मैट्रिक्स की पंक्तियों (स्तंभों) के प्राथमिक परिवर्तनों के तहत, निम्नलिखित क्रियाओं को समझा जाता है:

1. दो पंक्तियों (स्तंभ) के स्थान बदलें।
2. एक पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को किसी संख्या $a\neq 0$ से गुणा करना।
3. एक पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों का योग दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के संगत तत्वों के साथ, किसी वास्तविक संख्या से गुणा किया जाता है।

यदि हम मैट्रिक्स $A$ की पंक्तियों या स्तंभों में कुछ प्राथमिक परिवर्तन लागू करते हैं, तो हमें एक नया मैट्रिक्स $B$ मिलता है। इस मामले में $\rang(A)=\rang(B)$, यानी। प्रारंभिक परिवर्तन मैट्रिक्स के रैंक को नहीं बदलते हैं।

यदि $\rang A=\rang B$, तो मैट्रिक्स $A$ और $B$ कहलाते हैं समकक्ष. तथ्य यह है कि मैट्रिक्स $A$ मैट्रिक्स $B$ के बराबर है, $A\sim B$ के रूप में लिखा गया है।

निम्नलिखित संकेतन का भी अक्सर उपयोग किया जाता है: $A\rightarrow B$, जिसका अर्थ है कि मैट्रिक्स $B$ कुछ प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके मैट्रिक्स $A$ से प्राप्त किया जाता है।

गॉस विधि द्वारा रैंक खोजने पर, आप पंक्तियों और स्तंभों दोनों के साथ काम कर सकते हैं। स्ट्रिंग्स के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, इसलिए इस पृष्ठ के उदाहरणों में मैट्रिक्स स्ट्रिंग्स पर परिवर्तन किए जाते हैं।

मैं ध्यान देता हूं कि ट्रांसपोजिशन मैट्रिक्स के रैंक को नहीं बदलता है, अर्थात। $\रंग(ए)=\रंग(ए^टी)$। कुछ मामलों में, इस संपत्ति का उपयोग करना सुविधाजनक है (उदाहरण संख्या 3 देखें), क्योंकि यदि आवश्यक हो, तो पंक्तियों को स्तंभों में बदलना आसान है और इसके विपरीत।

एल्गोरिथम का संक्षिप्त विवरण

आइए कुछ शर्तों का परिचय दें। शून्य रेखा- एक स्ट्रिंग, जिसके सभी तत्व शून्य के बराबर हैं। गैर-शून्य स्ट्रिंग- एक स्ट्रिंग, जिसमें से कम से कम एक तत्व शून्य से अलग है। प्रमुख तत्वगैर-शून्य स्ट्रिंग को इसका पहला (बाएं से दाएं की ओर गिनती) गैर-शून्य तत्व कहा जाता है। उदाहरण के लिए, स्ट्रिंग $(0;0;5;-9;0)$ में तीसरा तत्व अग्रणी होगा (यह 5 के बराबर है)।

किसी भी शून्य मैट्रिक्स की रैंक 0 है, इसलिए हम शून्य के अलावा अन्य मैट्रिक्स पर विचार करेंगे। मैट्रिक्स परिवर्तनों का अंतिम लक्ष्य इसे चरणबद्ध बनाना है। स्टेप मैट्रिक्स की रैंक गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है।

मैट्रिक्स की रैंक खोजने की मानी गई विधि में कई चरण होते हैं। पहला चरण पहली पंक्ति का उपयोग करता है, दूसरा चरण दूसरे का उपयोग करता है, और इसी तरह। जब केवल शून्य पंक्तियाँ उस पंक्ति के नीचे रहती हैं जिसका हम वर्तमान चरण में उपयोग करते हैं, या कोई पंक्तियाँ नहीं हैं, तो एल्गोरिथ्म रुक जाता है, क्योंकि परिणामी मैट्रिक्स चरणबद्ध होगा।

अब आइए स्ट्रिंग्स पर उन परिवर्तनों की ओर मुड़ें जो एल्गोरिथम के प्रत्येक चरण में किए जाते हैं। वर्तमान लाइन के तहत गैर-शून्य रेखाएं होने दें जिन्हें हमें इस चरण में उपयोग करने की आवश्यकता है, और $k$ वर्तमान लाइन के प्रमुख तत्व की संख्या है, और $k_(\min)$ सबसे छोटी संख्या है उन रेखाओं के प्रमुख तत्वों में से जो वर्तमान रेखा के नीचे स्थित हैं।

• अगर $k\lt(k_(\min))$, तो एल्गोरिथम के अगले चरण पर जाएं, यानी। अगली पंक्ति का उपयोग करने के लिए।
• यदि $k=k_(\min)$, तो हम उन अंतर्निहित पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को शून्य कर देते हैं जिनकी प्रमुख तत्व संख्या $k_(\min)$ के बराबर है। यदि शून्य पंक्तियाँ दिखाई देती हैं, तो हम उन्हें मैट्रिक्स के निचले भाग में स्थानांतरित कर देते हैं। फिर हम एल्गोरिथम के अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।
• यदि $k\gt(k_(\min))$, तो वर्तमान लाइन को उन अंतर्निहित लाइनों में से एक के साथ स्वैप करें जिनकी प्रमुख तत्व संख्या $k_(\min)$ के बराबर है। उसके बाद, हम उन अंतर्निहित पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को शून्य कर देते हैं जिनकी प्रमुख तत्व संख्या $k_(\min)$ के बराबर है। यदि ऐसी कोई पंक्तियाँ नहीं हैं, तो एल्गोरिथम के अगले चरण पर जाएँ। यदि शून्य पंक्तियाँ दिखाई देती हैं, तो हम उन्हें मैट्रिक्स के निचले भाग में स्थानांतरित कर देते हैं।

प्रमुख तत्वों को शून्य पर कैसे रीसेट किया जाता है, हम व्यवहार में विचार करेंगे। अक्षर $r$ ("पंक्ति" शब्द से) पंक्तियों को निरूपित करेंगे: $r_1$ - पहली पंक्ति, $r_2$ - दूसरी पंक्ति, और इसी तरह। अक्षर $c$ ("कॉलम" शब्द से) कॉलम को निरूपित करेगा: $c_1$ - पहला कॉलम, $c_2$ - दूसरा कॉलम, और इसी तरह।

इस पृष्ठ के उदाहरणों में, मैं वर्तमान लाइन के प्रमुख तत्व संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए $k$ का उपयोग करूंगा, और $k_(\min)$ का उपयोग वर्तमान के नीचे की पंक्तियों के सबसे छोटे प्रमुख तत्व संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाएगा। रेखा।

उदाहरण 1

एक मैट्रिक्स $A=\left(\begin(array)(ccccc) -2 & 3 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 4 & -11 & की रैंक पाएं -5 और 12 और 18 \\ -9 और 6 और 0 और -2 और 21 \\ -5 और 5 और 1 और 1 और 1 \end(सरणी) \दाएं)$।

पहला कदम

पहले चरण में, हम पहली पंक्ति के साथ काम करते हैं। हमें दिए गए मैट्रिक्स की पहली पंक्ति में, अग्रणी तत्व पहला तत्व है, अर्थात। पहली पंक्ति के प्रमुख तत्व की संख्या $k=1$। आइए पहली पंक्ति के नीचे की पंक्तियों को देखें। इन पंक्तियों में प्रमुख तत्वों की संख्या 4, 1, 1 और 1 है। इनमें से सबसे छोटी संख्या $k_(\min)=1$ है। चूंकि $k=k_(\min)$, तो हम उन अंतर्निहित पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को शून्य कर देते हैं जिनकी प्रमुख तत्व संख्या $k_(\min)$ के बराबर है। दूसरे शब्दों में, आपको तीसरी, चौथी और पांचवीं पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को रीसेट करने की आवश्यकता है।

सिद्धांत रूप में, आप उपरोक्त तत्वों को शून्य करना शुरू कर सकते हैं, हालांकि, उन परिवर्तनों के लिए जो शून्य करने के लिए किए जाते हैं, यह सुविधाजनक होता है जब उपयोग की जाने वाली स्ट्रिंग का प्रमुख तत्व एक होता है। यह आवश्यक नहीं है, लेकिन यह गणना को बहुत सरल करता है। हमारे पास पहली पंक्ति के प्रमुख तत्व के रूप में संख्या -2 है। "असुविधाजनक" संख्या को एक (या संख्या (-1)) से बदलने के लिए कई विकल्प हैं। उदाहरण के लिए, आप पहली पंक्ति को 2 से गुणा कर सकते हैं, और फिर पहली पंक्ति से पाँचवीं घटा सकते हैं। या आप केवल पहले और तीसरे कॉलम को स्वैप कर सकते हैं। कॉलम # 1 और # 3 को पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, हमें दिए गए मैट्रिक्स $A$ के बराबर एक नया मैट्रिक्स मिलता है:

