ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ ലാറ്ററൽ മുഖങ്ങളുടെ ഭാഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ കാര്യത്തിൽ ഈ പ്രദേശം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിന് ഒരു പ്രത്യേക ഫോർമുല നൽകുന്നത് യുക്തിസഹമാണ്. അതിനാൽ, ഒരു സാധാരണ പിരമിഡ് നൽകട്ടെ, അതിന്റെ അടിഭാഗത്ത് a യ്ക്ക് തുല്യമായ വശമുള്ള ഒരു സാധാരണ n-gon കിടക്കുന്നു. സൈഡ് മുഖത്തിന്റെ ഉയരം h ആയിരിക്കട്ടെ, എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നു അപ്പോത്തിമപിരമിഡുകൾ. ഒരു വശത്തെ മുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 1/2ah ആണ്, പിരമിഡിന്റെ മുഴുവൻ വശവും n/2ha എന്നതിന് തുല്യമായ വിസ്തീർണ്ണമുണ്ട്. na എന്നത് പിരമിഡിന്റെ അടിത്തറയുടെ ചുറ്റളവ് ആയതിനാൽ, നമുക്ക് കണ്ടെത്തിയ ഫോർമുല ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം. :

ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണംഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ അടിത്തറയുടെ പകുതി ചുറ്റളവിൽ അതിന്റെ അപ്പോഥത്തിന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

സംബന്ധിച്ചു മൊത്തം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം, തുടർന്ന് അടിത്തറയുടെ വിസ്തീർണ്ണം വശത്തേക്ക് ചേർക്കുക.

ആലേഖനം ചെയ്തതും ചുറ്റപ്പെട്ടതുമായ ഗോളവും പന്തും. പിരമിഡിൽ ആലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന ഗോളത്തിന്റെ കേന്ദ്രം പിരമിഡിന്റെ ആന്തരിക ഡൈഹെഡ്രൽ കോണുകളുടെ ബൈസെക്ടർ തലങ്ങളുടെ കവലയിലാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. പിരമിഡിന് സമീപം വിവരിച്ചിരിക്കുന്ന ഗോളത്തിന്റെ കേന്ദ്രം പിരമിഡിന്റെ അരികുകളുടെ മധ്യബിന്ദുകളിലൂടെയും അവയ്ക്ക് ലംബമായും കടന്നുപോകുന്ന വിമാനങ്ങളുടെ കവലയിലാണ്.

വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡ്.പിരമിഡ് അതിന്റെ അടിത്തറയ്ക്ക് സമാന്തരമായി ഒരു തലം കൊണ്ട് മുറിച്ചാൽ, കട്ടിംഗ് തലത്തിനും അടിത്തറയ്ക്കും ഇടയിൽ പൊതിഞ്ഞ ഭാഗത്തെ വിളിക്കുന്നു വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡ്.ചിത്രം ഒരു പിരമിഡ് കാണിക്കുന്നു, കട്ടിംഗ് പ്ലെയിനിന് മുകളിൽ കിടക്കുന്ന അതിന്റെ ഭാഗം ഉപേക്ഷിച്ച്, നമുക്ക് വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡ് ലഭിക്കും. ഉപേക്ഷിക്കപ്പെടേണ്ട ചെറിയ പിരമിഡ് വലിയ പിരമിഡിനോട് സമാന്തരമായിരിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാണ്. സാമ്യത ഗുണകം ഉയരങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്: k=h 2 /h 1, അല്ലെങ്കിൽ സൈഡ് അരികുകൾ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് ഉചിതമായത് രേഖീയ അളവുകൾരണ്ട് പിരമിഡുകളും. സമാന രൂപങ്ങളുടെ മേഖലകൾ രേഖീയ അളവുകളുടെ ചതുരങ്ങളായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്കറിയാം; അതിനാൽ രണ്ട് പിരമിഡുകളുടെയും അടിത്തറയുടെ മേഖലകൾ (അതായത് വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ അടിത്തറകൾ) ഇനിപ്പറയുന്നവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു

ഇവിടെ S 1 എന്നത് താഴത്തെ അടിത്തറയുടെ വിസ്തീർണ്ണമാണ്, കൂടാതെ S 2 എന്നത് വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ മുകളിലെ അടിത്തറയുടെ വിസ്തൃതിയാണ്. പിരമിഡുകളുടെ വശങ്ങൾ ഒരേ അനുപാതത്തിലാണ്. വാല്യങ്ങൾക്ക് സമാനമായ ഒരു നിയമമുണ്ട്.

