ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കും ഗുണകങ്ങൾക്കുമിടയിൽ, റൂട്ട് ഫോർമുലകൾക്ക് പുറമേ, നൽകിയിരിക്കുന്ന മറ്റ് ഉപയോഗപ്രദമായ ബന്ധങ്ങളുണ്ട്. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം. ഈ ലേഖനത്തിൽ ഞങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു രൂപീകരണവും തെളിവും നൽകും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. അടുത്തതായി ഞങ്ങൾ സിദ്ധാന്തം വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തവുമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു. ഇതിനുശേഷം, ഏറ്റവും സാധാരണമായ ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും. അവസാനമായി, യഥാർത്ഥ വേരുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം നിർവചിക്കുന്ന വിയറ്റ ഫോർമുലകൾ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു ബീജഗണിത സമവാക്യം n ഡിഗ്രിയും അതിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളും.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം, രൂപീകരണം, തെളിവ്

ഫോമിൻ്റെ a·x 2 +b·x+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന്, ഇവിടെ D=b 2 -4·a·c, ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധങ്ങൾ പിന്തുടരുന്നു: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . ഈ ഫലങ്ങൾ സ്ഥിരീകരിച്ചു വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം:

സിദ്ധാന്തം.

എങ്കിൽ x 1, x 2 എന്നിവ a x 2 +b x+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്, അപ്പോൾ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക ഗുണകങ്ങളുടെ b എന്ന അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്. വിപരീത ചിഹ്നം, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം c, a എന്നീ ഗുണകങ്ങളുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, .

തെളിവ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന സ്കീം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ് നടപ്പിലാക്കും: അറിയപ്പെടുന്ന റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയും ഉൽപ്പന്നവും രചിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിവർത്തനം ചെയ്യുകയും അവ −b/ ന് തുല്യമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. യഥാക്രമം a, c/a.

വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച് അത് ഉണ്ടാക്കാം. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഭിന്നസംഖ്യകൾ കുറയ്ക്കുന്നു പൊതു വിഭജനം, നമുക്ക് ഉണ്ട് . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററിൽ, അതിനുശേഷം :. ഒടുവിൽ, 2-ന് ശേഷം, നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ആദ്യ ബന്ധം ഇത് തെളിയിക്കുന്നു. നമുക്ക് രണ്ടാമത്തേതിലേക്ക് പോകാം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം ഞങ്ങൾ രചിക്കുന്നു: . ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം അനുസരിച്ച്, അവസാന ഭാഗംഎന്ന് എഴുതാം. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഒരു ബ്രാക്കറ്റിനെ ന്യൂമറേറ്ററിലെ ഒരു ബ്രാക്കറ്റ് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഈ ഉൽപ്പന്നം ചുരുക്കുന്നത് വേഗതയുള്ളതാണ് ചതുര വ്യത്യാസം ഫോർമുല, അങ്ങനെ . തുടർന്ന്, ഓർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അടുത്ത പരിവർത്തനം നടത്തുന്നു. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം D=b 2 −4·a·c എന്ന ഫോർമുലയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതിനാൽ, അവസാന ഭിന്നസംഖ്യയിൽ D-ക്ക് പകരം നമുക്ക് b 2 −4·a·c പകരം വയ്ക്കാം. പരാൻതീസിസും കാസ്റ്റിംഗും തുറന്ന ശേഷം സമാനമായ നിബന്ധനകൾനമ്മൾ ഭിന്നസംഖ്യയിൽ എത്തുന്നു, അതിൻ്റെ കുറവ് 4·a നൽകുന്നു. വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിനായുള്ള വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ബന്ധം ഇത് തെളിയിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ വിശദീകരണങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുകയാണെങ്കിൽ, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ് ഒരു ലാക്കോണിക് രൂപമെടുക്കും:
,
.

വിവേചനം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ കേസിലെ സമവാക്യത്തിന് സമാനമായ രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള തുല്യതകളും നിലനിൽക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, D=0 ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് തുല്യമാകുമ്പോൾ, പിന്നെ ഒപ്പം , D=0 മുതൽ, അതായത്, b 2 −4·a·c=0, എവിടെ നിന്ന് b 2 =4·a·c, തുടർന്ന് .

പ്രായോഗികമായി, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം x 2 +p·x+q=0 എന്ന ഫോമിൻ്റെ കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് (ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് 1 ന് തുല്യമായത്) ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. ചിലപ്പോൾ ഇത് ഈ തരത്തിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കായി രൂപപ്പെടുത്തുന്നു, ഇത് സാമാന്യതയെ പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നില്ല, കാരണം ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും ഇരുവശങ്ങളെയും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അനുബന്ധ രൂപീകരണം നമുക്ക് നൽകാം:

സിദ്ധാന്തം.

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക x 2 +p x+q=0 വിപരീത ചിഹ്നത്തിനൊപ്പം എടുത്ത x ൻ്റെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ഗുണനം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 = q.

