Vidusskolas un vidusskolas kursos studenti aptvēra tēmu “Daļskaitļi”. Tomēr šis jēdziens ir daudz plašāks par mācību procesā doto. Mūsdienās ar daļskaitļa jēdzienu saskaras diezgan bieži, un ne visi var aprēķināt jebkuru izteiksmi, piemēram, reizināt daļskaitļus.

Kas ir daļa?

Vēsturiski daļskaitļi radās nepieciešamības mērīt. Kā liecina prakse, bieži vien ir piemēri segmenta garuma un taisnstūra taisnstūra tilpuma noteikšanai.

Sākotnēji skolēni tiek iepazīstināti ar akcijas jēdzienu. Piemēram, ja jūs sadalāt arbūzu 8 daļās, tad katrs saņems vienu astoto daļu no arbūza. Šo vienu daļu no astoņiem sauc par akciju.

Daļu, kas vienāda ar ½ no jebkuras vērtības, sauc par pusi; ⅓ - trešais; ¼ - ceturtdaļa. Ierakstus formā 5/8, 4/5, 2/4 sauc par parastajām daļām. Kopējo daļskaitli iedala skaitītājā un saucējā. Starp tiem ir frakciju josla vai frakciju josla. Daļējo līniju var novilkt kā horizontālu vai slīpu līniju. IN šajā gadījumā tas apzīmē dalījuma zīmi.

Saucējs norāda, cik vienādās daļās daudzums vai objekts ir sadalīts; un skaitītājs ir identisku akciju skaits. Skaitītājs ir rakstīts virs daļskaitļa līnijas, saucējs ir rakstīts zem tās.

Visērtāk ir parādīt parastās daļskaitļus koordinātu starā. Ja vienības segments ir sadalīts 4 vienādās daļās, marķējiet katru daļu Latīņu burts, tad rezultāts var būt lielisks vizuālais palīglīdzeklis. Tātad punkts A parāda daļu, kas vienāda ar 1/4 no visa vienības segmenta, un punkts B atzīmē 2/8 no noteiktā segmenta.

Frakciju veidi

Daļskaitļi var būt parastie, decimālskaitļi un jaukti skaitļi. Turklāt frakcijas var iedalīt pareizās un nepareizās. Šī klasifikācija ir vairāk piemērota parastajām frakcijām.

Pareiza daļa ir skaitlis, kura skaitītājs ir mazāks par saucēju. Attiecīgi nepareiza daļa ir skaitlis, kura skaitītājs ir lielāks par tā saucēju. Otro veidu parasti raksta kā jauktu skaitli. Šī izteiksme sastāv no vesela skaitļa un daļdaļas. Piemēram, 1½. 1 - visa daļa, ½ - daļskaitlis. Tomēr, ja jums ir jāveic dažas manipulācijas ar izteiksmi (daļskaitļu dalīšana vai reizināšana, to samazināšana vai pārveidošana), jauktais skaitlis tiek pārveidots par nepareizu daļskaitli.

Pareiza daļskaitļa izteiksme vienmēr ir mazāka par vienu, bet nepareiza vienmēr ir lielāka vai vienāda ar 1.

Runājot par šo izteiksmi, mēs domājam ierakstu, kurā attēlots jebkurš skaitlis, kura daļskaitļa saucēju var izteikt ar vienu ar vairākām nullēm. Ja daļa ir pareiza, tad veselā skaitļa daļa decimāldaļās būs vienāda ar nulli.

Lai uzrakstītu decimāldaļu, vispirms ir jāuzraksta visa daļa, jāatdala tā no daļskaitļa, izmantojot komatu, un pēc tam jāieraksta daļskaitļa izteiksme. Jāatceras, ka aiz komata skaitītājā jāsatur tikpat daudz ciparu rakstzīmju, cik saucējā ir nulles.

Piemērs. Izsakiet daļu 7 21/1000 decimāldaļās.

Algoritms nepareizas daļskaitļa pārvēršanai par jauktu skaitli un otrādi

Uzdevuma atbildē ir nepareizi rakstīt nepareizu daļskaitli, tāpēc tas ir jāpārvērš par jauktu skaitli:

• dalīt skaitītāju ar esošo saucēju;
• V konkrēts piemērs nepilnīgs koeficients - vesels;
• un atlikums ir daļdaļas skaitītājs, un saucējs paliek nemainīgs.

Piemērs. Pārvērst nepareizo daļskaitli uz jauktu skaitli: 47/5.

Risinājums. 47: 5. Daļējais koeficients ir 9, atlikums = 2. Tātad, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Dažreiz jaukts skaitlis ir jāattēlo kā nepareiza daļskaitļa. Tad jums jāizmanto šāds algoritms:

• veselo skaitļu daļu reizina ar daļskaitļa izteiksmes saucēju;
• iegūto reizinājumu pievieno skaitītājam;
• rezultāts tiek ierakstīts skaitītājā, saucējs paliek nemainīgs.

Piemērs. Norādiet skaitli jauktā veidā kā nepareizu daļskaitli: 9 8 / 10.

Risinājums. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ir skaitītājs.

Atbilde: 98 / 10.

Daļskaitļu reizināšana

Ar parastajām daļām var veikt dažādas algebriskas darbības. Lai reizinātu divus skaitļus, jums jāreizina skaitītājs ar skaitītāju un saucējs ar saucēju. Turklāt daļskaitļu reizināšana ar dažādiem saucējiem neatšķiras no reizinājuma daļskaitļi ar tiem pašiem saucējiem.

Gadās, ka pēc rezultāta atrašanas jums ir jāsamazina daļa. Rezultātā iegūtā izteiksme ir obligāti jāvienkāršo, cik vien iespējams. Protams, nevar teikt, ka nepareizā daļskaitlī atbildē ir kļūda, taču arī to ir grūti nosaukt par pareizu atbildi.

Piemērs. Atrodiet divu parasto daļu reizinājumu: ½ un 20/18.

Kā redzams no piemēra, pēc produkta atrašanas tiek iegūts reducējams daļskaitļu apzīmējums. Gan skaitītājs, gan saucējs šajā gadījumā tiek dalīti ar 4, un rezultāts ir atbilde 5/9.

Decimāldaļu reizināšana

Darbs decimāldaļas principā diezgan atšķiras no parastajiem darbiem. Tātad, daļskaitļu reizināšana ir šāda:

• divas decimāldaļas jāraksta viens zem otra tā, lai galēji labās malas cipari būtu viens zem otra;
• rakstītie skaitļi jāreizina, neskatoties uz komatiem, tas ir, kā naturāli skaitļi;
• saskaitīt ciparu skaitu aiz komata katrā ciparā;
• rezultātā, kas iegūts pēc reizināšanas, no labās puses jāskaita tik daudz ciparu simbolu, kas ir ietverts summā abos faktoros aiz komata, un jāievieto atdalošā zīme;
• ja produktā ir mazāk skaitļu, tad tiem priekšā jāraksta tik nulles, lai šis skaitlis aptvertu, jāliek komats un jāpievieno visa daļa, kas vienāda ar nulli.

Piemērs. Aprēķina divu decimāldaļu reizinājumu: 2,25 un 3,6.

Risinājums.

Jaukto frakciju reizināšana

Lai aprēķinātu divu jauktu frakciju reizinājumu, jums jāizmanto frakciju reizināšanas noteikums:

• pārvērst jauktos skaitļus nepareizās daļskaitļos;
• atrast skaitītāju reizinājumu;
• atrast saucēju reizinājumu;
• pierakstiet rezultātu;
• pēc iespējas vienkāršojiet izteicienu.

Piemērs. Atrodiet reizinājumu 4½ un 6 2/5.

Skaitļa reizināšana ar daļskaitli (daļdaļas ar skaitli)

Papildus divu daļskaitļu un jauktu skaitļu reizinājuma atrašanai ir uzdevumi, kuros jāreizina ar daļskaitli.

Tātad, lai atrastu decimāldaļskaitļa un naturālā skaitļa reizinājumu, jums ir nepieciešams:

• ierakstiet skaitli zem daļskaitļa tā, lai galējie labie cipari būtu viens virs otra;
• atrast preci, neskatoties uz komatu;
• iegūtajā rezultātā atdaliet veselo skaitļu daļu no daļdaļas, izmantojot komatu, skaitot no labās puses ciparu skaitu, kas atrodas aiz komata.

Lai parasto daļskaitli reizinātu ar skaitli, jāatrod skaitītāja un naturālā faktora reizinājums. Ja atbildes rezultāts ir daļa, kuru var samazināt, tā ir jāpārvērš.

Piemērs. Aprēķiniet reizinājumu no 5/8 un 12.

Risinājums. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Atbilde: 7 1 / 2.

Kā redzat no iepriekšējā piemēra, bija jāsamazina iegūtais rezultāts un jāpārvērš nepareizā daļskaitļa izteiksme jauktā skaitā.

Daļskaitļu reizināšana attiecas arī uz skaitļa jauktā formā un naturālā faktora reizinājuma atrašanu. Lai reizinātu šos divus skaitļus, visa jauktā faktora daļa jāreizina ar skaitli, skaitītājs jāreizina ar to pašu vērtību un saucējs jāatstāj nemainīgs. Ja nepieciešams, jums pēc iespējas jāvienkāršo iegūtais rezultāts.

Piemērs. Atrodiet 9 5/6 un 9 reizinājumu.

Risinājums. 9 5/6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45/6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2.

Atbilde: 88 1 / 2.

Reizināšana ar koeficientiem 10, 100, 1000 vai 0,1; 0,01; 0,001

No iepriekšējās rindkopas izriet šāds noteikums. Lai decimāldaļdaļu reizinātu ar 10, 100, 1000, 10 000 utt., decimālpunkts jāpārvieto pa labi par tik cipariem, cik faktorā aiz viena ir nulles.

1. piemērs. Atrodiet reizinājumu 0,065 un 1000.

Risinājums. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Atbilde: 65.

2. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 3,9 un 1000.

Risinājums. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Atbilde: 3900.

Ja nepieciešams reizināt naturālu skaitli un 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 utt., jums ir jāpārvieto komats iegūtajā produktā pa kreisi par tik ciparu rakstzīmēm, cik nulles ir pirms viena. Ja nepieciešams, pirms naturālā skaitļa tiek ierakstīts pietiekams skaits nulles.

1. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 56 un 0,01.

Risinājums. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Atbilde: 0,56.

2. piemērs. Atrodiet reizinājumu no 4 un 0,001.

Risinājums. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Atbilde: 0,004.

Tātad dažādu frakciju reizinājuma atrašana nedrīkst radīt nekādas grūtības, izņemot varbūt rezultāta aprēķināšanu; šajā gadījumā jūs vienkārši nevarat iztikt bez kalkulatora.

Decimāldaļu izmanto, ja nepieciešams veikt darbības ar skaitļiem, kas nav veseli. Tas var šķist neracionāli. Bet šāda veida skaitļi ievērojami vienkāršo matemātiskās darbības, kas ar tiem jāveic. Šī izpratne rodas ar laiku, kad to rakstīšana kļūst pazīstama, un to lasīšana nesagādā grūtības, un ir apgūti decimāldaļskaitļu noteikumi. Turklāt visas darbības atkārto jau zināmās, kas apgūtas ar naturāliem skaitļiem. Jums vienkārši jāatceras dažas funkcijas.