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) -2 और 3 और 1 और 0 और -4 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \\ 4 और -11 और -5 और 12 और 18 \ \ -9 और 6 और 0 और -2 और 21 \\ -5 और 5 और 1 और 1 और 1 \end(सरणी)\दाएं)\overset(c_1\leftrightarrow(c_3))(\sim) \बाएं(\ start(array)(ccccc) \boldred(1) & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ \normblue(-5) & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 और 6 और -9 और -2 और 21 \\ \normgreen(1) और 5 और -5 और 1 और 1 \end(सरणी)\दाएं) $$

इकाई पहली पंक्ति का प्रमुख तत्व बन गई। पहली पंक्ति के प्रमुख तत्व की संख्या नहीं बदली है: $k=1$। पहले वाले के नीचे की पंक्तियों के प्रमुख तत्वों की संख्या है: 4, 1, 2, 1. सबसे छोटी संख्या $k_(\min)=1$ है। चूंकि $k=k_(\min)$, तो हम उन अंतर्निहित पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को शून्य कर देते हैं जिनकी प्रमुख तत्व संख्या $k_(\min)$ के बराबर है। इसका मतलब है कि आपको तीसरी और पांचवीं पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को शून्य करना होगा। इन तत्वों को नीले और हरे रंग में हाइलाइट किया गया है।

आवश्यक तत्वों को रीसेट करने के लिए, हम मैट्रिक्स की पंक्तियों के साथ संचालन करेंगे। मैं इन कार्यों को अलग से लिखूंगा:

$$ \begin(गठबंधन) &r_3-\frac(\normblue(-5))(\boldred(1))\cdot(r_1)=r_3+5r_1;\\ &r_5-\frac(\normgreen(1))( \boldred(1))\cdot(r_1)=r_5-r_1. \end(गठबंधन) $$

रिकॉर्ड $r_3+5r_1$ का अर्थ है कि पहली पंक्ति के संगत तत्वों को पाँच से गुणा करके तीसरी पंक्ति के तत्वों में जोड़ा गया। परिणाम नई मैट्रिक्स में तीसरी पंक्ति के स्थान पर लिखा जाता है। यदि इस तरह के ऑपरेशन के मौखिक प्रदर्शन में कठिनाइयाँ हैं, तो यह क्रिया अलग से की जा सकती है:

$$ r_3+5r_1 =(-5;\;-11;\;4;\;12;\;18)+5\cdot(1;\;3;\;-2;\;0;\;- 4)=\\ =(-5;\;-11;\;4;\;12;\;18)+(5;\;15;\;-10;\;0;\;-20) = (0;\;4;\;-6;\;12;\;-2)। $$

क्रिया $r_5-r_1$ समान रूप से की जाती है। पंक्ति परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हमें निम्नलिखित मैट्रिक्स मिलते हैं:

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) 1 और 3 और -2 और 0 और -4 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \\ -5 और -11 और 4 और 12 और 18 \ \ 0 और 6 और -9 और -2 और 21 \\ 1 और 5 और -5 और 1 और 1 \end(सरणी)\दाएं) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom( 0)\\ r_3+5r_1 \\ \phantom(0) \\ r_5-r_1 \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \\ 0 और 4 और -6 और 12 और -2 \\ 0 और 6 और -9 और -2 और 21 \\ 0 और 2 और -3 और 1 और 5 \end (सरणी)\दाएं) $$

इस पर, पहला चरण पूरा माना जा सकता है। चूंकि पहली पंक्ति के नीचे गैर-शून्य रेखाएं हैं, इसलिए हमें काम करना जारी रखना होगा। एकमात्र चेतावनी: परिणामी मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति में, सभी तत्वों को 2 से विभाजित किया जाता है। संख्याओं को कम करने और हमारी गणना को सरल बनाने के लिए, हम तीसरी पंक्ति के तत्वों को $\frac(1)(2)$ से गुणा करते हैं, और फिर दूसरे चरण पर आगे बढ़ें:

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) 1 और 3 और -2 और 0 और -4 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \\ 0 और 4 और -6 और 12 और -2 \ \ 0 और 6 और -9 और -2 और 21 \\ 0 और 2 और -3 और 1 और 5 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ start (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ \ प्रेत ( 0)\\ 1/2\cdot(r_3) \\ \phantom(0) \\ \phantom(0) \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ 0 & 2 & -3 & 6 & -1 \\ 0 & 6 & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 2 & - 3 और 1 और 5 \end(सरणी)\दाएं) $$

दूसरा कदम

दूसरे चरण में, हम दूसरी पंक्ति के साथ काम करते हैं। मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में, चौथा तत्व अग्रणी है, अर्थात। दूसरी पंक्ति के प्रमुख तत्व की संख्या $k=4$। आइए दूसरी पंक्ति के नीचे की पंक्तियों को देखें। इन पंक्तियों में प्रमुख तत्वों की संख्या 2, 2 और 2 है। इनमें से सबसे छोटी संख्या $k_(\min)=2$ है। चूंकि $k\gt(k_(\min))$, हमें वर्तमान दूसरी पंक्ति को उन पंक्तियों में से एक के साथ स्वैप करने की आवश्यकता है जिनकी प्रमुख तत्व संख्या $k_(\min)$ के बराबर है। दूसरे शब्दों में, आपको दूसरी पंक्ति को तीसरी, चौथी या पाँचवीं के साथ बदलने की आवश्यकता है। मैं पांचवीं पंक्ति चुनूंगा (यह भिन्नों की उपस्थिति से बच जाएगा), यानी। मैं पाँचवीं और दूसरी पंक्तियों की अदला-बदली करूँगा:

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) 1 और 3 और -2 और 0 और -4 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \\ 0 और 2 और -3 और 6 और -1 \ \ 0 और 6 और -9 और -2 और 21 \\ 0 और 2 और -3 और 1 और 5 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) \ overset (r_2 \ बायाँ तीर (r_5)) (\ सिम) \ बाएँ (\ start(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & \boldred(2) & -3 & 1 & 5 \\ 0 & \normblue(2) & -3 & 6 & - 1 \\ 0 और \normgreen(6) & -9 & -2 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \end(array)\right) $$

आइए दूसरी पंक्ति को फिर से देखें। अब इसमें प्रमुख तत्व दूसरा तत्व है (इसे लाल रंग में हाइलाइट किया गया है), यानी। $ के = 2 $। अंतर्निहित पंक्तियों (अर्थात संख्या 2, 2 और 4) के प्रमुख तत्वों की सबसे छोटी संख्या $k_(\min)=2$ होगी। चूंकि $k=k_(\min)$, तो हम उन अंतर्निहित पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को शून्य कर देते हैं जिनकी प्रमुख तत्व संख्या $k_(\min)$ के बराबर है। इसका मतलब है कि आपको तीसरी और चौथी पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को शून्य करना होगा। इन तत्वों को नीले और हरे रंग में हाइलाइट किया गया है।

मैंने ध्यान दिया कि पिछले चरण में, स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करके एक इकाई को वर्तमान पंक्ति का प्रमुख तत्व बनाया गया था। यह भिन्नों से निपटने से बचने के लिए किया गया था। यहां भी, आप दूसरी पंक्ति के प्रमुख तत्व के स्थान पर एक इकाई रख सकते हैं: उदाहरण के लिए, दूसरे और चौथे कॉलम की अदला-बदली करके। हालाँकि, हम ऐसा नहीं करेंगे, क्योंकि वैसे भी भिन्न उत्पन्न नहीं होंगे। पंक्तियों के साथ क्रियाएँ इस प्रकार होंगी:

$$ \ start (गठबंधन) &r_3-\frac(\normblue(2))(\boldred(2))\cdot(r_2)=r_3-r_2;\\ &r_4-\frac(\normgreen(6))(\ बोल्डरेड(2))\cdot(r_2)=r_4-3r_2. \end(गठबंधन) $$

इन कार्यों को करते हुए, हम निम्नलिखित मैट्रिक्स पर पहुंचते हैं:

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) 1 और 3 और -2 और 0 और -4 \\ 0 और 2 और -3 और 1 और 5 \\ 0 और 2 और -3 और 6 और -1 \ \ 0 और 6 और -9 और -2 और 21 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ start (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ \ प्रेत ( 0)\\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \phantom(0) \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 और 2 और -3 और 1 और 5 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \\ 0 और 0 और -5 और 6 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \ अंत (सरणी )\दाएं) $$

