(todellinen, ehdottomasti positiivinen)

Normaalijakauma, kutsutaan myös Gaussin jakauma tai Gauss - Laplace- todennäköisyysjakauma, jonka yksiulotteisessa tapauksessa määrittää todennäköisyystiheysfunktio, joka on sama kuin Gaussin funktio:

jossa parametri μ on jakauman odotusarvo (keskiarvo), mediaani ja jakauman muoto ja parametri σ on jakauman keskihajonta (σ² on dispersio).

Siten yksiulotteinen normaalijakauma on kaksiparametrinen jakaumien perhe. Monimuuttujatapaus on kuvattu artikkelissa "Multivariate normaalijakauma".

Normaali normaalijakauma kutsutaan normaalijakaumaksi, jonka matemaattinen odotus on μ = 0 ja keskihajonta σ = 1.

Tietosanakirja YouTube

• 1 / 5

  Normaalijakauman merkitys monilla tieteenaloilla (esim. matemaattinen tilasto ja tilastollinen fysiikka) seuraa todennäköisyysteorian keskeisestä rajalauseesta. Jos havainnon tulos on useiden satunnaisten heikosti riippuvaisten suureiden summa, joista jokainen muodostaa pienen osuuden suhteessa kokonaissummaan, niin termien lukumäärän kasvaessa keskitetyn ja normalisoidun tuloksen jakauma pyrkii olemaan normaali. Tämä todennäköisyysteorian laki johtaa normaalijakauman laajaan leviämiseen, mikä oli yksi syy sen nimeen.

  Ominaisuudet

  Hetkiä

  Jos satunnaismuuttujia X 1 (\displaystyle X_(1)) Ja X 2 (\displaystyle X_(2)) ovat riippumattomia ja niillä on normaalijakauma matemaattisten odotusten kanssa μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) Ja μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) ja varianssit σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) Ja σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) siis vastaavasti X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) on myös normaalijakauma matemaattisten odotusten kanssa μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) ja varianssi σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) Tästä seuraa, että normaali satunnaismuuttuja voidaan esittää mielivaltaisen määrän riippumattomien normaalien satunnaismuuttujien summana.

  Maksimi entropia

  Normaalijakaumalla on suurin differentiaalinen entropia kaikkien jatkuvien jakaumien joukossa, joiden varianssi ei ylitä annettua arvoa.

  Normaalien näennäissatunnaisten muuttujien mallinnus

  Yksinkertaisimmat likimääräiset mallinnusmenetelmät perustuvat keskirajalauseeseen. Nimittäin jos lisäät useita riippumattomia identtisesti jakautuneita suureita, joilla on äärellinen varianssi, niin summa jaetaan suunnilleen Hieno. Jos esimerkiksi lisäät 100 itsenäistä vakiona tasaisesti hajautettuja satunnaismuuttujia, summan jakauma on likimääräinen normaali.

  Normaalisti jakautuneiden näennäissatunnaisten muuttujien ohjelmointiin on suositeltavaa käyttää Box-Muller-muunnosta. Sen avulla voit luoda yhden normaalijakauman arvon yhden tasaisesti jakautuneen arvon perusteella.

  Normaali jakautuminen luonnossa ja sovelluksissa

  Normaalijakauma löytyy usein luonnosta. Esimerkiksi seuraavat satunnaismuuttujat mallinnetaan hyvin normaalijakauman avulla:

  • poikkeama ammuttaessa.
  • mittausvirheet (joidenkin mittauslaitteiden virheillä ei kuitenkaan ole normaalijakaumia).
  • joitain populaation elävien organismien ominaisuuksia.

  Tämä jakauma on niin laajalle levinnyt, koska se on äärettömästi jaollinen jatkuva jakauma, jolla on äärellinen varianssi. Siksi jotkut muut lähestyvät sitä rajalla, esimerkiksi binomi ja Poisson. Tämä jakauma mallintaa monia epädeterministisiä fyysisiä prosesseja.