Decimāldaļas definīcija

Decimāldaļa ir īpašs skaitļa, kas nav vesels skaitlis, attēlojums ar saucēju, kas dalās ar 10, sniedzot atbildi kā vienu un, iespējams, ar nullēm. Citiem vārdiem sakot, ja saucējs ir 10, 100, 1000 un tā tālāk, tad ērtāk ir pārrakstīt skaitli, izmantojot komatu. Tad visa daļa atradīsies pirms tās, un tad daļējā daļa. Turklāt skaitļa otrās puses ierakstīšana būs atkarīga no saucēja. Ciparu skaitam, kas atrodas daļējā daļā, jābūt vienādam ar saucēja ciparu.

Iepriekš minēto var ilustrēt ar šādiem skaitļiem:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Decimālskaitļu izmantošanas iemesli

Matemātiķiem bija vajadzīgas decimāldaļas vairāku iemeslu dēļ:

Ierakstīšanas vienkāršošana. Šāda daļa atrodas pa vienu līniju bez domuzīmes starp saucēju un skaitītāju, savukārt skaidrība necieš.

Vienkāršība salīdzinājumā. Pietiek vienkārši korelēt skaitļus, kas atrodas vienādās pozīcijās, savukārt ar parastajām daļskaitļiem tie būtu jāsamazina līdz kopsaucējam.

Vienkāršojiet aprēķinus.

Kalkulatori nav paredzēti daļskaitļu pieņemšanai, izmantojot decimāldaļu apzīmējumus visām darbībām.

Kā pareizi nolasīt šādus skaitļus?

Atbilde ir vienkārša: tāpat kā parasts jaukts skaitlis ar saucēju, kas ir 10 reizināts. Vienīgais izņēmums ir daļskaitļi bez vesela skaitļa vērtības, tad lasot ir jāizrunā "nulle integers".

Piemēram, 45/1000 jāizrunā kā četrdesmit piecas tūkstošdaļas, tajā pašā laikā 0,045 skanēs nulle punkts četrdesmit piecas tūkstošdaļas.

Jaukts skaitlis ar veselu skaitļu daļu 7 un daļskaitli 17/100, kas būtu rakstīts kā 7,17, abos gadījumos tiktu nolasīts kā septiņi punkti septiņpadsmit.

Ciparu loma daļskaitļu rakstīšanā

Pareiza ranga atzīmēšana ir tas, ko prasa matemātika. Decimāldaļas un to nozīme var būtiski mainīties, ja ciparu ierakstāt nepareizā vietā. Tomēr iepriekš tā bija taisnība.

Lai nolasītu visas decimāldaļskaitļa daļas ciparus, jums vienkārši jāizmanto zināmie noteikumi naturālie skaitļi. Un labajā pusē tie ir atspoguļoti un lasāmi atšķirīgi. Ja visa daļa skanēja “desmitie”, tad pēc komata tas būs “desmitdaļas”.

To var skaidri redzēt šajā tabulā.

Kā pareizi uzrakstīt jauktu skaitli kā decimāldaļu?

Ja saucējā ir skaitlis, kas vienāds ar 10 vai 100, un citi, tad jautājums par to, kā pārvērst daļu decimāldaļā, nav grūts. Lai to izdarītu, ir pietiekami pārrakstīt visas tā sastāvdaļas atšķirīgi. Tam palīdzēs šādi punkti:

uzrakstiet daļskaitļa skaitītāju nedaudz uz sāniem, šajā brīdī aiz komata atrodas labajā pusē, aiz pēdējā cipara;

pārvietojiet komatu pa kreisi, šeit vissvarīgākais ir pareizi saskaitīt skaitļus - jums tas jāpārvieto par tik pozīcijām, cik saucējā ir nulles;

ja to nav pietiekami daudz, tad tukšajās pozīcijās jābūt nullēm;

nulles, kas atradās skaitītāja beigās, tagad nav vajadzīgas, un tās var izsvītrot;

Pirms komata pievienojiet visu daļu, ja tās nebija, tad šeit būs arī nulle.

Uzmanību. Jūs nevarat izsvītrot nulles, kuras ieskauj citi skaitļi.

Par to, kā rīkoties situācijā, kad saucējā ir skaitlis, kas sastāv ne tikai no vieniniekiem un nullēm, un kā pārvērst daļu aiz komata, varat lasīt tālāk. Šis svarīga informācija, kuru noteikti ir vērts pārbaudīt.

Kā pārvērst daļu decimāldaļā, ja saucējs ir patvaļīgs skaitlis?

Šeit ir divas iespējas:

Kad saucēju var attēlot kā skaitli, kas ir vienāds ar desmit jebkurai pakāpei.

Ja šādu operāciju nevar veikt.

Kā es varu to pārbaudīt? Jums ir jāņem vērā saucējs. Ja produktā ir tikai 2 un 5, tad viss ir kārtībā, un daļu var viegli pārvērst par pēdējo decimāldaļu. Pretējā gadījumā, ja parādās 3, 7 un citi pirmskaitļi, rezultāts būs bezgalīgs. Šāda decimāldaļa izmantošanas ērtībai matemātiskās operācijas Ir pieņemts noapaļot. Tas tiks apspriests nedaudz zemāk.

Izpēta, kā tiek veidotas decimāldaļas, 5. klase. Šeit sniegtie piemēri būs ļoti noderīgi.

Lai saucēji ir skaitļi: 40, 24 un 75. Sadalījums uz galvenie faktori viņiem tas būs šādi:

• 40=2·2·2·5;
• 24=2·2·2·3;
• 75=5·5·3.

Šajos piemēros tikai pirmo daļu var attēlot kā pēdējo daļu.

Algoritms parastās daļdaļas pārvēršanai par pēdējo decimāldaļu

Pārbaudiet saucēja faktorizāciju pirmfaktoros un pārliecinieties, ka tas sastāvēs no 2 un 5.

Pievienojiet šiem skaitļiem tik daudz 2 un 5, lai tie būtu vienādi. Tie dos papildu reizinātāja vērtību.

Reiziniet saucēju un skaitītāju ar šo skaitli. Rezultāts būs parasta daļa, zem kuras rindas zināmā mērā ir 10.

Ja uzdevumā šīs darbības tiek veiktas ar jaukts numurs, tad tas vispirms ir jāattēlo kā nepareiza daļdaļa. Un tikai pēc tam rīkojieties saskaņā ar aprakstīto scenāriju.

Daļas attēlošana kā noapaļota decimāldaļa

Dažiem šī daļskaitļa pārvēršanas metode aiz komata var šķist pat vienkāršāka. Jo tajā nav daudz darbību. Jums vienkārši jādala skaitītājs ar saucēju.

Jebkuram skaitlim ar decimāldaļu pa labi no komata var piešķirt bezgalīgu skaitu nulles. Šis īpašums ir tas, kas jums ir jāizmanto.

Vispirms pierakstiet visu daļu un pēc tās ielieciet komatu. Ja daļa ir pareiza, ierakstiet nulli.

Tad jums ir jāsadala skaitītājs ar saucēju. Lai tiem būtu vienāds ciparu skaits. Tas ir, pievienojiet skaitītāja labajā pusē nepieciešamais daudzums nulles.

Veiciet garo dalīšanu, līdz tiek sasniegts nepieciešamais ciparu skaits. Piemēram, ja nepieciešams noapaļot līdz simtdaļām, tad atbildei jābūt 3. Kopumā vajadzētu būt par vienu skaitli vairāk, nekā beigās jāiegūst.

Pierakstiet starpatbildi aiz komata un noapaļojiet saskaņā ar noteikumiem. Ja pēdējais cipars ir no 0 līdz 4, jums tas vienkārši ir jāizmet. Un, kad tas ir vienāds ar 5-9, tad priekšā esošais ir jāpalielina par vienu, izmetot pēdējo.

Atgriezties no decimāldaļas uz parasto daļskaitli

Matemātikā rodas problēmas, kad decimāldaļas ir ērtāk attēlot parasto daļskaitļu veidā, kuros ir skaitītājs ar saucēju. Jūs varat atviegloti nopūsties: šī operācija vienmēr ir iespējama.

Lai veiktu šo procedūru, jums jāveic šādas darbības:

pierakstiet visu daļu, ja tā ir vienāda ar nulli, tad nekas nav jāraksta;

uzzīmējiet daļlīniju;

virs tā pierakstiet ciparus no labās puses, ja nulles ir pirmās, tad tās ir jāizsvītro;

Zem rindas ierakstiet vienību ar tik nullēm, cik ciparu ir aiz komata sākotnējā daļā.

Tas ir viss, kas jums jādara, lai decimāldaļu pārvērstu par daļskaitli.

Ko jūs varat darīt ar decimāldaļām?

Matemātikā tās būs noteiktas darbības ar decimāldaļām, kas iepriekš tika veiktas citiem skaitļiem.

Viņi ir:

salīdzinājums;

saskaitīšana un atņemšana;

reizināšana un dalīšana.

Pirmā darbība, salīdzināšana, ir līdzīga tam, kā tā tika veikta ar naturāliem skaitļiem. Lai noteiktu, kurš ir lielāks, jāsalīdzina visas daļas cipari. Ja tie izrādās vienādi, viņi pāriet uz daļskaitli un arī salīdzina tos pēc cipariem. Atbilde būs skaitlis ar lielāko ciparu nozīmīgākajā ciparā.

Decimāldaļu saskaitīšana un atņemšana

Šīs, iespējams, ir visvairāk vienkāršas darbības. Jo tie tiek veikti saskaņā ar naturālo skaitļu noteikumiem.



Tātad, lai pievienotu decimāldaļas, tās jāraksta viena zem otras, kolonnā ievietojot komatus. Izmantojot šo apzīmējumu, pa kreisi no komatiem parādās veselas daļas, bet labajā pusē - daļdaļas. Un tagad jums ir jāpievieno skaitļi pa bitam, kā tas tiek darīts ar naturāliem skaitļiem, pārvietojot komatu uz leju. Jums jāsāk pievienot no skaitļa daļējās daļas mazākā cipara. Ja labajā pusē nav pietiekami daudz skaitļu, tad pievieno nulles.

Tas pats attiecas uz atņemšanu. Un šeit ir noteikums, kas apraksta iespēju ņemt vienību no augstākā ranga. Ja reducētajai daļai aiz komata ir mazāk ciparu nekā atņemtajai daļai, tad tai vienkārši pievieno nulles.

Nedaudz sarežģītāka situācija ir ar uzdevumiem, kur jāreizina un jādala decimāldaļdaļas.

Kā reizināt decimāldaļu dažādos piemēros?

Noteikums decimāldaļu reizināšanai ar naturālu skaitli ir šāds:

pierakstiet tos kolonnā, ignorējot komatu;

vairojas tā, it kā tie būtu dabiski;

Atdaliet ar komatu tik daudz ciparu, cik bija sākotnējā skaitļa daļdaļā.

