Svaka površina jedne od njegovih stranica može se usmjeriti prema promatraču i tada će ta strana biti vidljiva. Inače, strana površine neće biti vidljiva s točke promatranja. Može se dogoditi da će samo dio stranice biti vidljiv. U tom slučaju na površini se može povući linija koja dijeli vidljivu i nevidljivu površinu. Crta skice je crta na površini koja odvaja vidljivi dio površine ili lica od nevidljivog dijela.

Riža. 9.5.1. Projekcije linija obrisa površine

Riža. 9.5.2. Projekcije mreže poligona i crte skice

Na sl. 9.5.1 prikazuje obrisne linije površine. Na sl. 9.5.2 prikazuje linije skice zajedno s površinskom mrežom.

Kada prolazi kroz liniju skice, normala površine mijenja smjer u odnosu na liniju vizure. U točkama linije skice normala površine je okomita na liniju vizure. Općenito, na površini može postojati nekoliko konturnih linija. Svaka linija skice je prostorna krivulja. Ili je zatvorena ili završava na rubovima površine. Različiti smjerovi gledanja imaju vlastiti skup konturnih linija, tako da kada se površina rotira, konturne linije se moraju izgraditi iznova.

Paralelne projekcije.

Za neke površine, na primjer, sferu, cilindar, stožac, obrisne linije konstruiraju se prilično jednostavno. Razmotrimo opći slučaj konstruiranja linija obrisa površine.

Neka je potrebno pronaći obrise plohe opisane radijus vektorom. Svaka točka obrisa za paralelnu projekciju na ravninu (9.2.1) mora zadovoljiti jednadžbu

gdje je normala na površinu za koju je konstruirana linija skice. Za površinu opisanu radijus vektorom, normala je također funkcija parametara i . Skalarna jednadžba (9.5.1) sadrži dva željena parametra u, v. Ako postavite jedan od parametara, tada se drugi može pronaći iz jednadžbe (9.5.1), tj. jedan od parametara je funkcija drugog. Kako bi se osigurala jednakost parametara, oni se mogu prikazati kao funkcije nekog zajedničkog parametra

Rezultat rješavanja jednadžbe (9.5.1) je dvodimenzionalni pravac

na površini Ova linija je obrisna linija površine.

Konstruirat ćemo liniju skice iz uređenog skupa točaka koje zadovoljavaju jednadžbu (9.5.1). Točkama nazivamo par površinskih parametara, koji su koordinate dvodimenzionalnih točaka na parametarskoj ravnini. Imajući pojedinačne točke linije skice, smještene redom kojim slijede i na određenoj udaljenosti jedna od druge, uvijek možete pronaći bilo koju drugu točku na liniji. Na primjer, da bismo pronašli točku koja leži između dvije zadane susjedne točke crte skice, crtamo ravninu okomitu na segment koji povezuje susjedne točke i pronalazimo zajedničku točku za površinu i ravninu rješavanjem triju skalarnih jednadžbi presjeka zajedno s jednadžbom (9.5.1). Položaj ravnine na segmentu može se odrediti parametrom linije. Na temelju ekstremnih točaka segmenta određuje se nulta aproksimacija za željenu točku. Dakle, skup pojedinačnih dvodimenzionalnih točaka linije obrisa površine služi kao svojevrsna nulta aproksimacija te linije, iz koje se uvijek može pronaći točan položaj točke pomoću jedne od numeričkih metoda. Algoritam za izradu linija obrisa površine može se podijeliti u dvije faze.

U prvoj fazi pronaći ćemo barem jednu točku na svakoj liniji skice. Da bismo to učinili, hodajući po površini i ispitujući predznak skalarnog produkta u susjednim točkama, pronaći ćemo parove točaka površine na kojima se predznak mijenja. Uzimajući prosječne vrijednosti parametara ovih točaka kao nultu aproksimaciju, pronaći ćemo parametre točke crte skice pomoću jedne od numeričkih metoda. Neka, na primjer, kada se kreće od točke do točke koja joj je blizu, mijenja se predznak. Zatim, koristeći iterativni proces Newtonove metode

ili iterativni proces

Pronađimo parametre jedne od točaka crte skice. Izvedene normale određuju se Weingartenovim formulama (1.7.26), (1.7.28). Na taj način dobivamo skup točaka obrisnih linija. Točke iz skupa dobivene u prvoj fazi ni na koji način nisu povezane jedna s drugom i mogu pripadati različitim linijama skice. Važno je samo da iz svake linije skice postoji barem jedna točka u skupu.

U drugoj fazi uzimamo bilo koju točku iz postojećeg skupa i krećući se od nje određenim korakom, prvo u jednom, a zatim u drugom smjeru, nalazimo, točku po točku, željeni skup točaka na liniji skice. Smjer kretanja zadan je vektorom

gdje su - parcijalne derivacije normale - parcijalne derivacije radijus vektora površine s obzirom na parametre .

Predznak ispred člana poklapa se s predznakom skalarnog umnoška Korak gibanja prema zakrivljenosti ploha u trenutnoj točki izračunavamo pomoću formule (9.4.7) ili formule (9.4.8). Ako

tada ćemo pomoću formule (9.4.7) dati inkrement parametru u i pomoću formule (9.5.4) pronaći odgovarajući parametar v površine. U suprotnom ćemo pomoću formule (9.4.8) povećati parametar i pomoću formule (9.5.5) pronaći odgovarajući parametar i površinu. Kretanje po krivulji završit ćemo kada dođemo do ruba jedne od ploha ili kada se linija zatvori (nova točka će biti na udaljenosti trenutnog koraka od početne točke).

Tijekom kretanja provjerit ćemo nalaze li se točke iz skupa dobivenog u prvoj fazi blizu rute. Da bismo to učinili, duž staze ćemo izračunati udaljenost od trenutne točke obrisne krivulje do svake točke iz skupa dobivenog u prvoj fazi. Ako je izračunata udaljenost do bilo koje točke u skupu razmjerna trenutnom koraku kretanja, tada će ta točka biti uklonjena iz skupa jer više nije potrebna. Na taj način dobivamo skup pojedinačnih točaka jedne linije skice. U tom slučaju skup točaka dobivenih u prvoj fazi neće sadržavati niti jednu točku ove linije. Ako u skupu još ima točaka, tada ova ploha ima barem još jednu konturnu liniju.

Riža. 9.5.3. Linije obrisa tijela

Riža. 9.5.4. Tijelo rotacije

Skup njegovih točaka pronaći ćemo tako da uzmemo bilo koju točku iz skupa i ponovimo drugu fazu konstrukcije. Završit ćemo konstruirati linije kada u setu ne ostane niti jedna točka. Koristeći opisanu metodu, konstruirat ćemo obrisne linije svih lica modela.

Obrisne linije lica su obrisne linije njihovih površina. Linija obrisa tijela bit će vidljiva ako nije prekrivena licem koje se nalazi bliže točki promatranja. Na sl. 9.5.3 prikazuje obris tijela rotacije prikazanog na sl. 9.5.4. Projekcija linije skice može imati prijelome i izbočine, ali sama linija skice je glatka.

