단순 산술 평균은 주어진 특성의 총 부피를 결정하는 평균 용어입니다. 전체데이터는 이 모집단에 포함된 모든 단위에 균등하게 배포됩니다. 따라서 직원당 평균 연간 생산량은 전체 생산량이 조직의 모든 직원에게 균등하게 분배된 경우 각 직원에게 해당되는 생산량입니다. 산술 평균 단순 값은 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

단순 산술 평균- 전체 특성 수에 대한 특성의 개별 값 합계의 비율과 같습니다.

실시예 1. 6명의 근로자로 구성된 팀은 한 달에 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1,000 루블을 받습니다.

평균 급여 해결책 찾기: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32,000 루블.

산술 평균 가중

데이터 세트의 양이 크고 분포 계열을 나타내는 경우 가중 산술 평균이 계산됩니다. 이것이 생산 단위당 가중 평균 가격이 결정되는 방법입니다. 총 생산 비용 (생산 단위 가격으로 수량의 제품 합계)을 총 생산 수량으로 나눕니다.

이를 다음 공식의 형태로 상상해 봅시다.

가중 산술 평균- (이 기능의 반복 빈도에 대한 기능 값의 곱의 합계) 대 (모든 기능의 빈도 합계)의 비율과 같습니다. 연구 중인 모집단의 변형이 있을 때 사용됩니다. 균등하지 않은 횟수가 발생합니다.

실시예 2. 작업장 근로자의 월 평균 급여를 구하세요.

평균연봉은 나누어서 구할 수 있다. 총액에 대한 임금 총 수노동자:

답변 : 335,000 루블.

간격 계열의 산술 평균

구간 변동 계열의 산술 평균을 계산할 때는 먼저 각 구간의 평균을 상한과 하한의 절반합으로 결정한 다음 전체 계열의 평균을 결정합니다. 열린 간격의 경우 하위 또는 상위 간격의 값은 인접한 간격의 크기에 따라 결정됩니다.

간격 계열에서 계산된 평균은 근사치입니다.

실시예 3. 저녁 학생의 평균 연령을 결정합니다.

간격 계열에서 계산된 평균은 근사치입니다. 근사 정도는 구간 내의 모집단 단위의 실제 분포가 균등 분포에 접근하는 정도에 따라 달라집니다.

평균을 계산할 때 절대값뿐만 아니라 상대값(빈도)도 가중치로 사용할 수 있습니다.

모든 사람은 현대 세계대출을 받거나 겨울 동안 야채를 비축할 계획을 세울 때 주기적으로 "평균 가치"라는 개념을 접하게 됩니다. 그것이 무엇인지, 어떤 유형과 클래스가 존재하는지, 통계 및 기타 분야에서 사용되는 이유를 알아봅시다.

평균값 - 그게 뭐죠?

유사 이름(SV)은 임의의 하나의 양적 변수 특성에 의해 결정되는 일련의 균질한 현상의 일반화된 특성입니다.

그러나 이러한 난해한 정의와는 거리가 먼 사람들은 이 개념을 어떤 것의 평균적인 양으로 이해한다. 예를 들어, 대출을 받기 전에 은행 직원은 분명히 물어볼 것입니다. 잠재 고객해당 연도의 평균 소득, 즉 개인이 벌어 들인 총 금액에 대한 데이터를 제공합니다. 연간 수입을 합산하고 개월 수로 나누어 계산합니다. 따라서 은행은 고객이 제때에 부채를 상환할 수 있는지 여부를 판단할 수 있습니다.

왜 사용됩니까?

일반적으로 평균값은 대중 성격의 특정 사회 현상에 대한 요약 설명을 제공하는 데 널리 사용됩니다. 위 예의 대출의 경우처럼 소규모 계산에도 사용할 수 있습니다.

그러나 대부분의 경우 평균값은 여전히 ​​전역 목적으로 사용됩니다. 그 중 하나의 예는 한 달 동안 시민이 소비하는 전기량을 계산하는 것입니다. 얻은 데이터를 바탕으로 주정부로부터 혜택을 받는 인구 범주에 대해 최대 기준이 설정됩니다.

또한 평균값을 사용하여 특정 보증 서비스 수명을 가전 ​​제품, 자동차, 건물 등 이렇게 수집된 데이터를 바탕으로 일과 휴식에 대한 현대적인 표준이 한때 개발되었습니다.

사실, 대중적 성격을 지닌 현대 생활의 모든 현상은 어떤 식 으로든 반드시 고려중인 개념과 연결되어 있습니다.

적용 분야

이 현상은 거의 모든 정밀 과학, 특히 실험적 성격의 과학에서 널리 사용됩니다.

평균을 구하는 것은 의학, 공학, 요리, 경제, 정치 등에서 매우 중요합니다.

이러한 일반화를 통해 얻은 데이터를 바탕으로 치료 약물, 교육 프로그램을 개발하고 최소한의 설정을 합니다. 생활임금급여, 교육 일정 작성, 가구, 의류 및 신발, 위생 제품 등을 생산합니다.

수학에서는 이 용어를 "평균값"이라고 하며 결정을 내리는 데 사용됩니다. 다양한 예그리고 임무. 가장 간단한 것은 일반 분수를 사용한 덧셈과 뺄셈입니다. 결국 알려진 바와 같이 해결하려면 비슷한 예두 분수를 모두 줄여야합니다. 공통분모.

또한 정밀 과학의 여왕에서는 의미가 유사한 "평균값"이라는 용어가 자주 사용됩니다. 무작위 변수" 확률 이론에서 더 자주 고려되는 "수학적 기대"로 대부분의 사람들에게 더 친숙합니다. 통계 계산을 수행할 때도 비슷한 현상이 적용된다는 점은 주목할 가치가 있습니다.

