5x (x - 4) = 0

5 x = 0 vai x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Iemācījies atrisināt pirmās pakāpes vienādojumus, protams, jūs vēlaties strādāt ar citiem, jo ​​īpaši ar otrās pakāpes vienādojumiem, kurus citādi sauc par kvadrātvienādojumiem.

Kvadrātvienādojumi ir vienādojumi, piemēram, ax² + bx + c = 0, kur mainīgais ir x, skaitļi ir a, b, c, kur a nav vienāds ar nulli.

Ja kvadrātvienādojumā viens vai otrs koeficients (c vai b) ir vienāds ar nulli, tad šis vienādojums tiks klasificēts kā nepilnīgs kvadrātvienādojums.

Kā atrisināt nepilnu kvadrātvienādojumu, ja studenti līdz šim ir spējuši atrisināt tikai pirmās pakāpes vienādojumus? Apsveriet nepilnīgus kvadrātvienādojumus dažādi veidi un vienkārši veidi, kā tos atrisināt.

a) Ja koeficients c ir vienāds ar 0 un koeficients b nav vienāds ar nulli, tad ax ² + bx + 0 = 0 tiek reducēts uz vienādojumu formā ax ² + bx = 0.

Lai atrisinātu šādu vienādojumu, jums jāzina nepilnīga kvadrātvienādojuma risināšanas formula, kas ir: kreisā puse faktorizēt to un vēlāk izmantot nosacījumu, ka produkts ir vienāds ar nulli.

Piemēram, 5x² - 20x = 0. Mēs faktorējam vienādojuma kreiso pusi, veicot parasto matemātiskā darbība: kopējā koeficienta pārvietošana no iekavām

5x (x - 4) = 0

Mēs izmantojam nosacījumu, ka produkti ir vienādi ar nulli.

5 x = 0 vai x - 4 = 0

Atbilde būs: pirmā sakne ir 0; otrā sakne ir 4.

b) Ja b = 0 un brīvais loceklis nav vienāds ar nulli, tad vienādojums ax ² + 0x + c = 0 tiek reducēts uz vienādojumu formā ax ² + c = 0. Vienādojumus risina divos veidos. : a) faktorējot vienādojuma polinomu kreisajā pusē ; b) izmantojot aritmētikas īpašības kvadrātsakne. Šādu vienādojumu var atrisināt, izmantojot vienu no metodēm, piemēram:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Atbilde būs: pirmā sakne ir 5/2; otrā sakne ir vienāda ar - 5/2.

c) Ja b ir vienāds ar 0 un c ir vienāds ar 0, tad ax ² + 0 + 0 = 0 tiek reducēts uz vienādojumu formā ax ² = 0. Šādā vienādojumā x būs vienāds ar 0.

Kā redzat, nepilnīgiem kvadrātvienādojumiem var būt ne vairāk kā divas saknes.

Kvadrātvienādojumi bieži parādās, risinot dažādus fizikas un matemātikas uzdevumus. Šajā rakstā mēs aplūkosim, kā šīs vienlīdzības atrisināt universālā veidā “izmantojot diskriminantu”. Rakstā sniegti arī iegūto zināšanu izmantošanas piemēri.

Par kādiem vienādojumiem mēs runāsim?

Zemāk esošajā attēlā parādīta formula, kurā x ir nezināms mainīgais un latīņu simboli a, b, c apzīmē dažus zināmus skaitļus.

Katru no šiem simboliem sauc par koeficientu. Kā redzat, skaitlis "a" parādās pirms mainīgā x kvadrātā. Šī ir attēlotās izteiksmes maksimālā jauda, ​​tāpēc to sauc par kvadrātvienādojumu. Bieži tiek izmantots arī cits tā nosaukums: otrās kārtas vienādojums. Pati vērtība a ir kvadrātveida koeficients (stāv ar mainīgo kvadrātā), b ir lineārais koeficients (tas atrodas blakus mainīgajam, kas pacelts līdz pirmajai pakāpei), un, visbeidzot, skaitlis c ir brīvais termins.

Ņemiet vērā, ka attēlā redzamais vienādojuma veids ir vispārīga klasiska kvadrātiskā izteiksme. Papildus tam ir arī citi otrās kārtas vienādojumi, kuros koeficienti b un c var būt nulle.

