모든 자연수가 N 실수와 일치 NS 그러면 그들은 그것이 주어진다고 말합니다. 숫자 시퀀스 :

NS 1 , NS 2 , NS 3 , . . . , NS , . . . .

따라서 숫자 시퀀스는 자연 인수의 함수입니다.

숫자 NS 1 불려진다 시퀀스의 첫 번째 멤버 , 숫자 NS 2 — 두 번째 항 , 숫자 NS 3 — 제삼 등. 숫자 NS 불려진다 n번째 멤버시퀀스 , 그리고 자연수 N — 그의 번호 .

이웃 2명 중 NS 그리고 NS +1 시퀀스 멤버 NS +1 불려진다 후속 (쪽으로 NS ), NS NS — 이전 (쪽으로 NS +1 ).

시퀀스를 지정하려면 임의의 숫자로 시퀀스의 구성원을 찾을 수 있는 방법을 지정해야 합니다.

종종 순서는 다음과 같이 주어집니다. n번째 항 공식 , 즉 번호로 시퀀스의 구성원을 결정할 수 있는 공식입니다.

예를 들어,

양의 홀수 시퀀스는 공식으로 지정할 수 있습니다.

NS= 2N - 1,

그리고 교대 순서 1 그리고 -1 - 공식에 의해

NS N = (-1)N +1 . ◄

순서를 결정할 수 있다 재귀 공식, 즉, 일부에서 시작하여 이전(하나 이상의) 구성원을 통해 시퀀스의 모든 구성원을 표현하는 공식입니다.

예를 들어,

만약 NS 1 = 1 , NS NS +1 = NS + 5

NS 1 = 1,

NS 2 = NS 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

NS 3 = NS 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

NS 4 = NS 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

NS 5 = NS 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

만약에 1= 1, 2 = 1, NS +2 = NS + NS +1 , 그런 다음 숫자 시퀀스의 처음 7개 멤버는 다음과 같이 설정됩니다.

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

NS 6 = NS 4 + NS 5 = 3 + 5 = 8,

NS 7 = NS 5 + NS 6 = 5 + 8 = 13. ◄

시퀀스 수 결정적인 그리고 끝없는 .

시퀀스라고 합니다 궁극의 제한된 수의 구성원이 있는 경우. 시퀀스라고 합니다 끝없는 무한히 많은 구성원이 있는 경우.

예를 들어,

두 자리 자연수의 시퀀스:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

결정적인.

소수의 시퀀스:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

끝없는. ◄

시퀀스라고 합니다 증가 두 번째부터 시작하여 각 구성원이 이전 구성원보다 큰 경우.

시퀀스라고 합니다 감소 두 번째부터 시작하여 각 구성원이 이전 구성원보다 작은 경우.

예를 들어,

2, 4, 6, 8, . . . , 2N, . . . - 증가 순서;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /N, . . . - 내림차순. ◄

숫자가 증가함에 따라 요소가 감소하지 않거나 반대로 증가하지 않는 수열을 호출합니다. 단조로운 시퀀스 .

특히 단조 시퀀스는 오름차순 시퀀스와 내림차순 시퀀스입니다.

산술 진행

산술 진행 시퀀스가 호출되며, 각 멤버는 두 번째 멤버부터 시작하여 동일한 번호가 추가된 이전 멤버와 동일합니다.

NS 1 , NS 2 , NS 3 , . . . , NS, . . .

임의의 자연수에 대한 산술 진행입니다. N 조건이 충족됨:

NS +1 = NS + NS,

어디 NS - 어떤 숫자.

따라서 주어진 조건의 다음 용어와 이전 용어의 차이 산술 진행항상 일정:

2 - NS 1 = 3 - NS 2 = . . . = NS +1 - NS = NS.

숫자 NS 불려진다 산술 진행의 차이.

산술 진행을 설정하려면 첫 번째 항과 차이를 나타내는 것으로 충분합니다.

예를 들어,

만약 NS 1 = 3, NS = 4 , 시퀀스의 처음 5개 멤버는 다음과 같이 찾습니다.

1 =3,

2 = 1 + NS = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + NS= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + NS= 11 + 4 = 15,

NS 5 = NS 4 + NS= 15 + 4 = 19. ◄

첫 번째 항을 사용한 산술 진행의 경우 NS 1 그리고 차이점 NS 그녀의 N

NS = 1 + (N- 1)NS.

예를 들어,

산술 진행의 30 번째 항을 찾으십시오

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, NS = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (N- 2)NS,

NS= 1 + (N- 1)NS,

NS +1 = NS 1 + NS,

그럼 분명히

두 번째부터 시작하여 산술 진행의 각 요소는 이전 및 후속 요소의 산술 평균과 같습니다.

숫자 a, b 및 c는 그 중 하나가 다른 둘의 산술 평균과 같은 경우에만 일부 산술 진행의 연속적인 구성원입니다.

예를 들어,

NS = 2N- 7 , 는 산술 진행입니다.

위의 문장을 사용해보자. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

NS = 2N- 7,

n-1 = 2(N - 1) - 7 = 2N- 9,

엔 + 1 = 2(엔 + 1) - 7 = 2N- 5.

따라서,

◄

참고 N - 산술 진행의 차 항은 다음을 통해서만 찾을 수 있는 것이 아닙니다. NS 1 , 그러나 또한 이전 케이

NS = 케이 + (N- 케이)NS.

예를 들어,

~을위한 NS 5 쓸 수 있다

5 = 1 + 4NS,

5 = 2 + 3NS,

5 = 3 + 2NS,

5 = 4 + NS. ◄

NS = 엔케이 + kd,

NS = 엔 + 카 - kd,

그럼 분명히

두 번째부터 시작하는 산술 진행의 모든 ​​구성원은 이 산술 진행에서 동일한 간격으로 떨어진 이 산술 진행의 구성원의 절반 합계와 같습니다.

또한 모든 산술 진행에 대해 평등은 참입니다.

m + n = ak + l,

m + n = k + l.

예를 들어,

산술 진행에서

1) NS 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (NS 9 + NS 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7NS= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) 2 + 12 = 5 + 9, 왜냐하면

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

에스앤= 1 + 2 + 3 +. ... ...+ NS,

첫번째 N 산술 진행의 구성원은 항의 수로 극단 항의 반합을 곱한 것과 같습니다.

따라서 특히 다음과 같이 조건을 합산해야 하는 경우

케이, 케이 +1 , . . . , NS,

그러면 이전 공식은 구조를 유지합니다.

예를 들어,

산술 진행에서 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

NS 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = NS 10 - NS 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

산술 진행이 주어지면 값 NS 1 , NS, NS, N그리고NS N 두 공식으로 연결:

따라서 이러한 양 중 세 개의 값이 주어지면 다른 두 양의 해당 값은 두 개의 미지수가 있는 두 개의 방정식 시스템으로 결합된 이러한 공식에서 결정됩니다.

산술 진행은 단조 시퀀스입니다. 여기서:

• 만약 NS > 0 , 그 다음 증가하고 있습니다.
• 만약 NS < 0 , 그러면 감소하고 있습니다.
• 만약 NS = 0 , 그러면 시퀀스가 ​​고정됩니다.

기하학적 진행

기하학적 진행 시퀀스가 호출되며, 각 멤버는 두 번째 멤버부터 시작하여 이전 멤버와 같으며 동일한 숫자를 곱합니다.

NS 1 , NS 2 , NS 3 , . . . , 비앤, . . .

임의의 자연수에 대한 기하학적 진행입니다. N 조건이 충족됨:

비앤 +1 = 비앤 · NS,

어디 NS ≠ 0 - 어떤 숫자.

따라서 주어진 기하학적 진행의 다음 구성원과 이전 구성원의 비율은 상수입니다.

NS 2 / NS 1 = NS 3 / NS 2 = . . . = 비앤 +1 / 비앤 = NS.

숫자 NS 불려진다 기하학적 진행의 분모.

기하학적 진행을 설정하려면 첫 번째 항과 분모를 나타내는 것으로 충분합니다.

예를 들어,

만약 NS 1 = 1, NS = -3 , 시퀀스의 처음 5개 멤버는 다음과 같이 찾습니다.

나 1 = 1,

ㄴ 2 = 나 1 · NS = 1 · (-3) = -3,

나 3 = ㄴ 2 · NS= -3 · (-3) = 9,

나 4 = 나 3 · NS= 9 · (-3) = -27,

NS 5 = NS 4 · NS= -27 · (-3) = 81. ◄

NS 1 그리고 분모 NS 그녀의 N th 항은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

비앤 = NS 1 · q n -1 .

예를 들어,

기하학적 진행의 일곱 번째 항을 찾으십시오. 1, 2, 4, . . .

NS 1 = 1, NS = 2,

NS 7 = NS 1 · NS 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = 나 1 · q n -2 ,

비앤 = 나 1 · q n -1 ,

비앤 +1 = NS 1 · q n,

그럼 분명히

비앤 2 = 비앤 -1 · 비앤 +1 ,

두 번째부터 시작하는 기하학적 진행의 각 요소는 이전 및 후속 요소의 기하 평균(비례)과 같습니다.

반대 진술도 참이므로 다음 진술이 성립합니다.