  Suhde muihin jakeluihin

  • Normaalijakauma on Pearsonin tyypin XI jakauma.
  • Riippumattomien standardien normaalijakauman satunnaismuuttujien parin suhteella on Cauchyn jakauma. Eli jos satunnaismuuttuja X (\displaystyle X) edustaa suhdetta X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Missä K (\displaystyle Y) Ja Z (\displaystyle Z)- riippumattomat standardinormaalit satunnaismuuttujat), silloin sillä on Cauchyn jakauma.
  • Jos z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k))- yhdessä riippumattomat standardinormaalit satunnaismuuttujat, eli z i ∼ N (0, 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\left(0,1\oikea)), sitten satunnaismuuttuja x = z 1 2 + … + z k 2 (\näyttötyyli x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) on khin neliöjakauma, jossa on k vapausastetta.
  • Jos satunnaismuuttuja X (\displaystyle X) on lognormaalijakauman alainen, silloin sen luonnollisella logaritmilla on normaalijakauma. Eli jos X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\oikea)), Tuo Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\oikea )). Ja päinvastoin, jos Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\oikea)), Tuo X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \oikea)).
  • Kahden normaalin normaalin satunnaismuuttujan neliöiden suhde on

  Normaalijakauman lailla (kutsutaan usein Gaussin laiksi) on erittäin tärkeä rooli todennäköisyysteoriassa ja sillä on erityinen asema muiden jakautumislakien joukossa. Tämä on käytännössä yleisin jakelulaki. Pääpiirre, joka erottaa normaalin lain muista laeista, on se, että se on rajoittava laki, johon muut jakautumislait lähestyvät hyvin yleisissä tyypillisissä olosuhteissa.

  Voidaan todistaa, että riittävän suuren määrän riippumattomien (tai heikosti riippuvaisten) satunnaismuuttujien summa, jollei jakautumislakeja (joitakin hyvin löysät rajoitukset) koskee, noudattaa suunnilleen normaalilakia, ja tämä pitää paikkansa tarkemmin, suurempi määrä satunnaismuuttujia summataan. Suurin osa käytännössä kohdatuista satunnaismuuttujista, kuten esimerkiksi mittausvirheet, ammuntavirheet jne., voidaan esittää summana erittäin suuresta määrästä suhteellisen pieniä termejä - alkeisvirheitä, joista jokainen johtuu erillinen syy, muista riippumaton. Riippumatta siitä, mihin jakautumislakeihin yksittäiset alkeisvirheet kohdistuvat, näiden jakaumien ominaisuudet suuren määrän termien summassa tasoittuvat, ja summa osoittautuu lähellä normaalia olevan lain alaista. Summoitaville virheille asetettu päärajoitus on, että niillä kaikilla on tasaisesti suhteellisen pieni rooli kokonaismäärässä. Jos tämä ehto ei täyty ja esimerkiksi yksi satunnaisista virheistä osoittautuu jyrkästi hallitsevaksi vaikutuksensa määrään verrattuna kaikkiin muihin, niin tämän vallitsevan virheen jakautumislaki asettaa sen vaikutuksen määrään ja määrittää sen jakelulain pääpiirteet.

  Lauseet, jotka asettavat normaalin lain rajaksi itsenäisten tasaisen pienten satunnaistermien summalle, käsitellään tarkemmin luvussa 13.

  Normaalijakauman laille on ominaista muodon todennäköisyystiheys:

  Normaalijakaumakäyrä on symmetrinen kukkulan muotoinen ulkonäkö (kuva 6.1.1). Käyrän maksimiordinaatta, yhtä suuri kuin , vastaa pistettä ; Kun siirryt pois pisteestä, jakautumistiheys pienenee, ja kohdassa , käyrä lähestyy asymptoottisesti abskissaa.

  

  Selvitetään normaalin lain (6.1.1) lausekkeeseen sisältyvien numeeristen parametrien merkitys; Osoittakaamme, että arvo ei ole muuta kuin matemaattinen odotus ja arvo on arvon keskihajonta. Tätä varten laskemme suuren tärkeimmät numeeriset ominaisuudet - matemaattinen odotus ja hajonta.

  

  Muuttujan muutoksen käyttö

  On helppo varmistaa, että ensimmäinen kaavan (6.1.2) kahdesta intervallista on nolla; toinen on kuuluisa Euler-Poisson-integraali:

  . (6.1.3)

  Siten,

  nuo. parametri edustaa arvon matemaattista odotusta. Tätä parametria, erityisesti kuvausongelmissa, kutsutaan usein hajoamiskeskukseksi (lyhennettynä c.r.).