통계의 평균값

그러나 연구되는 개념은 통계에서 가장 자주 사용됩니다. 아시다시피 이 과학 자체는 계산과 분석에 특화되어 있습니다. 정량적 특성대중적인 사회 현상. 따라서 통계의 평균값은 정보 수집 및 분석이라는 주요 목적을 달성하기 위한 전문적인 방법으로 사용됩니다.

이 통계 방법의 본질은 고려중인 특성의 개별 고유 값을 특정 균형 평균값으로 대체하는 것입니다.

그 예로 유명한 음식 농담이 있습니다. 그래서 어떤 공장에서는 화요일 점심시간에 사장들은 주로 고기 전골을 먹고, 일반 노동자들은 양배추 조림을 먹습니다. 이러한 데이터를 바탕으로 우리는 평균적으로 공장 직원이 화요일에 양배추 롤을 먹는다는 결론을 내릴 수 있습니다.

하지만 이 예약간 과장되었지만 평균값을 찾는 방법의 주요 단점을 보여줍니다. 개인의 특성물건이나 사람.

평균값은 수집된 정보를 분석하는 것뿐만 아니라 추가 조치를 계획하고 예측하는 데에도 사용됩니다.

또한 달성된 결과를 평가하는 데에도 사용됩니다(예: 봄-여름 시즌에 밀 재배 및 수확 계획 실행).

올바르게 계산하는 방법

SV의 종류에 따라 이를 계산하는 공식이 다르지만, 일반통계이론에서는 특성의 평균값을 계산하는 방법 중 하나만 사용하는 것이 원칙이다. 이렇게 하려면 먼저 모든 현상의 값을 더한 다음 결과 합계를 해당 숫자로 나누어야 합니다.

이러한 계산을 할 때 평균값은 항상 모집단의 개별 단위와 동일한 차원(또는 단위)을 갖는다는 점을 기억할 가치가 있습니다.

정확한 계산을 위한 조건

위에서 논의한 공식은 매우 간단하고 보편적이므로 실수하는 것이 거의 불가능합니다. 그러나 항상 두 가지 측면을 고려해 볼 가치가 있습니다. 그렇지 않으면 얻은 데이터가 실제 상황을 반영하지 않게 됩니다.

SV 수업

"평균값은 얼마입니까?", "어디에 사용됩니까?"라는 기본 질문에 대한 답을 찾았습니다. 그리고 "어떻게 계산할 수 있나요?", 어떤 클래스와 유형의 SV가 존재하는지 알아 보는 것이 좋습니다.

우선, 이 현상은 2가지로 분류된다. 이는 구조적 및 전력 평균입니다.

전력 SV의 종류

위의 각 클래스는 차례로 유형으로 구분됩니다. 진정 클래스에는 4 개가 있습니다.

• 산술 평균은 SV의 가장 일반적인 유형입니다. 이는 데이터 세트에서 고려 중인 특성의 총량이 이 세트의 모든 단위에 균등하게 분배되는지를 결정하는 평균 용어입니다.

  이 유형은 단순 산술 SV와 가중 산술 SV라는 하위 유형으로 구분됩니다.

• 조화 평균은 고려 중인 특성의 역수 값으로부터 계산된 단순 산술 평균의 역수인 지표입니다.

  속성과 상품의 개별 값은 알 수 있지만 빈도 데이터는 알 수 없는 경우에 사용됩니다.

• 기하평균은 경제현상의 성장률을 분석할 때 가장 많이 사용된다. 작품을 변함없이 보존할 수 있게 해준다. 개인의 가치금액이 아니라 주어진 가치.

  단순하고 균형잡힐 수도 있습니다.

• 평균 제곱값은 변동 계수, 제품 출력의 리듬 특성화 등과 같은 개별 지표를 계산할 때 사용됩니다.

  또한 파이프, 바퀴, 정사각형의 평균 측면 및 유사한 수치의 평균 직경을 계산하는 데 사용됩니다.

  다른 모든 유형의 평균과 마찬가지로 제곱 평균 제곱근은 단순하고 가중치가 적용될 수 있습니다.

구조량의 유형

평균 SV 외에도 구조 유형이 통계에 자주 사용됩니다. 다양한 특성 값의 상대적 특성을 계산하는 데 더 적합합니다. 내부 구조배포 행.

그러한 유형이 두 가지 있습니다.

평균(수학과 통계에서) 숫자 집합 - 모든 숫자의 합을 해당 숫자로 나눈 것입니다. 이는 중심경향을 측정하는 가장 일반적인 척도 중 하나입니다.

이는 피타고라스 학파에 의해 (기하 평균 및 조화 평균과 함께) 제안되었습니다.

산술 평균의 특별한 경우는 평균(일반 모집단)과 표본 평균(표본)입니다.

소개

데이터 세트를 나타내자 엑스 = (엑스 1 , 엑스 2 , …, 엑스 N), 표본 평균은 일반적으로 변수 (x ̅ (\displaystyle (\bar (x))) 위에 수평 막대로 표시되며 " 엑스줄로").

그리스 문자 μ는 전체 인구의 산술 평균을 나타내는 데 사용됩니다. 평균값이 결정되는 확률 변수의 경우 μ는 다음과 같습니다. 확률 평균또는 무작위 변수의 수학적 기대. 세트인 경우 엑스컬렉션입니다 난수확률적 평균 μ를 사용하면 모든 샘플에 대해 엑스 나이 집합에서 μ = E( 엑스 나)는 이 표본의 수학적 기대값입니다.

실제로 μ와 x̅ (\displaystyle (\bar (x)))의 차이점은 μ가 전체 모집단이 아닌 표본을 볼 수 있기 때문에 일반적인 변수라는 것입니다. 따라서 표본이 (확률 이론의 관점에서) 무작위로 표현되면 x̅ (\displaystyle (\bar (x))) (그러나 μ는 아님)은 표본에 대한 확률 분포를 갖는 무작위 변수로 처리될 수 있습니다( 평균의 확률 분포).