സമാന ശരീരങ്ങളുടെ വോള്യങ്ങൾഅവയുടെ രേഖീയ അളവുകളുടെ ക്യൂബുകളായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു; ഉദാഹരണത്തിന്, പിരമിഡുകളുടെ വോള്യങ്ങൾ അവയുടെ ഉയരത്തിന്റെ ഉൽപന്നങ്ങളായി അടിസ്ഥാനങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് നമ്മുടെ നിയമം ഉടനടി പിന്തുടരുന്നു. ഇതിന് പൂർണ്ണമായും പൊതുവായ സ്വഭാവമുണ്ട്, വോളിയത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും നീളത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെ ശക്തിയുടെ അളവ് ഉണ്ട് എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു. ഈ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, അടിത്തറയുടെ ഉയരവും വിസ്തൃതിയും അനുസരിച്ച് വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ അളവ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഉയരം h ഉം അടിസ്ഥാന ഏരിയകൾ S 1, S 2 ഉം ഉള്ള ഒരു വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡ് നൽകട്ടെ. ഇത് പൂർണ്ണ പിരമിഡിലേക്ക് നീട്ടിയതായി ഞങ്ങൾ സങ്കൽപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പൂർണ്ണ പിരമിഡിന്റെയും ചെറിയ പിരമിഡിന്റെയും സാമ്യ ഗുണകം എസ് 2 / എസ് 1 എന്ന അനുപാതത്തിന്റെ റൂട്ടായി എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും. വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ ഉയരം h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k) ആയി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ അളവ് ഇപ്പോൾ നമുക്കുണ്ട് (V 1, V 2 എന്നിവ പൂർണ്ണവും ചെറുതുമായ പിരമിഡുകളുടെ വോള്യങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു)

വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡ് വോളിയം ഫോർമുല

ഒരു സാധാരണ വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ പ്രതലത്തിന്റെ S ഏരിയയുടെ വിസ്തീർണ്ണം ഞങ്ങൾ ബേസുകളുടെ P 1, P 2 എന്നിവയുടെ ചുറ്റളവുകളിലൂടെയും അപ്പോഥെം a യുടെ നീളത്തിലൂടെയും നേടുന്നു. വോളിയത്തിനായുള്ള സൂത്രവാക്യം ഉരുവിടുമ്പോൾ അതേ രീതിയിൽ ഞങ്ങൾ വാദിക്കുന്നു. പിരമിഡിനെ പൂരകമാക്കുന്നു മുകളിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് P 2 \u003d kP 1, S 2 \u003d k 2 S 1 ഉണ്ട്, ഇവിടെ k എന്നത് സാമ്യത ഗുണകം, P 1, P 2 എന്നിവ ബേസുകളുടെ ചുറ്റളവുകളാണ്, കൂടാതെ S 1, S 2 എന്നിവ വശത്തിന്റെ കുതിരകളാണ്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മുഴുവൻ പിരമിഡിന്റെയും അതിന്റെ മുകൾ ഭാഗത്തിന്റെയും ഉപരിതലങ്ങൾ യഥാക്രമം. ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിനായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു (പിരമിഡുകളുടെ a 1, a 2 - apothems, a \u003d a 1 - a 2 \u003d a 1 (1-k))

ഒരു സാധാരണ വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണത്തിനുള്ള ഫോർമുല