Prijelomne točke u projekciji pojavljuju se tamo gdje je tangenta konture kolinearna s vektorom

Da bismo konstruirali projekciju crte skice, konstruirat ćemo njen poligon čiju ćemo projekciju uzeti kao projekciju crte skice.

Centralne projekcije.

Crte skice u središnjim projekcijama zadovoljavaju jednadžbu

(9.5.7)

gdje je - normala površine - radijus vektor točke promatranja. Crta skice za središnju projekciju razlikuje se od crte skice za paralelnu projekciju, iako su algoritmi za njihovu konstrukciju slični. Umjesto konstantnog vektora u (9.5.7) postoji vektor čiji smjer ovisi o projiciranoj točki. Crta skice za središnju projekciju također predstavlja određenu krivulju na plohi, opisanu ovisnostima (9.5.3), te je prostorna krivulja. Taj se pravac mora projicirati na ravninu prema pravilima za konstrukciju središnje projekcije prostornog pravca.

Na sl. 9.5.5 prikazuje paralelnu projekciju obrisnih linija torusa, a na sl. Za usporedbu, slika 9.5.6 prikazuje središnju projekciju obrisnih linija torusa. Kao što vidite, ove projekcije su različite.

Riža. 9.5.5. Paralelna projekcija obrisnih linija torusa

Riža. 9.5.6. Središnja projekcija linija obrisa torusa

Algoritam za konstruiranje linija skice za središnju projekciju plohe opisane radijus vektorom razlikuje se od algoritma za konstruiranje linija skice za paralelnu projekciju ove plohe po tome što ćemo u prvoj fazi tražiti točke površine u kojima skalarni umnožak mijenja predznak. Za određivanje ovih točaka umjesto formula (9.5.4) i (9.5.5) treba koristiti formule

i formule

odnosno. Inače, algoritam za konstruiranje obrisa za središnju projekciju plohe ne razlikuje se od algoritma za konstruiranje obrisa za paralelnu projekciju.

Cilj rada:

1. Stjecanje vještina prostornog predstavljanja koje omogućuju, duž zadane vodilice i osi, konstruiranje obrisa rotacijske površine.

2. Stjecanje vještina nalaženja projekcija točaka koje pripadaju plohi.

1. Na temelju zadane odrednice (vodilje) plohe konstruirati skice plohe.

2. Samostalno postaviti početne podatke za jednu od projekcija šest točaka koje pripadaju konstruiranoj plohi. Prikaži različite slučajeve: točke pripadaju linijama skice i plohama u općem slučaju.

3. Konstruirajte nedostajuće projekcije svake od šest točaka koje pripadaju plohi i označite ih.

Opcije zadatka prikazane su u tablici 1 na stranicama 8-12. Broj opcije zadatka odgovara rednom broju prezimena studenta u popisu grupe.

Ploha rotacije je površina nastala rotacijom određene linije (generatorke) oko osi.

Algoritam za izradu skice površine revolucije:

1. Na generatrisi odaberite diskretni niz točaka.

2. Gradimo paralele koje prolaze kroz odabrane točke.

3. Spojite krajnje položaje točaka na paralelama glatkom zakrivljenom linijom.

Primjer konstruiranja skice rotacijske površine.

1. Gradimo paralelni vrat koji prolazi kroz točku 1, koja je najbliža osi i. Točke 1' i 1'' će zauzeti krajnje položaje kada se točka 1 okreće oko osi.

2. Odaberite točke 2 i 3 i konstruirajte paralele koje prolaze kroz njih. Također možete odabrati točku 4 na generatrisi, u kojoj će obrisne linije dodirivati ​​generatrisu.

3. Na čeonoj projekciji obris jednolistnog hiperboloida je hiperbola, a na horizontalnoj projekciji paralele su vrat i najveće paralele.

4. Točke koje leže na plohi konstruiramo pomoću paralela. Na primjer, na horizontalnoj projekciji navedena je točka A (A 1). Potrebno je konstruirati njegovu frontalnu projekciju, pod uvjetom da točka A pripada površini revolucije. Na horizontalnoj projekciji i njezinoj frontalnoj projekciji gradimo paralelu koja prolazi točkom A. Pomoću linije spajanja projekcije nalazimo frontalnu projekciju točke A (A 2).

Tablica 1 Mogućnosti za zadatak "Konstruiranje skice površine":

Tablica 1 (nastavak)

Tablica 1 (nastavak)

Tablica 1 (nastavak)

Tablica 1 (nastavak)

TEMA 2 KONSTRUKCIJA POGLEDA

Cilj rada:

1. Proučavanje i praktična primjena pravila za prikazivanje predmeta - izgradnja pogleda u skladu s GOST 2.305–68.

2. Stjecanje vještina prostornog prikazivanja koje omogućuju zamišljanje njegovog oblika, međusobnog položaja dijelova i orijentacije u odnosu na ravnine projekcije iz aksonometrijske slike predmeta.

3. Stjecanje vještina aksonometrijskog prikaza konstrukcije tri glavne vrste objekata.

4. Razvoj vještina u dimenzioniranju dijelova prema GOST 2.307–68.

OPĆA PRAVILA ZA REGISTRACIJU CRTEŽA

Formati

Oznake i veličine formata određene su dimenzijama vanjskog okvira i moraju odgovarati normi (tablica 2).

tablica 2

Svi formati osim A4 mogu se postaviti i okomito i vodoravno. A4 format se nalazi samo okomito .

Svaki crtež ima unutarnji okvir koji ograničava polje crteža i crta se čvrstom glavnom linijom debljine S = 0,8 - 1 mm. Polje na lijevoj strani formata namijenjeno je za arhiviranje i uvez crteža (slika 2).

Glavni natpis

Na crtežima je potrebno napraviti glavni natpis koji sadrži podatke o prikazanom proizvodu i podatke o tome tko je napravio ovaj crtež. Glavni natpis nalazi se u donjem desnom kutu.

1 - naziv proizvoda ili naziv teme koja se proučava.

2 - oznaka dokumenta;

3 - mjerilo;

4 - redni broj lista (kolona se ne popunjava na dokumentima izrađenim na jednom listu);

5 - ukupan broj listova dokumenta (stupac se popunjava na prvom listu);

6 - dokument pismo;

7 - prezimena;

8 - potpisi;

9 - datum potpisa dokumenta;

10 - naziv, indeks poduzeća;

11 – oznaka materijala (ispunjava se na crtežima dijelova).

Svi stupci, osim potpisa i datuma, kao i stupci naslovne stranice, ispunjavaju se olovkom standardnim fontom (točka 2.1.5 „Fontovi za crteže”). Potrebno je obratiti pozornost na činjenicu da slika glavnog natpisa sadrži glavne i tanke crte.

Skala

Mjerilo slika i njihovo označavanje na crtežima postavlja standard.

Skala je omjer linearnih dimenzija slike predmeta na crtežu i pravih linearnih dimenzija predmeta.

Ovisno o složenosti prikazanog predmeta, njegove slike na crtežima mogu biti izrađene u punoj veličini ili smanjene ili povećane (tablica 3).

Tablica 3

Linije

Stilovi, debljine i glavne namjene devet vrsta linija koje se koriste u crtežima utvrđene su standardom. Postoji šest vrsta linija koje se najčešće koriste u obrazovnim crtežima.