숫자, b 및 c는 그 중 하나의 제곱이 다른 둘의 곱과 같을 때, 즉 숫자 중 하나가 다른 둘의 기하학적 평균인 경우에만 일부 기하학적 진행의 연속적인 구성원입니다.

예를 들어,

공식에 의해 주어진 시퀀스를 증명하자 비앤= -3 2 N 는 지수 진행입니다. 위의 문장을 사용해보자. 우리는 다음을 가지고 있습니다:

비앤= -3 2 N,

비앤 -1 = -3 2 N -1 ,

비앤 +1 = -3 2 N +1 .

따라서,

비앤 2 = (-3 2 N) 2 = (-3 2 N -1 ) (-3 2 N +1 ) = 비앤 -1 · 비앤 +1 ,

필요한 진술을 증명합니다. ◄

참고 N -기하학적 진행의 차 항은 다음을 통해서만 찾을 수 있는 것이 아닙니다. NS 1 , 뿐만 아니라 모든 이전 용어 b k , 공식을 사용하는 것으로 충분합니다.

비앤 = b k · q n - 케이.

예를 들어,

~을위한 NS 5 쓸 수 있다

ㄴ 5 = 나 1 · NS 4 ,

ㄴ 5 = ㄴ 2 · 큐 3,

ㄴ 5 = 나 3 · 질문 2,

ㄴ 5 = 나 4 · NS. ◄

비앤 = b k · q n - 케이,

비앤 = 비앤 - 케이 · 큐,

그럼 분명히

비앤 2 = 비앤 - 케이· 비앤 + 케이

두 번째부터 시작하여 기하학적 진행의 모든 ​​구성원의 제곱은 그것과 같은 거리에 있는 이 진행의 구성원의 곱과 같습니다.

또한 모든 기하학적 진행에 대해 평등은 참입니다.

비엠· 비앤= b k· 비엘,

미디엄+ N= 케이+ 엘.

예를 들어,

기하급수적으로

1) NS 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = NS 5 · NS 7 ;

2) 1024 = NS 11 = NS 6 · NS 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) NS 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = NS 4 · NS 8 ;

4) NS 2 · NS 7 = NS 4 · NS 5 , 왜냐하면

NS 2 · NS 7 = 2 · 64 = 128,

NS 4 · NS 5 = 8 · 16 = 128. ◄

에스앤= NS 1 + NS 2 + NS 3 + . . . + 비앤

첫번째 N 분모가 있는 기하학적 진행의 구성원 NS ≠ 0 공식에 의해 계산:

그리고 언제 NS = 1 - 공식에 따라

에스앤= NB 1

조건을 합산해야 하는 경우

b k, b k +1 , . . . , 비앤,

다음 공식이 사용됩니다.

예를 들어,

기하급수적으로 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

NS 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = NS 10 - NS 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

기하학적 진행이 주어지면 값은 NS 1 , 비앤, NS, N그리고 에스앤 두 공식으로 연결:

따라서 이러한 양 중 세 개의 값이 주어지면 다른 두 양의 해당 값은 두 개의 미지수가 있는 두 개의 방정식 시스템으로 결합된 이러한 공식에서 결정됩니다.

첫 번째 항이 있는 기하학적 진행의 경우 NS 1 그리고 분모 NS 다음과 같은 단조 속성 :

• 다음 조건 중 하나가 충족되면 진행이 오름차순입니다.

NS 1 > 0 그리고 NS> 1;

NS 1 < 0 그리고 0 < NS< 1;

• 다음 조건 중 하나가 충족되면 진행이 감소합니다.

NS 1 > 0 그리고 0 < NS< 1;

NS 1 < 0 그리고 NS> 1.

만약에 NS< 0 , 그러면 기하학적 진행이 교대로 진행됩니다. 홀수 멤버는 첫 번째 항과 동일한 부호를 가지며 짝수 항은 반대 부호를 갖습니다. 교대하는 기하학적 진행이 단조롭지 않다는 것은 분명합니다.

첫 번째 작품 N 기하학적 진행의 구성원은 다음 공식으로 계산할 수 있습니다.

P n= 나 1 · ㄴ 2 · 나 3 · . . . · 비앤 = (나 1 · 비앤) N / 2 .

예를 들어,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

무한히 감소하는 기하학적 진행

무한히 감소하는 기하학적 진행 분모의 계수가 더 작은 무한 기하학적 진행이라고합니다. 1 , 그건

|NS| < 1 .

무한히 감소하는 기하학적 진행은 감소 시퀀스가 ​​아닐 수 있습니다. 이 경우에 맞습니다.

1 < NS< 0 .

이러한 분모를 사용하면 시퀀스가 ​​교대로 바뀝니다. 예를 들어,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

무한히 감소하는 기하학적 진행의 합 첫 번째 합이 되는 숫자입니다. N 수의 무제한 증가와 진행의 구성원 N ... 이 숫자는 항상 유한하며 다음 공식으로 표현됩니다.

예를 들어,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

산술과 기하 진행 사이의 관계

산술 및 기하학적 진행은 밀접하게 관련되어 있습니다. 두 가지 예만 살펴보겠습니다.

NS 1 , NS 2 , NS 3 , . . . NS , 그 다음에

에이 1 , 에이 2 , 에이 3 , . . . b d .

예를 들어,

1, 3, 5, . . . - 차이가 있는 산술 진행 2 그리고

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - 분모가 있는 기하학적 진행 7 2 . ◄

NS 1 , NS 2 , NS 3 , . . . - 분모가 있는 기하학적 진행 NS , 그 다음에

로그 a b 1, 로그 a b 2, 로그 a b 3, . . . - 차이가 있는 산술 진행 기록하다NS .

예를 들어,

2, 12, 72, . . . - 분모가 있는 기하학적 진행 6 그리고

엘지 2, 엘지 12, 엘지 72, . . . - 차이가 있는 산술 진행 엘지 6 . ◄

수학은 이에사람들은 자연과 자신을 통제합니다.

소비에트 수학자, 학자 A.N. 콜모고로프

기하학적 진행.

산수 진행 문제와 함께 기하 진행 개념과 관련된 문제도 수학 입학 시험에서 흔히 볼 수 있습니다. 이러한 문제를 성공적으로 해결하려면 기하학적 진행의 속성을 알고 이를 사용하는 데 능숙해야 합니다.

이 기사는 기하학적 진행의 기본 속성을 설명하는 데 사용됩니다. 또한 일반적인 작업을 해결하는 예를 제공합니다., 수학 입학 시험 과제에서 차용했습니다.

첫째, 기하학적 진행의 주요 속성에 주목하고 가장 중요한 공식과 진술을 상기합니다., 이 개념과 관련이 있습니다.

정의.숫자 시퀀스는 두 번째부터 시작하여 각 숫자가 이전 숫자와 같으며 동일한 숫자를 곱한 경우 기하학적 진행이라고 합니다. 숫자를 기하학적 진행의 분모라고 합니다.

기하학적 진행을 위해공식이 유효하다

, (1)

어디 . 공식 (1)은 기하 수차의 일반 항에 대한 공식이라고하며 식 (2)는 기하 수차의 주요 속성입니다. 진행의 각 항은 인접 요소의 기하 평균과 일치합니다.

메모, 고려된 진행이 "기하학적"이라고 불리는 것은 바로 이 속성 때문입니다.

위의 식 (1)과 (2)는 다음과 같이 일반화됩니다.

, (3)

금액을 계산하려면첫번째 기하학적 진행의 구성원공식이 적용됩니다

우리가 표시하면,

어디 . 따라서 식 (6)은 식 (5)를 일반화한 것입니다.

경우와, 기하학적 진행무한히 감소하고 있다. 금액을 계산하려면무한히 감소하는 기하학적 진행의 모든 ​​구성원의 공식이 사용됩니다.

. (7)

예를 들어 , 공식 (7)을 사용하여 다음을 나타낼 수 있습니다., 뭐라고 요

어디 . 이러한 등식은 (첫 번째 등식) 및 (두 번째 등식)을 조건으로 식 (7)에서 얻습니다.

정리.그렇다면

증거. 그렇다면,

정리가 증명되었습니다.

"기하학적 진행" 주제에 대한 문제 해결의 예를 고려해 보겠습니다.

예 1.주어진: 그리고. 찾다 .

해결책.식 (5)를 적용하면,

답변: .

예 2.하자 그리고. 찾다 .

해결책.그리고, 우리는 공식 (5), (6)을 사용하고 방정식 시스템을 얻을 것입니다

시스템 (9)의 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식으로 나누면, 다음 또는. 따라서 다음과 같이 ... 두 가지 경우를 생각해보자.

1. 만약, 그런 다음 시스템 (9)의 첫 번째 방정식에서 우리는.

2. 그렇다면.

예 3.하자, 그리고. 찾다 .

해결책.식 (2)에서 또는 다음을 따릅니다. 그 이후로 또는.

조건으로 . 그러나 따라서. 이후로, 여기에 방정식 시스템이 있습니다.

시스템의 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식으로 나누면 또는.

그 이후로 방정식은 하나의 적합한 근을 갖습니다. 이 경우 시스템의 첫 번째 방정식을 따릅니다.

공식 (7)을 고려하면, 우리는 얻습니다.

답변: .

