Formas kur funkcija tiek izsaukta kvadrātiskā funkcija.

Kvadrātfunkcijas grafiks - parabola.

Apskatīsim gadījumus:

I GADĪJUMS, KLASISKĀ PARABOLA

Tas ir , ,

Lai izveidotu, aizpildiet tabulu, aizstājot x vērtības formulā:

Atzīmē punktus (0;0); (1;1); (-1;1) utt. ieslēgts koordinātu plakne(jo mazāku soli mēs uzņemam x vērtības (in šajā gadījumā solis), un jo vairāk x vērtību mēs uzņemsim, jo ​​vienmērīgāka būs līkne), mēs iegūstam parabolu:

Ir viegli saprast, ka, pieņemot gadījumu , , , tas ir, mēs iegūstam parabolu, kas ir simetriska pret asi (oh). To ir viegli pārbaudīt, aizpildot līdzīgu tabulu:

II GADĪJUMS, “a” ATŠĶIRAS NO VIENĪBAS

Kas notiks, ja ņemsim , , ? Kā mainīsies parabolas uzvedība? With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

Pirmajā attēlā (skatīt augstāk) ir skaidri redzams, ka punkti no tabulas parabolai (1;1), (-1;1) tika pārveidoti par punktiem (1;4), (1;-4), tas ir, ar vienādām vērtībām katra punkta ordinātu reizina ar 4. Tas notiks ar visiem sākotnējās tabulas galvenajiem punktiem. Līdzīgi mēs domājam arī 2. un 3. attēla gadījumā.

Un kad parabola “kļūst platāka” par parabolu:

Apkoposim:

1)Koeficienta zīme nosaka zaru virzienu. With title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Absolūtā vērtība koeficients (modulis) ir atbildīgs par parabolas “izplešanos” un “saspiešanu”. Jo lielāka , jo šaurāka parabola, jo mazāka |a|, jo platāka parabola.

III LIETAS, PARĀDĀS “C”.

Tagad ievadīsim spēli (tas ir, apsvērsim gadījumu, kad), mēs apsvērsim formas parabolas. Nav grūti uzminēt (jūs vienmēr varat atsaukties uz tabulu), ka parabola virzīsies uz augšu vai uz leju pa asi atkarībā no zīmes:

IV LIETAS, PARĀDĀS “b”.

Kad parabola “atrausies” no ass un beidzot “staigās” pa visu koordinātu plakni? Kad tas pārstās būt vienāds?

Šeit, lai izveidotu parabolu, mums ir nepieciešams formula virsotnes aprēķināšanai: , .

Tātad šajā brīdī (kā punktā (0;0) jauna sistēma koordinātes) uzbūvēsim parabolu, ko jau varam izdarīt. Ja mēs nodarbojamies ar gadījumu, tad no virsotnes liekam vienu vienības segmentu pa labi, vienu uz augšu, - iegūtais punkts ir mūsu (līdzīgi solis pa kreisi, solis uz augšu ir mūsu punkts); ja mums ir darīšana, piemēram, tad no virsotnes liekam vienu vienības segmentu pa labi, divus - uz augšu utt.

Piemēram, parabolas virsotne:

Tagad galvenais ir saprast, ka šajā virsotnē mēs veidosim parabolu pēc parabolas parauga, jo mūsu gadījumā.

Konstruējot parabolu pēc virsotnes koordināšu atrašanas ļotiIr ērti ņemt vērā šādus punktus:

1) parabola noteikti izies cauri punktam . Patiešām, formulā aizstājot x=0, mēs iegūstam, ka . Tas ir, parabolas ar asi (oy) krustošanās punkta ordināta ir . Mūsu piemērā (iepriekš) parabola šķērso ordinātu punktā , jo .

2) simetrijas ass parabolas ir taisna līnija, tāpēc visi parabolas punkti būs tai simetriski. Mūsu piemērā mēs nekavējoties ņemam punktu (0; -2) un izveidojam to simetriski attiecībā pret parabolas simetrijas asi, iegūstam punktu (4; -2), caur kuru parabola izies.