이 두 수량은 모두 같은 방식으로 계산됩니다.

X ̅ = 1n ∑ i = 1n x i = 1n (x 1 + ⋯ + xn) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

만약에 엑스는 확률 변수이고 수학적 기대값은 다음과 같습니다. 엑스수량을 반복적으로 측정할 때 값의 산술 평균으로 간주될 수 있습니다. 엑스. 이는 대수의 법칙을 표현한 것이다. 따라서 표본 평균은 알려지지 않은 기대값을 추정하는 데 사용됩니다.

평균이 초등학교 대수학에서 입증되었습니다. N+ 평균보다 높은 숫자 1개 N숫자는 새 숫자가 이전 평균보다 큰 경우에만, 새 숫자가 평균보다 작은 경우에만 감소하고, 새 숫자가 평균과 같은 경우에만 변경되지 않습니다. 더 N, 새로운 평균과 이전 평균의 차이가 작을수록.

거듭제곱 평균, Kolmogorov 평균, 조화 평균, 산술-기하 평균 및 다양한 가중 평균(예: 가중 산술 평균, 가중 기하 평균, 가중 조화 평균)을 포함하여 여러 가지 다른 "평균"을 사용할 수 있습니다.

예

• 세 개의 숫자의 경우 숫자를 더하고 3으로 나누어야 합니다.

• 4개의 숫자의 경우 숫자를 더하고 4로 나누어야 합니다.

또는 더 간단하게: 5+5=10, 10:2. 우리는 2개의 숫자를 더하고 있었기 때문에, 이는 우리가 더한 숫자의 수를 의미하므로 그 숫자로 나눕니다.

연속확률변수

연속적으로 분포된 양 f (x) (\displaystyle f(x))에 대해 구간 [ a ; b ] (\displaystyle )은 정적분을 통해 결정됩니다.

F (x) ̅ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) 에프엑스(f(x)dx)

평균 사용의 몇 가지 문제

견고성 부족

산술 평균은 종종 평균이나 중심 경향으로 사용되지만 이 개념은 로버스트 통계에는 적용되지 않습니다. 강한 영향력"큰 편차" 왜도 계수가 큰 분포의 경우 산술 평균이 "평균" 개념과 일치하지 않을 수 있으며 견고한 통계(예: 중앙값)의 평균 값이 중앙값을 더 잘 설명할 수 있다는 점은 주목할 만합니다. 성향.

전형적인 예는 평균 소득을 계산하는 것입니다. 산술 평균은 중위수로 잘못 해석될 수 있으며, 이는 실제보다 소득이 높은 사람이 더 많다는 결론으로 ​​이어질 수 있습니다. “평균” 소득은 대부분의 사람들이 이 수치 근처의 소득을 갖고 있다는 의미로 해석됩니다. 이 "평균"(산술 평균의 의미에서) 소득은 대부분의 사람들의 소득보다 높습니다. 왜냐하면 평균과의 편차가 큰 높은 소득으로 인해 산술 평균이 크게 왜곡되기 때문입니다(반대로 중위 소득의 평균 소득은 그러한 왜곡에 "저항"합니다). 그러나 이 "평균" 소득은 중위 소득에 가까운 사람의 수에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다(그리고 모달 소득에 가까운 사람의 수에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다). 그러나 '평균'과 '대부분의 사람'이라는 개념을 가볍게 받아들이면 대부분의 사람의 소득이 실제보다 높다는 잘못된 결론을 내릴 수 있습니다. 예를 들어, 워싱턴 주 메디나의 "평균" 순이익에 대한 보고서는 주민들의 모든 연간 순이익에 대한 산술 평균으로 계산되며 놀랍게도 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 큰 숫자빌 게이츠 때문이다. 표본(1, 2, 2, 2, 3, 9)을 고려하십시오. 산술 평균은 3.17인데 6개 중 5개가 이 평균보다 낮습니다.

복리

숫자라면 곱하다, 하지만 겹, 산술평균이 아닌 기하평균을 사용해야 합니다. 대부분이 사건은 금융 투자 수익을 계산할 때 발생합니다.

예를 들어, 주식이 첫 해에 10% 하락하고 두 번째 해에 30% 상승한 경우 해당 2년 동안의 "평균" 증가를 산술 평균(−10% + 30%) / 2으로 계산하는 것은 올바르지 않습니다. = 10%; 이 경우 정확한 평균은 복합 연간 성장률로 제공되며, 이는 연간 성장률이 약 8.16653826392% ≒ 8.2%에 불과합니다.

그 이유는 백분율이 매번 새로운 시작점을 가지기 때문입니다. 즉, 30%는 30%입니다. 첫해 초의 가격보다 적은 숫자에서:어떤 주식이 30달러에서 시작하여 10% 하락했다면 두 번째 해 초에는 27달러의 ​​가치가 있습니다. 만약 주가가 30% 상승했다면 두 번째 해 말에는 35.1달러의 가치가 있을 것입니다. 이 성장의 산술 평균은 10%이지만 주가는 2년 동안 $5.1만 상승했기 때문에 평균 8.2% 성장은 $35.1의 최종 결과를 제공합니다.

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. 같은 방식으로 10%의 산술 평균을 사용하면 실제 값인 [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3]을 얻을 수 없습니다.

2년 말 복리: 90% * 130% = 117%, 즉 총 증가율은 17%이고, 연평균 복리 이자는 117% ≒ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\% ))\대략 108.2\%) , 즉 연평균 8.2% 증가한 수치입니다.