예 4.주어진: 그리고. 찾다 .

해결책.그때부터.

그 이후로 어느 쪽이든

공식 (2)에 따르면, 우리는 있습니다. 이와 관련하여 평등 (10)에서 우리는 또는를 얻습니다.

그러나 조건에 따라 따라서.

예 5.라고 알려져 있습니다. 찾다 .

해결책. 정리에 따르면 두 개의 평등이 있습니다.

그 이후로 또는. 그때부터.

답변: .

예 6.주어진: 그리고. 찾다 .

해결책.공식 (5)를 고려하여, 우리는

그때부터. 이후로, 그리고, 이후.

예 7.하자 그리고. 찾다 .

해결책.식 (1)에 따라 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

따라서 우리는 또는. 그것은 그리고, 그러므로, 그리고.

답변: .

예 8.다음과 같은 경우 무한 감소 기하 진행의 분모를 찾으십시오.

그리고 .

해결책. 식 (7)로부터 다음과 같다.그리고 ... 이것과 문제의 조건에서 우리는 방정식 시스템을 얻습니다.

시스템의 첫 번째 방정식을 제곱하면, 그런 다음 결과 방정식을 두 번째 방정식으로 나눕니다., 그럼 우리는

또는 .

답변: .

예 9.시퀀스가 기하학적 진행인 모든 값을 찾으십시오.

해결책.하자, 그리고. 기하학적 진행의 주요 속성을 정의하는 공식 (2)에 따라 또는를 쓸 수 있습니다.

이것으로부터 우리는 이차 방정식을 얻습니다., 그 뿌리는그리고 .

여부를 확인하자, 그리고, 그리고; 그렇다면, 그리고.

첫 번째 경우에는그리고, 그리고 두 번째 - 그리고.

답변: , .

예 10.방정식 풀기

, (11)

어디와.

해결책. 방정식 (11)의 왼쪽은 무한 감소 기하 진행의 합이며, 여기서 and는 다음을 따릅니다.

식 (7)로부터 다음과 같다., 뭐라고 요 ... 이와 관련하여 식 (11)은 다음과 같은 형식을 취합니다.또는 ... 적합한 루트 이차 방정식이다

답변: .

예 11. NS 양수 시퀀스산술 진행을 형성, NS - 기하학적 진행, 그것 과 무슨 상관 이야 . 찾다 .

해결책.때문에 산술 시퀀스, 그 다음에 (산술 진행의 주요 속성). 하는 한, 다음 또는. 이것은 , 기하학적 진행은 다음과 같은 형태를 갖는다.... 식 (2)에 따르면, 우리는 그것을 씁니다.

이후로, 그리고 나서 ... 이 경우 식또는 형식을 취합니다. 조건으로 , 따라서 방정식에서우리는 얻는다 유일한 결정고려중인 문제, 즉. ...

답변: .

예 12.금액을 계산

. (12)

해결책. 우리는 평등 (12)의 양쪽에 5를 곱하고 다음을 얻습니다.

얻어진 식에서 빼면 (12), 그 다음에

또는 .

계산하기 위해 공식 (7)의 값을 대입하면 얻습니다. 그때부터.

답변: .

여기에 제시된 문제 해결 사례는 입학 시험을 준비하는 지원자에게 유용할 것입니다. 문제 해결 방법에 대한 더 깊은 연구를 위해, 기하급수적으로 관련된, 사용할 수 있습니다 튜토리얼추천 문헌 목록에서.

1. 전문대학 지원자를 위한 수학문제집 / Ed. 미. 스카나비. - M .: 평화와 교육, 2013 .-- 608 p.

2. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 추가 섹션 학교 커리큘럼... - M .: Lenand / URSS, 2014 .-- 216 p.

3. 메딘스키 M.M. 코스 완료 초등 수학작업 및 연습에서. 제 2권: 수열과 진행. - 남 : 에디투스, 2015 .-- 208p.

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이미 고대 이집트산수뿐만 아니라 기하학적 진행도 알고 있었습니다. 예를 들어, 다음은 Rynd의 파피루스에 있는 문제입니다. “일곱 얼굴에는 각각 일곱 고양이가 있습니다. 고양이 한 마리가 쥐 일곱 마리를 먹고, 쥐 한 마리가 귀 일곱 개를 먹고, 귀 한 마리에 보리 7알을 자랄 수 있다. 이 급수의 수와 그 합은 얼마나 됩니까?"

쌀. 1. 고대 이집트의 기하학적 진행 문제

이 작업은 다른 시대에 다른 민족들 사이에서 다른 변형으로 여러 번 반복되었습니다. 예를 들어, XIII 세기에 쓰여졌습니다. 피사의 레오나르도(피보나치)의 "주판의 책"에는 로마로 향하는 7명의 노파(명백한 순례자)가 있는 문제가 있습니다. 7개의 빵, 각각 7개의 칼집이 있는 7개의 칼집이 있습니다. 문제는 얼마나 많은 항목이 있는지 묻습니다.

기하학적 진행 S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1)의 처음 n 항의 합. 이 공식은 예를 들어 다음과 같이 증명할 수 있습니다. S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

S n에 숫자 b 1 q n을 더하고 다음을 얻습니다.

따라서 S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), 그리고 우리는 필요한 공식을 얻습니다.

이미 6세기로 거슬러 올라가는 고대 바빌론의 점토판 중 하나에 있습니다. 기원전 e., 합계 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1을 포함합니다. 사실, 다른 많은 경우와 마찬가지로 우리는 이 사실이 바빌론 사람들에게 알려진 곳을 모릅니다 .

많은 문화, 특히 인도에서 기하학적 진행의 급속한 성장은 우주의 광대함에 대한 시각적 상징으로 반복적으로 사용됩니다. 체스의 출현에 관한 잘 알려진 전설에서 영주는 발명가에게 보상을 스스로 선택할 기회를 주고 체스판의 첫 번째 칸에 놓을 때 얻을 수 있는 밀알의 양을 묻는다. 두 번째에 2, 세 번째에 4, 네 번째에 8 등, 매번 숫자가 두 배로 늘어납니다. 블라디카는 생각했다 그것은 온다, 기껏해야 몇 봉지 정도였지만 그는 잘못 계산했습니다. 체스판의 64개 사각형 모두에 대해 발명가는 20자리 숫자로 표현되는 (2 64 - 1) 곡물을 받았어야 함을 쉽게 알 수 있습니다. 지구 전체를 파종하더라도 필요한 양의 곡식을 모으려면 최소 8년이 걸립니다. 이 전설은 때때로 체스 게임에 숨겨진 거의 무한한 가능성을 가리키는 것으로 해석됩니다.

이 숫자가 실제로 20자리임을 쉽게 알 수 있습니다.

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6 ∙ 10 19 (더 정확한 계산은 1.84 ∙ 10 19). 하지만 이 숫자가 끝나는 숫자를 알 수 있는지 궁금합니다.

기하학적 진행은 분모가 절대값에서 1보다 크면 증가하고, 1보다 작으면 감소합니다. 후자의 경우, 충분히 큰 n에 대한 수 q n은 임의로 작아질 수 있습니다. 증가하는 기하학적 진행은 예기치 않게 빠르게 증가하지만 감소하는 기하학적 진행은 마찬가지로 빠르게 감소합니다.

더 큰 n, 더 약한 숫자 qn은 0과 다르며 기하학적 진행 S n = b 1 (1 - qn) / (1 - q)의 n 항의 합이 숫자 S = b 1 / ( 1 - q). (예를 들어 F. Viet이 추론한 방법입니다.) 숫자 S는 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합이라고 합니다. 그럼에도 불구하고 수세기 동안 무한한 수의 항을 가진 전체 기하학적 진행의 합산의 의미가 무엇인지에 대한 질문은 수학자에게 충분히 명확하지 않았습니다.

감소하는 기하학적 진행은 예를 들어 Zeno의 아포리아 "절반"과 "아킬레스와 거북이"에서 볼 수 있습니다. 첫 번째 경우에 전체 도로(길이 1이라고 가정)가 1/2, 1/4, 1/8 등의 무한한 수의 세그먼트의 합이라는 것이 명확하게 표시됩니다. 따라서 물론, 유한 합 끝없는 기하학적 진행의 개념의 관점에서. 그럼에도 불구하고 어떻게 이것이 가능합니까?

아킬레스건에 대한 아포리아에서는 진행의 분모가 1/2이 아니라 다른 숫자와 같기 때문에 상황이 조금 더 복잡합니다. 예를 들어, 아킬레스가 속도 v로 달리고 거북이가 속도 u로 움직이며 그들 사이의 초기 거리는 l이라고 가정합니다. 아킬레스는 이 거리를 l/v 시간에 달릴 것이고 거북이는 이 시간 동안 lu/v 거리만큼 이동할 것입니다. Achilles가 이 구간을 달리면 그와 거북이 사이의 거리는 l(u/v) 2 등이 됩니다. 거북이를 따라 잡는 것은 첫 번째 항으로 무한히 감소하는 기하학적 진행의 합을 찾는 것을 의미한다는 것이 밝혀졌습니다. l과 분모 u / v. 이 합계 - 아킬레스가 결국 거북이를 만나는 곳으로 달려갈 구간 -은 l / (1 - u / v) = lv / (v - u)와 같습니다. 그러나 다시, 이 결과는 어떻게 해석되어야 하며 왜 그것이 전혀 의미가 있습니까? 장기매우 명확하지 않았습니다.

