Funkcija ir viens no svarīgākajiem matemātiskajiem jēdzieniem. Funkcija – mainīgā atkarība plkst no mainīgā lieluma x, ja katra vērtība X atbilst vienai vērtībai plkst. mainīgs X sauc par neatkarīgo mainīgo vai argumentu. mainīgs plkst sauc par atkarīgo mainīgo. Visas neatkarīgā mainīgā vērtības (mainīgais x) veido funkcijas domēnu. Visas vērtības, ko iegūst atkarīgais mainīgais (mainīgais y), veido funkcijas diapazonu.

Funkciju grafiks izsauc visu punktu kopu koordinātu plakne, kuras abscises ir vienādas ar argumenta vērtībām, un ordinātas ir vienādas ar atbilstošajām funkcijas vērtībām, tas ir, mainīgā vērtības ir attēlotas gar abscisu x, un mainīgā vērtības tiek attēlotas gar y asi y. Lai attēlotu funkciju, jums jāzina funkcijas īpašības. Funkcijas galvenās īpašības tiks apspriestas tālāk!

Lai attēlotu funkciju grafiku, mēs iesakām izmantot mūsu programmu - Graphing Functions Online. Ja jums ir kādi jautājumi, pētot materiālu šajā lapā, vienmēr varat tos uzdot mūsu forumā. Tāpat forumā jums palīdzēs atrisināt uzdevumus matemātikā, ķīmijā, ģeometrijā, varbūtību teorijā un daudzos citos priekšmetos!

Funkciju pamatīpašības.

1) Funkciju apjoms un funkciju diapazons.

Funkcijas apjoms ir visu derīgo argumenta vērtību kopa x(mainīgs x), kurai funkcija y = f(x) definēts.
Funkcijas diapazons ir visu reālo vērtību kopa y ka funkcija pieņem.

AT elementārā matemātika funkcijas tiek pētītas tikai uz reālo skaitļu kopas.

2) Funkcijas nulles.

Vērtības X, kurā y=0, tiek saukts funkciju nulles. Tās ir funkcijas grafika krustošanās punktu abscises ar x asi.

3) Funkcijas zīmes noturības intervāli.

Funkcijas zīmes noturības intervāli ir šādi vērtību intervāli x, uz kura norādītas funkcijas vērtības y tiek saukti tikai pozitīvi vai tikai negatīvi funkcijas zīmes noturības intervāli.

4) Funkcijas monotonitāte.

Palielinošā funkcija (kādā intervālā) - funkcija, kurai lielāka vērtība arguments no šī intervāla atbilst lielākai funkcijas vērtībai.

Samazinoša funkcija (kādā intervālā) - funkcija, kurā lielāka argumenta vērtība no šī intervāla atbilst mazākai funkcijas vērtībai.

5) Pāra (nepāra) funkcijas.

Pāra funkcija ir funkcija, kuras definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi un jebkuru X f(-x) = f(x). Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret y asi.

Nepāra funkcija ir funkcija, kuras definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi un jebkuru X no definīcijas jomas vienlīdzība f(-x) = - f(x). Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Vienmērīga funkcija
1) Definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret punktu (0; 0), tas ir, ja punkts a pieder definīcijas jomai, tad punktam -a arī pieder definīcijas jomai.
2) par jebkuru vērtību x f(-x)=f(x)
3) Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret Oy asi.

nepāra funkcija ir šādas īpašības:
1) Definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret punktu (0; 0).
2) jebkurai vērtībai x, kas pieder definīcijas jomai, vienlīdzībai f(-x)=-f(x)
3) Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi (0; 0).

Ne katra funkcija ir pāra vai nepāra. Funkcijas vispārējs skats nav ne pāra, ne nepāra.

6) Ierobežotas un neierobežotas funkcijas.

Funkciju sauc par ierobežotu, ja tāda ir pozitīvs skaitlis M tāds, ka |f(x)| ≤ M visām x vērtībām. Ja šāda skaitļa nav, tad funkcija ir neierobežota.

7) Funkcijas periodiskums.

Funkcija f(x) ir periodiska, ja eksistē skaitlis T, kas atšķiras no nulles, tā ka jebkuram x no funkcijas domēna f(x+T) = f(x). Tādas mazākais skaitlis sauc par funkcijas periodu. Visi trigonometriskās funkcijas ir periodiski. (Trigonometriskās formulas).

Funkcija f tiek saukts par periodisku, ja pastāv tāds skaitlis, ka jebkuram x no definīcijas jomas vienlīdzība f(x)=f(x-T)=f(x+T). T ir funkcijas periods.