Kad uzdevums ir uzstādīts, lai atrisinātu attiecīgo vienādību, tas nozīmē, ka ir jāatrod tādas mainīgā x vērtības, kas to apmierinātu. Šeit pirmā lieta, kas jums jāatceras, ir šāda: tā kā X maksimālā pakāpe ir 2, tad šāda veida izteiksmei nevar būt vairāk par 2 risinājumiem. Tas nozīmē, ka, ja, risinot vienādojumu, tiek atrastas 2 x vērtības, kas to apmierina, tad varat būt pārliecināts, ka nav 3. skaitļa, aizstājot to ar x, arī vienādība būtu patiesa. Vienādojuma atrisinājumus matemātikā sauc par tā saknēm.

Otrās kārtas vienādojumu risināšanas metodes

Lai atrisinātu šāda veida vienādojumus, ir jāzina kāda teorija par tiem. IN skolas kurss algebras uzskata 4 dažādas metodes risinājumus. Uzskaitīsim tos:

• izmantojot faktorizēšanu;
• izmantojot ideāla kvadrāta formulu;
• pielietojot atbilstošās kvadrātfunkcijas grafiku;
• izmantojot diskriminanta vienādojumu.

Pirmās metodes priekšrocība ir tās vienkāršība, taču to nevar izmantot visiem vienādojumiem. Otrā metode ir universāla, bet nedaudz apgrūtinoša. Trešā metode atšķiras ar tās skaidrību, taču tā ne vienmēr ir ērta un piemērojama. Un visbeidzot, diskriminējošā vienādojuma izmantošana ir universāls un diezgan vienkāršs veids, kā atrast absolūti jebkura otrās kārtas vienādojuma saknes. Tāpēc šajā rakstā mēs apsvērsim tikai to.

Formula vienādojuma sakņu iegūšanai

Pievērsīsimies vispārējais izskats kvadrātvienādojums. Pierakstīsim: a*x²+ b*x + c =0. Pirms izmantot metodi, lai to atrisinātu “izmantojot diskriminantu”, jums vienmēr ir jāievieš vienlīdzība tās rakstiskajā formā. Tas ir, tam jāsastāv no trim vārdiem (vai mazāk, ja b vai c ir 0).

Piemēram, ja ir izteiksme: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², tad vispirms ir jāpārvieto visi tās noteikumi uz vienu vienādības pusi un jāpievieno termini, kas satur mainīgo x. tās pašas pilnvaras.

IN šajā gadījumāšī darbība novedīs pie šādas izteiksmes: -6*x²-4*x+8=0, kas ir ekvivalents vienādojumam 6*x²+4*x-8=0 (šeit mēs reizinām kreiso un labo pusi vienlīdzība ar -1).

Iepriekš minētajā piemērā a = 6, b = 4, c = -8. Ņemiet vērā, ka visi aplūkojamās vienādības termini vienmēr tiek summēti kopā, tāpēc, ja parādās zīme “-”, tas nozīmē, ka attiecīgais koeficients ir negatīvs, tāpat kā šajā gadījumā skaitlis c.

Izpētījuši šo punktu, pāriesim pie pašas formulas, kas ļauj iegūt kvadrātvienādojuma saknes. Tas izskatās kā tas, kas parādīts zemāk esošajā fotoattēlā.

Kā redzams no šī izteiciena, tas ļauj iegūt divas saknes (pievērsiet uzmanību zīmei “±”). Lai to izdarītu, pietiek ar to aizstāt koeficientus b, c un a.

Diskriminanta jēdziens

Iepriekšējā rindkopā tika dota formula, kas ļauj ātri atrisināt jebkuru otrās kārtas vienādojumu. Tajā radikālo izteiksmi sauc par diskriminantu, tas ir, D = b²-4*a*c.

Kāpēc šī formulas daļa ir izcelta, un tā pat ir īstais vārds? Fakts ir tāds, ka diskriminants savieno visus trīs vienādojuma koeficientus vienā izteiksmē. Pēdējais fakts nozīmē, ka tas pilnībā satur informāciju par saknēm, ko var izteikt šādā sarakstā:

1. D>0: Vienādībai ir 2 dažādi risinājumi, kuri abi ir reāli skaitļi.
2. D=0: vienādojumam ir tikai viena sakne, un tas ir reāls skaitlis.

Diskriminantu noteikšanas uzdevums

Sniegsim vienkāršu piemēru, kā atrast diskriminantu. Pieņemsim šādu vienādību: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Ņemsim to uz standarta formu, iegūstam: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, no kā mēs nonākam pie vienādības : -2*x² +2*x-11 = 0. Šeit a=-2, b=2, c=-11.

Tagad varat izmantot iepriekš minēto formulu diskriminantam: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Iegūtais skaitlis ir atbilde uz uzdevumu. Tā kā piemērā diskriminants mazāks par nulli, tad mēs varam teikt, ka šim kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu. Tā risinājums būs tikai kompleksa tipa skaitļi.

