Rasuđivanje koje se temelji isključivo na preciznim činjenicama i preciznim zaključcima iz tih činjenica naziva se strogim zaključivanjem. U slučajevima kada se za donošenje odluka moraju koristiti nesigurne činjenice, rigorozno obrazloženje postaje neprikladno. Stoga je jedna od najvećih prednosti bilo kojeg ekspertnog sustava njegova sposobnost oblikovanja razmišljanja u uvjetima nesigurnosti jednako uspješno kao što to rade ljudski stručnjaci. Takvo razmišljanje nije rigorozno. Sa sigurnošću možemo govoriti o prisutnosti Mutna logika.

Nesigurnost, te se kao posljedica toga neizrazita logika može smatrati nedostatkom odgovarajućih informacija za donošenje odluka. Nesigurnost postaje problem jer može spriječiti stvaranje najboljeg rješenja, pa čak i uzrokovati pronalaženje lošeg rješenja. Treba napomenuti da se visokokvalitetno rješenje pronađeno u stvarnom vremenu često smatra prihvatljivijim od boljeg rješenja za koje je potrebno puno vremena da se izračuna. Na primjer, odgađanje liječenja kako bi se omogućilo dodatno testiranje može dovesti do smrti pacijenta prije liječenja.

Razlog nesigurnosti je prisutnost raznih pogrešaka u informacijama. Pojednostavljena klasifikacija Ove se pogreške mogu podijeliti u sljedeće vrste:

• dvosmislenost informacija, čija je pojava posljedica činjenice da se neke informacije mogu tumačiti na različite načine;
• nepotpune informacije zbog nedostatka određenih podataka;
• neadekvatnost informacija zbog korištenja podataka koji ne odgovaraju stvarnom stanju (mogući razlozi su subjektivne pogreške: laži, dezinformacije, neispravnost opreme);
• pogreške mjerenja koje nastaju zbog neispunjavanja zahtjeva za ispravnošću i točnosti kriterija za kvantitativno iskazivanje podataka;
• slučajne pogreške, čija su manifestacija slučajne fluktuacije podataka u odnosu na njihovu prosječnu vrijednost (razlozi mogu biti: nepouzdanost opreme, Brownovo gibanje, toplinski efekti itd.).

Danas je razvijen značajan broj teorija nesigurnosti koje pokušavaju eliminirati neke ili čak sve pogreške i omogućiti pouzdano logično zaključivanje u uvjetima nesigurnosti. U praksi se najčešće koriste teorije koje se temelje na klasičnoj definiciji vjerojatnosti i posteriornoj vjerojatnosti.

Jedan od najstarijih i najvažnijih alata za rješavanje problema umjetne inteligencije je vjerojatnost. Vjerojatnost je kvantitativni način obračunavanja nesigurnosti. Klasična vjerojatnost potječe iz teorije koju su prvi predložili Pascal i Fermat 1654. godine. Od tada se mnogo radilo na području vjerojatnosti i implementaciji brojnih primjena vjerojatnosti u znanosti, tehnologiji, poslovanju, ekonomiji i drugim područjima.

Klasična vjerojatnost

Klasična vjerojatnost također se naziva apriorna vjerojatnost, budući da se njezina definicija odnosi na idealne sustave. Pojam "a priori" odnosi se na vjerojatnost koja je određena "događajima", bez uzimanja u obzir mnogih čimbenika koji se događaju u stvarnom svijetu. Koncept apriorne vjerojatnosti proširuje se na događaje koji se događaju u idealnim sustavima koji su skloni habanju ili utjecaju drugih sustava. U idealnom sustavu, pojava bilo kojeg od događaja događa se na isti način, što čini njihovu analizu mnogo lakšom.

Temeljna formula klasične vjerojatnosti (P) definirana je na sljedeći način:

U ovoj formuli W- broj očekivanih događaja, i N- ukupan broj događaja s jednakom vjerojatnošću koji su mogući rezultati eksperimenta ili testa. Na primjer, vjerojatnost dobivanja bilo koje strane šesterostrane kocke je 1/6, a vjerojatnost izvlačenja bilo koje karte iz špila koji sadrži 52 različite karte je 1/52.