Katrai periodiskai funkcijai ir bezgalīgs periodu skaits. Praksē parasti tiek ņemts vērā mazākais pozitīvais periods.

Periodiskās funkcijas vērtības tiek atkārtotas pēc intervāla, kas vienāds ar periodu. To izmanto, veidojot grafikus.

Lai to izdarītu, izmantojiet grafisko papīru vai grafisko kalkulatoru. Neatkarīgajam mainīgajam atlasiet jebkuru skaitlisko vērtību skaitu x (\displaystyle x) un pievienojiet tos funkcijai, lai aprēķinātu atkarīgā mainīgā vērtības y (\displaystyle y). Novietojiet atrastās punktu koordinātas koordinātu plaknē un pēc tam savienojiet šos punktus, lai izveidotu funkcijas grafiku.

• Aizstāt pozitīvo funkciju skaitliskās vērtības x (\displaystyle x) un atbilstošās negatīvās skaitliskās vērtības. Piemēram, dota funkcija. Aizvietotājs viņā šādas vērtības x (\displaystyle x):
  • f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1, 3) (\displeja stils (1,3)).
  • f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9). Saņēmu punktu ar koordinātām (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
  • f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displeja stils f(-1) = 2(-1)^(2)+1 = 2+1 = 3). Saņēmu punktu ar koordinātām (− 1, 3) (\displeja stils (-1,3)).
  • f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9). Saņēmu punktu ar koordinātām (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)).

Mainīgā y atkarību no mainīgā x, kurā katra x vērtība atbilst vienai y vērtībai, sauc par funkciju. Apzīmējums ir y=f(x). Katrai funkcijai ir vairākas pamatīpašības, piemēram, monotoniskums, paritāte, periodiskums un citas.

Apsveriet paritātes īpašību sīkāk.

Funkcija y=f(x) tiek izsaukta pat tad, ja tā atbilst šādiem diviem nosacījumiem:

2. Funkcijas vērtībai punktā x, kas pieder pie funkcijas darbības jomas, jābūt vienādai ar funkcijas vērtību punktā -x. Tas ir, jebkuram punktam x no funkcijas domēna šādai vienādībai f (x) \u003d f (-x) ir jābūt patiesai.

Pāra funkcijas grafiks

Ja veidojat pāra funkcijas grafiku, tas būs simetrisks pret y asi.

Piemēram, funkcija y=x^2 ir pāra. Pārbaudīsim to. Definīcijas apgabals ir visa skaitliskā ass, kas nozīmē, ka tā ir simetriska attiecībā pret punktu O.

Ņemiet patvaļīgu x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Tāpēc f(x) = f(-x). Tādējādi abi nosacījumi mums ir izpildīti, kas nozīmē, ka funkcija ir vienmērīga. Zemāk ir funkcijas y=x^2 grafiks.

Attēlā redzams, ka grafiks ir simetrisks pret y asi.

Nepāra funkcijas grafiks

Funkciju y=f(x) sauc par nepāra, ja tā atbilst šādiem diviem nosacījumiem:

1. Dotās funkcijas domēnam jābūt simetriskam attiecībā pret punktu O. Tas ir, ja kāds punkts a pieder funkcijas domēnam, tad arī atbilstošajam punktam -a ir jāpieder dotās funkcijas domēnam.

2. Jebkuram punktam x no funkcijas domēna ir jāizpilda šāda vienādība f (x) \u003d -f (x).

Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret punktu O – izcelsmi. Piemēram, funkcija y=x^3 ir nepāra. Pārbaudīsim to. Definīcijas apgabals ir visa skaitliskā ass, kas nozīmē, ka tā ir simetriska attiecībā pret punktu O.

Ņemiet patvaļīgu x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Tāpēc f(x) = -f(x). Tādējādi abi nosacījumi mums ir izpildīti, kas nozīmē, ka funkcija ir nepāra. Zemāk ir funkcijas y=x^3 grafiks.

Attēlā skaidri redzams, ka nepāra funkcija y=x^3 ir simetriska attiecībā pret izcelsmi.

Funkcijas vienmērīgums un dīvainība ir viena no tās galvenajām īpašībām, un vienmērīgums ieņem iespaidīgu daļu skolas kurss matemātika. Tas lielā mērā nosaka funkcijas uzvedības raksturu un ievērojami atvieglo atbilstošā grafika veidošanu.