Īpašs gadījums ir piemērs, kurā naturāls skaitlis ir vienāds ar 10 jebkurai pakāpei. Tad, lai saņemtu atbildi, jums vienkārši jāpārvieto decimālpunkts pa labi par tik pozīcijām, cik citā koeficientā ir nulles. Citiem vārdiem sakot, reizinot ar 10, decimālzīme pārvietojas par vienu ciparu, par 100 - tie būs divi utt. Ja daļējā daļā nav pietiekami daudz skaitļu, tad tukšajās pozīcijās jāraksta nulles.

Noteikums, kas tiek izmantots, ja uzdevumā ir jāreizina decimāldaļdaļas ar citu to pašu skaitli:

pierakstiet tos vienu pēc otra, nepievēršot uzmanību komatiem;

vairojas tā, it kā tie būtu dabiski;

Atdaliet ar komatu tik ciparu, cik bija abu sākotnējo daļskaitļu daļdaļās kopā.

Īpašs gadījums ir piemēri, kuros viens no reizinātājiem ir vienāds ar 0,1 vai 0,01 un tā tālāk. Tajos ir jāpārvieto decimālpunkts pa kreisi par norādīto faktoru ciparu skaitu. Tas ir, ja to reizina ar 0,1, tad decimālpunkts tiek nobīdīts par vienu pozīciju.

Kā sadalīt decimāldaļu dažādos uzdevumos?

Decimāldaļu dalīšana ar naturālu skaitli tiek veikta saskaņā ar šādu noteikumu:

pierakstiet tos sadalīšanai kolonnā tā, it kā tie būtu dabiski;

sadaliet saskaņā ar parasto noteikumu, līdz visa daļa ir beigusies;

atbildē ielieciet komatu;

turpina dalīt daļkomponentu, līdz atlikums ir nulle;

ja nepieciešams, varat pievienot vajadzīgo nulles skaitu.

Ja veselā skaitļa daļa ir vienāda ar nulli, tad tā arī atbildē nebūs.

Atsevišķi ir dalījums skaitļos, kas vienādi ar desmit, simtu un tā tālāk. Šādās problēmās decimālpunkts ir jāpārvieto pa kreisi par nulles skaitu dalītājā. Gadās, ka veselā daļā nav pietiekami daudz skaitļu, tad tā vietā tiek izmantotas nulles. Var redzēt, ka šī darbība ir līdzīga reizināšanai ar 0,1 un līdzīgiem skaitļiem.

Lai dalītu decimāldaļas, jums jāizmanto šis noteikums:

pagrieziet dalītāju par naturālu skaitli un, lai to izdarītu, pārvietojiet tajā esošo komatu pa labi līdz galam;

pārvietot decimālzīmi dividendē par tādu pašu ciparu skaitu;

rīkojieties saskaņā ar iepriekšējo scenāriju.

Dalījums ar 0,1 ir iezīmēts; 0,01 un citi līdzīgi skaitļi. Šādos piemēros decimālpunkts tiek pārvietots pa labi par daļdaļas ciparu skaitu. Ja tie beidzas, jums jāpievieno trūkstošais nulles skaits. Ir vērts atzīmēt, ka šī darbība atkārto dalīšanu ar 10 un līdzīgus skaitļus.



Secinājums: tas viss ir saistīts ar praksi

Nekas mācībās nenāk viegli vai bez piepūles. Uzticama jauna materiāla apguve prasa laiku un praksi. Matemātika nav izņēmums.

Lai tēma par decimāldaļskaitļiem nesagādātu grūtības, ar tām jāatrisina pēc iespējas vairāk piemēru. Galu galā bija laiks, kad naturālu skaitļu pievienošana bija strupceļš. Un tagad viss ir kārtībā.

Tāpēc, pārfrāzējot labi zināmu frāzi: izlem, izlem un vēlreiz izlem. Tad uzdevumi ar šādiem cipariem tiks izpildīti viegli un dabiski, kā cita mīkla.

Starp citu, mīklas sākumā ir grūti atrisināt, un pēc tam jums ir jāveic parastās kustības. Tas pats ir matemātiskajos piemēros: vairākas reizes ejot pa vienu un to pašu ceļu, jūs vairs nedomājat, kur vērsties.

Pāriesim pie nākamās darbības pētīšanas ar decimāldaļskaitļiem, tagad mēs to aplūkosim vispusīgi reizinot decimāldaļas. Vispirms parunāsim visparīgie principi reizinot decimāldaļas. Pēc tam mēs pāriesim pie decimāldaļskaitļa reizināšanas ar decimāldaļu, parādīsim, kā decimāldaļdaļas reizināt ar kolonnu, un apsvērsim piemēru risinājumus. Tālāk mēs aplūkosim decimāldaļu reizināšanu ar naturāliem skaitļiem, jo ​​īpaši ar 10, 100 utt. Visbeidzot, parunāsim par decimāldaļu reizināšanu ar daļskaitļiem un jauktiem skaitļiem.

Uzreiz teiksim, ka šajā rakstā mēs runāsim tikai par pozitīvo decimāldaļu reizināšanu (skat. pozitīvos un negatīvos skaitļus). Pārējie gadījumi ir aplūkoti rakstos racionālo skaitļu reizināšana un reālo skaitļu reizināšana.

Lapas navigācija.

Vispārīgie decimālskaitļu reizināšanas principi

Apspriedīsim vispārīgos principus, kas jāievēro, reizinot ar decimāldaļām.

Tā kā ierobežotas decimāldaļas un bezgalīgas periodiskas daļskaitļi ir parasto daļskaitļu decimālā forma, šādu decimāldaļu reizināšana būtībā nozīmē parasto daļskaitļu reizināšanu. Citiem vārdiem sakot, reizinot galīgās decimāldaļas, galīgo un periodisko decimālo daļu reizināšana, un reizinot periodiskas decimāldaļas Tas nozīmē parasto daļskaitļu reizināšanu pēc decimāldaļskaitļu pārvēršanas parastajās.

Apskatīsim piemērus, kā pielietot norādīto decimāldaļskaitļu reizināšanas principu.

Piemērs.

Reiziniet decimāldaļas 1,5 un 0,75.

Risinājums.

Aizstāsim reizinātās decimāldaļas ar atbilstošajām parastajām daļām. Tā kā 1,5=15/10 un 0,75=75/100, tad . Jūs varat samazināt daļskaitli, pēc tam izolēt visu daļu no nepareizās daļskaitļa, un ērtāk ir rakstīt iegūto parasto daļu 1 125/1 000 kā decimāldaļu 1,125.

Atbilde:

1,5·0,75=1,125.

Jāatzīmē, ka kolonnā ir ērti reizināt pēdējās decimāldaļas, mēs runāsim par šo decimāldaļskaitļu reizināšanas metodi.

Apskatīsim periodisko decimālo daļu reizināšanas piemēru.

Piemērs.

Aprēķiniet periodisko decimāldaļu 0,(3) un 2,(36) reizinājumu.

Risinājums.

Pārvērsim periodiskās decimāldaļas par parastajām daļām:

Tad . Iegūto parasto daļu var pārvērst par decimāldaļskaitli:

Atbilde:

0, (3) · 2, (36) = 0, (78) .

Ja starp reizinātajām decimāldaļām ir bezgalīgas neperiodiskās daļas, tad visas reizinātās daļas, ieskaitot galīgās un periodiskās, jānoapaļo līdz noteiktam ciparam (sk. skaitļu noapaļošana), un pēc tam reiziniet pēdējās decimāldaļas, kas iegūtas pēc noapaļošanas.

Piemērs.

Reiziniet decimāldaļas ar 5,382... un 0,2.

Risinājums.

Vispirms noapaļosim bezgalīgu neperiodisku decimāldaļu, noapaļošanu var veikt līdz simtdaļām, mums ir 5,382...≈5,38. Pēdējā decimāldaļdaļa 0,2 nav jānoapaļo līdz tuvākajai simtdaļai. Tādējādi 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Atliek aprēķināt pēdējo decimāldaļskaitļu reizinājumu: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.

Atbilde:

5,382…·0,2≈1,076.

Decimāldaļu reizināšana ar kolonnu

Galīgo decimālo daļu reizināšanu var veikt kolonnā, līdzīgi kā reizināt naturālus skaitļus kolonnā.

Formulēsim noteikums decimāldaļu reizināšanai ar kolonnu. Lai decimāldaļas reizinātu ar kolonnu, jums ir nepieciešams:

• nepievēršot uzmanību komatiem, veic reizināšanu pēc visiem reizināšanas noteikumiem ar naturālu skaitļu kolonnu;
• iegūtajā skaitlī ar komatu atdaliet tik ciparus labajā pusē, cik abos faktoros kopā ir skaitļi aiz komata, un, ja reizinājumam nav pietiekami daudz ciparu, tad pa kreisi jāpievieno nepieciešamais nulles.

Apskatīsim piemērus decimāldaļskaitļu reizināšanai ar kolonnām.

Piemērs.

Reiziniet decimāldaļas 63,37 un 0,12.

Risinājums.

Reizināsim decimāldaļas kolonnā. Pirmkārt, mēs reizinām skaitļus, ignorējot komatus:

Atliek tikai pievienot iegūtajam produktam komatu. Viņai ir jāatdala 4 cipari pa labi, jo faktoriem kopā ir četras zīmes aiz komata (divi daļdaļā 3,37 un divi daļdaļā 0,12). Tur ir pietiekami daudz skaitļu, tāpēc jums nav jāpievieno nulles pa kreisi. Pabeigsim ierakstīšanu:

Rezultātā mums ir 3,37·0,12=7,6044.

Atbilde:

3,37·0,12=7,6044.

Piemērs.

Aprēķiniet decimāldaļu reizinājumu 3,2601 un 0,0254.

Risinājums.

Veicot reizināšanu kolonnā, neņemot vērā komatus, mēs iegūstam šādu attēlu:

Tagad produktā 8 cipari labajā pusē ir jāatdala ar komatu, jo reizināto daļskaitļu kopējais zīmju skaits aiz komata ir astoņas. Bet produktā ir tikai 7 cipari, tāpēc pa kreisi jāpievieno tik nulles, lai 8 ciparus varētu atdalīt ar komatu. Mūsu gadījumā mums ir jāpiešķir divas nulles:

Tas pabeidz decimāldaļskaitļu reizināšanu ar kolonnu.

Atbilde:

3,2601·0,0254=0,08280654.

Reizinot decimāldaļas ar 0,1, 0,01 utt.

Diezgan bieži decimāldaļas jāreizina ar 0,1, 0,01 utt. Tāpēc ir ieteicams formulēt noteikumu decimāldaļskaitļa reizināšanai ar šiem skaitļiem, kas izriet no iepriekš apskatītajiem decimāldaļskaitļu reizināšanas principiem.