Aksiomi teorije vjerojatnosti

Formalna teorija vjerojatnosti može se stvoriti na temelju tri aksioma:

Gornji aksiomi omogućili su postavljanje temelja teorije vjerojatnosti, ali oni ne razmatraju vjerojatnost događaja koji se događaju u realnim - neidealnim sustavima. Za razliku od apriornog pristupa, u stvarnim sustavima, za određivanje vjerojatnosti nekog događaja P(E), koristi se metoda za određivanje eksperimentalne vjerojatnosti kao granice distribucije frekvencije:

Posteriorna vjerojatnost

U ovoj formuli f(E) označava učestalost pojavljivanja nekog događaja između N-broj promatranja ukupnih rezultata. Ova vrsta vjerojatnosti se također naziva posteriorna vjerojatnost, tj. vjerojatnost određena “nakon događaja”. Osnova za određivanje posteriorne vjerojatnosti je mjerenje učestalosti s kojom se događaj događa tijekom velikog broja pokusa. Primjerice, određivanje socijalnog tipa kreditno sposobnog klijenta banke na temelju empirijskog iskustva.

Događaji koji se međusobno ne isključuju mogu utjecati jedni na druge. Takvi se događaji klasificiraju kao složeni. Vjerojatnost složenih događaja može se izračunati analizom njihovih odgovarajućih uzoraka. Ovi ogledni prostori mogu se prikazati pomoću Vennovih dijagrama, kao što je prikazano na slici. 1

Slika 1. Uzorak prostora za dva događaja koji se međusobno ne isključuju

Vjerojatnost pojave događaja A, koja se određuje uzimajući u obzir činjenicu da se događaj B dogodio, naziva se uvjetna vjerojatnost i označava se P(A|B). Uvjetna vjerojatnost definirana je na sljedeći način:

Prethodna vjerojatnost

U ovoj formuli, vjerojatnost P(B) ne smije biti jednak nuli i predstavlja apriornu vjerojatnost koja se utvrđuje prije nego što se saznaju druge dodatne informacije. Prethodna vjerojatnost, koji se koristi u vezi s korištenjem uvjetne vjerojatnosti, ponekad se naziva apsolutna vjerojatnost.

Postoji problem koji je u biti suprotan problemu izračuna uvjetne vjerojatnosti. Sastoji se od određivanja inverzne vjerojatnosti, koja pokazuje vjerojatnost prethodnog događaja uzimajući u obzir one događaje koji su se dogodili u budućnosti. U praksi se ova vrsta vjerojatnosti javlja prilično često, primjerice, tijekom medicinske dijagnostike ili dijagnostike opreme, u kojoj se identificiraju određeni simptomi, a zadatak je pronaći mogući uzrok.

Da biste riješili ovaj problem, koristite Bayesov teorem, nazvan po britanskom matematičaru iz 18. stoljeća Thomasu Bayesu. Bayesova teorija danas se široko koristi za analizu stabala odlučivanja u ekonomiji i društvenim znanostima. Bayesova metoda traženja rješenja također se koristi u ekspertnom sustavu PROSPECTOR pri identificiranju obećavajućih lokacija za istraživanje minerala. Sustav PROSPECTOR stekao je veliku popularnost kao prvi ekspertni sustav uz pomoć kojeg je otkriveno vrijedno nalazište molibdena, vrijedno 100 milijuna dolara.

C7 U svom modernom obliku, Bayesov teorem zapravo je formulirao Laplace. Sama formulacija problema pripada Thomasu Bayesu. Formulirao ga je kao inverziju poznatog Bernoullijevog problema. Ako je Bernoulli tražio vjerojatnost različitih ishoda bacanja "krivog" novčića, onda je Bayes, naprotiv, nastojao odrediti stupanj te "zakrivljenosti" iz empirijski opaženih ishoda bacanja novčića. U njegovoj odluci nije bilo apriori vjerojatnosti.