Definēsim funkcijas paritāti. Vispārīgi runājot, pētāmā funkcija tiek uzskatīta pat tad, ja neatkarīgā mainīgā (x) pretējām vērtībām, kas atrodas tās domēnā, atbilstošās y (funkcijas) vērtības ir vienādas.

Sniegsim stingrāku definīciju. Apsveriet kādu funkciju f (x), kas ir definēta domēnā D. Tā būs pat tad, ja jebkuram punktam x, kas atrodas definīcijas domēnā:

• -x (pretējais punkts) atrodas arī dotajā darbības jomā,

• f(-x) = f(x).

No iepriekš minētās definīcijas izriet nosacījums, kas nepieciešams šādas funkcijas definīcijas apgabalam, proti, simetrija attiecībā pret punktu O, kas ir koordinātu sākumpunkts, jo, ja kāds punkts b ir ietverts definīcijas apgabalā. pāra funkcija, tad šajā jomā atrodas arī atbilstošais punkts - b. No iepriekš minētā izriet secinājums: pāra funkcijai ir forma, kas ir simetriska attiecībā pret ordinātu asi (Oy).

Kā praksē noteikt funkcijas paritāti?

Dodiet to, izmantojot formulu h(x)=11^x+11^(-x). Sekojot algoritmam, kas tieši izriet no definīcijas, mēs vispirms pētām tā definīcijas jomu. Acīmredzot tas ir definēts visām argumenta vērtībām, tas ir, pirmais nosacījums ir izpildīts.

Nākamais solis ir aizstāt argumentu (x) ar tā pretējo vērtību (-x).
Mēs iegūstam:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Tā kā saskaitīšana apmierina komutatīvo (nobīdes) likumu, ir acīmredzams, ka h(-x) = h(x) un dotā funkcionālā atkarība ir pāra.

Pārbaudīsim funkcijas h(x)=11^x-11^(-x) vienmērīgumu. Ievērojot to pašu algoritmu, iegūstam h(-x) = 11^(-x) -11^x. Izņemot mīnusu, kā rezultātā mums ir
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Tādējādi h(x) ir nepāra.

Starp citu, jāatgādina, ka ir funkcijas, kuras nevar klasificēt pēc šiem kritērijiem, tās nesauc ne pāra, ne nepāra.

Pat funkcijām ir vairākas interesantas īpašības:

• līdzīgu funkciju pievienošanas rezultātā iegūst vienmērīgu;
• šādu funkciju atņemšanas rezultātā iegūst pāra;
• pat, arī pat;
• divu šādu funkciju reizināšanas rezultātā tiek iegūta pāra viena;
• nepāra un pāra funkciju reizināšanas rezultātā iegūst nepāra;
• pāra un nepāra funkciju dalīšanas rezultātā iegūst nepāra;
• šādas funkcijas atvasinājums ir nepāra;
• Ja mēs kvadrātā nepāra funkciju, mēs iegūstam pāra funkciju.

Funkcijas paritāti var izmantot vienādojumu risināšanā.

Lai atrisinātu vienādojumu, piemēram, g(x) = 0, kur kreisā puse vienādojums ir pāra funkcija, ar to pilnīgi pietiks, lai atrastu tā risinājumus mainīgā nenegatīvām vērtībām. Iegūtās vienādojuma saknes jāapvieno ar pretējiem skaitļiem. Viens no tiem ir pakļauts pārbaudei.

To pašu veiksmīgi izmanto, lai atrisinātu nestandarta problēmas ar parametru.

Piemēram, vai parametram a ir kāda vērtība, kas liktu vienādojumam 2x^6-x^4-ax^2=1 trīs saknes?

Ja ņemam vērā, ka mainīgais vienādojumā ieiet pāra pakāpēs, tad skaidrs, ka x aizstāšana ar -x doto vienādojumu nemainīs. No tā izriet, ka, ja noteikts skaitlis ir tā sakne, tad tā arī ir. pretējs skaitlis. Secinājums ir acīmredzams: vienādojuma saknes, kas nav nulles, ir iekļautas tā atrisinājumu kopā “pāros”.

Ir skaidrs, ka skaitlis 0 pats par sevi nav, tas ir, šāda vienādojuma sakņu skaits var būt tikai pāra un, dabiski, jebkurai parametra vērtībai tam nevar būt trīs saknes.