സിദ്ധാന്തം വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തവുമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു

മുൻ ഖണ്ഡികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഫോർമുലേഷൻ സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, x 1 ഉം x 2 ഉം x 2 +p x+q=0 എന്ന ചുരുക്കിയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണെങ്കിൽ, ബന്ധങ്ങൾ x 1 +x 2 =-p , x 1 x 2 =q. മറുവശത്ത്, x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q എന്നീ ലിഖിത ബന്ധങ്ങളിൽ നിന്ന് x 1, x 2 എന്നിവ x 2 +p x+q=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വിപരീതം ശരിയാണ്. നമുക്ക് അത് ഒരു സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ രൂപപ്പെടുത്തി തെളിയിക്കാം.

സിദ്ധാന്തം.

x 1, x 2 എന്നീ സംഖ്യകൾ x 1 +x 2 =−p, x 1 · x 2 =q എന്നിവയാണെങ്കിൽ, x 1, x 2 എന്നിവ x 2 +p · x+q എന്ന ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്. =0.

തെളിവ്.

x 2 +p·x+q=0 എന്ന സമവാക്യത്തിലെ p, q എന്നീ ഗുണകങ്ങളെ അവയുടെ പദപ്രയോഗങ്ങൾ x 1, x 2 എന്നിവയിലൂടെ മാറ്റിയ ശേഷം, അത് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യമായി രൂപാന്തരപ്പെടുന്നു.

ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് x ന് പകരം x 1 എന്ന സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, നമുക്ക് തുല്യതയുണ്ട് x 1 2 -(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, ഏത് x 1, x 2 എന്നിവയ്‌ക്കും ശരിയായ സംഖ്യാ തുല്യത 0=0 പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, കാരണം x 1 2 -(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 -x 1 2 -x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. അതിനാൽ, x 1 ആണ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് x 2 -(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, അതായത് x 1 എന്നത് തുല്യമായ x 2 +p·x+q=0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമാണ്.

സമവാക്യത്തിലാണെങ്കിൽ x 2 -(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 x ന് പകരം x 2 എന്ന സംഖ്യ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, നമുക്ക് തുല്യത ലഭിക്കും x 2 2 -(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. ഇത് ഒരു യഥാർത്ഥ സമത്വമാണ്, മുതൽ x 2 2 -(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 -x 1 ·x 2 -x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. അതിനാൽ, x 2 സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു റൂട്ട് കൂടിയാണ് x 2 -(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, അതിനാൽ സമവാക്യങ്ങൾ x 2 +p·x+q=0.

ഇത് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ് പൂർത്തിയാക്കുന്നു, വിപരീത സിദ്ധാന്തംവിയറ്റ.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗത്തെക്കുറിച്ചും അതിൻ്റെ സംഭാഷണ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചും സംസാരിക്കേണ്ട സമയമാണിത്. ഈ വിഭാഗത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും സാധാരണമായ നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിലേക്ക് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സംവാദം പ്രയോഗിച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം. നൽകിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് സംഖ്യകൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കാൻ ഇത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവയുടെ തുകയും വ്യത്യാസവും കണക്കാക്കുന്നു, അതിനുശേഷം ബന്ധങ്ങളുടെ സാധുത പരിശോധിക്കുന്നു. ഈ രണ്ട് ബന്ധങ്ങളും തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ, സിദ്ധാന്തം വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തവുമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, ഈ സംഖ്യകൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണെന്ന് നിഗമനം ചെയ്യുന്നു. ഒരു ബന്ധമെങ്കിലും തൃപ്തികരമല്ലെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യകൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളല്ല. കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ പരിശോധിക്കാൻ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഈ സമീപനം ഉപയോഗിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

സംഖ്യകളുടെ ജോഡികളിൽ ഏതാണ് 1) x 1 =-5, x 2 =3, അല്ലെങ്കിൽ 2) അല്ലെങ്കിൽ 3) 4 x 2 -16 x+9=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ജോടി വേരുകളാണ്?

പരിഹാരം.

നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 4 x 2 -16 x+9=0 ഗുണകങ്ങൾ a=4, b=−16, c=9 എന്നിവയാണ്. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക −b/a, അതായത് 16/4=4, വേരുകളുടെ ഗുണനം c/a, അതായത് 9 എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കണം. /4.

ഇപ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂന്ന് ജോഡികളിലെയും അക്കങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും ഗുണനവും നമുക്ക് കണക്കാക്കാം, അവ ഇപ്പോൾ ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാം.

ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ നമുക്ക് x 1 +x 2 =−5+3=−2 ഉണ്ട്. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം 4-ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്‌തമാണ്, അതിനാൽ കൂടുതൽ പരിശോധന നടത്താൻ കഴിയില്ല, പക്ഷേ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന് വിപരീത സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, ആദ്യ ജോടി സംഖ്യകൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ജോടി വേരുകളല്ലെന്ന് ഒരാൾക്ക് ഉടൻ നിഗമനം ചെയ്യാം.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ കേസിലേക്ക് പോകാം. ഇവിടെ, അതായത്, ആദ്യത്തെ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കപ്പെടുന്നു. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ അവസ്ഥ പരിശോധിക്കുന്നു: തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം 9/4 ൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. തൽഫലമായി, രണ്ടാമത്തെ ജോഡി സംഖ്യകൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു ജോടി വേരുകളല്ല.

അവസാനമായി ഒരു കേസ് കൂടി ബാക്കിയുണ്ട്. ഇവിടെയും . രണ്ട് വ്യവസ്ഥകളും പാലിക്കപ്പെടുന്നു, അതിനാൽ ഈ സംഖ്യകൾ x 1, x 2 എന്നിവ തന്നിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്.

ഉത്തരം:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സംഭാഷണം പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കാം. സാധാരണയായി, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യ ഗുണകങ്ങളുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യ വേരുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം മറ്റ് സന്ദർഭങ്ങളിൽ ഇത് ചെയ്യുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച് എടുത്താൽ, ഈ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യകൾ ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ. ഒരു ഉദാഹരണത്തിലൂടെ ഇത് മനസ്സിലാക്കാം.

x 2 -5 x+6=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എടുക്കാം. x 1, x 2 എന്നീ സംഖ്യകൾ ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാകണമെങ്കിൽ, രണ്ട് തുല്യതകൾ പാലിക്കേണ്ടതുണ്ട്: x 1 + x 2 =5, x 1 · x 2 =6. അത്തരം നമ്പറുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ മാത്രമേ ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽഇത് ചെയ്യുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്: 2+3=5, 2·3=6 മുതൽ അത്തരം സംഖ്യകൾ 2 ഉം 3 ഉം ആണ്. അങ്ങനെ, 2 ഉം 3 ഉം ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന് വിപരീതമായ സിദ്ധാന്തം, ഒരു വേരുകൾ ഇതിനകം അറിയപ്പെടുകയോ വ്യക്തമാകുകയോ ചെയ്യുമ്പോൾ, കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് കണ്ടെത്താൻ ഉപയോഗിക്കാൻ വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഏതെങ്കിലും ബന്ധങ്ങളിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് കണ്ടെത്താനാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് 512 x 2 -509 x -3=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എടുക്കാം. ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ, ഏകത്വമാണ് സമവാക്യത്തിൻ്റെ മൂലമെന്ന് ഇവിടെ കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. അതിനാൽ x 1 =1. രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് x 2 കണ്ടെത്താം, ഉദാഹരണത്തിന്, x 1 ·x 2 =c/a എന്ന ബന്ധത്തിൽ നിന്ന്. നമുക്ക് 1 x 2 =−3/512 ഉണ്ട്, അതിൽ നിന്ന് x 2 =-3/512. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ രണ്ട് വേരുകളും ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിച്ചത് ഇങ്ങനെയാണ്: 1, −3/512.

വേരുകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് ഏറ്റവും ലളിതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ മാത്രം ഉചിതമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. മറ്റ് സന്ദർഭങ്ങളിൽ, വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഒരു വിവേചനത്തിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾക്കായി ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാം.

മറ്റൊന്ന് പ്രായോഗിക ഉപയോഗംവിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തവുമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്ന സിദ്ധാന്തം, x 1, x 2 എന്നീ വേരുകൾ നൽകി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ രചിക്കുന്നതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിപരീത ചിഹ്നത്തോടുകൂടിയ x ൻ്റെ ഗുണകവും സ്വതന്ത്ര പദം നൽകുന്ന വേരുകളുടെ ഗുണനവും നൽകുന്ന വേരുകളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കിയാൽ മതിയാകും.

ഉദാഹരണം.

−11 ഉം 23 ഉം ഉള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എഴുതുക.

പരിഹാരം.

നമുക്ക് x 1 =−11, x 2 =23 എന്നിവ സൂചിപ്പിക്കാം. ഈ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയും ഉൽപ്പന്നവും ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു: x 1 +x 2 =12, x 1 ·x 2 =−253. അതിനാൽ, സൂചിപ്പിച്ച സംഖ്യകൾ -12 ൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകവും −253 എന്ന സ്വതന്ത്ര പദവുമുള്ള കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളാണ്. അതായത്, x 2 −12·x−253=0 ആണ് ആവശ്യമായ സമവാക്യം.

ഉത്തരം:

x 2 −12·x−253=0 .