지도

주기적으로 변하는 일부 변수(예: 위상 또는 각도)의 산술 평균을 계산할 때는 특별한 주의가 필요합니다. 예를 들어, 1°와 359°의 평균은 1 Ø + 359 Ø 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°입니다. 이 숫자는 두 가지 이유로 올바르지 않습니다.

• 첫째, 각도 측정값은 0° ~ 360°(또는 라디안으로 측정할 경우 0 ~ 2π) 범위에 대해서만 정의됩니다. 따라서 동일한 숫자 쌍은 (1° 및 −1°) 또는 (1° 및 719°)로 쓸 수 있습니다. 각 쌍의 평균값은 다릅니다: 1 Ø + (− 1 Ø) 2 = 0 Ø (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2 ))=0 ^(\circ )) , 1 Ø + 719 Ø 2 = 360 Ø (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\ 동그라미 )) .
• 둘째, 이 경우 0°(360°와 동일) 값은 기하학적으로 더 나은 평균 값이 됩니다. 왜냐하면 숫자가 다른 값보다 0°에서 덜 벗어나기 때문입니다(값 0°의 차이가 가장 작음). 비교하다:
  • 숫자 1°는 0°에서 단 1°만 벗어납니다.
  • 숫자 1°는 계산된 평균 180° x 179°에서 벗어납니다.

위 공식을 사용하여 계산된 순환 변수의 평균값은 실제 평균에 비해 수치 범위의 중간으로 인위적으로 이동됩니다. 이 때문에 평균은 다른 방식, 즉 분산이 가장 작은 숫자( 중심점). 또한 뺄셈 대신 모듈러 거리(즉, 원주 거리)를 사용합니다. 예를 들어, 1°와 359° 사이의 모듈 거리는 358°가 아니라 2°입니다(359°와 360° 사이의 원에서 = 0° - 1도, 0°와 1° 사이 - 또한 총 1° - 2 °).

4.3. 평균값. 평균값의 본질과 의미

평균 사이즈통계에서 질적으로 동질적인 인구의 단위당 다양한 특성의 값을 반영하여 특정 장소 및 시간 조건에서 현상의 일반적인 수준을 특성화하는 일반적인 지표입니다. 경제 실무에서는 평균값으로 계산되는 다양한 지표가 사용됩니다.

예를 들어, 주식회사(JSC) 근로자 소득에 대한 일반적인 지표는 근로자 1인의 평균 소득이며, 이는 기금 비율에 따라 결정됩니다. 임금검토 대상 기간(연도, 분기, 월)에 대한 JSC 근로자 수에 대한 사회적 지급.

평균을 계산하는 것은 일반적인 일반화 기술 중 하나입니다. 평균연구 대상 인구의 모든 단위에 공통적인(전형적인) 것을 반영하는 동시에 개별 단위의 차이점을 무시합니다. 모든 현상과 그 발전에는 조합이 있습니다. 사고그리고 필요성.평균을 계산할 때 대수의 법칙의 작용으로 인해 무작위성이 상쇄되고 균형이 맞춰지므로 현상의 중요하지 않은 특징, 각 특정 사례의 특성의 정량적 값에서 추상화하는 것이 가능합니다. . 개별 값의 무작위성과 변동을 추상화하는 능력은 평균의 과학적 가치에 있습니다. 일반화하다인구의 특성.

일반화가 필요한 경우 이러한 특성을 계산하면 속성의 다양한 개별 값이 대체됩니다. 평균전체 현상 집합을 특징짓는 지표로, 개별 현상에서는 보이지 않지만 대중 사회 현상에 내재된 패턴을 식별할 수 있습니다.

평균은 연구되는 현상의 특징적이고 전형적인 실제 수준을 반영하고 이러한 수준과 시간과 공간의 변화를 특징 짓습니다.

평균은 그것이 발생하는 조건에서 프로세스 법칙의 요약 특성입니다.

4.4. 평균의 종류와 계산 방법

평균 유형의 선택은 특정 지표 및 소스 데이터의 경제적 내용에 따라 결정됩니다. 각각의 특정 경우에 평균값 중 하나가 사용됩니다. 산술, 가르모닉, 기하학, 2차, 3차등. 나열된 평균은 클래스에 속합니다. 차분한평균.

검정력 평균 외에도 구조적 평균은 통계 실무에서 사용되며 최빈값과 중앙값으로 간주됩니다.

전력 평균에 대해 더 자세히 살펴 보겠습니다.

산술 평균

평균의 가장 일반적인 유형은 다음과 같습니다. 평균 산수.전체 인구에 대한 다양한 특성의 양이 개별 단위의 특성 값의 합인 경우에 사용됩니다. 사회 현상은 다양한 속성의 양의 가산성(전체성)이 특징입니다. 이는 산술 평균의 적용 범위를 결정하고 일반적인 지표로서 그 보급률을 설명합니다. 예를 들어 총 임금 기금은 임금의 합계입니다. 모든 근로자의 총 수확량은 전체 파종 기간 동안 생산된 생산량의 합계입니다.

산술 평균을 계산하려면 모든 특성 값의 합을 해당 숫자로 나누어야 합니다.

산술 평균은 다음 형식으로 사용됩니다. 단순 평균과 가중 평균.초기 정의 형식은 단순 평균입니다.

단순 산술 평균평균화되는 특성의 개별 값의 단순 합계를 이러한 값의 총 수로 나눈 것과 같습니다(특성의 그룹화되지 않은 개별 값이 있는 경우에 사용됩니다).

어디
- 변수(변형)의 개별 값 중 - 인구의 단위 수.

또한 합계 한계는 공식에 표시되지 않습니다. 예를 들어, 15명의 작업자가 각각 몇 개의 부품을 생산했는지 알고 있다면 한 명의 작업자(기계공)의 평균 생산량을 찾아야 합니다. 특성의 개별 값이 PC로 제공됩니다.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

단순 산술 평균은 공식 (4.1), 1 pc를 사용하여 계산됩니다.