Čvrsti debeli glavni. Debljina s ≈ 0,5 ... 1,4 mm. Namjena: slika vidljivih konturnih linija, unutarnji okvir crteža itd.

Čvrsta tanka linija. Debljina od s/3 do s/2. Namjena: slika konturnih linija superponiranog presjeka, kotirnih i produžnih linija, šrafura itd.

Tanka crta točka-crtica. Debljina od s/3 do s/2. Namjena: slika aksijalnih i središnjih linija itd.

Isprekidana linija. Debljina linije od s/3 do s/2. Namjena: slika linija nevidljive konture.

Puna valovita linija. Debljina linije od s/3 do s/2. Namjena: slika prijelomnih linija, linija razgraničenja pogleda i presjeka.

Otvorena linija. Debljina linije od s do 1,5s. Namjena: prikazivanje položaja presječnih ravnina jednostavnih i složenih presjeka i presjeka.

Imajte na umu da se isprekidane crte koje se koriste kao središnje crte moraju međusobno presijecati dugim potezima. Preporuča se zamijeniti isprekidanu liniju koja se koristi kao središnja linija kruga promjera manjeg od 12 mm čvrstom tankom linijom.

Crtanje fontova

Veličina slova određena je visinom velikih slova. Postavljene su sljedeće veličine fonta: 2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14. Širina slova određuje se u odnosu na veličinu slova ili u odnosu na debljinu potezne linije. d(slika 4).

Standard specificira sljedeće vrste fontova:

tip A bez nagiba ( d=h/14);

tip A s nagibom od oko 75˚ ( d=h/14);

tip B bez nagiba ( d=h/10);

tip B s nagibima od oko 75˚ ( d=h/10).

Oblik i dizajn arapskih brojeva u fontu tipa B s nagibom prikazani su na sl. 5.

Oblik velikih slova s ​​nagibom ruske abecede (ćirilice) prikazan je na sl. 6. Širina slova ne ovisi samo o veličini slova, već i o dizajnu samog slova.

Oblik i dizajn malih slova ruske abecede tipa B s nagibom prikazani su na slici. 7.

IZGRADNJA VIZURA

Smjernice za implementaciju:

Slike objekata trebaju biti izrađene metodom pravokutne projekcije. U tom slučaju se pretpostavlja da se objekt nalazi između promatrača i odgovarajuće ravnine projekcije (slika 9).

Slika na frontalnoj ravnini projekcija, ravnini 1, uzeta je na crtežu kao glavni prikaz (slika 10).

Uspostavljeni su sljedeći nazivi pogleda dobivenih na glavnim projekcijskim ravninama ( glavne vrste , riža. 9 i 10):

Predmet je postavljen u odnosu na prednju ravninu projekcija P2 tako da slika na njemu daje najcjelovitiju sliku o obliku i veličini objekta.

Svi prikazi (projekcije objekta) su u projekcijskoj vezi (7 – komunikacijske linije (sl. 9 i 10)). U tom slučaju nazivi tipova ne smiju biti ispisani na crtežima. Ako su pogledi odozgo, lijevo, desno, dolje, iza pomaknuti u odnosu na glavnu sliku (prikazano na prednjoj ravnini projekcija), tada ih treba označiti na crtežu s natpisom tipa "A" (Sl. 11 ).

Smjer gledanja treba biti označen strelicom označenom velikim slovom (slika 12).

Tablica 4. Opcije za zadatak “Konstruiranje pogleda”:

Tablica 4 (nastavak)

Tablica 4 (nastavak)

Pojam površine

POVRŠINE

U deskriptivnoj geometriji plohe se smatraju skupom uzastopnih položaja određene linije koja se kreće u prostoru prema određenom zakonu. Ova metoda formiranja površine naziva se kinematička.

Pravac (krivulja ili ravna) kreće se u prostoru po određenom zakonu i stvara plohu. Zove se generator. Tijekom formiranja površina može ostati nepromijenjena ili promijeniti svoj oblik. Zakon kretanja generatrise dan je u obliku skupa linija i uputa o prirodi kretanja generatrise. Te se linije nazivaju vodilice.

Osim kinematičke metode može se specificirati površina

· analitički, tj. opisano matematičkim izrazom;

· wireframe metoda, koja se koristi pri definiranju složenih površina; okvir plohe je uređen skup točaka ili linija koje pripadaju plohi.

Za definiranje površine u složenom crtežu dovoljno je imati na njoj takve elemente površine koji vam omogućuju konstruiranje svake njezine točke. Skup tih elemenata naziva se determinanta plohe.

Površinska determinanta sastoji se od dva dijela:

· geometrijski dio, uključujući trajne geometrijske elemente (točke, linije) koji sudjeluju u oblikovanju plohe;

· algoritamski dio, koji specificira zakon gibanja generatrise i prirodu promjene njezina oblika.

U simboličkom obliku determinanta površine F može se napisati u obliku: F(G)[A], gdje je G geometrijski dio determinante, A algoritamski dio.

Da bi se izolirala determinanta u blizini površine, mora se poći od kinematičke metode njezina formiranja. Ali budući da se mnoge identične površine mogu dobiti na različite načine, one će imati različite determinante. U nastavku ćemo razmotriti najčešće površine u skladu s kriterijima klasifikacije usvojenim tijekom deskriptivne geometrije.

Za definiranje površine u složenom crtežu dovoljno je naznačiti projekcije ne čitavog skupa točaka i linija koje pripadaju površini, već samo geometrijskih likova koji su dio njezine odrednice. Ova metoda definiranja površine omogućuje vam konstruiranje projekcija bilo koje njezine točke. Određivanje plohe projekcijama njezine determinante ne daje jasnoću, što otežava čitanje crteža. Da bi se poboljšala jasnoća, ako je moguće, crte skice (obrisi) površine su naznačene na crtežu.

Kad se bilo koja ploha W projicira paralelno s ravninom projekcije S, tada projicne prave tangiraju na plohu W , tvore cilindričnu površinu (sl. 11.1). Ove projicirane linije dodiruju površinu W u točkama koje tvore određenu liniju m, koja se naziva konturna linija.

Projekcija konturne crte m na ravninu S – m / naziva se obris plohe. Obris površine odvaja projekciju površine od ostatka ravnine projekcije.

Konturna linija površine služi za određivanje vidljivosti točaka u odnosu na ravninu projekcije. Dakle, na Sl. 11.1, bit će vidljive projekcije točaka na površini W koje se nalaze lijevo od konture m na ravnini S. Projekcije ostalih točaka površine bit će nevidljive.

Eseji

Kada odredite projiciranje objekta sa zakrivljenim rubovima, osim definiranja skupa točaka, rubova i lica objekta projekcije, potrebno je definirati skup obrisa za njegove zakrivljene rubove.

Obrisi zakrivljene plohe su linije na toj zakrivljenoj plohi koje tu plohu dijele na dijelove koji se ne vide i dijelove koji se vide na ravnini projekcije. U ovom slučaju govorimo o projekciji samo zakrivljene plohe koja se razmatra, a moguće sjenčanje te plohe drugim plohama u prvom planu se ne uzima u obzir.