3) Pielīdzinot , mēs uzzinām parabolas krustošanās punktus ar asi (oh). Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu. Atkarībā no diskriminanta mēs iegūsim vienu (, ), divus ( title="Rended by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Iepriekšējā piemērā mūsu diskriminanta sakne nav vesels skaitlis, konstruējot, mums nav lielas jēgas atrast saknes, bet mēs skaidri redzam, ka mums būs divi krustošanās punkti ar asi (oh) (kopš title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Tātad, pieņemsim to ārā

Algoritms parabolas konstruēšanai, ja tas ir norādīts formā

1) noteikt zaru virzienu (a>0 – uz augšu, a<0 – вниз)

2) mēs atrodam parabolas virsotnes koordinātas, izmantojot formulu , .

3) mēs atrodam parabolas krustošanās punktu ar asi (oy), izmantojot brīvo terminu, konstruējam punktu, kas ir simetrisks šim punktam attiecībā pret parabolas simetrijas asi (jāpiebilst, ka tas ir neizdevīgi atzīmēt punkts, piemēram, jo ​​vērtība ir liela... mēs izlaižam šo punktu...)

4) Atrastajā punktā - parabolas virsotnē (kā jaunās koordinātu sistēmas punktā (0;0)) konstruējam parabolu. If title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Atrisinot vienādojumu, atrodam parabolas krustošanās punktus ar asi (oy) (ja tie vēl nav “izgājuši uz virsmas”)

1. piemērs

2. piemērs

1. piezīme. Ja parabola mums sākotnēji ir dota formā , kur ir daži skaitļi (piemēram, ), tad to konstruēt būs vēl vienkāršāk, jo mums jau ir dotas virsotnes koordinātas. Kāpēc?

Ņemsim kvadrātveida trinomu un izolēsim tajā visu kvadrātu: Skaties, mēs sapratām, ka , . Jūs un es iepriekš saucām parabolas virsotni, tas ir, tagad, .

Piemēram, . Plaknē atzīmējam parabolas virsotni, saprotam, ka zari ir vērsti uz leju, parabola ir paplašināta (attiecībā pret ). Tas ir, mēs veicam 1. punktu; 3; 4; 5 no parabolas konstruēšanas algoritma (skatīt iepriekš).

2. piezīme. Ja parabolu uzrāda līdzīgā formā (tas ir, uzrāda kā divu lineāru faktoru reizinājumu), tad mēs uzreiz redzam parabolas krustošanās punktus ar asi (vērsis). Šajā gadījumā – (0;0) un (4;0). Pārējā daļā mēs rīkojamies saskaņā ar algoritmu, atverot iekavas.

Matemātikas stundās skolā jau esi iepazinies ar funkcijas vienkāršākajām īpašībām un grafiku y = x 2. Papildināsim savas zināšanas kvadrātiskā funkcija.

1. vingrinājums.

Grafiksējiet funkciju y = x 2. Mērogs: 1 = 2 cm Atzīmējiet punktu uz Oy ass F(0; 1/4). Izmantojot kompasu vai papīra sloksni, izmēra attālumu no punkta F uz kādu brīdi M parabolas. Pēc tam piespraudiet sloksni punktā M un pagrieziet to ap šo punktu, līdz tā ir vertikāla. Sloksnes gals nokritīs nedaudz zem x ass (1. att.). Atzīmējiet uz sloksnes, cik tālu tā sniedzas aiz x ass. Tagad paņemiet vēl vienu punktu uz parabolas un atkārtojiet mērījumu vēlreiz. Cik tālu joslas mala ir nokritusi zem x ass?

Rezultāts: neatkarīgi no tā, kuru parabolas punktu y = x 2 jūs ņemtu, attālums no šī punkta līdz punktam F(0; 1/4) būs lielāks par attālumu no tā paša punkta līdz abscisu asij vienmēr par vienu un to pašu skaitli - 1/4.

Varam teikt savādāk: attālums no jebkura parabolas punkta līdz punktam (0; 1/4) ir vienāds ar attālumu no tā paša parabolas punkta līdz taisnei y = -1/4. Šo brīnišķīgo punktu F(0; 1/4) sauc fokuss parabolas y = x 2 un taisne y = -1/4 – direktorešī parabola. Katrai parabolai ir virziens un fokuss.

Interesantas parabolas īpašības:

1. Jebkurš parabolas punkts atrodas vienādā attālumā no kāda punkta, ko sauc par parabolas fokusu, un no kādas taisnas līnijas, ko sauc par tās virzienu.