기하학적 진행의 합은 아르키메데스가 포물선 부분의 면적을 결정하는 데 사용했습니다. 포물선의 주어진 선분을 현 AB로 구분하고 포물선의 점 D에서의 접선을 AB와 평행하게 둡니다. C를 AB의 중점, E를 AC의 중점, F를 CB의 중점이라고 하자. 점 A, E, F, B를 통해 DC에 평행한 직선을 그립니다. 점 D에 접선을 그리면 이 선이 점 K, L, M, N에서 교차합니다. 세그먼트 AD와 DB도 그려 보겠습니다. 선 EL이 ​​점 G에서 선 AD와 교차하고 점 H에서 포물선이 교차하도록 하십시오. 선 FM은 점 Q에서 선 DB와 교차하고 점 R에서 포물선과 교차합니다. 원뿔 단면의 일반 이론에 따르면 DC는 포물선의 지름입니다(즉, 축에 평행한 세그먼트). he와 점 D에서의 접선은 x 및 y 좌표축 역할을 할 수 있으며, 여기서 포물선 방정식은 y 2 = 2px로 작성됩니다(x는 D에서 주어진 지름의 임의의 점까지의 거리, y는 a의 길이입니다. 지름의 이 점에서 포물선 자체의 어떤 점까지 주어진 접선에 평행함).

포물선 방정식 덕분에 DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA이고 DK = 2DL이므로 KA = 4LH입니다. KA = 2LG이므로 LH = HG입니다. 포물선 ADB 세그먼트의 면적은 삼각형 ΔADB의 면적과 AHD 및 DRB 세그먼트를 합한 면적과 같습니다. 차례로, AHD 세그먼트의 면적은 삼각형 AHD의 면적과 유사하게 동일하고 나머지 세그먼트 AH 및 HD는 각각 동일한 작업을 수행할 수 있습니다 - 삼각형(Δ)으로 나누고 나머지 두 세그먼트() 등:

삼각형 ΔAHD의 면적은 삼각형 ΔALD 면적의 절반과 같으며(그들은 공통 밑변 AD를 ​​가지며 높이는 2배 다름), 차례로 삼각형 면적의 절반과 같습니다 ΔAKD, 따라서 삼각형 ΔACD 면적의 절반. 따라서 삼각형 ΔAHD의 면적은 삼각형 ΔACD 면적의 1/4과 같습니다. 마찬가지로 삼각형 ΔDRB의 면적은 삼각형 ΔDFB 면적의 1/4과 같습니다. 따라서 삼각형 ΔAHD와 ΔDRB의 면적을 합하면 삼각형 ΔADB 면적의 1/4과 같습니다. AH, HD, DR 및 RB 세그먼트에 적용된 이 작업을 반복하면 삼각형도 선택되며, 그 면적을 합하면 삼각형 ΔAHD 및 ΔDRB를 합친 면적보다 4배 작습니다. 이는 삼각형 ΔADB의 면적보다 16배 작음을 의미합니다. 등:

따라서 아르키메데스는 "직선과 포물선 사이에 있는 모든 선분은 밑변이 같고 높이가 같은 삼각형의 4/3"임을 증명했습니다.

산술과 함께 기하학적 진행은 다음에서 연구되는 중요한 숫자 시리즈입니다. 학교 과정 9학년 대수학. 이 기사에서는 기하학적 진행의 분모와 그 값이 속성에 미치는 영향을 고려할 것입니다.

기하학적 진행의 정의

우선, 이 수열의 정의를 보겠습니다. 이러한 계열을 기하학적 진행이라고 합니다. 유리수, 첫 번째 요소에 분모라는 상수를 순차적으로 곱하여 형성됩니다.

예를 들어, 행 3, 6, 12, 24, ...의 숫자는 기하학적 진행입니다. 왜냐하면 3(첫 번째 요소)에 2를 곱하면 6이 되기 때문입니다. 6에 2를 곱하면 12 등이 있습니다.

고려 중인 시퀀스의 구성원은 일반적으로 기호 ai로 표시되며, 여기서 i는 행의 요소 수를 나타내는 정수입니다.

진행에 대한 위의 정의는 수학 언어로 다음과 같이 작성할 수 있습니다. a = bn-1 * a1, 여기서 b는 분모입니다. 이 공식을 확인하는 것은 쉽습니다. n = 1이면 b1-1 = 1이고 a1 = a1이 됩니다. n = 2이면 = b * a1이고 다시 고려 중인 일련의 숫자 정의에 도달합니다. 에 대해서도 유사한 추론을 계속할 수 있다. 큰 값 N.

기하학적 진행의 분모

숫자 b는 전체 숫자 시리즈가 가질 문자를 완전히 결정합니다. 분모 b는 양수, 음수 또는 1보다 크거나 작을 수 있습니다. 이러한 모든 옵션은 서로 다른 시퀀스로 이어집니다.

• b> 1. 유리수 시리즈가 증가하고 있습니다. 예를 들어, 1, 2, 4, 8, ... 요소 a1이 음수이면 전체 시퀀스는 절대값만 증가하지만 숫자의 부호를 고려하면 감소합니다.
• b = 1. 이러한 경우는 보통 일련의 동일한 유리수가 있기 때문에 진행이라고 하지 않습니다. 예: -4, -4, -4.

금액 공식

리뷰를 진행하기 전에 특정 작업고려된 진행 유형의 분모를 사용하여 처음 n개 요소의 합에 대한 중요한 공식이 제공되어야 합니다. 공식은 Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1)입니다.

진행 멤버의 재귀 시퀀스를 고려하면 이 표현식을 직접 얻을 수 있습니다. 또한 위의 공식에서 합을 구하려면 첫 번째 요소와 분모만 알면 충분합니다. 임의의 숫자회원.

무한히 감소하는 수열

무엇인지에 대한 설명은 위와 같습니다. 이제 Sn에 대한 공식을 알았으므로 이 수열에 적용하십시오. 모듈러스가 1을 초과하지 않는 숫자는 큰 각도로 올리면 0이 되는 경향이 있습니다. 즉, -1인 경우 b∞ => 0

차이 (1 - b)는 분모 값에 관계없이 항상 양수이므로 기하 S∞의 감소하는 무한 진행 합계의 부호는 첫 번째 요소 a1의 부호에 의해 고유하게 결정됩니다.

이제 우리는 특정 숫자에 대해 얻은 지식을 적용하는 방법을 보여줄 몇 가지 작업을 고려할 것입니다.

문제 번호 1. 미지의 진행 요소 및 합계 계산

기하학적 진행이 주어지고 진행의 분모는 2이고 첫 번째 요소는 3입니다. 7번째와 10번째 항은 무엇이며 7개의 초기 요소의 합은 얼마입니까?

문제의 조건은 매우 간단하게 구성되어 있으며 위의 공식을 직접 사용합니다. 따라서 숫자 n을 가진 요소를 계산하기 위해 표현식 a = bn-1 * a1을 사용합니다. 7번째 요소에 대해 a7 = b6 * a1, 알려진 데이터를 대입하면 다음을 얻습니다. a7 = 26 * 3 = 192. 10번째 항에 대해서도 동일한 작업을 수행합니다: a10 = 29 * 3 = 1536.

합계에 대해 잘 알려진 공식을 사용하고 계열의 처음 7개 요소에 대해 이 값을 결정합시다. S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381입니다.

문제 번호 2. 진행의 임의 요소의 합계 결정

-2를 지수 진행 bn-1 * 4의 분모라고 하자. 여기서 n은 정수입니다. 이 시리즈의 5 번째에서 10 번째 요소까지의 금액을 결정해야합니다.

제기된 문제는 알려진 공식을 사용하여 직접 해결할 수 없습니다. 2번으로 해결하시면 됩니다 다른 방법... 완전성을 위해 둘 다 제시합니다.

방법 1. 아이디어는 간단합니다. 첫 번째 항의 해당하는 두 합을 계산한 다음 하나에서 다른 항을 빼야 합니다. 우리는 더 작은 양을 계산합니다: S10 = ((-2) 10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. 이제 큰 합계를 계산합니다. S4 = ((-2) 4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. 마지막 식에서는 문제의 조건에 따라 계산해야 하는 합계에 이미 5번째 항목이 포함되어 있으므로 4개 항목만 합산했습니다. 마지막으로 S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344의 차이를 취합니다.

방법 2. 숫자를 대입하고 계산하기 전에 해당 계열의 구성원 m과 n 사이의 합계에 대한 공식을 얻을 수 있습니다. 우리는 방법 1에서와 정확히 동일하게 수행합니다. 단지 먼저 합계의 상징적 표현으로 작업합니다. Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . 결과 표현식에서 알려진 숫자를 대체하고 최종 결과를 계산할 수 있습니다. S105 = 4 * ((-2) 10 - (-2) 4) / (-2 - 1) = -1344.

문제 번호 3. 분모는 무엇입니까?

a1 = 2라고 하고 무한 합이 3이고 이것이 감소하는 일련의 숫자라는 것이 알려져 있는 경우 기하학적 진행의 분모를 찾습니다.