Piemērs nevienlīdzībai, izmantojot diskriminantu

Atrisināsim nedaudz cita veida uzdevumus: pie vienādības -3*x²-6*x+c = 0. Jāatrod c vērtības, kurām D>0.

Šajā gadījumā ir zināmi tikai 2 no 3 koeficientiem, tāpēc nav iespējams precīzi aprēķināt diskriminanta vērtību, taču ir zināms, ka tā ir pozitīva. Sastādot nevienlīdzību, mēs izmantojam pēdējo faktu: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Atrisinot iegūto nevienādību, tiek iegūts rezultāts: c>-3.

Pārbaudīsim iegūto skaitli. Lai to izdarītu, mēs aprēķinām D 2 gadījumiem: c=-2 un c=-4. Skaitlis -2 apmierina iegūto rezultātu (-2>-3), atbilstošajam diskriminantam būs vērtība: D = 12>0. Savukārt skaitlis -4 neapmierina nevienādību (-4. Tādējādi visi skaitļi c, kas ir lielāki par -3, apmierinās nosacījumu.

Vienādojuma risināšanas piemērs

Iesniegsim problēmu, kas ietver ne tikai diskriminanta atrašanu, bet arī vienādojuma atrisināšanu. Ir jāatrod saknes vienādībai -2*x²+7-9*x = 0.

Šajā piemērā diskriminants ir nākamā vērtība: D = 81-4*(-2)*7= 137. Tad vienādojuma saknes noteiks šādi: x = (9±√137)/(-4). Šīs ir precīzas sakņu vērtības, ja jūs aprēķināt sakni, tad iegūstat skaitļus: x = -5,176 un x = 0,676.

Ģeometriskā problēma

Risināsim uzdevumu, kas prasīs ne tikai spēju aprēķināt diskriminantu, bet arī izmantot abstraktās domāšanas prasmes un zināšanas, kā rakstīt kvadrātvienādojumus.

Bobam bija 5x4 metru sega. Zēns gribēja uzšūt vienlaidu strēmeli skaists audums. Cik bieza būs šī sloksne, ja mēs zinām, ka Bobam ir 10 m² auduma.

Ļaujiet sloksnei būt x m biezai, tad auduma laukums ir garā puse sega būs (5+2*x)*x, un tā kā ir 2 garās malas, mums ir: 2*x*(5+2*x). Īsajā pusē šūtā auduma laukums būs 4*x, jo ir 2 no šīm pusēm, mēs iegūstam vērtību 8*x. Ņemiet vērā, ka garajai pusei tika pievienots 2*x, jo segas garums palielinājās par šo skaitli. Pie segas piešūtā auduma kopējā platība ir 10 m². Tādējādi mēs iegūstam vienādību: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Šajā piemērā diskriminants ir vienāds ar: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Tā sakne ir 22. Izmantojot formulu, atrodam vajadzīgās saknes: x = (-18±22)/( 2*4) = (-5; 0,5). Acīmredzot no abām saknēm tikai skaitlis 0,5 ir piemērots atbilstoši problēmas apstākļiem.

Tādējādi auduma sloksne, ko Bobs piešuj pie savas segas, būs 50 cm plata.

Nepilns kvadrātvienādojums atšķiras no klasiskajiem (pilnajiem) vienādojumiem ar to, ka tā faktori vai brīvais loceklis ir vienāds ar nulli. Šādu funkciju grafiki ir parabolas. Atkarībā no vispārējā izskata tos iedala 3 grupās. Visu veidu vienādojumu risināšanas principi ir vienādi.

Nepabeigta polinoma veida noteikšanā nav nekā sarežģīta. Vislabāk ir apsvērt galvenās atšķirības, izmantojot vizuālus piemērus:

1. Ja b = 0, tad vienādojums ir ax 2 + c = 0.
2. Ja c = 0, tad jāatrisina izteiksme ax 2 + bx = 0.
3. Ja b = 0 un c = 0, tad polinoms pārvēršas par vienādību, piemēram, ax 2 = 0.

Pēdējais gadījums ir vairāk teorētiska iespēja un nekad nenotiek zināšanu pārbaudes uzdevumos, jo vienīgā pareizā mainīgā x vērtība izteiksmē ir nulle. Nākotnē tiks aplūkotas 1) un 2) tipa nepilno kvadrātvienādojumu risināšanas metodes un piemēri.