다른 횟수로 반복되거나 가중치가 다른 옵션의 평균을 호출합니다. 가중.가중치는 단위의 수입니다. 다른 그룹집계(동일한 옵션이 그룹으로 결합됨)

산술 평균 가중- 그룹화된 값의 평균 - 다음 공식을 사용하여 계산됩니다.

, (4.2)

어디
- 가중치(동일 기호의 반복 빈도)

- 특징의 크기와 빈도의 곱의 합;

- 총 인구 단위 수.

위에서 설명한 예를 사용하여 산술 가중 평균을 계산하는 기술을 설명합니다. 이를 위해 소스 데이터를 그룹화하여 테이블에 배치합니다. 4.1.

표 4.1

부품생산을 위한 인력배분

공식 (4.2)에 따르면 가중 산술 평균은 다음과 같습니다.

경우에 따라 가중치가 표시되지 않을 수 있습니다. 절대값, 그러나 상대적입니다(단위의 백분율 또는 분수). 그러면 산술 가중 평균의 공식은 다음과 같습니다.

어디
- 특수성, 즉 전체 합계에서 각 주파수가 차지하는 비율

빈도를 분수(계수)로 계산하면
= 1이고 산술 가중 평균 공식의 형식은 다음과 같습니다.

그룹 평균에서 가중 산술 평균 계산 다음 공식에 따라 수행됩니다.

,

어디 에프- 각 그룹의 단위 수.

그룹 평균으로부터 산술 평균을 계산한 결과가 표에 나와 있습니다. 4.2.

표 4.2

평균 근속 기간별 근로자 분포

이 예에서 옵션은 개별 근로자의 근속 기간에 대한 개별 데이터가 아니라 각 작업장의 평균입니다. 천칭 에프상점의 근로자 수입니다. 따라서 기업 전체에서 근로자의 평균 업무 경험은 다음과 같습니다.

.

분포 계열의 산술 평균 계산

평균화되는 특성 값이 간격("from - to") 형식으로 지정되는 경우, 즉 분포의 간격 계열을 사용하면 산술 평균을 계산할 때 이러한 간격의 중간점이 그룹의 특성 값으로 간주되어 이산 계열이 형성됩니다. 다음 예를 고려하십시오(표 4.3).

간격 값을 평균 값/(단순 평균)으로 대체하여 간격 계열에서 이산 계열로 이동해 보겠습니다.

표 4.3

JSC 근로자의 월급 수준별 분포

열린 간격(첫 번째 및 마지막)의 값은 조건부로 인접한 간격(두 번째 및 두 번째)과 동일합니다.

이러한 평균 계산을 사용하면 그룹 내 특성 단위의 균일한 분포에 대해 가정이 이루어지기 때문에 약간의 부정확성이 허용됩니다. 그러나 간격이 좁고 간격의 단위가 많을수록 오류는 더 작아집니다.

간격의 중간점을 찾은 후에는 이산 계열에서와 동일한 방식으로 계산이 수행됩니다. 즉, 옵션에 빈도(가중치)를 곱하고 곱의 합을 빈도(가중치)의 합으로 나눕니다. , 천 루블:

.

따라서 JSC 근로자의 평균 임금 수준은 729 루블입니다. 달마다.

산술 평균을 계산하는 데는 많은 시간과 노력이 소요되는 경우가 많습니다. 그러나 많은 경우 해당 속성을 사용하면 평균 계산 절차가 단순화되고 용이해질 수 있습니다. 산술 평균의 몇 가지 기본 속성을 (증명 없이) 제시해 보겠습니다.

속성 1. 특성의 모든 개별 값(예: 모든 옵션) 감소 또는 증가 나횟수 다음으로 평균값 새로운 특성은 이에 따라 감소하거나 증가합니다. 나한 번.

속성 2. 평균화되는 특성의 모든 변형이 감소하는 경우숫자 A만큼 바느질하거나 늘리면 산술 평균이 해당됩니다.실제로는 같은 숫자 A만큼 감소하거나 증가합니다.

속성 3. 평균화된 모든 옵션의 가중치가 감소하는 경우 또는 증가 에게 시간이 지나면 산술 평균은 변하지 않습니다.

절대 지표 대신 평균 가중치로 사용할 수 있습니다. 비중전체 합계(주 또는 백분율). 이는 평균 계산을 단순화합니다.

평균 계산을 단순화하기 위해 옵션 및 빈도 값을 줄이는 경로를 따릅니다. 가장 큰 단순화는 다음과 같이 달성됩니다. ㅏ빈도가 가장 높은 중앙 옵션 중 하나의 값은 / - 간격 값(동일한 간격을 갖는 계열의 경우)으로 선택됩니다. 수량 A를 기준점이라고 부르므로 이 평균을 계산하는 방법을 "조건부 0에서 계산하는 방법" 또는 "순간의 방식으로."

모든 옵션이 있다고 가정하자 엑스처음에는 같은 숫자 A만큼 감소한 다음 나한 번. 우리는 새로운 옵션의 분포에 대한 새로운 변형 시리즈를 얻습니다. .

그 다음에 새로운 옵션다음과 같이 표현됩니다:

,

그리고 그들의 새로운 산술 평균 , -첫 주문 순간-공식:

.

이는 원래 옵션의 평균과 동일하며 먼저 ㅏ,그리고 나서 나한 번.

실제 평균을 얻으려면 1차 모멘트가 필요합니다. 중 1 , 곱하기 나그리고 추가하세요 ㅏ:

.

변화 계열로부터 산술 평균을 계산하는 이 방법을 "순간의 방식으로."이 방법은 동일한 간격으로 행에 사용됩니다.