  Lasketaan määrän varianssi:

  .

  Ota muuttujan muutos käyttöön uudelleen

  Osittain integroimalla saamme:

  Ensimmäinen termi kiharoissa suluissa on nolla (koska at laskee nopeammin kuin mikään teho kasvaa), toinen termi kaavan (6.1.3) mukaan on yhtä suuri kuin , mistä

  Näin ollen kaavan (6.1.1) parametri ei ole muuta kuin arvon keskihajonna.

  Selvitetään parametrien merkitys ja normaalijakauma. Kaavasta (6.1.1) käy heti selväksi, että jakauman symmetriakeskus on dispersion keskus. Tämä käy ilmi siitä, että kun eron etumerkki käännetään, lauseke (6.1.1) ei muutu. Jos muutat dispersion keskipistettä, jakaumakäyrä siirtyy abskissa-akselia pitkin muuttamatta sen muotoa (kuva 6.1.2). Dispersion keskipiste kuvaa jakauman sijaintia abskissa-akselilla.

  

  Sirontakeskuksen ulottuvuus on sama kuin satunnaismuuttujan mitta.

  Parametri ei kuvaa sijaintia, vaan jakautumiskäyrän muotoa. Tämä on dispersion ominaisuus. Jakaumakäyrän suurin ordinaatti on kääntäen verrannollinen; kun nostat, maksimiordinaatta pienenee. Koska jakautumiskäyrän pinta-alan on aina pysyttävä yhtä suurena, kasvaessaan jakautumiskäyrä muuttuu litteämmäksi, ulottuen x-akselia pitkin; päinvastoin, laskun myötä jakautumiskäyrä venyy ylöspäin, samanaikaisesti puristuen sivuilta ja muuttuu neulanmuotoisemmaksi. Kuvassa 6.1.3 esittää kolme normaalikäyrää (I, II, III) kohdassa ; Näistä käyrä I vastaa suurinta ja käyrä III pienintä arvoa. Parametrin muuttaminen vastaa jakaumakäyrän asteikon muuttamista - asteikkoa suurennetaan toisella akselilla ja sama vähennetään toisella.

  Esimerkkejä normaalin lain mukaan jakautuneista satunnaismuuttujista ovat henkilön pituus ja pyydettyjen saman lajin kalojen massa. Normaalijakauma tarkoittaa seuraavaa : on olemassa arvoja ihmisen pituudesta, saman lajin kalojen massasta, jotka koetaan intuitiivisesti "normaaleiksi" (ja itse asiassa keskiarvoisiksi), ja riittävän suuresta otoksesta niitä löytyy paljon useammin kuin niitä, jotka eroavat ylöspäin tai alaspäin.

  Jatkuvan satunnaismuuttujan (joskus Gaussin jakauman) normaalia todennäköisyysjakaumaa voidaan kutsua kellomuotoiseksi, koska tämän jakauman tiheysfunktio, symmetrinen keskiarvon suhteen, on hyvin samanlainen kuin kellon leikkaus (punainen käyrä). yllä olevassa kuvassa).

  Todennäköisyys kohdata tiettyjä arvoja näytteessä on yhtä suuri kuin kuvan pinta-ala käyrän alla, ja normaalijakauman tapauksessa näemme, että "kellon" yläosassa, joka vastaa arvoja Keskiarvoon pyrkien pinta-ala ja siten todennäköisyys on suurempi kuin reunojen alla. Siten saamme saman asian, joka on jo sanottu: todennäköisyys tavata "normaalin" pituinen henkilö ja saada "normaalipainoinen" kala on suurempi kuin arvoilla, jotka eroavat ylöspäin tai alaspäin. Monissa käytännön tapauksissa mittausvirheet jakautuvat lähellä normaalia olevan lain mukaan.