Iako pravilo izgleda vrlo jednostavno, teško ga je primijeniti u praksi, jer posteriorne vjerojatnosti (ili čak vrijednosti pojednostavljenih funkcija odlučivanja) mogu biti nepoznate. Njihove vrijednosti se mogu procijeniti. Na temelju Bayesovog teorema, posteriorne vjerojatnosti mogu se izraziti kroz prethodne vjerojatnosti i funkcije gustoće pomoću formule R S, Ih = R S, (R(h I S, / R Su R xI S,

Ocjenjujući rezultate klasifikacije metodom MDA, uočavamo značajan udio pogrešnih odluka u vezi poduzeća u stečaju (skupina 1) – jedno od njih bi dobilo kredit. Tvrtke s nejasnom pozicijom (skupina 2) teško je ispravno klasificirati jer mogu završiti u skupini 1 ili 3. Stvar se ne može poboljšati dovođenjem prethodnih vjerojatnosti u sklad s vjerovanjima banke o vjerojatnosti pripadnosti poduzeća različitim grupama. Ukupna stopa točnosti predviđanja bila je samo 56,6%, a samo 30% iz skupine 1 bilo je ispravno klasificirano.

S obzirom na trenutnu razinu složenosti i istovremenosti procesa koji se odvijaju, modeli temeljeni na uzročno-posljedičnim vezama imaju ograničene mogućnosti primjene; ​​novonastali događaji stalno mijenjaju specifikacije svih varijabli (i uključenih i neuključenih u model), a vrijednosti apriorne vjerojatnosti i iznosi plaćanja za različite strategije vrlo su neizvjesni i dramatično fluktuiraju s promjenama u gospodarskom rastu, kamatnim stopama, tečajevima i profitabilnosti transakcija koje nisu zajmovi (na primjer, promjene u transakcijskim naknadama i provizijama).

Budući da je u stvarnoj situaciji nemoguće unaprijed znati koji će dio poduzeća zastupljenih u slučajnom uzorku bankrotirati u roku od godinu dana i budući da su autori dva razmatrana modela, kao što se može pretpostaviti, postavili razine razdvajanja na temelju neke specifične pretpostavke o apriornim vjerojatnostima stečaja i trošku pogrešaka, pojednostavili smo postupak usporedbe i uveli relativne razine podjele. Drugim riječima, za svaki model smatramo donjih 10% signala koje je model izdao za sljedeću godinu kao signale stečaja. Zapravo, ovaj pristup znači ukupnu prethodnu vjerojatnost bankrota od 10% i omjer broja signala bankrota i stvarnih bankrota u prethodnom testu, koji se utvrđuje korištenjem optimizirajućeg praga. Osim toga, ova metoda ima prednost jer minimalizira distorzije koje proizlaze iz velikog vremenskog odmaka između objave Altmanove Z-rezultate i provedbe eksperimenta. Prosječni pokazatelji možda su se tijekom tog vremena promijenili, pa se stoga podjela poduzeća na jaka i slaba, na temelju određenog omjera, čini pouzdanijom. U tablici Tablica 9.2 prikazuje rezultate eksperimenta predviđanja bankrota godinu dana unaprijed, s naznakom pogreške za svaki model.

Uzimajući apriornu vjerojatnost kao činjenicu, procijenite očekivani profit u slučaju otvaranja podružnice.

Označimo s A. događaj koji je q b [

Neka su, na primjer, odabrani sljedeći parametri: iznos kapitalnih ulaganja, iznos operativnih troškova i cijena gotovih proizvoda, koji redom mogu poprimiti vrijednosti Kb K2, K3 Eb E2, E3 Ts C2, Ts- Svaka od ovih vrijednosti odgovara određenoj apriornoj vjerojatnosti, na primjer, Kb Eb C imaju vjerojatnost pt = 0,1, za K2, E2, C2 vjerojatnost će biti p2 = 0,8, a za K3, E3, C3 - p3 = 0,1.

Uzmimo u obzir apriornu vjerojatnost da ćemo na kraju procesa projektiranja dobiti tehničko rješenje koje zadovoljava zahtjeve

Ako igrač 2 ima više od jedne strategije u igri D, a prethodne vjerojatnosti njihove upotrebe su nepoznate igraču 1 ili čak nema smisla govoriti o tim vjerojatnostima, tada sve što je upravo rečeno nije primjenjivo.

Kao što smo prethodno vidjeli, promjene u prethodnim vjerojatnostima p i q ovise o postavkama signala.

Slijedi da ako imamo subjekta neutralnog prema riziku koji vjeruje da će call opcija koštati C s vjerojatnošću tg i j s vjerojatnošću (1 - tg), tada će taj subjekt izračunati trenutnu cijenu opcije u potpunom skladu s jednadžbom izveli smo . Imajte na umu da nikada nismo pretpostavili postojanje a priori vjerojatnosti pojave određene cijene dionice i, sukladno tome, budućeg vrednovanja opcije. Navedeni pristup naziva se procjena neutralna prema riziku.