문제의 조건에 따라 문제를 풀기 위해 어떤 공식을 사용해야 하는지 쉽게 추측할 수 있습니다. 물론 진행의 합은 무한히 줄어들기 때문이다. 우리는 다음을 가지고 있습니다: S∞ = a1 / (1 - b). 분모를 표현하는 곳: b = 1 - a1 / S∞. 알려진 값을 대체하고 필요한 수를 얻는 것이 남아 있습니다: b = 1 - 2/3 = -1 / 3 또는 -0.333 (3). 이 결과는 이러한 유형의 시퀀스에 대해 계수 b가 1을 넘어서는 안 된다는 것을 기억하면 정성적으로 확인할 수 있습니다. 보시다시피 | -1 / 3 |

문제 번호 4. 일련의 숫자 복구

숫자 계열의 2개 요소가 주어졌다고 가정해 보겠습니다. 예를 들어 5번째는 30이고 10번째는 60입니다. 이러한 데이터로부터 전체 계열을 재구성할 필요가 있습니다.

문제를 해결하려면 먼저 알려진 각 구성원에 대한 해당 표현식을 기록해야 합니다. a5 = b4 * a1 및 a10 = b9 * a1이 있습니다. 이제 두 번째 식을 첫 번째 식으로 나누면 a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5가 됩니다. 여기에서 문제의 조건 b = 1.148698에서 알려진 항의 비율의 5번째 근을 취하여 분모를 결정합니다. 결과 숫자를 알려진 요소의 표현식 중 하나로 대체하면 a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698) 4 = 17.2304966이 됩니다.

따라서, 우리는 진행 bn의 분모가 무엇인지, 기하학적 진행 bn-1 * 17.2304966 = an을 찾았습니다. 여기서 b = 1.148698입니다.

기하학적 진행은 어디에 사용됩니까?

이 수열을 실제로 적용하지 않았다면 그 연구는 순전히 이론적 관심으로 축소되었을 것입니다. 그러나 그러한 응용 프로그램이 있습니다.

다음은 가장 유명한 3가지 예입니다.

• 영리한 아킬레스가 느린 거북이를 따라 잡을 수 없다는 제노의 역설은 무한히 감소하는 수열의 개념을 사용하여 해결됩니다.
• 체스판의 각 칸에 밀알을 놓으면 1칸은 1칸, 2칸은 2칸, 3칸은 3칸, 이런 식으로 체스판의 모든 칸을 채우려면 18446744073709551615알이 필요합니다. 판자!
• 하노이 타워 게임에서 한 막대에서 다른 막대로 디스크를 재배열하려면 2n - 1 작업을 수행해야 합니다.

기하 진행의 n번째 항에 대한 공식은 매우 간단합니다. 의미와 일반적인 모습 모두. 그러나 n번째 항의 공식에는 매우 원시적인 것부터 아주 심각한 것까지 온갖 종류의 문제가 있습니다. 그리고 우리의 지인 과정에서 우리는 분명히 둘 다 고려할 것입니다. 자, 알아볼까요?)

따라서 처음에는 공식N

저기 그녀가있다:

비앤 = NS 1 · q n -1

공식으로서의 공식, 초자연적인 것은 없습니다. 에 대한 유사한 공식보다 훨씬 간단하고 간결해 보입니다. 공식의 의미도 펠트 부츠처럼 단순합니다.

이 공식을 사용하면 ITS NUMBER "로 기하학적 진행의 모든 ​​구성원을 찾을 수 있습니다. N".

보시다시피, 의미는 산술 진행과 완전한 유추입니다. 우리는 숫자 n을 알고 있습니다. 이 숫자로 항을 계산할 수도 있습니다. 우리가 원하는 것. "q"를 여러 번 연속적으로 곱하지 않고. 그것이 요점입니다.)

진행이 있는 이 작업 수준에서 공식에 포함된 모든 값이 이미 명확해야 한다는 것을 이해하지만 각 값을 해독하는 것이 내 의무라고 생각합니다. 만약을 위해.

가자:

NS 1 – 첫 번째기하학적 진행의 구성원;

NS – ;

N- 회원 번호;

비앤 – n번째(NNS)기하학적 진행의 일원.

이 공식은 기하학적 진행의 네 가지 주요 매개변수를 연결합니다. NSN, NS 1 , NS그리고 N... 그리고 이 네 가지 핵심 인물을 중심으로 진행의 모든 ​​문제가 도사리고 있습니다.

"어떻게 표시되나요?"- 궁금한 질문이 들린다... 초등! 바라보다!

무엇과 같다 두번째진행 멤버? 괜찮아요! 우리는 직접 씁니다:

b 2 = b 1 q

그리고 세 번째 임기는? 문제도 아닙니다! 두 번째 항을 곱합니다. 한 번 더NS.

이와 같이:

B 3 = B 2 q

이제 두 번째 항이 b 1 q와 같다는 것을 기억하고 이 식을 등식으로 대체합니다.

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

우리는 다음을 얻습니다:

NS 3 = b 1 q 2

이제 러시아어로 된 항목을 읽어 보겠습니다. 제삼항은 첫 번째 항에 q를 곱한 것과 같습니다. 두번째도. 알아 들었 니? 아직? 알겠습니다. 한 단계 더.

네 번째 용어는 무엇입니까? 모두 같은! 곱하다 이전(즉, 세 번째 항) q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

총:

NS 4 = b 1 q 3

그리고 다시 러시아어로 번역합니다. 네번째항은 첫 번째 항에 q를 곱한 것과 같습니다. 제삼도.

등. 그래서 방법? 패턴이 있나요? 예! 숫자가 있는 항에 대해 동일한 인수 q(즉, 분모의 차수)의 수는 항상 다음과 같습니다. 필요한 기간의 수보다 하나 적음N.

따라서 옵션이 없는 공식은 다음과 같습니다.

b n =NS 1 · q n -1

그게 전부입니다.)

자, 문제를 풀어볼까요?)

공식 문제 풀기N기하학적 진행의 th 멤버.

평소와 같이 공식을 직접 적용하여 시작해 보겠습니다. 다음은 일반적인 문제입니다.

기하급수적으로 알려져 있다. NS 1 = 512 및 NS = -1/2. 진행에서 열 번째 항을 찾으십시오.

물론 이 문제는 어떤 공식 없이도 풀 수 있습니다. 기하학적 진행의 의미 내에서 직접. 하지만 우리는 n번째 항에 대한 공식으로 워밍업해야 합니다. 맞죠? 그래서 우리는 워밍업.

공식을 적용하기 위한 데이터는 다음과 같습니다.

첫 번째 용어가 알려져 있습니다. 512입니다.

NS 1 = 512.

진행의 분모도 알려져 있습니다. NS = -1/2.

구성원 n의 수가 무엇인지 알아내는 것만 남아 있습니다. 괜찮아요! 열 번째 기간에 관심이 있습니까? 따라서 일반 공식에서 n 대신 10을 대입합니다.

그리고 우리는 산술을 정확하게 계산합니다.

답: -1

보시다시피, 진행의 10번째 항은 마이너스로 밝혀졌습니다. 당연히 진행의 분모는 -1/2입니다. 부정적인숫자. 그리고 이것은 우리의 진행 징후가 번갈아 나타난다는 것을 알려줍니다.)

여기에서는 모든 것이 간단합니다. 그리고 여기에 비슷한 작업이 있지만 계산 측면에서 조금 더 복잡합니다.

다음과 같이 기하급수적으로 알려져 있습니다.

NS 1 = 3

진행에서 열세 번째 항을 찾으십시오.

다 똑같아 이때만 진행의 분모는 비합리적인... 2의 루트. 괜찮습니다. 공식은 보편적 인 것이며 모든 숫자에 대처합니다.

우리는 공식에 따라 직접 일합니다:

물론 공식은 제대로 작동했지만 ... 이것은 일부가 동결되는 곳입니다. 루트로 다음에 무엇을해야합니까? 루트를 12승으로 올리는 방법은 무엇입니까?

How-how ... 모든 공식은 물론 좋은 것이지만 이전의 모든 수학 지식이 취소되지 않는다는 것을 이해해야합니다! 구축하는 방법? 예, 기억해야 할 정도의 속성! 루트를 로 바꾸자 분수 지수그리고 - 지수 공식에 따름.

이와 같이:

답: 192

그리고 그게 다야.)

n항 공식을 직접 적용할 때 가장 어려운 점은 무엇입니까? 예! 주요 어려움은 학위 작업!즉 - 지수 음수, 분수, 뿌리 등. 그래서 이것에 문제가 있는 사람들은 학위와 속성을 반복할 것을 촉구합니다! 그렇지 않으면이 주제에서 속도가 느려질 것입니다. 예 ...)

이제 일반적인 검색 문제를 해결해 보겠습니다. 공식 요소 중 하나다른 모든 것이 주어진 경우. 이러한 문제의 성공적인 해결을 위해 레시피는 균일하고 매우 간단합니다. 수식 쓰기N의 th 멤버 일반보기! 상태 바로 옆에 있는 노트북에 있습니다. 그리고 그 조건에서 우리에게 주어진 것과 부족한 것을 파악합니다. 그리고 우리는 공식에서 표현합니다 필요한 값... 모든 것!