Tātad, reizinot doto decimāldaļu ar 0,1, 0,01, 0,001 un tā tālāk dod daļu, kas iegūta no sākotnējā, ja tās apzīmējumā komats ir pārvietots pa kreisi attiecīgi par 1, 2, 3 un tā tālāk cipariem, un, ja nav pietiekami daudz ciparu, lai pārvietotu komatu, tad ir nepieciešams pievienojiet vajadzīgo nulles skaitu pa kreisi.

Piemēram, lai decimāldaļu 54,34 reizinātu ar 0,1, jums ir jāpārvieto decimālpunkts daļā 54,34 pa kreisi ar 1 ciparu, kas iegūs daļu 5,434, tas ir, 54,34·0,1=5,434. Sniegsim vēl vienu piemēru. Reiziniet decimāldaļu 9,3 ar 0,0001. Lai to izdarītu, reizinātajā decimāldalībā 9.3 ir jāpārvieto decimālpunkts par 4 cipariem pa kreisi, bet daļskaitļa 9.3 apzīmējumā nav tik daudz ciparu. Tāpēc mums ir jāpiešķir tik daudz nulles pa kreisi no daļskaitļa 9,3, lai mēs varētu viegli pārvietot decimālzīmi līdz 4 cipariem, mums ir 9,3·0,0001=0,00093.

Ņemiet vērā, ka noteiktais noteikums decimāldaļskaitļa reizināšanai ar 0,1, 0,01, ... ir spēkā arī bezgalīgām decimāldaļdaļām. Piemēram, 0.(18)·0,01=0,00(18) vai 93,938…·0,1=9,3938….

Decimāldaļas reizināšana ar naturālu skaitli

Tās pamatā reizinot decimāldaļas ar naturāliem skaitļiem neatšķiras no decimāldaļas reizināšanas ar decimāldaļu.

Visērtāk ir reizināt pēdējo decimāldaļu ar naturālu skaitli kolonnā. Šajā gadījumā jums jāievēro noteikumi par decimāldaļskaitļu reizināšanu kolonnā, kas aprakstīti vienā no iepriekšējām rindkopām.

Piemērs.

Aprēķināt reizinājumu 15·2,27.

Risinājums.

Reizināsim naturālu skaitli ar decimāldaļu kolonnā:

Atbilde:

15·2,27=34,05.

Reizinot periodisko decimāldaļskaitli ar naturālu skaitli, periodiskā daļa jāaizstāj ar parasto daļu.

Piemērs.

Reiziniet decimāldaļu 0.(42) ar naturālo skaitli 22.

Risinājums.

Vispirms pārveidosim periodisko decimāldaļu par parastu daļskaitli:

Tagad veiksim reizināšanu: . Šis rezultāts aiz komata ir 9,(3) .

Atbilde:

0,(42)·22=9,(3) .

Un, reizinot bezgalīgu neperiodisku decimāldaļu ar naturālu skaitli, vispirms ir jāveic noapaļošana.

Piemērs.

Reiziniet ar 4·2,145….

Risinājums.

Sākotnējo bezgalīgo decimālo daļu noapaļojot līdz simtdaļām, mēs nonākam pie naturāla skaitļa un pēdējās decimāldaļdaļas reizināšanas. Mums ir 4·2,145…≈4·2,15=8,60.

Atbilde:

4·2,145…≈8,60.

Reizinot decimāldaļu ar 10, 100, ...

Diezgan bieži nākas reizināt decimāldaļas ar 10, 100, ... Tāpēc pie šiem gadījumiem vēlams pakavēties sīkāk.

Izrunāsim to noteikums decimāldaļskaitļa reizināšanai ar 10, 100, 1000 utt. Reizinot decimāldaļskaitli ar 10, 100, ... tās apzīmējumā ir jāpārvieto decimālzīme pa labi līdz attiecīgi 1, 2, 3, ... cipariem un jāatmet papildu nulles kreisajā pusē; ja reizinātās daļas apzīmējumā nav pietiekami daudz ciparu, lai pārvietotu decimālzīmi, tad jums jāpievieno vajadzīgais nulles skaits pa labi.

Piemērs.

Reiziniet decimāldaļu 0,0783 ar 100.

Risinājums.

Pārvietosim daļu 0,0783 divus ciparus pa labi, un mēs iegūstam 007,83. Atmetot divas nulles pa kreisi, tiek iegūta decimāldaļdaļa 7,38. Tādējādi 0,0783·100=7,83.

Atbilde:

0,0783·100=7,83.

Piemērs.

Reiziniet decimāldaļu 0,02 ar 10 000.

Risinājums.

Lai reizinātu 0,02 ar 10 000, mums ir jāpārvieto decimālzīme par 4 cipariem pa labi. Acīmredzot daļā 0,02 nav pietiekami daudz ciparu, lai komata zīmi pārvietotu par 4 cipariem, tāpēc mēs pievienosim dažas nulles pa labi, lai varētu pārvietot aiz komata. Mūsu piemērā pietiek pievienot trīs nulles, mums ir 0,02000. Pēc komata pārvietošanas mēs iegūstam ierakstu 00200.0. Atmetot nulles kreisajā pusē, mēs iegūstam skaitli 200,0, kas ir vienāds ar naturālo skaitli 200, kas ir rezultāts, reizinot decimāldaļu 0,02 ar 10 000.

Decimāldaļu reizināšana notiek trīs posmos.

Decimāldaļas raksta kolonnā un reizina kā parastos skaitļus.

Mēs saskaitām zīmju skaitu aiz komata pirmajai un otrajai decimāldaļai. Mēs saskaitām to skaitu.

Rezultātā mēs saskaitām no labās puses uz kreiso tādu pašu skaitļu skaitu, kāds iegūts iepriekšējā rindkopā, un ievietojam komatu.

Kā reizināt decimāldaļas

Decimāldaļas ierakstām kolonnā un reizinām kā naturālus skaitļus, ignorējot komatus. Tas ir, mēs uzskatām 3,11 par 311 un 0,01 par 1.

Mēs saņēmām 311. Tagad mēs saskaitām zīmju (ciparu) skaitu pēc komata abām daļām. Pirmajā decimāldaļā ir divi cipari, bet otrajā - divi. Kopējais zīmju skaits aiz komata:

Mēs saskaitām no labās puses uz kreiso 4 iegūtā skaitļa zīmes (ciparus). Iegūtais rezultāts satur mazāk skaitļu, nekā nepieciešams atdalīt ar komatu. Šajā gadījumā jums ir nepieciešams pa kreisi pievienojiet trūkstošo nulles skaitu.

Mums trūkst viena cipara, tāpēc pa kreisi pievienojam vienu nulli.

Reizinot jebkuru decimāldaļu uz 10; 100; 1000 utt. Komata zīme tiek pārvietota pa labi par tik vietām, cik nulles ir aiz viena.

Lai decimāldaļu reizinātu ar 0,1; 0,01; 0,001 utt., jums ir jāpārvieto decimālzīme šajā daļdaļā pa kreisi par tik vietām, cik nulles ir pirms viena.

Mēs saskaitām nulles veselus skaitļus!

• 12 0,1 = 1,2
• 0,05 · 0,1 = 0,005
• 1,256 · 0,01 = 0,012 56

Lai saprastu, kā reizināt decimāldaļas, apskatīsim konkrētus piemērus.

Noteikums decimāldaļu reizināšanai

1) Reiziniet, nepievēršot uzmanību komatam.

2) Rezultātā mēs atdalām tik daudz ciparu aiz komata, cik ir pēc komata abos faktoros kopā.

Atrodiet decimāldaļskaitļu reizinājumu:

Lai reizinātu decimāldaļas, mēs reizinām, nepievēršot uzmanību komatiem. Tas ir, mēs reizinām nevis 6,8 un 3,4, bet 68 un 34. Rezultātā mēs atdalām tik daudz ciparu aiz komata, cik ir pēc komata abos faktoros kopā. Pirmajā koeficientā aiz komata ir viens cipars, otrajā arī viens. Kopumā mēs atdalām divus skaitļus aiz komata. Tādējādi mēs saņēmām galīgo atbildi: 6,8∙3,4=23,12.

Mēs reizinām decimāldaļas, neņemot vērā decimālzīmi. Tas ir, faktiski tā vietā, lai reizinātu 36,85 ar 1,14, mēs reizinām 3685 ar 14. Mēs iegūstam 51590. Tagad šajā rezultātā mums ir jāatdala tik daudz ciparu ar komatu, cik ir abos faktoros kopā. Pirmajā ciparā ir divi cipari aiz komata, otrajā ir viens. Kopumā mēs atdalām trīs ciparus ar komatu. Tā kā ieraksta beigās aiz komata ir nulle, tad atbildē to nerakstām: 36.85∙1.4=51.59.

Lai reizinātu šīs decimāldaļas, reizināsim skaitļus, nepievēršot uzmanību komatiem. Tas ir, mēs reizinām naturālos skaitļus 2315 un 7. Iegūstam 16205. Šajā skaitlī ir jāatdala četri cipari aiz komata – tik, cik ir abos faktoros kopā (pa diviem katrā). Galīgā atbilde: 23,15∙0,07=1,6205.

Decimāldaļas reizināšana ar naturālu skaitli tiek veikta tādā pašā veidā. Mēs reizinām skaitļus, nepievēršot uzmanību komatam, tas ir, mēs reizinām 75 ar 16. Iegūtajā rezultātā pēc komata ir jābūt tādam pašam zīmju skaitam, kāds ir abos faktoros kopā - viens. Tādējādi 75∙1,6=120,0=120.

Mēs sākam reizināt decimāldaļas, reizinot naturālos skaitļus, jo mēs nepievēršam uzmanību komatiem. Pēc tam mēs atdalām tik daudz ciparu aiz komata, cik ir abos faktoros kopā. Pirmajā ciparā ir divas zīmes aiz komata, arī otrajam ir divas. Kopumā rezultātam jābūt četriem cipariem aiz komata: 4,72∙5,04=23,7888.

Un vēl daži piemēri par decimāldaļskaitļu reizināšanu:

www.for6cl.uznateshe.ru

Decimāldaļu reizināšana, noteikumi, piemēri, risinājumi.

Pārejam pie studijām nākamā darbība ar decimāldaļskaitļiem, mēs tagad apskatīsim vispusīgu reizinot decimāldaļas. Vispirms apspriedīsim vispārīgos decimālskaitļu reizināšanas principus. Pēc tam mēs pāriesim pie decimāldaļskaitļa reizināšanas ar decimāldaļu, parādīsim, kā decimāldaļdaļas reizināt ar kolonnu, un apsvērsim piemēru risinājumus. Tālāk mēs aplūkosim decimāldaļu reizināšanu ar naturāliem skaitļiem, jo ​​īpaši ar 10, 100 utt. Visbeidzot, parunāsim par decimāldaļu reizināšanu ar daļskaitļiem un jauktiem skaitļiem.

Uzreiz teiksim, ka šajā rakstā mēs runāsim tikai par pozitīvo decimāldaļskaitļu reizināšanu (skat. pozitīvo un negatīvi skaitļi). Pārējie gadījumi ir aplūkoti rakstos racionālo skaitļu reizināšana un reālo skaitļu reizināšana.

