Šis tiešsaistes matemātikas kalkulators jums palīdzēs, ja jums tas būs nepieciešams aprēķināt funkcijas robežu. Programma risinājumu robežas ne tikai sniedz atbildi uz problēmu, bet arī noved detalizēts risinājums ar paskaidrojumiem, t.i. parāda limita aprēķināšanas procesu.

Šī programma var būt noderīga vidusskolēniem vidusskolas gatavojoties ieskaitēm un eksāmeniem, pārbaudot zināšanas pirms Vienotā valsts eksāmena, vecākiem kontrolēt daudzu uzdevumu risināšanu matemātikā un algebrā. Vai varbūt jums ir pārāk dārgi algot pasniedzēju vai iegādāties jaunas mācību grāmatas? Vai arī jūs vienkārši vēlaties to paveikt pēc iespējas ātrāk? mājasdarbs

matemātikā vai algebrā? Šajā gadījumā varat izmantot arī mūsu programmas ar detalizētiem risinājumiem.

Aprēķināt limitu
Tika atklāts, ka daži skripti, kas nepieciešami šīs problēmas risināšanai, netika ielādēti un programma var nedarboties.
Iespējams, jums ir iespējots AdBlock.

Šeit ir sniegti norādījumi, kā pārlūkprogrammā iespējot JavaScript.
Jo Ir daudz cilvēku, kas vēlas atrisināt problēmu, jūsu pieprasījums ir ievietots rindā.
Pēc dažām sekundēm zemāk parādīsies risinājums. Lūdzu, uzgaidiet

sek... pamanīja kļūdu risinājumā, tad par to varat rakstīt atsauksmju veidlapā.
Neaizmirsti norādiet, kurš uzdevums tu izlem ko ievadiet laukos.

Mūsu spēles, puzles, emulatori:

Nedaudz teorijas.

Funkcijas robeža pie x->x 0

Ļaujiet funkcijai f(x) definēt kādu kopu X un punktu \(x_0 \in X\) vai \(x_0 \notin X\)

Ņemsim no X punktu secību, kas atšķiras no x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
saplūst ar x*. Funkciju vērtības šīs secības punktos arī veido skaitlisku secību
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
un var uzdot jautājumu par tās robežas esamību.

Definīcija. Skaitli A sauc par funkcijas f(x) robežu punktā x = x 0 (vai pie x -> x 0), ja jebkurai argumenta x vērtību secībai (1) atšķiras no x 0 konverģējot uz x 0, atbilstošā vērtību secības (2) funkcija konverģē uz skaitli A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Funkcijai f(x) punktā x 0 var būt tikai viena robeža. Tas izriet no tā, ka secība
(f(x n)) ir tikai viens ierobežojums.

Ir vēl viena funkcijas robežas definīcija.

Definīcija Skaitli A sauc par funkcijas f(x) robežu punktā x = x 0, ja jebkuram skaitlim \(\varepsilon > 0\) ir tāds skaitlis \(\delta > 0\), ka visiem \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), apmierinot nevienādību \(|x-x_0| Izmantojot loģiskos simbolus, šo definīciju var uzrakstīt kā
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Ņemiet vērā, ka nevienādības \(x \neq x_0) , \; |x-x_0| \(\varepsilon - \delta \)”.
Šīs divas funkcijas ierobežojumu definīcijas ir līdzvērtīgas, un jūs varat izmantot jebkuru no tām atkarībā no tā, kura ir ērtāka konkrētas problēmas risināšanai.

Ņemiet vērā, ka funkcijas robežas definīcija “sekvenču valodā” tiek saukta arī par funkcijas robežas definīciju saskaņā ar Heine, bet funkcijas robežas definīcija “valodā \(\varepsilon - \delta \)” sauc arī par funkcijas robežas definīciju saskaņā ar Košī.

Funkcijas robeža pie x->x 0 - un pie x->x 0 +

Tālāk mēs izmantosim funkcijas vienpusējo ierobežojumu jēdzienus, kas ir definēti šādi.

Definīcija Skaitli A sauc par funkcijas f(x) labo (kreiso) robežu punktā x 0, ja jebkurai secībai (1), kas konverģē uz x 0, kuras elementi x n ir lielāki (mazāki par) x 0, atbilstošā secība (2) saplūst ar A.

Simboliski tas ir rakstīts šādi:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Mēs varam sniegt līdzvērtīgu funkcijas vienpusēju ierobežojumu definīciju “valodā \(\varepsilon - \delta \)”:

Definīcija skaitli A sauc par funkcijas f(x) labo (kreiso) robežu punktā x 0, ja jebkuram \(\varepsilon > 0\) eksistē \(\delta > 0\) tā, ka visiem x atbilst nevienādības \(x_0 simboliski ieraksti:

Apskatīsim dažus ilustratīvus piemērus.