  Katsotaanpa vielä kerran oppitunnin alussa olevaa kuvaa, joka esittää normaalijakauman tiheysfunktiota. Tämän funktion kaavio saatiin laskemalla tietty tietonäyte ohjelmistopaketissa TILASTO. Siinä histogrammin sarakkeet edustavat näytearvojen intervalleja, joiden jakauma on lähellä (tai, kuten tilastoissa yleensä sanotaan, ei eroa merkittävästi) normaalijakauman tiheysfunktion todellista kuvaajaa, joka on punainen käyrä. . Kaavio osoittaa, että tämä käyrä on todellakin kellomainen.

  Normaalijakauma on arvokas monella tapaa, koska kun tiedät vain jatkuvan satunnaismuuttujan odotusarvon ja sen keskihajonnan, voit laskea minkä tahansa kyseiseen muuttujaan liittyvän todennäköisyyden.

  Normaalijakauman etuna on myös se, että se on yksi helpoimpia käyttää. tilastolliset testit tilastollisten hypoteesien testaamiseen - Studentin t-testi- voidaan käyttää vain, jos näytedata noudattaa normaalijakauman lakia.

  Jatkuvan satunnaismuuttujan normaalijakauman tiheysfunktio löytyy kaavalla:

  ,

  Missä x- muuttuvan suuren arvo, - keskiarvo, - keskihajonta, e=2,71828... - luonnollisen logaritmin kanta, =3,1416...

  Normaalijakauman tiheysfunktion ominaisuudet

  

  Keskiarvon muutokset siirtävät normaalitiheysfunktiokäyrää kohti akselia Härkä. Jos se kasvaa, käyrä siirtyy oikealle, jos se pienenee, niin vasemmalle.

  Jos keskihajonta muuttuu, käyrän yläosan korkeus muuttuu. Keskihajonnan kasvaessa käyrän huippu on korkeampi, ja kun se pienenee, se on pienempi.

  Todennäköisyys, että normaalijakautuma satunnaismuuttuja putoaa tietylle välille

  Jo tässä kappaleessa alamme ratkaista käytännön ongelmia, joiden merkitys on osoitettu otsikossa. Katsotaanpa, mitä mahdollisuuksia teoria tarjoaa ongelmien ratkaisemiseen. Normaalijakautuneen satunnaismuuttujan tietylle välille putoamisen todennäköisyyden laskemisen lähtökäsite on normaalijakauman kumulatiivinen funktio.

  Kumulatiivinen normaalijakaumafunktio:

  .

  Taulukoiden saaminen jokaiselle mahdolliselle keskiarvon ja keskihajonnan yhdistelmälle on kuitenkin ongelmallista. Siksi yksi yksinkertaisista tavoista laskea todennäköisyys sille, että normaalijakautuma satunnaismuuttuja putoaa tiettyyn väliin, on käyttää todennäköisyystaulukoita standardoidulle normaalijakaumalle.

  Normaalijakaumaa kutsutaan standardoiduksi tai normalisoiduksi., jonka keskiarvo on , ja keskihajonta on .

  Standardoitu normaalijakauman tiheysfunktio:

  .

  Standardoidun normaalijakauman kumulatiivinen funktio:

  .

  Alla olevassa kuvassa on standardoidun normaalijakauman integraalifunktio, jonka kaavio on saatu laskemalla tietty tietonäyte ohjelmistossa TILASTO. Itse kaavio on punainen käyrä, ja näytearvot lähestyvät sitä.

  
  

  Voit suurentaa kuvaa napsauttamalla sitä hiiren vasemmalla painikkeella.

  Satunnaismuuttujan standardointi tarkoittaa siirtymistä tehtävässä käytetyistä alkuperäisistä yksiköistä standardoituihin yksiköihin. Standardointi suoritetaan kaavan mukaan

  Käytännössä kaikki mahdolliset satunnaismuuttujan arvot ovat usein tuntemattomia, joten keskiarvon ja keskihajonnan arvoja ei voida määrittää tarkasti. Ne korvataan havaintojen aritmeettisella keskiarvolla ja keskihajonnalla s. Suuruus z ilmaisee satunnaismuuttujan arvojen poikkeamat aritmeettisesta keskiarvosta keskihajonnan mittaamisessa.

  Avoin väli

  Standardoidun normaalijakauman todennäköisyystaulukko, joka löytyy melkein mistä tahansa tilastokirjasta, sisältää todennäköisyydet, että satunnaismuuttuja, jolla on standardi normaalijakauma Z ottaa arvon, joka on pienempi kuin tietty luku z. Eli se putoaa avoimeen aikaväliin miinus äärettömästä z. Esimerkiksi todennäköisyys, että määrä Z pienempi kuin 1,5, mikä vastaa 0,93319.