Dijelovi na koje je zakrivljena površina podijeljena u obrise nazivaju se odjeljci.

Položaj obrisa krivocrtnih lica određen je parametrima projekcije, pa se obrisi moraju odrediti nakon što se završi prijelaz na koordinatni sustav pogleda.

Određivanje obrisa zakrivljene površine, u općem slučaju, relativno je težak zadatak. Stoga se u pravilu određena zakrivljena površina aproksimira pomoću jedne od tipičnih zakrivljenih površina, koje uključuju:

Cilindrična površina;

Sferična površina;

Stožasta površina.

Razmotrimo pronalaženje obrisa za ove vrste zakrivljenih površina.

Nalaz skice sferne površine ilustrirano na sl. 6.6-7.

Na slici se koriste sljedeće oznake:

O - centar sfere;

O p – projekcija središta sfere;

GM – glavni meridijan dane sfere;

Pl1 je ravnina koja prolazi središtem sfere, paralelna s ravninom projekcije;

X in , Y in , Z in – koordinatne osi koordinatnog sustava prikaza;

X p , Y p – koordinatne osi na ravninu projekcije.

Da biste pronašli značajku na površini kugle, potrebno je povući ravninu kroz središte kugle (pl1 na sl. 6.6-7), paralelnu s ravninom projekcije. Sjecište te plohe i sfere, koja ima oblik kruga, naziva se glavni meridijan (PM) sferne plohe. Ovaj glavni meridijan je željeni obris.

Projekcija ovog eseja bit će krug s istim radijusom. Središte te kružnice je projekcija središta izvorne kugle na ravninu projekcije (O p na sl. 6.7-1).

Riža.6.7 ‑ 1

Za određivanje obris cilindrične površine, kroz os zadanog cilindra o 1 o 2 (sl. 6.7‑2) povučena je ravnina Pl1, okomita na ravninu projekcije. Zatim se kroz os cilindra povuče ravnina Pl2, okomita na ravninu Pl1. Njegova sjecišta s cilindričnom plohom tvore dvije ravne linije o ch 1 o ch 2 i o ch 3 o ch 4, koje su obrisi cilindrične plohe. Projekcije ovih skica su ravne linije o h 1p och 2p i o h 3p o h 4p prikazane na sl. 6.7-2.

Konstrukcija eseja stožasta površina ilustrirano na sl. 6.7-3.

Na slici se koriste sljedeće oznake:

O - vrh konusa;

OO 1 - os konusa;

X in , Y in , Z in – koordinatni sustav vrste;

PP – ravnina projekcije;

X p , Y p , – koordinatni sustav ravnine projekcije;

Lp – projekcijske linije;

O 1 - središte sfere upisane u stožac;

O 2 – tangentna kružnica upisane sfere sa središtem u točki O 1 i početnom stožastom plohom;

O ch 1, O ch 1 – točke koje leže na obrisima stožaste plohe;

O ch 1p, O ch 1p - točke kroz koje prolaze linije, koje odgovaraju projekcijama kontura konusne površine.

Stožasta površina ima dva obrisa u obliku ravnih linija. Očito je da ti pravci prolaze kroz vrhove stošca - točku O. Za nedvosmisleno definiranje obrisa potrebno je, dakle, za svaki obris pronaći jednu točku.

Da biste konstruirali obrise stožaste površine, izvedite sljedeće korake.

U zadanu stožastu plohu (npr. sa središtem u točki O 1) upisuje se kugla i određuje se tangenta te kugle na stožastu plohu. U slučaju koji se razmatra na slici, tangentna linija će imati oblik kružnice sa središtem u točki O 2 koja leži na osi stošca.

Očito, od svih točaka sferne plohe, točke koje pripadaju obrisima mogu biti samo točke koje pripadaju tangentnoj kružnici. S druge strane, te se točke moraju nužno nalaziti na obodu početnog meridijana upisane sfere.

Stoga će tražene točke biti sjecišta kružnice početnog meridijana upisane sfere i tangentne kružnice. Te se točke mogu definirati kao sjecišta tangentne kružnice i ravnine koja prolazi središtem upisane sfere O 1, paralelno s ravninom projekcije. Takve točke na gornjoj slici su O ch 1 i O ch 2.

Za konstruiranje projekcija skica dovoljno je pronaći točke O ch 1p i O ch 2p, koje su projekcije pronađenih točaka O ch 1 i O ch 2. na ravninu projekcije, i koristeći te točke i točku O p projekcije vrha stošca, konstruirajte dvije ravne crte koje odgovaraju projekcijama obrisa dane stožaste plohe (vidi sliku 6.7-3).

Ministarstvo obrazovanja Ruske Federacije

Saratovsko državno tehničko sveučilište

POVRŠINE

Upute za rješavanje zadatka 2

za studente specijalnosti
1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Odobreno

urednički i izdavački savjet

Država Saratov

tehničko sveučilište

Saratov 2003

UVOD

U strojarskoj praksi rašireni su dijelovi s cilindričnim, konusnim, sfernim, torusnim i zavojnim površinama. Tehnički oblici proizvoda često su kombinacija rotacijskih ploha s podudarnim, sijekućim i križnim osima. Prilikom izrade crteža takvih proizvoda potrebno je prikazati linije sjecišta površina, koje se nazivaju i prijelazne linije.

Uobičajeni način konstruiranja linija presjeka je pronalaženje točaka ove linije pomoću nekih pomoćnih reznih ravnina ili površina, koje se ponekad nazivaju "posrednicima".

Ove smjernice razmatraju opće i posebne slučajeve konstruiranja linija sjecišta dviju ploha i metode konstruiranja površinskih razvoja.

1. TEMELJNE ODREDBE.

U deskriptivnoj geometriji, površina se smatra skupom uzastopnih položaja linije koja se kreće u prostoru, koja se naziva generatrisa.

Ako se kao vodilja uzme jedna od linija površine q te po njoj gibati generatrisu prema određenom zakonu l, dobivamo familiju generatora površine koji definiraju površinu (slika 1).

Za specificiranje površine na crtežu uveden je koncept determinante površine.

Determinanta je skup uvjeta potrebnih i dovoljnih za jedinstveno definiranje površine.

Odrednica se sastoji od geometrijskog dijela koji sadrži geometrijske likove i zakon tvorbe ploha. Na primjer, geometrijski dio odrednice figure a(l,q) na slici 1 su generator l i vodič q, čiji je položaj naveden na crtežu. Zakon o obrazovanju: Izravno l, kreće se u prostoru, uvijek se dodiruje q, ostajući paralelno s pravcem S. Ovi uvjeti jedinstveno definiraju cilindričnu površinu. Za bilo koju točku u prostoru možete riješiti pitanje pripada li njezina površina (AÎ a, uÏ a).

Geometrijski dio determinante stožaste plohe b(q,S) sastoji se od vodiča q i vrhovi S(slika 2). Zakon nastanka stožaste plohe: generatrisa pravac l q, uvijek prolazi kroz vrh S tvoreći kontinuirani niz ravnih linija stožaste površine.