Lai x ir skaitlis mainīgs daudzums, X ir tā izmaiņu laukums. Ja katrs skaitlis x, kas pieder pie X, ir saistīts ar noteiktu skaitli y, tad viņi saka, ka funkcija ir definēta kopā X, un raksta y = f(x).
Iestatiet X šajā gadījumā- plakne, kas sastāv no diviem koordinātu asis– 0X un 0Y. Piemēram, attēlosim funkciju y = x 2. 0X un 0Y asis veido X - tā izmaiņu laukumu. Attēlā skaidri parādīts, kā funkcija darbojas. Šajā gadījumā viņi saka, ka funkcija y = x 2 ir definēta kopā X.

Visu funkcijas daļējo vērtību kopu Y sauc par vērtību kopu f(x). Citiem vārdiem sakot, vērtību kopa ir intervāls gar 0Y asi, kurā funkcija ir definēta. Attēlotā parabola skaidri parāda, ka f(x) > 0, jo x2 > 0. Tāpēc vērtību diapazons būs . Mēs aplūkojam daudzas vērtības pēc 0Y.

Visu x kopu sauc par f(x) domēnu. Mēs aplūkojam daudzas definīcijas ar 0X, un mūsu gadījumā pieņemamo vērtību diapazons ir [-; +].

Punktu a (a pieder vai X) sauc par kopas X robežpunktu, ja jebkurā punkta a apkārtnē ir kopas X punkti, kas atšķiras no a.

Ir pienācis laiks saprast, kāda ir funkcijas robeža?

Tiek izsaukts tīrais b, uz kuru funkcija tiecas tāpat kā x tiecas uz skaitli a funkcijas robeža. Tas ir rakstīts šādi:

Piemēram, f(x) = x 2. Mums ir jānoskaidro, kāda ir funkcija (nav vienāda ar) pie x 2. Pirmkārt, mēs pierakstām ierobežojumu:

Apskatīsim grafiku.

Novelkam līniju, kas ir paralēla 0Y asij caur punktu 2 uz 0X ass. Tas krustos mūsu grafiku punktā (2;4). Nometīsim perpendikulu no šī punkta uz 0Y asi un nonāksim punktā 4. Tas ir tas, uz ko tiecas mūsu funkcija pie x 2. Ja tagad vērtību 2 aizstājam ar funkciju f(x), atbilde būs tāda pati.

Tagad, pirms mēs pārejam pie limitu aprēķināšana, ieviesīsim pamatdefinīcijas.

Ieviesa franču matemātiķis Augustin Louis Cauchy 19. gadsimtā.

Pieņemsim, ka funkcija f(x) ir definēta noteiktā intervālā, kas satur punktu x = A, bet f(A) vērtībai nemaz nav jādefinē.

Pēc tam saskaņā ar Košī definīciju funkcijas robeža f(x) būs noteikts skaitlis B ar x tendenci uz A, ja katram C > 0 ir skaitlis D > 0, kuram

Tie. ja funkcija f(x) vietā x A ir ierobežota ar ierobežojumu B, to raksta formā

Secības ierobežojums noteikts skaitlis A tiek izsaukts, ja kādam patvaļīgi mazam pozitīvs skaitlis Ja > 0 ir skaitlis N, kuram visas vērtības gadījumā n > N apmierina nevienādību

Šis ierobežojums izskatās šādi.

Secība, kurai ir robeža, tiks saukta par konverģentu, ja tā nav, mēs to sauksim par atšķirīgu.

Kā jau esat pamanījuši, robežas norāda lim ikona, saskaņā ar kuru tiek ierakstīts kāds mainīgā nosacījums, un pēc tam tiek ierakstīta pati funkcija. Šāda kopa tiks lasīta kā “funkcijas ierobežojums, uz kuru attiecas...”. Piemēram:

- funkcijas kā x robeža tiecas uz 1.

Izteiciens “tuvojas 1” nozīmē, ka x secīgi iegūst vērtības, kas tuvojas 1 bezgalīgi tuvu.

Tagad kļūst skaidrs, ka, lai aprēķinātu šo robežu, pietiek ar vērtību x aizstāt ar 1:

Papildus specifiskajiem skaitliskā vērtība x var būt līdz bezgalībai. Piemēram:

Izteiciens x nozīmē, ka x nepārtraukti pieaug un bez ierobežojumiem tuvojas bezgalībai. Tāpēc x vietā aizstājot bezgalību, kļūst acīmredzams, ka funkcijai 1-x būs tendence , bet ar pretēju zīmi:

Tādējādi limitu aprēķināšana ir jāatrod tā specifiskā vērtība vai noteikta zona, kurā ietilpst ierobežojuma ierobežotā funkcija.