दूसरा चरण समाप्त हो गया है। चूँकि दूसरी पंक्ति के नीचे शून्येतर रेखाएँ हैं, हम तीसरे चरण पर आगे बढ़ते हैं।

तीसरा चरण

तीसरे चरण में, हम तीसरी पंक्ति के साथ काम करते हैं। मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति में, चौथा तत्व अग्रणी है, अर्थात। तीसरी पंक्ति $k=4$ के प्रमुख तत्व की संख्या। आइए तीसरी पंक्ति के नीचे की रेखाओं को देखें। इन पंक्तियों में प्रमुख तत्वों की संख्या 4 और 4 है, जिनमें से सबसे छोटा तत्व $k_(\min)=4$ है। चूंकि $k=k_(\min)$, तो हम उन अंतर्निहित पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को शून्य कर देते हैं जिनकी प्रमुख तत्व संख्या $k_(\min)$ के बराबर है। इसका मतलब है कि आपको चौथी और पांचवीं पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को शून्य करना होगा। इस उद्देश्य के लिए किए गए परिवर्तन पूरी तरह से पहले किए गए परिवर्तनों के समान हैं:

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) 1 और 3 और -2 और 0 और -4 \\ 0 और 2 और -3 और 1 और 5 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \\ 0 और 0 और 0 और -5 और 6 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) \ start (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ \ प्रेत (0) \\ \phantom(0) \\ r_4+r_3 \\ r_5-r_3 \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 और -3 और 1 और 5 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \\ 0 और 0 और 0 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 0 और 0 \end(सरणी)\दाएं) $$

तीसरी लाइन के नीचे सिर्फ जीरो लाइन रह गई। इसका मतलब है कि परिवर्तन पूरा हो गया है। हमने मैट्रिक्स को स्टेप्ड फॉर्म में कम कर दिया है। चूंकि घटी हुई मैट्रिक्स में तीन गैर-शून्य पंक्तियाँ होती हैं, इसलिए इसकी रैंक 3 के बराबर होती है। इसलिए, मूल मैट्रिक्स की रैंक भी तीन के बराबर होती है, अर्थात। $\रैंक ए=3$। स्पष्टीकरण के बिना पूरा समाधान यह है:

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) -2 और 3 और 1 और 0 और -4 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \\ 4 और -11 और -5 और 12 और 18 \ \ -9 और 6 और 0 और -2 और 21 \\ -5 और 5 और 1 और 1 और 1 \end(सरणी)\दाएं)\overset(c_1\leftrightarrow(c_3))(\sim) \बाएं(\ start(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & -6 \\ -5 & -11 & 4 & 12 & 18 \\ 0 & 6 & - 9 और -2 और 21 \\ 1 और 5 और -5 और 1 और 1 \end(सरणी)\दाएं) \प्रारंभ (सरणी) (एल) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3+ 5r_1 \\ \phantom(0) \\ r_5-r_1 \end(array)\sim $$ $$ \sim\left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \\ 0 और 4 और -6 और 12 और -2 \\ 0 और 6 और -9 और -2 और 21 \\ 0 और 2 और -3 और 1 और 5 \end ( सरणी)\दाएं) \शुरू(सरणी) (एल) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ 1/2\cdot(r_3) \\ \phantom(0) \\ \phantom(0) \ अंत (सरणी) \ सिम \ बाएँ (\ शुरू (सरणी) (ccccc) 1 और 3 और -2 और 0 और -4 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \\ 0 और 2 और -3 और 6 & -1 \\ 0 और 6 और -9 और -2 और 21 \\ 0 और 2 और -3 और 1 और 5 \end(सरणी)\दाएं) \overset(r_2\leftrightarrow(r_5))(\sim ) \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) 1 और 3 और -2 और 0 और -4 \\ 0 और 2 और -3 और 1 और 5 \ \ 0 और 2 और -3 और 6 और -1 \\ 0 और 6 और -9 और -2 और 21 \\ 0 और 0 और 5 और -6 \ अंत (सरणी) \ दाएं) \ start (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ \ प्रेत (0) \\ r_3-r_2 \\ r_4-3r_2 \\ \ प्रेत (0) \ अंत (सरणी) \ सिम $$ $$ \ सिम \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) 1 और 3 और -2 और 0 और -4 \\ 0 और 2 और -3 और 1 और 5 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \\ 0 और 0 और 0 और - 5 और 6 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) \ शुरू (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ \ प्रेत (0) \\ \ प्रेत ( 0) \\ r_4+r_3 \\ r_5-r_3 \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & 3 & -2 & 0 & -4 \\ 0 & 2 & -3 & 1 और 5 \\ 0 और 0 और 0 और 5 और -6 \\ 0 और 0 और 0 और 0 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) $$

उत्तर: $\रैंक ए=3$।

उदाहरण #2

एक मैट्रिक्स $A=\left(\begin(array)(ccccc) 11 & -13 & 61 & 10 & -11\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 की रैंक पाएं & -17 & -2 & 3\\ 4 & 0 & 24 & 7 & -8 \end(array) \right)$।

यह मैट्रिक्स शून्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि इसकी रैंक शून्य से अधिक है। आइए एल्गोरिथम के पहले चरण पर चलते हैं।

पहला कदम

पहले चरण में, हम पहली पंक्ति के साथ काम करते हैं। हमें दिए गए मैट्रिक्स की पहली पंक्ति में, अग्रणी तत्व पहला तत्व है, अर्थात। पहली पंक्ति के प्रमुख तत्व की संख्या $k=1$। आइए पहली पंक्ति के नीचे की पंक्तियों को देखें। इन पंक्तियों में प्रमुख तत्वों की संख्या 1 है, अर्थात। अंतर्निहित पंक्तियों के प्रमुख तत्व संख्याओं में से सबसे छोटा $k_(\min)=1$ है। चूंकि $k=k_(\min)$, तो उन अंतर्निहित पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को शून्य करना आवश्यक है जिनकी प्रमुख तत्व संख्या $k_(\min)$ के बराबर है। दूसरे शब्दों में, आपको दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को रीसेट करना होगा।

गणना की सुविधा के लिए, हम पहली पंक्ति के प्रमुख तत्व को एक बना देंगे। पिछले उदाहरण में, इसके लिए हमने स्तंभों की अदला-बदली की, हालांकि, यह क्रिया इस मैट्रिक्स के साथ काम नहीं करेगी - इस मैट्रिक्स में एक के बराबर कोई तत्व नहीं हैं। आइए एक सहायक क्रिया करें: $r_1-5r_2$। तब पहली पंक्ति का प्रमुख तत्व 1 के बराबर होगा।

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) 11 और -13 और 61 और 10 और -11 \\ 2 और -2 और 11 और 2 और -2 \\ -3 और 5 और -17 और -2 और 3\\ 4 और 0 और 24 और 7 और -8 \end(सरणी) \दाएं) \प्रारंभ(सरणी) (एल) r_1-5r_2\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ \phantom (0) \end(array)\sim \ left (\ start(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 और -17 और -2 और 3\\ 4 और 0 और 24 और 7 और -8 \end(सरणी) \दाएं) $$

इकाई पहली पंक्ति का प्रमुख तत्व बन गई। अंतर्निहित पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को शून्य करें:

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) 1 और -3 और 6 और 0 और -1 \\ 2 और -2 और 11 और 2 और -2 \\ -3 और 5 और -17 और -2 और 3\\ 4 और 0 और 24 और 7 और -8 \end(सरणी) \दाएं) \शुरू (सरणी) (एल) \phantom(0)\\ r_2-2r_1\\ r_3+3r_1 \\ r_4-4r_1 \ अंत (सरणी) \ सिम \ बाएँ (\ शुरू (सरणी) (ccccc) 1 और -3 और 6 और 0 और -1 \\ 0 और 4 और -1 और 2 और 0 \\ 0 और -4 और 1 और - 2 और 0\\ 0 और 12 और 0 और 7 और -4 \end(सरणी) \दाएं) $$

पहला चरण समाप्त हो गया है। चूंकि पहली पंक्ति के नीचे गैर-शून्य रेखाएं हैं, इसलिए हमें काम करना जारी रखना होगा।