Površine dobivene kontinuiranim kretanjem nazivaju se kinematičke. Takve su površine točne i pravilne, za razliku od nepravilnih ili nasumičnih.

Površine koje oblikuje kretanje ravne linije nazivamo linijom, dok se plohe koje oblikuje zakrivljena linija nazivaju nepravilom.

Prema zakonu gibanja generatrise razlikuju se plohe s translatornim gibanjem generatrise, s rotacijskim gibanjem generatrise - rotacijske plohe, sa zavojnim gibanjem generatrise - zavojne plohe.

Površine se mogu definirati okvirom. Žičani okvir je površina koja je definirana određenim brojem linija koje pripadaju takvoj površini (slika 3).

Poznavajući koordinate točaka sjecišta linija, možete konstruirati crtež površine okvira.

1.2. Površine rotacije.

Među zakrivljenim površinama raširene su površine rotacije. Okretna ploha je ploha dobivena rotacijom bilo koje generatrise oko fiksne ravne crte – osi plohe.

Okretna ploha može nastati rotacijom zakrivljene linije (sfera, torus, paraboloid, elipsoid, hiperboloid itd.) i rotacijom ravne linije (okretni valjak, okretni stožac, jednolistni okretni hiperboloid). ).

Iz definicije rotacijske plohe proizlazi da geometrijski dio determinante a(ja,l) površine revolucije a mora se sastojati od osi rotacije ja i formiranje l. Zakon formiranja površine, rotacija l oko ja omogućuje konstruiranje kontinuiranog skupa sekvencijalnih položaja generatrise površine revolucije.

Od mnogih linija koje se mogu povući na kružnim površinama, paralele (ekvator) i meridijani (glavni meridijan) zauzimaju poseban položaj. Korištenje ovih linija uvelike pojednostavljuje rješavanje problema položaja. Pogledajmo ove retke.

Svaka točka generatrise l(Sl. 4) opisuje oko osi ja kružnica koja leži u ravnini okomitoj na os rotacije. Taj se krug može prikazati kao linija presjeka površine s određenom ravninom (b), okomito na os površine rotacije. Takve kružnice nazivamo paralelama (R). Najveća od paralela naziva se ekvator, najmanja - grlo.

Riža. 5 sl. 6

Na sl. 5. paralela RA bodova A– ekvator, paralela RV bodova R- površina grla.

Ako os površine ja je okomita na ravninu projekcije, tada se paralela projicira na tu ravninu kružnicom na pravu vrijednost (P1A), a na ravninu projekcije paralelnu s osi - pravac (P2A), jednak promjeru paralele. U ovom slučaju, rješenje položajnih problema je pojednostavljeno. Spajanjem bilo koje točke na površini (npr S) s paralelom lako možete pronaći položaj projekcija paralele i točke na njoj. Na sl. 5 projekcijom C2 bodova S, koji pripada površini a, koristeći paralelno Rs pronađena horizontalna projekcija C1.

Ravnina koja prolazi kroz os rotacije naziva se meridijalna. Na sl. 4 je ravnina g. Sjecište rotacijske plohe s meridijanskom ravninom naziva se meridijan plohe. Meridijan koji leži u ravnini paralelnoj s ravninom projekcija naziva se glavni ( m0 na sl. 4.5). U tom položaju meridijan se projicira na ravninu P2 bez izobličenja, ali na P1– pravac paralelan s osi X12. Za valjak i stožac meridijani su ravne linije.

Ekvator P2(slika 6) i glavni meridijani (m) razgraničiti površinu na vidljive i nevidljive dijelove.

Na sl. 6 površinski ekvator a dobivena rezanjem površine ravninom d(P=a∩d), a glavni meridijan je ravnina g(m=a∩g).

1.3. Skica površine.

Projicirajuća ploha koja okružuje zadanu siječe ravninu projekcije po liniji koja se naziva obris projekcije plohe. Drugim riječima, obris plohe je linija koja odvaja projekciju figure od ostatka prostora za crtanje. Za konstruiranje eseja potrebno je konstruirati generatore ekstremnih graničnih obrisa. Generatori ocrta leže u ravnini paralelnoj s ravninom projekcije.

Bilo koji meridijan površine revolucije može se uzeti kao njegova generatrisa. Konstrukcija eseja bit će pojednostavljena ako glavni meridijan uzmemo kao generator, jer je glavni meridijan ravna krivulja (ravna linija) paralelna s ravninom projekcije i projiciran na nju bez izobličenja.

Primjer 1: Cilindar a a(ja,l). Konstruirajte skicu površine (slika 7).

Kod ovakvog rasporeda osi ja horizontalni obris predstavlja krug radijusa R(R=i1l1). Povucimo kroz os ja meridijalna ravnina b||P2. Da bismo konstruirali frontalni obris, nalazimo vodoravne projekcije obrisa generatrisa koje leže u ravnini glavnog meridijana (l1’,l1") a iz njih određujemo frontalne projekcije l2' I l2".

Frontalna projekcija glavnog meridijana obrisa cilindra l2' I l2". Pravokutnik je prednji obris površine.

Primjer 2. Konus a zadan geometrijskim dijelom determinante a(ja,l). Konstruirajte skicu površine (slika 8).

https://pandia.ru/text/78/241/images/image008_8.gif" width="612" height="400">

S pozicije geometrijskih likova l, ja na sl. 9 jasno je da je data ploha jednolistni hiperboloid rotacije. Svaka točka generatrise (A, B, C itd. ) pri rotaciji oko osi ja opisuje kružnicu (paralelu). Na ja ^ P1 do aviona P1 paralele se projiciraju kao kružnice s polumjerom jednakim pravoj vrijednosti polumjera paralele. Točka S na generatrisi l opisuje najmanju paralelu – paralelu grla. To je najkraća udaljenost između osi rotacije i generatrise l. Pronaći Rc povuci okomicu iz ja Do l1. i1C1=Rc– radijus površinskog grla.

Horizontalna projekcija hiperboloida sastoji se od tri koncentrične kružnice.

Frontalni obris plohe trebao bi imati obris njenog glavnog meridijana.

Povucimo kroz os ja glavna meridijanska ravnina b te konstruirati horizontalne projekcije paralela točaka A, B, C. Paralele se sijeku s ravninom b u točkama A′, B′, C′ koje pripadaju glavnom meridijanu površine. Kontinuirani niz tih paralela čini okvir plohe i sjecišne točke s ravninom b– glavni meridijan m0 površine. Glavni meridijan može se konstruirati kao obris točaka sjecišta paralela s ravninom b. Na slici je prikazana konstrukcija točke S I D.

Primjer 4. Skicirajte kosi cilindar a(l,m). Generator cilindra l, krećući se duž vodilice m, ostaje paralelan sa samim sobom. Obris površine prikazan je na sl. 10. Bilo koja točka na površini valjka određena je povlačenjem generatrise kroz nju („spajanjem“ točke s generatrisom). Na sl. 10a prema čeonoj projekciji točke A2, koji pripada površini, nalazi se njegova horizontalna projekcija A1.