Neka tg(

Desna strana (7.53) nije gustoća u pravom smislu, budući da njen integral nije definiran; međutim, kada se računa gustoća posteriorne distribucije parametara pomoću Bayesove formule, formalne poteškoće pri radu s (7.53) ili ne nastaju, ili se lako mogu prevladati. Kao što ćemo vidjeti dolje u odjeljku 7.3.2, izbor (7.53) je prikladan u analitičkom smislu i, čini se, dobro odražava potpuni nedostatak apriornog znanja o distribuciji parametara. Međutim, zapravo krije vrlo jake pretpostavke: nepostojanje korelacije između parametara (ne korelacije između procjena vrijednosti parametara, koja ovisi o distribuciji regresora i vrijednosti a), zanemarivu malenu apriornu vjerojatnost da vektor parametara leži u bilo kojem danom konačnom volumenu, bez obzira na njegovu veličinu, itd. To ponekad dovodi do ozbiljnih poteškoća u tumačenju rezultata Bayesove procjene.

Razmotrimo sadržaj Bayesovog teorema s malo drugačijeg gledišta. Da bismo to učinili, zapisujemo sve moguće ishode našeg eksperimenta. Neka simboli H0, h znače ishod: novčić nije prekriven i njegova gornja strana je grb." Ako procijenite apriornu vjerojatnost pojavljivanja

I kao V2i tada će vjerojatnost navedenog ishoda biti Va X x1/2=1/4 - U nastavku dajemo popis svih ishoda i njihove prethodne vjerojatnosti

Dakle, u primjeru s novčićem i kockicom, P(Na) je apriorna vjerojatnost, P(Na K) je posteriorna vjerojatnost, a P(Na) je vjerojatnost.

Ako se sada prethodna vjerojatnost P(H0) može uzeti kao jednaka ili 1 ili 0, za donositelja odluke se kaže da

Zamislimo sada da eksperimentator ponudi donositelju odluka potpuno pouzdane (ili potpune) informacije o tome koji određeni objekt nije obuhvaćen. No, donositelj odluke mora platiti uslugu priopćavanja takve potpuno pouzdane informacije prije nego što je primi. Kolika bi bila vrijednost takve informacije?Može gledati unaprijed i pitati se što će učiniti kao odgovor na svaku od dvije moguće poruke koje pojedina usluga može pružiti, te na temelju dobivenih odgovora izračunati svoj prihod. Vaganje tog prihoda prethodnim vjerojatnostima mogućih poruka omogućilo bi mu da procijeni iznos svog očekivanog prihoda ako plati određeni iznos za savršeno pouzdane informacije prije nego što ih stvarno primi. Budući da bi taj očekivani prihod bio veći od 0,5 dolara, odnosno ono što on očekuje samo na temelju apriornih informacija, onda bi povećanje prihoda bio maksimalni iznos koji bi on imao smisla platiti za informacijsku uslugu.

Poduzeće mora danas ili sutra kupiti veliku količinu robe. Danas je cijena proizvoda 14,5 USD po jedinici. Prema tvrtki, sutra će njegova cijena s jednakom vjerojatnošću biti 10 ili 20 dolara. Neka x označava sutrašnju cijenu, tada su prethodne vjerojatnosti jednake

U posljednjoj fazi provjerava se pouzdanost izbora apriornih vjerojatnosti pojave tržišnih uvjeta i izračunava se očekivana korisnost od specificiranja tih vjerojatnosti. U tu svrhu se gradi stablo odlučivanja. Ukoliko se ukaže potreba za dodatnim istraživanjem tržišta, preporuča se pauzirati proces uvođenja odabrane opcije novog proizvoda do dobivanja pouzdanijih rezultata.

U praktičnim marketinškim aktivnostima poduzeća često je potrebno usporediti troškove dobivanja djelomičnih (nepotpunih) informacija i troškove dobivanja dodatnih novih informacija kako bi se donijela bolja odluka. Menadžer (DM) mora procijeniti koliko dobrobiti dobivene dodatnim informacijama pokrivaju troškove njihovog dobivanja. U ovom slučaju može se primijeniti Bayesova teorija odlučivanja. Početni podaci su prethodne vjerojatnosti P(Sk) i uvjetne vjerojatnosti P(Z Sk) pojave tržišnog stanja Z, pod uvjetom da se pretpostavi pojava stanja 5A. Kada se primi nova informacija, izračunavaju se očekivane korisnosti svake strategije, a zatim se odabire strategija s maksimalnom očekivanom korisnošću. Uz pomoć novih informacija donositelj odluke može korigirati prethodne vjerojatnosti P(Sk), a to je vrlo važno pri donošenju odluka.