2. Ja jūs pagriežat parabolu ap simetrijas asi (piemēram, parabolu y = x 2 ap Oy asi), jūs iegūsit ļoti interesantu virsmu, ko sauc par apgriezienu paraboloīdu.

Šķidruma virsmai rotējošā traukā ir apgriezienu paraboloīda forma. Šo virsmu var redzēt, ja enerģiski maisāt ar karoti nepilnā tējas glāzē un pēc tam izņemat karoti.

3. Ja tu iemet akmeni tukšumā noteiktā leņķī pret horizontu, tas lidos parabolā (2. att.).

4. Ja jūs krustojat konusa virsmu ar plakni, kas ir paralēla kādai no tās ģenerācijām, tad šķērsgriezuma rezultātā tiks izveidota parabola. (3. att.).

5. Atrakciju parkos dažreiz notiek jautrs brauciens, ko sauc par Brīnumu paraboloīdu. Katram, kas stāv rotējošā paraboloīda iekšpusē, šķiet, ka viņš stāv uz grīdas, bet pārējie cilvēki kaut kā brīnumainā kārtā turas pie sienām.

6. Atstarojošajos teleskopos tiek izmantoti arī paraboliskie spoguļi: tālas zvaigznes gaisma, kas nāk paralēlā starā, krītot uz teleskopa spoguļa, tiek savākta fokusā.

7. Prožektoriem parasti ir spogulis paraboloīda formā. Ja novietojat gaismas avotu paraboloīda fokusā, tad no paraboliskā spoguļa atstarotie stari veido paralēlu staru kūli.

Kvadrātfunkcijas grafiks

Matemātikas stundās jūs mācījāties, kā iegūt formas funkciju grafikus no funkcijas y = x 2 grafika:

1) y = cirvis 2– grafika y = x 2 izstiepšana pa Oy asi |a| reizes (ar |a|< 0 – это сжатие в 1/|a| раз, rīsi. 4).

2) y = x 2 + n– grafika nobīde par n vienībām pa Oy asi, un, ja n > 0, tad nobīde ir uz augšu, un ja n< 0, то вниз, (или же можно переносить ось абсцисс).

3) y = (x + m) 2– grafika nobīde par m vienībām pa Ox asi: ja m< 0, то вправо, а если m >0, tad pa kreisi, (5. att.).

4) y = -x 2– simetrisks attēlojums attiecībā pret grafika Ox asi y = x 2 .

Sīkāk apskatīsim funkcijas diagrammu y = a(x – m) 2 + n.

Formas y = ax 2 + bx + c kvadrātfunkciju vienmēr var reducēt līdz formai

y = a(x – m) 2 + n, kur m = -b/(2a), n = -(b 2 – 4ac)/(4a).

Pierādīsim to.

Tiešām,

y = ax 2 + bx + c = a(x 2 + (b/a) x + c/a) =

A(x 2 + 2x · (b/a) + b 2 /(4a 2) – b 2 / (4a 2) + c/a) =

A((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a 2)) = a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/(4a).

Ieviesīsim jaunus apzīmējumus.

Ļaujiet m = -b/(2a), A n = -(b 2–4ac)/(4a),

tad iegūstam y = a(x – m) 2 + n vai y – n = a(x – m) 2.

Veiksim vēl dažas aizstāšanas: pieņemsim, ka y – n = Y, x – m = X (*).

Tad iegūstam funkciju Y = aX 2, kuras grafiks ir parabola.

Parabolas virsotne atrodas izcelsmē. X = 0; Y = 0.

Virsotnes koordinātas aizstājot ar (*), iegūstam grafa virsotnes koordinātas y = a(x – m) 2 + n: x = m, y = n.

Tādējādi, lai attēlotu kvadrātisko funkciju, kas attēlota kā

y = a(x – m) 2 + n

izmantojot transformācijas, varat rīkoties šādi:

a) uzzīmējiet funkciju y = x 2 ;

b) paralēli pārvēršot pa Ox asi par m vienībām un pa Oy asi par n vienībām - pārnes parabolas virsotni no sākuma uz punktu ar koordinātām (m; n) (6. att.).

Pārveidojumu ierakstīšana:

y = x 2 → y = (x – m) 2 → y = a(x – m) 2 → y = a(x – m) 2 + n.

Piemērs.