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം x 2 +p·x+q=0 എന്ന ചുരുക്കിയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങളുമായി എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു? പ്രസക്തമായ രണ്ട് പ്രസ്താവനകൾ ഇതാ:

• സ്വതന്ത്ര പദം q ആണെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് നമ്പർഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ, അവ രണ്ടും പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ആണ്.
• സ്വതന്ത്ര പദം q ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുമുണ്ടെങ്കിൽ, അവയുടെ അടയാളങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണ്, മറ്റൊരു രീതിയിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു റൂട്ട് പോസിറ്റീവ് ആണ്, മറ്റൊന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണ്.

ഈ പ്രസ്താവനകൾ x 1 · x 2 =q ഫോർമുലയിൽ നിന്നും പോസിറ്റീവ് ഗുണനത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങളിൽ നിന്നും പിന്തുടരുന്നു, നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾവ്യത്യസ്ത ചിഹ്നങ്ങളുള്ള അക്കങ്ങളും. അവരുടെ അപേക്ഷയുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

R അത് പോസിറ്റീവ് ആണ്. വിവേചന സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നമ്മൾ D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, r 2 +8 എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ മൂല്യം ഏതൊരു യഥാർത്ഥ r-നും പോസിറ്റീവ് ആണ്, അങ്ങനെ ഏതൊരു യഥാർത്ഥ r-നും D>0. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഏതിനും രണ്ട് വേരുകളുണ്ട് യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾപരാമീറ്റർ r.

വേരുകൾ എപ്പോഴാണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങൾ. വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആണ്, കൂടാതെ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, r−1 എന്ന സ്വതന്ത്ര പദം നെഗറ്റീവ് ആയ r ൻ്റെ മൂല്യങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള r ൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമാണ് തീരുമാനിക്കുക രേഖീയ അസമത്വം r−1<0 , откуда находим r<1 .

ഉത്തരം:

r ൽ<1 .

വിയറ്റ ഫോർമുലകൾ

മുകളിൽ ഞങ്ങൾ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനായുള്ള വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുകയും അത് ഉറപ്പിക്കുന്ന ബന്ധങ്ങളെ വിശകലനം ചെയ്യുകയും ചെയ്തു. എന്നാൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്, മാത്രമല്ല ക്യൂബിക് സമവാക്യങ്ങൾ, നാലാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ, പൊതുവേ, ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾബിരുദം എൻ. അവരെ വിളിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ.

ഫോമിൻ്റെ n ഡിഗ്രിയുടെ ബീജഗണിത സമവാക്യത്തിനായി നമുക്ക് വിയറ്റ ഫോർമുല എഴുതാം, അതിന് n യഥാർത്ഥ വേരുകൾ x 1, x 2, ..., x n ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും (അവയിൽ യോജിച്ചവ ഉണ്ടാകാം):

വിയറ്റയുടെ ഫോർമുലകൾ ലഭിക്കും ഒരു പോളിനോമിയലിനെ രേഖീയ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് വിഘടിപ്പിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം, അതുപോലെ തുല്യ ബഹുപദങ്ങളുടെ നിർവചനം അവയുടെ എല്ലാ അനുബന്ധ ഗുണകങ്ങളുടെയും തുല്യതയിലൂടെ. അതിനാൽ പോളിനോമിയലും ഫോമിൻ്റെ രേഖീയ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് അതിൻ്റെ വികാസവും തുല്യമാണ്. അവസാന ഉൽപ്പന്നത്തിലെ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുകയും അനുബന്ധ ഗുണകങ്ങളെ തുല്യമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, ഞങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നേടുന്നു.

പ്രത്യേകിച്ചും, n=2 ന് നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഇതിനകം പരിചിതമായ വിയറ്റ ഫോർമുലകളുണ്ട്.

ഒരു ക്യൂബിക് സമവാക്യത്തിന്, വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട്

വിയറ്റയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഇടതുവശത്ത് പ്രാഥമികമെന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ഉണ്ടെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. സമമിതി ബഹുപദങ്ങൾ.

ഗ്രന്ഥസൂചിക.

• ബീജഗണിതം:പാഠപുസ്തകം എട്ടാം ക്ലാസിന്. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസം സ്ഥാപനങ്ങൾ / [യു. എൻ.മകാരിചേവ്, എൻ.ജി.മിൻഡ്യൂക്ക്, കെ.ഐ.നെഷ്കോവ്, എസ്.ബി.സുവോറോവ]; മാറ്റം വരുത്തിയത് എസ്.എ. ടെലിയാക്കോവ്സ്കി. - 16-ാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2008. - 271 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• മൊർഡ്കോവിച്ച് എ.ജി.ബീജഗണിതം. എട്ടാം ക്ലാസ്. 2 മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ ഭാഗം 1. പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങളുടെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പാഠപുസ്തകം / A. G. Mordkovich. - 11-ാം പതിപ്പ്, മായ്‌ച്ചു. - എം.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• ബീജഗണിതംഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ തുടക്കവും. പത്താം ക്ലാസ്: പാഠപുസ്തകം. പൊതുവിദ്യാഭ്യാസത്തിന് സ്ഥാപനങ്ങൾ: അടിസ്ഥാനവും പ്രൊഫൈലും. ലെവലുകൾ / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; മാറ്റം വരുത്തിയത് A. B. Zhizhchenko. - മൂന്നാം പതിപ്പ്. - എം.: വിദ്യാഭ്യാസം, 2010.- 368 പേ. : അസുഖം. - ISBN 978-5-09-022771-1.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ (ax² + bx + c = 0 എന്ന രൂപത്തിൻ്റെ സമവാക്യങ്ങൾ, ഇവിടെ a, b, c എന്നിവ ഏകപക്ഷീയ സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ a ? 0) പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ആവശ്യമായ ഘട്ടങ്ങളിലൊന്നാണ്. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പിന്തുണ.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

1. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ax² + bx + c = 0 ആയി എഴുതുക ഉദാഹരണം: പ്രാരംഭ സമവാക്യം: 12 + x² = 8x ശരിയായി എഴുതിയ സമവാക്യം: x² - 8x + 12 = 0

2. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുക, അതനുസരിച്ച് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക എതിർ ചിഹ്നത്തിൽ എടുത്ത “ബി” എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും, കൂടാതെ അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം “സി” എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കും ഉദാഹരണം: പരിഗണനയിലുള്ള സമവാക്യത്തിൽ , b = -8, c = 12, യഥാക്രമം: x1 + x2 =8×1∗x2=12

3. സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾ ശരിയാണോ അതോ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളാണോ എന്ന് കണ്ടെത്തുക. ഉൽപ്പന്നവും വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാണെങ്കിൽ, എല്ലാ റൂട്ടുകളും സാധുവായ സംഖ്യയാണ്. വേരുകളുടെ ഗുണനം ക്രമവും വേരുകളുടെ ആകെത്തുക ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുമാണെങ്കിൽ, രണ്ട് വേരുകളും നെഗറ്റീവ് ആണ്. വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ഒരു റൂട്ടിന് “+” ചിഹ്നമുണ്ട്, മറ്റൊന്നിന് “-” ചിഹ്നമുണ്ട്, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഒരു അധിക നിയമം ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്: “വേരുകളുടെ ആകെത്തുക പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ സംഖ്യ, മോഡുലസിലെ വലിയ റൂട്ട് പോസിറ്റീവ് ആണ്, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണെങ്കിൽ, ഒരു വലിയ കേവല മൂല്യമുള്ള ഒരു റൂട്ടാണ് - നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ: 8 ഉം 12 ഉം, അതായത് രണ്ട് വേരുകളും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാണ്.

4. വേരുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക. ഘടകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് തിരഞ്ഞെടുക്കൽ ആരംഭിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായിരിക്കും, തുടർന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഏതെങ്കിലും ജോടി ഘടകങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, കൂടാതെ ഈ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക ഉദാഹരണം: x1∗x2=12 അനുയോജ്യമായ ജോഡികൾ വേരുകൾ യഥാക്രമം: 12, 1, 6, 2, 4, 3 x1+x2=8 എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ജോഡികൾ പരിശോധിക്കുക. ജോഡികൾ 12 + 1 ≠ 86 + 2 = 84 + 3 ≠ 8 അതനുസരിച്ച്, സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ 6 ഉം 8 ഉം ആണ്.

ഒരു സമവാക്യം f(x,y,...)=g(x,y,..) എന്ന ഫോമിൻ്റെ തുല്യതയാണ്, ഇവിടെ f, g എന്നിവ ഒന്നോ അതിലധികമോ വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ്. ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുക എന്നതിനർത്ഥം ഈ സമത്വം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു കൂട്ടം വാദങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• ഗണിതശാസ്ത്ര അവലോകനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ്.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

1. നിങ്ങൾക്ക് ഫോമിൻ്റെ ഒരു സമവാക്യം ഉണ്ടായിരിക്കാൻ സാധ്യതയുണ്ട്: x+2=x/5. ആദ്യം, ഈ സമത്വത്തിൻ്റെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും വലത് വശത്ത് നിന്ന് ഇടത്തേക്ക് നീക്കാം, ഘടകത്തിൻ്റെ ചിഹ്നം വിപരീതമായി മാറ്റാം. ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലതുവശത്ത് ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ടാകും, അതായത്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും: x+2-x/5 = 0.

2. നമുക്ക് സമാനമായ നിബന്ധനകൾ അവതരിപ്പിക്കാം. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും: 4x/5 + 2 = 0.

3. അടുത്തതായി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന കുറച്ച സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ അജ്ഞാത പദം കണ്ടെത്തും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അത് x ആണ്. അജ്ഞാത വേരിയബിളിൻ്റെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം പ്രാരംഭ സമവാക്യത്തിൻ്റെ പരിഹാരമായിരിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ലഭിക്കും: x = -2.5.