Sada je poželjno saznati kolika će biti vjerojatnost pojave objektivnog stanja Sk kada se primi nova informacija. Dakle, potrebno je pronaći P(Sk Z), gdje je k,q = 1,p. Ovo je uvjetna vjerojatnost i rafinirana prethodna vjerojatnost. Za izračun P(Sk Z) koristimo Bayesovu formulu

Dakle, dobili smo ažurirane apriorne vjerojatnosti pojave objektivnih tržišnih uvjeta. Cijeli proces proračuna i dobiveni rezultati prikazani su u tablici. 9.11 i 9.12.

Korištenje Bayesovog pristupa (6.47) zahtijeva poznavanje prethodnih vjerojatnosti i gustoće distribucije vjerojatnosti.

Koristeći numeričke karakteristike objekata dobivene iz PCA, proveli smo standardnu ​​linearnu višestruku diskriminantnu analizu s istim (jednakim 33%) apriornim vjerojatnostima pripadnosti elementu. skupine. 41% od ukupnog broja slučajeva točno je klasificirano, što je nešto bolje od 33% točnosti koja bi se dobila nasumičnim dodjeljivanjem predmeta jednoj ili drugoj skupini. Stol 8.6 u nastavku je tablica pogrešnih klasifikacija, koja se naziva i matrica pogrešaka.

Sljedeći problem je razvoj standarda za testiranje. Većina MDA modela ocjenjuje se korištenjem malog broja uzoraka, što povećava vjerojatnost da će model pretjerano odgovarati testnim podacima. Uzorci obično sadrže jednaku mješavinu tvrtki u stečaju i tvrtki koje nisu u stečaju, a sami podaci obično odgovaraju razdobljima intenzivnih stečajeva. To dovodi do zaključka da su samo rezultati evaluacije modela na novim podacima pouzdani. Sa stola 9.1 pokazuje da je čak iu najpovoljnijim testovima s novim podacima (kada su svi primjeri uzeti iz istog vremenskog razdoblja i, štoviše, homogeni u smislu djelatnosti i veličine poduzeća), kvaliteta lošija nego u uzorcima iz kojih su parametri modela bili su određeni. Budući da u praksi korisnici klasifikacijskih modela neće moći prilagoditi model drugim prethodnim vjerojatnostima bankrota, veličini poduzeća ili industriji, stvarna kvaliteta modela može biti još gora. Kvaliteta se također može pogoršati zbog činjenice da uzorci korišteni za testiranje MDA modela sadrže nekoliko tvrtki koje nisu propale, ali su u opasnosti. Ako postoji samo četiri ili pet takvih rizičnih preživjelih tvrtki, onda to iskrivljuje stvarni udio rizičnih tvrtki, a kao rezultat toga, učestalost pogrešaka tipa 2 je podcijenjena.

Metode MDA uključene u usporedbu izračunate su i optimizirane na temelju stope lažnog signala od 10 1 s određenim prethodnim vjerojatnostima i cijenom pogrešaka. Želio bih upotrijebiti kao ex ante kriterij broj potencijalnih bankrota u populaciji koji je manji od 10 posto, ali to se ne uklapa dobro u parametre modela. To je također u suprotnosti s praksom u kojoj spuštanje praga ispod razine od 10 posto nije dovodilo do bankrota. Dakle, kada je udio lažnih signala smanjen na 7%, Taffler Z-score je potpuno prestao identificirati bankrote, a model Datastream naišao je na tu prepreku na oko 8%. Nasuprot tome, neuronska mreža prepoznala je dva slučaja bankrota ispod granične razine od 4,5%, tj. Mreža može raditi u uvjetima u kojima postoji samo pet lažnih signala po ispravnoj identifikaciji bankrota. Ova brojka je usporediva s najboljim rezultatima dobivenim MDA modelima na mnogo manje zahtjevnim ex post testovima. Iz ovoga slijede dva zaključka: prvo, neuralni modeli su pouzdana metoda klasifikacije u kreditnoj industriji, i drugo, korištenje cijene dionice kao ciljane varijable u obuci može biti isplativije od samog pokazatelja stečaja/preživljavanja. Cijena dionice odražava

