Le deuxième signe d'égalité des triangles

Si un côté et deux angles adjacents d’un triangle sont respectivement égaux à un côté et deux angles adjacents d’un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

MN = PR N = R M = P

Comme dans la preuve du premier signe, il faut s'assurer que cela suffit pour que les triangles soient égaux, peuvent-ils être complètement combinés ?

1. Puisque MN = PR, alors ces segments sont combinés si leurs points finaux sont combinés.

2. Puisque N = R et M = P, les rayons \(MK\) et \(NK\) chevaucheront respectivement les rayons \(PT\) et \(RT\).

3. Si les rayons coïncident, alors leurs points d'intersection \(K\) et \(T\) coïncident.

4. Tous les sommets des triangles sont alignés, c'est-à-dire que Δ MNK et Δ PRT sont complètement alignés, ce qui signifie qu'ils sont égaux.

Le troisième signe d'égalité des triangles

Si trois côtés d’un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d’un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

MN = PR KN = TR MK = PT

Essayons à nouveau de combiner les triangles Δ MNK et Δ PRT en les superposant et veillons à ce que les côtés égaux correspondants garantissent que les angles correspondants de ces triangles sont égaux et qu'ils coïncideront complètement.

Combinons par exemple des segments identiques \(MK\) et \(PT\). Supposons que les points \(N\) et \(R\) ne coïncident pas.

Soit \(O\) le milieu du segment \(NR\). D'après ces informations, MN = PR, KN = TR. Les triangles \(MNR\) et \(KNR\) sont isocèles de base commune \(NR\).

Leurs médianes \(MO\) et \(KO\) sont donc des hauteurs, ce qui signifie qu'elles sont perpendiculaires à \(NR\). Les droites \(MO\) et \(KO\) ne coïncident pas, puisque les points \(M\), \(K\), \(O\) ne se trouvent pas sur la même droite. Mais par le point \(O\) de la droite \(NR\) on ne peut tracer qu'une seule droite qui lui est perpendiculaire. Nous sommes arrivés à une contradiction.

Il a été prouvé que les sommets \(N\) et \(R\) doivent coïncider.

Le troisième signe nous permet d'appeler le triangle une figure très forte et stable, on dit parfois que triangle - figure rigide . Si les longueurs des côtés ne changent pas, les angles ne changent pas non plus. Par exemple, un quadrilatère n’a pas cette propriété. Par conséquent, divers supports et fortifications sont triangulaires.

Mais les gens évaluent et soulignent depuis longtemps la stabilité particulière, la stabilité et la perfection du nombre \(3\).

Les contes de fées en parlent.

Nous y rencontrons « Trois ours », « Trois vents », « Trois petits cochons », « Trois camarades », « Trois frères », « Trois hommes chanceux », « Trois artisans », « Trois princes », « Trois amis », "Trois héros", etc.

Là, « trois tentatives », « trois conseils », « trois instructions », « trois rendez-vous » sont donnés, « trois souhaits » sont exaucés, il faut endurer « trois jours », « trois nuits », « trois ans », passer par « trois États », « trois royaumes souterrains », résister à « trois épreuves », naviguer à travers les « trois mers ».

Deux triangles sont dits congruents s’ils peuvent être rapprochés par chevauchement. La figure 1 montre les triangles égaux ABC et A 1 B 1 C 1. Chacun de ces triangles peut être superposé à l'autre afin qu'ils soient totalement compatibles, c'est-à-dire que leurs sommets et leurs côtés sont compatibles deux à deux. Il est clair que les angles de ces triangles correspondront également par paires.

Ainsi, si deux triangles sont congrus, alors les éléments (c'est-à-dire les côtés et les angles) d'un triangle sont respectivement égaux aux éléments de l'autre triangle. Noter que dans des triangles égaux contre des côtés correspondants égaux(c'est-à-dire se chevauchant lorsqu'il est superposé) les angles sont égaux et retour : Des côtés égaux se trouvent respectivement opposés à des angles égaux.