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത ഞങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമാണ്. ഇക്കാരണത്താൽ, ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ വിവരങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുകയും സംഭരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എന്ന് വിവരിക്കുന്ന ഒരു സ്വകാര്യതാ നയം ഞങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്. ദയവായി ഞങ്ങളുടെ സ്വകാര്യതാ നയം വായിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ചോദ്യങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുക.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ ശേഖരണവും ഉപയോഗവും

ഒരു പ്രത്യേക വ്യക്തിയെ തിരിച്ചറിയുന്നതിനോ ബന്ധപ്പെടുന്നതിനോ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഡാറ്റയെയാണ് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടുമ്പോൾ ഏത് സമയത്തും നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നൽകാൻ നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെട്ടേക്കാം.

ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ തരങ്ങളുടെയും അത്തരം വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം എന്നതിന്റെയും ചില ഉദാഹരണങ്ങളാണ് ഇനിപ്പറയുന്നത്.

എന്ത് വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളാണ് ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്നത്:

• നിങ്ങൾ സൈറ്റിൽ ഒരു അപേക്ഷ സമർപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ പേര്, ഫോൺ നമ്പർ, വിലാസം എന്നിവയുൾപ്പെടെ വിവിധ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശേഖരിച്ചേക്കാം ഇമെയിൽതുടങ്ങിയവ.

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ നിങ്ങളെ ബന്ധപ്പെടാനും നിങ്ങളെ അറിയിക്കാനും ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു അതുല്യമായ ഓഫറുകൾ, പ്രമോഷനുകളും മറ്റ് ഇവന്റുകളും വരാനിരിക്കുന്ന ഇവന്റുകളും.
• കാലാകാലങ്ങളിൽ, നിങ്ങൾക്ക് പ്രധാനപ്പെട്ട അറിയിപ്പുകളും സന്ദേശങ്ങളും അയയ്‌ക്കാൻ ഞങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• ഞങ്ങൾ നൽകുന്ന സേവനങ്ങൾ മെച്ചപ്പെടുത്തുന്നതിനും ഞങ്ങളുടെ സേവനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ശുപാർശകൾ നിങ്ങൾക്ക് നൽകുന്നതിനും ഓഡിറ്റുകൾ, ഡാറ്റ വിശകലനം, വിവിധ ഗവേഷണങ്ങൾ എന്നിവ പോലുള്ള ആന്തരിക ആവശ്യങ്ങൾക്കായി ഞങ്ങൾ വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.
• നിങ്ങൾ ഒരു സമ്മാന നറുക്കെടുപ്പോ മത്സരമോ സമാനമായ പ്രോത്സാഹനമോ നൽകുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരം പ്രോഗ്രാമുകൾ നിയന്ത്രിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ നൽകുന്ന വിവരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചേക്കാം.

മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് വെളിപ്പെടുത്തൽ

നിങ്ങളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച വിവരങ്ങൾ മൂന്നാം കക്ഷികൾക്ക് ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തുന്നില്ല.

ഒഴിവാക്കലുകൾ:

• ആവശ്യമെങ്കിൽ - നിയമം അനുസരിച്ച്, ജുഡീഷ്യൽ നടപടിക്രമം, ഇൻ വ്യവഹാരം, കൂടാതെ / അല്ലെങ്കിൽ റഷ്യൻ ഫെഡറേഷന്റെ പ്രദേശത്തെ സ്റ്റേറ്റ് ബോഡികളിൽ നിന്നുള്ള പൊതു അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ അടിസ്ഥാനത്തിൽ - നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്താൻ. സുരക്ഷ, നിയമപാലകർ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് പൊതുതാൽപ്പര്യ കാരണങ്ങൾ എന്നിവയ്‌ക്ക് അത്തരം വെളിപ്പെടുത്തൽ ആവശ്യമോ ഉചിതമോ ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുകയാണെങ്കിൽ നിങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങളും ഞങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തിയേക്കാം.
• ഒരു പുനഃസംഘടനയോ ലയനമോ വിൽപ്പനയോ ഉണ്ടായാൽ, ഞങ്ങൾ ശേഖരിക്കുന്ന വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങൾ പ്രസക്തമായ മൂന്നാം കക്ഷി പിൻഗാമിക്ക് കൈമാറാം.