1.4. Ravnate plohe s ravninom paralelizma.

Pomicanjem pravocrtne generatrise duž dviju vodilica formiraju se linijske plohe s ravninom paralelnosti. U ovom slučaju, generatrisa u svim svojim položajima održava paralelnost s određenom zadanom ravninom, koja se naziva ravnina paralelnosti.

Geometrijski dio determinante a(m,n,b) takvu površinu a sadrži dvije vodilice i ravninu paralelnosti. Ovisno o obliku vodilica ove se plohe dijele na: cilindroide - obje krivulje vodilice; konoidi – jedna vodilica je ravna, jedna je zakrivljena; kosa ravnina - obje vodilice su ravne.

Primjer: izgradite površinski okvir a(m,n,b)(Slika 10b).

U ovom slučaju horizontalna ravnina projekcija uzima se kao ravnina paralelnosti. Generiranje linije, rezanje krivulje m i izravni n, u bilo kojem položaju ostaje paralelan s ravninom P1.

Svaka ravnina paralelna s ravninom paralelnosti siječe te plohe pravocrtno. Dakle, ako želite konstruirati bilo koju generatrisu plohe, trebate presjeći plohu ravninom (npr. b), paralelno s ravninom paralelnosti, pronađite sjecišne točke vodećih linija površine s tom ravninom (b∩n=1;b∩m=2; riža. 10b) i povucite ravnu liniju kroz te točke.

Da bismo konstruirali konoid na Sl. 10b, možete bez pomoćnih reznih ravnina, budući da frontalne projekcije generatrisa moraju biti paralelne s osi X12. Gustoća linija okvira na frontalnoj projekciji postavlja se proizvoljno. Svojstvom pripadnosti konstruiramo horizontalne projekcije zadanih generatora duž komunikacijske linije.

Ako treba pronaći projekciju točke A, dano projekcijom A2, potrebno je rezati površinu ravninom g, prolazeći kroz točku A i paralelno s ravninom paralelnosti (na sl. 10b g//P1), pronađite generator kao presječnu liniju ravnine g s površinom a(a∩g=3, 4), frontalnom projekcijom 32, 42 pronaći horizontalu 31, 41 i na njoj odrediti A1.

1.5. Konstruiranje točke susreta pravca s plohom.

Pronađite točku susreta krivulje l s površinom a(P,S).

Rješenje 1. Zaključite krivulju l(Sl. 11) u pomoćnu projekcijsku plohu b^P1. Projekcija b1 poklapa s projekcijom l1. 2. Izrada linije presjeka A površine α s površinom b', (αÇ b=e). Horizontalna projekcija ove linije a1 poznato, poklapa se s b1. Horizontalna projekcija a1 izgraditi frontalnu projekciju a2(Sl. 1 Odredite željenu točku na sjecištu krivulje l s površinom a.. K=lÇ a postoji mjesto susreta l I a. S jedne strane l I A pripadati b I lÇ a=k. S drugom AÌ a, stoga DoÌ α , to je Do postoje sastajališta l s površinom α .

https://pandia.ru/text/78/241/images/image011_6.gif" width="607" height="242">

1.6. Izrada linije presjeka površina.

Pri rješavanju problema konstruiranja linije presjeka jedne površine s drugom koristi se metoda presjeka - glavna metoda za rješavanje problema položaja. U tom slučaju zadane plohe su raščlanjene pomoćnim plohama ili zakrivljenim plohama (na primjer, kugle).

Pomoćne rezne površine ponekad se nazivaju "posrednici".

1.5.1. Opći slučaj.

U općem slučaju, da biste riješili problem određivanja linije presjeka dviju površina, možete odrediti obitelj generatora na jednoj od površina (slika 12), pronaći točku susreta ovih generatora s drugom površinom pomoću algoritam za rješavanje problema na sl. 11, a zatim iscrtajte točke susreta.

Koristeći ovu metodu za konstruiranje presječnih linija dviju zakrivljenih površina, možemo koristiti pomoćne ravnine ili zakrivljene površine kao sekantne "posrednike".

Ako je moguće, treba birati pomoćne plohe koje u sijeku sa zadanim daju crte koje je lako konstruirati (pravci ili kružnice).

1.5.2. Osi rotacijskih ploha se podudaraju
(koaksijalne površine).

Na sl. 13 površina a I b određen zajedničkom osi ja i glavni meridijani m0m0’.

U točki se sijeku glavni meridijani A(B). Točka A(B) sjecište meridijana pri rotaciji oko osi opisat će paralelu R, koja će pripadati objema plohama, dakle, bit će njihova presjecišta.

Dakle, dvije koaksijalne okretne plohe sijeku se duž paralela koje opisuju sjecišta njihovih meridijana. Na sl. 13 površinskih osi je paralelno P2. Na ravnini projekcije s kojom su osi ploha paralelne, crta sjecišta P2 projicira se pravac čiji je položaj određen sjecištima glavnih meridijana A I U.

1.5.3. Metoda rezne ravnine.

U slučaju kada su osi rotacijskih površina paralelne, najjednostavnije konstrukcije se dobivaju korištenjem reznih ravnina kao posrednika. U ovom slučaju, pomoćne rezne ravnine su odabrane tako da sijeku obje površine duž kružnica.

Na sl. 14 dane su skicama projekcije dviju rotacijskih ploha α I b, njihove sjekire ja I j paralelno. U ovom slučaju korištenje reznih ravnina okomitih na osi površina daje jednostavno rješenje problema. Rezultirajuće linije sjecišta površina bit će paralele, čije su frontalne projekcije ravne linije jednake promjeru paralele, a vodoravne projekcije su krugovi pune veličine.

Prilikom konstruiranja točaka sjecišta prvo morate pronaći referentne i karakteristične točke. Referentne točke su one koje leže na glavnom meridijanu (3) i ekvatoru (4, 5). Pronalaženje ovih točaka nije povezano s dodatnim konstrukcijama i temelji se na korištenju svojstava članstva.

Navedeno na sl. 14 ploha ima zajedničku ravninu glavnog meridijana, njihove osi ^ P1, baze leže u ravnini P1. Referentne točke presječne linije su točka 3 sjecišta glavnih meridijana i točke 4 i 5 sjecišta paralela baza ploha. Koristeći svojstva pripadnosti, koristeći poznate projekcije 32, 41 i 51, nalazimo 31, 42 i 52.

Preostale sjecišne točke nalazimo pomoću pomoćnih reznih ravnina. Izrežemo površine α I b horizontalna ravnina g. Jer g^ sjekire ja I j, zatim površine α I b sijeku ravninom g, prema paralelama Ra I Rb. A budući da sjekire ja I j^P1, tada se ove paralele projiciraju na P1 krugovi Ra, Rb na pravu vrijednost i na P2 ravno P2a, P2b jednak promjeru paralele.

Sjecište paralela 1 i 2 su željene. Doista, s jedne strane paralele Ra I Rb pripadaju istoj ravni g i sijeku se u točkama 2 i 1. S druge strane, Ra I Rb pripadaju različitim površinama α I b. Dakle, točke 2 i 1 istovremeno pripadaju plohama A I b, odnosno to su točke presječne linije ploha. Horizontalne projekcije 21 i 11 ovih točaka nalaze se u sjecištu P1a, P1b, a prednje gradimo koristeći svojstvo članstva.