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വീഡിയോ

കുറിപ്പ്!
പരിഹാരത്തിൻ്റെ ഫലമായി, അധിക വേരുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം. നിങ്ങൾ എല്ലാം ക്രിയാത്മകമായി പരിഹരിച്ചാലും അവ പ്രാരംഭ സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരമാകില്ല. നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്ന എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും പരിശോധിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക.

സഹായകരമായ ഉപദേശം
അജ്ഞാതർക്കായി എല്ലായ്പ്പോഴും ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ പരിശോധിക്കുക. ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം പ്രാരംഭ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ ഇത് ചെയ്യാനാകും. സമത്വം ശരിയാണെങ്കിൽ, പരിഹാരം ശരിയാണ്.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം bx2+cx+d=0 എന്ന തരത്തിലുള്ള ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളും (x1, x2) എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളും (b, c, d) തമ്മിൽ നേരിട്ടുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുന്നു. ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സഹായത്തോടെ, വേരുകളുടെ അർത്ഥം നിർണ്ണയിക്കാതെ, ധൈര്യത്തോടെ പറഞ്ഞാൽ, മനസ്സിൽ അവയുടെ തുക കണക്കാക്കാൻ കഴിയും. ഇതിൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമൊന്നുമില്ല, പ്രധാന കാര്യം ചില നിയമങ്ങൾ അറിയുക എന്നതാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• - കാൽക്കുലേറ്റർ;
• - കുറിപ്പുകൾക്കുള്ള പേപ്പർ.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

1. പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരിക, അങ്ങനെ എല്ലാ ഘാതങ്ങളും അവരോഹണ ക്രമത്തിലായിരിക്കും, അതായത്, ആദ്യം ഉയർന്ന ഡിഗ്രി x2 ആണ്, അവസാനം പൂജ്യം ഡിഗ്രി x0 ആണ്. സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും: b*x2 + c*x1 + d*x0 = b*x2 + c*x + d = 0.

2. വിവേചനക്കാരൻ്റെ നിഷേധാത്മകത പരിശോധിക്കുക. സമവാക്യത്തിന് വേരുകളുണ്ട് എന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ ഈ പരിശോധന ആവശ്യമാണ്. ഡി (വിവേചനം) ഫോം എടുക്കുന്നു: D = c2 - 4*b*d. ഇവിടെ നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്. ഡി - വിവേചനം - ശരി, അതായത് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. D പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇതിൽ നിന്ന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന് പിന്തുടരുന്നു, പക്ഷേ അത് ഇരട്ടയാണ്, അതായത് x1 = x2. ഡി നെഗറ്റീവ് ആണ്, ഒരു സ്കൂൾ ബീജഗണിത കോഴ്‌സിന് ഈ അവസ്ഥ അർത്ഥമാക്കുന്നത് വേരുകളില്ല, ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് വേരുകളുണ്ട്, പക്ഷേ അവ സങ്കീർണ്ണമാണ്.

3. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക നിർണ്ണയിക്കുക. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, ഇത് ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാണ്: b*x2+c*x+d = 0. സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക “–c” ന് നേരിട്ട് ആനുപാതികവും “b” എന്ന ഘാതത്തിന് വിപരീത അനുപാതവുമാണ്. അതായത്, x1+x2 = -c/b. ഫോർമുലേഷൻ അനുസരിച്ച് വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം നിർണ്ണയിക്കുക - ഒരു സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം "d" ന് നേരിട്ട് ആനുപാതികവും "b" സൂചകത്തിന് വിപരീത അനുപാതവുമാണ്: x1*x2 = d/b.

കുറിപ്പ്!
നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നിഷേധാത്മക വിവേചനം ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന് ഇതിനർത്ഥമില്ല. ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയാണ്. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തവും ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ബാധകമാണ്, എന്നാൽ അതിൻ്റെ രൂപം ചെറുതായി മാറും: [-c+(-i)*(-c2 + 4*b*d)0.5]/ = x1,2

സഹായകരമായ ഉപദേശം
നിങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കുന്നത് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമല്ല, മറിച്ച് n: b0*xn + b1*xn-1 +.....+ bn = 0 എന്ന ക്യൂബിക് അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യം ആണെങ്കിൽ, വേരുകളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ ഉൽപ്പന്നം കണക്കാക്കുക. സമവാക്യം, നിങ്ങൾക്ക് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ശരിയായി ഉപയോഗിക്കാം :1. –b1/b0 = x1 + x2 + x3 +….+ xn,2. b2/b0 = x1*x2+….+xn-1*xn,3. (-1)n * (bn/b0) = x1*x2*x3*….*xn.

ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ശരിയായ തുല്യത ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സംഖ്യയെ റൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വേരുകൾ പതിവ്, നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യം ആകാം. സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഓരോ സെറ്റ് വേരുകളിലും, പരമാവധി, മിനിമം എന്നിവ വേർതിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

നിർദ്ദേശങ്ങൾ

1. സമവാക്യത്തിൻ്റെ എല്ലാ വേരുകളും കണ്ടെത്തുക, അവയിൽ ഒന്ന് ഉണ്ടെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുക. നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 2x?-3x+1=0 നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് പറയാം. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുക: x(1,2)=/2=/2=/2, തുടർന്ന് x1=2, x2=1. അവയിൽ നെഗറ്റീവ് ഒന്നുമില്ലെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്.

2. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. ഈ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, x1+x1=-b, x1?x2=c, ഇവിടെ b, c എന്നിവ യഥാക്രമം x?+bx+c=0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ എക്‌സ്‌പോണൻ്റുകളാണ്. ഈ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുന്നതിലൂടെ, വിവേചനപരമായ b?-4ac കണക്കാക്കാതിരിക്കാൻ കഴിയും, ഇത് ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ പ്രശ്നത്തെ ഗണ്യമായി ലഘൂകരിക്കും.

3. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ x-ലെ ഘാതം തുല്യമാണെങ്കിൽ, വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങൾക്ക് പ്രധാനമല്ല, ചുരുക്കിയ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിക്കാം. അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം x(1,2)=[-b±?(b?-4ac)]/2a പോലെയാണെങ്കിൽ, ചുരുക്കിയ രൂപത്തിൽ അത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുന്നു: x(1,2)=[-b/2 ±?( b?/4-ac)]/a. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ ഡമ്മി പദം ഇല്ലെങ്കിൽ, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് x നീക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഇടയ്ക്കിടെ ഇടത് വശം ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ചതുരത്തിലേക്ക് മടക്കിക്കളയുന്നു: x?+2x+1=(x+1)?.

4. ഒരു സംഖ്യ മാത്രമല്ല, ഒരു കൂട്ടം പരിഹാരങ്ങളും നൽകുന്ന തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്. നമുക്ക് ത്രികോണമിതി സമവാക്യങ്ങൾ പറയാം. അതിനാൽ, 2sin?(2x)+5sin(2x)-3=0 എന്ന സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഫലം x=?/4+?k ആയിരിക്കും, ഇവിടെ k ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. അതായത്, k എന്ന പരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ആർഗ്യുമെൻ്റ് x തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തും.

5. ത്രികോണമിതി പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, നിങ്ങൾ എല്ലാ നെഗറ്റീവ് റൂട്ടുകളും അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് വേരുകളിൽ ഏറ്റവും ഉയർന്നത് കണ്ടെത്തേണ്ടതായി വന്നേക്കാം. അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ലോജിക്കൽ റീസണിംഗ് അല്ലെങ്കിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര ഇൻഡക്ഷൻ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. x=?/4+?k എന്ന പദപ്രയോഗത്തിൽ k എന്നതിനായുള്ള ചില പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യങ്ങൾ പ്ലഗ് ചെയ്ത് ആർഗ്യുമെൻ്റ് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് നിരീക്ഷിക്കുക. വഴിയിൽ, മുമ്പത്തെ സമവാക്യത്തിലെ ഏറ്റവും വലിയ നെഗറ്റീവ് റൂട്ട് k=1 ഉള്ള x=-3?/4 ആയിരിക്കും.

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വീഡിയോ

കുറിപ്പ്!
ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഒരു പതിപ്പ് ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു, അതിൽ a=1. ഒരേ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, a&ne 1, നിങ്ങൾ ഒരു സഹായ സമവാക്യം സൃഷ്ടിക്കേണ്ടതുണ്ട്, "a" ഏകതയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു.

സഹായകരമായ ഉപദേശം
വേരുകൾ വേഗത്തിൽ കണ്ടെത്തുന്നതിന് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുക. കുറിപ്പുകൾ എടുക്കാതെ നിങ്ങളുടെ തലയിൽ ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കണമെങ്കിൽ ഇത് സഹായിക്കും.

മുകളിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ഗുണനം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്.

(ഓർക്കുക: കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ആദ്യ ഗുണകം 1 ആയ ഒരു സമവാക്യമാണ്).

വിശദീകരണം:

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം അനുവദിക്കുക കോടാലി 2+bx +സി= 0 ന് വേരുകളുണ്ട് എക്സ് 1 ഒപ്പം എക്സ് 2. തുടർന്ന്, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്:

ഉദാഹരണം 1:

തന്നിരിക്കുന്ന x 2 – 7x + 10 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് 2 ഉം 5 ഉം വേരുകളുണ്ട്.

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക 7 ഉം ഉൽപ്പന്നം 10 ഉം ആണ്.

ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിൽ, രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം -7 ആണ്, സ്വതന്ത്ര പദം 10 ആണ്.

അങ്ങനെ, വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാൻ കഴിയുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഉണ്ട് - മാത്രമല്ല, അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ അവ കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിലും അടുത്ത ഉദാഹരണത്തിലും ഇത് സ്ഥിരീകരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഉദാഹരണം 2. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എക്സ് 2 – 2എക്സ് – 24 = 0.