예를 들어, 그러한 무해한 작업.

분모가 3인 기하 수열의 다섯 번째 항은 567입니다. 이 수열에서 첫 번째 항을 찾으십시오.

복잡하지 않습니다. 우리는 주문에 의해 직접 작동합니다.

우리는 n 항에 대한 공식을 씁니다!

비앤 = NS 1 · q n -1

우리에게 주어진 것은 무엇입니까? 먼저 진행의 분모는 다음과 같습니다. NS = 3.

또한, 우리에게 주어진 다섯 번째 임기: NS 5 = 567 .

모든 것? 아니요! 우리는 또한 숫자 n이 주어집니다! 이것은 5: n = 5입니다.

녹음 내용을 이미 이해하셨기를 바랍니다. NS 5 = 567 두 개의 매개변수가 한 번에 숨겨집니다. 이것은 다섯 번째 항 자체(567)와 숫자(5)입니다. 에 대한 유사한 강의에서 이미 이에 대해 이야기했지만 여기에서 상기시키는 것이 불필요한 것은 아니라고 생각합니다.)

이제 데이터를 공식으로 대체합니다.

567 = NS 1 · 3 5-1

우리는 산술을 고려하고 단순화하고 간단한 것을 얻습니다. 일차 방정식:

81 NS 1 = 567

우리는 해결하고 다음을 얻습니다.

NS 1 = 7

보시다시피 첫 번째 구성원을 찾는 데 문제가 없습니다. 그러나 분모를 찾을 때 NS그리고 숫자 N놀라움이있을 수 있습니다. 그리고 당신은 또한 그들을 위해 준비해야합니다 (놀라움을 위해), 그렇습니다.)

예를 들어 이 문제는 다음과 같습니다.

양의 분모를 갖는 기하 수열의 다섯 번째 항은 162이고, 이 수열의 첫 번째 항은 2입니다. 진행의 분모를 찾으십시오.

이번에는 첫 번째 항과 다섯 번째 항이 주어지고 진행의 분모를 구해야 합니다. 시작하겠습니다.

우리는 공식을 씁니다N멤버!

비앤 = NS 1 · q n -1

초기 데이터는 다음과 같습니다.

NS 5 = 162

NS 1 = 2

N = 5

의미가 부족하다 NS... 괜찮아요! 이제 우리는 그것을 찾을 것입니다.) 우리는 우리가 알고 있는 모든 것을 공식으로 대체합니다.

우리는 다음을 얻습니다:

162 = 2NS 5-1

2 NS 4 = 162

NS 4 = 81

간단한 4차 방정식. 그러나 지금 - 깔끔하게!솔루션의 이 단계에서 많은 학생들은 즉시 기쁘게 근(4차)을 추출하고 답을 얻습니다. NS=3 .

이와 같이:

4 = 81

NS = 3

그러나 실제로 이것은 미완성된 답변입니다. 더 정확하게는 불완전합니다. 왜요? 요점은 답은 NS = -3 또한 적합합니다: (-3) 4는 81도 됩니다!

이것은 전력 방정식이 x n = NS항상 가지고있다 두 개의 반대 뿌리~에 조차N . 플러스 마이너스:

둘 다 맞습니다.

예를 들어, 해결(즉, 두번째도)

x 2 = 9

어째서인지 외모에 놀라지 않고 둘근 x = ± 3? 여기에 같은 것이 있습니다. 그리고 다른 어떤 것과도 조차학위(네 번째, 여섯 번째, 열 번째 등)는 동일합니다. 세부 정보 - 주제에서

그렇기 때문에 올바른 솔루션다음과 같을 것입니다.

NS 4 = 81

NS= ± 3

좋아, 우리는 징후를 알아 냈습니다. 플러스와 마이너스 중 어느 것이 맞습니까? 글쎄, 우리는 다시 한 번 문제의 조건을 읽습니다. 추가 정보. 물론 없을 수도 있지만 이 작업에서 그러한 정보는 사용 가능.우리의 상태에서는 일반 텍스트로 진행이 다음과 같이 주어집니다. 양의 분모.

따라서 대답은 분명합니다.

NS = 3

여기에서는 모든 것이 간단합니다. 문제 진술이 다음과 같으면 어떻게 될 것 같습니까?

기하학적 진행의 다섯 번째 항은 162이고, 이 진행의 첫 번째 항은 2입니다. 진행의 분모를 찾으십시오.

차이점은 무엇입니까? 예! 상태 아무것도 아님분모 기호는 언급되지 않습니다. 직간접적으로도 아닙니다. 그리고 여기서 작업은 이미 두 가지 솔루션!

NS = 3 그리고 NS = -3

예 예! 그리고 플러스와 마이너스로.) 수학적으로, 이 사실은 두 가지 진행문제의 조건과 일치합니다. 그리고 각각에 대해 고유한 분모입니다. 재미를 위해 각각의 처음 5개 용어를 연습하고 기록하십시오.)

이제 회원번호 찾기를 연습해 봅시다. 이것이 가장 어려운 작업입니다. 그렇습니다. 그러나 또한 더 창의적입니다.)

기하학적 진행은 다음과 같습니다.

3; 6; 12; 24; …

이 진행에서 숫자 768은 무엇입니까?

첫 번째 단계는 여전히 동일합니다. 수식 쓰기N멤버!

비앤 = NS 1 · q n -1

그리고 이제 평소와 같이 우리가 알고 있는 데이터를 대체합니다. 음 ... 대체되지 않습니다! 첫 번째 항은 어디에, 분모는 어디에, 다른 모든 것은 어디에?!

어디서, 어디에서 ... 그리고 왜 우리는 눈이 필요합니까? 속눈썹을 박수? 이번에는 진행 상황이 다음 형식으로 직접 제공됩니다. 순서.첫 번째 용어가 보이시나요? 우리는보다! 이것은 트리플(b 1 = 3)입니다. 분모는 어떻습니까? 우리는 아직 그것을 볼 수 없지만 그것은 셀 수 있습니다. 물론 이해한다면.

그래서 우리는 계산합니다. 기하학적 진행의 의미에서 직접적으로: 우리는 그 구성원(첫 번째 제외)을 취하고 이전 구성원으로 나눕니다.

적어도 다음과 같이:

NS = 24/12 = 2

우리는 또 무엇을 알고 있습니까? 우리는 또한 768과 같은 이 진행의 특정 구성원을 알고 있습니다. 어떤 숫자 n 아래에서:

비앤 = 768

우리는 그의 번호를 모르지만 우리의 임무는 정확히 그것을 찾는 것입니다.) 그래서 우리는 찾고 있습니다. 대체에 필요한 모든 데이터를 이미 공식에 다운로드했습니다. 나도 모르게.)

그래서 우리는 다음을 대체합니다.

768 = 3.2N -1

우리는 기초적인 것을 수행합니다. 우리는 두 부분을 세 부분으로 나누고 방정식을 일반적인 형태로 다시 씁니다. 왼쪽은 미지, 오른쪽은 알려진 것입니다.

우리는 다음을 얻습니다:

2 N -1 = 256

여기 흥미로운 방정식이 있습니다. "n"을 찾아야 합니다. 특이한 점은 무엇입니까? 예, 나는 논쟁하지 않습니다. 사실 이게 가장 간단합니다. 알려지지 않았기 때문에 그렇게 불린다. 이 경우이 번호 N)에 서다 지시자도.

기하학적 진행과 친해지는 단계(이것은 9학년), 지수 방정식은 풀도록 가르치지 않습니다. 예... 이것은 고등학교를 위한 주제입니다. 그러나 무서운 것은 없습니다. 그러한 방정식이 어떻게 해결되는지 모르더라도 우리는 우리의 N단순한 논리와 상식에 따라 움직입니다.

우리는 추론하기 시작합니다. 왼쪽에는 듀스가 있습니다. 어느 정도... 우리는 아직 이 학위가 정확히 무엇인지 알지 못하지만 이것은 큰 문제가 아닙니다. 그러나 다른 한편으로, 우리는 이 차수가 256과 같다는 것을 확실히 알고 있습니다! 그래서 우리는 2가 우리에게 256을 주는 정도를 기억합니다. 기억하십니까? 예! V 여덟 번째도!

256 = 2 8

문제의 정도를 기억하지 못하거나 인식한 경우에도 문제가 없습니다. 두 개를 정사각형으로, 입방체로, 4도, 5도 등으로 순차적으로 올리면 됩니다. 선택은 사실, 하지만 이 수준에서 꽤 좋습니다.

어떤 식으로든 다음을 얻습니다.

2 N -1 = 2 8

N-1 = 8

N = 9

그래서 768은 제구우리 진행의 일원. 즉, 문제가 해결되었습니다.)

답: 9

뭐라고 요? 지루한? 기초적인 내용이 지겹습니까? 동의하다. 나도. 다음 단계로 가자.)

더 도전적인 작업.

그리고 이제 우리는 문제를 더 급작스럽게 해결합니다. 아주 멋진 것은 아니지만, 그들은 여전히 ​​답을 얻기 위해 해야 할 일이 약간 있습니다.

예를 들어, 이.

네 번째 항이 -24이고 일곱 번째 항이 192이면 기하 수열의 두 번째 항을 찾으십시오.