दूसरा कदम

दूसरे चरण में, हम दूसरी पंक्ति के साथ काम करते हैं। मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में, अग्रणी तत्व दूसरा तत्व है, अर्थात। दूसरी पंक्ति के प्रमुख तत्व की संख्या $k=2$। अंतर्निहित पंक्तियों में प्रमुख तत्वों की संख्या 2 समान है, इसलिए $k_(\min)=2$। चूंकि $k=k_(\min)$, तो हम उन अंतर्निहित पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को शून्य कर देते हैं जिनकी प्रमुख तत्व संख्या $k_(\min)$ के बराबर है। इसका मतलब है कि आपको तीसरी और चौथी पंक्तियों के प्रमुख तत्वों को शून्य करना होगा।

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) 1 और -3 और 6 और 0 और -1\\ 0 और 4 और -1 और 2 और 0\\ 0 और -4 और 1 और -2 और 0\ \ 0 और 12 और 0 और 7 और -4 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) \ start (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ \ प्रेत (0) \\ r_3 + r_2 \\ r_4-3r_2 \ अंत (सरणी) \ सिम \ बाएँ (\ शुरू (सरणी) (ccccc) 1 और -3 और 6 और 0 और -1 \\ 0 और 4 और -1 और 2 और 0 \\ 0 और 0 और 0 और 0 और 0\\ 0 और 0 और 3 और 1 और -4 \end(सरणी) \दाएं) $$

एक शून्य रेखा है। आइए इसे मैट्रिक्स के नीचे छोड़ दें:

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) 1 और -3 और 6 और 0 और -1\\ 0 और 4 और -1 और 2 और 0\\ 0 और 0 और 0 और 0 और 0\\ 0 और 0 और 3 और 1 और -4 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) \ overset (r_3 \ बाएँ दाएँ तीर (r_4)) (\ सिम) \ बाएँ (\ start (सरणी) (ccccc) 1 और -3 और 6 और 0 & -1\\ 0 और 4 और -1 और 2 और 0\\ 0 और 0 और 3 और 1 और -4\\ 0 और 0 और 0 और 0 और 0 \end(सरणी) \दाएं) $$

दूसरा चरण समाप्त हो गया है। ध्यान दें कि हमने पहले ही एक चरण मैट्रिक्स प्राप्त कर लिया है। हालाँकि, हम औपचारिक रूप से अपने एल्गोरिथ्म को पूरा कर सकते हैं। चूँकि दूसरी पंक्ति के नीचे गैर-शून्य रेखाएँ हैं, आपको तीसरे चरण पर जाना चाहिए और तीसरी पंक्ति के साथ काम करना चाहिए, लेकिन तीसरी पंक्ति के नीचे कोई गैर-शून्य रेखाएँ नहीं हैं। इसलिए, रूपांतरण पूर्ण हैं।

वैसे, हमने जो मैट्रिक्स प्राप्त किया है वह समलम्बाकार है। एक ट्रेपोजॉइड मैट्रिक्स एक स्टेप मैट्रिक्स का एक विशेष मामला है।

चूँकि इस मैट्रिक्स में तीन गैर-शून्य पंक्तियाँ हैं, इसलिए इसकी रैंक 3 के बराबर है। इसलिए, मूल मैट्रिक्स की रैंक भी तीन के बराबर है, अर्थात। $\रैंक (ए) = 3 $। स्पष्टीकरण के बिना पूरा समाधान यह है:

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसीसी) 11 और -13 और 61 और 10 और -11 \\ 2 और -2 और 11 और 2 और -2 \\ -3 और 5 और -17 और -2 और 3\\ 4 और 0 और 24 और 7 और -8 \end(सरणी) \दाएं) \प्रारंभ(सरणी) (एल) r_1-5r_2\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ \phantom (0) \end(array)\sim \ left (\ start(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 2 & -2 & 11 & 2 & -2\\ -3 & 5 और -17 और -2 और 3\\ 4 और 0 और 24 और 7 और -8 \end(सरणी) \दाएं) \शुरू (सरणी) (एल) \ प्रेत (0)\\ r_2-2r_1\ \ r_3 +3r_1 \\ r_4-4r_1 \end(array)\sim $$ $$ \left(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 और 2 और 0\\ 0 और -4 और 1 और -2 और 0\\ 0 और 12 और 0 और 7 और -4 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) \ start (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ \phantom(0)\\ r_3+r_2 \\ r_4-3r_2 \end(array)\sim \left(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 और -1 और 2 और 0\\ 0 और 0 और 0 और 0\\ 0 और 0 और 3 और 1 और -4 \end(सरणी)\दाएं)\overset(r_3\leftrightarrow(r_4))( \sim ) \left(\begin(array)(ccccc) 1 & -3 & 6 & 0 & -1\\ 0 & 4 & -1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 1 & -4\ \ 0 और 0 और 0 और 0 और 0 \end(सरणी) \दाएं) $$

उत्तर: $\रैंक ए=3$।

उदाहरण #3

एक मैट्रिक्स $A=\left(\begin(array)(ccc) 0 & 2 & -4 \\ -1 & -4 & 5 \\ 3 & 1 & 7 \\ 0 & 5 & -10 की रैंक पाएं \\ 2 और 3 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) $।

कभी-कभी हल करने की प्रक्रिया में मैट्रिक्स को स्थानांतरित करना सुविधाजनक होता है। चूंकि ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स का रैंक मूल मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, इसलिए ऐसा ऑपरेशन काफी स्वीकार्य है। इस उदाहरण में, ऐसे ही एक मामले पर विचार किया जाएगा। परिवर्तनों के दौरान, दो समान तार $(0;\;1;\;-2)$ दिखाई देंगे (पहला और चौथा)। सिद्धांत रूप में, आप $r_4-r_1$ क्रिया कर सकते हैं, फिर चौथी पंक्ति को शून्य कर दिया जाएगा, लेकिन यह समाधान को केवल एक रिकॉर्ड से लंबा कर देगा, इसलिए हम चौथी पंक्ति को शून्य करने का कार्य नहीं करेंगे।

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 0 और 2 और -4 \\ -1 और -4 और 5 \\ 3 और 1 और 7 \\ 0 और 5 और -10 \\ 2 और 3 और 0 \end(array) \right) \ start(array) (l) 1/2\cdot(r_1)\\ \phantom(0)\\ \phantom(0) \\ 1/5\cdot(r_4) \\ \ प्रेत (0) \ अंत (सरणी) \ सिम \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सीसीसी) 0 और 1 और -2 \\ -1 और -4 और 5 \\ 3 और 1 और 7 \\ 0 और 1 & -2 \\ 2 और 3 और 0 \end(सरणी) \दाएं)\sim $$ $$ \sim\left(\begin(array)(ccccc) 0&-1&3&0&2\\ 1&-4&1&1&3\\ -2&5&7&- 2&0 \end(array) \right) \overset(r_1\leftrightarrow(r_2))(\sim) \left(\begin(array)(ccccc) 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ -2&5&7&-2&0 \end (सरणी) \ दाएँ) \ शुरू (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ \ प्रेत (0) \\ r_3 + 2r_1 \ अंत (सरणी) \ सिम $$ $$ \ बाएँ (\ शुरू (सरणी) (ccccc) 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ 0&-3&9&0&6 \end(array) \right) \begin(array) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\ r_3-3r_2 \ अंत (सरणी) \ सिम \ बाएँ (\ शुरू (सरणी) (ccccc) 1&-4&1&1&3\\ 0&-1&3&0&2\\ 0&0&0&0&0 \end(सरणी) \दाएं) $$

रूपांतरित मैट्रिक्स की रैंक 2 है, इसलिए मूल मैट्रिक्स की रैंक $\rang(A)=2$ है। सिद्धांत रूप में, मैट्रिक्स को स्थानांतरित किए बिना रैंक खोजना संभव था: पहली पंक्ति को दूसरी, तीसरी या पांचवीं के साथ स्वैप करें और पंक्तियों के साथ सामान्य परिवर्तन जारी रखें। मैट्रिक्स को चरणबद्ध रूप में कम करने की विधि समाधान प्रक्रिया में बदलाव की अनुमति देती है।

उत्तर: $\रैंक ए=2$।

उदाहरण #4

मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें $A=\left(\begin(array)(cccccc) 0 & -1 & 2 & -4 & 0 & 5 \\ 0 & 0 &5 &0 &2 &3 \\ 0 & 0 & 10 & 0& -4&1 \end(सरणी)\दाएं)$।

यह मैट्रिक्स शून्य नहीं है, अर्थात। इसकी रैंक शून्य से अधिक है। आइए एल्गोरिथम के पहले चरण पर चलते हैं।