  Esimerkki 1. Yritys valmistaa osia, joiden käyttöikä on normaalisti jakautunut 1000 tunnin keskiarvoon ja 200 tunnin keskihajontaan.

  Laske satunnaisesti valitulle osalle todennäköisyys, että sen käyttöikä on vähintään 900 tuntia.

  Ratkaisu. Esitellään ensimmäinen merkintä:

  Haluttu todennäköisyys.

  Satunnaismuuttujien arvot ovat avoimella aikavälillä. Mutta osaamme laskea todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja saa arvon, joka on pienempi kuin annettu, ja ongelman ehtojen mukaan meidän on löydettävä arvo, joka on yhtä suuri tai suurempi kuin annettu. Tämä on avaruuden toinen osa normaalitiheyskäyrän (kello) alla. Siksi halutun todennäköisyyden löytämiseksi sinun on vähennettävä yksiköstä mainittu todennäköisyys, että satunnaismuuttuja saa arvon, joka on pienempi kuin määritetty 900:

  Nyt satunnaismuuttuja on standardoitava.

  Jatkamme merkinnän käyttöönottoa:

  z = (X ≤ 900) ;

  x= 900 - satunnaismuuttujan määritetty arvo;

  μ = 1000 - keskiarvo;

  σ = 200 - keskihajonta.

  Näiden tietojen avulla saamme ongelman ehdot:

  .

  Standardoitujen satunnaismuuttujien taulukoiden mukaan (väliraja) z= −0,5 vastaa todennäköisyyttä 0,30854. Vähennä se ykseydestä ja saat mitä vaaditaan ongelmalausekkeessa:

  Joten todennäköisyys, että osan käyttöikä on vähintään 900 tuntia, on 69%.

  Tämä todennäköisyys saadaan MS Excelin funktiolla NORM.JAKAUMA (integraaliarvo - 1):

  P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - NORMI.JAKAUMA(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.

  Tietoja laskelmista MS Excelissä - yhdessä tämän oppitunnin myöhemmistä kappaleista.

  Esimerkki 2. Tietyssä kaupungissa perheen keskimääräinen vuositulo on normaalisti jakautunut satunnaismuuttuja, jonka keskiarvo on 300 000 ja keskihajonta 50 000. Tiedetään, että 40 % perheistä tulot ovat pienempiä kuin A. Etsi arvo A.

  Ratkaisu. Tässä tehtävässä 40% ei ole muuta kuin todennäköisyys, että satunnaismuuttuja ottaa avoimesta intervallista arvon, joka on pienempi kuin kirjaimella osoitettu tietty arvo A.

  Löytääksesi arvon A, muodostamme ensin integraalifunktion:

  

  Ongelman ehtojen mukaan

  μ = 300 000 - keskiarvo;

  σ = 50000 - standardipoikkeama;

  x = A- löydettävä määrä.

  Tasa-arvon luominen

  .

  Tilastotaulukoista havaitaan, että todennäköisyys 0,40 vastaa välirajan arvoa z = −0,25 .

  Siksi luomme tasa-arvon

  

  ja löytää sen ratkaisu:

  A = 287300 .

  Vastaus: 40 prosentilla perheistä tulot ovat alle 287 300.

  Suljettu väli

  Monissa ongelmissa on löydettävä todennäköisyys, että normaalijakautuma satunnaismuuttuja saa arvon välillä z 1 - z 2. Eli se putoaa suljetulle aikavälille. Tällaisten ongelmien ratkaisemiseksi on tarpeen löytää taulukosta intervallin rajoja vastaavat todennäköisyydet ja sitten löytää näiden todennäköisyyksien välinen ero. Tämä edellyttää pienemmän arvon vähentämistä suuremmasta. Esimerkkejä ratkaisuista näihin yleisiin ongelmiin ovat seuraavat, ja sinua pyydetään ratkaisemaan ne itse, ja sitten näet oikeat ratkaisut ja vastaukset.