വ്യക്തിഗത വിവരങ്ങളുടെ സംരക്ഷണം

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ നഷ്‌ടത്തിൽ നിന്നും മോഷണത്തിൽ നിന്നും ദുരുപയോഗത്തിൽ നിന്നും അതുപോലെ അനധികൃത ആക്‌സസ്, വെളിപ്പെടുത്തൽ, മാറ്റം, നാശം എന്നിവയിൽ നിന്നും പരിരക്ഷിക്കുന്നതിന് - അഡ്മിനിസ്ട്രേറ്റീവ്, ടെക്നിക്കൽ, ഫിസിക്കൽ ഉൾപ്പെടെയുള്ള മുൻകരുതലുകൾ ഞങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്നു.

കമ്പനി തലത്തിൽ നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യത നിലനിർത്തുന്നു

നിങ്ങളുടെ സ്വകാര്യ വിവരങ്ങൾ സുരക്ഷിതമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ ജീവനക്കാരോട് സ്വകാര്യതയും സുരക്ഷാ രീതികളും ആശയവിനിമയം നടത്തുകയും സ്വകാര്യതാ സമ്പ്രദായങ്ങൾ കർശനമായി നടപ്പിലാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

രണ്ട് സമാന്തര തലങ്ങളാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ജ്യാമിതീയ ശരീരമാണ് സിലിണ്ടർ സിലിണ്ടർ ഉപരിതലം. ലേഖനത്തിൽ, ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കും, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ നിരവധി പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കും.

ഒരു സിലിണ്ടറിന് മൂന്ന് ഉപരിതലങ്ങളുണ്ട്: മുകളിൽ, താഴെ, ഒരു വശം.

സിലിണ്ടറിന്റെ മുകളിലും താഴെയും സർക്കിളുകളാണ്, നിർവചിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം πr 2 ന് തുല്യമാണെന്ന് അറിയാം. അതിനാൽ, രണ്ട് സർക്കിളുകളുടെ (സിലിണ്ടറിന്റെ മുകളിലും താഴെയും) ഏരിയയുടെ ഫോർമുല πr 2 + πr 2 = 2πr 2 പോലെ കാണപ്പെടും.

മൂന്നാമത്തേത്, സിലിണ്ടറിന്റെ സൈഡ് ഉപരിതലം, സിലിണ്ടറിന്റെ വളഞ്ഞ മതിൽ ആണ്. ഈ ഉപരിതലത്തെ മികച്ച രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നതിന്, തിരിച്ചറിയാവുന്ന ഒരു ആകൃതി ലഭിക്കുന്നതിന് അതിനെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താൻ ശ്രമിക്കാം. ഒരു സിലിണ്ടർ സാധാരണമാണെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക ടിൻ, മുകളിലെ കവറും താഴെയും ഇല്ലാത്തത്. പാത്രത്തിന്റെ മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക് വശത്തെ ഭിത്തിയിൽ ലംബമായ ഒരു മുറിവുണ്ടാക്കാം (ചിത്രത്തിലെ ഘട്ടം 1) കൂടാതെ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ചിത്രം കഴിയുന്നത്ര തുറക്കാൻ (ഘട്ടം 2) ശ്രമിക്കാം (ഘട്ടം 2).