Izmantojot transformācijas, izveidojiet funkcijas y = 2(x – 3) 2 grafiku Dekarta koordinātu sistēmā – 2.

Risinājums.

Pārveidojumu ķēde:

y = x 2 (1) → y = (x – 3) 2 (2) → y = 2(x – 3) 2 (3) → y = 2 (x – 3) 2 – 2 (4) .

Sižets ir parādīts rīsi. 7.

Varat patstāvīgi vingrināties kvadrātfunkciju grafiku veidošanā. Piemēram, izveidojiet funkcijas y = 2(x + 3) 2 + 2 grafiku vienā koordinātu sistēmā, izmantojot transformācijas Ja jums ir kādi jautājumi vai vēlaties saņemt padomu no skolotāja, tad jums ir iespēja veikt bezmaksas 25 minūšu nodarbība ar tiešsaistes pasniedzēju pēc reģistrācijas. Priekš turpmākais darbs Kopā ar skolotāju varat izvēlēties sev piemērotāko tarifu plānu.

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā attēlot kvadrātiskās funkcijas grafiku?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Svarīgas piezīmes!
1. Ja formulu vietā redzat gobbledygook, iztīriet kešatmiņu. Šeit ir rakstīts, kā to izdarīt pārlūkprogrammā:
2. Pirms sākat lasīt rakstu, pievērsiet uzmanību mūsu navigatoram, lai atrastu visnoderīgākos resursus

Lai saprastu, kas šeit tiks rakstīts, jums labi jāzina, kas ir kvadrātiskā funkcija un ar ko tā tiek izmantota. Ja uzskatāt sevi par profesionāli, kad runa ir par kvadrātfunkcijām, laipni lūdzam. Bet, ja nē, jums vajadzētu izlasīt pavedienu.

Sāksim ar mazu pārbaudes:

1. Kā kvadrātiskā funkcija izskatās vispārīgā formā (formulā)?
2. Kā sauc kvadrātfunkcijas grafiku?
3. Kā vadošais koeficients ietekmē kvadrātfunkcijas grafiku?

Ja varējāt uzreiz atbildēt uz šiem jautājumiem, turpiniet lasīt. Ja vismaz viens jautājums radīja grūtības, dodieties uz.

Tātad, jūs jau zināt, kā rīkoties ar kvadrātfunkciju, analizēt tās grafiku un izveidot grafiku pēc punktiem.

Nu lūk: .

Īsi atcerēsimies, ko viņi dara izredzes.

1. Vadošais koeficients ir atbildīgs par parabolas “stāvumu” jeb, citiem vārdiem sakot, par tās platumu: jo lielāka, jo šaurāka parabola (stāvāka), un jo mazāka, jo platāka (plakanāka).
2. Brīvais termins ir parabolas un ordinātu asi krustpunkta koordināte.
3. Un koeficients kaut kādā veidā ir atbildīgs par parabolas nobīdi no koordinātu centra. Parunāsim par to tagad sīkāk.

Kur mēs vienmēr sākam būvēt parabolu? Kāds ir tā atšķirīgais punkts?

Šis virsotne. Vai atceraties, kā atrast virsotnes koordinātas?

Abscisu meklē, izmantojot šādu formulu:

Piemēram: nekā vairāk, tie pa kreisi parabolas virsotne kustas.

Virsotnes ordinātu var atrast, aizvietojot ar funkciju:

Aizstājiet to pats un veiciet matemātiku. Kas notika?

Ja visu darāt pareizi un pēc iespējas vienkāršojat iegūto izteiksmi, jūs saņemsiet:

Izrādās, ka jo vairāk modulo, tie augstāks gribu virsotne parabolas.

Beidzot pāriesim pie grafika zīmēšanas.
Vienkāršākais veids ir izveidot parabolu, sākot no augšas.

Piemērs:

Izveidojiet funkcijas grafiku.

Risinājums:

Vispirms noteiksim koeficientus: .

Tagad aprēķināsim virsotnes koordinātas:

Tagad atcerieties: visas parabolas ar vienādu vadošo koeficientu izskatās vienādi. Tas nozīmē, ka, izveidojot parabolu un pārvietojot tās virsotni uz punktu, mēs iegūsim vajadzīgo grafiku:

Vienkārši, vai ne?