Pamatojoties uz iepriekš minēto, no tā izriet, ka, aprēķinot limitus, ir svarīgi izmantot vairākus noteikumus:

Sapratne limita būtība un pamatnoteikumi limitu aprēķini, jūs iegūsit galveno ieskatu par to, kā tās atrisināt. Ja kāds ierobežojums jums sagādā grūtības, tad rakstiet komentāros un mēs noteikti jums palīdzēsim.

Piezīme: Jurisprudence ir likumu zinātne, kas palīdz konfliktos un citās dzīves grūtībās.

Ierobežojumu teorija- viena no matemātiskās analīzes sadaļām, ko daži var apgūt, bet citiem ir grūtības aprēķināt robežas. Jautājums par robežu atrašanu ir diezgan vispārīgs, jo ir desmitiem paņēmienu risinājumu robežas dažādi veidi. Tos pašus ierobežojumus var atrast gan izmantojot L'Hopital noteikumu, gan bez tā. Gadās, ka bezgalīgi mazu funkciju sērijas plānošana ļauj ātri iegūt vēlamo rezultātu. Ir virkne paņēmienu un triku, kas ļauj atrast jebkuras sarežģītības funkcijas robežu. Šajā rakstā mēs centīsimies izprast galvenos ierobežojumu veidus, ar kuriem visbiežāk saskaras praksē. Šeit mēs nesniegsim robežas teoriju un definīciju, un internetā ir daudz resursu, kur tas tiek apspriests. Tāpēc pāriesim pie praktiskiem aprēķiniem, šeit ir jūsu "Es nezinu, es nevaru!"

Limitu aprēķināšana, izmantojot aizstāšanas metodi

1. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Risinājums: šāda veida piemērus teorētiski var aprēķināt, izmantojot parasto aizstāšanu

Ierobežojums ir 18.11.
Šādos limitos nav nekā sarežģīta vai gudra - mēs aizstājām vērtību, aprēķinājām un pierakstījām robežu kā atbildi. Tomēr, pamatojoties uz šādiem ierobežojumiem, ikvienam tiek mācīts, ka vispirms funkcijā ir jāaizstāj vērtība. Turklāt robežas kļūst sarežģītākas, ieviešot bezgalības, nenoteiktības un tamlīdzīgu jēdzienu.

Robeža ar nenoteiktību, piemēram, bezgalība, kas dalīta ar bezgalību. Nenoteiktības atklāšanas metodes

2. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=bezgalība).
Risinājums: tiek dota robeža formas polinomam, kas dalīts ar polinomu, un mainīgajam ir tendence uz bezgalību

Vienkārši aizvietojot vērtību, uz kuru jāatrod mainīgais, lai atrastu robežas, nepalīdzēs, mēs iegūstam formas bezgalību, kas dalīta ar bezgalību, nenoteiktību.
Saskaņā ar ierobežojumu teoriju, algoritms limita aprēķināšanai ir atrast lielāko “x” jaudu skaitītājā vai saucējā. Tālāk tiek vienkāršots skaitītājs un saucējs un tiek atrasts funkcijas ierobežojums

Tā kā vērtībai ir tendence uz nulli, kad mainīgais tuvojas bezgalībai, tās tiek ignorētas vai ierakstītas galīgajā izteiksmē nulles formā.

Tūlīt no prakses jūs varat iegūt divus secinājumus, kas ir mājiens aprēķinos. Ja mainīgajam ir tendence uz bezgalību un skaitītāja pakāpe ir lielāka par saucēja pakāpi, tad robeža ir vienāda ar bezgalību. Pretējā gadījumā, ja polinoms saucējā ir augstākas kārtas nekā skaitītājā, ierobežojums ir nulle.
Ierobežojumu var ierakstīt šādās formulās:

Ja mums ir funkcija, kas veido parastu lauku bez daļskaitļiem, tad tās robeža ir vienāda ar bezgalību

Nākamais ierobežojumu veids attiecas uz funkciju uzvedību tuvu nullei.

3. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Risinājums: šeit nav jānoņem polinoma vadošais faktors. Tieši otrādi, jums jāatrod mazākā skaitītāja un saucēja pakāpe un jāaprēķina robeža

Vērtība x^2; x tiecas uz nulli, kad mainīgajam ir tendence uz nulli. Tāpēc tie tiek ignorēti, tāpēc mēs iegūstam

ka robeža ir 2.5.