Lapas navigācija.

Vispārīgie decimālskaitļu reizināšanas principi

Apspriedīsim vispārīgos principus, kas jāievēro, reizinot ar decimāldaļām.

Tā kā ierobežotas decimāldaļas un bezgalīgas periodiskas daļskaitļi ir parasto daļskaitļu decimālā forma, šādu decimāldaļu reizināšana būtībā nozīmē parasto daļskaitļu reizināšanu. Citiem vārdiem sakot, reizinot galīgās decimāldaļas, galīgo un periodisko decimālo daļu reizināšana, un reizinot periodiskas decimāldaļas Tas nozīmē parasto daļskaitļu reizināšanu pēc decimāldaļskaitļu pārvēršanas parastajās.

Apskatīsim piemērus, kā pielietot norādīto decimāldaļskaitļu reizināšanas principu.

Reiziniet decimāldaļas 1,5 un 0,75.

Aizstāsim reizinātās decimāldaļas ar atbilstošajām parastajām daļām. Tā kā 1,5=15/10 un 0,75=75/100, tad. Jūs varat samazināt daļskaitli, pēc tam izolēt visu daļu no nepareizās daļas, un ērtāk ir rakstīt iegūto parasto daļu 1 125/1 000 kā decimālo daļu 1,125.

Jāatzīmē, ka kolonnā ir ērti reizināt pēdējās decimāldaļskaitļus, par šo decimāldaļskaitļu reizināšanas metodi mēs runāsim nākamajā rindkopā.

Apskatīsim periodisko decimālo daļu reizināšanas piemēru.

Aprēķiniet periodisko decimāldaļu 0,(3) un 2,(36) reizinājumu.

Pārvērsim periodiskās decimāldaļas par parastajām daļām:

Tad. Iegūto parasto daļu var pārvērst par decimāldaļskaitli:


Ja starp reizinātajām decimāldaļām ir bezgalīgas neperiodiskās daļas, tad visas reizinātās daļas, ieskaitot galīgās un periodiskās, jānoapaļo līdz noteiktam ciparam (sk. skaitļu noapaļošana), un pēc tam reiziniet pēdējās decimāldaļas, kas iegūtas pēc noapaļošanas.

Reiziniet decimāldaļas ar 5,382... un 0,2.

Vispirms noapaļosim bezgalīgu neperiodisku decimāldaļu, noapaļošanu var veikt līdz simtdaļām, mums ir 5,382...≈5,38. Pēdējā decimāldaļdaļa 0,2 nav jānoapaļo līdz tuvākajai simtdaļai. Tādējādi 5,382...·0,2≈5,38·0,2. Atliek aprēķināt pēdējo decimāldaļskaitļu reizinājumu: 5,38·0,2=538/100·2/10= 1,076/1,000=1,076.

Decimāldaļu reizināšana ar kolonnu

Galīgo decimālo daļu reizināšanu var veikt kolonnā, līdzīgi kā reizināt naturālus skaitļus kolonnā.

Formulēsim noteikums decimāldaļu reizināšanai ar kolonnu. Lai decimāldaļas reizinātu ar kolonnu, jums ir nepieciešams:

• nepievēršot uzmanību komatiem, veic reizināšanu pēc visiem reizināšanas noteikumiem ar naturālu skaitļu kolonnu;
• iegūtajā skaitlī ar komatu atdaliet tik ciparus labajā pusē, cik abos faktoros kopā ir skaitļi aiz komata, un, ja reizinājumam nav pietiekami daudz ciparu, tad pa kreisi jāpievieno nepieciešamais nulles.

Apskatīsim piemērus decimāldaļskaitļu reizināšanai ar kolonnām.

Reiziniet decimāldaļas 63,37 un 0,12.

Reizināsim decimāldaļas kolonnā. Pirmkārt, mēs reizinām skaitļus, ignorējot komatus:


Atliek tikai pievienot iegūtajam produktam komatu. Viņai ir jāatdala 4 cipari pa labi, jo faktoriem kopā ir četras zīmes aiz komata (divi daļdaļā 3,37 un divi daļdaļā 0,12). Tur ir pietiekami daudz skaitļu, tāpēc jums nav jāpievieno nulles pa kreisi. Pabeigsim ierakstīšanu:


Rezultātā mums ir 3,37·0,12=7,6044.

Aprēķiniet decimāldaļu reizinājumu 3,2601 un 0,0254.

Veicot reizināšanu kolonnā, neņemot vērā komatus, mēs iegūstam šādu attēlu:


Tagad produktā 8 cipari labajā pusē ir jāatdala ar komatu, jo reizināto daļskaitļu kopējais zīmju skaits aiz komata ir astoņas. Bet produktā ir tikai 7 cipari, tāpēc pa kreisi jāpievieno tik nulles, lai 8 ciparus varētu atdalīt ar komatu. Mūsu gadījumā mums ir jāpiešķir divas nulles:


Tas pabeidz decimāldaļskaitļu reizināšanu ar kolonnu.

Reizinot decimāldaļas ar 0,1, 0,01 utt.

Diezgan bieži decimāldaļas jāreizina ar 0,1, 0,01 utt. Tāpēc ir ieteicams formulēt noteikumu decimāldaļskaitļa reizināšanai ar šiem skaitļiem, kas izriet no iepriekš apskatītajiem decimāldaļskaitļu reizināšanas principiem.

Tātad, reizinot doto decimāldaļu ar 0,1, 0,01, 0,001 un tā tālāk dod daļu, kas iegūta no sākotnējā, ja tās apzīmējumā komats ir pārvietots pa kreisi attiecīgi par 1, 2, 3 un tā tālāk cipariem, un, ja nav pietiekami daudz ciparu, lai pārvietotu komatu, tad ir nepieciešams pievienojiet vajadzīgo nulles skaitu pa kreisi.

Piemēram, lai decimāldaļu 54,34 reizinātu ar 0,1, jums ir jāpārvieto decimālpunkts daļā 54,34 pa kreisi ar 1 ciparu, kas iegūs daļu 5,434, tas ir, 54,34·0,1=5,434. Sniegsim vēl vienu piemēru. Reiziniet decimāldaļu 9,3 ar 0,0001. Lai to izdarītu, reizinātajā decimāldalībā 9.3 ir jāpārvieto decimālpunkts par 4 cipariem pa kreisi, bet daļskaitļa 9.3 apzīmējumā nav tik daudz ciparu. Tāpēc mums ir jāpiešķir tik daudz nulles pa kreisi no daļskaitļa 9,3, lai mēs varētu viegli pārvietot decimālzīmi līdz 4 cipariem, mums ir 9,3·0,0001=0,00093.

Ņemiet vērā, ka noteiktais noteikums decimāldaļskaitļa reizināšanai ar 0,1, 0,01, ... ir spēkā arī bezgalīgām decimāldaļdaļām. Piemēram, 0.(18)·0,01=0,00(18) vai 93,938…·0,1=9,3938….

Decimāldaļas reizināšana ar naturālu skaitli

Tās pamatā reizinot decimāldaļas ar naturāliem skaitļiem neatšķiras no decimāldaļas reizināšanas ar decimāldaļu.

Visērtāk ir reizināt pēdējo decimāldaļu ar naturālu skaitli kolonnā. Šajā gadījumā jums jāievēro noteikumi par decimāldaļskaitļu reizināšanu kolonnā, kas aprakstīti vienā no iepriekšējām rindkopām.

Aprēķināt reizinājumu 15·2,27.

Reizināsim naturālu skaitli ar decimāldaļu kolonnā:


Reizinot periodisko decimāldaļskaitli ar naturālu skaitli, periodiskā daļa jāaizstāj ar parasto daļu.

Reiziniet decimāldaļu 0.(42) ar naturālo skaitli 22.

Vispirms pārveidosim periodisko decimāldaļu par parastu daļskaitli:

Tagad veiksim reizināšanu: . Šis rezultāts aiz komata ir 9,(3) .

Un, reizinot bezgalīgu neperiodisku decimāldaļu ar naturālu skaitli, vispirms ir jāveic noapaļošana.

Reiziniet ar 4·2,145….

Sākotnējo bezgalīgo decimālo daļu noapaļojot līdz simtdaļām, mēs nonākam pie naturāla skaitļa un pēdējās decimāldaļdaļas reizināšanas. Mums ir 4·2,145…≈4·2,15=8,60.

Reizinot decimāldaļu ar 10, 100, ...

Diezgan bieži nākas reizināt decimāldaļas ar 10, 100, ... Tāpēc pie šiem gadījumiem vēlams pakavēties sīkāk.

Izrunāsim to noteikums decimāldaļskaitļa reizināšanai ar 10, 100, 1000 utt. Reizinot decimāldaļskaitli ar 10, 100, ... tās apzīmējumā ir jāpārvieto decimālzīme pa labi līdz attiecīgi 1, 2, 3, ... cipariem un jāatmet papildu nulles kreisajā pusē; ja reizinātās daļas apzīmējumā nav pietiekami daudz ciparu, lai pārvietotu decimālzīmi, tad jums jāpievieno vajadzīgais nulles skaits pa labi.

Reiziniet decimāldaļu 0,0783 ar 100.

Pārvietosim daļu 0,0783 divus ciparus pa labi, un mēs iegūstam 007,83. Atmetot divas nulles pa kreisi, tiek iegūta decimāldaļdaļa 7,38. Tādējādi 0,0783·100=7,83.

Reiziniet decimāldaļu 0,02 ar 10 000.

Lai reizinātu 0,02 ar 10 000, mums ir jāpārvieto decimālzīme par 4 cipariem pa labi. Acīmredzot daļā 0,02 nav pietiekami daudz ciparu, lai komata zīmi pārvietotu par 4 cipariem, tāpēc mēs pievienosim dažas nulles pa labi, lai varētu pārvietot aiz komata. Mūsu piemērā pietiek pievienot trīs nulles, mums ir 0,02000. Pēc komata pārvietošanas mēs iegūstam ierakstu 00200.0. Atmetot nulles kreisajā pusē, mēs iegūstam skaitli 200,0, kas ir vienāds ar naturālo skaitli 200, kas ir rezultāts, reizinot decimāldaļu 0,02 ar 10 000.

Norādītais noteikums attiecas arī uz bezgalīgu decimāldaļskaitļu reizināšanu ar 10, 100, ... Reizinot periodiskas decimāldaļas, jums jābūt uzmanīgiem ar reizināšanas rezultātā iegūtās daļas periodu.

Reiziniet periodisko decimāldaļu 5,32(672) ar 1000.

Pirms reizināšanas ierakstīsim periodisko decimāldaļu kā 5.32672672672..., tas ļaus izvairīties no kļūdām. Tagad pārvietojiet komatu pa labi par 3 vietām, mums ir 5 326.726726…. Tādējādi pēc reizināšanas tiek iegūta periodiskā decimāldaļdaļa 5 326,(726).

5,32(672)·1000=5326,(726) .