Ponavljajući ovu tehniku, dobivamo potreban broj bodova. Rezne ravnine su ravnomjerno raspoređene u intervalu od točke najvišeg uspona krivulje 32 do glavne figure.

Broj točaka presječne linije, a time i presječnih ravnina, određen je potrebnom točnošću grafičkih konstrukcija. Projekcije presjecišta konstruiraju se kao obrisi projekcija njegovih točaka. Na sl. 14 linija u točkama 4, 1, 3, 2, 5.

Razmatrani primjer rješavanja zadataka naziva se metoda presjeka ravnina.

1.5.4. Metoda sfera.

Ova tehnika se koristi kada se osi kružnih površina sijeku. Temelji se na onom o kojem se govori na Sl. 13 slučaj presjeka koaksijalnih ploha.

Na sl. 15 prikazuje stožac i valjak s osima koje se sijeku ja I j. Osi su im paralelne s ravninom P2. Ravnina glavnog meridijana zajednička je za obje površine.

) . Konstrukcija je pojednostavljena zbog činjenice da je ravnina glavnog meridijana zajednička. Kružnice po kojima sfera siječe dvije plohe istovremeno ( Ra, Rb Pb"), projicira se na ravninu P2 u obliku ravnih linija ( P2a, P2b, P2b") jednak promjerima paralela.

Sjecište ovih kružnica proizvodi točke (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82), zajedničke objema površinama i, prema tome, pripadaju liniji presjeka. Zaista paralele Ra, Rb, Pb", s jedne strane pripadaju jednoj plohi - sferi i imaju zajedničke točke (5, 6, 7, 8), s druge strane pripadaju različitim plohama A I b. To jest, točke 5, 6, 7, 8 pripadaju objema plohama ili liniji presjeka ploha.

Da bi se dobio dovoljan broj točaka za crtanje željene linije presjeka, nacrta se nekoliko sfera.

Polumjer najveće sfere ( Rmax) jednaka je udaljenosti od središta O2 do najudaljenije točke sjecišta generatora obrisa (u ovom slučaju točke 32 i 42, Rmax= 0232=0242. U ovom slučaju obje linije presjeka površina s kuglom ( Ra I Rb) međusobno će se sjeći u točkama 3 i 4 s većim polumjerom kugle neće biti sjecišta.

Polumjer najmanje sfere ( Rmin) jednaka je udaljenosti od središta 02 do najudaljenijeg generatora obrisa ( Rmin=02A2). U tom slučaju kugla će dodirivati ​​stožac po obodu, a valjak će se dvaput presjeći i dati točke 5, 6, 7, 8. S manjim polumjerom kugle neće biti sjecišta sa stošcem.

Sada preostaje samo nacrtati zakrivljene linije sjecišta površina kroz točke 1, 5, 4, 6, 1 i 2, 7, 3, 8, 2.

Na sl. 15 sve su konstrukcije izvedene na jednoj projekciji. Broj sekanti sfera, s polumjerima u rasponu od Rmax prije Rmin, ovisi o potrebnoj točnosti konstrukcije. Horizontalna projekcija presječne linije konstruirana je duž frontalnih linija 1, 5, 4, 6, 1 i 2, 7, 3, 8, 2 korištenjem svojstva pripadnosti.

1.5.5. Primjena metode rezne ravnine
u slučajevima ravnih površina s ravninom paralelnosti.

Geometrijskim dijelom determinante određene su dvije površine: a (l,i) I b(m,n, P1). Potrebno je konstruirati obrise površina i pronaći liniju njihova sjecišta (slika 16).

Rješenje: 1. Konstruirajte skicu plohe a, n geometrijskog dijela determinante jasno je da površina a- sfera. Njegovi vodoravni i frontalni obrisi su krugovi radijusa R. 2. Gradimo okvir ravnane površine. Budući da je ravnina paralelna P1, tada su frontalne projekcije generatrisa paralelne s osi X12. Nakon što smo definirali okvir određene ravnine linija na frontalnoj projekciji (na slici 16 su četiri linije), konstruiramo horizontalne projekcije ovih generatora. 3. Za konstruiranje linije presjeka površina koristimo rezne ravnine kao posrednike. Položaj reznih ravnina mora biti odabran tako da sijeku zadane površine duž linija koje je lako konstruirati (pravih linija ili kružnica). Ovaj uvjet zadovoljavaju horizontalne ravnine. Horizontalne ravnine su paralelne s ravninom paralelnosti konoida ( P1), pa će prelaziti konoid u ravnim crtama. Takve ravnine sijeku sferu po paralelama.

,A" sfera duž paralele Ra. Frontalna projekcija paralele ( P2a) je pravac jednak promjeru paralele, a horizontalna projekcija ( P1a) - krug. Na horizontalnoj projekciji u sjecištu paralele P1a a generatrisa 1, 11" određena je projekcijom dviju točaka crte presjeka površina A I b. Na temelju horizontalnih projekcija točaka A1 I U 1 konstruiramo njihove frontalne projekcije. Ponavljanjem operacije dobivamo niz točaka presječne crte čiji će obris dati presječnu crtu.

Ekvator i glavni meridijan sfere dijele liniju na vidljivi i nevidljivi dio.

1.6.Izgradnja objekata.

Razvitak plohe je lik dobiven spajanjem plohe koja se razvija s ravninom.

Razvijene plohe su one koje su poravnate s ravninom bez lomova ili nabora.

U razvojne plohe ubrajaju se fasetirane plohe, a u zakrivljene plohe samo cilindrične, stožaste i trupne plohe.

Razvijanja se dijele na egzaktna (razvoj fasetiranih ploha), aproksimativna (razvoj valjka, stošca, torza) i uvjetna (razvoj kugle i drugih nerazvojnih ploha).

1.6.1. Razvoj fasetiranih površina.

Izvršite razvoj piramide određene projekcijama na slici 17.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image017_5.gif" width="588" height="370">

Metoda valjanja primjenjiva je ako su bridovi prizme paralelni s ravninom projekcije i poznata je prava veličina bridova jedne od baza (slika 18).

Razvaljavanje figure predstavlja postupak spajanja ploha prizme s ravninom, pri čemu se pravi izgled svake plohe dobiva rotacijom oko njenog ruba.

Pri kotrljanju se točke A, B, C pomiču duž kružnih lukova, koji su na ravnini P2 prikazani kao ravne linije, okomite na projekcije bridova prizme. Vrhovi razvoja konstruiraju se na sljedeći način: iz točke A2 polumjera R1=A1B1 (prava dužina AB) napravimo usjek na pravoj liniji B2B0, okomitoj na B2B2¢. Iz konstruirane točke B0 s radijusom R2=B1C1 izvodi se zarez na pravoj liniji C2C0^C2C2¢. Zatim usjek iz točke C0 polumjera R3=A1C1 na ravnoj liniji A2A0^A2A2¢. Dobivamo točku A0. Točke A2B0C0A0 spojene su ravnim crtama. Iz točaka A0B0C0 povlačimo linije paralelne s rubovima (A2 A2¢) i na njima iscrtavamo prave vrijednosti bočnih rubova A2A¢, B2B¢, C2C¢. Točke A¢B¢C¢A¢ spojimo dužinama.