Tagad jūs zināt kā atrast funkcijas robežu no formas, sadaliet polinomu ar polinomu, ja mainīgajam ir tendence uz bezgalību vai 0. Bet šī ir tikai neliela un vienkārša piemēru daļa. No šī materiāla jūs uzzināsit kā atklāt nenoteiktību funkcijas robežās.

Robeža ar 0/0 tipa nenoteiktību un tā aprēķināšanas metodes

Visi uzreiz atceras likumu, ka nevar dalīt ar nulli. Tomēr ierobežojumu teorija šajā kontekstā nozīmē bezgalīgi mazas funkcijas.
Skaidrības labad apskatīsim dažus piemērus.

4. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Risinājums: aizstājot mainīgā x = -1 vērtību saucējā, mēs iegūstam nulli, un to pašu iegūstam skaitītājā. Tātad mums ir formas nenoteiktība 0/0.
Tikt galā ar šādu nenoteiktību ir vienkārši: jums ir jāfaktorē polinoms vai drīzāk jāizvēlas faktors, kas funkciju pārvērš par nulli.

Pēc paplašināšanas funkcijas robežu var uzrakstīt kā

Tā ir visa funkcijas robežas aprēķināšanas metode. Mēs rīkojamies tāpat, ja formas polinomam ir robeža, kas dalīta ar polinomu.

5. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Risinājums: parāda tiešo aizstāšanu
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
kas mums ir tipa 0/0 nenoteiktība.
Sadalīsim polinomus ar koeficientu, kas ievada singularitāti


Ir skolotāji, kuri māca, ka 2. kārtas polinomi, tas ir, “kvadrātvienādojumu” tipa, ir jāatrisina ar diskriminantu. Bet reālā prakse rāda, ka tas ir ilgāks un mulsinošāks, tāpēc atbrīvojieties no funkcijām norādītā algoritma robežās. Tādējādi mēs ierakstām funkciju formā galvenie faktori un aprēķināt līdz robežai

Kā redzat, šādu limitu aprēķināšanā nav nekā sarežģīta. Apgūstot robežas, jūs zināt, kā dalīt polinomus, vismaz pēc programmas jums jau vajadzētu to nokārtot.
Starp uzdevumiem par tipa 0/0 nenoteiktība Dažos gadījumos jums ir jāizmanto saīsinātas reizināšanas formulas. Bet, ja jūs tos nezināt, dalot polinomu ar monomu, jūs varat iegūt vēlamo formulu.

6. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Risinājums: mums ir 0/0 tipa nenoteiktība. Skaitītājā izmantojam saīsināto reizināšanas formulu

un aprēķināt nepieciešamo limitu

Metode nenoteiktības atklāšanai, reizinot ar tās konjugātu

Metode tiek piemērota robežām, kurās rodas nenoteiktība neracionālas funkcijas. Skaitītājs vai saucējs aprēķina punktā pagriežas uz nulli, un nav zināms, kā atrast robežu.

7. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Risinājums: Attēlosim mainīgo ierobežojuma formulā

Aizvietojot, iegūstam 0/0 tipa nenoteiktību.
Saskaņā ar ierobežojumu teoriju veids, kā apiet šo pazīmi, ir reizināt iracionālo izteiksmi ar tās konjugātu. Lai nodrošinātu, ka izteiksme nemainās, saucējs jādala ar to pašu vērtību

Izmantojot kvadrātu starpības noteikumu, mēs vienkāršojam skaitītāju un aprēķinām funkcijas robežu

Mēs vienkāršojam terminus, kas rada singularitāti limitā, un veicam aizstāšanu

8. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Risinājums: Tiešā aizstāšana parāda, ka robežai ir singularitāte formā 0/0.

Lai paplašinātu, mēs reizinām un dalām ar skaitītāja konjugātu

Mēs pierakstām kvadrātu starpību

Mēs vienkāršojam terminus, kas ievada singularitāti, un atrodam funkcijas robežu

9. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Risinājums: formulā aizstājiet divus

Mēs saņemam nenoteiktība 0/0.
Saucējs jāreizina ar konjugāta izteiksmi, un skaitītājā jāatrisina vai jāfaktorē kvadrātvienādojums, ņemot vērā singularitāti. Tā kā ir zināms, ka 2 ir sakne, mēs atrodam otro sakni, izmantojot Vietas teorēmu

Tādējādi mēs rakstām skaitītāju formā

un aizstājiet to ar limitu

Samazinot kvadrātu starpību, mēs atbrīvojamies no singularitātēm skaitītājā un saucējā

Tādā veidā jūs varat atbrīvoties no singularitātēm daudzos piemēros, un pielietojums ir jāatzīmē visur, kur noteiktā sakņu atšķirība aizstāšanas laikā pārvēršas par nulli. Citu veidu ierobežojumi attiecas eksponenciālās funkcijas, bezgalīgi mazas funkcijas, logaritmi, speciālie ierobežojumi un citi paņēmieni. Bet par to varat lasīt tālāk minētajos rakstos par ierobežojumiem.