이것은 장르의 고전입니다. 진행의 두 가지 다른 구성원이 알려져 있지만 더 많은 구성원을 찾아야 합니다. 또한 모든 구성원이 이웃하지 않습니다. 처음에는 부끄럽습니다, 예...

에서와 같이 이러한 문제를 해결하는 두 가지 방법을 고려할 것입니다. 첫 번째 방법은 보편적입니다. 대수. 모든 소스 데이터와 완벽하게 작동합니다. 그러므로 우리는 그와 함께 시작할 것입니다.)

우리는 공식에 따라 각 용어를 씁니다. N멤버!

모든 것이 산술 진행과 똑같습니다. 이 시간에만 우리가 함께 작업합니다. 또 다른일반 공식. 그게 다야.) 그러나 본질은 동일합니다. 우리는 하나씩초기 데이터를 n번째 항의 공식으로 대체합니다. 각 회원을 위해 - 자신의.

네 번째 구성원에 대해 다음을 작성합니다.

NS 4 = NS 1 · NS 3

-24 = NS 1 · NS 3

있다. 하나의 방정식이 준비되었습니다.

일곱 번째 구성원에 대해 다음과 같이 씁니다.

NS 7 = NS 1 · NS 6

192 = NS 1 · NS 6

총 2개의 방정식을 얻었습니다. 같은 진행 .

우리는 그들로부터 시스템을 수집합니다.

강력한 외관에도 불구하고 시스템은 매우 간단합니다. 가장 확실한 해결책은 단순 대체입니다. 우리는 표현한다 NS 1 상위 방정식에서 하위 방정식으로 대체:

더 낮은 방정식을 약간 수정한 후(제곱을 줄이고 -24로 나눔으로써) 다음을 얻습니다.

NS 3 = -8

그건 그렇고, 당신은 더 간단한 방법으로 같은 방정식에 올 수 있습니다! 어떻게? 이제 나는 또 다른 비밀을 보여줄 것입니다. 그러나 매우 아름답고 강력하며 유용한 방법유사한 시스템의 솔루션. 방정식에서 이러한 시스템은 만 작동합니다.적어도 하나. 라고 불리는 용어 분할 방법한 방정식을 다른 방정식으로.

따라서 우리 앞에는 시스템이 있습니다.

왼쪽의 두 방정식에서 - 일하다오른쪽은 숫자일 뿐입니다. 이것은 매우 좋은 징조.) 취하여 ... 하위 방정식을 상위 방정식으로 나눕니다! 무슨 뜻인지, 한 방정식을 다른 방정식으로 나눕니다.매우 간단합니다. 우리는 왼쪽 하나의 방정식(아래) 및 나누기그녀에 왼쪽다른 방정식(상단). 오른쪽도 비슷합니다. 오른쪽하나의 방정식 나누기~에 오른쪽또 다른.

전체 분할 과정은 다음과 같습니다.

이제 감소된 모든 것을 줄이면 다음을 얻습니다.

NS 3 = -8

이 방법이 좋은 이유는 무엇입니까? 예, 그러한 분할 과정에서 모든 나쁘고 불편한 모든 것이 안전하게 줄어들 수 있고 완전히 무해한 방정식이 남아 있다는 사실! 그렇기 때문에 가지고 있는 것이 중요합니다. 곱하기만시스템의 방정식 중 적어도 하나에서. 곱셈이 없습니다 - 줄일 것이 없습니다. 예 ...

일반적으로 이 방법(시스템을 해결하는 다른 많은 중요하지 않은 방법과 마찬가지로)은 별도의 교훈을 얻을 가치가 있습니다. 확실히 더 자세히 분석하겠습니다. 언젠가…

그러나 시스템을 해결하는 방법은 중요하지 않습니다. 어쨌든 이제 결과 방정식을 풀어야 합니다.

NS 3 = -8

문제 없습니다. 루트(입방체)를 추출하면 완료됩니다!

추출 시 여기에 플러스/마이너스를 넣을 필요는 없으니 참고하세요. 홀수(3차) 루트가 있습니다. 그리고 대답도 똑같습니다.)

따라서 진행의 분모가 발견되었습니다. 마이너스 2. 괜찮은! 진행 중입니다.)

첫 번째 항(상단 방정식에서 말함)에 대해 다음을 얻습니다.

괜찮은! 우리는 첫 번째 항을 알고 분모를 알고 있습니다. 이제 우리는 진행 상황의 구성원을 찾을 수 있습니다. 두 번째를 포함합니다.)

두 번째 용어의 경우 모든 것이 매우 간단합니다.

NS 2 = NS 1 · NS= 3(-2) = -6

답: -6

그래서 우리는 문제를 해결하는 대수적 방법을 제시했습니다. 딱딱한? 그렇지 않습니다. 동의합니다. 길고 지루한? 네 그럼요. 그러나 때로는 작업량을 크게 줄일 수 있습니다. 이를 위해 있다 그래픽 방식.오래되고 우리에게 친숙합니다.)

문제를 그리다!

예! 정확히. 다시 숫자 축에 진행 상황을 그립니다. 눈금자를 따를 필요는 없으며 구성원 간에 동일한 간격을 유지할 필요가 없습니다(그런데 진행이 기하학적이기 때문에 동일하지 않을 것입니다!). 그러나 단순히 개략적으로우리의 순서를 그립니다.

나는 다음과 같이 얻었다.

이제 우리는 그림을 보고 생각합니다. 얼마나 많은 동일한 요소 "q"가 공유합니까? 네번째그리고 제칠회원? 맞아, 셋!

따라서 우리는 다음을 기록할 모든 권리가 있습니다.

-24NS 3 = 192

따라서 q는 이제 다음과 같이 쉽게 검색됩니다.

NS 3 = -8

NS = -2

대단합니다. 분모는 이미 우리 주머니에 있습니다. 그리고 이제 우리는 그림을 다시 봅니다. 얼마나 많은 분모가 그 사이에 앉아 있습니까? 두번째그리고 네번째회원? 둘! 따라서 이러한 용어 간의 연결을 기록하기 위해 분모는 다음과 같습니다. 제곱.

그래서 우리는 다음과 같이 씁니다.

NS 2 · NS 2 = -24 , 어디 NS 2 = -24/ NS 2

찾은 분모를 b 2, count 및 get에 대한 표현식으로 대체합니다.

답: -6

보시다시피 모든 것이 시스템을 통하는 것보다 훨씬 쉽고 빠릅니다. 게다가 여기서 우리는 첫 번째 항을 셀 필요조차 없었습니다! 조금도.)

다음은 간단하고 직관적인 조명 방법입니다. 그러나 그에게도 심각한 단점이 있습니다. 짐작하셨나요? 예! 진행의 매우 짧은 부분에만 작동합니다. 우리가 관심을 갖고 있는 멤버들 사이의 거리가 그리 멀지 않은 곳. 그러나 다른 모든 경우에는 이미 그림을 그리는 것이 어렵습니다. 그렇습니다. 그러면 시스템을 통해 문제를 분석적으로 해결합니다.) 그리고 시스템은 보편적인 것입니다. 모든 숫자를 처리할 수 있습니다.

또 다른 장대한 도전:

기하 수열의 두 번째 항은 첫 번째 항보다 10 더 많고, 세 번째 항은 두 번째 항보다 30 더 많습니다. 진행의 분모를 찾으십시오.

멋진 것은 무엇입니까? 별말씀을 요! 모두 같은. 문제 진술을 순수 대수학으로 다시 번역합니다.

1) 우리는 공식에 따라 각 용어를 씁니다. N멤버!

두 번째 항: b 2 = b 1 q

세 번째 항: b 3 = b 1 q 2

2) 우리는 문제 진술에서 구성원 간의 연결을 기록합니다.

우리는 조건을 읽습니다: "지수 진행의 두 번째 항은 첫 번째 항보다 10 더 많습니다."그만해, 이건 가치가 있어!

그래서 우리는 다음과 같이 씁니다.

NS 2 = NS 1 +10

그리고 우리는 이 문구를 순수한 수학으로 번역합니다.

NS 3 = NS 2 +30

우리는 두 개의 방정식을 얻었습니다. 우리는 그것들을 하나의 시스템으로 결합합니다:

시스템은 간단해 보입니다. 그러나 문자에 대한 다양한 색인이 있습니다. 첫 번째 항과 분모를 통해 표현의 두 번째 및 세 번째 항 대신에 대입합시다! 우리가 그것들을 그린 것이 헛된 것이었습니까?

우리는 다음을 얻습니다:

그러나 그러한 시스템은 더 이상 선물이 아닙니다. 그렇습니다 ... 이것을 해결하는 방법은 무엇입니까? 불행히도 콤플렉스를 풀기 위한 보편적인 비밀 주문 비선형수학에는 체계가 없고 있을 수도 없습니다. 이건 환상적이야! 그러나 그런 힘든 견과를 물려고 할 때 가장 먼저 생각해야 할 것은 추정하는 것입니다. 그러나 시스템의 방정식 중 하나는 아름다운 광경, 예를 들어 변수 중 하나를 다른 변수를 통해 쉽게 표현할 수 있습니까?