  Esimerkki 3. Yrityksen voitto tietyltä ajanjaksolta on normaalin jakelulain alainen satunnaismuuttuja, jonka keskiarvo on 0,5 miljoonaa. ja keskihajonta 0,354. Määritä kahden desimaalin tarkkuudella todennäköisyys, että yrityksen voitto on 0,4-0,6 c.u.

  Esimerkki 4. Valmistetun osan pituus on normaalin lain mukaan jakautunut satunnaismuuttuja parametrein μ = 10 ja σ = 0,071. Määritä vikojen todennäköisyys kahden desimaalin tarkkuudella, jos osan sallittujen mittojen on oltava 10±0,05.

  Vihje: tässä tehtävässä sen lisäksi, että löydetään todennäköisyys, että satunnaismuuttuja putoaa suljettuun väliin (todennäköisyys saada viallinen osa), sinun on suoritettava vielä yksi toimenpide.

  

  voit määrittää todennäköisyyden, että standardoitu arvo Z ei vähempää -z eikä enempää +z, Missä z- mielivaltaisesti valittu standardisoidun satunnaismuuttujan arvo.

  Likimääräinen menetelmä jakauman normaaliuden tarkistamiseksi

  Likimääräinen menetelmä näytearvojen jakautumisen normaaliuden tarkistamiseksi perustuu seuraavaan normaalijakauman ominaisuus: vinouskerroin β 1 ja kurtoosikerroin β 2 ovat yhtä suuret kuin nolla.

  Epäsymmetriakerroin β 1 kuvaa numeerisesti empiirisen jakauman symmetriaa suhteessa keskiarvoon. Jos vinouskerroin on nolla, niin aritmetrinen keskiarvo, mediaani ja moodi ovat yhtä suuret: ja jakautumistiheyskäyrä on symmetrinen keskiarvon suhteen. Jos epäsymmetriakerroin on pienempi kuin nolla (β 1 < 0 ), silloin aritmeettinen keskiarvo on pienempi kuin mediaani ja mediaani puolestaan ​​on pienempi kuin moodi () ja käyrä on siirtynyt oikealle (verrattuna normaalijakaumaan). Jos epäsymmetriakerroin on suurempi kuin nolla (β 1 > 0 ), silloin aritmeettinen keskiarvo on suurempi kuin mediaani ja mediaani puolestaan ​​on suurempi kuin moodi () ja käyrä on siirtynyt vasemmalle (verrattuna normaalijakaumaan).

  Kurtoosikerroin β 2 kuvaa empiirisen jakauman pitoisuutta aritmeettisen keskiarvon ympärillä akselin suunnassa Oy ja jakautumistiheyskäyrän huippuunsa. Jos kurtoosikerroin on suurempi kuin nolla, käyrä on pitempi (verrattuna normaalijakaumaan) akselia pitkin Oy(kaavio on korkeampi). Jos kurtoosikerroin on pienempi kuin nolla, käyrä on litteämpi (verrattuna normaalijakaumaan) akselia pitkin Oy(kaavio on tylsempi).

  Epäsymmetriakerroin voidaan laskea MS Excelin SKOS-funktiolla. Jos valitset yhden tietotaulukon, sinun on syötettävä tietoalue yhteen ”Numero”-ruutuun.

  
  

  Kurtoosikerroin voidaan laskea MS Excelin KURTESS-funktiolla. Yhtä tietotaulukkoa tarkasteltaessa riittää myös tietoalueen syöttäminen yhteen ”Numero”-ruutuun.

  
  

  Joten, kuten jo tiedämme, normaalijakaumalla vinous- ja kurtoosikertoimet ovat nolla. Mutta entä jos saisimme vinouskertoimet -0,14, 0,22, 0,43 ja kurtoosikertoimet 0,17, -0,31, 0,55? Kysymys on melko oikeudenmukainen, koska käytännössä kyse on vain likimääräisistä, epäsymmetrian ja kurtoosin näytearvoista, jotka ovat jonkin väistämättömän, hallitsemattoman hajonnan kohteena. Siksi ei voida vaatia, että nämä kertoimet ovat tiukasti yhtä suuria kuin nolla, niiden tulee olla vain riittävän lähellä nollaa. Mutta mitä tarkoittaa tarpeeksi?