Robežu teorija ir viena no matemātiskās analīzes nozarēm. Jautājums par limitu risināšanu ir diezgan plašs, jo pastāv desmitiem dažādu veidu limitu risināšanas metožu. Ir desmitiem nianšu un triku, kas ļauj atrisināt šo vai citu ierobežojumu. Neskatoties uz to, mēs joprojām centīsimies izprast galvenos ierobežojumu veidus, ar kuriem visbiežāk saskaras praksē.

Sāksim ar pašu ierobežojumu jēdzienu. Bet vispirms īss vēsturiskais fons. 19. gadsimtā dzīvoja francūzis Augustins Luiss Košī, kurš deva stingras definīcijas daudziem matāna jēdzieniem un lika tā pamatus. Jāsaka, ka šis cienījamais matemātiķis bija, ir un būs visu fizikas un matemātikas nodaļu studentu murgos, jo viņš pierādīja milzīgu skaitu matemātiskās analīzes teorēmu, un viena teorēma ir nāvējošāka par otru. Šajā sakarā mēs vēl neapsvērsim Košī robežas noteikšana, bet mēģināsim izdarīt divas lietas:

1. Izprotiet, kas ir ierobežojums.
2. Iemācīties atrisināt galvenos limitu veidus.

Atvainojos par dažiem nezinātniskiem skaidrojumiem, svarīgi, lai materiāls būtu saprotams pat tējkannai, kas patiesībā arī ir projekta mērķis.

Tātad, kāda ir robeža?

Un tikai piemērs, kāpēc pinkainajai vecmāmiņai....

Jebkurš ierobežojums sastāv no trim daļām:

1) labi zināmā ierobežojuma ikona.
2) Ieraksti zem ierobežojuma ikonas, šajā gadījumā . Ieraksts skan “X ir tendence uz vienu”. Visbiežāk - tieši, lai gan praksē “X” vietā ir citi mainīgie. Praktiskajos uzdevumos viena vieta var būt pilnīgi jebkurš skaitlis, kā arī bezgalība ().
3) Funkcijas zem ierobežojuma zīmes, šajā gadījumā .

Pats ieraksts skan šādi: "funkcijas kā x robežai ir tendence uz vienotību."

Apskatīsim nākamo svarīgo jautājumu – ko nozīmē izteiciens “x”? tiecas uz vienu"? Un ko vispār nozīmē “censties”?
Ierobežojuma jēdziens ir jēdziens, tā sakot, dinamisks. Izveidosim secību: vispirms , tad , , …, , ….
Tas ir, izteiciens “x tiecas uz vienu” jāsaprot šādi: “x” konsekventi pārņem vērtības kas tuvojas vienotībai bezgala tuvu un praktiski ar to sakrīt.

Kā atrisināt iepriekš minēto piemēru? Pamatojoties uz iepriekš minēto, jums vienkārši jāaizstāj viens funkcijā zem ierobežojuma zīmes:

Tātad, pirmais noteikums: Ja ir noteikts ierobežojums, vispirms mēs vienkārši cenšamies pievienot skaitli funkcijai.

Mēs esam apsvēruši visvienkāršāko robežu, bet arī tādas notiek praksē, un ne tik reti!

Piemērs ar bezgalību:

Noskaidrosim, kas tas ir? Tas ir gadījumā, ja tas palielinās bez ierobežojumiem, tas ir: vispirms, tad, tad, tad un tā tālāk bezgalīgi.

Kas notiek ar funkciju šajā laikā?
, , , …

Tātad: ja , tad funkcijai ir tendence mīnus bezgalība:

Aptuveni runājot, saskaņā ar mūsu pirmo noteikumu “X” vietā mēs funkcijā aizstājam bezgalību un iegūstam atbildi.

Vēl viens piemērs ar bezgalību:

Atkal mēs sākam palielināties līdz bezgalībai un aplūkojam funkcijas darbību:

Secinājums: kad funkcija palielinās bez ierobežojumiem:

Un vēl viena piemēru sērija:

Lūdzu, mēģiniet garīgi analizēt sev sekojošo un atcerēties vienkāršākos ierobežojumu veidus:

, , , , , , , , ,
Ja jums ir šaubas jebkur, varat paņemt kalkulatoru un nedaudz trenēties.
Ja , mēģiniet izveidot secību , , . Ja , tad , , .