पहला कदम

पहले चरण में, हम पहली पंक्ति के साथ काम करते हैं। हमें दिए गए मैट्रिक्स की पहली पंक्ति में, अग्रणी तत्व दूसरा तत्व है, अर्थात। पहली पंक्ति के प्रमुख तत्व की संख्या $k=2$। पहली पंक्ति के नीचे की पंक्तियों पर विचार करें। इन पंक्तियों में प्रमुख तत्वों की संख्या 3 है, अर्थात्। अंतर्निहित पंक्तियों के प्रमुख तत्व संख्याओं में से सबसे छोटा $k_(\min)=3$ है। चूंकि $k\lt(k_(\min))$, तो हम एल्गोरिथम के अगले चरण पर जाते हैं।

दूसरा कदम

दूसरे चरण में, हम दूसरी पंक्ति के साथ काम करते हैं। दूसरी पंक्ति में, अग्रणी तत्व तीसरा तत्व है, अर्थात। दूसरी पंक्ति के प्रमुख तत्व की संख्या $k=3$। दूसरी पंक्ति के नीचे केवल एक तिहाई रेखा है, जिसका प्रमुख तत्व संख्या 3 है, इसलिए $k_(\min)=3$। चूंकि $k=k_(\min)$, फिर हम तीसरी पंक्ति के प्रमुख तत्व को रीसेट करते हैं:

$$ \ बाएँ (\ start (सरणी) (cccccc) 0 और -1 और 2 और -4 और 0 और 5 \\ 0 और 0 और 5 और 0 और 2 और 3 \\ 0 और 0 और 10 और 0 और -4 और 1 \ अंत (सरणी) ) \ दाएँ) \ शुरू (सरणी) (एल) \ प्रेत (0) \\ \ प्रेत (0) \\ r_3-2r_2 \ अंत (सरणी) \ सिम \ बाएँ (\ start (सरणी) (cccccc) 0 & - 1 और 2 और -4 और 0 और 5 \\ 0 और 0 और 5 और 0 और 2 और 3 \\ 0 और 0 और 0 और -8 और -5 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $$

एक चरण मैट्रिक्स प्राप्त होता है। रूपांतरित मैट्रिक्स की रैंक, और इसलिए मूल मैट्रिक्स की रैंक, 3 है।

उत्तर: $\रैंक ए=3$।

उदाहरण #5

मैट्रिक्स की रैंक खोजें $A=\left(\begin(array)(ccccc) 0&0&0&0&6\\ 9&0&0&0&-11\\ 5&2&0&0&-5. \end(array) \right)$।

कभी-कभी केवल पंक्तियों या स्तंभों के क्रमपरिवर्तन की सहायता से मैट्रिक्स को चरण मैट्रिक्स में कम करना संभव होता है। यह, निश्चित रूप से, बहुत कम होता है, लेकिन एक सफल क्रमपरिवर्तन समाधान को महत्वपूर्ण रूप से सरल बनाना संभव बनाता है।

$1 start(सरणी)(ccccc) 5&2&0&0&-5\\ 9&0&0&0&-11\\ 0&0&0&0&6 \end(array) \right) \overset(c_1\leftrightarrow(c_4))(\sim) \left(\begin(array)(ccccc) ) 0&2&0&5&-5\\ 0&0&0&9&-11\\ 0&0&0&0&6 \end(array) \right) $$

मैट्रिक्स को एक चरण मैट्रिक्स में घटाया गया है, $\rang(A)=3$।

उत्तर: $\रैंक ए=3$।

यह लेख इस तरह की अवधारणा पर एक मैट्रिक्स के रैंक और आवश्यक अतिरिक्त अवधारणाओं पर चर्चा करेगा। हम मैट्रिक्स की रैंक खोजने के उदाहरण और प्रमाण देंगे, और आपको यह भी बताएंगे कि मैट्रिक्स माइनर क्या है और यह इतना महत्वपूर्ण क्यों है।

मैट्रिक्स नाबालिग

यह समझने के लिए कि मैट्रिक्स का रैंक क्या है, मैट्रिक्स माइनर जैसी अवधारणा को समझना आवश्यक है।

परिभाषा 1

अवयस्ककवें क्रम मैट्रिक्स - ऑर्डर k × k के वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक, जो मैट्रिक्स A के तत्वों की स्थिति को बनाए रखते हुए, पूर्व-चयनित k- पंक्तियों और k- कॉलम में स्थित मैट्रिक्स A के तत्वों से बना होता है।

सीधे शब्दों में कहें, यदि मैट्रिक्स ए में हम (पीके) पंक्तियों और (एनके) कॉलम को हटाते हैं, और उन तत्वों से जो रहते हैं, हम मैट्रिक्स बनाते हैं, मैट्रिक्स ए के तत्वों की व्यवस्था को ध्यान में रखते हुए, परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक है आव्यूह A के कोटि k का अवयस्क।

यह उदाहरण से इस प्रकार है कि मैट्रिक्स ए के प्रथम-क्रम नाबालिग स्वयं मैट्रिक्स तत्व हैं।

हम दूसरे क्रम के अवयस्कों के कई उदाहरण दे सकते हैं। आइए दो पंक्तियों और दो स्तंभों को चुनें। उदाहरण के लिए, पहली और दूसरी पंक्ति, तीसरा और चौथा स्तंभ।

तत्वों के इस चयन से द्वितीय कोटि का अवयस्क होगा - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

आव्यूह A का दूसरा क्रम अवयस्क 0 0 1 1 = 0 . है

आइए हम मैट्रिक्स ए के दूसरे क्रम के नाबालिगों के निर्माण के उदाहरण प्रदान करें:

मैट्रिक्स ए के तीसरे कॉलम को हटाकर तीसरा ऑर्डर नाबालिग प्राप्त किया जाता है:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

मैट्रिक्स ए का तीसरा क्रम नाबालिग कैसे प्राप्त किया जाता है इसका एक उदाहरण:

किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए, तीसरे क्रम से ऊपर कोई अवयस्क नहीं है, क्योंकि

के एम आई एन (पी, एन) = एम आई एन (3 , 4) = 3

p×n कोटि के मैट्रिक्स A के लिए कितने k-वें क्रम के अवयस्क हैं?

नाबालिगों की संख्या की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

सी पी के × सी एन के, जी ई सी पी के = पी! क! (पी - के)! और सी एनके = एन! क! (एन - के)! - p से k तक के संयोजनों की संख्या, क्रमशः n से k तक।

यह तय करने के बाद कि मैट्रिक्स ए के नाबालिग क्या हैं, हम मैट्रिक्स ए की रैंक निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

मैट्रिक्स रैंक: खोजने के तरीके

मैट्रिक्स रैंक - मैट्रिक्स का उच्चतम क्रम, शून्य के अलावा।

पदनाम 1

रैंक (ए), आरजी (ए), रंग (ए)।

मैट्रिक्स के रैंक और मैट्रिक्स के नाबालिग की परिभाषा से, यह स्पष्ट हो जाता है कि शून्य मैट्रिक्स का रैंक शून्य के बराबर है, और गैर-शून्य मैट्रिक्स का रैंक शून्य से अलग है।

परिभाषा के अनुसार मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना

लघु गणना विधि - मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने के आधार पर एक विधि।

अवयस्कों की गणना द्वारा क्रियाओं का एल्गोरिथ्म :

क्रम के मैट्रिक्स A की रैंक ज्ञात करना आवश्यक है पी× एन. यदि कम से कम एक गैर-शून्य तत्व है, तो मैट्रिक्स की रैंक कम से कम एक के बराबर है ( चूंकि एक प्रथम क्रम अवयस्क है जो शून्य के बराबर नहीं है).