모멘트 방법을 사용한 산술 평균 계산은 표의 데이터에 설명되어 있습니다. 4.4.

표 4.4

2000년 고정생산자산(FPF) 가치에 따른 지역 내 중소기업 분포.

첫 번째 주문 순간 찾기

.

그런 다음 A = 19를 취하고 다음을 알 수 있습니다. 나= 2, 계산하다 엑스,천 루블.:

평균값의 유형 및 계산 방법

통계 처리 단계에서는 다양한 연구 문제가 설정될 수 있으며, 이를 해결하려면 적절한 평균을 선택해야 합니다. 이 경우 다음 규칙을 따라야 합니다. 평균의 분자와 분모를 나타내는 수량은 서로 논리적으로 관련되어야 합니다.

• 전력 평균;
• 구조적 평균.

다음 규칙을 소개하겠습니다.

평균이 계산되는 수량

평균. 위의 막대는 개별 값의 평균화가 발생함을 나타냅니다.

빈도(개별 특성 값의 반복성).

다양한 평균은 일반적인 전력 평균 공식에서 파생됩니다.

(5.1)

k = 1일 때 - 산술 평균; k = -1 - 조화 평균; k = 0 - 기하 평균; k = -2 - 제곱 평균 제곱근.

평균값은 단순하거나 가중될 수 있습니다. 가중 평균이는 속성 값의 일부 변형이 서로 다른 숫자를 가질 수 있으므로 각 옵션에 이 숫자를 곱해야 한다는 점을 고려한 값입니다. 즉, "척도"는 서로 다른 그룹의 집계 단위 수입니다. 각 옵션은 빈도에 따라 "가중치"가 적용됩니다. 주파수 f는 다음과 같습니다. 통계적 가중치또는 평균 체중.

산술 평균- 가장 일반적인 유형의 평균입니다. 그룹화되지 않은 통계 데이터에 대해 계산을 수행할 때 평균 항을 구해야 하는 경우에 사용됩니다. 산술 평균은 특성의 평균값으로, 집합체에서 특성의 총 부피가 변경되지 않은 상태로 유지됩니다.

산술 평균 공식( 단순한) 형식을 갖습니다.

여기서 n은 인구 규모입니다.

예를 들어 기업 직원의 평균 급여는 산술 평균으로 계산됩니다.

여기서 결정 지표는 각 직원의 급여와 기업 직원 수입니다. 평균을 계산할 때 임금 총액은 동일하게 유지되었지만 모든 직원에게 균등하게 분배되었습니다. 예를 들어, 직원이 8명인 소규모 회사의 직원 평균 급여를 계산해야 합니다.

평균값을 계산할 때 평균화되는 특성의 개별값이 반복될 수 있으므로 그룹화된 데이터를 이용하여 평균값을 계산합니다. 이 경우 우리 얘기 중이야사용에 대해 산술 평균 가중, 이는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

(5.3)

그래서 우리는 증권거래소에서 주식회사의 평균주가를 계산해야 합니다. 해당 거래는 5일(5건) 이내에 이루어진 것으로 알려졌으며, 판매율로 판매된 주식 수는 다음과 같이 분배되었습니다.

1 - 800ak. - 1010 문지름.

2 - 650ak. - 990 문지름.

3 - 700ak. - 1015 문지름.

4 - 550ak. - 900 문지름.

5 - 850ak. - 1150 문지름.

평균 주가를 결정하는 초기 비율은 총 거래 금액(TVA)과 판매 주식 수(KPA)의 비율입니다.

평균값은 통계에 널리 사용됩니다. 평균값은 유통 비용, 이익, 수익성 등 상업 활동의 질적 지표를 나타냅니다.

평균 - 이것은 일반적인 일반화 기술 중 하나입니다. 평균의 본질에 대한 올바른 이해는 평균이 개인과 무작위를 통해 경제 발전 패턴의 추세를 식별하기 위해 일반적이고 필요한 것을 식별할 수 있게 해줄 때 시장 경제에서 그 특별한 중요성을 결정합니다.

평균값 - 행동이 표현되는 일반적인 지표입니다. 일반 조건, 연구되는 현상의 패턴.

통계 평균은 정확하게 통계적으로 정리된 질량 관찰(연속 및 선택적)의 질량 데이터를 기반으로 계산됩니다. 그러나 통계 평균은 질적으로 동질적인 인구(대량 현상)에 대한 대량 데이터로부터 계산되는 경우 객관적이고 일반적입니다. 예를 들어, 협동조합과 국영 기업의 평균 임금을 계산하고 그 결과를 전체 인구로 확장하면 평균은 이질적인 인구에 대해 계산되고 이러한 평균은 모든 의미를 잃기 때문에 허구입니다.

평균의 도움으로 개별 관찰 단위에서 어떤 이유로 발생하는 특성 값의 차이가 완화됩니다.

예를 들어, 영업사원의 평균 생산성은 자격, 근무 기간, 연령, 서비스 형태, 건강 등 여러 가지 이유에 따라 달라집니다.

평균 생산량은 전체 인구의 일반적인 특성을 반영합니다.

평균값은 연구 중인 특성의 값을 반영하므로 이 특성과 동일한 차원에서 측정됩니다.

각 평균값은 하나의 특성에 따라 연구 대상 인구의 특성을 나타냅니다. 다양한 필수 특성에 따라 연구 대상 인구에 대한 완전하고 포괄적인 이해를 얻으려면 일반적으로 현상을 다양한 각도에서 설명할 수 있는 평균값 시스템이 필요합니다.

다양한 평균이 있습니다.

산술 평균;

기하평균;

조화 평균;

평균 제곱;

평균 연대순.

통계에 가장 자주 사용되는 몇 가지 유형의 평균을 살펴보겠습니다.