  Saatuja empiirisiä arvoja on verrattava hyväksyttäviin arvoihin. Tätä varten sinun on tarkistettava seuraavat epäyhtälöt (vertaa moduulikertoimien arvoja kriittisiin arvoihin - hypoteesin testausalueen rajoihin).

  Epäsymmetriakertoimelle β 1 .

  ) on erityisen tärkeä rooli todennäköisyysteoriassa ja sitä käytetään useimmiten käytännön ongelmien ratkaisemisessa. Sen pääominaisuus on, että se on rajoittava laki, jota muut jakelulait lähestyvät hyvin yleisissä tyypillisissä olosuhteissa. Esimerkiksi riittävän suuren määrän riippumattomia (tai heikosti riippuvaisia) satunnaismuuttujia summa noudattaa suunnilleen normaalilakia, ja tämä on totta, mitä tarkemmin satunnaismuuttujia summataan.

  On kokeellisesti todistettu, että mittausvirheet, rakennuksen rakenneosien geometristen mittojen ja sijainnin poikkeamat valmistuksen ja asennuksen aikana sekä materiaalien fysikaalisten ja mekaanisten ominaisuuksien vaihtelut sekä rakennuksen rakenteisiin vaikuttavat kuormat ovat normaalin lain alaisia.

  Lähes kaikki satunnaismuuttujat ovat Gaussin jakauman alaisia, joiden poikkeama keskiarvoista johtuu suuresta joukosta satunnaistekijöitä, joista jokainen on yksittäin merkityksetön (keskusrajalause).

  Normaalijakauma on jatkuvan satunnaismuuttujan jakauma, jonka todennäköisyystiheydellä on muoto (kuva 18.1).

  Riisi. 18.1. Normaalijakelulaki on 1< a 2 .

  (18.1)

  missä a ja ovat jakeluparametreja.

  Normaalilain mukaan jakautuneen satunnaismuuttujan todennäköisyysominaisuudet ovat yhtä suuret:

  Matemaattinen odotus (18.2)

  Varianssi (18,3)

  Keskihajonta (18,4)

  Epäsymmetriakerroin A = 0(18.5)

  Ylimääräinen E= 0. (18.6)

  Gaussin jakaumaan sisältyvä parametri σ on yhtä suuri kuin satunnaismuuttujan keskineliösuhde. Suuruus A määrittää jakelukeskuksen sijainnin (katso kuva 18.1) ja arvon A— levitysleveys (kuva 18.2), ts. tilastollinen hajonta keskiarvon ympärillä.

  Riisi. 18.2. Normaalijakauman laki kohdassa σ 1< σ 2 < σ 3

  Todennäköisyys putoaa tietylle välille (x 1 - x 2) normaalijakaumassa, kuten kaikissa tapauksissa, määräytyy todennäköisyystiheyden integraalilla (18.1), jota ei ilmaista alkeisfunktioiden kautta ja jota edustaa erikoisfunktio, jota kutsutaan Laplace-funktioksi (todennäköisyysintegraali).

  Yksi todennäköisyysintegraalin esityksistä:

  Suuruus Ja nimeltään kvantiili

  Voidaan nähdä, että Ф(х) on pariton funktio, eli Ф(-х) = -Ф(х) . Tämän funktion arvot lasketaan ja esitetään taulukoiden muodossa teknisessä ja opetuskirjallisuudessa.

  
  

  Normaalilain jakaumafunktio (kuva 18.3) voidaan ilmaista todennäköisyysintegraalilla:

  Riisi. 18.2. Normaalijakaumafunktio.

  Todennäköisyys sille, että normaalin lain mukaan jakautunut satunnaismuuttuja putoaa väliin alkaen X. x:ään, määritetään lausekkeella:

  On huomattava, että

  Ф(0) = 0; Ф(∞) = 0,5; Ф(-∞) = -0,5.

  Jakaumaan liittyviä käytännön ongelmia ratkaistaessa on usein otettava huomioon todennäköisyys putoaa matemaattiseen odotukseen nähden symmetriseen intervalliin, jos tämän intervallin pituus, ts. jos välillä itsellään on raja välillä - , meillä on:

  Käytännön ongelmia ratkaistaessa satunnaismuuttujien poikkeamien rajat ilmaistaan ​​standardin, keskihajonnan kautta, kerrottuna tietyllä satunnaismuuttujan poikkeama-alueen rajat määräävällä kertoimella.