फिर दूसरे क्रम के अवयस्कों की गणना का अनुसरण करता है। यदि दूसरे क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो रैंक एक के बराबर है। यदि दूसरे क्रम का कम से कम एक गैर-शून्य नाबालिग है, तो तीसरे क्रम के नाबालिगों की गणना में जाना आवश्यक है, और इस मामले में मैट्रिक्स की रैंक कम से कम दो के बराबर होगी।

आइए तीसरे क्रम के रैंक के साथ भी ऐसा ही करें: यदि मैट्रिक्स के सभी नाबालिग शून्य के बराबर हैं, तो रैंक दो के बराबर होगी। यदि कम से कम एक गैर-शून्य तृतीय-क्रम नाबालिग है, तो मैट्रिक्स की रैंक कम से कम तीन है। और इसी तरह, सादृश्य द्वारा।

उदाहरण 2

मैट्रिक्स की रैंक पाएं:

ए \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

चूंकि मैट्रिक्स गैर-शून्य है, इसलिए इसकी रैंक कम से कम एक के बराबर है।

दूसरा क्रम छोटा - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 शून्य नहीं है। इसका तात्पर्य है कि मैट्रिक्स ए की रैंक कम से कम दो है।

हम तीसरे क्रम के नाबालिगों को छाँटते हैं: C 3 3 × C 5 3 \u003d 1 5 ! 3! (5 - 3) ! = 10 टुकड़े।

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य हैं, इसलिए मैट्रिक्स की रैंक दो है।

उत्तर : रैंक (ए) = 2।

अवयस्कों को फ्रिंज करने की विधि द्वारा मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करना

फ्रिंजिंग माइनर विधि - एक विधि जो आपको कम कम्प्यूटेशनल कार्य के साथ परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देती है।

फ्रिंजिंग माइनर - माइनर M ओके (k + 1) - मैट्रिक्स A का क्रम, जो मैट्रिक्स A के ऑर्डर k के माइनर M को बॉर्डर करता है, यदि मैट्रिक्स जो माइनर M से मेल खाती है, ओके "शामिल है" मैट्रिक्स जो माइनर से मेल खाती है एम।

सीधे शब्दों में कहें, सीमावर्ती नाबालिग एम से संबंधित मैट्रिक्स एक पंक्ति और एक कॉलम के तत्वों को हटाकर सीमावर्ती नाबालिग एम ओके के अनुरूप मैट्रिक्स से प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण 3

मैट्रिक्स की रैंक पाएं:

ए = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

रैंक खोजने के लिए, हम दूसरा क्रम माइनर M = 2 - 1 4 1 . लेते हैं

हम सभी सीमावर्ती नाबालिगों को लिखते हैं:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

नाबालिगों को सीमाबद्ध करने की विधि को प्रमाणित करने के लिए, हम एक प्रमेय प्रस्तुत करते हैं जिसके सूत्रीकरण के लिए प्रमाण आधार की आवश्यकता नहीं होती है।

प्रमेय 1

यदि क्रम p ब n के मैट्रिक्स A के k-वें कोटि के अवयस्क की सीमा पर सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स A के क्रम के सभी अवयस्क (k + 1) शून्य के बराबर हैं।

क्रिया एल्गोरिथ्म :

मैट्रिक्स के रैंक को खोजने के लिए, सभी नाबालिगों के माध्यम से जाना जरूरी नहीं है, बस सीमाओं को देखें।

यदि सीमावर्ती नाबालिग शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक शून्य है। यदि कम से कम एक नाबालिग मौजूद है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो हम सीमावर्ती नाबालिगों पर विचार करते हैं।

यदि वे सभी शून्य हैं, तो रैंक (ए) दो है। यदि कम से कम एक गैर-शून्य सीमावर्ती नाबालिग है, तो हम उसके सीमावर्ती नाबालिगों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं। और इसी तरह, इसी तरह।

उदाहरण 4

अवयस्कों को फ्रिंज करने की विधि द्वारा मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात कीजिए

ए = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

कैसे तय करें?

चूँकि आव्यूह A का तत्व a 11 शून्य के बराबर नहीं है, तो हम पहले क्रम के अवयव को लेते हैं। आइए शून्य के अलावा सीमावर्ती नाबालिग की तलाश शुरू करें:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

हमें दूसरे क्रम का एक सीमावर्ती अवयस्क मिला है जो शून्य 2 0 4 1 के बराबर नहीं है।

आइए सीमावर्ती नाबालिगों की गणना करें - (4 - 2) × (5 - 2) = 6 टुकड़े हैं)।

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

उत्तर : रैंक (ए) = 2।

गॉस विधि द्वारा मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना (प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके)

याद रखें कि प्राथमिक परिवर्तन क्या हैं।

प्राथमिक परिवर्तन:

• मैट्रिक्स की पंक्तियों (स्तंभों) को पुनर्व्यवस्थित करके;
• मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को एक मनमाना गैर-शून्य संख्या k से गुणा करके;

किसी भी पंक्ति (स्तंभ) तत्वों के तत्वों को जोड़कर जो मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के अनुरूप होते हैं, जिन्हें एक मनमाना संख्या k से गुणा किया जाता है।

परिभाषा 5

गॉस विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करना - मैट्रिक्स तुल्यता के सिद्धांत पर आधारित एक विधि: यदि मैट्रिक्स बी को प्रारंभिक परिवर्तनों की एक सीमित संख्या का उपयोग करके मैट्रिक्स ए से प्राप्त किया जाता है, तो रैंक (ए) = रैंक (बी)।

इस कथन की वैधता मैट्रिक्स की परिभाषा से निम्नानुसार है:

• मैट्रिक्स की पंक्तियों या स्तंभों के क्रमपरिवर्तन के मामले में, इसका सारणिक परिवर्तन चिह्न। यदि यह शून्य के बराबर है, तो पंक्तियों या स्तंभों को क्रमित करते समय यह शून्य के बराबर रहता है;
• मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के सभी तत्वों को एक मनमाना संख्या k से गुणा करने की स्थिति में, जो शून्य के बराबर नहीं है, परिणामी मैट्रिक्स का निर्धारक मूल मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होता है, जिसे गुणा किया जाता है कश्मीर द्वारा;

मैट्रिक्स की एक निश्चित पंक्ति या स्तंभ के तत्वों को जोड़ने के मामले में, दूसरी पंक्ति या स्तंभ के संबंधित तत्व, जो संख्या k से गुणा किए जाते हैं, इसके निर्धारक को नहीं बदलते हैं।

प्राथमिक परिवर्तनों की विधि का सार : मैट्रिक्स को कम करें, जिसका रैंक पाया जाना है, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके एक समलम्बाकार के लिए।

किसलिए?

इस प्रकार के आव्यूहों की श्रेणी का पता लगाना काफी आसान है। यह उन पंक्तियों की संख्या के बराबर है जिनमें कम से कम एक गैर-शून्य तत्व है। और चूंकि प्राथमिक परिवर्तनों के दौरान रैंक नहीं बदलता है, यह मैट्रिक्स का रैंक होगा।

आइए इस प्रक्रिया को स्पष्ट करें:

• आयताकार आव्यूह A के क्रम p बटा n के लिए, जिसकी पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या से अधिक है:

ए ~ 1 बी 12 बी 13 ⋯ बी 1 एन - 1 बी 1 एन 0 1 बी 23 ⋯ बी 2 एन - 2 बी 2 एन 0 0 0 ⋯ 1 बीएन - 1 एन 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, आर अंक (ए) = एन

ए ~ 1 बी 12 बी 13 ⋯ बी 1 केबी 1 के + 1 ⋯ बी 1 एन 0 1 बी 23 ⋯ बी 2 केबी 2 के + 1 ⋯ बी 2 एन 0 0 0 ⋯ 1 बीकेके + 1 बीकेएन 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0, आर अंक (ए) = के

• आयताकार आव्यूह A के क्रम p बटा n के लिए, जिसकी पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या से कम है:

ए ~ 1 बी 12 बी 13 ⋯ बी 1 पीबी 1 पी + 1 ⋯ बी 1 एन 0 1 बी 23 ⋯ बी 2 पीबी 2 पी + 1 ⋯ बी 2 एन ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 बीपीपी + 1 बीपीएन, आर अंक (ए) = पी

ए ~ 1 बी 12 बी 13 ⋯ बी 1 केबी 1 के + 1 ⋯ बी 1 एन 0 1 बी 23 ⋯ बी 2 केबी 2 के + 1 ⋯ बी 2 एन 0 0 0 ⋯ 1 बीकेके + 1 बीकेएन 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0

• n बटा n क्रम के वर्ग आव्यूह A के लिए:

ए ~ 1 बी 12 बी 13 ⋯ बी 1 एन - 1 बी 1 एन 0 1 बी 23 ⋯ बी 2 एन - 1 बी 2 एन 0 0 0 ⋯ 1 बीएन - 1 एन 0 0 0 ⋯ 0 1 , आर अंक (ए) = एन

ए ~ 1 बी 12 बी 13 ⋯ बी 1 केबी 1 के + 1 ⋯ बी 1 एन 0 1 बी 23 ⋯ बी 2 केबी 2 के + 1 ⋯ बी 2 एन 0 0 0 ⋯ 1 बीकेके + 1 बीकेएन 0 0 0 ⋯ 0 0 0 0 0 0 ⋯ 0 0 0, आर अंक (ए) = के, के< n

उदाहरण 5

प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स ए की रैंक पाएं:

ए = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

कैसे तय करें?