U pogl. 3-5 opisuje metode skaliranja preferencija (pondera) za buduće događaje, kvantitativne procjene stupnja preferencija i možemo izračunati bezuvjetnu vjerojatnost bilo kojeg rezultata uzorka

I. Uvjetne vjerojatnosti. Prethodna i posteriorna vjerojatnost. 3

II.Nezavisni događaji. 5

III.Provjera statističkih hipoteza. Statistička značajnost. 7

IV. Upotreba hi-kvadrat testa 19

1. Određivanje pouzdanosti razlike između skupa frekvencija i skupa vjerojatnosti. 19

2. Određivanje pouzdanosti razlike između nekoliko skupova frekvencija. 26

NEZAVISNI ZADATAK 33

Lekcija br. 2

1. Uvjetne vjerojatnosti. Prethodna i posteriorna vjerojatnost.

Slučajnu varijablu određuju tri objekta: skup elementarnih događaja, skup događaja i vjerojatnost događaja. Vrijednosti koje slučajna varijabla može poprimiti nazivaju se elementarni događaji. Skupovi elementarnih događaja nazivaju se događanja. Za numeričke i druge ne baš složene slučajne varijable, svaki specifično zadan skup elementarnih događaja je događaj.

Uzmimo primjer: bacanje kocke.

Ukupno ima 6 elementarnih događaja: “bod”, “2 boda”, “3 boda”... “6 bodova”. Događaj - ​​bilo koji skup elementarnih događaja, na primjer "paran" - zbroj elementarnih događaja "2 boda", "4 boda" i "6 bodova".

Vjerojatnost bilo kojeg elementarnog događaja P(A) je 1/6:

vjerojatnost događaja je broj elementarnih događaja uključenih u njega, podijeljen sa 6.

Vrlo često, uz poznatu vjerojatnost nekog događaja, postoji i neka dodatna informacija koja tu vjerojatnost mijenja. Na primjer, smrtnost pacijenata. onih koji su primljeni u bolnicu s akutnim krvarenjem želučanog ulkusa je oko 10%. Međutim, ako je pacijent stariji od 80 godina, ova stopa smrtnosti je 30%.

Za opis takvih situacija tzv uvjetne vjerojatnosti. Označavaju se kao P(A/B) i glase "vjerojatnost događaja A danog događaja B." Za izračun uvjetne vjerojatnosti koristi se formula:

Vratimo se na prethodni primjer:

Pretpostavimo da među bolesnicima koji su primljeni u bolnicu s akutnim krvarenjem želučanog ulkusa 20% čine bolesnici stariji od 80 godina. Štoviše, među svim pacijentima, udio umrlih pacijenata starijih od 80 godina je 6% (sjetimo se da je udio svih umrlih 10%). U ovom slučaju

Pri definiranju uvjetnih vjerojatnosti često se koriste pojmovi apriorno(doslovno – prije iskustva) i a posteriori(doslovno - nakon iskustva) vjerojatnost.

Koristeći uvjetne vjerojatnosti, možete koristiti jednu vjerojatnost za izračun drugih, na primjer, zamijeniti događaj i uvjet.

Razmotrimo ovu tehniku ​​na primjeru analize odnosa između rizika od reumatske groznice (reumatske groznice) i jednog od antigena koji je faktor rizika za nju.

Učestalost reumatizma je oko 1%. Označimo prisutnost reumatizma s R +, dok je P(R +) = 0,01.

Prisutnost antigena bit će označena kao A +. Nalazi se u 95% bolesnika s reumatizmom i u 6% osoba koje ne boluju od reume. U našoj notaciji to su: uvjetne vjerojatnosti P(A + /R +) = 0,95 i P(A + /R -) = 0,06.

Na temelju ove tri vjerojatnosti sukcesivno ćemo odrediti ostale vjerojatnosti.

Prije svega, ako je incidencija reumatizma P(R +) = 0,01, tada je vjerojatnost da se ne razbolite P(R -) = 1-P(R +) = 0,99.