Vispārējs algoritms mainīgo meklēšanai un piemēri ar risinājumiem

Neatkarīgi no vienādojuma veida risinājuma algoritms tiek samazināts līdz šādiem soļiem:

1. Samaziniet izteiksmi līdz formai, kas ir ērta sakņu atrašanai.
2. Veikt aprēķinus.
3. Pierakstiet atbildi.

Vienkāršākais veids, kā atrisināt nepilnīgus vienādojumus, ir faktorēt kreiso pusi un atstāt nulli labajā pusē. Tādējādi formula nepilnīgam kvadrātvienādojumam sakņu atrašanai tiek reducēta līdz x vērtības aprēķināšanai katram no faktoriem.

Jūs varat uzzināt, kā to atrisināt tikai praksē, tāpēc apsvērsim konkrēts piemērs nepilna vienādojuma sakņu atrašana:

Kā redzat, šajā gadījumā b = 0. Faktorizēsim kreiso pusi un iegūstam izteiksmi:

4 (x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Acīmredzot reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Mainīgā lieluma x1 = 0,5 un (vai) x2 = -0,5 vērtības atbilst līdzīgām prasībām.

Lai viegli un ātri tiktu galā ar sadalīšanās uzdevumu kvadrātveida trinomāls faktoriem, atcerieties šādu formulu:

Ja izteiksmē nav brīva termina, problēma ir ievērojami vienkāršota. Pietiks tikai ar kopsaucēja atrašanu un iekavās. Skaidrības labad apsveriet piemēru, kā atrisināt nepilnīgus kvadrātvienādojumus formā ax2 + bx = 0.

Izņemsim mainīgo x no iekavām un iegūstam šādu izteiksmi:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Vadoties pēc loģikas, mēs nonākam pie secinājuma, ka x1 = 0 un x2 = -3.

Tradicionālā risināšanas metode un nepilnīgi kvadrātvienādojumi

Kas notiek, ja lietojat diskriminanta formulu un mēģināsit atrast polinoma saknes, kuru koeficienti ir vienādi ar nulli? Ņemsim piemēru no kolekcijas tipiski uzdevumi Vienotajam valsts pārbaudījumam matemātikā 2017 to risināsim, izmantojot standarta formulas un faktorizācijas metodi.

7x 2 - 3x = 0.

Aprēķināsim diskriminanta vērtību: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Izrādās, ka polinomam ir divas saknes:

Tagad atrisināsim vienādojumu, izmantojot faktoringu, un salīdzināsim rezultātus.

X ⋅ (7 x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Kā redzat, abas metodes dod vienādu rezultātu, taču vienādojuma atrisināšana ar otro metodi bija daudz vienkāršāka un ātrāka.

Vietas teorēma

Bet ko darīt ar Vietas iecienīto teorēmu? Vai šo metodi var izmantot, ja trinomāls ir nepilnīgs? Mēģināsim izprast liešanas aspektus pilnīgi vienādojumi Uz klasisks izskats ax2 + bx + c = 0.

Faktiski šajā gadījumā ir iespējams pielietot Vietas teorēmu. Atliek tikai panākt izteiksmi tās vispārīgajā formā, aizstājot trūkstošos terminus ar nulli.

Piemēram, ar b = 0 un a = 1, lai novērstu sajaukšanas iespēju, uzdevums jāraksta formā: ax2 + 0 + c = 0. Tad sakņu summas un reizinājuma attiecība un polinoma faktorus var izteikt šādi:

Teorētiskie aprēķini palīdz iepazīties ar jautājuma būtību un vienmēr prasa praktiskas iemaņas, risinot konkrēti uzdevumi. Atkal pievērsīsimies vienotā valsts eksāmena standarta uzdevumu uzziņu grāmatai un atradīsim piemērotu piemēru:

Rakstīsim izteiksmi Vjetas teorēmas piemērošanai ērtā formā:

x 2 + 0 – 16 = 0.

Nākamais solis ir izveidot nosacījumu sistēmu:

Acīmredzot kvadrātiskā polinoma saknes būs x 1 = 4 un x 2 = -4.

Tagad praktizēsim vienādojuma vispārējo formu. Ņemsim šādu piemēru: 1/4× x 2 – 1 = 0

Lai Vietas teorēmu piemērotu izteiksmei, ir jāatbrīvojas no daļskaitļa. Sareizināsim kreiso un labo pusi ar 4 un paskatīsimies uz rezultātu: x2– 4 = 0. Iegūtā vienādība ir gatava atrisināšanai ar Vietas teorēmu, taču atbildi iegūt ir daudz vienkāršāk un ātrāk, vienkārši pārvietojot c = 4 vienādojuma labajā pusē: x2 = 4.

Rezumējot, jāsaka, ka labākais veids risinājumus nepilnīgi vienādojumi ir faktorizācija, ir vienkāršākā un ātra metode. Ja sakņu meklēšanas procesā rodas grūtības, varat sazināties tradicionālā metode sakņu atrašana, izmantojot diskriminantu.