चूंकि तत्व 11 गैर-शून्य है, इसलिए मैट्रिक्स ए की पहली पंक्ति के तत्वों को 1 ए 11 \u003d 1 2 से गुणा करना आवश्यक है:

ए = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

हम दूसरी पंक्ति के तत्वों में पहली पंक्ति के संबंधित तत्वों को जोड़ते हैं, जिन्हें (-3) से गुणा किया जाता है। तीसरी पंक्ति के तत्वों में हम पहली पंक्ति के तत्वों को जोड़ते हैं, जिन्हें (-1) से गुणा किया जाता है:

~ ए (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ ए (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5 ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

तत्व ए 22 (2) गैर-शून्य है, इसलिए हम मैट्रिक्स ए की दूसरी पंक्ति के तत्वों को ए (2) से 1 ए 22 (2) = - 2 3 से गुणा करते हैं:

ए (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ ए (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• परिणामी मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति के तत्वों में, हम दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों को जोड़ते हैं, जिन्हें 3 2 से गुणा किया जाता है;
• चौथी पंक्ति के तत्वों के लिए - दूसरी पंक्ति के तत्व, जिन्हें 9 2 से गुणा किया जाता है;
• 5 वीं पंक्ति के तत्वों के लिए - दूसरी पंक्ति के तत्व, जिन्हें 3 2 से गुणा किया जाता है।

सभी पंक्ति तत्व शून्य हैं। इस प्रकार, प्राथमिक परिवर्तनों की सहायता से, हमने मैट्रिक्स को एक समलम्बाकार रूप में घटा दिया है, जिससे यह देखा जा सकता है कि R a n k (A (4)) = 2 । यह इस प्रकार है कि मूल मैट्रिक्स की रैंक भी दो के बराबर है।

टिप्पणी

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परिभाषा। मैट्रिक्स रैंकसदिश मानी जाने वाली रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों की अधिकतम संख्या है।

एक मैट्रिक्स के रैंक पर प्रमेय 1। मैट्रिक्स रैंकमैट्रिक्स के गैर-शून्य नाबालिग का अधिकतम क्रम है।

हम निर्धारक पाठ में अवयस्क की अवधारणा पर पहले ही चर्चा कर चुके हैं, और अब हम इसका सामान्यीकरण करेंगे। आइए मैट्रिक्स में कुछ पंक्तियों और कुछ स्तंभों को लें, और यह "कुछ" मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या से कम होना चाहिए, और पंक्तियों और स्तंभों के लिए यह "कुछ" समान संख्या होना चाहिए। फिर कितनी पंक्तियों और कितने स्तंभों के चौराहे पर हमारे मूल मैट्रिक्स की तुलना में छोटे क्रम का एक मैट्रिक्स होगा। यदि उल्लिखित "कुछ" (पंक्तियों और स्तंभों की संख्या) को k द्वारा निरूपित किया जाता है, तो इस मैट्रिक्स का निर्धारक एक k-वें क्रम का माइनर होगा।

परिभाषा।अवयस्क ( आर+1)-वां क्रम, जिसके अंदर चुना हुआ अवयस्क है आर-वें क्रम को दिए गए अवयस्क के लिए बॉर्डरिंग कहा जाता है।

दो सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधियाँ एक मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना. इस नाबालिगों को फंसाने का तरीकातथा प्राथमिक परिवर्तन की विधि(गॉस विधि द्वारा)।

नाबालिगों को सीमाबद्ध करने की विधि निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करती है।

मैट्रिक्स के रैंक पर प्रमेय 2।यदि मैट्रिक्स के तत्वों से नाबालिग की रचना करना संभव है आरवां क्रम, जो शून्य के बराबर नहीं है, तो मैट्रिक्स का रैंक बराबर है आर.

प्राथमिक परिवर्तनों की विधि के साथ, निम्नलिखित संपत्ति का उपयोग किया जाता है:

यदि प्रारंभिक परिवर्तनों द्वारा मूल के बराबर एक समलम्बाकार मैट्रिक्स प्राप्त किया जाता है, तो इस मैट्रिक्स की रैंकपूरी तरह से शून्य वाली रेखाओं को छोड़कर इसमें रेखाओं की संख्या है।

नाबालिगों को सीमाबद्ध करने की विधि द्वारा मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना

एक सीमावर्ती नाबालिग दिए गए एक के संबंध में एक उच्च क्रम का नाबालिग है, यदि उच्च क्रम के इस नाबालिग में दिया गया नाबालिग शामिल है।

उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स दिया गया

चलो एक नाबालिग लेते हैं

ऐसे होंगे किनारा नाबालिग:

मैट्रिक्स के रैंक को खोजने के लिए एल्गोरिदमअगला।

1. हम दूसरे क्रम के अवयस्क पाते हैं जो शून्य के बराबर नहीं हैं। यदि दूसरे क्रम के सभी अवयस्क शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक एक के बराबर होगी ( आर =1 ).

2. यदि कम से कम एक सेकंड-ऑर्डर नाबालिग मौजूद है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो हम सीमावर्ती तीसरे क्रम के नाबालिगों की रचना करते हैं। यदि सभी तीसरे क्रम के सीमावर्ती नाबालिग शून्य हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक दो है ( आर =2 ).

3. यदि तीसरे क्रम के सीमावर्ती नाबालिगों में से कम से कम एक शून्य के बराबर नहीं है, तो हम इसकी सीमा वाले नाबालिगों की रचना करते हैं। यदि सभी सीमावर्ती चौथे क्रम के अवयस्क शून्य हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक तीन है ( आर =2 ).

4. तब तक जारी रखें जब तक मैट्रिक्स का आकार अनुमति देता है।

उदाहरण 1मैट्रिक्स की रैंक पाएं

.

समाधान। दूसरे क्रम के नाबालिग .

हम इसे फ्रेम करते हैं। चार सीमावर्ती नाबालिग होंगे:

,

,

इस प्रकार, सभी सीमावर्ती तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं, इसलिए, इस मैट्रिक्स की रैंक दो है ( आर =2 ).

उदाहरण 2मैट्रिक्स की रैंक पाएं

समाधान। इस मैट्रिक्स की रैंक 1 है, क्योंकि इस मैट्रिक्स के सभी दूसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं (इसमें, अगले दो उदाहरणों में सीमावर्ती नाबालिगों के मामलों में, प्रिय छात्रों को स्वयं के लिए सत्यापित करने के लिए आमंत्रित किया जाता है, शायद निर्धारकों की गणना के लिए नियमों का उपयोग करना), और पहले क्रम के नाबालिगों में, यानी मैट्रिक्स के तत्वों में, शून्य के बराबर नहीं हैं।

उदाहरण 3मैट्रिक्स की रैंक पाएं

समाधान। इस मैट्रिक्स का सेकेंड-ऑर्डर माइनर है, और इस मैट्रिक्स के सभी थर्ड-ऑर्डर माइनर शून्य हैं। इसलिए, इस मैट्रिक्स की रैंक दो है।

उदाहरण 4मैट्रिक्स की रैंक पाएं

समाधान। इस मैट्रिक्स की रैंक 3 है क्योंकि इस मैट्रिक्स का केवल तीसरा ऑर्डर माइनर 3 है।

प्रारंभिक परिवर्तनों की विधि द्वारा एक मैट्रिक्स का रैंक ढूँढना (गॉस विधि द्वारा)

पहले से ही उदाहरण 1 में, यह देखा जा सकता है कि सीमावर्ती अवयस्कों की विधि द्वारा मैट्रिक्स के रैंक को निर्धारित करने की समस्या के लिए बड़ी संख्या में निर्धारकों की गणना की आवश्यकता होती है। हालांकि, गणना की मात्रा को कम से कम करने का एक तरीका है। यह विधि प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तनों के उपयोग पर आधारित है और इसे गॉस विधि भी कहा जाता है।

एक मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तनों का अर्थ निम्नलिखित संचालन है:

1) किसी भी पंक्ति या मैट्रिक्स के किसी कॉलम का शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना;

2) किसी भी पंक्ति या मैट्रिक्स के किसी भी स्तंभ के तत्वों को जोड़कर, उसी संख्या से गुणा करके किसी अन्य पंक्ति या स्तंभ के संगत तत्व;

3) मैट्रिक्स की दो पंक्तियों या स्तंभों की अदला-बदली;

4) "अशक्त" पंक्तियों को हटाना, अर्थात्, वे सभी तत्व जिनमें से शून्य के बराबर हैं;

5) एक को छोड़कर सभी आनुपातिक रेखाओं को हटाना।

प्रमेय।प्रारंभिक परिवर्तन मैट्रिक्स के रैंक को नहीं बदलता है। दूसरे शब्दों में, यदि हम मैट्रिक्स से प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हैं एमैट्रिक्स पर जाएं बी, फिर ।