Reizinot bezgalīgas neperiodiskas daļas ar 10, 100, ..., vispirms bezgalīgā daļa ir jānoapaļo līdz noteiktam ciparam un pēc tam jāveic reizināšana.

Decimāldaļas reizināšana ar daļskaitli vai jauktu skaitli

Lai reizinātu ierobežotu decimāldaļu vai bezgalīgu periodisku decimāldaļu ar parastu daļskaitli vai jauktu skaitli, decimāldaļdaļa ir jāattēlo formā kopējā frakcija, un pēc tam veiciet reizināšanu.

Reiziniet decimāldaļu 0,4 ar jauktu skaitli.

Tā kā 0,4=4/10=2/5 un pēc tam. Iegūto skaitli var uzrakstīt kā periodisku decimāldaļu 1,5(3).

Reizinot bezgalīgu neperiodisku decimālo daļu ar daļskaitli vai jauktu skaitli, aizstājiet daļskaitli vai jaukto skaitli ar decimālo daļu, pēc tam noapaļojiet reizinātās daļas un pabeidziet aprēķinu.

Tā kā 2/3=0,6666..., tad. Pēc reizināto daļskaitļu noapaļošanas līdz tūkstošdaļām mēs iegūstam divu pēdējo decimāldaļu reizinājumu 3,568 un 0,667. Veicam kolonnu reizināšanu:


Iegūtais rezultāts ir jānoapaļo līdz tuvākajai tūkstošdaļai, jo reizinātās daļas tika ņemtas ar precizitāti līdz tūkstošdaļai, mums ir 2,379856≈2,380.

www.cleverstudents.ru

29. Decimāldaļu reizināšana. Noteikumi




Atrodiet taisnstūra laukumu ar vienādām malām
1,4 dm un 0,3 dm. Pārvērsim decimetrus centimetros:

1,4 dm = 14 cm; 0,3 dm = 3 cm.

Tagad aprēķināsim laukumu centimetros.

S = 14 3 = 42 cm 2.

Pārvērtiet kvadrātcentimetrus kvadrātcentimetros
decimetri:

d m 2 = 0,42 d m 2.

Tas nozīmē, ka S = 1,4 dm 0,3 dm = 0,42 dm 2.

Divu decimāldaļu reizināšana tiek veikta šādi:
1) skaitļi tiek reizināti, neņemot vērā komatus.
2) komats produktā ir novietots tā, lai to atdalītu labajā pusē
tāds pats zīmju skaits, kāds ir atdalīts abos faktoros
apvienots. Piemēram:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Piemēri decimāldaļskaitļu reizināšanai kolonnā:



Tā vietā, lai reizinātu jebkuru skaitli ar 0,1; 0,01; 0,001
šo skaitli var dalīt ar 10; 100 ; vai attiecīgi 1000.
Piemēram:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Reizinot decimāldaļu ar naturālu skaitli, mums ir:

1) reizināt skaitļus, nepievēršot uzmanību komatam;

2) iegūtajā produktā ievietojiet komatu tā, lai tas būtu labajā pusē
tajā bija tāds pats ciparu skaits kā decimāldaļai.

Atradīsim produktu 3.12 10. Saskaņā ar iepriekš minēto noteikumu
Vispirms mēs reizinām 312 ar 10. Mēs iegūstam: 312 10 = 3120.
Tagad mēs atdalām divus ciparus labajā pusē ar komatu un iegūstam:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

Tas nozīmē, ka, reizinot 3,12 ar 10, mēs pārvietojām decimālzīmi par vienu
numuru pa labi. Ja mēs reizinām 3,12 ar 100, mēs iegūstam 312, tas ir
Komats tika pārvietots par diviem cipariem pa labi.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Reizinot decimāldaļu ar 10, 100, 1000 utt., jums ir nepieciešams
šajā daļā pārvietojiet decimālzīmi pa labi par tik vietām, cik ir nulles
ir reizinātāja vērts. Piemēram:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Problēmas par tēmu “Komata reizināšana”

skola-asistents.ru

Decimāldaļu saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana

Decimālskaitļu pievienošana un atņemšana ir līdzīga naturālu skaitļu saskaitīšanai un atņemšanai, taču ar noteiktiem nosacījumiem.

Noteikums. tiek izpildīts pēc veselā skaitļa un daļdaļas cipariem kā naturāliem skaitļiem.

Rakstiski decimāldaļu saskaitīšana un atņemšana komats, kas atdala veselo skaitļu daļu no daļskaitļa daļas, jāatrodas pie saskaitījumiem un summas vai pie minuend, apakšrindas un starpības vienā kolonnā (komats zem komata no nosacījuma rakstīšanas līdz aprēķina beigām).

Decimāldaļu saskaitīšana un atņemšana uz rindu:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Decimāldaļu saskaitīšana un atņemšana kolonnā:

Lai pievienotu decimāldaļas, ir nepieciešama papildu augšējā rindiņa, lai ierakstītu skaitļus, ja vietvērtības summa pārsniedz desmit. Lai atņemtu decimāldaļas, ir nepieciešama papildu augšējā līnija, lai atzīmētu vietu, kur 1 ir aizņemts.

Ja daļdaļas ciparu nav pietiekami daudz pa labi no pievienošanas vai minuend, tad pa labi daļdaļā var pievienot tik nulles (palielināt daļdaļas ciparu), cik ciparu ir otrā saskaitījuma daļā. vai miniend.

Decimāldaļu reizināšana tiek veikta tāpat kā naturālu skaitļu reizināšanu pēc tiem pašiem noteikumiem, bet reizinājumā komatu liek pēc daļdaļas faktoru ciparu summas, skaitot no labās puses uz kreiso ( reizinātāju cipari ir ciparu skaits aiz komata, ko ņem kopā).

Plkst reizinot decimāldaļas kolonnā pirmais zīmīgais cipars labajā pusē ir parakstīts zem pirmā zīmīgā cipara labajā pusē, tāpat kā naturālajos skaitļos:

Ieraksts reizinot decimāldaļas kolonnā:

Ieraksts decimāldaļu dalījums kolonnā:

Pasvītrotās rakstzīmes ir rakstzīmes, kurām seko komats, jo dalītājam ir jābūt veselam skaitlim.

Noteikums. Plkst dalīšanas daļas Decimāldalībnieks tiek palielināts par tik cipariem, cik ciparu ir daļskaitlī. Lai nodrošinātu, ka daļa nemainās, dividende tiek palielināta par tādu pašu ciparu skaitu (dividendē un dalītājā komats tiek pārvietots uz tādu pašu ciparu skaitu). Komats tiek likts koeficientā tajā dalīšanas posmā, kad tiek sadalīta visa daļskaitļa daļa.

Decimāldaļām, tāpat kā naturālajiem skaitļiem, noteikums paliek spēkā: Jūs nevarat dalīt decimāldaļu ar nulli!

Decimālskaitļu pievienošana ir tāda pati kā veselu skaitļu pievienošana. Apskatīsim to ar piemēriem.

1) 0,132 + 2,354. Apzīmēsim terminus vienu zem otra.

Šeit, pievienojot 2 tūkstošdaļas 4 tūkstošdaļām, tika iegūtas 6 tūkstošdaļas;
saskaitot 3 simtdaļas ar 5 simtdaļām, rezultāts ir 8 simtdaļas;
no 1 desmitdaļas pievienošanas ar 3 desmitdaļām -4 desmitdaļas un
no 0 veselu skaitļu pievienošanas ar 2 veseliem skaitļiem - 2 veseli skaitļi.

2) 5,065 + 7,83.

Otrajā terminā nav tūkstošdaļu, tāpēc ir svarīgi nepieļaut kļūdas, apzīmējot terminus vienu pēc otra.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Šeit, saskaitot tūkstošdaļas, rezultāts ir 21 tūkstošdaļa; zem tūkstošdaļām rakstījām 1, simtdaļām pievienojām 2, tātad simtdaļās saņēmām šādus terminus: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; kopā viņi dod 19 simtdaļas, mēs parakstījām 9 zem simtdaļām, un 1 skaitījās kā desmitdaļas utt.

Tātad, saskaitot decimāldaļskaitļus, jāievēro šāda secība: daļskaitļus paraksta vienu zem otra tā, lai visos terminos viens zem otra atrastos vieni un tie paši cipari un visi komats būtu vienā vertikālā ailē; Pa labi no dažu terminu decimālzīmēm vismaz prātā tiek pievienots tāds nulles skaits, lai visiem vārdiem aiz komata būtu vienāds ciparu skaits. Pēc tam viņi veic saskaitīšanu pa cipariem, sākot no labās puses, un iegūtajā summā ievieto komatu tajā pašā vertikālajā kolonnā, kurā tas atrodas šajos terminos.

§ 108. Decimāldaļu atņemšana.

Decimāldaļu atņemšana darbojas tāpat kā veselu skaitļu atņemšana. Parādīsim to ar piemēriem.

1) 9,87 - 7,32. Parakstīsim apakšrindu zem minuend tā, lai viena cipara vienības atrastos viena zem otras:

2) 16,29 - 4,75. Parakstīsim apakšrindu zem minuend, kā pirmajā piemērā:

Lai atņemtu desmitdaļas, no 6 bija jāņem viena vesela vienība un jāsadala desmitdaļās.

3) 14,0213-5,350712. Parakstīsim apakšrindu zem minuend:

Atņemšana tika veikta šādi: tā kā mēs nevaram atņemt 2 miljonās daļas no 0, mums vajadzētu pagriezties uz tuvāko ciparu kreisajā pusē, t.i., simttūkstošdaļas, bet simttūkstošdaļu vietā ir arī nulle, tāpēc mēs ņemam 1 desmit tūkstošdaļu no 3 desmittūkstošdaļas un Mēs to sadalām simttūkstošdaļās, iegūstam 10 simttūkstošdaļas, no kurām simttūkstošdaļās atstājam 9 simttūkstošdaļas, un sadalām 1 simttūkstošdaļu miljondaļās, iegūstam 10 miljonus. Tādējādi pēdējos trīs ciparus mums ir: miljondaļas 10, simttūkstošdaļas 9, desmit tūkstošdaļas 2. Lielākai skaidrībai un ērtībai (lai neaizmirstu) šie skaitļi ir rakstīti virs atbilstošajiem minuend cipariem. Tagad jūs varat sākt atņemt. No 10 miljonajām daļām atņemam 2 miljondaļas, iegūstam 8 miljondaļas; no 9 simttūkstošdaļām atņemam 1 simttūkstošdaļu, iegūstam 8 simttūkstošdaļas utt.

Tādējādi, atņemot decimāldaļas, tiek ievērota šāda secība: parakstiet apakšrindu zem minuend tā, lai tie paši cipari atrastos viens zem otra un visi komats būtu vienā vertikālā ailē; labajā pusē viņi vismaz mentāli saliek tik daudz nulles minējumā vai apakšdaļā, lai tiem būtu vienāds ciparu skaits, pēc tam viņi atņem pa cipariem, sākot no labās puses, un iegūtajā starpībā liek komatu tā pati vertikālā kolonna, kurā tā atrodas minuend un atņem.