Iz formule za uvjetnu vjerojatnost nalazimo da

P(A + iR +) = P(A + /R +) * P(R +) = 0,95*0,01 = 0,0095, ili 0,95% populacije oboje boluje od reumatizma i ima antigen.

Također

P(A + iR -) = P(A + /R -) * P(R -) = 0,06*0,99 = 0,0594, odnosno 5,94% populacije nosi antigen, ali ne boluje od reume.

Budući da svatko tko ima antigen ili boluje od reume ili ne boluje od reume (ali ne oboje u isto vrijeme), zbroj posljednje dvije vjerojatnosti daje učestalost nositelja antigena u populaciji kao cjelini:

P(A +)= P(A + iR +) + P(A + iR -) = 0,0095 + 0,0594 = 0,0689

Sukladno tome, udio ljudi koji nemaju antigen jednak je

P(A -)=1- P(A+)=0,9311

Budući da je učestalost reumatizma 1%, a udio ljudi koji imaju antigen, a boluju od reume 0,95%, onda je udio ljudi koji imaju reumu, a nemaju antigen jednak:

P(A - iR +) = P(R +) - P(A + iR +) = 0,01 – 0,0095 = 0,0005

Sada ćemo krenuti u suprotnom smjeru, prelazeći s vjerojatnosti događaja i njihovih kombinacija na uvjetne vjerojatnosti. Prema izvornoj formuli uvjetne vjerojatnosti P(A + /R +) = P(R + i A +)/ P(A +) = 0,0095/0,06890,1379, ili približno 13,8% osoba koje nose antigen, dobit će reumu . Budući da je incidencija populacije u cjelini samo 1%, činjenica identificiranja antigena povećava vjerojatnost razvoja reumatizma za 14 puta.

Slično tome, P(R + /A -) = P(R + i A -)/ P(A -) = 0,0005/0,93110,000054, odnosno činjenica da tijekom testiranja nije otkriven antigen smanjuje vjerojatnost razvoja reumatizma. 19 puta.

Oblikujmo ovaj zadatak u proračunsku tablicu programa Excel:

Možete vidjeti proces izrade tablice slika2\p2-1.gif

Slučajni događaj ocjenjuje se brojem koji određuje intenzitet manifestacije tog događaja. Ovaj broj se zove vjerojatnost događanja P() . Vjerojatnost elementarnog događaja – . Vjerojatnost nekog događaja je brojčana mjera stupnja objektivnosti, mogućnosti tog događaja. Što je veća vjerojatnost, to je događaj mogućiji.

Bilo koji događaj koji se podudara s cijelim prostorom ishoda S, nazvao pouzdan događaj, tj. takav događaj koji se kao rezultat pokusa nužno mora dogoditi (na primjer, gubitak bilo kojeg broja bodova od 1 do 6 na kocki). Ako događaj ne pripada skupu S, tada se smatra nemoguće(na primjer, bacanje broja većeg od 6 na kockici). Vjerojatnost nemogućeg događaja je 0, vjerojatnost određenog događaja je 1. Svi ostali događaji imaju vjerojatnost od 0 do 1.

Događaji E I se zovu suprotan, Ako E dođe kad ne dođe . Na primjer, događaj E– “kotrljanje parnog broja bodova”, zatim događaj - “kotrljanje neparnog broja bodova.” Dva događaja E 1 I E 2 se zovu nekompatibilan, ako nema ishoda zajedničkog za oba događaja.

Za određivanje vjerojatnosti slučajnih događaja koriste se izravne ili neizravne metode. Pri izravnom računanju vjerojatnosti razlikuju se apriorne i aposteriorne računske sheme, kada provoditi promatranja (eksperimente) ili a priori brojati broj eksperimenata m, u čemu se događaj manifestirao, te ukupan broj izvedenih eksperimenata n. Neizravne metode temelje se na aksiomatskoj teoriji. Budući da su događaji definirani kao skupovi, nad njima se mogu izvoditi sve teorijske operacije skupova. Teoriju skupova i funkcionalnu analizu predložio je akademik A.N. Kolmogorov i činio osnovu aksiomatske teorije vjerojatnosti. Predstavimo aksiome vjerojatnosti.

Aksiomja. Polje događajaF(S) je algebra skupova.

Ovaj aksiom ukazuje na analogiju između teorije skupova i teorije vjerojatnosti.