! Piezīme: Stingri sakot, šī pieeja vairāku skaitļu secību konstruēšanai ir nepareiza, taču vienkāršāko piemēru izpratnei tā ir diezgan piemērota.

Pievērsiet uzmanību arī sekojošai lietai. Pat ja limits ir dots ar lielu skaitli augšpusē vai pat ar miljonu: , tad viss ir vienāds , jo agri vai vēlu “X” sāks iegūt tik gigantiskas vērtības, ka miljons salīdzinājumā būs īsts mikrobs.

Kas jums ir jāatceras un jāsaprot no iepriekš minētā?

1) Ja ir dots kāds ierobežojums, vispirms mēs vienkārši cenšamies aizstāt skaitli ar funkciju.

2) Jums ir jāsaprot un nekavējoties jāatrisina vienkāršākie ierobežojumi, piemēram, .

Turklāt robežai ir ļoti laba ģeometriskā nozīme. Lai labāk izprastu tēmu, iesaku izlasīt metodiskais materiāls Elementāro funkciju grafiki un īpašības. Izlasot šo rakstu, jūs ne tikai beidzot sapratīsit, kas ir robeža, bet arī iepazīsities ar interesantiem gadījumiem, kad funkcijas ierobežojums kopumā neeksistē!

Praksē diemžēl dāvanu ir maz. Tāpēc mēs pārejam pie sarežģītākiem ierobežojumiem. Starp citu, par šo tēmu ir intensīvais kurss pdf formātā, kas ir īpaši noderīgi, ja jums ir ĻOTI maz laika, lai sagatavotos. Bet vietnes materiāli, protams, nav sliktāki:

Tagad mēs apskatīsim robežu grupu, kad , un funkcija ir daļa, kuras skaitītājs un saucējs satur polinomus

Piemērs:

Aprēķināt limitu

Saskaņā ar mūsu noteikumu mēs mēģināsim funkcijā aizstāt bezgalību. Ko mēs iegūstam augšpusē? Bezgalība. Un kas notiek zemāk? Arī bezgalība. Tādējādi mums ir tā sauktā sugas nenoteiktība. Varētu domāt, ka , un atbilde ir gatava, bet vispārējs gadījums Tas nepavisam tā nav, un jums ir jāpiemēro kāds risinājums, ko mēs tagad apsvērsim.

Kā atrisināt šāda veida ierobežojumus?

Vispirms skatāmies uz skaitītāju un atrodam lielāko jaudu:

Skaitītāja vadošais spēks ir divi.

Tagad mēs skatāmies uz saucēju un atrodam to arī ar augstāko pakāpi:

Augstākā saucēja pakāpe ir divi.

Pēc tam mēs izvēlamies skaitītāja un saucēja lielāko pakāpju: in šajā piemērā tie sakrīt un ir vienādi ar diviem.

Tātad risinājuma metode ir šāda: lai atklātu nenoteiktību, ir nepieciešams dalīt skaitītāju un saucēju ar lielāko pakāpju.

Šeit tā ir atbilde, nevis bezgalība.

Kas ir būtiski svarīgs lēmuma izstrādē?

Pirmkārt, mēs norādām nenoteiktību, ja tāda ir.

Otrkārt, ir ieteicams pārtraukt risinājumu starpposma skaidrojumiem. Es parasti lietoju zīmi, tai nav nekādas matemātiskas nozīmes, bet nozīmē, ka risinājums tiek pārtraukts starpposma skaidrojumam.

Treškārt, limitā vēlams atzīmēt, kas kur notiek. Kad darbs ir sastādīts ar roku, ērtāk to izdarīt šādi:

Piezīmēm labāk izmantot vienkāršu zīmuli.

Protams, jums nekas no tā nav jādara, bet tad, iespējams, skolotājs norādīs uz risinājuma trūkumiem vai sāks jautāt papildu jautājumi uz uzdevumu. Vai jums to vajag?