§ 109. Decimāldaļskaitļu reizināšana.

Apskatīsim dažus decimāldaļskaitļu reizināšanas piemērus.

Lai atrastu šo skaitļu reizinājumu, varam spriest šādi: ja koeficientu palielina 10 reizes, tad abi faktori būs veseli skaitļi, un pēc tam varam tos reizināt saskaņā ar veselo skaitļu reizināšanas noteikumiem. Bet mēs zinām, ka, ja kāds no faktoriem palielinās vairākas reizes, produkts palielinās par tādu pašu summu. Tas nozīmē, ka skaitlis, ko iegūst, reizinot veselus skaitļus, t.i., 28 ar 23, ir 10 reizes lielāks par patieso reizinājumu, un, lai iegūtu patieso reizinājumu, atrastais reizinājums jāsamazina 10 reizes. Tāpēc šeit būs vienreiz jāreizina ar 10 un vienreiz jādala ar 10, bet reizināšana un dalīšana ar 10 tiek veikta, pārvietojot decimālzīmi pa labi un pa kreisi par vienu vietu. Tāpēc jums tas jādara: koeficientā pārvietojiet komatu uz pareizo vietu, tas būs vienāds ar 23, pēc tam jums jāreizina iegūtie veselie skaitļi:

Šis produkts ir 10 reizes lielāks par patieso. Tāpēc tas ir jāsamazina 10 reizes, par ko mēs pārvietojam komatu vienu vietu pa kreisi. Tādējādi mēs iegūstam

28 2,3 = 64,4.

Pārbaudes nolūkos varat uzrakstīt decimāldaļu ar saucēju un veikt darbību saskaņā ar parasto daļskaitļu reizināšanas noteikumu, t.i.

2) 12,27 0,021.

Atšķirība starp šo piemēru un iepriekšējo ir tāda, ka šeit abi faktori tiek attēloti kā decimāldaļdaļas. Bet šeit, reizināšanas procesā, mēs nepievērsīsim uzmanību komatiem, t.i., mēs īslaicīgi palielināsim reizinātāju 100 reizes, bet reizinātāju - 1000 reizes, kas palielinās reizinājumu par 100 000 reižu. Tādējādi, reizinot 1227 ar 21, mēs iegūstam:

1 227 21 = 25 767.

Ņemot vērā, ka iegūtais produkts ir 100 000 reižu lielāks par patieso produktu, tagad mums tas jāsamazina par 100 000 reižu, pareizi ievietojot tajā komatu, tad mēs iegūstam:

32,27 0,021 = 0,25767.

Pārbaudīsim:

Tādējādi, lai reizinātu divas decimāldaļas, pietiek, nepievēršot uzmanību komatiem, tos reizināt kā veselus skaitļus un reizinājumā ar komatu labajā pusē atdalīt tik daudz skaitļu aiz komata, cik bija reizinātājā un reizinātājā kopā.

Pēdējā piemērā tika iegūts produkts ar piecām zīmēm aiz komata. Ja tik liela precizitāte nav nepieciešama, tad decimāldaļdaļa tiek noapaļota. Noapaļojot, jums jāizmanto tas pats noteikums, kas tika norādīts veseliem skaitļiem.

§ 110. Reizināšana, izmantojot tabulas.

Dažkārt var reizināt decimāldaļas, izmantojot tabulas. Šim nolūkam var, piemēram, izmantot tās divciparu skaitļu reizināšanas tabulas, kuru apraksts tika sniegts iepriekš.

1) Reiziniet 53 ar 1,5.

Mēs reizinām 53 ar 15. Tabulā šis produkts ir vienāds ar 795. Mēs atradām preci 53 ar 15, bet mūsu otrais koeficients bija 10 reizes mazāks, kas nozīmē, ka produkts ir jāsamazina 10 reizes, t.i.

53 1,5 = 79,5.

2) Reiziniet 5,3 ar 4,7.

Pirmkārt, tabulā mēs atrodam reizinājumu ar 53 ar 47, tas būs 2491. Bet, tā kā mēs palielinājām reizinātāju un reizinātāju kopā 100 reizes, iegūtais reizinājums ir 100 reizes lielāks, nekā vajadzētu. tāpēc mums šis produkts jāsamazina 100 reizes:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Reiziniet 0,53 ar 7,4.

Pirmkārt, tabulā atrodam reizinājumu 53 reiz 74; tas būs 3,922, bet, tā kā mēs palielinājām reizinātāju 100 reizes, bet reizinātāju - 10 reizes, reizinājums palielinājās 1000 reizes. tāpēc mums tagad tas ir jāsamazina par 1000 reižu:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Decimāldaļu dalīšana.

Mēs apskatīsim decimāldaļu dalīšanu šādā secībā:

1. Decimāldaļas dalīšana ar vesels skaitlis,

1. Sadaliet decimāldaļu ar veselu skaitli.

1) Sadaliet 2,46 ar 2.

Sadalījām ar 2 vispirms veselām, tad desmitdaļām un visbeidzot simtdaļām.

2) Sadaliet 32,46 ar 3.

32,46: 3 = 10,82.

Mēs dalījām 3 desmitniekus ar 3, tad sākām dalīt 2 vieniniekus ar 3; jo dividendes vienību skaits ir (2) mazāks par dalītāju(3), tad koeficientā man bija jāieliek 0; tālāk uz atlikumu paņēmām 4 desmitdaļas un 24 desmitdaļas dalījām ar 3; koeficientā saņēma 8 desmitdaļas un beidzot sadalīja 6 simtdaļas.

3) Sadaliet 1,2345 ar 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Šeit koeficientā pirmajā vietā ir nulle veseli skaitļi, jo viens vesels skaitlis nedalās ar 5.

4) Sadaliet 13,58 ar 4.

Šī piemēra īpatnība ir tāda, ka, saņemot koeficientā 9 simtdaļas, mēs atklājām atlikumu, kas vienāds ar 2 simtdaļām, mēs šo atlikumu sadalījām tūkstošdaļās, saņēmām 20 tūkstošdaļas un pabeidzām dalīšanu.

Noteikums. Decimāldaļas dalīšana ar veselu skaitli tiek veikta tāpat kā veselu skaitļu dalīšana, un iegūtie atlikumi tiek pārvērsti decimāldaļdaļās, mazākās un mazākās; Dalīšana turpinās, līdz atlikums ir nulle.

2. Sadaliet decimāldaļu ar decimāldaļu.

1) Sadaliet 2,46 ar 0,2.

Mēs jau zinām, kā decimāldaļu dalīt ar veselu skaitli. Padomāsim, vai ir iespējams reducēt šo jauno dalīšanas gadījumu uz iepriekšējo? Savulaik mēs uzskatījām par ievērojamo koeficienta īpašību, kas sastāv no tā, ka tas paliek nemainīgs, kad dividende un dalītājs vienlaikus palielinās vai samazinās vienādu reižu skaitu. Mēs varētu viegli sadalīt mums dotos skaitļus, ja dalītājs būtu vesels skaitlis. Lai to izdarītu, pietiek to palielināt 10 reizes, un, lai iegūtu pareizo koeficientu, ir jāpalielina dividende par tādu pašu summu, t.i., 10 reizes. Tad šo skaitļu dalījums tiks aizstāts ar šādu skaitļu dalījumu:

Turklāt vairs nebūs jāveic nekādi grozījumi datos.

Veicam šo sadalījumu:

Tātad 2,46: 0,2 = 12,3.

2) dalīt 1,25 ar 1,6.

Palielinām dalītāju (1,6) 10 reizes; lai koeficients nemainītos, mēs palielinām dividendi 10 reizes; 12 veseli skaitļi nedalās ar 16, tāpēc koeficientā ierakstām 0 un 125 desmitdaļas dalām ar 16, koeficientā iegūstam 7 desmitdaļas un atlikušo 13. 13 desmitdaļas sadalām simtdaļās, piešķirot nulli un 130 simtdaļas dalām ar 16 utt. Lūdzu, ņemiet vērā:

a) ja konkrētajā nav veselu skaitļu, tad to vietā raksta nulle veselus skaitļus;

b) kad pēc dividenžu cipara pārņemšanas uz atlikumu tiek iegūts skaitlis, kas nedalās ar dalītāju, tad koeficientā ieraksta nulle;

c) kad pēc dividendes pēdējā cipara noņemšanas dalīšana nebeidzas, tad, atlikumam pievienojot nulles, dalīšana turpinās;

d) ja dividende ir vesels skaitlis, tad, dalot to ar decimāldaļu, to palielina, pievienojot tai nulles.

Tādējādi, lai dalītu skaitli ar decimāldaļu, dalītājā ir jāatmet komats un pēc tam jāpalielina dividende tik reižu, cik dalītājs palielinājās, atmetot tajā komatu, un pēc tam veiciet dalīšanu saskaņā ar noteikumu. decimāldaļas dalīšanai ar veselu skaitli.

§ 112. Aptuvenie koeficienti.

Iepriekšējā rindkopā apskatījām decimāldaļskaitļu dalījumu, un visos mūsu atrisinātajos piemēros dalīšana bija pabeigta, t.i., iegūts precīzs koeficients. Tomēr vairumā gadījumu precīzu koeficientu nevar iegūt, lai arī cik tālu mēs turpinātu dalījumu. Šeit ir viens šāds gadījums: sadaliet 53 ar 101.

Mēs jau esam saņēmuši piecus ciparus koeficientā, taču dalījums vēl nav beidzies, un nav cerību, ka tas kādreiz beigsies, jo atlikušajā daļā mums sāk parādīties skaitļi, ar kuriem jau ir sastapušies iepriekš. Koeficientā atkārtosies arī skaitļi: skaidrs, ka pēc skaitļa 7 bezgalīgi parādīsies skaitlis 5, tad 2 utt. Šādos gadījumos dalīšana tiek pārtraukta un tiek ierobežota līdz koeficienta pirmajiem cipariem. Šādu koeficientu sauc tuvākie. Mēs parādīsim ar piemēriem, kā veikt sadalīšanu.

Lai 25 ir jādala ar 3. Acīmredzot ar šādu dalījumu nevar iegūt precīzu koeficientu, kas izteikts kā vesels skaitlis vai decimāldaļdaļa. Tāpēc mēs meklēsim aptuveno koeficientu:

25: 3 = 8 un atlikums 1

Aptuvenais koeficients ir 8; tas, protams, ir mazāks par precīzo koeficientu, jo ir atlikums 1. Lai iegūtu precīzu koeficientu, atrastajam aptuvenajam koeficientam jāpievieno daļa, kas iegūta, dalot atlikumu, kas vienāds ar 1, ar 3, t.i. , līdz 8; tā būs daļa 1/3. Tas nozīmē, ka precīzais koeficients tiks izteikts kā jaukts skaitlis 8 1/3. Tā kā 1/3 ir pareiza daļa, t.i., daļa, mazāk par vienu, tad, atmetot to, mēs atļausim kļūda, kas mazāk par vienu. Koeficients 8 būs aptuvenais koeficients līdz vienotībai ar trūkumu. Ja koeficientā 8 vietā ņemam 9, tad pieļausim arī kļūdu, kas ir mazāka par vienu, jo saskaitīsim nevis visu vienību, bet gan 2/3. Tāda privāta griba aptuvenais koeficients viena robežās ar pārpalikumu.