그래서 추정해 봅시다. 시스템의 첫 번째 방정식은 두 번째 방정식보다 분명히 간단합니다. 우리는 그를 고문 할 것입니다.) 우리는 첫 번째 방정식에서 시도해야하지 않습니까? 무엇통해 표현하다 무엇?분모를 구하고 싶기 때문에 NS, 그러면 우리가 표현하는 것이 가장 유리할 것입니다. NS 1 건너서 NS.

좋은 오래된 것들을 적용하여 첫 번째 방정식으로 이 절차를 수행해 보겠습니다.

b 1 q = b 1 +10

b 1 q - b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

모든 것! 그래서 우리는 표현했다 불필요한우리는 변수 (b 1)을 통해 필요한(NS). 그렇습니다. 그들은 가장 단순한 표현을 받지 않았습니다. 약간의 부분 ... 그러나 우리 시스템은 괜찮은 수준입니다.)

전형적인. 우리는 무엇을 해야 하는지 알고 있습니다.

우리는 ODZ를 씁니다. (필연적으로!) :

≠ 1

분모(q-1)로 모든 것을 곱하고 모든 분수를 취소합니다.

10 NS 2 = 10 NS + 30(NS-1)

우리는 모든 것을 10으로 나누고 괄호를 열고 왼쪽의 모든 것을 수집합니다.

NS 2 – 4 NS + 3 = 0

우리는 결과를 풀고 두 개의 근을 얻습니다.

NS 1 = 1

NS 2 = 3

최종 답은 하나뿐입니다. NS = 3 .

답: 3

보시다시피, 기하 진행의 n번째 항의 공식에 대한 대부분의 문제를 해결하는 방법은 항상 동일합니다. 주의 깊게문제의 조건과 n번째 항에 대한 공식을 사용하여 전체를 번역합니다. 유용한 정보순수 대수학으로.

즉:

1) 문제에 주어진 각 항을 공식으로 따로 씁니다.N멤버.

2) 문제의 조건에서 용어 간의 연결을 수학적 형식으로 변환합니다. 우리는 방정식 또는 방정식 시스템을 작성합니다.

3) 결과 방정식 또는 방정식 시스템을 풀고 진행의 알려지지 않은 매개 변수를 찾습니다.

4) 모호한 답변의 경우 추가 정보(있는 경우)를 찾아 문제의 상태를 주의 깊게 읽습니다. 또한 DLO의 조건(있는 경우)으로 수신된 답변을 확인합니다.

이제 기하학적 진행에서 문제를 해결하는 과정에서 가장 자주 오류로 이어지는 주요 문제를 나열하겠습니다.

1. 초등 산수. 분수와 음수를 사용한 작업.

2. 이 세 가지 점 중 하나 이상에 문제가 있으면 이 주제에서 필연적으로 실수하게 될 것입니다. 불행히도 ... 따라서 게으르지 말고 위에서 언급 한 것을 반복하십시오. 그리고 링크를 따라 이동하십시오. 때로는 도움이 됩니다.)

수정되고 반복되는 공식.

이제 상태에 대한 덜 친숙한 표현과 함께 몇 가지 일반적인 시험 문제를 살펴보겠습니다. 예, 당신은 그것을 추측! 그것 수정그리고 재발 n번째 항의 공식. 우리는 이미 그러한 공식을 접했고 산술적 진행을 했습니다. 여기에서는 모든 것이 동일합니다. 본질은 동일합니다.

예를 들어 OGE의 이러한 작업은 다음과 같습니다.

기하학적 진행은 다음 공식으로 제공됩니다. 비앤 = 3 2 N ... 첫 번째 멤버와 네 번째 멤버의 합을 구합니다.

이번에는 진행 상황이 우리에게 익숙하지 않습니다. 일종의 공식의 형태로. 그래서 무엇? 이 공식 - 또한 공식N멤버!우리 모두는 n번째 항에 대한 공식이 일반적인 형태로, 문자를 통해, 그리고 특정 진행... 와 함께 특정한첫 번째 항과 분모.

우리의 경우 실제로 다음 매개변수를 사용하여 기하학적 진행에 대한 일반 용어 공식을 받았습니다.

NS 1 = 6

NS = 2

확인해 볼까요?) n번째 항의 공식을 일반형으로 작성하여 대입해 보겠습니다. NS 1 그리고 NS... 우리는 다음을 얻습니다:

비앤 = NS 1 · q n -1

비앤= 6 2N -1

인수분해 및 거듭제곱 속성을 사용하여 단순화하여 다음을 얻습니다.

비앤= 6 2N -1 = 3 2 2N -1 = 3 2N -1+1 = 3 2N

보시다시피 모든 것이 공정합니다. 그러나 우리의 목표는 특정 공식의 유도를 입증하는 것이 아닙니다. 이것은 서정적 탈선입니다. 순전히 이해를 위한 것입니다.) 우리의 목표는 조건에서 우리에게 주어진 공식에 따라 문제를 해결하는 것입니다. 캐치?) 그래서 우리는 수정된 공식으로 직접 작업합니다.

우리는 첫 번째 용어를 계산합니다. 대리자 N=1 일반 공식으로:

NS 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

이와 같이. 그건 그렇고, 나는 게으르지 않을 것이며 다시 한 번 첫 번째 멤버의 계산으로 전형적인 블로퍼에주의를 기울일 것입니다. 공식을 볼 필요가 없습니다 비앤= 3 2N, 첫 번째 용어가 트리플이라는 것을 쓰기 위해 즉시 서두르십시오! 이것은 큰 실수입니다, 예 ...)

계속하자. 대리자 N=4 네 번째 항을 세십시오.

NS 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

마지막으로 필요한 금액을 계산합니다.

NS 1 + NS 4 = 6+48 = 54

답: 54

또 다른 문제.

기하학적 진행은 다음 조건에 의해 지정됩니다.

NS 1 = -7;

비앤 +1 = 3 비앤

진행에서 네 번째 항을 찾으십시오.

여기서 진행은 재귀 공식으로 제공됩니다. 글쎄, 알았어.) 그러한 공식으로 작업하는 방법 - 우리도 안다.

그래서 우리는 행동합니다. 단계별로.

1) 둘을 센다 연이은진행의 멤버.

첫 번째 기간은 이미 우리에게 할당되었습니다. 빼기 7. 그러나 다음 두 번째 항은 재귀 공식을 사용하여 쉽게 계산할 수 있습니다. 물론 작동 방식을 이해한다면.)

그래서 우리는 두 번째 항을 계산합니다. 잘 알려진 첫 번째에 따르면:

NS 2 = 3 NS 1 = 3(-7) = -21

2) 진행의 분모를 고려합니다.

문제도 없습니다. 스트레이트, 분할 두번째회원 첫 번째.

우리는 다음을 얻습니다:

NS = -21/(-7) = 3

3) 우리는 공식을 씁니다N- 일반적인 형태의 멤버이고 원하는 멤버를 고려한다.

따라서 우리는 첫 번째 항과 분모도 알고 있습니다. 그래서 우리는 다음과 같이 씁니다.

비앤= -7 3N -1

NS 4 = -7 3 3 = -7 27 = -189

답: -189

보시다시피, 기하학적 진행에 대한 이러한 공식으로 작업하는 것은 본질적으로 산술 진행을 위한 것과 다르지 않습니다. 이 공식의 일반적인 본질과 의미를 이해하는 것만 중요합니다. 음, 기하학적 진행의 의미도 이해해야합니다. 그렇습니다.) 그러면 어리석은 실수가 없을 것입니다.

자, 스스로 해결해 볼까요?)

워밍업을 위한 아주 기본적인 작업:

1. 다음과 같은 기하학적 진행이 주어집니다. NS 1 = 243, 그리고 NS = -2/3. 진행에서 여섯 번째 항을 찾으십시오.

2. 기하학적 진행의 일반 용어는 다음 공식으로 주어집니다. 비앤 = 5∙2 N +1 . 이 진행의 마지막 세 자리 항의 번호를 찾으십시오.

3. 기하학적 진행은 다음 조건에 의해 설정됩니다.

NS 1 = -3;

비앤 +1 = 6 비앤

진행에서 다섯 번째 항을 찾으십시오.

조금 더 복잡합니다.

4. 기하학적 진행이 주어집니다.

NS 1 =2048; NS =-0,5

여섯 번째 부정어는 무엇입니까?

뭐가 엄청나게 어려워 보이나요? 별말씀을 요. 기하학적 진행의 의미에 대한 논리와 이해를 저장합니다. 물론 n항에 대한 공식입니다.

5. 기하 진행의 세 번째 항은 -14이고 여덟 번째 항은 112입니다. 진행의 분모를 찾으십시오.

6. 기하급수열의 첫 번째 항과 두 번째 항의 합은 75이고, 두 번째 항과 세 번째 항의 합은 150입니다. 수열의 여섯 번째 항을 찾으십시오.

답변(무질서): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

그게 거의 전부입니다. 계산하는 방법을 배우는 것만 남아 있습니다. 기하학적 진행의 처음 n개 항의 합네 발견 무한히 감소하는 기하학적 진행그리고 그 금액. 그건 그렇고, 매우 흥미롭고 특이한 것! 이에 대한 자세한 내용은 다음 단원에서 설명합니다.)