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പാത്രത്തിന്റെ പൂർണ്ണമായ വെളിപ്പെടുത്തലിനുശേഷം, നമുക്ക് പരിചിതമായ ഒരു ചിത്രം കാണാം (ഘട്ടം 3), ഇതൊരു ദീർഘചതുരമാണ്. ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. എന്നാൽ അതിനുമുമ്പ്, നമുക്ക് യഥാർത്ഥ സിലിണ്ടറിലേക്ക് ഒരു നിമിഷം മടങ്ങാം. യഥാർത്ഥ സിലിണ്ടറിന്റെ ശീർഷകം ഒരു വൃത്തമാണ്, കൂടാതെ ഒരു സർക്കിളിന്റെ ചുറ്റളവ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുമെന്ന് നമുക്കറിയാം: L = 2πr. ചിത്രത്തിൽ ചുവപ്പ് നിറത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു.

സിലിണ്ടറിന്റെ വശത്തെ മതിൽ പൂർണ്ണമായി വികസിക്കുമ്പോൾ, ചുറ്റളവ് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ദീർഘചതുരത്തിന്റെ നീളമായി മാറുന്നതായി ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. ഈ ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വശങ്ങൾ ചുറ്റളവും (L = 2πr) സിലിണ്ടറിന്റെ ഉയരവും (h) ആയിരിക്കും. ഒരു ദീർഘചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അതിന്റെ വശങ്ങളുടെ ഫലത്തിന് തുല്യമാണ് - S = നീളം x വീതി = L x h = 2πr x h = 2πrh. തൽഫലമായി, ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഫോർമുല ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു.

ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം
എസ് വശം = 2prh

ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ മുഴുവൻ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം

അവസാനമായി, ഞങ്ങൾ മൂന്ന് പ്രതലങ്ങളുടെയും വിസ്തീർണ്ണം ചേർത്താൽ, ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ മൊത്തം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും. സിലിണ്ടറിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം സിലിണ്ടറിന്റെ മുകളിലെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് + സിലിണ്ടറിന്റെ അടിത്തറയുടെ വിസ്തീർണ്ണം + സിലിണ്ടറിന്റെ സൈഡ് ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അല്ലെങ്കിൽ S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. ചിലപ്പോൾ ഈ പദപ്രയോഗം ഒരേ സൂത്രവാക്യം 2πr (r + h) ഉപയോഗിച്ചാണ് എഴുതുന്നത്.

ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ മൊത്തം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ഫോർമുല
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r എന്നത് സിലിണ്ടറിന്റെ ആരം ആണ്, h എന്നത് സിലിണ്ടറിന്റെ ഉയരമാണ്

ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനസിലാക്കാൻ, ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

1. സിലിണ്ടറിന്റെ അടിത്തറയുടെ ആരം 2 ആണ്, ഉയരം 3 ആണ്. സിലിണ്ടറിന്റെ വശത്തെ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുക.

മൊത്തം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു: എസ് വശം. = 2prh

എസ് വശം = 2 * 3.14 * 2 * 3

എസ് വശം = 6.28 * 6

എസ് വശം = 37.68

സിലിണ്ടറിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം 37.68 ആണ്.

2. ഉയരം 4 ഉം ആരം 6 ഉം ആണെങ്കിൽ ഒരു സിലിണ്ടറിന്റെ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

മൊത്തം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു: S = 2πr 2 + 2πrh

എസ് = 2 * 3.14 * 6 2 + 2 * 3.14 * 6 * 4

എസ് = 2 * 3.14 * 36 + 2 * 3.14 * 24

• ടാസ്ക് 1. പിരമിഡിന്റെ മൊത്തം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക
• ടാസ്ക് 2. ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

ടാസ്ക് 1. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ മൊത്തം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം.

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡിന്റെ അടിഭാഗത്ത് ഒരു സമഭുജ ത്രികോണമുണ്ട്.
അതിനാൽ, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ഒരു സാധാരണ ത്രികോണത്തിന്റെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരം നമുക്കറിയാം, അവിടെ നിന്ന് അതിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്താം.
h = √3/2a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

അടിത്തറയുടെ വിസ്തീർണ്ണം എവിടെ നിന്ന് തുല്യമായിരിക്കും:
S = √3/4 a 2
എസ് = √3/4 (6 / √3) 2
എസ് = 3√3

വശത്തെ മുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ KM ഉയരം കണക്കാക്കുന്നു. പ്രശ്ന പ്രസ്താവന പ്രകാരം OKM ആംഗിൾ 45 ഡിഗ്രിയാണ്.
ഈ വഴിയിൽ:
ശരി / MK = വില 45
നമുക്ക് ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുകയും അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്യാം.