AksiomII. Svakom skupuizF(S) je pridružen realnom broju P(), koja se naziva vjerojatnost događaja:

s obzirom na to S 1 S 2 = (za nekompatibilne događaje S 1 I S 2 ), ili za skup nekompatibilnih događaja

Gdje N– broj elementarnih događaja (mogućih ishoda).

Vjerojatnost slučajnog događaja

Gdje – vjerojatnosti elementarnih događaja uključeni u podskup .

Primjer 1.1. Odredite vjerojatnost dobivanja svakog broja prilikom bacanja kocke, dobivanja parnog broja, broja 4 .

Riješenje. Vjerojatnost da svaki broj ispadne iz skupa

S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
1/6.

Vjerojatnost bacanja parnog broja, tj.
={2, 4, 6}, na temelju (1.6) bit će P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 .

Vjerojatnost dobivanja broja  4 , tj.
= {4, 5, 6 } ,

P(
) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

Zadaci za samostalan rad

1. U košari se nalazi 20 bijelih, 30 crnih i 50 crvenih lopti. Odredite vjerojatnost da će prva izvučena lopta iz koša biti bijela; crno; Crvena.

2. U grupi učenika je 12 dječaka i 10 djevojčica. Kolika je vjerojatnost da će na seminaru teorije vjerojatnosti izostati: 1) mladić; 2) djevojka; 3) dva mladića?

3. Tijekom godine 51 dan se razlikovao po tome što je u te dane padala kiša (ili snijeg). Koja je vjerojatnost da riskirate da vas uhvati kiša (ili snijeg): 1) idete na posao; 2) idete na planinarenje na 5 dana?

4. Sastavite zadatak na temu ovog zadatka i riješite ga.

1.1.3. Definicija posteriorne vjerojatnosti (statistička vjerojatnost ili učestalost

slučajni događaj)

Pri određivanju vjerojatnosti a priori polazilo se od toga da jednako vjerojatno. To nije uvijek točno, češće se to događa
na
. Pretpostavka
dovodi do pogreške u apriornom određivanju P( ) prema utvrđenoj shemi. Za određivanje , i u općem slučaju P( ) provesti ciljana ispitivanja. Tijekom takvih ispitivanja (npr. rezultati ispitivanja u primjerima 1.2, 1.3) u različitim uvjetima raznih uvjeta, utjecaja, uzročnih čimbenika, tj. u različitim slučajevi, razne ishodi(razne manifestacije informacija o objektu koji se proučava) Svaki ishod testa odgovara jednom elementu ili jedan podskup postavlja S.Ako definiramo m kao broj povoljnih događaja A ishodi koji proizlaze iz n testovi, zatim posteriorna vjerojatnost (statistička vjerojatnost ili učestalost slučajnog događaja A)

Na temelju zakona velikih brojeva za  A

oni. kako se broj pokusa povećava, učestalost slučajnog događaja (posteriorna ili statistička vjerojatnost) teži vjerojatnosti tog događaja.

Primjer 1.2. Određeno shemom slučajeva, vjerojatnost padanja glava pri bacanju novčića je 0,5. Trebate baciti novčić 10, 20, 30... puta i odrediti učestalost slučajnog događaja glava nakon svake serije testova.

Riješenje. C. Poisson bacio je novčić 24.000 puta i pao na glavu 11.998 puta. Zatim, prema formuli (1.7), vjerojatnost slijetanja glava

.

Zadaci za samostalan rad

Na temelju velikog statističkog materijala ( n  ) dobivene su vrijednosti vjerojatnosti pojavljivanja pojedinih slova ruske abecede i razmaka () u tekstovima, koje su dane u tablici 1.1.

Tablica 1.1. Vjerojatnost pojavljivanja slova abecede u tekstu

Uzmite stranicu bilo kojeg teksta i odredite učestalost pojavljivanja različitih slova na toj stranici. Povećajte duljinu testova na dvije stranice. Dobivene rezultate usporedite s podacima u tablici. Izvući zaključak.

Pri gađanju mete dobiven je sljedeći rezultat (vidi tablicu 1.2).

Tablica 1.2. Rezultati gađanja mete

Kolika je vjerojatnost da bi meta bila pogođena prvim hicem da je manja od “desetke”, “devetke” itd.?

3. Planirajte i provedite slične testove za druge događaje. Predstavite svoje rezultate.