산술 평균

단순 산술 평균(비가중)은 속성의 개별 값의 합을 해당 값의 수로 나눈 값과 같습니다.

특성의 개별 값을 변형이라고 하며 x()로 표시합니다. 모집단 단위 수는 n으로 표시되고 특성의 평균값은 . 따라서 산술 단순 평균은 다음과 같습니다.

이산형 분포 계열 데이터에 따르면 동일한 특성 값(변형)이 여러 번 반복되는 것이 분명합니다. 따라서 옵션 x는 총 2번 발생하고 옵션 x는 16번 발생합니다.

분포 계열에서 동일한 특성 값의 수를 빈도 또는 가중치라고 하며 기호 n으로 표시합니다.

근로자 1인의 평균 급여를 계산해 보겠습니다. 문질러.:

각 근로자 그룹의 임금기금은 옵션과 빈도의 곱과 동일하며, 이들 곱의 합은 전체 근로자의 총 임금기금이 됩니다.

이에 따라 계산은 일반적인 형식으로 표시될 수 있습니다.

결과 공식을 가중 산술 평균이라고 합니다.

처리 결과, 통계 자료는 이산형 분포 계열의 형태뿐만 아니라 닫힌 구간이나 열린 구간을 갖는 구간 변동 계열의 형태로도 제시될 수 있습니다.

그룹화된 데이터의 평균은 가중 산술 평균 공식을 사용하여 계산됩니다.

경제통계의 실무에서는 집단 평균이나 인구의 개별 부분의 평균(부분 평균)을 사용하여 평균을 계산해야 하는 경우가 있습니다. 이 경우 집단 평균이나 개인 평균을 옵션(x)으로 삼고, 이를 토대로 전체 평균을 일반 가중 산술 평균으로 계산합니다.

산술 평균의 기본 속성 .

산술 평균에는 다음과 같은 여러 가지 속성이 있습니다.

1. 산술 평균의 값은 특성 x의 각 값의 빈도가 n배 감소하거나 증가하더라도 변하지 않습니다.

모든 주파수를 어떤 숫자로 나누거나 곱해도 평균값은 변하지 않습니다.

2. 특성의 개별 값의 공통 승수는 평균의 부호를 넘어 취할 수 있습니다.

3. 둘 이상의 수량의 합계(차이)의 평균은 해당 평균의 합계(차이)와 같습니다.

4. x = c이면(여기서 c는 상수 값임)
.

5. 산술 평균 x에서 속성 X 값의 편차 합계는 0과 같습니다.

고조파 평균.

통계에서는 산술 평균과 함께 속성의 역수 값에 대한 산술 평균의 역인 조화 평균을 사용합니다. 산술 평균과 마찬가지로 단순하고 가중치가 있을 수 있습니다.

평균과 함께 변동 계열의 특성은 최빈값과 중앙값입니다.

패션 - 이는 연구 대상 모집단에서 가장 자주 반복되는 특성(변이)의 값입니다. 개별 분포 계열의 경우 최빈값은 빈도가 가장 높은 변형의 값이 됩니다.

간격이 같은 간격 분포 계열의 경우 최빈값은 다음 공식에 의해 결정됩니다.

어디
- 모드를 포함하는 간격의 초기값;

- 모달 간격의 값

- 모달 간격의 빈도;

- 모달 이전 간격의 빈도;

- 모달 다음 간격의 빈도.

중앙값 - 베리에이션 시리즈 중간에 위치한 옵션입니다. 분포 계열이 불연속형이고 구성원 수가 홀수인 경우 중앙값은 정렬된 계열의 중간에 위치한 옵션이 됩니다(순서 있는 계열은 인구 단위를 오름차순 또는 내림차순으로 배열한 것입니다).

평균을 계산할 때 손실됩니다.

평균 의미숫자 집합은 숫자 S의 합을 이 숫자의 수로 나눈 것과 같습니다. 즉, 다음과 같이 밝혀졌습니다. 평균 의미같음: 19/4 = 4.75.

메모

단지 두 숫자의 기하 평균을 구해야 한다면 공학 계산기가 필요하지 않습니다. 두 번째 근( 제곱근) 가장 일반적인 계산기를 사용하여 모든 숫자에서 계산할 수 있습니다.

유용한 조언

산술 평균과 달리 기하 평균은 연구 중인 지표 세트의 개별 값 사이의 큰 편차 및 변동에 크게 영향을 받지 않습니다.

출처:

• 기하 평균을 계산하는 온라인 계산기
• 평균 기하학 공식

평균값은 숫자 집합의 특성 중 하나입니다. 해당 숫자 집합에서 가장 큰 값과 가장 작은 값으로 정의된 범위를 벗어날 수 없는 숫자를 나타냅니다. 평균산술 값은 가장 일반적으로 사용되는 평균 유형입니다.

지침

집합의 모든 숫자를 더한 다음 항 수로 나누어 산술 평균을 구합니다. 특정 계산 조건에 따라 각 숫자를 집합의 값 개수로 나누고 결과를 합산하는 것이 더 쉬운 경우도 있습니다.

예를 들어, 머리 속에서 산술 평균을 계산할 수 없는 경우 Windows OS에 포함된 기능을 사용하세요. 프로그램 시작 대화 상자를 사용하여 열 수 있습니다. 이렇게 하려면 WIN + R 단축키를 누르거나 시작 버튼을 클릭하고 기본 메뉴에서 실행을 선택하세요. 그런 다음 입력 필드에 calc를 입력하고 Enter를 누르거나 확인 버튼을 클릭합니다. 메인 메뉴를 통해서도 동일한 작업을 수행할 수 있습니다. 메뉴를 열고 "모든 프로그램" 섹션과 "표준" 섹션으로 이동하여 "계산기" 줄을 선택합니다.