Ainsi, par exemple, dans les triangles égaux ABC et A 1 B 1 C 1, représentés sur la figure 1, les côtés égaux opposés AB et A 1 B 1, respectivement, forment des angles égaux C et C 1. Nous désignerons l'égalité des triangles ABC et A 1 B 1 C 1 comme suit : Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1. Il s'avère que l'égalité de deux triangles peut être établie en comparant certains de leurs éléments.

Théorème 1. Le premier signe d'égalité des triangles. Si deux côtés et l'angle entre eux d'un triangle sont respectivement égaux à deux côtés et l'angle entre eux d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus (Fig. 2).

Preuve. Considérons les triangles ABC et A 1 B 1 C 1, dans lesquels AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1 ∠ A = ∠ A 1 (voir Fig. 2). Montrons que Δ ABC = Δ A 1 B 1 C 1 .

Puisque ∠ A = ∠ A 1, alors le triangle ABC peut être superposé au triangle A 1 B 1 C 1 de sorte que le sommet A soit aligné avec le sommet A 1 et que les côtés AB et AC soient respectivement superposés aux rayons A 1 B 1 et A 1 C1. Puisque AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, alors le côté AB s'alignera avec le côté A 1 B 1 et le côté AC s'alignera avec le côté A 1 C 1 ; en particulier, les points B et B 1, C et C 1 coïncideront. Par conséquent, les côtés BC et B 1 C 1 coïncideront. Ainsi, les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont complètement compatibles, ce qui signifie qu'ils sont égaux.

Le théorème 2 est démontré de manière similaire en utilisant la méthode de superposition.

Théorème 2. Le deuxième signe d'égalité des triangles. Si un côté et deux angles adjacents d'un triangle sont respectivement égaux au côté et deux angles adjacents d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus (Fig. 34).

Commentaire. Sur la base du théorème 2, le théorème 3 est établi.

Théorème 3. La somme de deux angles intérieurs quelconques d’un triangle est inférieure à 180°.

Le théorème 4 découle du dernier théorème.

Théorème 4. Coin extérieur le triangle est plus grand que n'importe quel autre coin interne, pas à côté.

Théorème 5. Le troisième signe d'égalité des triangles. Si trois côtés d'un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus ().

Exemple 1. Dans les triangles ABC et DEF (Fig. 4)

∠ A = ∠ E, AB = 20 cm, AC = 18 cm, DE = 18 cm, EF = 20 cm. Comparez les triangles ABC et DEF. Quel est l'angle dans le triangle DEF égal à l'angle DANS?

Solution. Ces triangles sont égaux selon le premier signe. L'angle F du triangle DEF est égal à l'angle B du triangle ABC, puisque ces angles sont opposés aux côtés respectivement égaux DE et AC.

Exemple 2. Les segments AB et CD (Fig. 5) se coupent au point O, qui est le milieu de chacun d'eux. Quelle est la longueur du segment BD si le segment AC mesure 6 m ?

Solution. Les triangles AOC et BOD sont égaux (selon le premier critère) : ∠ AOC = ∠ BOD (vertical), AO = OB, CO = OD (par condition).
De l'égalité de ces triangles il résulte que leurs côtés sont égaux, c'est-à-dire AC = BD. Mais puisque selon la condition AC = 6 m, alors BD = 6 m.

Il existe trois signes d'égalité pour deux triangles. Dans cet article, nous les considérerons sous forme de théorèmes, et fournirons également leurs preuves. Pour ce faire, rappelez-vous que les chiffres seront égaux dans le cas où ils se chevauchent complètement.

Premier signe

Théorème 1

Deux triangles seront égaux si deux côtés et l'angle qui les sépare dans l'un des triangles sont égaux à deux côtés et l'angle qui les sépare dans l'autre.

Preuve.

Considérons deux triangles $ABC$ et $A"B"C"$, dans lesquels $AB=A"B"$, $AC=A"C"$ et $∠A=∠A"$ (Fig. 1).