പരിഹാരം .

ഞങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുകയും രണ്ട് ഐഡൻ്റിറ്റികൾ എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു:

എക്സ് 1 · എക്സ് 2 = –24

എക്സ് 1 + എക്സ് 2 = 2

-24-നായി ഞങ്ങൾ അത്തരം ഘടകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അങ്ങനെ അവയുടെ ആകെത്തുക 2 ന് തുല്യമാണ്. കുറച്ച് ആലോചിച്ച ശേഷം, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: 6 ഉം –4 ഉം. നമുക്ക് പരിശോധിക്കാം:

6 · (– 4) = –24.

6 + (– 4) = 6 – 4 = 2.

നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചതുപോലെ, പ്രായോഗികമായി, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സാരാംശം നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിലെ സ്വതന്ത്ര പദത്തെ വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമായ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുക എന്നതാണ്. ഈ ഘടകങ്ങൾ വേരുകളായിരിക്കും.

ഇതിനർത്ഥം നമ്മുടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ 6 ഉം –4 ഉം ആണെന്നാണ്.

ഉത്തരം: എക്സ് 1 = 6, എക്സ് 2 = –4.

ഉദാഹരണം 3. നമുക്ക് 3x 2 + 2x – 5 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം.

ഇവിടെ നമ്മൾ ഒരു കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നില്ല. എന്നാൽ അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ അവയുടെ ഗുണകങ്ങൾ സന്തുലിതമാണെങ്കിൽ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാനും കഴിയും - ഉദാഹരണത്തിന്, ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഗുണകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തേതിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ.

പരിഹാരം .

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ സമതുലിതമാണ്: ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തേതിന് തുല്യമാണ്:

3 + (–5) = –2.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന് അനുസൃതമായി

x 1 + x 2 = –2/3
x 1 x 2 = –5/3.

നമുക്ക് രണ്ട് സംഖ്യകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അതിൻ്റെ ആകെത്തുക –2/3 ഉം ഉൽപ്പന്നം –5/3 ഉം ആണ്. ഈ സംഖ്യകൾ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകളായിരിക്കും.

ആദ്യ സംഖ്യ ഉടനടി ഊഹിക്കപ്പെടുന്നു: അത് 1 ആണ്. എല്ലാത്തിനുമുപരി, x = 1 ആകുമ്പോൾ, സമവാക്യം ഏറ്റവും ലളിതമായ സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും ആയി മാറുന്നു:
3 + 2 – 5 = 0. രണ്ടാമത്തെ റൂട്ട് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?
നമുക്ക് 1-നെ 3/3 ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, അതിലൂടെ എല്ലാ സംഖ്യകൾക്കും ഒരേ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉണ്ടായിരിക്കും: അത് അങ്ങനെയാണ്. കൂടാതെ തുടർ നടപടികൾ ഉടനടി ഉണ്ടാകുന്നു. x 1 = 3/3 ആണെങ്കിൽ:

3/3 + x 2 = –2/3.

നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം:

x 2 = –2/3 – 3/3.

ഉത്തരം: x 1 = 1; x 2 = –5/3

ഉദാഹരണം 4: ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 7 പരിഹരിക്കുക x 2 – 6x – 1 = 0.

പരിഹാരം:

ഒരു റൂട്ട് ഉടനടി വെളിപ്പെടുന്നു - അത് നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ പിടിച്ചുപറ്റുന്നു: എക്സ് 1 = 1 (കാരണം ലളിതമായ ഗണിതം മാറുന്നു: 7 - 6 - 1 = 0).

സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ സമതുലിതമാണ്: ആദ്യത്തേയും മൂന്നാമത്തേയും ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തേതിന് തുല്യമാണ്:
7 + (– 1) = 6.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തിന് അനുസൃതമായി, ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഐഡൻ്റിറ്റികൾ നിർമ്മിക്കുന്നു (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അവയിലൊന്ന് മതിയാകും):

എക്സ് 1 · എക്സ് 2 = –1/7
എക്സ് 1 + എക്സ് 2 = 6/7

ഈ രണ്ട് എക്‌സ്‌പ്രഷനുകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നിലേക്ക് x 1 മൂല്യം മാറ്റി x 2 കണ്ടെത്തുക:

എക്സ് 2 = –1/7: 1 = –1/7

ഉത്തരം: എക്സ് 1 = 1; എക്സ് 2 = –1/7

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം.

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം ഒരു പൊതു സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചോ ലളിതമാക്കിയ ഒന്നിലൂടെയോ കണക്കാക്കാം:

ചെയ്തത്D = 0, മുകളിലുള്ള സമവാക്യത്തിൻ്റെ വേരുകൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം:

എങ്കിൽ ഡി< 0, то уравнение не имеет корней.

D = 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.

D > 0 ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.