1.6.2. Razvoj zakrivljenih površina.

Teoretski je moguće dobiti točan razvoj, odnosno razvoj koji točno ponavlja dimenzije površine koja se razvija. U praksi, pri izradi crteža, morate se pomiriti s približnim rješenjem problema, ako pretpostavite da su pojedini elementi površine aproksimirani ravninskim presjecima. U takvim uvjetima izvođenje približnih razvoja valjka i stošca svodi se na konstruiranje razvoja u njih upisanih (ili opisanih) prizmi i piramida.

Na slici 19 prikazan je primjer izvođenja konusnog pomicanja.

U stožac uklopimo poliedarsku piramidu. Iz točke S povučemo luk polumjera jednakog pravoj vrijednosti generatrise stošca (S212) i na luk ucrtamo tetive 1121; 2, zamjenjujući lukove 1121;2

Za pronalaženje bilo koje točke na razvoju potrebno je povući generatrisu kroz zadanu točku (A), pronaći mjesto te generatrise na razvoju (2B=21B1), odrediti pravu vrijednost segmenta SA ili AB i nacrtati to na generatrisi na razvoj. Bilo koja linija na površini sastoji se od kontinuiranog skupa točaka. Pronalaženjem potrebnog broja točaka na skenu koristeći metodu opisanu za točku A i praćenjem tih točaka, dobit ćemo liniju na skenu. Pri izradi razvoja kosih cilindričnih ploha primjenjive su metode normalnog presjeka i valjanja.

Bilo koja nerazvojiva ploha također se može aproksimirati poliedarskom plohom s bilo kojom zadanom točnošću. Ali razvoj takve površine neće biti kontinuirana ravna figura, budući da se te površine ne razvijaju bez prekida i nabora.

1.6.3. Konstruiranje tangentne ravnine
na površinu u određenoj točki.

Za konstruiranje ravnine tangente na plohu u zadanoj točki (točka A na sl. 20) potrebno je na plohi povući dvije proizvoljne krivulje a i b kroz točku A, zatim u točki A konstruirati dvije tangente t i t¢ na krivulje a i b. Tangente će odrediti položaj tangentne ravnine a na površinu b.

Na slici 21 konstruirana je površina rotacije a. Potrebno je nacrtati tangentnu ravninu u točki A koja pripada a.

Da bismo riješili problem, povučemo paralelu a kroz točku A i konstruiramo tangentu t na nju u točki A (t1;t2).

Uzmimo meridijan kao drugu krivulju koja prolazi točkom A. Nije prikazano na slici 21. Rješenje će biti pojednostavljeno ako se meridijan, zajedno s točkom A, okrene oko osi dok se ne poklopi s glavnim meridijanom. U tom će slučaju točka A zauzeti položaj A¢. Zatim kroz točku A¢ povucite tangentu t¢¢ na glavni meridijan dok se ne siječe s osi u točki B. Nakon što ste vratili meridijan u prethodni položaj, povucite tangentu t¢ na ovaj meridijan kroz točku A i fiksirajte točku B na os rotacije (t1¢;t2 ¢). Tangente t i t¢ će definirati tangentnu ravninu.

Pri crtanju tangentne ravnine na ravnu plohu, jedna od tangenti koja definira tangentnu ravninu može se uzeti kao generator t plohe (slika 22). Kao drugo, možete uzeti tangentu t¢ na paralelu (ako je valjak ili stožac) ili tangentu na bilo koju krivulju povučenu kroz danu točku konoida, cilindroida ili kose ravnine. Krivulja se lako može konstruirati presjecanjem plohe projekcijskom ravninom koja prolazi kroz danu točku.

2.1. Cilj rada:

Učvrstiti programsko gradivo u dijelovima „Ploha” i „Razvoji” te steći vještine rješavanja problema konstruiranja skica, sjecišta i razvoja ploha.

2.2. Vježba:

Crtež sadrži dvije plohe koje se sijeku. Plohe su definirane koordiniranim projekcijama geometrijskog dijela determinante.

Potrebno:

Pomoću koordinata geometrijskog dijela determinante ucrtati projekcije determinante na crtež, spojiti potrebne točke da se dobiju geometrijski likovi determinante;

Konstruirati skice zadanih ploha na temelju projekcija geometrijskog dijela determinante;

Konstruirati liniju sjecišta površina;

Konstruirati razvoj jedne od ploha s crtanjem presječne linije (prema uputama nastavnika);

Nacrtati tangentnu ravninu na jednu od ploha u točki koju označi učitelj;

Napravite raspored ploha koje se sijeku.

Prvo se radi na A2 milimetarskom papiru, zatim na A2 Whatmanu. Crtež mora biti izrađen u skladu s GOST ESKD. Glavni natpis je napravljen prema obrascu 1.

Pri izvođenju rada koriste se predavanja, praktični materijali i preporučena literatura.

Mogućnosti zadataka dane su u dodatku.

2.3. Redoslijed zadatka.

Polaznik dobiva verziju zadaće koja odgovara broju na listi u grupnom dnevniku i radi na zadatku četiri tjedna.

Tjedan dana nakon dobivenog zadatka student prezentira nastavniku konstrukcije geometrijskog dijela determinanti i obrisa zadanih ploha izrađene na milimetarskom papiru formata A2.

Nakon dva tjedna prikazuje se crtež dopunjen konstrukcijom linije presjeka površina i tangentne ravnine.

Tijekom trećeg tjedna rad na grafofoliji formata A4 završava se konstruiranjem razvoja jedne od ploha i crtanjem na njoj crte presjeka ploha.

Tijekom četvrtog tjedna dovršava se raspored površina koje se sijeku.

Rad koji treba obaviti prezentira se nastavniku koji izvodi praktičnu nastavu. Na temelju završene konstrukcije na grafofoliji provjerava se studentova asimilacija naučenog gradiva.

Pri rješavanju položajnog problema konstruiranja linije presjeka površina koristi se metoda presjeka. Kao "posrednici" biraju se rezne ravnine ili sfere. Treba obratiti pozornost na gore razmotrene posebne slučajeve (metoda rezanja ravnina i metoda sfera), koji daju najjednostavnije rješenje problema. Ako je potrebno, upotrijebite kombinaciju ovih metoda.

Pri izvođenju površinskog razvoja potrebno je proučiti konstrukcije izvedene metodom normalnog presjeka i metodom izvlačenja, kao i metode za izvođenje okvirnih i uvjetnih razvojačenja i koristiti najracionalniji način u radu.

Kada crtate tangentnu ravninu na plohu u danoj točki, dovoljno je konstruirati dvije zakrivljene linije na plohi koja prolazi kroz točku i povući tangente na te pravce u danoj točki, imajući na umu da je tangenta na ravnu zakrivljenu liniju projicirana tangentom na njegovu projekciju.

KNJIŽEVNOST.

1. Vinitskyjeva geometrija. M.: Viša škola, 1975.

2. Gordonova geometrija. M.: Nauka, 1975.

3. Površine. Metodičke upute. /Sastavljeno, / Saratov, SSTU, 1990.

OPCIJE ZADATAKA