पंक्तियाँ (स्तंभ)। कई पंक्तियों (स्तंभों) को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनमें से कोई भी अन्य के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। रो सिस्टम का रैंक हमेशा कॉलम सिस्टम के रैंक के बराबर होता है, और इस नंबर को मैट्रिक्स का रैंक कहा जाता है।

मैट्रिक्स का रैंक इस मैट्रिक्स के सभी संभावित गैर-शून्य नाबालिगों के आदेशों में से उच्चतम है। किसी भी आकार के अशक्त मैट्रिक्स की रैंक शून्य होती है। यदि सभी दूसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं, तो रैंक एक के बराबर है, और इसी तरह।

मैट्रिक्स रैंक - छवि आयाम मंद (आईएम (ए)) (\displaystyle \मंद(\ऑपरेटरनाम (आईएम) (ए)))रैखिक-ऑपरेटर, जो मैट्रिक्स से मेल खाती है।

आमतौर पर मैट्रिक्स की रैंक ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)लक्षित रैंक ⁡ ए (\displaystyle \ऑपरेटरनाम (रंग) ए), आर ⁡ ए (\displaystyle \ऑपरेटरनाम (आर) ए), आरजी ⁡ ए (\displaystyle \ऑपरेटरनाम (आरजी) ए)या रैंक ⁡ ए (\displaystyle \ऑपरेटरनाम (रैंक) ए). अंतिम विकल्प अंग्रेजी के लिए विशिष्ट है, जबकि पहले दो जर्मन, फ्रेंच और कई अन्य भाषाओं के लिए हैं।

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  आज्ञा देना एक आयताकार मैट्रिक्स हो।

  फिर, परिभाषा के अनुसार, मैट्रिक्स की रैंक ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)एक:

  प्रमेय (रैंक की परिभाषा की शुद्धता पर)।सभी मैट्रिक्स नाबालिगों को दें ए एम × एन (\displaystyle A_(m\times n))गण k (\displaystyle k)शून्य के बराबर हैं ( एम के = 0 (\displaystyle एम_(के)=0)) फिर ∀ एम के + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0)यदि वे मौजूद हैं।

  संबंधित परिभाषाएं

  गुण

  • प्रमेय (मामूली आधार पर):होने देना r = rang A , M r (\displaystyle r=\operatorname (रंग) A,M_(r))- मैट्रिक्स का आधार नाबालिग ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), फिर:
  • परिणाम:
  • प्रमेय (प्राथमिक परिवर्तनों के तहत रैंक इनवेरिएंस पर):आइए हम प्राथमिक-रूपांतरणों द्वारा एक दूसरे से प्राप्त आव्यूहों के लिए एक संकेतन का परिचय दें। तब कथन सत्य है: यदि ए ∼ बी (\displaystyle ए\सिम बी), तो उनके रैंक बराबर हैं।
  • प्रमेय (क्रोनकर)- कैपेली:रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल तभी जब इसके मुख्य मैट्रिक्स की रैंक इसके विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर हो। विशेष रूप से:
    • सिस्टम के मुख्य चर की संख्या सिस्टम के रैंक के बराबर है।
    • एक सुसंगत प्रणाली को परिभाषित किया जाएगा (इसका समाधान अद्वितीय है) यदि सिस्टम की रैंक उसके सभी चर की संख्या के बराबर है।
  • असमानता: सिल्वेस्टर:अगर एतथा बीआकार मैट्रिसेस एम एक्स एनतथा एन एक्स के, फिर
  रंग ⁡ ए बी ≥ रंग ⁡ ए + रंग ⁡ बी − n (\displaystyle \ऑपरेटरनाम (रंग) AB\geq \operatorname (रंग) A+\operatorname (रंग) B-n)

  यह निम्नलिखित असमानता का एक विशेष मामला है।

  • असमानता: फ्रोबेनियस:यदि AB, BC, ABC सुपरिभाषित हैं, तो
  रंग ⁡ ए बी सी ≥ रंग ⁡ ए बी + रंग ⁡ बी सी - रंग ⁡ बी (\displaystyle \ऑपरेटरनाम (रंग) एबीसी\geq \ऑपरेटरनाम (रंग) एबी+\ऑपरेटरनाम (रंग) बीसी-\ऑपरेटरनाम (रंग) बी)

  रैखिक परिवर्तन और मैट्रिक्स रैंक

  होने देना ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)- आकार मैट्रिक्स m × n (\displaystyle m\times n)मैदान के ऊपर सी (\ डिस्प्लेस्टाइल सी)(या आर (\ डिस्प्लेस्टाइल आर)) होने देना टी (\ डिस्प्लेस्टाइल टी)के अनुरूप एक रैखिक परिवर्तन है ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)मानक आधार पर; इसका मतलब है कि T (x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). मैट्रिक्स रैंक ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए) परिवर्तन रेंज का आयाम है टी (\ डिस्प्लेस्टाइल टी).

  तरीकों

  मैट्रिक्स की रैंक खोजने के लिए कई तरीके हैं:

  • प्राथमिक परिवर्तनों की विधि
  मैट्रिक्स की रैंक मैट्रिक्स में गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है, क्योंकि इसे मैट्रिक्स पंक्तियों पर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके एक चरणबद्ध रूप में घटा दिया जाता है।
  • फ्रिंजिंग माइनर विधि
  चलो मैट्रिक्स में ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)गैर-शून्य नाबालिग पाया गया k (\displaystyle k)-वें क्रम एम (\ डिस्प्लेस्टाइल एम). सभी नाबालिगों पर विचार करें (के + 1) (\displaystyle (के+1))आदेश, सहित (आसपास) नाबालिग एम (\ डिस्प्लेस्टाइल एम); यदि वे सभी शून्य के बराबर हैं, तो मैट्रिक्स की रैंक है k (\displaystyle k). अन्यथा, सीमावर्ती नाबालिगों में एक गैर-शून्य है, और पूरी प्रक्रिया दोहराई जाती है।

  कोई भी मैट्रिक्स एगण एम × एनसंग्रह के रूप में देखा जा सकता है एमपंक्ति वैक्टर या एनकॉलम वैक्टर।

  पदमैट्रिक्स एगण एम × एनरैखिक रूप से स्वतंत्र स्तंभ वैक्टर या पंक्ति वैक्टर की अधिकतम संख्या है।

  यदि मैट्रिक्स की रैंक एबराबरी आर, तो यह लिखा है:

  एक मैट्रिक्स की रैंक ढूँढना

  होने देना एमनमाना क्रम मैट्रिक्स एम× एन. मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करने के लिए एहम इसमें गाऊसी उन्मूलन विधि लागू करते हैं।

  ध्यान दें कि यदि उन्मूलन के किसी चरण में प्रमुख तत्व शून्य के बराबर हो जाता है, तो हम दिए गए स्ट्रिंग को उस स्ट्रिंग से स्वैप करते हैं जिसमें अग्रणी तत्व शून्य से भिन्न होता है। यदि यह पता चलता है कि ऐसी कोई पंक्ति नहीं है, तो हम अगले कॉलम पर आगे बढ़ते हैं, और इसी तरह।

  गाऊसी उन्मूलन के आगे बढ़ने के बाद, हम एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं जिसके मुख्य विकर्ण के नीचे के तत्व शून्य के बराबर होते हैं। इसके अलावा, शून्य पंक्ति वैक्टर भी हो सकते हैं।

  गैर-शून्य पंक्ति वैक्टर की संख्या मैट्रिक्स की रैंक होगी ए.

  आइए इस सब को सरल उदाहरणों से देखें।

  उदाहरण 1

  पहली पंक्ति को 4 से गुणा करना और दूसरी पंक्ति में जोड़ना और पहली पंक्ति को 2 से गुणा करना और तीसरी पंक्ति में जोड़ना हमारे पास है:

  

  दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा करें और इसे तीसरी पंक्ति में जोड़ें:

  

  हमें दो गैर-शून्य पंक्तियाँ मिलीं और इसलिए, मैट्रिक्स की रैंक 2 है।

  उदाहरण 2

  निम्नलिखित मैट्रिक्स की रैंक पाएं:

  

  पहली पंक्ति को -2 से गुणा करें और दूसरी पंक्ति में जोड़ें। इसी तरह, पहले कॉलम की तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों को शून्य पर सेट करें:

  

  आइए दूसरे कॉलम की तीसरी और चौथी पंक्तियों के तत्वों को दूसरी पंक्ति में संख्या -1 से गुणा करके संबंधित पंक्तियों को जोड़कर रीसेट करें।