Combinons les hauteurs $A$ et $A"$ de ces triangles. Puisque les angles à ces sommets sont égaux entre eux, les côtés $AB$ et $AC$ chevaucheront respectivement les rayons $A"B" $ et $A"C" $ Puisque ces côtés sont deux à deux égaux, les côtés $AB$ et $AC$ coïncident respectivement avec les côtés $A"B"$ et $A"C"$, et donc les sommets. $B$ et $B"$. , $C$ et $C"$ seront les mêmes.

Par conséquent, le côté BC coïncidera complètement avec le côté $B"C"$. Cela signifie que les triangles se chevaucheront complètement, ce qui signifie qu'ils sont égaux.

Le théorème est prouvé.

Deuxième signe

Théorème 2

Deux triangles seront égaux si deux angles et leur côté commun à l'un des triangles sont égaux à deux angles et leur côté commun à l'autre.

Preuve.

Considérons deux triangles $ABC$ et $A"B"C"$, dans lesquels $AC=A"C"$ et $∠A=∠A"$, $∠C=∠C"$ (Fig. 2) .

Combinons les côtés $AC$ et $A"C"$ de ces triangles, de sorte que les hauteurs $B$ et $B"$ se trouvent du même côté de celui-ci. Puisque les angles de ces côtés sont deux à deux égaux à l'un l'autre, alors les côtés $AB$ et $BC$ chevaucheront respectivement les rayons $A"B"$ et $B"C"$. Par conséquent, le point $B$ et le point $B"$ le ​​feront. être les points d'intersection des rayons combinés (c'est-à-dire par exemple les rayons $AB$ et $BC$). Puisque les rayons ne peuvent avoir qu'un seul point d'intersection, le point $B$ coïncidera avec le point $B"$. Cela signifie que les triangles se chevaucheront complètement, ce qui signifie qu'ils sont égaux.

Le théorème est prouvé.

Troisième signe

Théorème 3

Deux triangles seront égaux si trois côtés de l’un des triangles sont égaux aux trois côtés de l’autre.

Preuve.

Considérons deux triangles $ABC$ et $A"B"C"$, dans lesquels $AC=A"C"$, $AB=A"B"$ et $BC=B"C"$ (Fig. 3).

Preuve.

Combinons les côtés $AC$ et $A"C"$ de ces triangles, de sorte que les hauteurs $B$ et $B"$ se trouvent sur des côtés opposés de celui-ci. Nous considérerons ensuite trois cas différents de l'arrangement résultant de ces sommets. Nous les considérerons dans les images.

Premier cas :

Puisque $AB=A"B"$, l'égalité $∠ABB"=∠AB"B$ sera vraie. De même, $∠BB"C=∠B"BC$. Alors, en somme, on obtient $∠B=∠B"$

Deuxième cas :

Puisque $AB=A"B"$, l'égalité $∠ABB"=∠AB"B$ sera vraie. De même, $∠BB"C=∠B"BC$. Alors, par différence, on obtient $∠B=∠B"$

Par conséquent, d’après le théorème 1, ces triangles sont égaux.

Troisième cas :

Puisque $BC=B"C"$, l'égalité $∠ABC=∠AB"C$ sera vraie

Par conséquent, d’après le théorème 1, ces triangles sont égaux.

Le théorème est prouvé.

Exemples de tâches

Exemple 1

Prouver l'égalité des triangles dans la figure ci-dessous

Le troisième critère d'égalité des triangles sur trois côtés est formulé sous la forme d'un théorème.