Atliek tikai viens jautājums: kā ātri uzzīmēt parabolu? Pat ja mēs uzzīmējam parabolu ar virsotni sākumā, mums tā joprojām ir jāveido pa punktam, un tas ir garš un neērti. Bet visas parabolas izskatās vienādi, varbūt ir kāds veids, kā paātrināt to zīmēšanu?

Kad es mācījos skolā, mana matemātikas skolotāja lika visiem izgriezt no kartona parabolas formas trafaretu, lai viņi varētu to ātri uzzīmēt. Bet jūs nevarēsit visur staigāt ar trafaretu, un viņi to nedrīkstēs ņemt līdzi uz eksāmenu. Tas nozīmē, ka mēs neizmantosim svešķermeņus, bet meklēsim rakstu.

Apskatīsim vienkāršāko parabolu. Veidosim to pa punktam:

Šeit ir šāds modelis. Ja no virsotnes nobīdīsimies pa labi (gar asi) par un uz augšu (gar asi) par, tad nonāksim parabolas punktā. Tālāk: ja no šī punkta virzāmies pa labi un uz augšu, mēs atkal nonāksim parabolas punktā. Nākamais: tieši uz un uz augšu. Ko tālāk? Tieši uz un uz augšu. Un tā tālāk: pārvietojiet vienu pa labi un nākamo nepāra skaitli uz augšu. Tad mēs darām to pašu ar kreiso zaru (galu galā parabola ir simetriska, tas ir, tās zari izskatās vienādi):

Lieliski, tas palīdzēs jums izveidot jebkuru parabolu no virsotnes, kuras vadošais koeficients ir vienāds ar. Piemēram, mēs uzzinājām, ka parabolas virsotne atrodas punktā. Konstruējiet (pats, uz papīra) šo parabolu.

Uzbūvēts?

Tam vajadzētu izskatīties šādi:

Tagad mēs savienojam iegūtos punktus:

Tas ir viss.

Labi, tagad mēs varam būvēt tikai parabolas?

Protams, nē. Tagad izdomāsim, ko ar tiem darīt, ja.

Apskatīsim dažus tipiskus gadījumus.

Lieliski, jūs esat iemācījušies uzzīmēt parabolu. Tagad praktizēsimies izmantot reālas funkcijas.

Tātad, uzzīmējiet šo funkciju grafikus:

Atbildes:

3. Augšpusē: .

Vai atceries, kā rīkoties, ja seniora koeficients ir mazāks?

Mēs skatāmies uz daļskaitļa saucēju: tas ir vienāds. Tātad, mēs virzīsimies šādi:

• pa labi - uz augšu
• pa labi - uz augšu
• pa labi - uz augšu

un arī pa kreisi:

4. Augšpusē: .

Ak, ko mēs varam darīt lietas labā? Kā izmērīt šūnas, ja virsotne atrodas kaut kur starp līnijām? ..

Un mēs krāpsim. Vispirms uzzīmēsim parabolu un tikai tad pārvietosim tās virsotni uz punktu. Nē, darīsim kaut ko vēl viltīgāku: uzzīmēsim parabolu un tad pārvietot asis:- ieslēgts uz leju, a - ieslēgts pa labi:

Šis paņēmiens ir ļoti ērts jebkuras parabolas gadījumā, atcerieties to.

Atgādināšu, ka funkciju varam attēlot šādā formā:

Piemēram: .

Ko tas mums dod?

Fakts ir tāds, ka skaitlis, kas tiek atņemts no iekavās (), ir parabolas virsotnes abscisa, un termins ārpus iekavām () ir virsotnes ordināta.

Tas nozīmē, ka, izveidojot parabolu, jums vienkārši vajadzēs pārvietojiet asi pa kreisi un asi uz leju.

Piemērs: izveidosim funkcijas grafiku.

Atlasīsim visu kvadrātu:

Kāds numurs atskaitīti no iekavās? Tas (un nevis tas, kā jūs varat izlemt nedomājot).

Tātad, izveidosim parabolu:

Tagad mēs pārvietojam asi uz leju, tas ir, uz augšu:

Un tagad - pa kreisi, tas ir, pa labi:

Tas ir viss. Tas ir tas pats, kas pārvietot parabolu ar tās virsotni no sākuma uz punktu, tikai taisno asi ir daudz vieglāk pārvietot nekā izliektu parabolu.

Tagad, kā parasti, es:

Un neaizmirstiet izdzēst vecās asis ar dzēšgumiju!