Kvadrātvienādojuma sakņu formulas. Tiek aplūkoti reālu, daudzkārtēju un sarežģītu sakņu gadījumi. Kvadrātiskā trinoma faktorēšana. Ģeometriskā interpretācija. Sakņu noteikšanas un faktoringa piemēri.

Pamatformulas

Apsveriet kvadrātvienādojumu:
(1) .
Kvadrātvienādojuma saknes(1) nosaka pēc formulām:
; .
Šīs formulas var apvienot šādi:
.
Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma saknes, tad otrās pakāpes polinomu var attēlot kā faktoru reizinājumu (faktorizētu):
.

Tālāk mēs pieņemam, ka tie ir reāli skaitļi.
Apsvērsim kvadrātvienādojuma diskriminants:
.
Ja diskriminants ir pozitīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas dažādas reālās saknes:
; .
Tad kvadrātiskā trinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.
Ja diskriminants ir vienāds ar nulli, tad kvadrātvienādojumam (1) ir divas vairākas (vienādas) reālās saknes:
.
Faktorizācija:
.
Ja diskriminants ir negatīvs, kvadrātvienādojumam (1) ir divas sarežģītas konjugāta saknes:
;
.
Šeit ir iedomātā vienība, ;
un ir sakņu reālās un iedomātās daļas:
; .
Tad

.

Grafiskā interpretācija

Ja jūs veidojat funkcijas grafiks
,
kas ir parabola, tad grafika krustošanās punkti ar asi būs vienādojuma saknes
.
Pie , grafiks krustojas ar x asi (asi) divos punktos.
Kad , grafiks pieskaras x asij vienā punktā.
Kad , grafiks nešķērso x asi.

Zemāk ir šādu grafiku piemēri.

Noderīgas formulas, kas saistītas ar kvadrātvienādojumiem

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Kvadrātvienādojuma sakņu formulas atvasināšana

Veicam transformācijas un pielietojam formulas (f.1) un (f.3):




,
Kur
; .

Tātad otrās pakāpes polinoma formulu ieguvām šādā formā:
.
Tas parāda, ka vienādojums

veikta plkst
Un .
Tas ir, un ir kvadrātvienādojuma saknes
.

Kvadrātvienādojuma sakņu noteikšanas piemēri

1. piemērs

(1.1) .

Risinājums

.
Salīdzinot ar mūsu vienādojumu (1.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminantu:
.
Tā kā diskriminants ir pozitīvs, vienādojumam ir divas reālas saknes:
;
;
.

No tā iegūstam kvadrātiskā trinoma faktorizāciju:

.

Funkcijas y = grafiks 2 x 2 + 7 x + 3 krusto x asi divos punktos.

Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas šķērso abscisu asi (asi) divos punktos:
Un .
Šie punkti ir sākotnējā vienādojuma (1.1) saknes.

Atbilde

;
;
.

2. piemērs

Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
(2.1) .

Risinājums

Uzrakstīsim kvadrātvienādojumu vispārīgā formā:
.
Salīdzinot ar sākotnējo vienādojumu (2.1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminantu:
.
Tā kā diskriminants ir nulle, vienādojumam ir divas vairākas (vienādas) saknes:
;
.

Tad trinoma faktorizācijai ir šāda forma:
.

Funkcijas y = x grafiks 2 - 4 x + 4 pieskaras x asij vienā punktā.

Uzzīmēsim funkciju
.
Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas pieskaras x asij (asij) vienā punktā:
.
Šis punkts ir sākotnējā vienādojuma (2.1) sakne. Tā kā šī sakne tiek aprēķināta divreiz:
,
tad šādu sakni parasti sauc par daudzkārtni. Tas ir, viņi uzskata, ka ir divas vienādas saknes:
.

Atbilde

;
.

3. piemērs

Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes:
(3.1) .

Risinājums

Uzrakstīsim kvadrātvienādojumu vispārīgā formā:
(1) .
Pārrakstīsim sākotnējo vienādojumu (3.1):
.
Salīdzinot ar (1), mēs atrodam koeficientu vērtības:
.
Mēs atrodam diskriminantu:
.
Diskriminants ir negatīvs, .

Tāpēc nav īstu sakņu.
;
;
.

Jūs varat atrast sarežģītas saknes:


.

Tad

Uzzīmēsim funkciju
.
Funkcijas grafiks nešķērso x asi. Īstu sakņu nav.

Atbilde

Šīs funkcijas grafiks ir parabola. Tas nekrustojas ar x asi (asi). Tāpēc nav īstu sakņu.
;
;
.