  Ottamalla ja käyttämällä kaavaa (18.10) ja taulukkoa Ф(х) (Liite nro 1) saadaan

  Nämä kaavat osoittavat että jos satunnaismuuttujalla on normaalijakauma, niin sen todennäköisyys poiketa sen keskiarvosta enintään σ on 68,27 %, enintään 2σ on 95,45 % ja enintään 3σ - 99,73 %.

  Koska arvo 0,9973 on lähellä yksikköä, on käytännössä mahdotonta, että satunnaismuuttujan normaalijakauma poikkeaa matemaattisesta odotuksesta enemmän kuin 3σ. Tätä sääntöä, joka pätee vain normaalijakaumaan, kutsutaan kolmen sigman säännöksi. Sen rikkominen on todennäköistä P = 1 - 0,9973 = 0,0027. Tätä sääntöä käytetään määritettäessä tuotteiden ja rakenteiden geometristen ominaisuuksien sallittujen poikkeamien rajoja.

  Satunnainen, jos se voi kokeen seurauksena saada todellisia arvoja tietyin todennäköisyksin. Satunnaismuuttujan täydellisin, kattavin ominaisuus on jakautumislaki. Jakaumalaki on funktio (taulukko, kaavio, kaava), jonka avulla voit määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja X saa tietyn arvon xi tai osuu tietylle välille. Jos satunnaismuuttujalla on tietty jakautumislaki, niin sanotaan, että se jakautuu tämän lain mukaan tai noudattaa tätä jakautumislakia.

  Joka jakelulaki on funktio, joka kuvaa täysin satunnaismuuttujan todennäköisyyksien näkökulmasta. Käytännössä satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma joudutaan usein päättelemään vain testituloksista.

  Normaalijakauma

  Normaalijakauma, jota kutsutaan myös Gaussin jakaumaksi, on todennäköisyysjakauma, jolla on kriittinen rooli monilla tiedon aloilla, erityisesti fysiikassa. Fysikaalinen suure seuraa normaalijakaumaa, kun se on alttiina suurelle määrälle satunnaisia ​​ääniä. On selvää, että tämä tilanne on äärimmäisen yleinen, joten voimme sanoa, että normaalijakauma on kaikista jakaumista yleisin luonnossa - tästä syystä yksi sen nimistä.

  Normaalijakauma riippuu kahdesta parametrista - siirtymästä ja mittakaavasta, eli matemaattisesta näkökulmasta katsottuna se ei ole yksi jakauma, vaan niiden koko perhe. Parametrien arvot vastaavat keskiarvon (matemaattinen odotus) ja leviämisen (keskihajonta) arvoja.

  

  

  Vakionormaalijakauma on normaalijakauma, jonka matemaattinen odotusarvo on 0 ja keskihajonna 1.

  

  

  Epäsymmetriakerroin

  

  Vinovuuskerroin on positiivinen, jos jakauman oikea häntä on pidempi kuin vasen, ja negatiivinen muuten.

  Jos jakauma on symmetrinen suhteessa matemaattiseen odotukseen, niin sen epäsymmetriakerroin on nolla.

  

  Näytteen vinovuuskerrointa käytetään jakauman testaamiseen symmetriaa varten sekä karkeassa esikokeessa normaalisuudelle. Se sallii sinun hylätä, mutta ei salli sinun hyväksyä normaaliushypoteesia.

  Kurtoosikerroin

  

  Kurtoosikerroin (huippukerroin) on satunnaismuuttujan jakauman huipun terävyyden mitta.

  Kaavan lopussa oleva "miinus kolme" lisätään siten, että normaalijakauman kurtoosikerroin on yhtä suuri kuin nolla. Se on positiivinen, jos jakauman huippu matemaattisen odotuksen ympärillä on terävä, ja negatiivinen, jos huippu on tasainen.

  

  Satunnaismuuttujan hetket

  Satunnaismuuttujan momentti on tietyn satunnaismuuttujan jakauman numeerinen ominaisuus.