Es esmu kā atbildes Lai pārbaudītu, es jums uzrakstīšu šo parabolu virsotņu ordinātas:

Vai viss sanāca?

Ja jā, tad tu esi lielisks! Zināt, kā rīkoties ar parabolu, ir ļoti svarīgi un noderīgi, un šeit mēs uzzinājām, ka tas nemaz nav grūti.

KVADRĀTISKĀS FUNKCIJAS GRAFIKA KONSTRUKCIJA. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Kvadrātiskā funkcija - formas funkcija, kur un ir jebkuri skaitļi (koeficienti), - brīvs termins.

Kvadrātfunkcijas grafiks ir parabola.

Parabolas virsotne:
, t.i. jo lielāks \displaystyle b , jo vairāk pa kreisi virzās parabolas virsotne.
Mēs to aizstājam funkcijā un iegūstam:
, t.i. \displaystyle b ir lielāka absolūtā vērtībā, jo augstāka būs parabolas virsotne

Brīvais termins ir parabolas un ordinātu asi krustpunkta koordināte.

Nu tēma beigusies. Ja jūs lasāt šīs rindas, tas nozīmē, ka esat ļoti foršs.

Jo tikai 5% cilvēku spēj kaut ko apgūt paši. Un, ja izlasi līdz galam, tad esi šajos 5%!

Tagad pats svarīgākais.

Jūs esat sapratis teoriju par šo tēmu. Un, es atkārtoju, šis... tas ir vienkārši super! Jūs jau esat labāks par lielāko daļu jūsu vienaudžu.

Problēma ir tāda, ka ar to var nepietikt...

Par ko?

Par veiksmīgu nokārtojot vienoto valsts eksāmenu, uzņemšanai koledžā ar budžetu un, PATS SVARĪGĀK, uz mūžu.

Es jūs ne par ko nepārliecināšu, teikšu tikai vienu...

Cilvēki, kuri saņēma laba izglītība, nopelna daudz vairāk nekā tie, kuri to nesaņēma. Tā ir statistika.

Bet tas nav galvenais.

Galvenais, lai viņi ir LAIMĪGĀK (ir tādi pētījumi). Varbūt tāpēc, ka viņu priekšā paveras daudz vairāk iespēju un dzīve kļūst gaišāka? nezinu...

Bet padomājiet paši...

Kas nepieciešams, lai vienotajā valsts eksāmenā būtu labāks par citiem un galu galā būtu... laimīgāks?

IEGŪT SAVU ROKU, RISINOT PROBLĒMAS PAR ŠO TĒMU.

Eksāmena laikā jums netiks prasīta teorija.

Jums būs nepieciešams risināt problēmas pret laiku.

Un, ja jūs tos neesat atrisinājis (DAUDZ!), jūs noteikti kaut kur kļūdīsities vai vienkārši nebūs laika.

Tas ir kā sportā – tas ir jāatkārto daudzas reizes, lai noteikti uzvarētu.

Atrodiet kolekciju, kur vien vēlaties, obligāti ar risinājumiem, detalizēta analīze un izlem, izlem, lem!

Jūs varat izmantot mūsu uzdevumus (pēc izvēles), un mēs, protams, tos iesakām.

Lai labāk izmantotu mūsu uzdevumus, jums jāpalīdz pagarināt pašlaik lasāmās YouClever mācību grāmatas kalpošanas laiku.

Kā? Ir divas iespējas:

1. Atbloķējiet visus slēptos uzdevumus šajā rakstā -
2. Atbloķējiet piekļuvi visiem slēptajiem uzdevumiem visos 99 mācību grāmatas rakstos - Pērciet mācību grāmatu - 499 RUR

Jā, mūsu mācību grāmatā ir 99 šādi raksti un piekļuve visiem uzdevumiem un ikvienam slēptie teksti tos var uzreiz atvērt.

Piekļuve visiem slēptajiem uzdevumiem tiek nodrošināta VISU vietnes darbības laiku.

Noslēgumā...

Ja jums nepatīk mūsu uzdevumi, atrodiet citus. Vienkārši neapstājieties pie teorijas.

“Sapratu” un “Es varu atrisināt” ir pilnīgi atšķirīgas prasmes. Tev vajag abus.

Atrodi problēmas un atrisini tās!