമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, അവയുടെ പ്രാധാന്യം വളരെ വലുതാണ്. ശാസ്ത്രത്തിന്റെ ചരിത്രത്തിൽ, ലഭിച്ച വിജയകരമായ അനുഭവ സൂത്രവാക്യം മികച്ച ശാസ്ത്ര കണ്ടെത്തലുകളിലേക്ക് നയിച്ച സന്ദർഭങ്ങളുണ്ട്.

അനുഭവ സൂത്രവാക്യം ആണ് മതിയായപരിശീലനത്തിന് മതിയായ കൃത്യതയോടെ പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള വസ്തുവിനെ വിവരിക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കാമെങ്കിൽ.

എന്തിനു വേണ്ടിയാണ് ഈ ആസക്തി?

ഏകദേശം (5.9) കണ്ടെത്തിയാൽ, അത് സാധ്യമാണ്:

സെഗ്‌മെന്റിന് പുറത്തുള്ള അന്വേഷണ വസ്തുവിന്റെ പെരുമാറ്റത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു പ്രവചനം നടത്തുക ( എക്സ്ട്രാപോളേഷൻ );

തിരഞ്ഞെടുക്കുക ഒപ്റ്റിമൽ പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള പ്രക്രിയയുടെ വികസനത്തിന്റെ ദിശ.

റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിന് വ്യത്യസ്ത രൂപവും വ്യത്യസ്ത തലത്തിലുള്ള സങ്കീർണ്ണതയും ഉണ്ടായിരിക്കാം, ഇത് പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള വസ്തുവിന്റെ സവിശേഷതകളെയും പ്രതിനിധാനത്തിന്റെ ആവശ്യമായ കൃത്യതയെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

ജ്യാമിതീയമായിറിഗ്രഷൻ സമവാക്യം നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം വക്രം വരയ്ക്കുന്നതിലാണ് എൽ: y =ജെ (എൻ. എസ്) « കഴിയുന്നത്ര അടുത്ത്»പരീക്ഷണ പോയിന്റുകളുടെ സംവിധാനത്തോട് ചേർന്ന് M i (x i, y i), i = 1,2, .., എൻനൽകിയ മേശ. 5.1 (ചിത്രം 5.2).

റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിന്റെ നിർമ്മാണം (അനുഭവാത്മക പ്രവർത്തനം) 2 ഘട്ടങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു:

1. പൊതുവായ കാഴ്ചയുടെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്റിഗ്രഷൻ സമവാക്യങ്ങൾ,

2. അതിന്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ നിർവചിക്കുന്നു.

വിജയിച്ചു തിരഞ്ഞെടുപ്പ്റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം ഒരു പ്രക്രിയ അല്ലെങ്കിൽ പ്രതിഭാസം അന്വേഷിക്കുന്ന പരീക്ഷണത്തിന്റെ അനുഭവത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

റിഗ്രഷൻ സമവാക്യമായി ഒരു ബഹുപദം (പോളിനോമിയൽ) പലപ്പോഴും തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്നു:

രണ്ടാമത്തെ ദൗത്യം, പാരാമീറ്ററുകൾ കണ്ടെത്തുന്നുറിഗ്രഷൻ സമവാക്യങ്ങൾ സാധാരണ രീതികളിലൂടെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചതുര രീതി(OLS), നിരീക്ഷണങ്ങളെയോ പരീക്ഷണങ്ങളെയോ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഏതെങ്കിലും പാറ്റേണിന്റെ പഠനത്തിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു.

ഈ രീതിയുടെ വികസനം മുൻകാലങ്ങളിലെ പ്രശസ്ത ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പേരുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു - കെ. ഗൗസ്, എ. ലെജൻഡ്രെ.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ ചതുര രീതി

പരീക്ഷണത്തിന്റെ ഫലങ്ങൾ ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചുവെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. 5.1 റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം രൂപത്തിൽ (5.11) എഴുതിയിരിക്കുന്നു, അതായത്. ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു ( എം+1) പരാമീറ്റർ

ഈ പരാമീറ്ററുകൾ പരീക്ഷണാത്മക പോയിന്റുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട റിഗ്രഷൻ സമവാക്യ ഗ്രാഫിന്റെ സ്ഥാനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു. M i (x i, y i), i = 1,2, .., എൻ(ചിത്രം 5.2).

എന്നിരുന്നാലും, ഈ പരാമീറ്ററുകൾ അദ്വിതീയമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിന്റെ ഗ്രാഫ് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന തരത്തിൽ പരാമീറ്ററുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് " കഴിയുന്നത്ര അടുത്ത്»ഈ പരീക്ഷണ പോയിന്റുകളുടെ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക്.

ആശയം പരിചയപ്പെടുത്താം വ്യതിയാനങ്ങൾപട്ടിക മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തിന്റെ (5.11) മൂല്യങ്ങൾ യീവേണ്ടി x i : , i = 1,2, .., എൻ.

പരിഗണിക്കുക വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ഏത്ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു ( എം+1) പരാമീറ്റർ

OLS അനുസരിച്ച്, മികച്ച ഗുണകങ്ങൾ ഒരു ഐ(ഐ=0,1,..,എം) ചെറുതാക്കുന്നവയാണ് വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, അതായത്.പ്രവർത്തനം.

ഉപയോഗിക്കുന്നത് പ്രവർത്തനത്തിന്റെ തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥകൾനിരവധി വേരിയബിളുകൾ, നമുക്ക് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ലഭിക്കും സാധാരണ സംവിധാനംഅജ്ഞാത ഗുണകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ :

ഏകദേശ പ്രവർത്തനത്തിന് (5.11), സിസ്റ്റം (5.14) എന്നത് അജ്ഞാതർക്കുള്ള രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമാണ്. .

കേസുകൾ സാധ്യമാണ്:

1. എങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷനെ ചെറുതാക്കുന്ന (5.13) അനന്തമായ ബഹുപദങ്ങൾ (5.11) ഉണ്ട്.

2. എങ്കിൽ m = n–1, അപ്പോൾ ഒരു പോളിനോമിയൽ (5.11) മിനിമൈസിംഗ് ഫംഗ്‌ഷൻ (5.13) മാത്രമേയുള്ളൂ.

കുറഞ്ഞത് എം, അനുഭവ സൂത്രവാക്യം ലളിതമാണ്, പക്ഷേ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും മികച്ചതല്ല. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന അനുഭവ സൂത്രവാക്യം ആയിരിക്കണമെന്ന് ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ് മതിയായപഠിക്കുന്ന വസ്തു.