2. piemērs

Atrodi robežu
Atkal skaitītājā un saucējā mēs atrodam visaugstākajā pakāpē:

Maksimālais grāds skaitītājā: 3
Maksimālā pakāpe saucējā: 4
Izvēlieties lielākais vērtība, šajā gadījumā četri.
Saskaņā ar mūsu algoritmu, lai atklātu nenoteiktību, mēs dalām skaitītāju un saucēju ar .
Pilna reģistrācija uzdevumi varētu izskatīties šādi:

Sadaliet skaitītāju un saucēju ar

3. piemērs

Atrodi robežu
Maksimālā “X” pakāpe skaitītājā: 2
Maksimālā “X” pakāpe saucējā: 1 (var rakstīt kā)
Lai atklātu nenoteiktību, skaitītājs un saucējs jāsadala ar . Galīgais risinājums varētu izskatīties šādi:

Sadaliet skaitītāju un saucēju ar

Apzīmējums nenozīmē dalīšanu ar nulli (jūs nevarat dalīt ar nulli), bet dalīšanu ar bezgalīgi mazu skaitli.

Tādējādi, atklājot sugu nenoteiktību, mēs varam to izdarīt galīgais numurs, nulle vai bezgalība.

Ierobežojumi ar to risināšanas veida un metodes nenoteiktību

Nākamā robežu grupa ir nedaudz līdzīga tikko aplūkotajām robežām: skaitītājs un saucējs satur polinomus, bet “x” vairs netiecas uz bezgalību, bet uz galīgs skaitlis.

4. piemērs

Atrisiniet limitu
Vispirms mēģināsim daļskaitlī aizstāt ar -1:

Šajā gadījumā tiek iegūta tā sauktā nenoteiktība.

Vispārējs noteikums : ja skaitītājs un saucējs satur polinomus un ir formas nenoteiktība , tad to atklāt jums ir jāaprēķina skaitītājs un saucējs.

Lai to izdarītu, visbiežāk ir jāatrisina kvadrātvienādojums un/vai jāizmanto saīsinātas reizināšanas formulas. Ja šīs lietas ir aizmirstas, tad apmeklējiet lapu Matemātiskās formulas un tabulas un izlasi mācību materiālu Karstās formulas skolas kurss matemātiķi. Starp citu, to vislabāk ir izdrukāt ļoti bieži, un informācija labāk tiek absorbēta no papīra.

Tātad, atrisināsim savu ierobežojumu

Nosakiet skaitītāju un saucēju

Lai aprēķinātu skaitītāju, jums jāatrisina kvadrātvienādojums:

Vispirms atrodam diskriminantu:

Un kvadrātsakne no tā: .

Ja diskriminants ir liels, piemēram, 361, mēs izmantojam kalkulatoru, ekstrakcijas funkciju kvadrātsakne pieejams vienkāršākajā kalkulatorā.

! Ja sakne nav pilnībā iegūta (izrādās daļskaitlis ar komatu), ļoti iespējams, ka diskriminants tika aprēķināts nepareizi vai uzdevumā bija drukas kļūda.

Tālāk mēs atrodam saknes:

Tādējādi:

Visi. Skaitītājs ir faktorizēts.

Saucējs. Saucējs jau ir visvienkāršākais faktors, un to nekādi nevar vienkāršot.

Acīmredzot to var saīsināt līdz:

Tagad mēs aizstājam -1 izteiksmē, kas paliek zem ierobežojuma zīmes:

Protams, iekšā pārbaudes darbs, pārbaudes vai eksāmena laikā risinājums nekad netiek izrakstīts tik detalizēti. Galīgajā versijā dizainam vajadzētu izskatīties apmēram šādi:

Faktorizēsim skaitītāju.

5. piemērs

Aprēķināt limitu

Pirmkārt, risinājuma “pabeigšanas” versija

Aprēķināsim skaitītāju un saucēju.

Skaitītājs:
Saucējs:



,

Kas šajā piemērā ir svarīgs?
Pirmkārt, jums ir labi jāsaprot, kā tiek atklāts skaitītājs, vispirms mēs izņēmām 2 no iekavām un pēc tam izmantojām kvadrātu atšķirības formulu. Šī ir formula, kas jums jāzina un jāredz.

Ieteikums: Ja limitā (gandrīz jebkura veida) ir iespējams izņemt skaitli no iekavām, tad mēs to vienmēr darām.
Turklāt šādus numurus ieteicams pārvietot ārpus ierobežojuma ikonas. Priekš kam? Jā, tikai tāpēc, lai tie netraucētu. Galvenais ir nepazaudēt šos skaitļus vēlāk risinājuma laikā.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka risinājuma pēdējā posmā es izņēmu divus no ierobežojuma ikonas un pēc tam mīnusu.

! Svarīgi
Risinājuma laikā ļoti bieži rodas tipa fragments. Samaziniet šo daļutas ir aizliegts . Vispirms jāmaina skaitītāja vai saucēja zīme (iekavās jāieliek -1).
, tas ir, parādās mīnusa zīme, kas tiek ņemta vērā, aprēķinot limitu, un to nemaz nevajag zaudēt.