ശരി / MK = √2/2

OK എന്നത് ആലേഖനം ചെയ്ത സർക്കിളിന്റെ ആരത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണക്കിലെടുക്കുന്നു. പിന്നെ
ശരി = √3/6 a
ശരി = √3/6 * 6/√3 = 1

പിന്നെ
ശരി / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

പാർശ്വമുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം ത്രികോണത്തിന്റെ ഉയരത്തിന്റെയും അടിത്തറയുടെയും പകുതി ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.
സൈഡ് = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

അങ്ങനെ, പിരമിഡിന്റെ മൊത്തം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമായിരിക്കും
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

ഉത്തരം: 3√3 + 18/√6

ടാസ്ക് 2. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം.

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒരു സമഭുജ ത്രികോണമായതിനാൽ, AO എന്നത് അടിത്തറയ്ക്ക് ചുറ്റുമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ ആരമാണ്.
(ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു)

ഒരു സമഭുജ ത്രികോണത്തിന് ചുറ്റും ചുറ്റപ്പെട്ട ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ആരം അതിന്റെ ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തുന്നു

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ അരികുകളുടെ നീളം ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:
AM 2 = MO 2 + AO 2
പിരമിഡിന്റെ ഉയരം (10 സെ.മീ), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

പിരമിഡിന്റെ ഓരോ വശവും ഒരു ഐസോസിലിസ് ത്രികോണമാണ്. സമചതുരം Samachathuram സമതല ത്രികോണംചുവടെയുള്ള ആദ്യ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തുക

S = 1/2 * 16 ചതുരശ്ര അടി((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
എസ് = 8 ചതുരശ്ര ((556/3) - 64)
എസ് = 8 ചതുരശ്ര (364/3)
എസ് = 16 ചതുരശ്ര അടി (91/3)

ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ മൂന്ന് മുഖങ്ങളും തുല്യമായതിനാൽ, ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമായിരിക്കും
3S = 48√(91/3)

ഉത്തരം: 48 √(91/3)

ടാസ്ക് 3. ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിന്റെ മൊത്തം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡിന്റെ വശം 3 സെന്റിമീറ്ററും പിരമിഡിന്റെ വശവും അടിത്തറയും തമ്മിലുള്ള കോൺ 45 ഡിഗ്രിയുമാണ്. പിരമിഡിന്റെ മൊത്തം ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.
പിരമിഡ് ക്രമമായതിനാൽ, അതിന്റെ അടിഭാഗത്ത് ഒരു സമഭുജ ത്രികോണമുണ്ട്. അതിനാൽ അടിത്തറയുടെ വിസ്തീർണ്ണം


അങ്ങനെ = 9 * √3/4

വശത്തെ മുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ KM ഉയരം കണക്കാക്കുന്നു. പ്രശ്ന പ്രസ്താവന പ്രകാരം OKM ആംഗിൾ 45 ഡിഗ്രിയാണ്.
ഈ വഴിയിൽ:
ശരി / MK = വില 45
ഉപയോഗിക്കട്ടെ

- ഇതൊരു പോളിഹെഡ്രൽ രൂപമാണ്, അതിന്റെ അടിഭാഗത്ത് ഒരു ബഹുഭുജമുണ്ട്, ശേഷിക്കുന്ന മുഖങ്ങളെ ഒരു പൊതു ശീർഷത്തോടുകൂടിയ ത്രികോണങ്ങളാൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