Taču vienādojuma 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 sakņu skaits var būt nepāra un jebkurai parametra vērtībai. Patiešām, ir viegli pārbaudīt, vai dotā vienādojuma sakņu kopa satur risinājumus "pāros". Pārbaudīsim, vai 0 ir sakne. Aizvietojot to vienādojumā, mēs iegūstam 2=2. Tādējādi, papildus "pārī" 0 ir arī sakne, kas pierāda to nepāra skaitli.

Diagrammas konvertēšana.

Funkcijas verbāls apraksts.

Grafiskais veids.

Grafiskais funkcijas norādīšanas veids ir ilustratīvākais, un to bieži izmanto inženierzinātnēs. Matemātiskajā analīzē kā ilustrācija tiek izmantots grafiskais funkciju noteikšanas veids.

Funkciju grafiks f ir visu koordinātu plaknes punktu (x; y) kopa, kur y=f(x), un x “iet cauri” visam dotās funkcijas domēnam.

Koordinātu plaknes apakškopa ir kādas funkcijas grafiks, ja tai ir ne vairāk kā viens kopīgs punkts ar jebkuru taisni, kas ir paralēla Oy asij.

Piemērs. Vai zemāk esošie skaitļi ir funkciju grafiki?

priekšrocība grafiskais uzdevums ir tā redzamība. Jūs varat uzreiz redzēt, kā funkcija uzvedas, kur tā palielinās, kur samazinās. No diagrammas jūs varat uzreiz uzzināt dažus svarīgas īpašības funkcijas.

Kopumā analītiski un grafiski funkcijas definēšanas veidi iet roku rokā. Darbs ar formulu palīdz izveidot grafiku. Un diagrammā bieži tiek ieteikti risinājumi, kurus jūs formulā nepamanīsit.

Gandrīz ikviens students zina trīs veidus, kā definēt funkciju, ko mēs tikko apskatījām.

Mēģināsim atbildēt uz jautājumu: "Vai ir citi veidi, kā definēt funkciju?"

Ir tāds veids.

Funkciju var diezgan nepārprotami definēt vārdos.

Piemēram, funkciju y \u003d 2x var norādīt ar šādu verbālu aprakstu: katrs reālā vērtība argumentam x tiek piešķirta tā dubultā vērtība. Noteikums ir iestatīts, funkcija ir iestatīta.

Turklāt ir iespējams norādīt funkciju verbāli, ko ir ārkārtīgi grūti, ja ne neiespējami norādīt ar formulu.

Piemēram: katra dabiskā argumenta x vērtība ir saistīta ar ciparu summu, kas veido x vērtību. Piemēram, ja x=3, tad y=3. Ja x=257, tad y=2+5+7=14. Un tā tālāk. To ir grūti pierakstīt formulā. Bet galdu ir viegli izgatavot.

Verbālā apraksta metode ir diezgan reti izmantota metode. Bet dažreiz tas notiek.

Ja pastāv likums par x un y atbilstību viens pret vienu, tad ir funkcija. Kāds likums, kādā formā tas izteikts - ar formulu, planšeti, grafiku, vārdiem -, nemaina lietas būtību.

Aplūkosim funkcijas, kuru definīcijas jomas ir simetriskas attiecībā pret koordinātu izcelsmi, t.i. jebkuram Xārpus darbības jomas numurs (- X) arī pieder definīcijas jomai. Starp šīm funkcijām ir pāra un nepāra.

Definīcija. Tiek izsaukta funkcija f pat, ja par kādu Xārpus tās domēna

Piemērs. Apsveriet funkciju

Viņa ir pat. Pārbaudīsim to.

Jebkuram X vienlīdzības

Tādējādi abi nosacījumi mums ir izpildīti, kas nozīmē, ka funkcija ir vienmērīga. Zemāk ir šīs funkcijas grafiks.

Definīcija. Tiek izsaukta funkcija f nepāra, ja par kādu Xārpus tās domēna

Piemērs. Apsveriet funkciju

Viņa ir dīvaina. Pārbaudīsim to.

Definīcijas apgabals ir visa skaitliskā ass, kas nozīmē, ka tā ir simetriska attiecībā pret punktu (0; 0).

Jebkuram X vienlīdzības

Tādējādi abi nosacījumi mums ir izpildīti, kas nozīmē, ka funkcija ir nepāra. Zemāk ir šīs funkcijas grafiks.

Pirmajā un trešajā attēlā parādītie grafiki ir simetriski pret y asi, bet otrajā un ceturtajā attēlā parādītie grafiki ir simetriski attiecībā pret izcelsmi.

Kuras no funkcijām, kuru grafiki ir parādīti attēlos, ir pāra, bet kuras ir nepāra?