Théorème : Si trois côtés d’un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d’un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

Preuve. Considérons ΔABC et ΔA 1 B 1 C 1 pour lesquels AB = A 1 B 1 , AC = A 1 C 1 , BC = B 1 C 1 . Montrons que ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1

Soient ABC et A 1 B 1 C 1 des triangles avec AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . Imposant ∆ABC sur ∆A 1 B 1 C 1 de sorte que le sommet A coïncide avec A 1, et les sommets B et B 1, et les sommets C et C 1 soient sur les côtés opposés de la ligne A 1 B 1. Trois cas sont possibles : 1) le rayon C 1 C passe à l'intérieur de l'angle A 1 C 1 B 1 (Fig. a)) ; 2) le rayon C 1 C coïncide avec l'un des côtés de cet angle (Fig. b)) ; le rayon C 1 C passe à l'extérieur de l'angle A 1 C 1 B 1 (Fig. c)). Considérons le premier cas. Puisque, selon les conditions du théorème, les côtés AC et A 1 C 1, BC et B 1 C 1 sont égaux, alors les triangles A 1 C 1 C et B 1 C 1 C sont isocèles. Par le théorème sur la propriété des angles triangle isocèleÐl = Ð2, Ð3 = Ð4, donc ÐA 1 CB 1 = =ÐA 1 C 1 B 1 . Donc, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1, РС = РС 1. Par conséquent, les triangles ABC et A 1 B 1 C 1 sont égaux selon le premier signe d'égalité des triangles.

Ecrivez au tableau:

Donné:ΔABC, ΔA 1 B 1 C 1, AB=A 1 B 1, AC=A 1 C 1, BC=B 1 C 1

Prouver:ΔABC = ΔA 1 B 1 C 1

Preuve. Imposant ∆ABC sur ∆A 1 B 1 C 1 de sorte que A → A 1, et B → B 1, et C et C 1 soient sur les côtés opposés de la droite A 1 B 1. Considérons un cas. le faisceau C 1 C passe à l'intérieur de RA 1 C 1 B 1 (Fig. a)).

AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 ═> ΔA 1 C 1 C et ΔB 1 C 1 C - égaux. ═> Ðl = Ð2, Ð3 = Ð4 (selon la nature des angles est égal à Δ), ═> ÐA 1 CB 1 =ÐA 1 C 1 B 1 ═> AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 , ÐС = РС 1 ═>

ΔABC=ΔA 1 B 1 C 1 selon le premier signe d'égalité des triangles.

2. Losange. Définition, propriétés, signes.

Un losange est un type de quadrilatère.

Définition: Un losange est un parallélogramme dont tous les côtés sont égaux.

La figure montre un parallélogramme ABCD avec AB=BC=CD=DA. Par définition, ce parallélogramme est un losange. AC et ВD sont les diagonales du losange. Puisqu'un losange est un parallélogramme, toutes les propriétés et caractéristiques d'un parallélogramme lui sont valables.

Propriétés:

1) Dans un losange, les angles opposés sont égaux (ÐA=ÐC, ÐB=ÐD)

2) Les diagonales d'un losange sont divisées en deux par le point d'intersection. (BO=ОD, AO=ОC)

3) Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires entre elles et ses angles sont divisés en deux. (AS DV, ‌‌АБО=РУВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РВАО) ( propriété spéciale)

4) La somme des angles adjacents à un côté est égale à 180 0 (ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0)

panneaux rhombe:

1) Si les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires entre elles, alors ce parallélogramme est un losange

2) Si la diagonale d'un parallélogramme coupe ses angles en deux, alors le parallélogramme est un losange.

3) Si tous les côtés d’un parallélogramme sont égaux, alors c’est un losange.

Ecrivez au tableau.

Propriétés:

1) ÐA=ÐC, ÐB=ÐD 2) BO=OD, AO=OC

3) AC DV, ‌‌РАБО=РОВС, ADО=РОDC, ‌‌рBСО=РDСО, РДАО=РВАО

4) ÐA+ÐB= ÐC+ÐD=ÐB+ÐC=ÐA+ÐD=180 0

Les déclarations inverses sont panneaux rhombe:

1 ) Si ABCD est un m parallèle et AC DB, alors ABCD est un losange.

2) Si ABCD est un parallèle et que AC et DB sont des bissectrices, alors ABCD est un losange.

3) Si ABCD est un parallèle et AC=DB et BC=AD, alors ABCD est un losange.

Tâche.