Tagad ņemsim citu piemēru. Pieņemsim, ka mums ir jādala 27 ar 8. Tā kā šeit mēs neiegūsim precīzu koeficientu, kas izteikts kā vesels skaitlis, mēs meklēsim aptuveno koeficientu:

27: 8 = 3 un atlikums 3.

Šeit kļūda ir vienāda ar 3/8, tā ir mazāka par vienu, kas nozīmē, ka aptuvenais koeficients (3) tika atrasts precīzs pret vienu ar trūkumu. Turpināsim dalīšanu: atlikušos 3 sadalām desmitdaļās, iegūstam 30 desmitdaļas; sadaliet tos ar 8.

Mēs saņēmām 3 koeficientā desmito daļu vietā un 6 desmitdaļas atlikušajā daļā. Ja aprobežosimies ar skaitli 3,3 un atmetam atlikušo 6, tad pieļausim kļūdu, kas mazāka par vienu desmito daļu. Kāpēc? Jo precīzs koeficients tiktu iegūts, ja 3,3 pieskaitītu rezultātu, dalot 6 desmitdaļas ar 8; šis dalījums dotu 6/80, kas ir mazāk par vienu desmito daļu. (Pārbaudiet!) Tātad, ja koeficientā mēs aprobežojamies ar desmitdaļām, tad varam teikt, ka esam atraduši koeficientu precizitāte līdz vienai desmitajai daļai(ar trūkumu).

Turpināsim dalīšanu, lai atrastu citu decimāldaļu. Lai to izdarītu, mēs sadalām 6 desmitdaļas simtdaļās un iegūstam 60 simtdaļas; sadaliet tos ar 8.

Koeficientā trešajā vietā izrādījās 7 un atlikusī 4 simtdaļas; ja tās atmetam, pieļausim kļūdu, kas mazāka par simtdaļu, jo 4 simtdaļas dalītas ar 8 ir mazākas par simtdaļu. Šādos gadījumos viņi saka, ka koeficients ir atrasts precizitāte līdz vienai simtdaļai(ar trūkumu).

Piemērā, kuru mēs tagad aplūkojam, mēs varam iegūt precīzu koeficientu, kas izteikts kā decimāldaļdaļa. Lai to izdarītu, pietiek ar pēdējo atlikumu, 4 simtdaļām, sadalīt tūkstošdaļās un dalīt ar 8.

Tomēr vairumā gadījumu precīzu koeficientu iegūt nav iespējams un ir aprobežojas ar tā aptuvenajām vērtībām. Tagad mēs apskatīsim šo piemēru:

40: 7 = 5,71428571...

Punkti, kas novietoti skaitļa beigās, norāda, ka dalīšana nav pabeigta, t.i., vienādība ir aptuvena. Parasti aptuveno vienādību raksta šādi:

40: 7 = 5,71428571.

Mēs paņēmām koeficientu ar astoņām zīmēm aiz komata. Bet, ja tik liela precizitāte nav nepieciešama, varat aprobežoties tikai ar visu koeficienta daļu, t.i., skaitli 5 (precīzāk 6); lai iegūtu lielāku precizitāti, varētu ņemt vērā desmitdaļas un ņemt koeficientu, kas vienāds ar 5,7; ja kāda iemesla dēļ šī precizitāte ir nepietiekama, tad var apstāties pie simtdaļām un ņemt 5,71 utt. Izrakstīsim individuālos koeficientus un nosaucam tos.

Pirmais aptuvenais koeficients, kas atbilst vienam 6.

Otrais » » » līdz vienai desmitajai daļai 5.7.

Trešais » » » līdz simtdaļai 5.71.

Ceturtais » » » līdz tūkstošdaļai 5,714.

Tādējādi, lai atrastu aptuvenu koeficientu, kas precīzs ar kādu, piemēram, 3. zīmi aiz komata (t.i., līdz vienai tūkstošdaļai), pārtrauciet dalīšanu, tiklīdz šī zīme ir atrasta. Šajā gadījumā jums ir jāatceras 40. paragrāfā izklāstītais noteikums.

§ 113. Vienkāršākie uzdevumi, kas saistīti ar procentiem.

Uzzinot par decimāldaļām, mēs veiksim vēl dažas procentu problēmas.

Šīs problēmas ir līdzīgas tām, kuras atrisinājām frakciju nodaļā; bet tagad simtdaļas rakstīsim decimāldaļskaitļu veidā, tas ir, bez skaidri noteikta saucēja.

Pirmkārt, jums ir jāspēj viegli pāriet no parastās daļskaitļa uz decimāldaļu ar saucēju 100. Lai to izdarītu, skaitītājs jāsadala ar saucēju:

Tālāk esošajā tabulā parādīts, kā skaitlis ar simbolu % (procenti) tiek aizstāts ar decimāldaļu ar saucēju 100:

Tagad apskatīsim vairākas problēmas.

1. Dotā skaitļa procentuālās daļas atrašana.

1. uzdevums. Vienā ciemā dzīvo tikai 1600 cilvēku. Bērnu skaits skolas vecums veido 25% no kopējā iedzīvotāju skaita. Cik skolas vecuma bērnu ir šajā ciematā?

Šajā uzdevumā jāatrod 25% vai 0,25 no 1600. Problēma tiek atrisināta, reizinot:

1600 0,25 = 400 (bērni).

Tāpēc 25% no 1600 ir 400.

Lai skaidri saprastu šo uzdevumu, ir lietderīgi atgādināt, ka uz katriem simtiem iedzīvotāju ir 25 skolas vecuma bērni. Tāpēc, lai noskaidrotu visu skolas vecuma bērnu skaitu, vispirms var noskaidrot, cik simtu ir skaitlī 1600 (16), un pēc tam reizināt 25 ar simtu skaitu (25 x 16 = 400). Tādā veidā jūs varat pārbaudīt risinājuma derīgumu.

2. uzdevums. Krājbankas nodrošina noguldītājiem 2% atdevi gadā. Cik ienākumus gūs noguldītājs gadā, ja ieliks kasē: a) 200 rubļus? b) 500 rubļu? c) 750 rubļi? d) 1000 rubļu?

Visos četros gadījumos, lai atrisinātu problēmu, jums būs jāaprēķina 0,02 no norādītajām summām, t.i., katrs no šiem skaitļiem būs jāreizina ar 0,02. Darīsim to:

a) 200 0,02 = 4 (rub.),

b) 500 0,02 = 10 (rub.),

c) 750 0,02 = 15 (rub.),

d) 1000 0,02 = 20 (rub.).

Katru no šiem gadījumiem var pārbaudīt, ievērojot šādus apsvērumus. Krājbankas noguldītājiem dod 2% ienākumus, t.i., 0,02 no uzkrājumos noguldītās summas. Ja summa būtu 100 rubļi, tad 0,02 no tās būtu 2 rubļi. Tas nozīmē, ka katrs simts atnes investoram 2 rubļus. ienākumiem. Tāpēc katrā no aplūkotajiem gadījumiem pietiek izdomāt, cik simtu ir noteiktā skaitā, un reizināt 2 rubļus ar šo simtu skaitu. Piemērā a) ir 2 simti, kas nozīmē

2 2 = 4 (berzēt).

Piemērā d) ir 10 simti, kas nozīmē

2 10 = 20 (rub.).

2. Skaitļa atrašana pēc tā procentiem.

1. uzdevums. Pavasarī skolu absolvēja 54 skolēni, kas veido 6% no kopējā skolēnu skaita. Cik skolēnu pagājušajā gadā bija skolā? akadēmiskais gads?

Vispirms noskaidrosim šī uzdevuma nozīmi. Skolu absolvēja 54 skolēni, kas ir 6% no kopējā skolēnu skaita jeb, citiem vārdiem sakot, 6 simtdaļas (0,06) no visiem skolas audzēkņiem. Tas nozīmē, ka mēs zinām studentu daļu, kas izteikta ar skaitli (54) un daļskaitli (0,06), un no šīs daļdaļas mums jāatrod viss skaitlis. Tādējādi pirms mums parasts uzdevums lai atrastu skaitli no tā daļskaitļa (§90, 6. lpp.). Šāda veida problēmas tiek atrisinātas, sadalot:

Tas nozīmē, ka skolā mācījās tikai 900 skolēnu.

Šādas problēmas ir lietderīgi pārbaudīt, risinot apgriezto uzdevumu, t.i., pēc uzdevuma atrisināšanas vismaz savā galvā jāatrisina pirmā tipa uzdevums (noteikta skaitļa procentuālās daļas atrašana): ņem atrasto skaitli ( 900) kā norādīts un atrodiet tā procentuālo daļu, kas norādīta atrisinātajā uzdevumā, proti:

900 0,06 = 54.

2. uzdevums. Mēneša laikā ģimene pārtikai iztērē 780 rubļus, kas ir 65% no tēva ikmēneša ienākumiem. Nosakiet viņa ikmēneša ienākumus.

Šim uzdevumam ir tāda pati nozīme kā iepriekšējam. Tas parāda daļu no mēneša izpeļņas, kas izteikta rubļos (780 rubļi), un norāda, ka šī daļa ir 65% jeb 0,65 no kopējās peļņas. Un tas, ko jūs meklējat, ir visi ienākumi:

780: 0,65 = 1 200.

Tāpēc nepieciešamie ienākumi ir 1200 rubļu.

3. Skaitļu procentuālās daļas atrašana.

1. uzdevums. IN skolas bibliotēka tikai 6000 grāmatu. To vidū ir 1200 grāmatas par matemātiku. Cik procentu matemātikas grāmatu veido bibliotēkā esošo grāmatu kopskaits?

Mēs jau izskatījām (§97) šāda veida problēmas un nonācām pie secinājuma, ka, lai aprēķinātu divu skaitļu procentuālo attiecību, ir jāatrod šo skaitļu attiecība un jāreizina ar 100.

Mūsu uzdevumā jāatrod skaitļu 1200 un 6000 procentuālā attiecība.

Vispirms atradīsim to attiecību un pēc tam reizinim to ar 100:

Tādējādi skaitļu 1200 un 6000 procentuālais daudzums ir 20. Citiem vārdiem sakot, matemātikas grāmatas veido 20% no visu grāmatu kopskaita.

Lai pārbaudītu, atrisināsim apgriezto problēmu: atrodiet 20% no 6000:

6 000 0,2 = 1 200.

2. uzdevums. Rūpnīcai vajadzētu saņemt 200 tonnas ogļu. 80 tonnas jau ir piegādātas, cik procenti ogļu ir piegādātas rūpnīcai?

Šī problēma jautā, cik procentu viens skaitlis (80) ir no cita (200). Šo skaitļu attiecība būs 80/200. Sareizināsim to ar 100:

Tas nozīmē, ka 40% ogļu ir piegādāti.