Kopumā es pamanīju, ka visbiežāk, meklējot šāda veida robežas, mums ir jāatrisina divi kvadrātvienādojumi, tas ir, gan skaitītājā, gan saucējā ir kvadrātveida trinomiāli.

Skaitītāja un saucēja reizināšanas metode ar konjugāta izteiksmi

Mēs turpinām apsvērt formas nenoteiktību

Nākamais ierobežojumu veids ir līdzīgs iepriekšējam veidam. Vienīgais, papildus polinomiem mēs pievienosim saknes.

6. piemērs

Atrodi robežu

Sāksim lemt.

Vispirms mēs mēģinām aizvietot 3 izteiksmē zem ierobežojuma zīmes
Es atkārtoju vēlreiz - šī ir pirmā lieta, kas jums jādara, lai JEBKĀDA limita. Šī darbība parasti tiek veikta garīgi vai melnraksta formā.

Ir iegūta formas nenoteiktība, kas jānovērš.

Kā jūs droši vien pamanījāt, mūsu skaitītājs satur sakņu atšķirību. Un matemātikā ir pieņemts, ja iespējams, atbrīvoties no saknēm. Priekš kam? Un bez tiem dzīve ir vieglāka.

Secību un funkciju robežu jēdzieni. Kad nepieciešams atrast secības robežu, to raksta šādi: lim xn=a. Šādā secību secībā xn tiecas uz a un n tiecas uz bezgalību. Secība parasti tiek attēlota kā sērija, piemēram:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Secības tiek sadalītas pieaugošās un dilstošās. Piemēram:
xn=n^2 — pieaugoša secība
yn=1/n - secība
Tā, piemēram, secības xn=1/n^ robeža:
lim 1/n^2=0

x→∞
Šī robeža ir vienāda ar nulli, jo n→∞, un secībai 1/n^2 ir tendence uz nulli.

Parasti mainīgajam daudzumam x ir tendence sasniegt ierobežotu robežu a, un x pastāvīgi tuvojas a, un daudzums a ir nemainīgs. To raksta šādi: limx =a, savukārt n var būt arī nulle vai bezgalība. Ir bezgalīgas funkcijas, kurām robeža tiecas uz bezgalību. Citos gadījumos, kad, piemēram, funkcija palēnina vilcienu, ierobežojums mēdz būt nulle.
Ierobežojumiem ir vairākas īpašības. Parasti jebkurai funkcijai ir tikai viens ierobežojums. Šī ir ierobežojuma galvenā īpašība. Citi ir uzskaitīti zemāk:
* Summas limits ir vienāds ar limitu summu:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Produkta limits ir vienāds ar limitu reizinājumu:
lim(xy)=lim x*lim y
* Koeficienta robeža ir vienāda ar robežu koeficientu:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Pastāvīgais koeficients tiek ņemts ārpus robežzīmes:
lim(Cx)=C lim x
Dota funkcija 1 /x, kurā x →∞, tās robeža ir nulle. Ja x→0, šādas funkcijas robeža ir ∞.
Par trigonometriskās funkcijas ir no šiem noteikumiem. Jo grēka funkcija x vienmēr tiecas uz vienotību, kad tas tuvojas nullei, identitāte uz to attiecas:
lim sin x/x=1

Vairākās funkcijās ir funkcijas, kuru robežas aprēķinot rodas nenoteiktība - situācija, kurā limitu nevar aprēķināt. Vienīgā izeja no šīs situācijas ir L'Hopital. Ir divu veidu nenoteiktības:
* formas nenoteiktība 0/0
* formas ∞/∞ nenoteiktība
Piemēram, ir dots šādas formas ierobežojums: lim f(x)/l(x), un f(x0)=l(x0)=0. Šajā gadījumā rodas formas 0/0 nenoteiktība. Lai atrisinātu šādu problēmu, tiek diferencētas abas funkcijas, pēc kurām tiek atrasta rezultāta robeža. 0/0 tipa nenoteiktībām ierobežojums ir:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (pie x → 0)
Tas pats noteikums attiecas arī uz ∞/∞ tipa nenoteiktībām. Bet šajā gadījumā ir patiesa šāda vienādība: f(x)=l(x)=∞
Izmantojot L'Hopital noteikumu, jūs varat atrast jebkuras robežas vērtības, kurās parādās nenoteiktības. Priekšnoteikums, lai

apjoms - nav kļūdu, atrodot atvasinājumus. Tā, piemēram, funkcijas (x^2)" atvasinājums ir vienāds ar 2x. No šejienes mēs varam secināt, ka:
f"(x)=nx^(n-1)