각 숫자 다음에 더하기 키를 누르거나(마지막 숫자 제외) 계산기 인터페이스에서 해당 버튼을 클릭하여 세트의 모든 숫자를 순차적으로 입력합니다. 키보드를 사용하거나 해당 인터페이스 버튼을 클릭하여 숫자를 입력할 수도 있습니다.

슬래시 키를 누르거나 마지막 설정 값을 입력한 후 계산기 인터페이스에서 이를 클릭하고 일련의 숫자 수를 입력합니다. 그런 다음 등호를 누르면 계산기가 산술 평균을 계산하여 표시합니다.

동일한 목적으로 Microsoft Excel 스프레드시트 편집기를 사용할 수 있습니다. 이 경우 편집기를 실행하고 일련의 숫자 값을 모두 인접한 셀에 입력하십시오. 각 숫자를 입력한 후 Enter를 누르거나 아래쪽 또는 오른쪽 화살표 키를 누르면 편집기 자체가 입력 포커스를 인접한 셀로 이동합니다.

평균만 보고 싶지 않다면 마지막으로 입력한 숫자 옆에 있는 셀을 클릭하세요. 홈 탭의 편집 명령에 대한 그리스 시그마(Σ) 드롭다운 메뉴를 확장합니다. "라인을 선택하세요. 평균"그리고 편집자는 평균을 계산하는 데 필요한 공식을 삽입합니다. 산술 값선택한 셀에 들어갑니다. Enter 키를 누르면 값이 계산됩니다.

산술 평균은 중심 경향의 척도 중 하나이며 수학과 통계 계산에 널리 사용됩니다. 여러 값에 대한 산술 평균을 찾는 것은 매우 간단하지만 각 작업에는 고유한 뉘앙스가 있으므로 올바른 계산을 수행하기 위해 알아야 할 사항입니다.

산술 평균이란 무엇입니까?

산술 평균을 찾는 방법

음수 작업의 특징

1. 표준 방법을 사용하여 일반 산술 평균을 구합니다.
2. 음수의 산술 평균을 구합니다.
3. 양수의 산술 평균을 계산합니다.

각 작업에 대한 응답은 쉼표로 구분되어 작성됩니다.

자연분수와 소수분수

함께 일할 때 자연 분수그것들은 공통 분모로 축소되어야 하며, 여기에 배열의 숫자 수를 곱해야 합니다. 답의 분자는 원래 분수 요소의 주어진 분자의 합이 됩니다.

• 엔지니어링 계산기.

지침

참고하시기 바랍니다 일반적인 경우평균 기하학적 숫자이 숫자를 곱하고 숫자의 수에 해당하는 거듭제곱의 근을 취하여 구합니다. 예를 들어, 5개 숫자의 기하 평균을 구해야 한다면 곱에서 거듭제곱의 근을 추출해야 합니다.

두 숫자의 기하 평균을 찾으려면 기본 규칙을 사용하십시오. 그들의 곱을 구한 다음 그 제곱근을 구하세요. 숫자는 2이고 이는 근의 거듭제곱에 해당하기 때문입니다. 예를 들어, 숫자 16과 4의 기하 평균을 찾으려면 그 곱인 16 4=64를 찾으세요. 결과 숫자에서 제곱근 √64=8을 추출합니다. 이런 일이 일어날 것이다 필요 수량. 이 두 숫자의 산술 평균은 10보다 크거나 같습니다. 전체 근이 추출되지 않으면 결과를 원하는 순서로 반올림하세요.

두 개 이상의 숫자의 기하 평균을 구하려면 기본 규칙도 사용하세요. 이렇게하려면 기하 평균을 찾는 데 필요한 모든 숫자의 곱을 찾으십시오. 결과 제품에서 숫자의 수와 동일한 거듭제곱의 근을 추출합니다. 예를 들어, 숫자 2, 4, 64의 기하 평균을 찾으려면 해당 곱을 찾으세요. 2 4 64=512. 세 숫자의 기하평균 결과를 구해야 하므로 곱에서 세 번째 근을 구합니다. 말로는 어렵기 때문에 공학용 계산기를 사용하세요. 이를 위해 "x^y" 버튼이 있습니다. 숫자 512를 다이얼하고 "x^y" 버튼을 누른 다음 숫자 3을 다이얼하고 "1/x" 버튼을 누르고 1/3의 값을 찾으려면 "=" 버튼을 누릅니다. 512를 1/3승으로 올리면 세 번째 근에 해당하는 결과를 얻습니다. 512^1/3=8을 얻으세요. 이것은 숫자 2.4와 64의 기하 평균입니다.

공학 계산기를 사용하면 다른 방법으로 기하 평균을 찾을 수 있습니다. 키보드에서 로그 버튼을 찾으세요. 그 후, 각 숫자에 대해 로그를 취하고 그 합을 찾아 숫자의 수로 나눕니다. 결과 숫자에서 역로그를 취합니다. 이것은 숫자의 기하 평균이 됩니다. 예를 들어, 같은 숫자 2, 4, 64의 기하 평균을 찾으려면 계산기에서 일련의 연산을 수행하십시오. 번호 2를 누른 다음 로그 버튼을 누르고 "+"버튼을 누른 다음 번호 4를 누르고 로그와 "+"를 다시 누른 다음 64를 누르고 로그와 "="를 누릅니다. 결과는 숫자 2, 4, 64의 십진수 로그의 합과 같은 숫자가 됩니다. 결과 숫자를 3으로 나눕니다. 이는 기하 평균을 구하는 숫자의 수이기 때문입니다. 결과에서 대소문자 버튼을 전환하여 역로그를 취하고 동일한 로그 키를 사용합니다. 결과는 숫자 8이 되며 이는 원하는 기하 평균입니다.