അടിസ്ഥാനം ഒരു ചതുരമാണെങ്കിൽ, പിരമിഡ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള, ത്രികോണമാണെങ്കിൽ ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള. പിരമിഡിന്റെ ഉയരം അതിന്റെ മുകളിൽ നിന്ന് അടിയിലേക്ക് ലംബമായി വരച്ചിരിക്കുന്നു. പ്രദേശം കണക്കാക്കാനും ഉപയോഗിക്കുന്നു അപ്പോഥംഅതിന്റെ ശിഖരത്തിൽ നിന്ന് താഴ്ത്തിയ വശത്തിന്റെ മുഖത്തിന്റെ ഉയരമാണ്.
ഒരു പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം അതിന്റെ ലാറ്ററൽ മുഖങ്ങളുടെ ഭാഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്, അവ പരസ്പരം തുല്യമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ കണക്കുകൂട്ടൽ രീതി വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കുന്നുള്ളൂ. അടിസ്ഥാനപരമായി, പിരമിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം അടിത്തറയുടെ ചുറ്റളവിലൂടെയും അപ്പോഥെമിലൂടെയും കണക്കാക്കുന്നു:

ഒരു പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

അടിസ്ഥാന എബിസിഡിഇയും അഗ്രം എഫും ഉള്ള ഒരു പിരമിഡ് നൽകട്ടെ. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apothem a = 5 cm. പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ പ്രതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.
നമുക്ക് ചുറ്റളവ് കണ്ടെത്താം. അടിത്തറയുടെ എല്ലാ മുഖങ്ങളും തുല്യമായതിനാൽ, പെന്റഗണിന്റെ ചുറ്റളവ് ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:
ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താം സൈഡ് ഏരിയപിരമിഡുകൾ:

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

ഒരു സാധാരണ ത്രികോണാകൃതിയിലുള്ള പിരമിഡ് ഒരു സാധാരണ ത്രികോണവും മൂന്ന് ലാറ്ററൽ മുഖങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു അടിത്തറ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.
ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ഫോർമുല കണക്കാക്കാം വ്യത്യസ്ത വഴികൾ. ചുറ്റളവിലൂടെയും അപ്പോഥെമിലൂടെയും കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സാധാരണ ഫോർമുല നിങ്ങൾക്ക് പ്രയോഗിക്കാം, അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തി അതിനെ മൂന്നായി ഗുണിക്കാം. പിരമിഡിന്റെ മുഖം ഒരു ത്രികോണമായതിനാൽ, ഒരു ത്രികോണത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് ഞങ്ങൾ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നു. ഇതിന് ഒരു അപ്പോഥവും അടിത്തറയുടെ നീളവും ആവശ്യമാണ്. ഒരു സാധാരണ ത്രികോണ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക.

a = 4 cm, അടിസ്ഥാന മുഖം b = 2 cm എന്നിവയുള്ള ഒരു പിരമിഡിന് നൽകിയിരിക്കുന്നു. പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക.
ആദ്യം, ഒരു വശത്തെ മുഖത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണ്ടെത്തുക. വി ഈ സംഭവംഅവൾ ആയിരിക്കും:
ഫോർമുലയിലെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:
ഒരു സാധാരണ പിരമിഡിൽ എല്ലാ വശങ്ങളും ഒരുപോലെയായതിനാൽ, പിരമിഡിന്റെ വശത്തെ ഉപരിതലത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം മൂന്ന് മുഖങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും. യഥാക്രമം:

വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം

വെട്ടിച്ചുരുക്കിഒരു പിരമിഡും അതിന്റെ ഭാഗവും അടിത്തറയ്ക്ക് സമാന്തരമായി രൂപം കൊള്ളുന്ന ഒരു പോളിഹെഡ്രോണാണ് പിരമിഡ്.
വെട്ടിച്ചുരുക്കിയ പിരമിഡിന്റെ ലാറ്ററൽ ഉപരിതല വിസ്തീർണ്ണത്തിന്റെ ഫോർമുല വളരെ ലളിതമാണ്. വിസ്തീർണ്ണം അടിത്തറയുടെയും അപ്പോഥെമിന്റെയും ചുറ്റളവുകളുടെ പകുതി തുകയുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്: